TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TAPACHULA

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE LOS MED. CONT.

UNIDAD 3 - ESTADO DE DEFORMACIÓN

3.2.- DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA DEFORMACIÓN.

3.3.- TENSOR DE DEFORMACIÓN PARA
DEFORMACIONES INFINITESIMALES Y
DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS.
ALUMNA:
RODRIGUEZ PEREZ GLEYSER

CATEDRÁTICO:
ING. FRANCISCO ANTONIO ANDRADE CAMPOS

GRADO Y GRUPO:
Cuarto Semestre grupo B Ing. Civil
 Introducción
Estudiar la deformación consiste en ver como se transforman los puntos de K en los puntos
de K', o dicho de otra manera, como cambian sus coordenadas de los puntos del sólido al
desplazarse por la acción de las fuerzas exteriores. Cada punto situado dentro de K al
desplazarse se transforma en un punto situado dentro de K'. Matemáticamente, este proceso
permite definir una correspondencia entre ambos conjuntos, de tal manera que a cada punto
de K le corresponde un punto de K' (y viceversa). La deformación en el contexto más
general se refiere al estudio no ya del movimiento absoluto de las partículas, sino del
movimiento relativo con respecto a una partícula determinada, de las partículas situadas en
un entorno diferencial de aquella. La capacidad más característica del sólido deformable es
precisamente la de poder deformarse, es decir experimentar cambios de forma como
consecuencia de las acciones que se le aplican. Este capítulo presenta las magnitudes
tensoriales que caracterizan localmente a la deformación, así como su relación con el
campo de movimientos del sólido.
 3.2.- DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LA
DEFORMACIÓN
El tensor deformación o tensor de deformaciones es un tensor simétrico usado en mecánica
de medios continuos y mecánica de sólidos deformables para caracterizar el cambio de
forma y volumen de un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de
deformación tiene la forma general:

Donde cada una de los componentes del tensor anterior es una función cuyo dominio es el
conjunto de puntos del cuerpo cuya deformación pretende caracterizarse. El tensor de
deformaciones está relacionado con el tensor de tensiones mediante las ecuaciones de
Hooke generalizadas, que son relaciones de tipo termodinámico o ecuaciones constitutivas
para el material del que está hecho el cuerpo.

Téngase en cuenta que estos componentes εij) en general varían de punto a punto del
cuerpo y por tanto la deformación de cuerpos tridimensionales se representa por un campo
tensorial.

Imaginemos que se traza idealmente, dentro de un medio continuo, un vector unitario n.

Este vector se irá modificando a medida que el medio se deforma. Se define como tensor de
las deformaciones (unitarias) E la homografía vectorial que, aplicada al vector unitario n, da
la deformación sufrida por él. Si el tensor E se escribe bajo la forma:

Los coeficientes 𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧 representan evidentemente, como muestra la figura, las
magnitudes de las deformaciones unitarias longitudinales (o elongaciones) sufridas por los
vectores i,j,k respectivamente; los coeficientes 𝜀𝑧𝑦, 𝜀𝑧𝑧 etc., representan las magnitudes de las
deformaciones unitarias angulares sufridas por dichos vectores, en sentido normal al eje
correspondiente al primer subíndice y paralelo al eje correspondiente al segundo.

Es importante establecer una relación entre las deformaciones que acabamos de mencionar
y los desplazamientos de las partículas en el interior del medio. Consideremos nuevamente
un punto P y otros dos puntos A y B, a. distancias 𝐴𝑃 = 𝛥𝑥, 𝐸𝑃 = 𝛥𝑦, siendo APB un
ángulo.

de lados paralelos a los ejes x, y (figura de formación de un ángulo recto). Después de la

deformación, P habrá ido a P', A a A', B a B’. Llamemos s al vector desplazamiento PP'.
Considerando que las variaciones angulares 𝑎𝑧 y 𝑎𝑦 son muy pequeñas, la elongación 𝜀𝑥, se
escribe

Repitiendo el cálculo de manera parecida para las otras elongaciones, se obtiene que

De aquí se deduce, la importante fórmula

Teniendo en cuenta la definición de deformación angular, se obtiene, por otro lado, que

Considerando la pequeñez de 𝑎𝑥 y 𝑎𝑦, y despreciando infinitesimales de orden superior al

primero, podemos escribir

Formulas análogas se obtienen para las demás deformaciones angulares. Resulta, así, que

La matriz del tensor de las deformaciones es, entonces,

La aplicación del tensor E al vector unitario , da como resultado

Siendo

Como en el caso de los esfuerzos, conviene a veces descomponer la deformación E(n) en

una componente longitudinal (elongación) paralela a n y una componente angular normal
a n que, se suele llamar 𝑦 ∕ 2. Tales componentes se calculan por medio de las fórmulas,

(César, 2017)
 3.3.- TENSOR DE DEFORMACIÓN PARA
DEFORMACIONES INFINITESIMALES Y
DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS.
Tensor de deformación infinitesimal
El problema que pretendemos resolver en esta sección es el siguiente: dado un campo de
desplazamientos u: Ω → R3, ¿cuáles son las deformaciones Є_ex y γ_ex en todos los
puntos y todas las direcciones posibles? Este es el problema central de la cinemática de los
cuerpos deformables.

Para calcular las deformaciones en cualquier punto será necesario determinar la forma local
del campo de desplazamientos alrededor de dicho punto. Como siempre en teoría de
campos, esta información la recoge el gradiente:

Dado un campo de desplazamientos u : Ω → R3 se define el tensor gradiente de

desplazamientos ∇_u como aquel que verifica

𝑢(𝑃 + 𝑑𝑟) = 𝑢(𝑃) + ∇𝑢(𝑃)𝑑𝑟 + 𝜎(|𝑑𝑟|2)

La expresión en coordenadas cartesianas de la matriz asociada al tensor ∇u es:

𝑢𝑥,𝑥(𝑃) 𝑢𝑥,𝑦(𝑃) 𝑢𝑥,𝑧(𝑃)
|∇𝑢(𝑃)| = [𝑢𝑦,𝑥(𝑃) 𝑢𝑦,𝑦(𝑃) 𝑢𝑦,𝑧(𝑃)]
𝑢𝑧,𝑥(𝑃) 𝑢𝑧,𝑦(𝑃) 𝑢𝑧,𝑧(𝑃)
El gradiente de desplazamientos es también a dimensional y, como veremos después, nos
servirá para calcular deformaciones. Para simplificar el cálculo de las mismas vamos a
suponer a partir de ahora que el cuerpo al desplazarse se deforma muy poco. La definición
precisa de qué significa esto es la siguiente:

Se dice que un cuerpo experimenta una deformación con pequeña si ‖∇u ‖≪1. Esto ocurre si
y solo si todas las componentes de ∇u son mucho más pequeñas que 1.
El tensor de deformaciones infinitesimales
Cuando calculemos deformaciones comprobaremos que ´estas solo dependen de la parte
simétrica de ∇u y a este objeto lo denominaremos el tensor de deformación, y juega un
papel central en el modelo del solido deformable.

Dado un campo de desplazamientos u : 𝛺 → 𝑅3, definimos la deformación infinitesimal D

como el campo de tensores simétricos.

La parte de 𝛻𝑢 que no está asociada a la deformación infinitesimal D, es decir la parte

hemisimetrica del tensor, si que está asociada al movimiento local y recibe la siguiente
definición:

La parte hemisimetrica de ∇u(P) es el campo tensorial de giro infinitesimal

Ω:

Como Ω es un tensor hematimétrico tiene un vector axial asociado ω, llamado el vector de

giro infinitesimal. Este campo vectorial satisface, además

𝜔= 𝑟𝑜𝑡𝑢

La interpretación geométrica completa de estos campos tensoriales es la siguiente. Si en un

punto P ∈ Ω se escogen tres vectores diferenciales ortogonales dr1, dr2, dr3, cuando el
cuerpo se deforme, estos tres vectores cambian de modulo y dirección transformándose en
tres nuevos vectores infinitesimales 𝑑𝑟𝑖/𝑑𝑟2/𝑑𝑟3/. Para cada uno de ellos se puede escribir.

𝑑𝑟1/ = (𝐼 + 𝐷 + 𝛺)𝑑𝑟𝑖 = 𝐷𝑑𝑟𝑖 + 𝜔𝑋𝑑𝑟𝑖

Así pues, los tensores D y Ω caracterizan, de forma completa, la transformación geométrica

local, para cada entorno diferencial de los puntos del cuerpo deformable.
Cálculo de deformaciones longitudinales
Para obtener una expresión que nos permita obtener el valor de εex en función de u y sus
gradientes, sustituimos el desarrollo de Taylor del campo de desplazamiento en la
expresión.
Sea η el vector unitario en la dirección en la que queremos.

Calcular la deformación longitudinal. Entonces,

|𝑑𝑟/| |𝑑𝑟 + 𝑢(𝑄) − 𝑢(𝑃)| |𝑑𝑟 + ∇𝑢(𝑃)𝑑𝑟|

𝜖𝑒𝑥 ≔ |𝑑𝑟| − 1 = |𝑑𝑟| −1= |
𝑑𝑟| −1

La expresión para la deformación longitudinal 𝜖𝑒𝑥 es una función no lineal. Sin embargo, si
las deformaciones son pequeñas podemos aproximar.

𝜀𝑒𝑥 ≈ √𝜂. 𝜂 + 2𝜂. ∇𝑢(𝑃)𝜂 − 1,

Y utilizando un desarrollo de Taylor para la función √1 + 𝑥 obtener finalmente

𝜀𝑒𝑥 ≈ 𝜂. ∇𝑢(𝑃)𝜂

Se define la deformación longitudinal infinitesimal en un punto P ∈ Ω y una dirección

cualquiera η como el escalar.

𝜀(𝑃, 𝜂) ≔ 𝜂. 𝐷𝜂

La deformación longitudinal infinitesimal ε es una aproximación a la verdadera

deformación longitudinal εex, que es mucho más complicada de calcular. La aproximación
es tanto más valida cuanto más pequeña sea la cantidad [[∇u]]. Por tanto, ε solo es exacta
cuando la deformación sea infinitesimal. Para deformaciones finitas se puede dar el caso de
que un cuerpo que se mueve rígidamente tenga deformación ε no nula.

La deformación ε es unitaria, y por tanto adimensional. Cuando un cuerpo se deforma, una

curva material C se deforma también pues cada uno de sus puntos se desplaza debido al
movimiento del cuerpo. A menudo es interesante encontrar la longitud de la curva
deformada a partir de la longitud inicial y de la deformación longitudinal unitaria en cada
punto. Si la longitud de la curva sin deformar es L, cada punto de la curva lo denominamos
P y el vector tangente a la curva P 𝜏, entonces:

𝐿/ .
𝐶

Un cuarto de aro de radio r se deforma según el campo de desplazamientos.

𝑥2
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 𝑖2

Siendo x un eje del sistema cartesiano situado en el centro del aro como se indica en la
figura.

Calcular:

i) la deformación longitudinal unitaria ε en cualquier punto del aro y dirección

circunferencial.

ii) la longitud del aro deformado. El vector tangente al aro en un punto genérico es τ =
−𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑖 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑗, siendo θ [0, π/2] el ´Angulo que forma el vector de posición del punto
con el eje x. La deformación longitudinal unitaria en dicho punto y dirección es:

𝜀(𝑃, 𝜏) = 𝜏. 𝐷𝜏 = 2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃

Como 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 el valor de la deformación es simplemente 𝜀(𝑃, 𝜏) =

2𝜅𝑟 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃.

La longitud del trozo de aro deformado es:

 𝐿/ 𝑑𝑆/

Deformaciones por rotación, deformación lineal y angular

Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la
deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera de
los paralelepípedos elementales que lo forman. Veremos a continuación cómo la
deformación de un paralelepípedo elemental se puede descomponer en cuatro partes:

 Una traslación que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O’

 Una rotación del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O’

Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin
deformarse.

 Unas deformaciones lineales de las aristas del paralelepípedo

  Unas deformaciones angulares “simétricas” de los ángulos que forman las aristas
del paralelepípedo, inicialmente a 90º

Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del
paralelepípedo. Observación: En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares
“Simétricas”.

El porqué de ello lo veremos a continuación: Supongamos la cara del paralelepípedo

contenida en el plano XOY y supongamos, por ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido
anti horario y la arista OB gira 2º en sentido horario.

Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos acciones: en una
primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que denominaremos
deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, o sea: 3º y en la
segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual la arista OA habría
que girarla 1º más en sentido anti horario y la arista OB restarla 1º, ósea, girarla 1º en
sentido horario. Esta acción sería una rotación.
 Deformación
angular
Deformación simétrica Rotación
angular

Deformación
Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo:
deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del
paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD’, con lo cual el elemento lineal OD,
modifica su longi𝜹 tud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD’.

Se denomina deformación unitaria (δ) del elemento lineal OD, al cociente entre el
desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento lineal: OD, es decir:

Si observamos la fig. 5. Se ve que δ es el desplazamiento que sufre el

vector unitario ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto,
por semejanza de triángulos ODD’y ODoDo’s e obtiene:

Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia

dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: deformación longitudinal
unitaria () y otra en dirección perpendicular al elemento lineal OD, a la que
denominaremos:
deformación angular unitaria (/2). Se cumplir

/
4.2

Estado de deformaciones en un punto

Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el
Estado de Deformaciones

Tal y como se vio ‘’ a cada superficie S que pase por un punto O de un sólido le
corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ (tensión cortante)’’ y
“al conjunto de todas las tensiones que pueda haber en un punto O se las denomina: Estado
de Tensiones del punto O”

En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: “A cada elemento lineal que pasa
por un punto O de un sólido le corresponde una deformación unitaria δ, con componentes:

ε (deformación longitudinal unitaria) y /2 (deformación angular unitaria).”, “Al conjunto

de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O se le denomina: Estado de
Deformaciones del punto O”

Siguiendo con dicha analogía, ‘’de las infinitas Tensiones que puede haber en un punto O
correspondientes a las infinitas superficies que pasan por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy,
σz, τxy, τyz, τzx , denominadas componentes del estado de tensiones en el punto O ,
podremos conocer todas las demás a través de la ecuación siguiente:
Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir: “De
las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las
infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de ellas:
εx, εy, εz, xy , yz, zx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el
punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que como
ahora se verá, será similar a la de las tensiones anteriores”

Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6c omponentes
del estado de deformaciones: εx, εy, εz, xy , yz, zx, y sea OD un elemento lineal cuya
deformación unitaria δ se desea conocer. La dirección del elemento lineal OD la
definiremos por su vector unitario: u = ODo, dado por sus cosenos directores: u (cos𝛼,
cosβ, cos). Construyamos ahora un paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos
ODo = 1 (ver fig. 8). El paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos𝛼(en dirección
del eje OX), cosβ (en dirección del eje OY) y cos (en dirección del eje OZ).

Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los

correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones
longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: , εy, εz, xy , yz,
zx. Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz.
(Sanchez, 2012)

Tensor de deformación infinitesimal

Los tensores gradiente material y gradiente espacial de los desplazamientos coinciden. En

efecto, a la vista de la ecuación anterior y el tensor material de deformación resulta ser:

donde se ha tenido en cuenta el carácter de infinitésimo de segundo orden del término

. Operando similarmente con el tensor

espacial de deformación:
Las ecuaciones anteriores permiten definir el tensor de deformación infinitesimal (o tensor
de pequeñas deformaciones) ε:

(Sanchez, 2012)

Interpretación física de las deformaciones infinitesimales

Consideremos el tensor de deformaciones infinitesimales ε y sus componentes en el sistema
de coordenadas 𝑥1 ≡ 𝑥, 𝑥2 ≡ 𝑦, 𝑥3 ≡ 𝑧∶

Consideremos el segmento diferencial PQ orientado en la configuración de referencia en la

dirección del eje coordenado 𝑥1 ≡ 𝑥. El estiramiento 𝜆𝑥 y el alargamiento unitario 𝜀𝑥 en
dicha dirección vienen dados, de acuerdo con la ecuación, con 𝑡 = {1,0,0} 𝑇, por:

Lo que permite dar a la componente 𝜀𝑥𝑥 ≡ 𝜀11 el significado físico del alargamiento unitario
𝜀𝑥 en la dirección del eje coordenado 𝑥1 ≡ 𝑥. Una interpretación similar puede darse a las
demás componentes de la diagonal principal del tensor ε (𝜀𝑥𝑥, 𝜀𝑦𝑦, 𝜀𝑧𝑧).

Atendiendo ahora a las componentes de fuera de la diagonal principal de ε, consideremos

los segmentos diferenciales PQ y PR orientados según las direcciones coordenadas x e y en
la configuración de referencia y formando, por lo tanto, un ángulo en dicha
configuración.
Aplicando la ecuación, el incremento del ángulo correspondiente será:

donde se ha tenido en cuenta el carácter infinitesimal de 𝜀𝑥𝑥, 𝜀𝑦𝑦, 𝜀𝑧𝑧. (Xavier, 2002)
 CONCLUSIÓN

Bajo la acción de la fuerza aplicada, los sólidos se deforman, es decir, cambian de forma y
volumen más o menos. Y, si un sólido sufre un estado deformado, todas sus partículas
cambian del estado inicial al estado final deformado. En ese momento se puede medir el
desplazamiento y deformación de cada partícula en forma definida de alargamiento o
acortamiento, o el cambio de forma producido por el cambio de ángulo entre el estado
inicial y el estado final. De esta manera, las deformaciones infinitesimales se describen
como deformaciones muy pequeñas, y al ser consideradas como infinitesimales físicos, y en
un medio continuo, son deformaciones lentas y están representadas por funciones
continuas.
 BIBLIOGRAFÍAS

César, J. (2 de Noviembre de 2017). Descripción Matemática de La Deformación. Obtenido

de Scrib: https://es.scribd.com/document/240899623/Descripcion-Matematica-
deLa-Deformacion

Sanchez, M. (31 de Mayo de 2012). Mecanica de medios continuos. Obtenido de 4. Estado

de deformación: https://sites.google.com/site/masfmecanicamedioscont/unidades

Wikipedia, C. d. (25 de Abril de 2020). Tensor deformación. Obtenido de Wikipedia:

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tensor_deformaci%C3%B3n&oldid=12
5496698

Xavier, O. (26 de Enero de 2002). Mecanica de medios continuos para ingenieros.

Obtenido de Politext:
https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.3/36197/9788498802177.pdf?fb
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