Capitulo 4 B Leyes Newton Aplicaciones II
Capitulo 4 B Leyes Newton Aplicaciones II
Capitulo 4 B Leyes Newton Aplicaciones II
Como aplicación de las leyes de Newton vamos a presentar dos ejemplos importantes de
movimiento oscilatorio.
1. EJEMPLO
Oscilación de una masa suspendida de un resorte
L. Eje x
k
natural
deformación
deformación de - x
de xo
x
o
t=0
x = xo
Fe = k·de v=0 Fe = k·(de - x)
mg mg
Fe = k d e ,
y entonces, como ∑ Fx = 0,
k de − m g = 0 .
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 173
∑ Fx = max : k (d e − x ) − m g = m a ,
La fuerza neta, resultante del peso y la fuerza elástica, − k x , es una fuerza recuperadora,
dirigida siempre hacia la posición de equilibrio. La aceleración a es pues
k
a = − x.
m
k
Llamemos ω 2 , como es usual, a la constante positiva . Como se comprueba fácilmente
m
la dimensión de ω (letra griega omega minúscula), [ ω ] , es T −1 . La ecuación
a = &x& = − ω 2 x ,
o bien
&x& + ω 2 x = 0 ,
d2 x
2
+ ω2 x = 0 ,
dt
Ecuaciones más complejas requerirán métodos especiales, pero con el cálculo elemental
podemos abordar la solución de la ecuación del oscilador, es decir encontrar cual es la función
x (t ) que describe el movimiento de la masa m suspendida del resorte. Hagámoslo para unas
condiciones iniciales simples, comunes y prácticas: demos a la masa un desplazamiento desde
el equilibrio igual a x o (> 0) y soltémosla en t = 0 . En este caso, x& = v o = 0 y el
problema es
a = &x& = − ω 2 x . En t = 0 , x = x o
x& o = 0
Hallar x (t )
v x
∫0 v d v = − ω2 ∫xo x dx ,
y por tanto
v = ω xo2 − x2 ,
dx
en donde hemos tomado la raíz positiva. Como v = , separando las variables e
dt
integrando de nuevo,
x dx t
∫xo = ω ∫o d t = ωt
xo2 − x2
o sea
x π
arc sen = ωt + ,
xo 2
y por tanto
⎛ π⎞
x = x o sen ⎜ ω t + ⎟ ,
⎝ 2⎠
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 175
o sea
x (t ) = x o cos ω t .
⎛ 2π⎞
x = x o cos ω t = x o cos (ω t + 2 π ) = x o cos ω ⎜ t + ⎟.
⎝ ω ⎠
2π
P = ,
ω
k
el movimiento se repite idénticamente. Como ω 2 = , el período es
m
m
P = 2π .
k
mo
m +
P = 2π 3 .
k
2. EJEMPLO
El péndulo simple
una masa puntual o partícula está suspendida de una cuerda ideal y oscila en un plano vertical.
Una pequeña esfera masiva atada a una cuerda proporciona una realización práctica adecuada.
El péndulo es un sistema mecánico de gran importancia histórica. Hombres tan ilustres como
Galileo, Huygens y Newton, lo estudiaron intensamente, tanto teórica como
experimentalmente. La riqueza de su física, de su matemática, de sus movimientos, lo
convierten en un paradigma de la mecánica. Por eso es imperiosa una primera visita temprana
al péndulo, tanto en el papel como en el laboratorio. Ya habíamos presentado algunas facetas
del péndulo cónico e hicimos una presentación del movimiento en un círculo vertical. Vamos
ahora a centrar la atención en las pequeñas oscilaciones del péndulo simple para hallar su
período.
Sea un marco inercial ligado a tierra, como es usual. Elijamos un origen O sobre el círculo en
la posición de equilibrio de m. El arco s y el correspondiente ángulo θ se indican en la figura.
El sistema mecánico es m y su diagrama de fuerzas en posición general, así como las
direcciones normal y tangencial, son:
θ
n
l
T
t
s m
o
mg θ
Por lo tanto
g
α = − sen θ .
l
θ3 θ5
sen θ = θ − + −L
3! 5!
θ2 θ4
cos θ = 1 − + −L
2! 4!
Si el ángulo θ es pequeño, las potencias θ 2 , θ 3 , L son muy pequeñas y podemos
despreciarlas y la aproximación lineal queda
sen θ ≈ θ ,
cos θ ≈ 1 .
sen θ
lim = 1,
θ→0 θ
sen θ ≈ θ ,
Con la aproximación para ángulos pequeños sen θ ≈ θ , la aceleración angular del péndulo
queda
g
α = − θ
l
g
ω2 = ,
l
178 Londoño - Introducción a la mecánica
α = &θ& = − ω 2 θ .
Es muy importante no confundir dicha frecuencia angular ω con la velocidad angular que
dθ
tiene el péndulo en su movimiento circular, que escribiremos como θ& = .
dt
α = &θ& = − ω 2 θ . En t = 0 θ = θo
θ& = 0
Hallar θ (t ) .
Este problema es el mismo que ya planteamos al estudiar las oscilaciones de una masa
suspendida de un resorte. Simplemente, en vez de la posición x (t ) , tenemos ahora la posición
angular θ (t ) . El péndulo simple de pequeñas amplitudes describe por tanto un movimiento
armónico simple
θ (t ) = θ o cos ω t ,
g
con amplitud θ o y cuyo período, recordando que ω 2 = , es
l
l
P = 2π .
g
En el movimiento armónico simple, el período, es decir el tiempo que tarda una oscilación
completa, no depende de la amplitud de la oscilación: El péndulo de pequeñas amplitudes,
que describe un movimiento armónico simple, tiene esta propiedad y se dice que es
isocrónico. Pero en un péndulo de amplitud cualquiera esto no es cierto, el péndulo no es
isocrónico, es decir el período depende de la amplitud θ o . Para una amplitud θ o de unos
15° , el error relativo que se comete al calcular el período con la expresión que vimos,
respecto al período exacto, es de un 0.5%, lo que indica el grado de precisión al considerar la
aproximación de pequeñas amplitudes.
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 179
Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido, sea líquido o gas, el fluido opone una
resistencia al movimiento del cuerpo, que representaremos globalmente como una fuerza de
r
fricción f debida al medio fluido.
Esta resistencia o fuerza de fricción debida al fluido, llamada a veces fuerza resistiva, tiene las
siguientes características:
a) Dirección: es una fuerza que se opone siempre al movimiento. Su dirección es contraria
al vector velocidad del cuerpo. A diferencia de la fricción seca, en la fricción en fluidos
no existe la fricción estática: si el cuerpo está en reposo en el fluido, la fricción es nula.
trayectoria
en la que los coeficientes A y B son constantes positivas que dependen del cuerpo y del fluido.
Vectorialmente puede expresarse la fuerza de fricción como
r r r
f = − A v − Bvv.
Una consecuencia muy importante del hecho de que la fuerza resistiva aumente con la
velocidad es la existencia de una velocidad límite o terminal para el movimiento.
180 Londoño - Introducción a la mecánica
Consideremos un cuerpo que parte del reposo y se mueve en un fluido bajo la acción de una
fuerza constante Fo , que puede ser por ejemplo el peso en el caso de un cuerpo cayendo en el
aire o en algún líquido. Supongamos por sencillez que el movimiento es rectilíneo. Bajo la
acción de Fo , el cuerpo acelera, aumenta su velocidad. Pero entonces la fuerza de fricción
que se opone al movimiento aumenta correspondientemente, y llega un momento en el que
prácticamente la fuerza resistiva f iguala a la fuerza activa Fo . Así, la fuerza neta sobre el
cuerpo se anula, la aceleración es cero, y el cuerpo sigue moviéndose con la velocidad
adquirida, llamada velocidad límite o terminal. ¡Gracias a ello salimos incólumes de la
granizada!
1. EJEMPLO
Esfera que cae verticalmente en aire. Velocidad límite
La fuerza resistiva sobre una esfera de radio r que se mueve en el aire con velocidad v, tiene
una magnitud
f = 3.1 × 10 −4 r v + 0.87 r 2 v 2 ,
en donde los coeficientes están en unidades S Ι . (Datos tomados de A.P. French. “Mecánica
Newtoniana”).
Consideremos una esfera que cae en el aire bajo la acción de su propio peso y alcanza una
velocidad límite. Sea un eje y vertical hacia abajo. La fuerza neta hacia abajo sobre la esfera
de masa m es m g − f y
f
m
mg
mg = f .
4
m = π r3 ρ .
3
4
π r 3 ρ g = 3.1 × 10 − 4 r v L + 0.87 r 2 v L 2 ,
3
v L = 9.63 m s −1 .
En caída libre, sin fricción con el aire, esta velocidad se adquiriría en un recorrido d
v 2L
d = = 4.73 m ,
2g
de modo que ya en distancias muy inferiores a esa los efectos de la fricción con el aire son
importantes y el modelo de caída libre es inadecuado para estudiar la caída de una gota de
lluvia de esas características. Si calculásemos la velocidad límite usando únicamente el
término proporcional a v 2 tendríamos una velocidad
4 π r3 ρ g
vL ' = = 9.72 m s −1 ,
3 × 0.87 r 2
que difiere solo en un 1% respecto a los 9.63 m s −1 , lo que indica que el término
proporcional a v 2 es el fundamental en una esfera de ese tamaño. Para cuerpos más densos y
de mayor tamaño puede considerarse con buena aproximación que la fuerza resistiva está dada
por
f = 0.87 r 2 v 2
2. EJEMPLO
Fuerza resistiva viscosa
Sea un marco inercial ligado a tierra, respecto al cual el líquido está en reposo. Eje x hacia
abajo con origen en dónde se suelta el cuerpo, que es el sistema mecánico, tratado como
partícula de masa m. En situación general el diagrama de fuerzas es:
o
f
E
mg
mg − E − Av = ma,
Fo = m g − E ,
Fo − A v
a = ,
m
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 183
dv F − Av
= o ,
dt m
v dv 1 t t
∫o Fo − A v
=
m ∫o d t =
m
.
A ⎛ A ⎞
dv d ⎜⎜1 − v⎟
dv 1 Fo 1 ⎝ Fo ⎟⎠ 1 ⎛ A ⎞
∫ Fo − A v
=
A ∫ A
= −
A ∫ A
= −
A
ln ⎜⎜1 −
⎝
v⎟ ,
Fo ⎟⎠
1− v 1− v
Fo Fo
con lo que
⎛ A v⎞ A
ln ⎜⎜1 − ⎟⎟ = − t,
⎝ Fo ⎠ m
y así
Av −A t
1 − = e m .
Fo
Por tanto
Fo ⎛ A t
⎞
v= ⎜⎜1 − e m ⎟⎟ .
A ⎝ ⎠
eθ
−A t
e m : cambio de escala
del eje horizontal 1
−A t
−e m : inversión del eje t
vertical
-1
−A t
1− e m : subir la gráfica 1 1
(o bajar 1 el eje t )
0 t
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 185
Fo ⎛ −A t ⎞
⎜⎜1 − e m ⎟⎟ : cambio de escala en el eje vertical. Si sólo tomamos valores para t ≥ 0 ,
A ⎝ ⎠
el gráfico de la velocidad versus t es:
v
F0
A
0 t
Fo
Cuando t es muy grande, v → , que es la velocidad límite o terminal, para la cual la
A
aceleración es cero. En el modelo matemático, en rigor, la velocidad sólo se aproxima
asintóticamente a la velocidad terminal y nunca llegaría a ella. El modelo es, sin embargo,
sólo una idealización, y en la práctica la diferencia entre la velocidad real y la velocidad
límite, se hace indetectable para una determinada precisión, al cabo de un cierto tiempo.
En general, para dos masas puntuales (mostramos sólo la fuerza sobre m):
M F m
G M m
F =
d d2
M G M m
F m F =
d2
d
m m
mg
Tierra
186 Londoño - Introducción a la mecánica
Fuerzas de contacto:
La tensión en una cuerda:
T T
Normal N
v
Fricción f
f N
Estática f e ≤ µ e N
Dinámica f d = µ d N
L. natural d
F = kd
v f = A v + B v2
Otras fuerzas de contacto muy importantes son las que se presentan en una superficie que
delimita una porción interior de un cuerpo, bien sea sólido o fluido. Estas fuerzas se estudian
en la mecánica de los sólidos elásticos y de los fluidos.
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 187
PROBLEMAS
1. Un disco horizontal rota alrededor de su eje con una frecuencia de 1 Hz. Hallar la
máxima distancia al centro del disco a la que puede colocarse un bloque para que no
deslice respecto al disco, si el coeficiente estático de fricción entre el bloque y el disco es
0.5. Precise su marco inercial.
12 cm
2. Una masa m gira en un círculo horizontal con velocidad angular constante ω , sostenida
de un eje vertical por dos cuerdas de igual longitud l y ángulos θ con dicho eje. Hallar
las tensiones en la cuerdas.
g
Chequeo: si ω = , la tensión en la cuerda inferior es nula.
l cos θ
4.
L. natural
k m k
Un bloque se encuentra en una superficie horizontal sujeto a dos resortes iguales, como
se muestra. El coeficiente estático de fricción entre el bloque y la superficie es µ . Se
188 Londoño - Introducción a la mecánica
5.
m g sen θ
en v máxima , deformación =
k
6.
inicial
general
1: separación inminente
g
R θ
θ1
c
Un pequeño bloque se coloca sobre una superficie circular lisa de radio R. Podría ser
bien una superficie esférica o cilíndrica, cuyo corte vertical es el círculo mostrado. Se le
da al bloque una pequeñísima velocidad inicial en el punto más alto (v o ≈ 0 ) , de modo
que baja deslizando por la superficie. Para la posición 1 en la que se despega de la
superficie, hallar el ángulo θ1 y la velocidad v1 .
2
cos θ1 =
3
2gR
v1 =
3
Leyes de Newton y aplicaciones (II) 189
7.
l
θ
m
c
corte vertical
g
Chequeo: si ω 2 = el bloque pierde contacto con la superficie.
l cos θ
8.
L. natural L natural
Situación de
k1 m k2 equilibrio
o Eje x
x
General
Un bloque de masa m puede deslizar sobre una superficie horizontal lisa, ligado a dos
resortes como se muestra. Estudie la posición de equilibrio y muestre luego que la
fuerza neta en situación general es una fuerza recuperadora dirigida hacia la posición de
equilibrio y de magnitud k 1 x + k 2 x , es decir, como si el resorte (1) estuviese estirado
x, y el resorte (2) estuviese comprimido x, desde la posición de equilibrio. Muestre que
el movimiento de m es armónico simple y halle el período.
9. Hemos definido como peso la fuerza de atracción gravitacional hecha por la tierra sobre
un cuerpo en su superficie. Llamemos peso aparente a la magnitud de la fuerza, hecha
por ejemplo por una báscula de resortes, necesaria para mantener el cuerpo en reposo
respecto a la superficie terrestre. Asumiendo una tierra completamente esférica y
teniendo en cuenta su rotación, estudie un cuerpo en reposo sobre una báscula, tanto en
190 Londoño - Introducción a la mecánica
∆ g ef ≈ 3.4 × 10 −2 m s −2
10. Un pequeño bote de masa m que viaja con velocidad v o apaga su motor. Suponiendo
que la resistencia de frenado es proporcional a la velocidad, f = A v , hallar la
velocidad y la posición del bote en función del tiempo. Muestre que cuando el tiempo
m vo
aumenta la velocidad tiende a cero y la distancia recorrida tiende a .
A
11. Un balde con agua gira en forma de péndulo cónico, suspendido del techo por una cuerda
de 2 m cuyo ángulo con la vertical es de 30° . Si el balde está goteando, hallar el radio
del círculo descrito por las gotas en el piso que está 4 m abajo del techo.
1.90 m
12. Una pequeña cuenta o bolita perforada de masa m está ensartada en un alambre circular
liso de radio r que se encuentra en un plano vertical.
c B
FB = 2 m g hacia el centro