POLINOMIOS ESPECIALES I

Polinomios Especiales.
El prefijo homo significa igual.
Son aquellos polinomios que cumplen con una cierta característica.
Ejemplo:
3 2 4
1. Polinomios Homogéneos x y + 2xy
Son aquellos polinomios que tienen todos sus términos de igual G.A.
Poseen igual Grado Absoluto
Ejemplo:

2 5 6 4 3 7
P(x, y) = -3x y + 13xy + 27x y – 5y

7º 7º 7º 7º

Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 7.

2. Polinomios Completos con respecto a una de sus

Variables
Son aquellos polinomios que tienen a una de sus variables con todos sus exponentes; desde el mayor hasta
cero (término independiente).

Ejemplo:

Las constantes no son

7 4 2 5 3 6
P(x) = 8x – 3x + 2x – x + 37x + 12 – 27x + 5x
monomios.
7º 4º 2º 5º 1º 0º 3º 6º Ejm.: 7; 5 no son monomios.
El grado de toda constante es
La variable “x” tiene todos sus exponentes desde 7 hasta 0. cero.

a. Llamamos término independiente con respecto a una letra al término que

no contiene dicha letra, o sea el exponente de esa letra es cero.

b. Todo polinomio completo con respecto a una de sus letras tiene siempre un

término más que la mayor potencia de la letra considerada.

En el ejemplo anterior, el polinomio siendo de 7º grado tiene 8 términos.

Un polinomio de grado “n” tendrá (n + 1) términos con respecto a la letra

considerada.
 8 9 7 17 16
I. Escribe 5 polinomios homogéneos : 9. P(x, y) = 4x y – 3z y + 13y x

1. _________________________________ III. Escribe 4 polinomios completos :

2. _________________________________
10. _________________________________
3. _________________________________
11. _________________________________
4. _________________________________
12. _________________________________
5. _________________________________
13. _________________________________

II. Determinar el grado de homogeneidad de cada

uno de los problemas : IV. Determinar “a + b” si los polinomios son
homogéneos :
4 5 8 2
6. P(x, y) = -3x y z + 2xy z
4 a 2 b 9
14. P(x, y) = 8x y – 3x y + 12x
3 7 8 2 9 2 11
7. P(x, y, z) = 12x y z – 3xy z + 2x y – 3z
a 7 3 12
15. P(x, y) = -13xy + 7xb y + 13x y
2 4 3
8. P(x, y) = 7x y2 – 2x + 3x y

2 4 3 4 4 2
I. Escribe 5 polinomios homogéneos : 9. P(x, y, z) = 8xy z – 0.4x y + 12.7 x yz

1. _________________________________ III. Escribe 4 polinomios :

2. _________________________________

3. _________________________________ 10. _________________________________

4. _________________________________ 11. _________________________________

5. _________________________________ 12. _________________________________

13. _________________________________

II. Dar el grado de homogeneidad de los siguientes

polinomios : IV. Dar el valor de “a + b” si los polinomios son
completos :
4 7 8 3 10
6. P(x, y) = 7x y – 12x y + 9.5x y
4 2 a b
14. P(x) = 8x – 3x + 2x – 5x + 12
2 2
7. P(x, y) = 12xy + 3x – 9.8y
6 3 2 a b
15. P(x) = 12x – 8.4x + 9x + 7x + 3x – 12x – 5
2 2 3 3 2
8. P(x, y) = 7x yz – 5.4xy z + 11x z
 POLINOMIOS ESPECIALES II
Dentro de los polinomios especiales aún se puede mencionar los siguientes:

1. Polinomios Idénticos Evalúa las expresiones:

2 3 2
Se dice que 2 polinomios son idénticos cuando ambos
x (x + 1) ; x + x
resultan con el mismo valor asumidos por sus variables y que para:
estará determinado por el grado. x = 0; x = 1; x = 2; …
2 2
¿Por qué los resultados son iguales?
Ejemplo: (x - 1) + 1  x – 2x + 2

Ambos polinomios serán idénticos porque siempre tendrán

los mismos valores numéricos.

Prueba para x = 3, ¿te salieron iguales?. Ahora prueba para

x = 5, ¿te salieron iguales?. Bien tú dale un valor para “x”
ahora:

2. Polinomios Idénticamente Nulos

Son aquellos polinomios donde siempre su valor numérico
Evalúa la siguiente expresión:
es cero (para cualquier valor de la variable). 2
2x – 2x(x - 4) – 8x
4 2
Ejemplo: P(x) = 0x – 0x + 0x + 0 para:
x = 0; x = 1; x = 2; …
Prueba para x = 2, ¿te salió cero?. Prueba ahora para x = -3,
¿Por qué los resultados son iguales?
¿qué valor te resultó?. Ahora dale tú valor a “x”, ¿qué valor
salió?

EJERCICIO PARA ANALIZAR EN CASA

1. Escribe tu 3 polinomios idénticos y 2 polinomios idénticamente nulos:

1. _____________________________________

2. _____________________________________

3. _____________________________________

4. _____________________________________

5. _____________________________________
 3 4 3 4
I. Diga Ud. si los siguientes polinomios son 8. P(x) = 5x – 0.7x + Ax + Bx
idénticos :
5 3 3 5
9. P(x) = 9x – 3x + Ax – Bx
2 2
1. (x + 4) + 3  x + 8x + 19
3 2 4
10. P(x) = (A + B)x + (B - 7)x + 0x
3 2 2 3 3 3
2. x + 3x y + 3xy + y  x + y + 3xy(x + y)
III. Halle Ud. El valor de “A + B” en cada
7 3 4 4 3 3 3 7
3. x + 4x y - 4x y  4x y (y + x + 1) + x polinomio si sabe que son polinomios
idénticamente nulos
2 2
4. (x – 3) + 8  x – 6x + 17
5 3 3 5
11. P(x) = Ax + Bx – 5x + 8x
2 2
5. (x - 1) – 1  x + 2x
8 4 8 4
12. P(x) = 7x – 27x + (7A)x – (9B)x
II. Determinar los valores de A y B si cada
2 2 2 2
polinomio es idénticamente nulo : 13. P(x) = -3x + Ax + 0.3x + Bx

2 3 3 4 4
6. P(x) = (5A)x + (2 + B)x + 0x 14. P(x) = 8x – 7Ax – 6x + 7Bx

7 3 5 29 5 29
7. P(x) = (A + 3)x + (B + 7)x + 0x 15. P(x) = 9x – 27x + Bx – Ax

I. Diga Ud. si los polinomios son idénticos :

9. _______________________________
2 3 4 2 3 4
1. 5x – 3x + 2x  5x + 3x + 2x

2 2 10. _______________________________
2. (x - 2) + 3x – 2  x – x + 2

2
3. (x + 5) + 2x + 1  x + 27x + 26
2 III. Calcule los valores de A y B si cada polinomio
es idénticamente nulo.
2 2
4. (X + 1) – 2x  x + 1 2 5 5
11. 8Ax + (B - 4)x + 7x
2 2 2 2
5. (x + y + z) – 2(xy + yz + zx)  x + y + z 3 8 8 3
12. (72 + A)x + 9x – Bx – 36x
II. Escribe 3 polinomios idénticos y 2 polinomios
3 3 3
idénticamente nulos : 13. (A + B - 3)x + 92x – 0.6x

4 4 4
6. _______________________________ 14. (A + B)x + (A + 3)x – Bx

5 3 5 3
15. (7B)x + (A + 27)x – 14x – 27x
7. _______________________________
8. _______________________________
 PRODUCTOS NOTABLES I
Observa la figura y halla el área total:
Es un cuadrado de lado (a + b), pero luego hacemos 2 cortes imaginarios
tal que se forman figuras geométricas, 2 cuadrados (lados = a y
lados = b), y 2 rectángulos tenemos:
a
1 4
2
Área total = (a + b) ..... ()
Ahora sumemos partes :
2
Cuadrado 1 :a
b 3 2
Cuadrado 2 : b2
Rectángulo 3 : ab
a b
Rectángulo 4 : ab
2 2 2 2
a + ab + ab + b  a + 2ab + b
2 2 2
que también es el área total; entonces igualando : (a + b)  a + 2ab + b

Binomio al Cuadrado:
2 2 2 2 2 2
1. (a + b)  a + 2ab + b 2. (a - b)  a – 2ab + b

2
Ejemplos: 5 = 25
pero también : 5 = 3 + 2
2 2 2
 (3 + 2) = 3 + 2(3)(2) + 2 = 9 + 12 + 4 = 25
¡SALIÓ LO MISMO, VES QUE INTERESANTE!
Ahora tu hazlo con : (4 + 1) ¿Qué te resultó?

Diferencia de Cuadrados:
Un día estaba Jorgito y Emerson, discutiendo quien podía dibujar el cuadrado más grande.
Jorgito : Mira Emerson mi cuadrado será recontra grande y te voy a ganar.
Emerson : Te equivocas yo lo voy a dibujar más grande, y vas a perder.
Jorgito : Ya, para saber quien ganó, llamaremos a OMED para que él lo calcule y tu no te piconees.
Emerson : Me parece bien. Cuando cuente 3 comenzamos.
Emerson : 1, 2,... y ...3
Luego de casi 2 horas ambos terminan de dibujar sus cuadrados y se lo dan a OMED.
OMED : Bien chicos, espérenme 5 segunditos.
..... 5 segundos después ...
OMED : El cuadrado de Emerson tiene lado 8 y el cuadrado de Jorgito tiene lado 7.
Emerson : ¿Quién ganó?
Jorgito : El que tenga el área más grande.
OMED : Calcule sus área muchachos.
Lo que no sabían los niños era que OMED tenía un diploma para el ganador.
 Para el Señor : _________________

Por haber ocupado el 1er puesto en

dibujar el cuadrado más grande.

Ganando con una diferencia entre las

áreas de : ____________________

Ayuda a OMED a calcular la diferencia de áreas.

¡VAMOS TÚ PUEDES!
2
Área del cuadrado de Emerson : 8 = 64
2
Área del cuadrado de Jorgito : 7 = 49
2 2
Restando : 8 – 7 = 64 – 49 = 15
entonces: GANADOR : EMERSON
2 2
pero imagínate que tú no sepas cuánto es 8 y 7 y los estés restando. ¿Qué haces?

OMED : Yo te digo; usa ...

2 2
a – b = (a + b) (a - b)
2 2
compruébalo: 8 – 7 = (8 + 7)(8 - 7) = 15
ya ves; y solo sumaste, restastes y multiplicaste.
¡QUE FÁCIL!
Si a un alumno en Grecia Antigua se le pedía hallar el
2
desarrollo de (a + 2) .

El procedía así:
a 2
2
a a 2a
2
a 2a 2a 4
2 2a 4

2 2
(a + 2) = a + 4a + 4
 2 2
Resolver usando los productos notables : 9. 7 - 2 =

2 2 2
1. (8 + 2) = 10. 6 - 13 =

2
2. (a + b) = Diga Ud. si es verdadero ó falso :

2 2 2
3. (3 + 5) = 11. 5 – 3 = 17 (V) (F)

2 2 2
4. (x + 3y) = 12. 8 – 2 = 60 (V) (F)

2 2 2
5. (2a + 3y) = 13. 4 – 1 = 15 (V) (F)

2 2 2
6. (5 - 3) = 14. 3 – 3 = 1 (V) (F)

2 2 2
7. (5a – 3b) = 15. 7 – 11 = -72 (V) (F)

2 2
8. 9 - 3 =

 Resolver usando los productos notables : ( a  b) 2  ( a  b) 2

10. = E, ¿cuánto vale E?
4 ab
2
1. (3 + 2) =
a) 2a b) 3b c) ab
2
2. (1 + 7) = d) 1 e) 4ab

( a  b) 2  ( a  b) 2
2
3. (x - y) =
11. = E, ¿cuánto vale E?
4( a 2  b 2 )
2
4. (5 + 8) =
2 2
a) 2 b) 1/2 c) a + b
2 2
5. (x + 2y) = d) a – b e) a + b

2
6. (x – 2y) = 12.
2
Demostrar que : (a + b) – (a - b) = 4ab
2

2
7. (2y - 1) = 13.
2
Demostrar que : (a + b) + (a - b) = 2(a +
2 2

2
b )
2
8. (13 - 3) =
2 2 2
14. (x – 3y) = x – 6xy + 3y (V) (F)
2
9. (x - 2) =
2 2
15. (2y + 3) = 4y + 12y + 9 (V) (F)
 PRODUCTOS NOTABLES II

Estaba una vez Juancito caminando por la calle y encuentra 2 amiguitos que debatían quien hacia más rápido un
problema: uno le decía al otro yo te voy a ganar; no, yo te ganó.

El problema era: (x + 3) (x - 2) = ??

Los 2 empataron: ambos resolvieron el problema en 10 minutos. Pero Emerson dijo : yo lo hago en 10 segundos. 10
segundo después...

2
Listo muchachos acabe. Pero Emerson como lo hiciste, fácil: primero pones la x , segundo sumas las segundas

componentes y lo multiplicas por x; o sea (3 - 2)x, tercero para acabar pones la multiplicación de estos dos
componentes; o sea (3) (-2); y listo.

2
Lo que Emerson hizo fue : (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab
2 2
(px + a) (px + b) = p x + (a + b)px + ab

Se le conoce: multiplicación de binomios con término común.

En la Grecia Antigua si a un estudiante le pedían el resultado de

multiplicar:
(x + 2) (x + 3)
El procedía así:
x 3
2
x x 3x
2
x 2x 3x 6
2 2x 6

2
(x + 2)(x + 3) = x + 5x + 6
I. Resolver usando el producto notable : 9. (6y + a) (6y - b)

2 2
1. (a + b) (a + c) 10. (3x - 2) (3x - 1)

2. (x + 2) (x + 4) II. Indicar si es verdadero ó falso :

3. (y - 1) (y - 2) 11. (x - 2) (x + 3) = x – x – 6
2
(V) (F)

4. (x + 2) (x + y) 12. (y + 1) (y - 2) = y – y + 2
2
(V) (F)

5. (x - 5) (x + 2) 2
13. (2y + 3) (2y - 1) = 4y + 4y – 3 (V) (F)

6. (2y + 3) (2y - 1) 3 3 6 3
14. (3x - 1) (3x + 2) = 9x + 3x – 2 (V) (F)
3 3
7. (y - c) (y + d) 2 2 4 2
15. (2y + a) (2y - b) = 4y + 2y (a - b) + ab
2 2 (V) (F)
8. (2x + 1) (2x + 2)

I. Desarrollar los siguientes problemas : III. Reducir :

1. (x + 3) (x - 3) = 11. (x - 6) (x + 3) + 3x + 18

2
2. (x + 4) (x - 8) = a) 1 b) 3x c) x
d) 18 e) 3x + 18
2 2
3. (3x – 2) (3x + 2) =
2
12. (x - 3) (x + 4) – x – x + 10
4. (x - 2) (x + 3) =
2
a) 2 b) x c) –2
5. (yx - 2) (yx + 4) = d) x e) 0

II. Diga Ud. si es verdadero o falso :  3y  1  3y  1 

13.
6. (x - y) (x + y) = x + y
2 2
(V) (F) 5(3y 2  1)

2 a) 1 b) 5 c)
7. (2x - 3) (2x + 4) = 4x + x + 12 (V) (F) 3y
d) 1/5 e) y
8. (yx - 1) (yx + 3) = y2x2 + 2yx – 3 (V) (F)
14. (3 + x) (3 - y) – (3x – 3y - xy)
2 2 4 2
9. (3x + y) (3x - y) = 9x – y (V) (F)
a) 0 b) 3 c) 9
10. ( 5 y - 2) ( 5 y + 5) = 5y + 3 5 y – 10 d) 1 e) 0
(V) (F)
15. (1 + x) (1 - x) = E
 PRODUCTOS NOTABLES III

 Suma de Cubos :
2 2 3 3
(a + b) (a – ab + b ) = a + b

 Diferencia de Cubos :
2 2 3 3
(a - b) (a + ab + b ) = a – b

Ejemplo:
2 2 2
 (x - 1) (x + x + 1) – (x + 1) (x – x + 1)  (4x – 2x + 1) (2x + 1) = N
2 2
(2x + 1) ((2x) – (2x) (1) + 1 )
3 3 3 3
(x – 1 ) - (x + 1 )
3 3 3 3
 x – 1 – x – 1 = -2 (2x) + 1
3
N = 8x + 1
2
 (9x + 3x + 1) (3x - 1) = N
2 2
(3x - 1) ((3x) + (3x) (1) + 1 ) = N

3 3
(3x) – 1
3 En cuántos pasos puedes resolver el
N = 27x - 1
siguiente ejercicio:
3 3 3 3 3
( 3  2)( 9  6 4)

Rpta.: En un paso ¿por qué?

6 3 3
III. Resolver usado suma ó diferencia de cubos : 8. (4x – 2x + 1) (2x + 1) =

2
1. (x + 3) (x – 3x + 9) = 3 3 3 2 3 3
9. ( 10 - 2 ) (( 10 ) + 20 + 4)=

2
2. (x - 4) (x + 4x + 16) =
3 3 3 2
10. (2 + 2 ) (4 - 2 2 +( 2) )=
3 3
3. (x - 8 ) =

IV. Resolver :
2
4. (2 - x) (4 + 2x + x ) =
3 3 2 3
i. E=( 2 - 1) (( 2) + 2 + 1)
2
5. (2x - 1) (4x + 2x + 1) =
2 4 2
6. (x + 3) (x – 3x + 9) =
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4 2 2
7. (x + 3x + 9) (x - 3) =
 (2x  1)( 4 x2  2x  1)
ii. E=
3 3 3 3 3
16x3  2 iii. ( 10 - 2)( 100 + 20 + 4)

a) 1 b) 1/2 c) 1/16 a) 1 b) 8 c) 3
d) –1 e) 3 d) 5 e) -2

2 2
iv. (2 - y) (2 + y) (4 – 2y + y ) (4 + 2y + y ) +
6
y – 60

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) y

3 3 3
v. ( 12 + 2) ( 144 - 2 2 + 4)

a) 15 b) 12 c) 20
d) 18 e) N.A.

IV. Resolver usando suma ó diferencia de cubos V. Resolver :

:
3 3 3 3 3
11. E = ( 4- 10 ) ( 6 + 40 + 100 )
2
1. (x – 3) (x + 3x + 9) =
a) 6 b) 4 c) 10
d) –6 e) 2
2
2. (x + 4) (x – 4x + 16) =
3 3 3
12. E = (2 + 8 ) (4 - 2 8 + 64 )
3 3
3. (x + 3 ) =
a) 0 b) 4 c) 16
4. (27x - 1) =
3 d) 8 e) N.A.

2 3
3 13. E = (1 + y) (1 – y + y ) – y
5. (8y - 2) =

a) 1 b) 2 c) 3
2 4 2
6. (y - 3) (y + 3y + 9) = d) y e) y
2

2
7. (4y - 1) (16y + 4y + 1) =
4 2 3 3 3
14. E = (3 - 4)( 16 + 3 4 + 9) – 23

3 6 3 2
8. (y - x) (y + xy + x ) = a) 1 b) 2 c) –2
d) –1 e) 0

3 3 3 3 3
9. ( y - x)( y2 + xy + x2 ) 3 3 3 3 3
15. E = ( 3+ 12 ) ( 9- 36 + 144 )- 14

3 3 3
10. ( a - 1) ( a2 + a + 1) = a) 1 b) 0 c) 2
d) –1 e) 29
 DIVISIÓN ALGEBRAICA I
Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas
dividendo y divisor.
Sabías
En el esquema: Donde:
D : Dividendo que A la Identidad Fundamental
D d d : Divisor de la división también se le
r q q : Cociente conoce como Algoritmo de
r : Resto o Residuo Euclides quien fue un
matemático griego que vivió
Siempre se cumple:
hace más de ¡2 mil años!

D = dq + r

Llamada identidad fundamental de la división.

Ejemplo:
25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59
21 3 Divisor = 7 54 6 d=9
4 Cociente = 3 5 q=6
Resto = 4 r=5

Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5

25 = 7 . 3 + 4

Con números
AHORA TU! ¡Es fácil!
Pero con
 17 3 D= 31 5 D= polinomios ¿cómo
d= d= se opera?
q= q=
r= r=

Luego ¿qué se cumple? Luego:

17 = 31 =

Recordemos
LEY DE SIGNOS Ten presente:
( ) (–) La división de signos
 ( )  (–)
( ) ( ) iguales da (+).
La división de signos
(–) ( )
(–)
 ( )
(–)
 (–) diferentes da (–).

Ejemplos:
24 28 20 27
4  7  10  3
6 4 2 9
35 16 64 49
5  8 8  7
7 2 8 7
 AHORA TU! 12
Observa que:
3
12

36

72

54

es lo mismo que
3 6 8 6 escribir 12  3 es
25 42 81 36 decir toda fracción
   
5 7 9 3 indica una división.

LEYES DE EXPONENTES
Recuerda siempre que
bm m n la división entre cero no
b
bn esta definida por
ejemplo las siguientes
Ejemplos: divisiones no se
pueden realizar:
x5 x8
 x 5  2  x3  x8 3  x5 5 7 24 4
2 3 ; ; ;
x x
0 0 0 0

b24 b35
 b24 10  b14  b35 17  b18
b10 b17

AHORA TU!
x7 m30
 
x3 m12 Ahora que ya
recordamos
x10 b27 estudiemos como
 
x8 b18 se dividen los
polinomios.

1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS

Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la
Ley de Exponentes.

Ejemplos:

35x8  48x 7
 7 x8 3  7 x 5  6x 7  4  6x3
3 4
5x 8x
 24 x10 36x12
 4 x10  7  4 x3  9x12  8  9x 4
 6x 7  4x 8

63x 5 y 8  60x8 y10

 7 x 5  2 y 8  3  7 x3 y 5  5x8  4 y10  7  5x 4 y3
9 x2 y 3 12x 4 y 7

 56x10 y12 55x13 y3

 7 x10  7 y12  5  7 x3 y 7  11x13  5 y3 2  11x8 y1  11x8 y
 8x 7 y 5  5x 5 y 2
 AHORA TU! Todo número
25x 5
 80x 12 diferente de cero
3
  elevado a la cero es
5x 8x10
1. Ejemplo:
 56x10 81x15 5º = 1; 4º = 1; (-2)º =
 
 7 x5  9x10
1; 0º : indefinido

28x5 y 7  28x10 y 5
 
7 x2 y 4 4x6y 5

 35x10 y 7 30x 5 y12

 
 35x 7 y2  6x 4 y 6

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO

Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:
abc a b c
Sabías
  
m m m m En que
la Región de
Ejemplos: Mesopotamia, lo que
284 2 8 4
actualmente es Irak se han
    encontrado tablillas para
2 2 2 2
dividir utilizadas por los
3  9  12 3 9 12 Babilonios del 2000 al 600
   
3 3 3 3 a.C.
12  24 12 24
  
6 6 6

15  25  35 15 25 35
   
5 5 5 5

4x 5  8x 4  12x10 4x 5 8x 4 12x10
     2x2  4 x  6x 7
3 3 3 3
2x 2x 2x 2x

35x8  14x10  49x13 35x8 14 x10 49x13

     5x3  2x 5  7 x8
7x5 7 x5 7x5 7x5

18x 9  27 x10  54 x11

 
9x 9

 20x15 y10  30x3 y 7  40x8 y 7

 
10x 4 y3

 35x 5 y10z20  56x 7 y 7 z14

 
 7 x2 y 4z10

64 x8 y8  32x 9 y 9
 
 8x 4 y 5
 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

3 7. Simplificar:
1. Al dividir: 12x y entre 4xy
Se obtiene: mx
n
15x3 y 5 20x 7 y2
M 
n 5xy 4 10x 5 y
Hallar: m1

2 2 2
a) 2 b) 1 c) 3 a) x y b) 3x y c) -2x y
2 2
d) 4 e) 5 d) –x y e) xy

3 2 4 2 3 8. Reducir:
2. Luego de dividir: -36x y z entre 3x yz
Se obtiene: mx y z
n p q 8x 6 y 9 6x8 y 7 12x 4 y3 32x8 y12
  
m 4 x2 y 7  3x 4 y5 3x3 y 8x 7 y10
Calcular:
npq
4 2 2
a) x y b) 0 c) xy
3 2
a) 12 b) -4 c) 3 d) 2x y e) 1
d) -2 e) 1
9. Simplificar:
12xn y3 25x 5 y 7 12xn y10
3. Si:  4xy2 
mx 4 yp 5 x3 y3 6x 5 y 6
M
Calcular: m + n – p 28x 4 y3  x 5 y8

7 x3 y x4 y6
a) 6 b) 7 c) 9
d) 3 e) 1 2 4 2
a) 1 b) 3x y c) 3xy
2
3 2
d) xy e) xy
4. Luego de dividir: 16x + 8x entre 2x
Calcular la suma de coeficientes del cociente. 10. Reducir:

20x5  15x 7 24 x 7  16x 9

a) 4 b) 8 c) 2 G 
3
d) 12 e) 24 5x  8x 5

2 4 2 4 2
5. Calcular el cociente en: a) x + y b) x + x c) x
4
d) x e) 0
32x8 y 5  16x 7 y12
8x 4 y2
Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este 11. Simplificar:
cociente.
32x5 y3  64 x 7 y 9 72x10 y10  36x8 y 4

a) 12 b) 7 c) 3 8x3 y2 9x 6 y 3
d) 14 e) 6
2 4 7 2
a) x y + x y b) 0 c) 4x y
15x8 y 7  12x10 y 5 4 7
d) x y e) –x y
2
6. Si de: se obtiene un
3x3 y3
cociente. Calcular el grado. 12. Reducir:

16x 7  32x9  8x 4
a) 7 b) 5 c) 4 4 x3
M
d) 3 e) 2 20x 11
 40x13  10x8
5x 7
 2 4 3
Si: x + x + x = 1
4 6 4
a) x + x + x b) 1 c) 3x
4 6 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4x e) 8x
d) 4 e) 5
13. Reducir:
15. Calcular el valor de:
27 x5 y 6
M
50x 5  55x 7
9x 2 y 4 L
3 2 5x3
Si: x y = 3 2 4
Si: x = 2 y x =4

a) 3 b) 1 c) 27
a) 50 b) 44 c) 14
d) 9 e) 15
d) 64 e) 94

14. Hallar el valor de:

36x5 28x 7 64 x8
N  
9x 3 7 x3 16x5

TAREA DOMICILIARIA Nº 1
5 3 2 a) 6 b) 9 c) 3
1. Luego de dividir: 20x y entre 5x y
n p d) 15 e) 8
Se obtiene: mx y
mp
Calcular:
n
5. En la división:

a) 3 b) 1 c) 2 49x16 y13  42x15 y21

d) 4 e) 6 7 x14 y 9
Luego de obtener el cociente.
7 10 12 3 5 8
2. En la división de: 48x y z entre 12x y z Calcular: GR(x) – GR(y)
b c d
Se obtiene: ax y z
a) 2 b) -10 c) 10
(b  d)c
Hallar: d) 12 e) 14
a

a) 5 b) 10 c) 16
d) 4 e) 8 64 x13 y10  48x9 y14
6. Al dividir: se obtiene un
8x 8 y 3
ax 8 y c polinomio homogéneo. Calcular el grado de
3. Si:  9x 5 y 4
b 5 homogeneidad.
9x y
ac
Calcular: a) 5 b) 7 c) 2
b
d) 8 e) 12

a) 24 b) 72 c) 26
7. Simplificar:
d) 14 e) 28
42x 5 y8 72x10 y12
M 
24 x5  36x 7 6x2 y 12x 7 y 5
4. En la división: calcular la suma
4 x2
3 7 3 7 3 7
de coeficientes del cociente. a) 13x y b) 7x y c) 6x y
d) 1 e) 0
 12. Reducir:
8. Simplificar: 35x 7  63x10
 14x15 y20 28x25 y18 7x4
 N
15
7 x10 y17 14x20 y15 40x  72x18
8x12
5 3 5 3
a) 3x y b) 0 c) -2x y
3 6
a) 1 b) 5x – 9x c) 2
d) 1 e) 2
3 6
d) x e) x
9. Reducir:
13. Simplificar:
75x15 y17
5x8 y13 28x19 y27 z20
G J
39x25 y37 7 x12 y24 y11
7 3 9
13x18 y33 Si: x y z = 2

a) 3 b) 1 c) 2 a) 2 b) 4 c) 8
d) 16 e) 1
d) 15 e) 5

14. Hallar el valor de:

10. Simplificar:
39x 42 y37 z27
 35x14  42x10 40x19  48x15 R
N  3x25 y14z19
7x7 8x12
17 23 8
Si: x y z = 4
a) 1 b) 0 c) 2
7 3 7 3 a) 52 b) 4 c) 1
d) x + x e) x – x
d) 13 e) 2

11. Reducir:
15. Calcular el valor de:
45x12 y 4  54 x10 y 7 36x8 y 7  96x 6 y10
M  28x9  24 x10  32x 5
9x10 y 4 12x 6 y 7 P
4 x3
6 2 7
2 3 2 3 2 3
Si: 7x + 8x = 6x
a) 5x – 6y b) 2x + 2y c) -3x + 8y
d) 1 e) 0 3 2
a) x b) 2 c) x
d) 1 e) 0
 DIVISIÓN ALGEBRAICA II

comparemos Observa que:

39 > 8 y 7 < 8
Ejemplo:
Luego siempre se cumple
39 8 (D) Dividendo = 25
que:
32 4 (d) Divisor = 7
Dd y r<d
Compruébalo con otros
7 (q) Cociente = 3
ejemplos.
(r) Resto = 4

Luego se cumple:
39 = 3 . 4 + 7 Al igual que con los números
D = d q r naturales, con los polinomios
debe cumplirse:
Ejemplo: Dd y r<d
De la división de polinomios: Pero respecto al grado así:
2
x + 5x + 7 x+2
2
D(x) = x + 5x + 7 Grado del Grado del
Dividendo
 Divisor
x+3 d(x) = x + 2
1 q(x) = x + 3 Grado del Grado del
r(x) = 1 Resto < Divisor

Puedes comprobar mediante multiplicación que:

2
x + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1

En el ejemplo
anterior ¿cómo se
halló el cociente y
el resto?
Resolvamos esta
inquietud
3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
MÉTODO DE HORNER
Para poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados
descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros.

Ejemplo:
2
Dividir: 8x + 3x + 11 entre 2 + x

Ordenemos los polinomios dividendo y divisor Sabías Horner

2
D(x) = 3x + 8x + 11 d(x) = 3x + 2 que invento su
método en
Luego: Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11
1819
Coeficientes del Divisor: 3, 2
 Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema:

Coeficientes del Dividendo

observa
Con signo
cambiado
  + +

Las operaciones que se

Coeficientes del Coeficientes del realizan se repiten
Cociente Resto primero se divide luego
De esta manera: se multiplica después
3 3 8 11
sumamos para
nuevamente dividir y así
Con signo sucesivamente.
cambiado -2

Número de espacios igual

al Grado del Divisor

Y procedemos del siguiente modo:

 +
Dividimos: Multiplicamos: Sumamos:
3 3 8 11 3 3 8 11 3 3 8 11

= -2
-2 -2 -2
6

= 1 1 1
x

+
Dividimos: Multiplicamos: Sumamos:
3 3 8 11 3 3 8 11 3 3 8 11

-2 -2 -2 -4 -2 -2 -4

=
1 2 1 2 1 2 7
= x

Luego el esquema resulta: recuerda

3 3 8 11 Luego la línea punteada
solo se suma.
-2 -2 -4  q(x) = 1 . x + 2 = x + 2 Además el cociente y
R(x) = 7 resto que se obtienen
1 2 7 están completos y
Coef. del Coef. del ordenados
Cociente Resto decrecientemente.
 3 2 2
 Dividir: 4x + 4x + 1 – 3x entre x + 2x - 3
Ordenemos:
3 2
D(x) = 4x + 4x – 3x + 1 Ubicamos los coeficientes
2 2 4 4 -3 1
d(x) = 2x + x – 3 en el esquema:
signo -1
cambiado
3

Procedemos: 2 espacios porque el

grado del divisor es 2.
Dividimos: Multiplicamos: Sumamos:
 +
2 4 4 -3 1 2 4 4 -3 1
2 4 4 -3 1
-1 -2 6 -1 -2 6
-1
3 3 2
3
x 2
x 2 2
x
Dividimos: Multiplicamos: Sumamos:
+ +
2 4 4 -3 1
2 4 4 -3 1 2 4 4 -3 1
-1  -2 6
-1 -2 6 -1 -2 6
3 =
3 = -1 3 3 -1 3
2 1
x 2 1 2 1 2 4
=
x
Resumiendo: Si el resto de una
+ + + división no es nulo
2 4 4 -3 1 (R(x)  0) entonces
la división se llama
-1 -2 6  Q(x) = 2x + 1
R(x) = 2x + 4
inexacta.
3
 -1 3

x 2 1 2 4

+ + + +
x 4  3x  5x2  3x3  4
 Dividir:  1 1 -3 5 -3 4
x2  3x  4 4
3 3 -4
Si el resto de una
-4 0 0
división es nulo (R(x)
 3 -4
 0) entonces la
división se llama x 1 0 1 0 0
exacta. 
2
Q(x) = 1 . x + 0x + 1 ; R(x)  0
2
Q(x) = x + 1
 ¡Ahora tu!
+ +
2
10x  11x  1 5 10 11 1
 Dividir:
5x  2
2 4

 Q(x) =
R(x) = 3 7
x

+ +
6x2  8x 6x2  8x  0 3 6 -8 0
 Dividir:  
3x  2 3x  2
-2 8
 Q(x) = 
R(x) =
2
x

15x3  5  3x2 15x3  3x2  0x  5 3 15 -3 0 5

 Dividir:  
2 2
3x  2 3x  0x  2 0 0 -10

-2
 0 2
 Q(x) =
R(x) =
x

8x3  6x2  5x  1
 Dividir:
2x 2  1  x

 Q(x) =
R(x) =
 EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Hallar el cociente en las siguientes divisiones:

35x5  15x3  7  16x2
2
x  8x  18 10.
1. 5x 3  2
x3
2
a) 3x – 1 b) 2x + 1 c) 4
a) x + 5 b) x + 1 c) x 2 2
d) x + 3 e) 3x - 8
d) x – 2 e) x + 3
11. Indicar el término independiente del resto en la
2 siguiente división:
x  5x  7
2.
x2 6x3  x2  2x  6
 2x  3x2  1
a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7
d) x – 7 e) x - 3 a) 1 b) 3 c) 4
d) 7 e) 2
x3  3x2  5x  7 12. Indicar si la siguiente división es exacta o
3.
x 1 inexacta.

2 2 2 3x3  2x2  9x  6
a) x + 2x – 3 b) x - 2x – 3 c) x + 2x + 3
2 2 x2  3
d) x - 2x – 8 e) -x + 2x + 3 Si es inexacta indicar el resto.
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones: a) Es exacta b) 1 c) 2x
6x2  x  4 d) 3 e) 4x - 2
4.
3x  1 13. En la siguiente división:

a) -1 b) 5 c) 3 x 5  2x3  4x2  5
d) 6 e) 2 x3  4
Calcular la suma de coeficientes del cociente.
10x3  33x  9x2  22 a) -1 b) 2 c) 0
5.
5x  2 d) 3 e) 1

a) 8 b) 1 c) -2 14. Dada la siguiente división exacta:

d) 4 e) -8 2x 4  x3  x  2x2
2x  1
27 x3  9  12x Hallar el mayor coeficiente del cociente.
6.
3x2  2x a) 3 b) 2 c) -1
d) 1 e) -2
a) 1 b) 2 c) 3
d) -8 e) 9 15. Hallar “b” si la siguiente división:
x2  8x  b
16x 4  7 x  25x2  7 x3
7.
 5 x2  4 x3 es exacta:

a) 7x b) 3 c) 7x + 7 a) 13 b) 12 c) 14
d) 15 e) 2
d) 7 e) 2x - 1

44 x2  21x 4  3x  14
8.
3x2  5

a) 5 b) 2x + 4c) 3x - 1
d) x – 1 e) 2x – 2

16x 5  2x  32x2  13  18x3

9.
2x3  3x  4
2
a) 4x + 3 b) 1 c) 3x - 1
d) 7x + 1 e) 7x
 TAREA DOMICILIARIA Nº 2

I. En las siguientes divisiones hallar el cociente:

 14 x5  35x2  x  2x3  8
2 10.
x  7 x  10
1. 5  2x 3
x4
a) x – 1 b) x + 2 c) x - 3
a) x – 2 b) x + 3 c) x + 4 d) x – 4 e) 0
d) x + 1 e) x
11. En la siguiente división:
x2  12x  42 6x3  x2  2x  6
2.
x5 2
x  3x  1
Indicar el término independiente del resto.
a) 4x + 1 b) 2 c) x + 7
d) x + 5 e) x – 7 a) 0 b) 7 c) 1
d) 2 e) -1
x3  3x2  3x  2
3. 12. Indicar si la siguiente división:
x2
x 4  x2  6
a) 2 b) 1 c) 0
d) 3 e) 5
x2  3
Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.
II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones:
a) Es exacta b) 5 c) 2
2
9x  3x  3 d) -1 e) 1
4.
3x  2
13. En la siguiente división:
a) 3 b) 5 c) -3 x 5  2x 4  x  5
d) -5 e) 1 4
x 1
3 2 Indicar la suma de coeficientes del cociente.
8x  x  10x  3
5.
4x  3 a) -1 b) 0 c) 2
d) 1 e) 3
a) 3 b) 7 c) 0
d) 1 e) -1 14. En la siguiente división:
6x 4  3x  2x3  6
20x3  11x  27 x2 3
2x  1
6.
3x  5x2 Señalar el mayor coeficiente del cociente.

a) 5x b) 4 c) 2x a) 1 b) 3 c) 2
d) –x e) 0 d) -1 e) -3

15. Hallar “b” en la siguiente división exacta:

20x 4  12x2  7  15x  25x3 2
7. x  7x  b
4 x 2  5x
x3
a) 0 b) 1 c) 2x
a) 15 b) 3 c) 7
d) x + 1 e) 7
d) 12 e) -7

9  x  26x2  15x 4
8.
 2  5x 2

a) x + 1 b) 0 c) x - 1
d) x e) 2x + 1

16x 5  27 x2  4 x3  7
9.
2x3  3

a) 2x2 – 1 b) x2 – 2 c) 3x2 + 1
d) 3x2 – 1 e) 0