lOMoARcPSD|8785958

288103559 Gradiente uniforme doc

ingeniería de costos y presupuestos (Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa)

StuDocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad.

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)
 lOMoARcPSD|8785958

PROBLEMAS PROPUESTOS

(Equivalencia Económica, Gradiente Uniforme)

1.-Encuentre el valor de X en el diagrama siguiente, que haría igual a $ 22.000 el

valor presente equivalente del flujo de caja, si la tasa de interés es 15% por año

x
P = $ 22 000
A = $ 950

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Año

Solución:

F = 22000(F/P)1115% - 950(P/A)615% (F/P)815%

F = 22000 ( 4.652) - 950 (3.784) ( 3.059)
F = $91347.51

F = $ 91 347.5
Respuesta: El valor de X equivalente al valor presente es de $ 91347.5

2. La compañía GRQ compra una máquina por $ 12 000 con un valor de

salvamento esperado de $2 000. Los gastos de operación de la máquina serán
de $18 000 anuales. Además se necesita una revisión general importante, cada
cinco años, con un costo de $2 800.¿Cuál es el costo presente equivalente de la
máquina si tiene una vida útil de 18 años y la tasa de interés es 15% anual?
Solución:

12 000 A=18 000

F1=2 800 F2=2 800 F3=2 800

P1=?
P2=?
P =? 0.15
+F1 ( P / F1 ) 50.15 +F2 ( P / F2 )10
0.15 0.15
P=123 000+A ( P / A)18 +F3 ( P / F3 )15 -2000(P/F)1815%
P=12 000+18 000(6.128)+2 800(0.4972)+2 800(0.2472)+2 800(0.1229) -2000(0.0808)
P=$ 124 732.44

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

*Con anualidades de 1800:

P =12000+1800(P/A)1815% +2800(P/F)515% +2800(P/F)1015% +2800(P/F)1515% -2000(P/F)1815%
P = 1200 + 1800(6.128)+2800(0.4972)+2800(0.2472)+2800(0.1229)-2000(0.0808)
P = 1200 + 11030.4 + 1392.16+ 692.16 + 344.12 + 161.6
P=$25297.24

P = $ 25297.2
Respuesta: El costo presente de la maquina es de $ 25297.2 para anualidades de 1800.

3. ¿Cuánto dinero tendría que depositar usted durante seis años consecutivos,
empezando dentro de un año, si desea retirar $45 000 dentro de 11 años?
Suponga que la tasa de interés es 15% anual.

0.15
Solución: P=F ( P / F )11
P=45 000(0.2149)
P=9 670.5
0.15
A=P ( A / P ) 6
A=9 670.5(0.2642)
A= $ 2 555

P = $ 2555
Respuesta: Durante seis años tendría que depositar $ 2555 para llegar al objetivo.

4. Una compañía solicita un préstamo de $ 8000 a una tasa de interés nominal de

12% capitalizada mensualmente. LA compañía desea pagar la deuda en 14 pagos
mensuales iguales, empezando con el primer pago dentro de un mes; (a) ¿Cuál
debería ser el monto de cada pago?, (b) si después de 8 pagos la compañía desea
pagar totalmente el saldo de la deuda en el noveno mes, ¿Cuándo deberá pagar la
compañía?
Solución:
j = 12% b. Si después de 8 pagos la compañía desea
pagar totalmente el saldo de la deuda en el
j 12%
i  1% noveno mes ¿cuándo deberá pagar la
m 12
compañía?
A 8000 A / P  14 P=A((1+i)n-1/((1+i)n)i)
1%

P=615.209 ((1+0.01)8-1/
A = 8000(0.0769) 8
((1+0.01) )0.01)
A = $ 615 P=4707.38

F=P(1+i)n
Respuesta: Durante los 14 meses F=4707.38(1.01)8
F=5097.422
tendrá que pagar $ 615 F=P(1+i)n
F=8000(1.01)8
F=8662.82
Deberà pagar $ 3565.43
5. Una mujer se propone hacer un total de 8 depósitos, el primero hoy y los
subsiguientes con intervalos de un año, de tal manera que pueda retirar $ 4000
por año durante 10 años, efectuando el primer retiro dentro de 16 años.
¿Cuánto debe depositar cada año si la tasa de interés nominal es 12%
capitalizada trimestralmente?
Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)
 lOMoARcPSD|8785958

Solución:

A=? A = $ 4 000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

j = 12%
j 12%
i  3%
m 4

i A 1  0.03  1
4

i A 12.55%

A 4000 P / A 10  P / F  12
12.55% .55%
16 ( A / P )12
8
.55%

 1  0.1255 10  1  1   0.12551  0.1255 8 

A 4000 
  1  0.1255 16

  1  0.1255 8  1


 0.12551  0.1255
10
  
A = 4000(0.6934)(0.1508)(1.6350)
A= $ 685
Respuesta: Cada depósito será de $ 685.

6. Una pareja piensa pedir un préstamo de $ 500 cada año durante los dos
próximos años para cubrir los gastos de navidad. Debido al aumento en los
costos, piensan pedir un préstamo de $ 550 dentro de 3 años, $ 600 al
próximo año y $ 650 al año siguiente. Sin embargo, debido a la edad de sus
hijos, esperan tener que pedir solamente $ 300 por año después de esa fecha.
Calcule:
Solución:

P=? $ 300
$ 500 $ 500 $ 550 $ 600 $ 650

0 1 2 3 4 5 6 7 8 15
a) Valor presente:

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

P 500 P / A 5  300 P / A 10  P / F  135%  50 P / G  4  P / F 113%

13% 13% 13%

P 500 3.521 + 300 5.425 0.544 + 50 4.013 0.87

P 2820.43

P= $ 2820.43
Respuesta: El valor presente es de $ 2820.

b) el costo anual uniforme equivalente a los desembolsos durante un total de 15

años usando una tasa de interés de 13 % anual.
A 2820,43 A / P  15
13%

A 2820,43 0,1547
A 436,32
A= $ 436.32
Respuesta: El costo anual uniforme es de $ 436

7.- Una persona solicita un préstamo de 8000 dólares aún 7% nominal por un año
capitalizado trimestralmente, ella desea pagar la deuda en 12 cuotas
semestrales, la primera de las cuales abonaría dentro de tres meses. Si los
pagos tienen incrementos y 50 dólares cada vez, determine el monto del
primer pago.
Calcule:
P = $ 8000

A A+50 A+100 A+150

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 12

Solución:

7%
it  1.75%
4

P 8000 P / F  1
1.75%

P = 8000(0.9828)
P = $ 7 862.40
i s 1.75% 2 3.5

7862.40  A P / A 12  50 P / G  12
3.5% 3.5%

7862.40 = 9.663A + 50(49.198)

A= $ 560

8. Encuentre el valor de G de tal manera que el diagrama de flujo de caja de la

izquierda sea equivalente al de la derecha. Use una tasa de interés anual de
13%

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

4G
$ 7 000 3G
$ 1 000 2G

Año
0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7

Solución:

F=P(1+i)n P1=G(P/A)(0.13,4)+G/0.13((P/A)(0.13,4)
7000=P(1.13)6 -4(P/F)(0.13,4))
P=3362.229 P1=G(2.9745)+G/0.13(0.5212)

F=P(1+i)n P=P1/(1.13)3
1000=P(1.13) P=(G(2.9745)+G/0.13(0.5212))/1.133
P=4247.1847 4247.1847=6.9837 G/1.133
G=877.50
P1=A(P/A)+G/i((P/A)-n(P/F))

G = $ 877.50

Respuesta: El valor de G es de $ 877.5

9. Si comprar una máquina cuesta $15000 y los costos de operación son de $1000
al final del primer año, $1200 al final del segundo año y así sucesivamente $200
más por año hasta el año 12, ¿cuál es el valor presente de la máquina si la tasa
de interés es 15% anual capitalizable semestralmente?

Solución:

Costos = 15000
G = 200
A = 1000
P =?
in=15% -> TES=7.5% P = Pn +Pg

(1+TEA)1 = (1+TES)2 P = A(P/A) +G/i(P/A-nP/F)

TEA = (1.075) 2 –1 P = 9376.743735 -> formulas
TEA = 15.56% P = 9380.0692 -> tablas

Pa = A(P/A) = A( ) Pg = G/i( (P/A) -n(P/F) )

Pa = 1000(5.30325) = 1000( ) Pg = 200/15.6% ((5.30325)-12(0.1776))

Pa = 5303.25 = 5”92.996048 Pg = 4076.8193 -> tablas

Tablas Formula Pg = (200/15.6%(1-(1+i) 12) /i - n(1+i)-12

P = Pn + Pn
P = 15000+9376.74 = 24375.74 ->formula Pg = 4083.7477 -> formula
P = 15000+9380.07 = 24320.07 ->tablas

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

Respuesta: P = 24375.74

Otra solución

P 15000  1000 P / A 12  200 P / G  12

15.56% 15.56%

P = 15000 + 1000(5.293552) + 200(20.4220645)

P = $ 24 377.8

10.-Para el siguiente diagrama, encuentre el valor de X que hará el flujo de caja

negativo igual al flujo de caja positivo de $ 800 en el tiempo cero. Supongas un
interés de 1.5% anual.

Solución:
$ 800

1 2 3 4

0 Año
$ 100
$ 150
$ 200
X

P=A(P/A)+G/i((P/A)-n(P/F))
P=100(P/A)(3,0.15)-50/0.15((P/A)(3,0.15)-3(P/F)(3,0.15))
P=228.32+333.3333(2.2832-1.9725)
P=331.8787

PT=800-331.8787
PT=468.1212

F=P1(1+i)n
F=468.1212(1+0.15)4
F=818.79

800 100 P / A 3  50 P / G  3  X P / F 4

15% 15% 15%

800 = 100(2.283) + 50(2.071) + X (0.5718)

X = $ 818.73

Respuesta: El valor de X es de $ 818.73

11.-. Encuentre el valor futuro (en el mes 9) del siguiente flujo de caja usando una
tasa de interés mensual de 1%

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

F=?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Mes
$ 800
$ 900
$ 1 000

$ 1 200
Solución:
F 800 F / P  5  900 F / P  4  1000 F / P  3  1100  F / P  2  1200 F / P  1
1% 1% 1% 1% 1%
.
F = 800(1.051) + 900(1.041) + 1000(1.030) + 1100(1.020) + 1200(1.010)
F = $ 5 142

12.-Calcule el valor presente de una máquina que tuvo un costo inicial de 29.000
Dólares con un salvamento de 5000 dólares, después de ocho años, y un
costo de operación anual de 13.000 dólares para los tres primeros años, un
incremento de 10% cada año en los años subsiguientes. Use un interés de

Solución:

13000   1  0.10  
6

   P / F  2  13000 P / A 2  5000 P / F  8
15% 15% 15%
P 29000   1  
0.15  0.10   1  0.15  

P = 29000 + 13000(4.6821)(0.7561) + 13000(1.626) – 5000(0.3269)

P = $ 94 525

Respuesta: El valor presente de la maquina es de $ 94525

13.- Calcular el valor presente de una máquina cuyo costo es 55.000 dólares y
tiene una vida de 8 años con un costoso de salvamento de 10.000 dólares
después de nueve meses. Se estimó un costo de operación de 10.000
dólares en el primer año y de 11.000 en el segundo año con un incremento de
10 % por año en los años siguientes. Use una tasa de interés de 15% anual.

P = $ 55 000
17715.6 $ 10 000
10000 11000 12100 13310 14641 16105.1 19487.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Solución:

10000  
9
 1  0.10    10000 P / F  15%
P 55000  1  

0.15  0.10   1  0.15   9


Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

P = 55000 + 10000(5.9851) – 10000(0.2843)

P = $ 112 008

Respuesta: El valor presente de la maquina es de $ 112008

14.- Halle el valor presente en el tiempo 0 del flujo de caja siguiente. Suponga que
el interés es de 12% anual.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Año

$ 340
$ 360
$ 380
$ 400
$ 420
$ 440
$ 460
$ 480
$ 500

Solución:
P=A(P/A)+G/i((P/A)-n(P/F))
P=500(P/A)(0.12,9)-20/0.12((P/A)(0.12,9)-9(P/F)(0.12,9))
P=2664.125-166.67(5.328-3.245)
P=2664.125-347.128
P=2316.998

F=P1(1+i)n
2316.998=P(1.12)2
P=1847.0967
Otra solución:
P 500 P / A 9  P / F 122%  20 P / G  9  P / F  122%
12% 12%

P = 500(5.328)(0.7972) – 20(17.356)(0.7972)
P = $ 1 847
Respuesta: El valor presente es $ 1847

15. Calcule el valor presente del siguiente flujo de caja si el i=12%

Año 0 1-4 5 6 7 8 9 10
Cantidad 5000 1000 900 800 700 600 500 400

Solución: P=A((1+i)n-1/((1+i)n)i)
P=A((1+0.12)5-1/((1+0.12)5)0.12)
P=3037,3493

P=A(P/A)+G/i((P/A)-n(P/F))
P=900(P/A)(0.12,6)-100/0.12((P/A)(0.12,6)-6(P/F)(0.12,6))

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

P= 3700-833.333(4.11-3.0397)
P=3700-893.0135
P=2806.98

P=2806.98/(1.12)4
P=1783.89
PT=9821.24

P 5000  1000 P / A 10  100 P / G  7  P / F 123%

12% 12%

P = 5000 + 1000(5.650) – 100(11.644)(0.7118)

P = $ 9 821

16.- Calcule el valor presente y el valor futuro de los siguientes flujos de caja si i =
16% anual

0 1 2 3 4 5 6 7 8
Año

$ 1 000
$ 1 500
$ 2 000
$ 2 500
$ 3000
F=? P=?
Solución:

Para el valor presente:

P 3000 P / A 5  P / F 163%  500 P / G  5  P / F 163%
16% 16%

 1  0.16 5  1    1   1  0.16  1 
5
 
  500
1 1 1
P 3000 5 
      
   1  0.16 3 
 0.161  0.16   1  0.16   1  0.16
3 5
  0.16   0.16  
P = 6 293.10 – 1 789.29
P = $ 4 503
Para el valor futuro:
F 3000 F / A 4  500 F / G  3
16% 16%

 1  0.16 4  1  1   1  0.16  1
3

F 3000   500   3
 0.16   0.16   0.16 

P = 15 199.50 – 1 580
P = $ 13 619.5
PROBLEMAS

1. Suponga que la compañía GRQ desea tener disponibles $500000 para la

inversión dentro de 10 años. La compañía proyecta invertir $4000 el primer
año y después asumir incrementos en un gradiente uniforme . si la tasa de
interés de la compañía es del 20% anual. ¿Cuál debe ser el tamaño del
gradiente para que GRQ logre su objetivo?.

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

El flujo de caja debe desglosarse en dos componentes:

9G
4(xx)
2G
G

1 2 ……. 10 1 2 3 ……….. 10

En esta forma del flujo de caja ya se pueden aplicar las formulas del valor futuro
respectivos:

F=500000=4000(F/A,20%,10) + G(F/G,20%,10)
50000=4000(25.959)+G(79.77)
G=4966

2. Si una compañía invierte $15000 en planes de ahorro de energia ¿Cuánto

tiempo tomaría recobrar la inversion si los ahorros anuales son de $ 2000 el
primer año y después crecen en $ 500 por año?. Considérese un interés de
25% anual.

Solución:

P= 15000
i=25% anual
G= 500
n=?
15000= 2000 (P/A, 25%,n) +G (P/G,25%, n)
1500=2000 (1+0.25)n -1 + 5000/0.25(1.25n-1 -n)(1/1.25n)
0.25(1+0.25)n 0.25

Interpolando n;

n=18 --------- 15063

n=17 --------- 14874
n=17.7 años

Respuesta: 17.7 años tomaría recobrar la inversion

3. La compañía Atlanta está empeñada en un programa de reducción de costos

de operación .l vicepresidente de operaciones ha establecido una meta de
ahorro para los próximos 4 años que equivale a $90 000 en valor presente. Él
estima que la compañía esta en la capacidad de ahorrar $ 40 000 el primer
año, pero la reducción será mas difícil cada año. Si se espera que los ahorros
sigan una gradiente uniforme decreciente. ¿Cuáles son las reducciones en
los años 2,3 y 4 a fin de que la compañía alcance la meta establecida? I=
15% anual.
Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)
 lOMoARcPSD|8785958

Solución:

= -
0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4

El flujo de caja principal lo podemos descomponer para llevarlo a su equivalente en el

presente.
P=A(P/A) –G(P/G)
P=9000=40000(P/A, 15 %, 4)-G(P/G, 15 %, 4)

Reemplazando los datos en las ecuaciones respectivas:

9000=40000(2.855)-G(3,786)
G=6391.97

Respuesta: Los pagos de los años 2,3 y 4 son: 33608,27216 y 20824,

respectivamente.

4. Un equipo viejo produce una gran cantidad de piezas defectuosas. Se calcula

que durante los siguientes 4 años se producirán 1200 piezas defectuosas por
año a partir del 5 año, estas aumentaran en 150 unidades anuales. La
empresa que tiene este equipo usa como referencia una tasa de interés del
12% anual y esta haciendo un estudio para un periodo de 8 años. Si cada
pieza defectuosa le cuesta $ 10. ¿Cuánto estará dispuesto a pagar ahora por
una maquina que evite totalmente este problema?

Solución:

1200*10 = 12000 = A

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)

 lOMoARcPSD|8785958

Respuesta: P = 66446.5 soles

5. Una industrial textil instaló varios telares nuevos. Se espera que el

mantenimiento y las reparaciones iniciales sean costosas; pero que después
disminuyan. Las proyecciones de costos son:

Solución:

Año Costo Mantenimiento

1 2400
2 1800
3 1200
4 600

Descargado por Josué Eduardo (htns_21p@hotmail.com)