PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE

Grado: Quinto UNIDAD 6

NÚMERO DE SESIÓN
Duración: 2 horas pedagógicas 2/14
I. TÍTULO DE LA SESIÓN
Identificando los tiempos de una nota musical

II. APRENDIZAJES ESPERADOS

COMPETENCIA CAPACIDADES INDICADORES
ACTÚA Y PIENSA  Examina propuestas relacionadas a la
MATEMÁTICAMENTE regla de formación de una sucesión
EN SITUACIONES DE convergente y divergente para hacer
Matematiza situaciones
REGULARIDAD, predicciones de comportamientos o
EQUIVALENCIA Y extrapolar datos.
CAMBIO

III. SECUENCIA DIDÁCTICA

Inicio: (20 minutos)
 El docente da la bienvenida a los estudiantes y realiza las siguientes preguntas:

 ¿Cómo podríamos confeccionar un instrumento de percusión y otro a cuerda de

forma casera?
 ¿De qué dependerá la afinación de dicho instrumento?
 ¿De qué dependerá que nuestro instrumento emita series armónicas? ¿Tiene que
ver con el tamaño de la cuerda y sus vibraciones?
 ¿Cuál fue el aporte de Pitágoras?
 ¿Qué relación existe entre sus frecuencias?
 ¿Existe algún tipo de sucesión numérica? ¿Podrías fundamentar tu respuesta?

 El docente hace referencia a las actividades en las cuales centrará su atención para el
logro de los a aprendizajes esperados.
 Se centrará la atención en:
-La identificación de una sucesión a partir del sonido de un instrumento musical.
-Demostrar que dicha sucesión corresponde a una sucesión divergente.
 El docente plantea las siguientes pautas de trabajo que serán consensuadas con los
estudiantes:
o Se organizan en grupos de trabajo para el desarrollo de las actividades.
o Se respetan los acuerdos y los tiempos estipulados para cada actividad garantizando un
trabajo efectivo en el proceso de aprendizaje.
o Se respetan las opiniones e intervenciones de los estudiantes.
o Se fomentan los espacios de diálogos y de reflexión.
Desarrollo: (60 minutos)
 En grupo, los estudiantes dan lectura a la ficha informativa (anexo 1) y subrayan las
ideas que les permitan responder las preguntas iniciales de la sesión. ¿Por qué es
importante afinar nuestros instrumentos? ¿Qué significa afinar? ¿De qué depende que
nuestro instrumento emita series armónicas? ¿Tiene que ver con el tamaño de la cuerda y
sus vibraciones?
 El docente registra y sistematiza las respuestas de los estudiantes sobre las interrogantes.
Luego el docente indica que utilizarán el material elaborado en la tarea de la primera
sesión.
 Los estudiantes realizan la experimentación, tocan sus instrumentos, analizando los
sonidos de cada una de las cuerdas (instrumento de cuerda) y de cada una de las botellas
(instrumento de percusión).
 Analizan la relación del tipo de sonido (grave o agudo) con el tamaño de la cuerda o la
altura del nivel del agua.
 Analizan y representan gráficamente la experiencia de Pitágoras.
 Analizan la sucesión numérica formada por dicha partición.
 Identifican la frecuencia de armónicos descubierta por Pitágoras.

1/2

1/3
1/4

 Con asesoría del docente, los estudiantes desarrollan la actividad 2 (ficha de trabajo -
anexo 2).
 El docente coloca en la pizarra los siguientes valores:

1 1 1 … 1 … 1 …
1 10 000
2 3 4 100
 Los
estudiantes responden a las siguientes preguntas:
 ¿Qué relación encuentras entre estos números?
 Si continuáramos haciendo particiones a la cuerda, por ejemplo: 1/100, ¿a qué
número se aproximaría dicho valor? Si hipotéticamente lo dividiéramos en diez mil
partes, ¿a qué número nos aproximaríamos?
 Los estudiantes realizan los siguientes procesos:
Hallan los cocientes en cada uno de los casos:

0,5 0,33 0,25 … 0.01 … 0.0001

1
 Los estudiantes analizan cada uno de los casos y determinan que cada vez que crece el
 denominador, en este caso el valor de “n”, el número se hace más pequeño y tiende a
cero.
 Identifican en esta expresión una sucesión convergente porque tiene a aproximarse al
cero.
Formalizando:
𝟏
a(n)= 𝒏+𝟏= 𝟏; 𝟎, 𝟓; 𝟎. 𝟑𝟑; 𝟎, 𝟐𝟓; . . 𝟎. 𝟎𝟏; … 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏; …
Es convergente porque tiene un límite finito que, en este caso, es cero.
A medida que aumenta el valor de n, la tendencia es acercarse a cero.

 El docente coloca en la pizarra el siguiente cuadro:

 Los estudiantes responden a las siguientes preguntas:

 ¿Qué relación hay entre la longitud de la cuerda vibrante que muestra el cuadro?
¿Es una sucesión convergente? Justifica tu respuesta.
 ¿Qué relación existe entre los valores de las frecuencias que muestra el cuadro? ¿Es
una sucesión convergente? Justifica tu respuesta.

Primer caso:
 Los estudiantes realizan los siguientes procesos:
-Escriben en tarjetas los valores de la longitud de la cuerda y con ayuda del docente
determinan la regla de formación:
1 2 3 4 5 … 𝑛
2 3 4 5 6 𝑛+1

-Los estudiantes, con el apoyo del docente, dan valores a “n” (valores grandes) y analizan
hacia dónde converge:
𝒏
Verifican el a(n) =
𝒏+𝟏
 -Consideran los valores para “n”: 1000 y 10 000 ( valores sugeridos)
𝟏𝟎𝟎𝟎
n= 1000 𝟏𝟎𝟎𝟏
= 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟗 …

𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
n= 10 000 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏
= 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟗𝟗 …
𝐚(𝐧) = 𝟎, 𝟓; 𝟎. 𝟔𝟔; 𝟎, 𝟕𝟓; 𝟎, 𝟖𝟑; . . 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟗; . . ; 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟗𝟗; …

-Analizan, con la ayuda del docente, los valores obtenidos y se percatan que la sucesión
tiende a 1, es decir converge en 1.

Segundo caso:
 Los estudiantes realizan los siguientes procesos:
-Escriben en tarjetas los valores de la frecuencia y, con ayuda del docente, determinan la
regla de formación:

2 3 4 5 6 … 𝑛+1
2 3 4 5 𝑛

𝒏+𝟏
-Verifican 𝒏
=
-Consideran los valores para “n”: 1000 y 10 000
𝟏𝟎𝟎𝟏
n= 1000 = 𝟏, 𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟏
n= 10 000 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎
= 𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟏
 Los estudiantes, con la ayuda del docente, analizan los valores obtenidos y se percatan que
la sucesión tiende a 1, es decir converge en 1.

 El docente explica que a este tipo de sucesiones que no tienen

límite finito se les denomina sucesiones divergentes.

Cierre: (10 minutos)

El docente plantea conclusiones con el apoyo de los estudiantes:

-Una sucesión convergente es aquella que tiende a aproximarse a

un término.
-Una sucesión divergente es aquella que tiende a aproximarse al
infinito.
-La cuerda vibra en medios, tercios, cuartos, etc., y cada vibración
produce armónicos. Estas longitudes de onda producen una
secuencia de armónicos.
  El docente plantea algunas preguntas metacognitivas:
¿Qué aprendimos el día de hoy? ¿Cómo lo aprendimos? ¿De qué manera lo realizado en
la clase nos ayuda en nuestra vida cotidiana?
 Los estudiantes responden a manera de lluvia de ideas.

Observación: Esta sesión es una adaptación de la estrategia: “Aprendizajes basado en

problemas de modelación matemática” – Rutas del Aprendizaje 2015, ciclo VII, página 74

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA

- El docente solicita a los estudiantes que planteen 5 sucesiones convergentes y 5
sucesiones divergentes.

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR

- MINEDU, Ministerio de Educación. Texto escolar. Matemática 5 (2012) Lima: Editorial Norma
S.A.C.
- Multimedia, calculadora científica.
- Fichas, pizarra, tizas, etc.
 Anexo 1

Actividad 1 - Ficha informativa

¿Qué es una serie armónica?

La serie armónica representa la relación de frecuencias entre el sonido fundamental y los

armónicos generados por el mismo. Así, el primer armónico (sonido 2), la 8ª, tiene el doble de
frecuencia que el sonido fundamental; el segundo (sonido 3) el triple, y así sucesivamente.

Los armónicos generados no coinciden exactamente con los sonidos que utilizamos en la
actualidad pues nuestro modo de afinar los instrumentos, el temperamento igual, es un
sistema "desafinado" desde el punto de vista de la naturaleza.
A partir de la serie armónica podemos obtener también los intervalos desde un sonido dado. Estos
intervalos no responden exactamente a nuestros intervalos temperados.

El sistema musical pitagórico

Los estudios de la escuela pitagórica en el terreno de la música fueron creados en base a los
sonidos producidos al tañer la única cuerda de un instrumento llamado monocordio. La longitud
de su cuerda era modificada de manera muy similar a como se pisa la cuerda de una guitarra
moderna. Al variar la longitud de la cuerda, ésta generaba distintas notas musicales. Cuanto más
corta era la cuerda, la nota resultante era más alta o aguda. De manera metódica, los pitagóricos
compararon por pares los sonidos producidos con distintas longitudes expresadas con números
pequeños: dividiendo la cuerda a la mitad, a la tercera parte, a dos tercios de la longitud original,
etc.

1/2

1/3

1/4

Los resultados fueron sorprendentes: los sonidos provocados por cuerdas de largos relacionados
con números pequeños generaban los sonidos más agradables, es decir, los más armónicos al
oído. Gracias a estas observaciones, los pitagóricos lograron establecer un modelo matemático de
un fenómeno físico pero teniendo la mirada puesta en lo estético; algo similar a lo ocurrido con la
proporción áurea y el concepto de belleza en el Renacimiento.
 Javier Arbonés, La armonía es numérica-2011

La relación entre las longitudes de dos cuerdas es

la inversa de la relación de las frecuencias de esas
cuerdas. Obsérvese el cuadro adjunto:
 Anexo 2
Actividad 2 - Ficha de Trabajo

Integrantes:
 __________________________________________________________________________
 __________________________________________________________________________
 __________________________________________________________________________
 __________________________________________________________________________
 __________________________________________________________________________

Considerando la información del anexo 1

responde según sea el caso:

1. Considerando la siguiente serie numérica responde a las preguntas:

1 1 1 … 1 … 1 …
1 10 000
2 3 4 100

a. ¿Qué relación encuentras entre estos números?

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
b. Si continuáramos haciendo particiones a la cuerda, por ejemplo 1/100, ¿A qué número se
aproximaría dicho valor? Si hipotéticamente lo dividiéramos en diez mil partes, ¿a qué
número nos aproximaríamos?
Halla el cociente en cada caso:
________________________________________________________________________

Formaliza:
__________________________________________________________________________
2. Considerando el siguiente cuadro responde a las siguientes preguntas:

a. ¿Qué relación hay entre la longitud de la cuerda vibrante que muestra el cuadro? ¿Es una
sucesión convergente? Justifica tu respuesta.

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
b. ¿Qué relación existe entre los valores de las frecuencias que muestra el cuadro? ¿Es una
sucesión convergente? Justifica tu respuesta.

__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________