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Ingenio y Conciencia Boletín Científico de la Escuela Superior Ciudad
Sahagún
Publicación semestral No. 13 (2020) 49-55

Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales a las Vibraciones no Amortiguadas con

Excitación Armónica
Application of Differential Equations to Non-Damped Vibrations with Harmonic Excitation
Iván Espinoza Luna a

Abstract:

The present job shows the method to determine the response of a mass-spring system subjected to a non-damped forced vibration, in
the first part the equation of movement that governs the system is determined by the application of Newton's laws of motion , then
the differential equation is solved using its characteristic equation; also, this job shows Laplace's method of transforming to solve
differential equations and a phenomenon that can occur in the study of non-damped vibrations with harmonic excitation called
resonance.

Keywords:
Vibration, equation, motion, resonance

Resumen:

En el presente trabajo se expone el procedimiento para determinar la respuesta de un sistema masa-resorte sometido a una vibración
forzada no amortiguada, en la primera parte se determina la ecuación de moviendo que gobierna dicho sistema mediante la aplicación
de las leyes de movimiento de Newton, posteriormente se soluciona la ecuación diferencial utilizando su ecuación característica;
también se muestra el método de trasformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y un fenómeno que se puede presentar
en el estudio de vibraciones forzadas con excitación armónica no amortiguadas llamado resonancia.
Palabras Clave:
Vibración, ecuación, movimiento, resonancia

Las vibraciones se pueden clasificar como libres y

Introducción
forzadas, y amortiguadas y no amortiguadas;
La importancia del uso de ecuaciones diferenciales radica específicamente en este trabajo se estudiará el tipo de
en la modelación de sistemas físicos, todos los sistemas vibración forzada no amortiguada. Se dice que un sistema
estables o transitorios pueden ser descritos parcialmente mecánico o estructural experimenta vibración forzada con
o en su totalidad mediante el uso de ecuaciones excitación armónica siempre que se suministra energía
diferenciales que predigan su comportamiento en el externa armónica durante la vibración un ejemplo de este
tiempo. En la actualidad existen diversos métodos de tipo de vibración se presenta en las estructuras de puentes
solucionar una ecuación diferencial relacionados al tipo de en las que la energía externa es suministrada mediante la
ecuación que se pretenda solucionar. fuerza del viento provocando oscilaciones. 1

Conocer una relación que exprese el movimiento de En el desarrollo de las ecuaciones de movimiento del
sistemas físicos es de gran ayuda en la ingeniería y una siguiente análisis se utilizará un sistema de referencia
de las áreas donde se tiene extensa aplicación es en el inercial cartesiano considerando que los desplazamientos
modelado de sistemas vibratorios. Una vibración se puede verticales hacia abajo y en consecuencia las funciones de
definir como cualquier movimiento que se repite después movimiento como velocidad y aceleración serán positivos.
de un intervalo de tiempo. 1

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

a Autor de Correspondencia, Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, Escuela Superior Ciudad Sahagún, Email:
ivan_espinoza@uaeh.edu.mx
 Publicación semestral No. 13 (2020) 49-55

Vibración con excitación armónica no

amortiguada 𝑊 = 𝑘𝑦0 (4)

El análisis comienza determinando la ecuación de Ahora se analiza el sistema en estado transitorio donde
movimiento que gobierna al sistema masa-resorte el sistema masa-resorte se encuentra en una vibración
mostrado en la figura 1. forzada no amortiguada sometido a una excitación
armónica 𝐹0 de magnitud 𝑓0 y frecuencia 𝜔𝑓 , es decir, 𝐹0 =
𝑓0 cos(𝜔𝑓 𝑡). La segunda ley de movimiento de Newton
para el diagrama de cuerpo libre de la figura 3 es:

∑ 𝐹 = 𝑚𝑦̈ (𝑡) (5)

Donde 𝑦̈ (𝑡) representa la aceleración de la masa 𝑚 en el

tiempo 𝑡.

Figura 1. Sistema masa-resorte

Primero se estudia el sistema en estado estable donde la

única fuerza que actúa sobre el sistema es su propio peso
𝑾, del diagrama de cuerpo libre de la figura 2 y utilizando Figura 3. Diagrama de cuerpo libre del sistema masa-
la primera ley de movimiento de Newton se obtienen las resorte con excitación armónica
siguientes relaciones:
Sustituyendo las fuerzas que actúan sobre la masa en la
∑ 𝐹𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 0 (1) Ec. (5):

𝑊 − 𝐹𝑠 = 0 (2) 𝑊 − 𝐹𝑠 + 𝐹0 = 𝑚𝑦̈ (𝑡) (6)

En este momento se debe considerar para la fuerza de

reacción del resorte 𝐹𝑠 la deformación inicial producida
por el peso de la masa 𝑦0 más un segundo alargamiento
𝑦(𝑡) para el estado transitorio (figura 1) en el tiempo
como:
𝐹𝑠 = 𝑘[𝑦(𝑡) + 𝑦0 ] (7)

Sustituyendo las Ecs. (4) y (7) en la Ec. (6)

Figura 2. Diagrama de cuerpo libre del sistema masa- 𝑘𝑦0 − 𝑘[𝑦(𝑡) + 𝑦0] + 𝐹0 = 𝑚𝑦̈ (𝑡) (8)
resorte
Donde 𝐹𝑠 es la fuerza de reacción ejercida por el resorte Simplificando la Ec.(8):
y proporcional a su constante de elasticidad 𝑘 como se
enuncia en la ley de Hooke: 𝑚𝑦̈ (𝑡) + 𝑘𝑦(𝑡) = 𝐹0 (9)

𝐹𝑠 = 𝑘𝑦0 (3) La Ec. (9) representa la ecuación de movimiento que rige

al sistema mostrado de la figura 1, reescrita de otra
Para el sistema de la figura 1, 𝑦0 representa la manera la Ec. (9) se convierte en:
deformación del resorte producida solamente por el peso
de la masa. Sustituyendo la Ec. (3) en la Ec. (2) se 𝑑 2 𝑦(𝑡)
obtiene: 𝑚 + 𝑘𝑦(𝑡) = 𝑓0 cos(𝜔𝑓 ) (10)
𝑑𝑡 2

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derivada es una constante múltiple de sí misma es la

Solución de la Ecuación Diferencial función exponencial 𝑒 𝑟𝑡 . Utilizando la relación de la Ec.
(15) en la Ec. (14), las dos soluciones son: 2
Es evidente que la Ec. (10) es una ecuación diferencial
ordinaria de segundo orden primer grado lineal en la 𝑦ℎ 1 (𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜔𝑛 𝑖𝑡 (17)
variable 𝑦(𝑡) homogénea y de coeficientes constantes,
por lo que la solución general 𝑦𝐺 (𝑡) es la suma de una 𝑦ℎ 2 (𝑡) = 𝐶2 𝑒 −𝜔𝑛 𝑖𝑡 (18)
solución asociada a la ecuación diferencial homogénea
𝑦ℎ (𝑡) cuando la excitación armónica 𝐹0 = 0 y una solución Donde 𝐶1 y 𝐶2 son constantes que se determinan a partir
particular 𝑦𝑝(𝑡) para la ecuación completa donde la de las condiciones iniciales del sistema. Se puede
excitación armónica 𝐹0 ≠ 0, es decir, la solución se comprobar por sustitución que las Ecs. (17) y (18) son
expresa como: funciones solución de la Ec. (12). Usando el principio de
superposición que establece que si dos funciones son
𝑦𝐺 (𝑡) = 𝑦ℎ (𝑡) + 𝑦𝑝 (𝑡) (11) solución de una ecuación diferencial entonces la suma de
esas funciones también será una solución de la ecuación
Solución de la Ecuación Diferencial Homogénea diferencial [3], es decir, si 𝑦ℎ 1 (𝑡) y 𝑦ℎ 2 (𝑡) son solución de
Asociada la Ec. (12) entonces la adición también satisface la
ecuación como:
Primero se determina 𝑦ℎ (𝑡) considerando 𝐹0 = 0
utilizando la siguiente ecuación: 𝑦ℎ (𝑡) = 𝑦ℎ 1 (𝑡) + 𝑦ℎ 2 (𝑡) (19)

𝑑 2 𝑦(𝑡) Combinando las Ecs. (17) y (18) en la Ec. (19) se obtiene

𝑚 + 𝑘𝑦(𝑡) = 0 (12)
𝑑𝑡 2 la familia de soluciones 𝑦(𝑡) diparamátrica de la Ec. (12)

La Ec. (12) representa la ecuación característica de un

𝑦ℎ (𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜔𝑛 𝑖𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝜔𝑛 𝑖𝑡 (20)
movimiento armónico simple para un sistema vibratorio
libre no amortiguado. Utilizando la ecuación característica
En la práctica resulta conveniente evitar el uso de
de la Ec. (12) se obtiene:
números complejos en la interpretación de sistemas
físicos en movimiento por lo que aún se puede seguir
𝑚𝑟 2 + 𝑘 = 0 (13)
trabajando la Ec. (20), utilizando la identidad de Euler

Resolviendo la Ec. (13) para 𝑟, que representa las raíces

𝑒 𝜃𝑖𝑡 = cos(𝜃𝑡) + 𝑖 sin(𝜃𝑡) (21)
de la ecuación auxiliar, se obtienen dos valores 𝑟1 y 𝑟2
complejos como:
Y la identidad expandida para un número complejo [4]:
𝑘 1/2
𝑟1,2 = ± ( ) 𝑖 (14)
𝑚 𝑒 𝛾+𝜃𝑖𝑡 = 𝑒 𝛾 𝑒 𝜃𝑖𝑡 = 𝑒 𝛾 [cos(𝜃𝑡) + 𝑖 sin(𝜃𝑡)] (22)

Definiendo la siguiente relación:

Para la cual 𝛾 y 𝜃𝑖 representan una parte real e imaginaria
respectivamente. De las Ecs. (21) y (22) se pueden
𝑘 1/2 establecer las siguientes relaciones:
𝜔𝑛 = ( ) (15)
𝑚
𝑒 −𝜃𝑖𝑡 = cos(−𝜃𝑡) + 𝑖 sin(−𝜃𝑡) (23)
Donde en el análisis de sistemas vibratorios 𝜔𝑛
representa la frecuencia natural de vibración de la masa
𝑒 −𝜃𝑖𝑡 = cos(𝜃𝑡) − 𝑖 sin(𝜃𝑡) (24)
en estado estable producida por la oscilación armónica
durante un periodo definido. Puesto que se han obtenido
𝑒 𝛾−𝜃𝑖𝑡 = 𝑒 𝛾 𝑒 −𝜃𝑖𝑡 = 𝑒 𝛾 [cos(𝜃𝑡) − 𝑖 sin(𝜃𝑡)] (25)
dos raíces complejas en consecuencia se derivan dos
soluciones de la Ec. (12), 𝑦ℎ 1 (𝑡) y 𝑦ℎ 2 (𝑡) de la siguiente
Debido a que los exponenciales de 𝑒 en la Ec. (20) no
forma:
incluyen términos contenidos en los reales (𝛾 = 0), las
𝑦ℎ 1,2 (𝑡) = 𝐶𝑒 𝑟1.2𝑡 (16)
Ecs. (22) y (25) se pueden reescribir sustituyendo 𝜃 =
𝜔𝑛 como:
La forma de la Ec. (16) revela la naturaleza de la solución
debido a que la única función elemental no trivial cuya 𝑒 𝜔𝑛𝑖𝑡 = cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝑖 sin(𝜔𝑛 𝑡) (26)

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−∞

−𝜔𝑛 𝑖𝑡 ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠) (33)

𝑒 = cos(𝜔𝑛 𝑡) − 𝑖 sin(𝜔𝑛 𝑡) (27) 0

Sustituyendo las Ecs. (26) y (27) en la Ec. (20) Utilizando la definición anterior para obtener la
transformada ℒ de la primera derivada 𝑦̇ (𝑡) de la función
𝑦ℎ (𝑡) = 𝐶1 [cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝑖 sin(𝜔𝑛 𝑡)] 𝑦(𝑡), se escribe:
+ 𝐶2 [cos(𝜔𝑛 𝑡) − 𝑖 sin(𝜔𝑛 𝑡)] (28)
−∞
𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡)
ℒ{ } = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 (34)
Factorizando las funciones cos(𝜔𝑛 𝑡) y sin(𝜔𝑛 𝑡): 𝑑𝑡 0 𝑑𝑡

𝑦ℎ (𝑡) = cos(𝜔𝑛 𝑡) (𝐶1 + 𝐶2 ) + sin(𝜔𝑛 𝑡) (𝑖𝐶1 − 𝑖𝐶2 ) (29) Resolviendo la integral de Ec. (34) por partes:

Estableciendo que la suma de dos constantes es una −∞

𝑑𝑦(𝑡)
nueva constante mediante: ℒ{ } = [𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)]−∞
0 + 𝑠 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 (35)
𝑑𝑡 0

𝐶1 + 𝐶2 = 𝐴 (30) El último término de la Ec. (35) es la definición descrita

para 𝐹(𝑠) en la Ec. (33), sustituyendo este término en la
𝑖𝐶1 − 𝑖𝐶2 = 𝐵 (31) Ec. (35):

Sustituyendo las Ecs. (30) y (31) en la Ec. (29) 𝑑𝑦(𝑡)

ℒ{ } = [𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)]−∞
0 + 𝑠𝐹(𝑠) (36)
𝑑𝑡
𝑦ℎ (𝑡) = 𝐴cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡) (32)
sabiendo que 𝑒 −∞ → 0, la Ec. (36) se simplifica como:
La Ec. (32) también es solución de la Ec. (12) sólo que
ahora se han remplazado los números imaginarios por 𝑑𝑦(𝑡)
funciones trigonométricas donde es más fácil observar el ℒ{ } = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑦(0) (37)
𝑑𝑡
comportamiento de la oscilación del sistema vibratorio
periódico en un gráfico como el de la figura 4. La Ec. (37) muestra la trasformada ℒ de la primera
derivada 𝑦̇ (𝑡) de la función 𝑦(𝑡).

Siguiendo el mismo procedimiento anterior se puede

calcular la transformada ℒ de la segunda derivada 𝑦̈ (𝑡) de
la función 𝑦(𝑡), la cual es:

𝑑 2 𝑦(𝑡) −∞
−𝑠𝑡
𝑑 2 𝑦(𝑡)
ℒ{ } = ∫ 𝑒 𝑑𝑡 (38)
𝑑𝑡 2 0 𝑑𝑡 2

Resolviendo la integral de la Ec. (38) por partes:

−∞
𝑑 2𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) −∞
𝑑𝑦(𝑡)
ℒ{ 2
} = [𝑒 −𝑠𝑡 ] + 𝑠 ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 (39)
𝑑𝑡 𝑑𝑡 0 0 𝑑𝑡

El último término de la Ec. (39) representa la

Figura 4. Gráfico de un movimiento armónico simple transformada ℒ de la primera derivada 𝑦̇ (𝑡) (Ec. (34)), es
decir,
Método de la Transformada de Laplace para un
−∞
Movimiento Armónico 𝑑 2𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡)
ℒ{ } = [𝑒 −𝑠𝑡 ] + 𝑠ℒ { } (40)
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 0 𝑑𝑡
La Ec. (32) también se puede obtener mediante el
método de la Transformada de Laplace. Sabiendo que la Sustituyendo el resultado de la Ec. (37) en la Ec. (40):
trasformada ℒ de la función 𝑦(𝑡) es otra función 𝐹(𝑠) [2],
por definición esto es:

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𝑑 2 𝑦(𝑡) Nuevamente aplicando el teorema de linealidad en la Ec.

ℒ{ } = 𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦̇ (0) (41)
𝑑𝑡 2 (49):

La Ec. (41) muestra la trasformada ℒ de la segunda 𝑚𝑠𝑦0 𝑚𝑦̇ 0

𝑦(𝑡) = ℒ −1 { 2 } + ℒ −1 { 2 } (51)
derivada 𝑦̈ (𝑡) de la función 𝑦(𝑡). 𝑚𝑠 + 𝑘 𝑚𝑠 + 𝑘

Para obtener la respuesta de un sistema en movimiento La Ec. (51) puede reescribirse como:
armónico se debe transformar la Ec. (12) como:
𝑠 1
𝑑 2𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑦0ℒ −1 { } + 𝑦̇ 0 ℒ −1 { } (52)
𝑘 𝑘
ℒ {𝑚 + 𝑘𝑦(𝑡) = 0 } (42) 𝑠2 + 𝑚 𝑠2 + 𝑚
𝑑𝑡 2
Resolviendo las transformadas inversas en la Ec. (52) se
Utilizando el teorema de linealidad, la Ec. (42) se puede obtiene:
reescribir como:
𝑘 2 1 𝑘 2
𝑑 2𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝑦0 𝑐𝑜𝑠 [( ) 𝑡] + 𝑦̇ 0 2 𝑠𝑖𝑛 [( ) 𝑡] (53)
𝑚ℒ { } + 𝑘ℒ{𝑦(𝑡)} = ℒ{0} (43) 𝑚 𝑘 𝑚
𝑑𝑡 2 ( )
𝑚

Utilizando las Ecs. (33) y (41), para determinar la Recordando la definición de la frecuencia natural 𝜔𝑛 de la
transformada de la función 𝑦(𝑡) y su segunda derivada Ec. (15) y sustituyendo esta relación en la Ec. (53):
𝑦̈ (𝑡) respectivamente, en la Ec. (43) se obtiene:
𝑦̇ 0
𝑦(𝑡) = 𝑦0 cos(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡) (54)
2
𝑚[𝑠 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦̇ (0)] + 𝑘𝐹(𝑠) = 0 (44) 𝜔𝑛

Considerando las condiciones iniciales para un tiempo Donde se han obtenido valores directos para las
inicial 𝑡 = 0 constantes 𝐴 y 𝐵 de la Ec. (32) en función de las
𝑦(𝑡)𝑡=0 = 𝑦(0) = 𝑦0 (45) condiciones iniciales del sistema. Es importante
mencionar que la Ec. (32) y la Ec. (54) sólo se pueden
𝑦̇ (𝑡)𝑡=0 = 𝑦̇ (0) = 𝑦̇ 0 (46) utilizar para sistemas que experimenten una vibración
libre no amortiguada; para sistemas en vibración libre
Donde 𝑦0 y 𝑦̇ 0 son el desplazamiento y velocidad inicial armónicamente excitada éstas constantes tendrán
de la masa respectivamente. Sustituyendo las valores diferentes púes se debe considerar el efecto de la
condiciones iniciales en la Ec. (44) se obtiene: vibración forzada como se desarrollará más adelante en
este trabajo.
𝑚[𝑠 2 𝐹(𝑠) − 𝑠𝑦0 − 𝑦̇ 0 ] + 𝑘𝐹(𝑠) = 0 (47)
Solución Particular de la Ecuación no Homogénea
Resolviendo para 𝐹(𝑠):
Ahora se determinará la solución particular 𝑦𝑝 (𝑡) cuando
𝑚𝑠𝑦0 𝑚𝑦̇ 0 la excitación armónica 𝐹0 ≠ 0, mediante el método de
𝐹(𝑠) = + (48) coeficientes indeterminados, sabiendo que 𝐹0 =
𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑚𝑠 2 + 𝑘
𝑓0 cos(𝜔𝑓 𝑡) la solución tendrá la forma:
Aplicando la transformada inversa de Laplace en la Ec.
(48): 𝑦𝑝 (𝑡) = 𝑎 sin(𝜔𝑓 𝑡) + 𝑏 cos(𝜔𝑓 𝑡) (55)

𝑚𝑠𝑦0 𝑚𝑦̇ 0 Donde 𝑎 y 𝑏 son constantes que se deben determinar en

ℒ −1 {𝐹(𝑠)} = ℒ −1 { + } (49)
𝑚𝑠 2 + 𝑘 𝑚𝑠 2 + 𝑘 la solución, primero se obtiene la primera y segunda
derivada de 𝑦𝑝 (𝑡) como:
Sabiendo que la transformada inversa de Laplace de la
función 𝐹(𝑠) es la función 𝑦(𝑡) [2], es decir,
𝑦̇𝑝(𝑡) = 𝑎𝜔𝑓 cos(𝜔𝑓 𝑡) − 𝑏𝜔𝑓 sin(𝜔𝑓 𝑡) (56)

𝑦(𝑡) = ℒ −1 {𝐹(𝑠)} (50)

𝑦̈𝑝 (𝑡) = −𝑎𝜔𝑓2 sin(𝜔𝑓 𝑡) − 𝑏𝜔𝑓2 cos(𝜔𝑓 𝑡) (57)

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Por sustitución de las Ecs. (56) y (57) en la Ec. (10) se Si se deriva la Ec. (66) respecto del tiempo se obtiene la
obtiene: velocidad de la masa como:

𝑚[−𝑎𝜔𝑓2 sin 𝜔𝑓 𝑡 − 𝑏𝜔𝑓2 cos 𝜔𝑓 𝑡] + 𝑘[𝑎 sin 𝜔𝑓 𝑡 + 𝑏 cos 𝜔𝑓 𝑡] 𝑦̇ 𝐺 (𝑡) = −𝐴𝜔𝑛 sin(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵𝜔𝑛 cos(𝜔𝑛 𝑡)
= 𝑓0 cos 𝜔𝑓 𝑡 (58) 𝑓0
− 𝜔𝑓 sin(𝜔𝑓 𝑡) (67)
𝑚(𝜔𝑛 − 𝜔𝑓2 )
2

En la Ec. (58) se pueden factorizar las funciones seno y

coseno ya que son términos semejantes para encontrar Las Ecs. (66) y (67) muestran la respuesta de un sistema
las constantes 𝑏 y 𝑎 mediante la igualación de en vibración no amortiguada con excitación armónica.
coeficientes. Factorizando en la Ec. (58):
Para determinar las constantes 𝐴 y 𝐵 de la Ec. (66) se
𝑏 cos(𝜔𝑓 𝑡) (−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘) + 𝑎 sin(𝜔𝑓 𝑡) (−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘) deben sustituir las condiciones iniciales del sistema en las
= 𝑓0 cos(𝜔𝑓 𝑡) (59) Ecs. (66) y (67). Recordando que para un tiempo 𝑡 = 0;
𝑦𝐺 (𝑡) = 𝑦0 y 𝑦̇ 𝐺 (𝑡) = 𝑦̇ 0 donde 𝑦0 y 𝑦̇ 0 son el
Para que se cumpla la Ec. (59) las siguientes relaciones desplazamiento y velocidad inicial de la masa
respectivamente, se tiene:
deben ser verdaderas:
𝑓0
𝑏 cos(𝜔𝑓 𝑡) (−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘) = 𝑓0 cos(𝜔𝑓 𝑡) (60) 𝑦0 = 𝐴 + (68)
𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 )

𝑎 sin(𝜔𝑓 𝑡) (−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘) = 0 (61)

𝑦̇ 0 = 𝐵𝜔𝑛 (69)

De las Ecs. (60) y (61) se obtiene el valor de 𝑏 y 𝑎 como:

Resolviendo para las constantes 𝐴 y 𝐵:
𝑓0
𝑏= (62) 𝑓0
−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘 𝐴 = 𝑦0 − (70)
𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 )
𝑎 = 0 (63)
𝑦̇ 0
𝐵= (71)
Sustituyendo los valores de las Ecs. (62) y (63) en la Ec. 𝜔𝑛
(55) se obtiene la solución particular 𝑦𝑝 (𝑡) descrita como:
Sustituyendo los valores de las Ecs. (70) y (71) en la Ec.
𝑓0 (66)
𝑦𝑝 (𝑡) = cos(𝜔𝑓 𝑡) (64)
−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘
𝑓0 𝑦̇ 0
𝑦𝐺 (𝑡) = [𝑦0 − ] cos(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡)
𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 ) 𝜔𝑛
Retomando que la solución general de la Ec. (10) es la
suma de la solución asociada a la ecuación diferencial 𝑓0
+ cos(𝜔𝑓 𝑡) (72)
homogénea 𝑦ℎ (𝑡) y la solución particular 𝑦𝑝 (𝑡), la solución 𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 )
general se obtiene sustituyendo las Ecs. (32) y (64) en la
Ec. (11) Factorizando términos semejantes en la Ec. (72)

𝑦𝐺 (𝑡) = 𝐴cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡) 𝑦̇ 0

𝑦𝐺 (𝑡) = 𝑦0 cos(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡)
𝑓0 𝜔𝑛
+ cos(𝜔𝑓 𝑡) (65)
−𝑚𝜔𝑓2 + 𝑘 𝑓0 [cos(𝜔𝑓 𝑡) − cos(𝜔𝑛 𝑡)]
+ (73)
𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 )
Utilizando la relación de la Ec. (15) de la frecuencia
natural 𝜔𝑛 en el segundo término del lado derecho de la La Ec. (73) muestra la respuesta del sistema en vibración
Ec. (65), se puede reescribir la ecuación como: forzada no amortiguada de la figura 1 en cualquier tiempo
𝑡. Por lo tanto, el movimiento completo se expresa como
𝑦𝐺 (𝑡) = 𝐴cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡) la suma de curvas seno y coseno de diferentes
𝑓0 frecuencias como se muestra en la figura 5. 1
+ cos(𝜔𝑓 𝑡) (66)
𝑚(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 )

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de la figura 6, donde se puede observar el crecimiento de

la amplitud de movimiento en el tiempo para este
fenómeno.

Figura 5. Gráfico de una vibración forzada sin

amortiguamiento

Figura 6. Gráfico de una vibración forzada sin

Respuesta en resonancia amortiguamiento en resonancia
Existe un fenómeno llamado resonancia que se produce
cuando la frecuencia natural 𝜔𝑛 se iguala a la frecuencia
Conclusión
de la fuerza de excitación armónica 𝜔𝑓 . Éste fenómeno
ocasiona que la amplitud de movimiento crezca en el
tiempo como se muestra en la figura 3 provocando En este trabajo se analizó un sistema masa-resorte en
grandes daños como deflexiones a los sistemas que vibración no amortiguada forzada mediante las leyes de
experimentan este tipo de vibración, principalmente en movimiento de Newton y se obtuvo la relación matemática
sistemas mecánicos, máquinas y estructuras. Para que describe su comportamiento. Se puede concluir que
conocer la respuesta del sistema en resonancia (𝜔𝑛 → el uso de ecuaciones diferenciales que modelen sistemas
𝜔𝑓 ) se debe evaluar el límite del segundo término del lado físicos, como sistemas vibratorios, es de gran ayuda en la
derecho de la Ec. (73) mediante la regla de L’Hospital ingeniería debido a que predecir su comportamiento en el
como sigue: 1 tiempo es de suma importancia para garantizar diseños de
estructuras y sistemas mecánicos funcionales, seguros y
𝑑[cos(𝜔𝑓 𝑡) − cos(𝜔𝑛 𝑡)] confiables.
𝑑𝜔𝑓 −𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑓 𝑡)
lim = lim
𝜔𝑓→𝜔𝑛 𝑑(𝜔𝑛2 − 𝜔𝑓2 ) 𝜔𝑓 →𝜔𝑛 −2𝜔𝑓
𝑑𝜔𝑓
𝑡𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡) Referencias
= (74)
2𝜔𝑛 [1] Rao y S. S, Vibraciones Mecánicas, Quinta ed., México: Pearson
Education, 2012.
Sustituyendo el último término de la Ec. (74) en la Ec. [2] D. G. Zill y M. R. Cullen, ECUACIONES DIFERENCIALES con
problemas con valores en la frontera, 7 ed., México: Cengage
(73): Learning, 2009.
[3] C. H. Edwards y D. E. Penney, Ecuaciones diferenciales Y problemas
𝑦̇ 0 𝑡𝑓0 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡 ) con valor en la frontera, 4 ed., México: Pearson Educación, 2009.
𝑦𝐺 (𝑡) = 𝑦0 cos(𝜔𝑛 𝑡) + sin(𝜔𝑛 𝑡) + (75) [4] W. E. Boyce y R. C. DiDrima, Elementary Differential Equations and
𝜔𝑛 2𝑚𝜔𝑛
Boundary Value Problems, 10 ed., United States of America: Wiley,
2012.
Factorizando términos semejantes en la Ec. (75): [5] W. J. Bottega, Vibrations Engineering, New York: Tylor and Francis,
2006.
1 𝑡𝑓0
𝑦𝐺 (𝑡) = 𝑦0 cos(𝜔𝑛 𝑡) + (𝑦̇ + ) 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 𝑡) (76)
𝜔𝑛 0 2𝑚

La Ec. (76) muestra la respuesta de un sistema en

resonancia cuando 𝜔𝑓 → 𝜔𝑛 , cuyo comportamiento es el

55