UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE ADMINSTRACIÓN DE EMPRESAS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

Ing. Edwin Roberto Gómez Bastidas

Katherine Elizabeth Alvarado Pazos

AE 8-1

Junio 2021 - Septiembre 2021

 Planteamiento y resolución de Modelos de PL con n variables
EJERCICIO 7-41

Outdoor Inn, un fabricante de equipo para campamento en el sur de Utah, está desarrollando
un programa de producción para un tipo popular de tienda de campaña, la Doble Inn. Se han
recibido 180 pedidos que se entregarán a finales de este mes, 220 se entregarán a finales del
próximo mes, y 240 que se entregarán al final del tercer mes. Esta tienda de campaña se puede
fabricar a un costo de $120, y el número máximo de tiendas de campaña que se pueden fabricar
en un mes es de 230. La compañía puede fabricar algunas tiendas de campaña extra en un mes
y mantenerlas en el almacén hasta el mes siguiente. El costo por mantener estas en el inventario
durante 1 mes se estima en $6 por tienda, por cada unidad dejada hasta final del mes. Formule
este como un problema de PL para minimizar los costos y, al mismo tiempo, satisfacer la
demanda y que no se exceda la capacidad de producción mensual. Resuélvalo utilizando
cualquier software. (Sugerencia: Defina las variables que representan el número de tiendas de
campaña que quedan a final de cada mes).

• FO:
Minimizar los costos
• Variables de Decisión:
x1 = Número de tiendas de campaña del primer mes.
x2= Número de tiendas de campaña del segundo mes.
x3= Número de tiendas de campaña del tercer mes.
x4= Número de inventario final del primer mes
x5= Número de inventario final del segundo mes
x6= Número de inventario final del tercer mes.
• Restricciones:
Capacidad de producción de cada mes, inventario final de cada mes.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
120𝑥1 + 120𝑥2 + 120𝑥3 + 6𝑥4 + 6𝑥5 + 6𝑥6
✓ Restricciones:
Producción mes 1: x1 ≤ 230
Producción mes 2: X2 ≤ 230
Producción mes 3: X3 ≤ 230
 Inv. Final = I. Inicial + Produccion − Ventas
Inv. Final mes 1: x4 = 0 + x1 − 180
x1 − x4 = 180
Inv. Final mes 2: x5 = x4 + x2 − 220
x2 + x4 − x5 = 220
Inv. Final mes 3: x6 = x5 + x3 − 240
x3 + x5 − x6 = 240
✓ Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
En el primer se debe producir 180 unidades de tiendas de campañas, en el segundo mes
230 y en el tercer mes 230 unidades de tiendas de campaña para reducir el costo a un
minino de $76860; y cumplir con la demanda del tercer mes ya que tenemos 10
unidades en el segundo mes.
 EJERCICIO 7-42

Outdoors Inn (véase el problema 7-41) amplió por un periodo más largo sus operaciones de
elaborar tiendas de campaña. Aunque aún fabrica la tienda Double Inn, también está haciendo
una tienda más grande, la Family Rolls, que tiene cuatro secciones interiores. La compañía
puede producir hasta un total mensual combinado de 280 tiendas. La siguiente tabla muestra la
demanda que debe cumplir y los costos de producción para los próximos 3 meses. Observe que
los costos aumentarán en el mes 2. El costo por mantenimiento para tener una tienda de
campaña en el inventario a fines de mes para su uso en el mes siguiente se estima en $6 por
tienda Double Inn y $8 por tienda Family Rolls. Desarrolle un programa lineal para minimizar
el costo total. Resuélvalo utilizando cualquier software.

• FO:
Minimizar los costos
• Variables de Decisión:
x1 = Número de tiendas Double Inn que se produce en el primer mes.
x2= Número de tiendas Double Inn que se produce en el segundo mes.
x3= Número de tiendas Double Inn que se produce en el tercer mes.
x4= Número de tiendas Family Rolls que se produce en el primer mes.
x5= Número de tiendas Family Rolls que se produce en el segundo mes.
x6= Número de tiendas Family Rolls que se produce en el tercer mes.
x7= Número de inventario final de tiendas Double Inn del primer mes.
x8= Número de inventario final de tiendas Double Inn del segundo mes.
x9= Número de inventario final de tiendas Double Inn del tercer mes.
x10= Número de inventario final de tiendas Family Rolls del primer mes.
x11= Número de inventario final de tiendas Family Rolls del primer mes.
x12= Número de inventario final de tiendas Family Rolls del primer mes.
• Restricciones:
Capacidad de producción de cada mes, inventario final de cada mes.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
120x1 + 130x2 + 130x3 + 150x4 + 160x5 + 160x6 + 6x7 + 6x8 + 6x9
+ 8x10 + 8x11 + 8x12
✓ Restricciones:
Inv. Final = I. Inicial + Produccion − Ventas
Inv. Final mes 1 Double Inn: x7 = 0 + x1 − 185
x1 − x7 = 185
Inv. Final mes 2 Double Inn: x8 = x7 + x2 − 205
x2 + x7 − x8 = 205
Inv. Final mes 3 Double Inn: x9 = x8 + x3 − 225
x3 + x8 − x9 = 225
Inv. Final mes 1 Family Rolls: x10 = 0 + x4 − 60
x4 − x10 = 60
Inv. Final mes 2 Family Rolls: x11 = x10 + x5 − 70
x5 + x10 − x11 = 70
Inv. Final mes 3 Family Rolls: x12 = x11 + x6 − 65
x6 + x11 − x12 = 65
Producción mes 1: x1 + x4 ≤ 280
Producción mes 2: x2 + x5 ≤ 280
Producción mes 3: x3 + x6 ≤ 280
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
La empresa Outdoors Inn obtiene un costo mínimo de $ 108620 y debe producir en el
primer mes de tiendas de campaña Double Inn 220 unidades, en el segundo mes 180,
en el tercer mes 215 unidades y debe producir en el primer mes 60 tiendas de campaña
Family Rolls en el segundo mes 70 y en el tercer mes 65. Tomando en cuenta que
tenemos un inventario en el primer mes de Doble Inn 35 unidades y en el segundo mes
10 unidades con el fin de satisfacer la demanda de cada mes.
 EJERCICIO 7-43
La corporación Modem of America (CMA) es el mayor productor del mundo de dispositivos
de comunicación por módem para microcomputadoras. CMA vendió 9,000 del modelo regular
y 10,400 del modelo “inteligente” en este mes de septiembre. Su estado de resultados del mes
se presenta en la siguiente tabla. Los costos presentados son típicos de meses anteriores y se
espera que permanezcan en los mismos niveles en un futuro próximo.

La empresa se enfrenta a varias restricciones conforme prepara su plan de producción de

noviembre. En primer lugar, ha experimentado una gran demanda y no ha sido capaz de
mantener un inventario significativo en existencia. No se espera que cambie esta situación. En
segundo lugar, la empresa está ubicada en un pequeño poblado de Iowa, donde no hay mano
de obra adicional disponible. Sin embargo, los trabajadores se pueden alternar de la producción
de un módem a otro. Para fabricar los 9,000 módem regulares en septiembre se requirieron
5,000 horas de mano de obra directa. Los 10,400 módem inteligentes absorbieron 10,400 horas
de mano de obra directa.

En tercer lugar, CMA está experimentando un problema que afecta el modelo de módem
inteligente: su proveedor de componentes tan solo puede garantizar 8,000 microprocesadores
para entrega en noviembre. Cada módem inteligente requiere uno de estos microprocesadores
de fabricación especial. No hay proveedores alternos disponibles con poca antelación. CMA
quiere planear la combinación óptima de los dos modelos de módem para producir en
noviembre, con la finalidad de maximizar sus utilidades.

a) Usando datos de septiembre, formule el problema de CMA como un programa lineal

• FO:
Maximizar utilidades
• Variables de Decisión:
x = Número de módems regulares
y = Número de módems inteligentes
• Restricciones:
Total de horas de mano de obra, total de microprocesadores para el modem del
modelo inteligente
• Resumen de Datos
X (Modelo Y (Modelo Total Recurso
regular) inteligente)
Mano de Obra 0,56 horas 1 hora 15.400 horas
Microprocesadores 1 unidad 8000 unidades
Utilidad 8,33 13,40
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
8,33𝑥 + 13,40𝑦
✓ Restricciones:
0,56𝑥 + 𝑦 ≤ 15.400
𝑦 ≤ 8.000
Restricciones de No Negatividad
𝑥≥0
𝑦≥0
b) Resuelva gráficamente el problema.
 • Gráfico:

c) Analice las implicaciones de su solución recomendada.

• Respuesta:
Se recomienda en el mes de noviembre producir 27500 unidades del modelo regular
para obtener la máxima utilidad que es de $229.075,00

EJERCICIO 7-44

Trabajando con químicos del Virginia Tech y de la George Washington Universities, el

contratista paisajista Kenneth Golding mezcló su propio fertilizante, llamado “GoldingGrow”,
el cual consiste en cuatro compuestos químicos: C-30, C-92, D-21 y E-11. A continuación se
indica el costo por libra de cada compuesto:

Las especificaciones del Golding-Grow son las siguientes: 1. E-11 debe constituir al menos el
15% de la mezcla; 2. C-92 y C-30 en conjunto deben constituir al menos el 45% de la mezcla;
3. D-21 y C-92 en conjunto pueden constituir no más del 30% de la mezcla; y 4. Golding-Grow
se empaqueta y se vende en bolsas de 50 libras.
a) Formule un problema de programación lineal para determinar qué mezcla de los
cuatro productos químicos permitirá a Golding minimizar el costo de una bolsa de 50
libras del fertilizante.

• FO:
Minimizar los costos
• Variables de Decisión:
x1 = Número de libras del compuesto químico C-30
x2= Número de libras del compuesto químico C-92
x3= Número de libras del compuesto químico D-21
x4= Número de libras del compuesto químico E-11
• Restricciones:
Total de libras por cada compuesto, total de la mezcla del fertilizante
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
0,12x1 + 0,09x2 + 0,11x3 + 0,04x4
✓ Restricciones:
x1 + x2 + x3 + x4 = 50
x1 + x2 ≥ 22,5
x2 + x3 ≤ 15
x4 ≥ 7,5
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0
b) Resuélvalo usando una computadora para encontrar la mejor solución.

• Solución QM
 • Respuesta
El contratista debe mezclar su bolsa de fertilizante de 50 libras con 7.5 libras del
compuesto C-30 y 15 libras del compuesto C-92 y 27,5 libras del compuesto E11 con
el fin de minimizar el costo al máximo obteniendo así un valor de $3,35.

EJERCICIO 7-45

Raptor Fuels produce tres tipos de gasolina: regular, premium y súper. Todas ellas se producen
al mezclar dos tipos de petróleo, crudo A y crudo B. Los dos tipos de crudo contienen
ingredientes específicos que ayudan a determinar el octanaje de la gasolina. Los ingredientes
importantes y los costos están contenidos en la siguiente tabla:

Con la finalidad de alcanzar el octanaje deseado, al menos 41% de la gasolina regular debería
ser del ingrediente 1; al menos 44% de la gasolina premium debe ser del ingrediente 1, y por
lo menos 48% de la gasolina súper debe ser del ingrediente 1. Debido a compromisos
contractuales vigentes, Raptor Fuels tiene que producir al menos 20,000 galones de regular, al
menos 15,000 galones de Premium y al menos 10,000 galones de súper. Formule un programa
lineal que se podría utilizar para determinar la cantidad de crudo A y de crudo B, que se debería
utilizar en cada una de las gasolinas, para satisfacer la demanda con el costo mínimo. ¿Cuál es
el costo mínimo? ¿Qué cantidad de crudo A y de crudo B se utiliza en cada galón de los
diferentes tipos de gasolina?

• FO:
Minimizar los costos
• Variables de Decisión:
x1 = Cantidad de crudo A en la gasolina Regular
x2 = Cantidad de crudo A en la gasolina Premium
x3= Cantidad de crudo A en la gasolina Súper
x4= Cantidad de crudo B en la gasolina regular
x5= Cantidad de crudo B en la gasolina Premium
x6 = Cantidad de crudo B en la gasolina Súper
• Restricciones:
Cantidad mínima del ingrediente 1 para cada tipo de gasolina, la producción mínima
de galones para cada tipo de gasolina.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
0,42x1 + 0,42x2 + 0,42x3 + 0,47x4 + 0,47x5 + 0,47x6
✓ Restricciones:
Gasolina Regular: 0,40x1 + 0,52x4 ≥ 0,41( x1 + x4)
−0,01x1 + 0,11x4 ≥ 0
Gasolina Premium: 0,40x2 + 0,52x5 ≥ 0,44( x2 + x5)
−0,04x2 + 0,08x5 ≥ 0
Gasolina Súper: 0,40x3 + 0,52x6 ≥ 0,48( x3 + x6)
−0,08x3 + 0,04x6 ≥ 0
Galones de gasolina regular: x1 + x4 ≥ 20.000
Galones de gasolina premium: x2 + x5 ≥ 15.000
Galones de gasolina super: x3 + x6 ≥ 10.000
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
• Solución QM
 • Respuesta
El costo mínimo de la producción es $19.566,67
La cantidad de crudo A para la gasolina Regular es de 18.333,33 galones
La cantidad de crudo A para la gasolina Premium es de 10.000 galones
La cantidad de crudo A para la Súper es de 3.333,33 galones
La cantidad de crudo B para la gasolina Regular es de 1.666,67 galones
La cantidad de crudo B para la gasolina Premium es de 5.000 galones
La cantidad de crudo B para la gasolina Súper es de 6666.67 galones

EJERCICIO 8-1

(Problema de producción) Winkler Furniture fabrica dos tipos diferentes de vitrinas para
porcelana: un modelo Francés Provincial y un modelo Danés Moderno. Cada vitrina producida
debe pasar por tres departamentos: carpintería, pintura y terminado. La tabla que sigue contiene
toda la información relevante respecto a tiempos de producción por vitrina y capacidades de
producción diarias para cada operación, al igual que el ingreso neto por unidad producida. La
empresa tiene un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 de
cada tipo de vitrina por semana (o 60 vitrinas por día). El dueño Bob Winkler quiere determinar
una mezcla de productos que maximice su ingreso diario.

a) Formule como un problema de PL.

b) Resuelva con un software de PL o una hoja de cálculo.

• FO:
Maximizar el ingreso diario
• Variables de Decisión:
x = Número de vitrinas modelo Francés Provincial
y = Número de vitrinas modelo Danés Moderno
• Restricciones:
Total de horas por departamento Capacidad de producción
 • Resumen de Datos

X (Modelo Frances Y (Modelo Danes

Total Recurso
Provincial) Moderno)

Carpintería 3 2 360 horas

Pintura 1,5 1 200 horas
Terminado 0,75 0,75 125 horas
Modelo Frances Provincial 60
Modelo Danes Moderno 60
Utilidad 28 25

a) Formule como un problema de PL.

• Modelo de PL del problema planteado

✓ FO:
28x + 25y
✓ Restricciones:
3x + 2y ≤ 360
1,5x + y ≤ 200
0,75x + 0,75y ≤ 125
x ≥ 60
y ≥ 60
Restricciones de No Negatividad
x≥0
y≥0
b) Resuelva con un software de PL o una hoja de cálculo.
• Gráfico:

• Respuesta:
El dueño debe producir 60 vitrinas modelo Frances y 90 vitrinas modelo Danés para
obtener una utilidad máxima de $3930.00
 EJERCICIO 8-2

(Problema de decisión de inversión) La agencia de correduría Heinlein and Krampf acaba de

recibir instrucciones de uno de sus clientes para invertir $250,000 de su dinero obtenido
recientemente con la venta de tierras en Ohio. El cliente tiene mucha confianza en la casa de
inversiones, pero también tiene sus propias ideas acerca de la distribución de los fondos a
invertir. En particular pide que la agencia seleccione las acciones y los bonos que consideren
bien clasificados, aunque dentro de los siguientes lineamientos:

a) Los bonos municipales deberían constituir al menos 20% de la inversión.

b) Por lo menos 40% de los fondos deben colocarse en una combinación de empresas
electrónicas, empresas aeroespaciales y fabricantes de medicamentos.

c) No más de 50% de la cantidad invertida en bonos municipales tiene que colocarse en

acciones de clínicas privadas de alto riesgo y alto rendimiento.

Sujeta a estas restricciones, la meta del cliente es maximizar el rendimiento sobre la inversión
proyectado. Los analistas en Heinlein and Krampf, conscientes de dichos lineamientos,
preparan una lista de acciones y bonos de alta calidad, así como de sus correspondientes tasas
de rendimiento:

a) Formule este problema de selección de portafolios usando PL.

b) Resuelva el problema

• FO:
Maximizar el rendimiento de la inversión.
• Variables de Decisión:
x1= Inversión en bonos municipales de Los Angeles
x2= Inversión en Thompson Electronics
x3= Inversión en Unit Aerospace
 x4= Inversión en Drugs
x5= Inversión en Happy Days Nursing Homes.
• Restricciones:
La participación de inversión en Bonos Municipales. La participación en empresas
electrónicas, empresas aeroespaciales y fabricantes de medicamentos. La
participación en acciones de clínicas privadas de alto riesgo y alto rendimiento.
a) Formule este problema de selección de portafolios usando PL.

• Modelo de PL del problema planteado

✓ FO:
5,3x1 + 6,8x2 + 4,9x3 + 8,4x4 + 11,8x5
✓ Restricciones:
Total invertir: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 250.000
Inv. Bonos Municipales: x1 ≥ 50.000
Inv. Thompson E: x2 + x3 + x4 ≥ 100.000
Clinicas Privadas: x5 ≤ 0,5x1
−0,5x1 + x5 ≤ 0

Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
b) Resuelva el problema

• Solución QM

• Respuesta
Para maximizar el rendimiento debe invertir $50000 en Bonos Municipales, $175000
en Inversiones en Palmer Drugs y $25000 en Happy day Nursing Homes así obtendrá
la máxima utilidad que es $2.030.000.
 EJERCICIO 8-3

(Problema de programación del trabajo en un restaurante) El famoso restaurante Y. S. Chang

está abierto las 24 horas. Los meseros y los ayudantes se reportan a trabajar a las 3 A.M., 7
A.M., 11 A.M., 3 P.M., 7 P.M. u 11 P.M., y cada uno cumple con un turno de 8 horas. La
siguiente tabla muestra el número mínimo de trabajadores necesarios durante los seis periodos
en que se divide el día. El problema de programación de Chang consiste en determinar cuántos
meseros y ayudantes deben reportarse a trabajar al inicio de cada periodo, con la finalidad de
minimizar el personal total requerido para un día de operaciones. (Sugerencia: Sea Xi igual al
número de meseros y ayudantes que comienzan a trabajar en el periodo i, donde i 1, 2, 3, 4, 5,
6).

• FO:
Minimizar el personal requerido.
• Variables de Decisión:
x1= Número de meseros y ayudantes en el periodo 3 am - 7am
x2= Número de meseros y ayudantes en el periodo 7 am - 11am
x3= Número de meseros y ayudantes en el periodo 11 am - 3pm
x4= Número de meseros y ayudantes en el periodo 3pm - 7pm
x5= Número de meseros y ayudantes en el periodo 7 pm - 11pm
x6= Número de meseros y ayudantes en el periodo 11pm - 3am
• Restricciones:
La cantidad de empleados que trabaja por hora
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
 ✓ Restricciones:
1° Periodo: x1 + x6 ≥ 3
2° Periodo: x1 + x2 ≥ 12
3° Periodo: x2 + x3 ≥ 16
4° Periodo: x3 + x4 ≥ 9
5° Periodo: x4 + x5 ≥ 11
6° Periodo: x5 + x6 ≥ 4
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
Los meseros y ayudantes del restaurante Y.S Chang que empiezan en el turno de 3am
a 7am son 3, en el turno de 7am a 11am son 14, en el turno de 11am a 3pm son 2, en
el turno de 3pm a 7 pm son 7 y en el turno de 7pm a 11pm son 4. El mínimo de
empleados es 30.
 EJERCICIO 8-4

(Problema de mezcla de alimento para animales) El establo Battery Park alimenta y alberga a
los caballos que jalan los carruajes, que llevan a turistas por las calles del área histórica del
muelle en Charleston. El dueño del establo, un ex entrenador de caballos de carreras, reconoce
la necesidad de tener una dieta nutritiva para los caballos bajo su cuidado. Al mismo tiempo,
desea que el costo diario general del alimento sea mínimo.

Las mezclas de alimento disponibles para la dieta de los caballos son un producto de avena, un
grano enriquecido y un producto mineral. Cada una de las mezclas contiene cierta cantidad de
cinco ingredientes que se necesitan diariamente para mantener saludable al caballo promedio.
La tabla con el número de este problema muestra los requerimientos mínimos, las unidades de
cada ingrediente por libra de mezcla de alimento y los costos de las tres mezclas.

Además, el dueño del establo sabe que un caballo sobrealimentado es un mal trabajador. En
consecuencia, determina que 6 libras de alimento por día es lo más que cualquier caballo
necesita para funcionar bien. Formule este problema y obtenga la mezcla diaria óptima de los
tres alimentos.

• FO:
Minimizar el costo
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad en libras del Producto de avena
x2= Cantidad en libras del Grano enriquecido
x3= Cantidad en libras del Producto mineral
• Restricciones:
La Cantidad de ingredientes, cantidad de alimento máxima por caballo.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
 0,09x1 + 0,14x2 + 0,17x3
✓ Restricciones:
Ingrediente A: 2x1 + 3x2 + x3 ≥ 6
Ingrediente B: 0,5x3 + x2 + 0,5x3 ≥ 2
Ingrediente C: 3x1 + 5x2 + 6x3 ≥ 9
Ingrediente D: x1 + 1,5x2 + 2x3 ≥ 8
Ingrediente E: 0,5x1 + 0,5x2 + 1,5x3 ≥ 5
Requerimiento: x1 + x2 + x3 ≤ 6
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
El dueño del establo necesita 1,33 libras de producto de avena y 3,33 libras de producto
mineral para completar la dieta de los caballos así disminuir el costo a $0,69.
 EJERCICIO 8-5

La corporación Kleenglass fabrica una lavadora de platos que tiene un poder de limpieza
excelente. Esta lavadora usa menos agua que la mayoría de la competencia y es muy silenciosa.
Las órdenes se reciben de varias tiendas para entregar al final de cada uno de los tres meses
siguientes, como se indica a continuación:

Debido a la capacidad limitada, tan solo se puede fabricar 200 lavavajillas cada mes en horario
regular y el costo es de $300 cada una. Sin embargo, es posible fabricar otras 15 unidades con
horas extra, pero el costo sube a $325 cada una. Además, si hay algunas lavadoras producidas
que no se vendieron ese mes, hay un costo de $20 por almacenarlas para el siguiente mes.
Utilice programación lineal para determinar cuántas unidades fabricar cada mes en horario
regular y en tiempo extra, con la finalidad de minimizar el costo total cubriendo al mismo
tiempo las demandas.

• FO:
Minimizar el costo
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de lavadora fabricadas en junio en horario regular
x2= Cantidad de lavadora fabricadas en julio en horario regular
x3= Cantidad de lavadora fabricadas en agosto en horario regular
x4= Cantidad de lavadora fabricadas en junio en tiempo extra
x5= Cantidad de lavadora fabricadas en julio en tiempo extra
x6= Cantidad de lavadora fabricadas en agosto en tiempo extra
x7= Inventario Final de junio
x8= Inventario Final de julio
x9= Inventario Final de agosto
• Restricciones:
Capacidad de producción de lavadoras en horario regular, capacidad de producción de
lavadoras en tiempo extra, los inventarios de lavadoras
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
300x1 + 300x2 + 300x3 + 325x4 + 325x5 + 325x6 + 20x7 + 20x8 + 20x9
✓ Restricciones:
Inv. Final Junio: x7 = 0 + x1 + x4 − 195
x1 + x4 − x7 = 195
Inv. Final Julio: x8 = x7 + x2 + x5 – 215
x2 + x5 + x7 − x8 = 215
Inv. Final Agosto: x9 = x8 + x3 + x6 – 205
x3 + x6 + x8 − x9 = 205
Prod. Horario Regular junio: x1 ≤ 200
Prod. Horario Regular julio: x2 ≤ 200
Prod. Horario Regular agosto: x3 ≤ 200
Prod. Tiempo extra junio: x4 ≤ 15
Prod. Tiempo extra julio: x5 ≤ 15
Prod. Tiempo extra agosto: x6 ≤ 15
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 ≥ 0
• Solución QM
 • Respuesta
La corporación Kleenglass debe fabricar 200 lavadoras en horario regular en el mes de
junio, 200 lavadoras en el mes de julio, 200 lavadoras en el mes de agosto. En tiempo
extra no debe fabricar lavadoras en el mes de junio, debe fabricar 10 lavadoras en el
mes de julio y 5 en el mes de agosto quedando como inventario final en el mes de junio
5 lavadoras que ayudan a cumplir con la demanda y obteniendo el costo mínimo de
$184.975,00

EJERCICIO 8-6

Eddie Kelly está en la competencia para la reelección como alcalde de un pequeño condado de
Alabama. Jessica Martínez, la jefa de campaña de Kelly durante esta elección, está planeando
la campaña de marketing y sabe que existe una competencia cerrada. Martínez seleccionó
cuatro formas de propaganda: spots de televisión, anuncios de radio, carteles espectaculares e
inserciones en periódicos. Los costos, la audiencia expuesta por tipo de medio y el número
máximo de cada uno se muestran en la siguiente tabla:

Además, Martínez decidió que debería haber al menos seis anuncios en TV o radio, o alguna
combinación de estos. La cantidad gastada en espectaculares y periódicos juntos no debe
exceder la cantidad gastada en TV. Aunque la recolección de fondos continúa, el presupuesto
mensual para propaganda se estableció en $15,000. ¿Cuántos anuncios de cada tipo debería
colocar para maximizar el número de personas expuestas?

• FO:
Maximizar el alcance
• Variables de Decisión:
x1= Número de anuncio TV
x2= Número de anuncio Radio
x3= Número de espectadores
 x4= Número de Periódicos
• Restricciones:
El presupuesto total, el número máximo de anuncios por cada tipo de anuncios, costo
de los espectadores y periódicos combinados.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
30000x1 + 22000x2 + 24000x3 + 8000x4
✓ Restricciones:
Costo: 800x1 + 400x2 + 500x3 + 100x4 ≤ 15000
Tv: x1 ≤ 10
Radio: x2 ≤ 10
Espectadores: x3 ≤ 10
Periódicos: x4 ≤ 10
Combinación tv y radio: x1 + x2 ≥ 6
Costo espectaculares y periódicos: 500x3 + 100x4 ≤ 800x1
−800x1 + 500x3 + 100x4 ≤ 0
Restricciones de No Negatividad
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
Debería colocar 7 anuncios de Tv, 10 anuncios en radio, 9 anuncios de espectaculares
y 10 anuncios en periódicos para alcanzar a un máximo de 722.250 personas.
 EJERCICIO 8-7

(Problema de selección de medios) El directo de publicidad de Diversey Paint and Supply, una
cadena de cuatro tiendas en el lado norte de Chicago, considera la posibilidad de dos medios
de comunicación. Un plan es una serie de anuncios de media página en el Chicago Tribune
dominical y la otra es tiempo de comerciales en la televisión de Chicago. Las tiendas están
expandiendo sus líneas de herramientas “hágalo usted mismo” y el director de publicidad está
interesado en un nivel de exposición de, al menos, 40% dentro de los vecindarios de la ciudad,
y 60% en las áreas suburbanas de noroeste.

El horario de televisión en consideración tiene una tasa de exposición de 5% por spot en los
hogares de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas
correspondientes de exposición de 4% y 3% por anuncio. El costo de media página en el
Tribune es de $925; un spot de televisión cuesta $2,000.

a) Formule con programación lineal.

b) Resuelva el problema.

• FO:
Minimizar el costo de la publicidad
• Variables de Decisión:
x= Cantidad de Anuncios en Chicago Tribune
y= Cantidad de Comerciales en Tv Chicago
• Restricciones:
Nivel de exposición Vecindarios de la ciudad, Nivel de exposición en Áreas
Suburbanas
• Resumen de Datos
X
Y (Comerciales Tv
(Anuncios Chicago Tipo de restricción Total Recurso
Chicago)
Tribune)
Vecindario 0,04 0,05 Al menos 0,4
Área Suburbana 0,03 0,03 Al menos 0,6
Costo 925 2000
a) Formule con programación lineal

• Modelo de PL del problema planteado

✓ FO:
925𝑥 + 2000𝑦
✓ Restricciones:
Vecindario: 0,04 x + 0,05y ≥ 0,40
Área Suburbana: 0,03x + 0,03y ≥ 0,60
Restricciones de No Negatividad
𝑥≥0
𝑦≥0

b) Resuelva el problema

• Gráfico:

• Respuesta:
Debe realizar 20 anuncios en el Chicago Tribune Dominical para minimizar el costo a
$18.500,00
 EJERCICIO 8-8

(Problema de renta de automóviles) Sundown Rent-aCar, una agencia grande de renta de

automóviles que opera en el medio oeste, está preparando su estrategia de arrendamiento para
los siguientes seis meses. Sundown renta autos de un fabricante de vehículos y, luego, los renta
al público por día. En la siguiente tabla se da un pronóstico de demanda para los automóviles
de Sundown en los próximos seis meses:

Los autos pueden rentarse al fabricante por tres, cuatro o cinco meses. Se rentan el primer día
del mes y se regresan el último día. Cada seis meses Sundown notifica al fabricante el número
de automóviles que necesitará durante los siguientes seis meses. El fabricante ha estipulado
que al menos 50% de los autos rentados durante los seis meses deben tener un contrato por
cinco meses. El costo mensual de cada uno de los tres tipos de renta es de $420 por tres meses,
$400 por cuatro meses y $370 por cinco meses.

Actualmente, Sundown tiene 390 autos. El contrato sobre 120 autos expira al final de marzo.
El contrato sobre otros 140 expira al final de abril y el contrato sobre el resto expira al final de
mayo.

Utilice PL para determinar cuántos automóviles deberían rentarse cada mes y con qué tipo de
contrato, para minimizar el costo de renta para los seis meses. ¿Cuántos vehículos quedarían la
final de agosto?

• FO:
Minimizar el costo de alquiler
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de autos rentados por 3 meses en marzo
x2= Cantidad de autos rentados por 4 meses en marzo
x3= Cantidad de autos rentados por 5 meses en marzo
x4= Cantidad de autos rentados por 3 meses en abril
x5= Cantidad de autos rentados por 4 meses en abril
x6= Cantidad de autos rentados por 5 meses en abril
x7=Cantidad de autos rentados por 3 meses en mayo
x8=Cantidad de autos rentados por 4 meses en mayo
 x9=Cantidad de autos rentados por 5 meses en mayo
x10=Cantidad de autos rentados por 3 meses en junio
x11=Cantidad de autos rentados por 4 meses en junio
x12=Cantidad de autos rentados por 5 meses en junio
x13=Cantidad de autos rentados por 3 meses en julio
x14=Cantidad de autos rentados por 4 meses en julio
x15=Cantidad de autos rentados por 5 meses en julio
x16=Cantidad de autos rentados por 3 meses en agosto.
x17=Cantidad de autos rentados por 4 meses en agosto.
x18=Cantidad de autos rentados por 5 meses en agosto.
• Restricciones:
Renta de carros por los diferentes meses, el porcentaje de carros con contratos de 5
meses
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
420x1 + 400x2 + 370x3 + 420x4 + 400x5 + 370x6 + 420x7 + 400x8 + 370x9
+ 420x10 + 400x11 + 370x12 + 420x13 + 400x14 + 370x15 + 420x16
+ 400x17 + 370x18

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18

Rest 50% 1 1 1 1 1 1

Mar 1 1 1

Abr 1 1 1 1 1 1

May 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Jun 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Jul 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Ago 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

✓ Restricciones:
Contrato por 5 meses:
x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18
≥ 0,50(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11
+ x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18)
 x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18
≥ 0,5x1 + 0,5x2 + 0,5x3 + 0,5x4 + 0,5x5 + 0,5x6 + 0,5x7 + 0,5x8
+ 0,5x9 + 0,5x10 + 0,5x11 + 0,5x12 + 0,5x13 + 0,5x14 + 0,5x15
+ 0,5x16 + 0,5x + 0,5x17 + 0,5x18
x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 − 0,5x1 − 0,5x2 − 0,5x3 − 0,5x4 − 0,5x5 − 0,5x6
− 0,5x7 − 0,5x8 − 0,5x9 − 0,5x10 − 0,5x11 − 0,5x12 − 0,5x13
− 0,5x14 − 0,5x15 − 0,5x16 − 0,5x − 0,5x17 − 0,5x18 ≥ 0
−0,5x1 − 0,5x2 + 0,5x3 − 0,5x4 − 0,5x5 + 0,5x6 − 0,5x7 − 0,5x8 + 0,5x9 − 0,5x10
− 0,5x11 + 0,5x12 − 0,5x13 − 0,5x14 + 0,5x15 − 0,5x16 − 0,5x17
+ 0,5x18 ≥ 0
Marzo: x1 + x2 + x3 ≥ 30
Abril: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 130
Mayo: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 300
Junio: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 ≥ 460
Julio: x3 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x14 + x15 ≥ 470
Agosto: x6 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 + x13 + x14 + x15 + x16 + x17 + x18
≥ 440
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10, 𝑥11, 𝑥12, 𝑥13, 𝑥14, 𝑥15, 𝑥16, 𝑥17, 𝑥18 ≥ 0
• Solución QM
 • Respuesta
30 rentas de 5 meses comenzando en marzo, 100 rentas de 5 meses comenzando en
abril, 170 rentas de 5 meses comenzando en mayo, 160 rentas de 5 meses comenzando
en junio y 10 rentas de 5 meses comenzando en julio. Obteniendo así el costo mínimo
de $173.990,00

EJERCICIO 8-9

La gerencia de Sundown Renta-a-Car (véase el problema 8-8) ha decidido que tal vez el costo
durante los seis meses no es el adecuado para minimizar, ya que la agencia puede quedar con
obligaciones de renta durante meses adicionales después de los seis meses. Por ejemplo, si
Sundown recibe algunos autos al principio del sexto mes, la agencia estaría obligada por dos
meses más en un contrato de tres meses. Utilice PL para determinar cuántos autos debería rentar
cada mes en cada tipo de contrato, para minimizar el costo de renta en la vida completa de estos
contratos.

• FO:
Minimizar el costo de renta
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de autos rentados por 3 meses en marzo
x2= Cantidad de autos rentados por 4 meses en marzo
x3= Cantidad de autos rentados por 5 meses en marzo
x4= Cantidad de autos rentados por 3 meses en abril
x5= Cantidad de autos rentados por 4 meses en abril
x6= Cantidad de autos rentados por 5 meses en abril
x7=Cantidad de autos rentados por 3 meses en mayo
x8=Cantidad de autos rentados por 4 meses en mayo
x9=Cantidad de autos rentados por 3 meses en junio
• Restricciones:
Renta de carros por los diferentes meses, el porcentaje de carros con contratos de 5
meses
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
420x1 + 400x2 + 370x3 + 420x4 + 400x5 + 370x6 + 420x7 + 400x8 + 420x9
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 Demanda Disponible Necesidad Real

Rest 50% 1 1

Mar 1 1 1 420 390 30

Abr 1 1 1 1 1 1 400 270 130

May 1 1 1 1 1 1 1 1 430 130 300

Jun 1 1 1 1 1 1 1 1 460 0 460

Jul 1 1 1 1 1 1 470 0 470

Ago 1 1 1 440 0 440

✓ Restricciones:
Contrato por 5 meses:
x3 + x6 ≥ 0,50(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9)
x3 + x6 ≥ 0,5x1 + 0,5x2 + 0,5x3 + 0,5x4 + 0,5x5 + 0,5x6 + 0,5x7 + 0,5x8 + 0,5x9
x3 + x6 − 0,5x1 − 0,5x2 − 0,5x3 − 0,5x4 − 0,5x5 − 0,5x6 − 0,5x7 − 0,5x8 − 0,5x9 ≥ 0
−0,5x1 − 0,5x2 + 0,5x3 − 0,5x4 − 0,5x5 + 0,5x6 − 0,5x7 − 0,5x8 + 0,5x9 ≥ 0
Marzo: x1 + x2 + x3 ≥ 30
Abril: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 130
Mayo: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 300
Junio: x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 460
Julio: x3 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 ≥ 470
Agosto: x6 + x8 + x9 ≥ 440
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9 ≥ 0
• Solución QM
 • Respuesta
30 rentas de 5 meses comenzando en marzo, 440 rentas de 5 meses comenzando en
abril. Obteniendo así el costo mínimo de $173.990,00

EJERCICIO 8-11

(Problema de estrategia de marketing y fijación de precios) La tienda I. Kruger Paint and

Wallpaper es un distribuidor minorista grande de la marca Supertrex de tapiz de vinil. Kruger
mejorará su imagen en toda la ciudad de Miami, si el siguiente año logra vender más que otras
tiendas del lugar en cuanto al número total de rollos de Supertrex. Es posible estimar la función
de demanda como sigue:

Número de rollos de Supertrex vendidos = 20x dólares gastados en publicidad + 6.8x dólares
gastados en exhibidores para las tiendas +12x dólares invertidos en inventario de tapiz
disponible – 65,000x porcentaje de margen de ganancia sobre el costo de venta al mayoreo de
un rollo.

La tienda tiene un presupuesto total de $17,000 para publicidad, exhibidores en tienda e

inventario disponible de Supertrex para el siguiente año. Decide que debe gastar por lo menos
$3,000 en publicidad; además, por lo menos 5% de la cantidad invertida en inventario
disponible debería dedicarse a exhibidores. El margen de ganancia de Supertrex en otras
tiendas locales está entre 20% y 45%. Kruger decide que será mejor que su margen de ganancia
también esté en este rango.

a) Formule como un problema de programación lineal

• FO:
Maximizar las ventas de los rollos
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de los dólares gastados en publicidad
x2= Cantidad de los dólares gastados en exhibidores
x3= Cantidad de los dólares invertidos en inventario
x4= El porcentaje de margen de ganancia
• Restricciones:
El presupuesto total, el costo de la publicidad, el porcentaje de inversión para los
exhibidores, el rango del margen de ganancia
 • Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
20x1 + 6,8x2 + 12x3 − 65000x4
✓ Restricciones:
Publicidad: x1 ≥ 3000
Exhibidores: x2 ≥ 0,05x3
x2 − 0,05x3 ≥ 0
Ganancias 1: x4 ≥ 0,20
Ganancias 2: x4 ≤ 0,45
Presupuesto: x1 + x2 + x3 ≤ 17000
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0
b) Resuelva el problema
• Solución QM

• Respuesta
Se debe invertir $17.000,00 en publicidad y su margen de ganancia es del 20%,
obteniendo $327.000,00 de las ventas máximas

c) ¿Cuál es la dificultad con la respuesta?

La dificultad es que no se realiza ningún gasto para el inventario.

d) ¿Qué restricción agregaría?

Se agregaría una restricción para el inventario, estableciendo un costo mínimo.

 EJERCICIO 8-12

(Problema de selección de alimentos en la universidad) Kathy Roniger, la dietista de una

universidad pequeña, es responsable de formular un plan de alimentos nutritivos para los
estudiantes. Para una comida en la tarde, piensa que deberían cumplirse los siguientes cinco
requerimientos de contenido: 1. entre 900 y 1,500 calorías; 2. al menos 4 miligramos de hierro;
3. no más de 50 gramos de grasa; 4. al menos 26 gramos de proteína, y 5. no más de 50 gramos
de carbohidratos. En un día dado, el inventario de alimentos de Roniger incluye siete artículos
que se pueden preparar y servir de manera que la cena cumpla tales requerimientos. El costo
por libra de cada alimento y la contribución de cada uno a los cinco requerimientos
nutricionales están dados en la siguiente tabla.

¿Qué combinación y qué cantidades de alimentos proporcionará la nutrición que Roniger

requiere por el menor costo total de la comida?

a) Formule como un problema de PL

• FO:
Minimizar el costo total de la comida
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de leche
x2= Cantidad de carne molida
x3= Cantidad de pollo
x4= Cantidad de pescado
x5= Cantidad de frijoles
x6= Cantidad de espinaca
x7= Cantidad de papas
 • Restricciones:
Cantidad de calorías, cantidad de hierro, cantidad de grasa, cantidad de Proteína,
cantidad de Carbohidratos
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
0,60x1 + 2,35x2 + 1,15x3 + 2,25x4 + 0.58x5 + 1,17x6 + 0,33x7
✓ Restricciones:
Calorías: 295x1 + 1216x2 + 394x3 + 358x4 + 128x5 + 118x6 + 279x7 ≥ 900
Calorías 2: 295x1 + 1216x2 + 394x3 + 358x4 + 128x5 + 118x6 + 279x7 ≤ 1500
Hierro: 0,2x1 + 0,2x2 + 4.3x3 + 3,2x4 + 3,2x5 + 14,1x6 + 2,2x7 ≥ 4
Grasa: 16x1 + 96x2 + 9x3 + 0,5x4 + 0,8x5 + 1,4x6 + 0,5x7 ≤ 50
Proteína: 16x1 + 81x2 + 74x3 + 83x4 + 7x5 + 14x6 + 8x7 ≥ 26
Carbohidratos: 22x1 + 28x5 + 19x6 + 63x7 ≤ 50
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7 ≥ 0
• Solución QM

b) ¿Cuál es el costo por comida?

• Respuesta
La cantidad de alimentos que requiere es 0.499 libras de carne molida, 0,173 libras de
pollo, 0,105 libras de espinaca y 0.762 libras de papas para obtener el menor costo de
la nutrición que es $1,75
c) ¿Es esta una dieta bien balanceada?

Considero que no es una dieta bien balanceada ya que el requerimiento de proteína vegetal
debe ser más alta.

EJERCICIO 8-13

(Problema de producción de alta tecnología) Quitmeyer Electronics Inc. fabrica los siguientes
seis dispositivos periféricos para microcomputadoras: módems internos, módems externos,
tarjeta de gráficos, lectores de CD, discos duros y tarjetas de expansión de memoria. Cada uno
de estos productos técnicos requiere tiempo, en minutos, sobre tres tipos de equipo electrónico
de pruebas, como se indica en la tabla correspondiente (siguiente página).

Los primeros dos dispositivos de prueba están disponibles 120 horas por semana. El tercero
(dispositivo 3) requiere más mantenimiento preventivo y puede usarse tan solo 100 horas
semanales. El mercado para los seis componentes de computadora es enorme y Quitmeyer
Electronics cree que puede vender todas las unidades de cada producto que pueda fabricar. La
tabla que sigue resume los ingresos y costos de materiales para cada producto:

Además, los costos variables de mano de obra son de $15 por hora del dispositivo de prueba 1,
$12 por hora del dispositivo de prueba 2 y $18 por hora del dispositivo de prueba 3. Quitmeyer
Electronics desea maximizar sus ganancias.
a) Formule este problema como un modelo de PL.

• FO:
Maximizar las ganancias
• Variables de Decisión:
x1= Número de unidades de Modem interno
x2= Número de unidades de Modem externo
x3= Número de unidades de Tarjeta de gráficos
x4= Número de unidades de Lector de CD
x5= Número de unidades de Disco Duro
x6= Número de unidades de Tarjeta de expansión de memoria
• Restricciones:
Cantidad de horas de cada dispositivo
• Modelo de PL del problema planteado
Costo MO Modem Interno: 7(15/60 ) + 2(12/60 ) + 5(18/60 ) = 3,65
Costo MO Modem Externo: 3( 15/60 ) + 5( 12/60 ) + 1( 18/60 ) = 2,05
Costo MO Tarjeta Gráficos: 12( 15/60 ) + 3( 12/60 ) + 3( 18/60 ) = 4,50
Costo MO Lector de CD: 6( 15/60 ) + 2( 12/60 ) + 2( 18/60 ) = 2,50
Costo MO Disco Duro: 18( 15/60 ) + 15( 12/60 ) + 9( 18/60 ) = 10,20
Costo MO Tarjeta de Memoria: 17( 15/60 ) + 17( 12/60 ) + 2( 18/60 ) = 8,25
✓ FO:
161,35x1 + 92,95x2 + 135,5x3 + 82,5x4 + 249,80x5 + 191,75x6
✓ Restricciones:
Dispositivo 1: 7x1 + 3x2 + 12x3 + 6x4 + 18x5 + 17x6 ≤ 7200
Dispositivo 2: 2x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 + 15x5 + 17x6 ≤ 7200
Dispositivo 3: 5x1 + x2 + 3x3 + 2x4 + 9x5 + 2x6 ≤ 6000
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 ≥ 0
 • Solución QM

b) Resuelva el problema por computadora. ¿Cuál es la mejor mezcla de productos?

• Respuesta
La mejor mezcla sería 497 módems internos y 1241 módems externos para obtener la
máxima ganancia de $195.504,80.
c) ¿Cuál es el valor de un minuto adicional de tiempo por semana para el dispositivo 1?
¿Para el dispositivo 2? ¿Y para el dispositivo 3? ¿Debería Quitmeyer Electronics agregar
más tiempo de dispositivo de prueba? Si es así, ¿de qué equipo?

El valor del minuto adicional es $21,41 para el dispositivo 1 y $5,74 para el dispositivo 2.
Debería agregar tiempo en el dispositivo 1 y así permitiría incrementar la utilidad.
 EJERCICIO 8-14

(Problema de dotación de personal de una planta nuclear) South Central Utilities acaba de
anunciar la inauguración el 1 de agosto del segundo generador a su planta nuclear de Baton
Rouge, Louisiana. Su departamento de personal está dirigido a determinar cuántos técnicos
nucleares necesita contratar y capacitar durante lo que resta del año.

La planta actualmente emplea 350 técnicos completamente capacitados y proyecta las

siguientes necesidades de personal:

Según la ley de Louisiana, un empleado en un reactor de hecho no puede trabajar más de 130
horas por mes. (Un poco más de una hora por día se usa para entrar y salir, actualización de
registros y análisis médico diario por la radiación). La política de South Central Utilities
también dicta que no son aceptables los despidos en los meses en que la planta nuclear tiene
más personal del necesario. Entonces, si se dispone de más personal capacitado del necesario
en cualquier mes, cada trabajador recibe su paga completa, aunque no haya sido requerido para
trabajar las 130 horas.

La capacitación de los nuevos empleados es un procedimiento importante y costoso. Toma un

mes de instrucción uno a uno en el salón de clases, antes de que se permita a un nuevo técnico
trabajar solo en la instalación del reactor. Por lo tanto, South Central debe contratar a los
técnicos aprendices un mes antes de que se necesiten. Cada aprendiz hace equipo con un técnico
nuclear experimentado y requiere 90 horas del tiempo de ese empleado, lo cual significa que
ese mes se dispone de 90 horas menos del tiempo del técnico para trabajar en el reactor.

Los registros del departamento de personal indican una tasa de rotación de técnicos capacitados
de 5% al mes. En otras palabras, cerca de 5% de los empleados experimentados al inicio de
cualquier mes renuncian al final de ese mes. Un técnico capacitado gana un salario promedio
mensual de $2,000 (sin importar el número de horas que trabajó, como ya se dijo). Quienes
están en capacitación ganan $900 durante el mes de instrucción.
a) Formule este problema de dotación de personal con PL

• FO:
Minimizar salarios del personal
• Variables de Decisión:
x1= Número de técnicos en el mes de agosto
x2= Número de técnicos en el mes de septiembre
x3= Número de técnicos en el mes de octubre
x4= Número de técnicos en el mes de noviembre
x5= Número de técnicos en el mes de diciembre
x6= Número de aprendices en el mes de agosto
x7= Número de aprendices en el mes de septiembre
x8= Número de aprendices en el mes de octubre
x9= Número de aprendices en el mes de noviembre
x10= Número de aprendices en el mes de diciembre
• Restricciones:
Cantidad de horas del personal por mes, porcentaje de empleados que renuncia al mes
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
2000x1 + 2000x2 + 2000x3 + 2000x4 + 2000x5 + 900x6 + 900x7 + 900x8
+ 900x9 + 900x10
✓ Restricciones:
Horas Tec. Ago: 130x1 − 90x6 ≥ 40000
Horas Tec. Sep: 130x2 − 90x7 ≥ 45000
Horas Tec. Oct: 130x3 − 90x8 ≥ 35000
Horas Tec. Nov: 130x4 − 90x9 ≥ 50000
Horas Tec. Dic: 130x5 − 90x10 ≥ 45000
Técnicos Agosto: x1 = 350
Técnicos Septiembre: x2 = x1 − 0,05x1 + x6; −0,95x1 + x2 − x6 = 0
Técnicos Octubre: x3 = x2 − 0,05x1 + x7 ; −0,95x2 + x3 − x7 = 0
Técnicos Noviembre: x4 = x3 − 0,05x3 + x8 ; −0,95x3 + x4 − x8 = 0
Técnicos Diciembre: x5 = x4 − 0,05x4 + x9 ; −0,95x4 + x5 − x9 = 0
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8, 𝑥9, 𝑥10 ≥ 0
 • Solución QM

b) Resuelva el problema ¿cuántos aprendices deben iniciar cada mes?

• Respuesta
Deben iniciar 14 aprendices en el mes de agosto y 72 aprendices en el mes de octubre
para minimizar el salario a $3627.279,00.
 EJERCICIO 8-16

(Problema de mezcla de materiales) Amalgamated Products acaba de recibir un contrato para

construir bastidores de carrocería de acero para automóviles que deben producirse en una nueva
fábrica japonesa en Tennessee. El fabricante de autos nipones tiene estándares estrictos de
control de calidad para todos sus contratistas de componentes y ha informado a Amalgamated
que el acero de cada bastidor debe tener el siguiente contenido:

Amalgamated mezcla lotes de ocho materiales disponibles diferentes para producir una
tonelada de acero que se usa en los bastidores. La tabla correspondiente da los detalles de los
materiales.

Formule y resuelva el modelo de PL que indicará cuánto de cada uno de los ocho materiales
debería mezclarse en una carga de 1 tonelada de acero, de manera que Amalgamated cumpla
con los requisitos a un costo mínimo.

• FO:
Minimizar el costo
• Variables de Decisión:
x1= Número de libras de Aleacion1
x2= Número de libras de Aleación 2
x3= Número de libras de Aleación 3
x4= Número de libras de Hierro 1
x5= Número de libras de Hierro 2
 x6= Número de libras de Carburo 1
x7= Número de libras de Carburo 2
x8= Número de libras de Carburo 3
• Restricciones:
Porcentaje de manganeso, silicio y carbono. Libras disponibles de cada material
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
0,12x1 + 0,13x2 + 0,15x3 + 0,09x4 + 0,07x5 + 0,10x6 + 0,12x7 + 0,09x8
✓ Restricciones:
Manganeso min: 0.7x1 + 0,55x2 + 0,12x3 + 0,01x4 + 0,05x5 ≥ 46,20
Manganeso máx. : 0.7x1 + 0,55x2 + 0,12x3 + 0,01x4 + 0,05x5 ≤ 50,60
Silicio min: 0,15x1 + 0,30x2 + 0,26x3 + 0,10x4 + 0,025x5 + 0,24x6 + 0,25x7
+ 0,23x8 ≥ 94,60
Silicio máx. : 0,15x1 + 0,30x2 + 0,26x3 + 0,10x4 + 0,025x5 + 0,24x6 + 0,25x7
+ 0,23x8 ≤ 101,20
Carbono min: 0,03x1 + 0,01x2 + 0,03x4 + 0,18x6 + 0,20x7 + 0,25x8 ≥ 111,10
Carbono máx. : 0,03x1 + 0,01x2 + 0,03x4 + 0,18x6 + 0,20x7 + 0,25x8 ≤ 117,70
Aleación 2: x2 ≤ 300
Carburo 1: x6 ≤ 50
Carburo 2: x7 ≤ 200
Carburo 3: x8 ≤ 100
Producción de acero: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 2200
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
No hay solución.
 EJERCICIO 8- 17

Consulte el problema 8-16. Encuentre la causa de la dificultad y recomiende cómo ajustarla.

Después, resuelva el problema de nuevo. La dificultad del problema es que no cumple con la
restricción del mínimo de carbono y de la producción de acero.

Máximo magnesio: 4.3

Máximo silicio: 5,85

Mínimo carbono:3,25

• FO:
Minimizar el costo
• Variables de Decisión:
x1= Número de libras de Aleacion1
x2= Número de libras de Aleación 2
x3= Número de libras de Aleación 3
x4= Número de libras de Hierro 1
x5= Número de libras de Hierro 2
x6= Número de libras de Carburo 1
x7= Número de libras de Carburo 2
x8= Número de libras de Carburo 3
• Restricciones:
Porcentaje de manganeso, silicio y carbono. Libras disponibles de cada material
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
0,12x1 + 0,13x2 + 0,15x3 + 0,09x4 + 0,07x5 + 0,10x6 + 0,12x7 + 0,09x8
✓ Restricciones:
Manganeso min: 0.7x1 + 0,55x2 + 0,12x3 + 0,01x4 + 0,05x5 ≥ 46,20
Manganeso máx. : 0.7x1 + 0,55x2 + 0,12x3 + 0,01x4 + 0,05x5 ≤ 94,60
Silicio min: 0,15x1 + 0,30x2 + 0,26x3 + 0,10x4 + 0,025x5 + 0,24x6 + 0,25x7
+ 0,23x8 ≥ 94,60
Silicio máx. : 0,15x1 + 0,30x2 + 0,26x3 + 0,10x4 + 0,025x5 + 0,24x6 + 0,25x7
+ 0,23x8 ≤ 128,70
Carbono min: 0,03x1 + 0,01x2 + 0,03x4 + 0,18x6 + 0,20x7 + 0,25x8 ≥ 71,50
Carbono máx. : 0,03x1 + 0,01x2 + 0,03x4 + 0,18x6 + 0,20x7 + 0,25x8 ≤ 117,70
 Aleación 2: x2 ≤ 300
Carburo 1: x6 ≤ 50
Carburo 2: x7 ≤ 200
Carburo 3: x8 ≤ 100
Producción de acero: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 2200
Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6, 𝑥7, 𝑥8 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
Se deberían mezcla 1862,50 libras de Hierro 2, 50 libras de carburo 1, 187,50 libras
carburo 2 y 100 libras de carburo 3.
 EJERCICIO 8-18

(Problema de expansión de un hospital) El hospital Mt. Sinai en Nueva Orleans es una

instalación privada grande con 600 camas, equipada con laboratorios, quirófanos y dispositivos
de rayos X. En busca de mayores ingresos, la gerencia de Mt. Sinai ha decidido hacer un anexo
de 90 camas en una parte de terreno adyacente que, por lo pronto, se usa para estacionamiento
del personal. Los gerentes piensan que los laboratorios, los quirófanos y el departamento de
rayos X no se utilizan totalmente en la actualidad y no necesitan expandirse para manejar
pacientes adicionales. Sin embargo, agregar 90 camas implica decidir cuántas deberían
asignarse al personal médico para los pacientes médicos y cuántas al personal de cirugía para
pacientes quirúrgicos.

La contabilidad del hospital y los departamentos de registros médicos ofrecen la siguiente

información pertinente. El promedio de estancia en el hospital para un paciente médico es de
8 días y el paciente médico promedio genera $2,280 en ingresos. La estancia promedio para
pacientes quirúrgicos es de 5 días y recibe una cuenta de $1,515. El laboratorio es capaz de
manejar anualmente 15,000 pruebas más que las que manejaba. El paciente médico promedio
requiere 3.1 pruebas de laboratorio, y el quirúrgico promedio necesita 2.6 pruebas. Más aún, el
paciente médico promedio necesita una placa de rayos X, en tanto que el paciente quirúrgico
promedio requiere de dos. Si se expande el hospital en 90 camas, el departamento de rayos X
podría manejar hasta 7,000 rayos X sin costo adicional significativo. Por último, la gerencia
estima que se pueden realizar hasta 2,800 operaciones adicionales en los quirófanos existentes.
Los pacientes médicos, desde luego, no requieren cirugía, mientras que los pacientes
quirúrgicos generalmente se operan una vez.

Formule este problema para determinar cuántas camas médicas y cuántas camas quirúrgicas
deberían agregarse, con la finalidad de maximizar los ingresos. Suponga que el hospital está
abierto 365 días al año. Luego, resuelva el problema.

• FO:
Maximizar los ingresos
• Variables de Decisión:
x= Número de paciente médico
y= Número de paciente quirúrgico.
• Restricciones:
Cantidad de pruebas de laboratorio, cantidad de placas de rayos X, días de uso de
camas, operaciones quirúrgicas.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
2280x + 1515y
✓ Restricciones:
Pruebas laboratorio: 3,1x + 2,6y ≤ 15000
Rayos X: x + 2y ≤ 7000
Pacientes quirúrgicos: y ≤ 2800
Días de uso: 8x + 5y ≤ 90 ∗ 365
8x + 5y ≤ 32850
Restricciones de No Negatividad
𝑥≥0
𝑦≥0
• Solución QM

• Respuesta
Deberían agregarse 61 (2790,91*8/365=61,17) camas para pacientes médicos y 29
(2104,55*5/365=28,83) camas para pacientes quirúrgicos, obteniendo el máximo
ingreso de $9.551.659,00
 EJERCICIO 8-19

Prepare un informe escrito para el director general del hospital Mt. Sinai del problema 8- 18
sobre la expansión del hospital. Redondee sus respuestas al entero más cercano. El formato de
presentación de los resultados es importante. El director general es una persona ocupada y
quiere poder encontrar la solución óptima con rapidez en su reporte. Cubra todas las áreas dadas
en los siguientes incisos, pero no mencione variables ni precios sombra.

a) ¿Cuál es el máximo ingreso por año, cuántos pacientes médicos/año hay y cuántos
pacientes quirúrgicos/año hay? ¿Cuántas camas médicas y cuántas quirúrgicas de la
adición de 90 camas deberían agregarse?

El máximo ingreso es $9.551.659,00. Hay 2791 pacientes médicos, 2105 pacientes

quirúrgicos, 61 camas para pacientes médicos, 29 camas para pacientes quirúrgicos.

b) ¿Hay muchas camas vacías con esta solución óptima? Si es así, ¿cuántas son?
Analice el efecto de adquirir más camas, si es necesario.

No se dispone de camas vacías, y si se decidiría incrementar más camas también

incrementaría los ingresos por $276,82

c) ¿Los laboratorios se utilizan a toda su capacidad? ¿Es posible realizar más pruebas
de laboratorio por año? Si es así, ¿cuántas más? Analice el efecto de adquirir más espacio
de laboratorio, si es necesario.

No se usó toda la capacidad del laboratorio, si es posible realizar más pruebas ya que
disponemos de 876 pruebas de laboratorio y no es necesario adquirir más espacio.
 d) ¿La instalación de rayos X se usa a su máximo? ¿Es posible hacer más pruebas de
rayos X por año? Si es así, ¿cuántas más? Analice el efecto de adquirir más instalaciones
de rayos X, si es necesario.

Si se utilizó al máximo las instalaciones de Rayos X, por lo que con esta capacidad actual
no es posible realizar más pruebas de rayos X al año, y si se decidiría incrementar más placas
obtendremos $65,45 de ingresos extra por cada placa adicional.

e) ¿El quirófano se usa a toda su capacidad? ¿Es posible realizar más operaciones/año?
Si es así, ¿cuántas más? Analice el efecto de adquirir más quirófanos, si es necesario.
(Fuente: profesor Chis Vertullo).

No se usó en toda la capacidad, y si es posible realizar más operaciones al año, ya que se

podría realizar 695 posibles operaciones más, para llegar al límite máximo permitido de hasta
2,800 operaciones en los quirófanos existentes. Y no es necesario adquirir más quirófanos.

EJERCICIO 8-20

En el problema de mezclas de la compañía Low Knock Oil, se supuso que un barril de crudo
daría un barril de gasolina como producto final. Al procesar un barril de crudo, el rendimiento
típico de gasolina es de cerca de 0.46 barriles, aunque sería mayor o menor, dependiendo del
crudo en particular y del procesamiento utilizado. Sin embargo, otros productos como el diesel,
el combustible para aviación, el petróleo doméstico y el asfalto también vienen del mismo
barril. Suponga que tan solo 46% del crudo se convierte en gasolina, modifique el ejemplo de
programación lineal de la compañía Low Knock Oil para tomar en cuenta esto. Resuelva el
programa lineal en una computadora.

La compañía Low Knock Oil produce dos tipos de gasolina a precio reducido para
distribución industrial. Los tipos, regular y económica, se obtienen refinando una mezcla de
dos tipos de petróleo crudo, tipo X100 y tipo X220. Cada crudo difiere no tan solo en el costo
por barril, sino también en la composición. La siguiente tabla indica el porcentaje de
ingredientes cruciales encontrados en cada uno de los petróleos crudos y el costo por barril de
cada uno:
 La demanda semanal del tipo gasolina regular de Low Knock es al menos de 25,000 barriles,
en tanto que la demanda semanal para la gasolina económica es por lo menos de 32,000 barriles.
Al menos 45% de cada barril de gasolina regular debe ser del ingrediente A. Cuando mucho
50% de cada barril de gasolina económica debería ser del ingrediente B. Mientras que el
rendimiento de la gasolina que viene de un barril de crudo depende del tipo de crudo y del tipo
de procesamiento utilizado, para fines de este ejemplo, supondremos que un barril de crudo
rinde un barril de gasolina.

La gerencia de Low Knock debe decidir cuántos barriles de cada tipo de crudo comprar cada
semana, para que la mezcla satisfaga la demanda a un costo mínimo. Al modelar esto como un
programa lineal, el objetivo es minimizar el costo. Cada tipo de gasolina tiene una restricción
de demanda y cada tipo de gasolina tiene una restricción sobre la cantidad de ingredientes.

• FO:
Minimizar el costo
• Variables de Decisión:
x1= Cantidad de barriles de crudo X100 mezclados para producir gasolina regular
x2= Cantidad de barriles de crudo X100 mezclados para producir gasolina económica
x3= Cantidad de barriles de crudo X220 mezclados para producir gasolina regular
x4= Cantidad de barriles de crudo X220 mezclados para producir gasolina económica
• Restricciones:
Demanda de gasolina, porcentaje de ingredientes para la gasolina regular y
económica.
• Modelo de PL del problema planteado
✓ FO:
30x1 + 30x2 + 34.80x3 + 34.80x4
✓ Restricciones:
Demanda gasolina regular: 0,46x1 + 0,46x3 ≥ 25000
Demanda gasolina económica: 0.46 x2 + 0,46x4 ≥ 32000
Ingrediente A: 0,35x1 + 0,60x3 ≥ 0,45x1 + 0,45x3
 0,35x1 − 0,45x1 + 0,60x3 − 0,45x3 ≥ 0
−0,10x1 + 0,15x3 ≥ 0
Ingrediente B: 0,55x2 + 0,25x4 ≤ 0,50x2 + 0,50x4
0,55x2 − 0,50x2 + 0,25x4 – 0,50x4 ≤ 0
0,05 x2 – 0,25x4 ≤ 0
✓ Restricciones de No Negatividad
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ≥ 0
• Solución QM

• Respuesta
Se va usar 32.609 barriles de crudo X100 para producir gasolina regular, 57.971 barriles
de crudo X100 para producir gasolina económica, 21.730 barriles de crudo X220 para
producir gasolina regular y 11.594 barriles de crudo X220 para producir gasolina
económica. Así obtenemos el costo mínimo de $3.877.391,00.