Practica Dualidad y Sensibilidad Docente: M.Sc.

Noé Panozo Jiménez

1.- Resolver por el método dual simplex:

Minimizar = 6X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a 108X1 + 92X2 + 58X3 ≥ 576

7X1 + 18X2 + 22X3 ≥ 83

X1, X2, X3 ≥ 0

2.- Utilizando de manera adecuada el método dual simplex (paso a paso) resolver:

Min z = 3X1 + 2X2

Sujeto a

3X1 + 2X2 ≥ 3

4X1 + 3X2 ≥ 6

2X1 + 2X2 ≤ 6

X1, X2 ≥ 0

3.- Aplicando el método dual simplex obtener la solución óptima del máximo y el
mínimo del siguiente modelo matemático:
z  4 x1  3x2
s.a . 3 x1  5 x2  20
3 x1  x2  16
2 x1  x2  1
x1  0, x2  0

4.- Utilizando de manera adecuada el método dual simplex (paso a paso) resolver:

Min z = 10X1 + 12X2

Sujeto a

3X1 + X2 ≥ 2

X1 + 2X2 ≥ 1/2

X1 + 2X2 ≥ 3

X1, X2 ≥ 0

5.- Una fábrica de muebles es especialista en la producción de 2 tipos de

comedores A y B si estos para su fabricación tienen que pasar por 2 departamentos
que son de construcción y el otro pintado los requerimientos y capacidades de
producción son las siguientes.

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 Capacidad
A B
Mínima diaria
Depto. Construcción 6 12 120
Depto. Pintado 8 4 64
Utilidad en euros 200 240
a) Formular el modelo de programación lineal Y SOLUCIONE
b) ¿Cuál es el mejor precio sombra y por qué? justifique
c) ¿Cuál utilidad genera mayor ganancia? justifique.

6.- Se quiere resolver el siguiente problema de PL referido a una compañía que

produce dos tipos de lanchas acuáticas:
Maximizar beneficios = 30 X1 + 80 X2
Sujeto a:
2 X1 + 4 X2 <= 1.000 (horas de mano de obra disponibles)
6 X1 + 2 X2 <= 1.200 (kg. de materia prima disponibles)
X2 <= 200 (motores de lancha tipo 2 disponibles)
X1, X2 >= 0
Z X1 X2 S3 S4 S5 SBI
Z 1 0 0 -15 0 -20 19000
X1 0 1 0 ½ 0 -2 100
S4 0 0 0 -3 1 10 200
X2 0 0 1 0 0 1 200
a) ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Qué tipo de lancha genera
mayor utilidad?
b) ¿Cuánto valen los precios sombra? Una vez alcanzada la solución óptima,
¿qué recurso tiene un valor marginal más elevado? (mayor precio
sombra), esto como ayuda a tener mayor ganancia.
c) Para cada recurso, ¿cuál es el rango de tolerancia en el que son válidos
los precios sombra?
d) ¿Sera que la utilidad del primer tipo de lancha se puede cambiar de 30 a
35?. Justifique su respuesta de manera detallada.
e) ¿Sera que la utilidad del segundo tipo de lancha se puede cambiar de 80
a 75?. Justifique su respuesta de manera detallada.
f) Plantear y resolver el problema dual

7.- Una fabrica produce tres productos, tres recursos (servicios técnicos, mano de
obra y administración), y son requeridos para producir estos productos. La
siguiente tabla muestra los requerimientos de cada uno de los recursos para los
tres productos:
Servicio Ganancia por
Producto Mano de obra Administración
técnicos unidad
1 1 10 2 10
2 1 4 2 6
3 1 5 6 4
Horas disponibles 100 600 300

Para determinar la mezcla óptima de productos que maximice la mezcla la ganancia

total, el siguiente problema de programación lineal fue resuelto.

Max Z= 10 X1 + 6 X2 + 4 X3
Sujeto a:
X1 + X2 + X3 <= 100
10X1 + 4X2 + 5X3 <= 600
X1 + X2 + 3X3 <= 150
x1, x2, x3 >= 0

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Donde x1, x2 y x3, es la cantidad de productos 1, 2 y 3 respectivamente producida.
La solución óptima está dada por la siguiente tabla:
XB CB b X1 X2 X3 S4 S5 S6
X2 6 400/6 0 1 5/6 10/6 -1/6 0
X1 10 200/6 1 0 1/6 -4/6 1/6 0
S6 0 100 0 0 4 -2 0 1
Z=4400/6 Zj-Cj 0 0 16/6 20/6 4/6 0

Utilice dualidad y análisis de sensibilidad para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la mejor combinación productiva? ¿Qué producto genera mayor
utilidad?.
b) ¿Cuál será la ganancia del producto 3 para que sea rentable producirlo?
Encuentre la mezcla de productos que arroje la mayor ganancia, si la
ganancia del producto 3 se incrementa a $25/3?
c) ¿Cuál es el rango de las ganancias del producto 1 tal que la presente
Solución sea optima?
d) Se cree que las estimaciones de las horas disponibles en Mano de obra
pueden estar incorrecta. La estimación correcta es de 600+5L, donde L es
un parámetro desconocido. Encuentre el rango de valores L dentro del cual
la mezcla de productos es aun óptima.
e) El departamento de manufactura decide producir un nuevo producto que
Requiere 1 hora de servicios técnicos, 4 horas de mano de obra y 3 horas de
administración. El departamento de mercadotecnia y ventas predice que el
producto puede ser vendido con una ganancia por unidad de $8; será
correcta la decisión tomada por este departamento?

8.- Dado el programa lineal:

Max z = C1X1 + C2X2
sujeto a
a11X1 + a12X2 ≤ b1
a21X1 + a22X2 ≤ b2
X1 + X2 ≤ b3

X1 , X2 ≥ 0

a) Sabiendo que la solución optima

-1/2 0 2

B-1 = ½ 0 -1

-3/2 1 2

Determinar los valores de los coeficientes a11, a12, a21, a22, sabiendo que a11
= a21. ¿Cuáles son las variables básicas en la tabla óptima?

b) La solución óptima es X*=(2; 2; 0)t con Z* = 16, ¿Cuál es el valor de las

constantes o términos independientes b1, b2, b3? (disponibilidades)
c) Sabiendo que el valor óptimo de la primera variable dual es Y*1 = 1, ¿Cuáles
son los valores de los coeficientes C1 y C2 de la función objetivo?
d) Reconstruir la tabla optima del simplex primal
e) Escribir dual y dar su solución óptima a partir de la tabla anterior.
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 f) ¿Cómo se modifica el valor de la función objetivo cuando el primer recurso
se incrementa en una unidad?
g) ¿Calcular el rango de variación de las disponibilidades?

9.- Un taller mecánico puede fabricar dos tipos de productos P1 y P2.El beneficio
unitario obtenido con cada producto es de 20 y 60, respectivamente. Para fabricar
estos dos productos, dispone de dos recursos, horas hombre (HH) y hora máquina
(HM). En lo que respecta a las HH, dispone de 2700, y fabricar una unidad de P 1
consume 30 HH, y una de P2 20 HH. Dispone de 850 HM, y sabemos que fabricar
una unida P1 consume 5 HM, y una de P2 10 HM. Además, las condiciones
contractuales le obligan a fabricar un mínimo de 95 unidades, sea de P 1 o de P2.
Para maximizar el beneficio, el jefe del taller mecánico ha elaborado el siguiente
modelo:

Max Z = 20P1 + 60P2

HH 30P1 + 20P2 < 2700
HM 5P1 + 10P2 < 850
PM P1 + P2 > 95
P1, P2 >= 0
Optimo obtenido en el paso 2 Valor de la función objetivo: 4900
Rangos coeficientes de costo
Variable Valor Costo reducido Coef. Actual Incremento permitido Decremento permitido
P1 20 0.0 20 10.00 Infinito
P2 75 0.0 60 Infinito 20.00

Rangos coeficientes de dispo.

Fila Holgura o Exceso Variables duales Term. actual Incremento perm. Decremento perm.
HH 600.00 0.00 2700 Infinito 600.00
HM 000.00 8.00 850 100.00 300.00
PM 000.00 -20.00 95 15.00 10.00

Aunque sea traducido los resultados del modelo, el encargado no entiende nada, y
le ha pedido a usted ingeniero que analice los resultados. En la práctica, desea que
les responda a las siguientes preguntas:
a) Escriba el modelo original en forma estándar, con las variables de holgura
y/o súper habit de las restricciones. ¿Qué variables forman la base en el
óptimo?. ¿Qué producto aporta más ganancia a la utilidad total?
b) Escriba el dual del modelo original, indicando el sentido de las variables
duales en cada caso. Interprete de forma detallada los precios sombra.
c) ¿Qué beneficio adicional se obtiene al contratar una hora más de horas
hombre? Justifique su respuesta a partir de los resultados indicados.
d) Si el beneficio obtenido con P2 pasa de 60 a 40, ¿el óptimo cambia? ¿Y el
valor de la función objetivo?
e) El cliente está dispuesto a negociar la cantidad mínima a suministrar de
producto. ¿vale la pena?. Si es así, ¿propondría aumentar o disminuir la
cantidad mínima? ¿Qué precio estaría dispuesto a pagar por aumentar (o
disminuir) esta cantidad mínima? ¿Hasta qué valor estaría dispuesto a
aumentar (o disminuir) esta cantidad?
f) ¿Es posible incrementar las horas máquinas de 850 a 1000, ¿el óptimo
cambia? ¿Y el valor de la función objetivo?

10.- Producir X de un producto químico A que se vende a 5 $us/litro y otro volumen

Y de un producto químico B que se vende a 3 $us/litro. Para este proceso se
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requiere personal y costo de producción (horas de trabajo), se tiene un máximo de
15 personas, mientras que en la 2º se tiene un máximo de $us 10 /horas de
trabajo, se da la siguiente información:
Producto químico A Producto químico B
Personal 3 5
Costo de producto 5 2
a) Identificar las variables y plantear el modelo
b) Obtener la solución óptima por cualquier método
c) Se supone que por una depresión económica el número de empleados
debe reducirse a 5 y el costo máximo de producción a $us 5/horas. ¿Cuál
sería ahora el óptimo?
d) ¿Calcular los rangos de variación para las 2 disponibilidades?. Interprete
de forma detallada.
e) ¿Calcular los rangos de variación para los 2 coeficientes de la F.O.?.
Interprete de forma detallada.

11.- Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de
tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo del día.
Considerando la información, se planteó el modelo de programación lineal: X1:
número de productos tipo A. X2: número de productos tipo B. X3: número de
productos tipo C. Responda las siguientes preguntas.
MaxZ  20 x1  35 x2  45 x3
s.a 2x1  6 x2  2 x3  480( formación)
3x1  6 x2  2 x3  480(inspección)
2x1  2 x2  4 x3  480(acabado)
x1 , x2 , x3  0
a) Determine los rangos de variación de las variables básicas en donde la
base actual permanece.
b) ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actual permanece?
c) ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratar tiempo extra
y por qué?
d) ¿Qué pasaría si se programaran 20 minutos extras en el departamento de
inspección, cambiaría la función objetivo?
e) ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 50
minutos en el departamento de formado?
f) ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran 30 minutos
de mantenimiento en el departamento de acabado?
g) Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un 25%,
¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
h) Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de $5/minuto,
¿recomendaría usted tiempo extra?, ¿si lo recomienda, en qué departamento
y cuánto tiempo extra puede programarse sin cambiar la mezcla actual?

12.- “EL NIÑO FELIZ” fabrica dos productos en dos máquinas. Una unidad del
producto 1 requiere 2 horas en la máquina 1, y 1 hora en la máquina 2. Una unidad
del producto 2 requiere 1 hora en la máquina 1, y 3 horas en la máquina 2. Los
ingresos por unidad de los productos 1 y 2 son de $30 y $20, respectivamente. El
tiempo de procesamiento diario total disponible en cada máquina es de 8 horas. Si
x1 y x2 son las cantidades diarias de unidades de los productos 1 y 2,
respectivamente, el modelo de PL se da como sigue:

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 Max Z = 30 x1 + 20 x2 (z = 128)
Sujeto a:
2x1+x2 ≤ 8 (maquinaria 1)
x1+2x2 ≤ 8( maquinaria 2)
x1;x2 ≥ 0
Realice un análisis de sensibilidad completo con interpretación (precio sombra, cambio en b y
c).

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