Ejercicos Resueltos Posison y Binomial

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Función de Probabilidad Binomial:

Si se tienen “n” ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito “p” y de fracaso q=1- p,
entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de
probabilidad binomial y su función de probabilidad es: P(X=x) =f(x) =

(nx ) px q (n-x).
Los valores de x: 0,1,2,..., n.
Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”. Notación: X es b(n, p). La
expresión f(x), es la probabilidad de x éxitos en n ensayos; p: probabilidad de un éxito
n!
en cualquiera de los ensayos. Además
(nx )= x!(n−x )!
Ejemplo 2. Considere las decisiones de compra de los próximos tres clientes que llegan
a una tienda de ropa. De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que
la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30 ¿Cuál es la probabilidad de
que dos de los próximos tres clientes realicen una compra?
Solución:
X: número de clientes que realizan una compra
X es b (3; 0.3); luego usando la tabla de la distribución binomial de términos
individuales, se tiene: P(X= 2) = 0.189
Además:
X 0 1 2 3
P(X=x) 0.343 0.441 0.189 0.027
Ejemplo 3. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si

n=10 y p=0.2 es:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prob 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000

n=10 y p=0.5 es:
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prob 0.001 0.010 0.044 0.117 0.205 0.246 0.205 0.117 0.044 0.010 0.001

n=10 y p=0.8 es:
Nota.
Si X es b(n, p) y el valor de p no se encuentra en la tabla: Para hallar P(X=k),
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Prob 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.026 0.088 0.201 0.302 0.268 0.107
Valor Esperado y Varianza Matemática en la Distribución Binomial
E(x) = = np Var(x) = 2 = n p q Desviación Estándar: σ =√ npq
Ejemplo 6. Un gerente estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra
es 0.30. Si se pronostica que el mes próximo 1000 clientes visitará la tienda. ¿Cuál es el
número esperado de clientes que harán una compra? ¿Cuál es la varianza y la desviación
estándar?
Solución: E(x)= np = (1000)(0.3)=300 clientes; 2= npq=1000(0.3) (0.7)=210; =
14.49
Función de Distribución de la Variable aleatoria Binomial.

Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad de
que la variable X tome valores menores o iguales que xi; es decir, Fx(xi) = P (X<xi)
Notación X es B(n, p)
Ejemplo 7. Es frecuente que los empleados lleguen tarde a trabajar a una farmacia y
hay cinco empleados en ella. El propietario ha estudiado la situación durante cierto
periodo y determinó que hay una probabilidad de 0.4 de que cualquier empleado llegue
tarde y que las llegadas de los mismos son independientes entre sí. Hallar la
probabilidad de que lleguen tarde al trabajo:
i) Exactamente 3 empleados, ii) tres o más empleados, iii) menos de 3 empleados.
Solución.
i) X es b(5,0.4). Usando la tabla de la distribución binomial para términos individuales,
se tiene: P(X=3)= 0.230.
ii) X es B (5,0.4). Usando la tabla de la distribución binomial para términos
acumulativos: P (X>3)=0.317
iii)Con la tabla de términos acumulativos: P(X<3)=P(X<2)=1 -P(X>3)=1 -0.317=0.683;
Ejemplo 8. Resuelva el ejemplo 7, si la probabilidad que cualquier empleado llegue

tarde es 0.6
Nota.
Si X es B(n, p) y el valor de p no se encuentra en la tabla: Para hallar P (X > k),
considerar X es B(n, 1 -p) y luego usar P (X> k) = P (X< n- k).
Solución:
i) Para hallar P(X=3) con X es b p,0.6), usar la tabla con X es b (5, 1-0.6)= b (5, 0.4)
luego P(X=3) = P(X=5-3)=P (X=2) = 0.346 (el valor se obtiene de la tabla con
p=0.4)
ii) Para P(X>3) con X es B (5, 0.6), usar la tabla con X es B (5, 1-0.6)= B (5, 0.4) luego
p (X>3) = P (X<2)= 1 -P (X >3)= 1- 0.317= 0.683; donde
P (X>3)=0.317 (se obtiene de la tabla con p=0.4)
iii)P(X<3)=P (X<2) = P (X>3)=0.317 (el valor se obtiene de la tabla con p=0.4).
Ejemplo 9. En la entrada de cierto establecimiento hay una caja con cupones, de los
cuales el 25% dan derecho a una cerveza y el 75% dan derecho a una limonada. Llegan
4 clientes y cada uno extrae un cupón. Sea X: número de cupones de cerveza entre los
cuatro extraídos. Hallar la distribución de probabilidad de X. Hallar la probabilidad de
que haya por le menos dos cupones de cerveza entre los cuatro extraídos.
Solución
Usar la tabla de la distribución binomial. Los valores de n y p son 4 y 0.25
respectivamente.
X 0 1 2 3 4
Prob (X=x) 0.316 0.422 0.211 0.047 0.004
P(X > 2) = 0.211+0.047+0.004 =0.262
Distribución de Poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la
probabilidad de un número k de eventos que ocurre en un tiempo (longitud, volumen,
etc.) fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del
tiempo (longitud, volumen, etc.) desde el último evento. La variable aleatoria se define
como el número de ocurrencias discretas que tienen lugar durante un intervalo de
tiempo de duración determinada (longitud, volumen, etc.).
Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es , entonces la probabilidad de
Que haya exactamente k ocurrencias (k = 0, 1, 2,…) es igual a:
−λ k
e λ
F (k; ) = k! que es la función de probabilidad. Además:  es un número real
positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por
ejemplo, si los eventos ocurren con  =1 cada 4 minutos, y se está interesado en el
número de eventos que ocurren en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo
una distribución de Poisson con  = 2.5
Propiedades de un experimento de Poisson:

1. La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera dos intervalos de la
misma magnitud
2. La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la
ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
Su media y su varianza son: =  y 2 = 
Nota. La distribución de Poisson puede ser vista como un caso límite de la distribución
binomial, es decir, que una distribución binomial en la que n y p0 se puede
aproximar por una distribución de Poisson de valor  = np. La distribución de Poisson
es una buena aproximación de la distribución binomial cuando n > 20 y p < 0.05.
Algunas situaciones en la que se usan la distribución de poisson:

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente
distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero automático de
un banco.
El número de averías importantes en un determinado tramo de tres millas de autopista.
Función de distribución de una variable aleatoria con distribución de Poisson:
−λ k
∑k=0 e k !λ
x
Fx(x) = P (X < x) = .
Nota: La letra e es la base del logaritmo natural (e = 2.71828…)

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Función de Probabilidad Binomial:

probabilidad binomial y su función de probabilidad es: P(X=x) =f(x) =

Ejemplo 3. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si

Ejemplo 4. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si

Ejemplo 5. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si

Valor Esperado y Varianza Matemática en la Distribución Binomial

E(x) = = np Var(x) = 2 = n p q Desviación Estándar: σ =√ npq

Función de Distribución de la Variable aleatoria Binomial.

Ejemplo 8. Resuelva el ejemplo 7, si la probabilidad que cualquier empleado llegue

Propiedades de un experimento de Poisson:

Algunas situaciones en la que se usan la distribución de poisson:

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