Algebra Lineal Cap2

Capı́tulo
2 Recta y plano en el espacio
El aprendizaje del cálculo diferencial Sabes

en el espacio R3 requiere, entre otros
conceptos, del conocimiento de la recta Capacidades adquiridas
y del plano tangente a una superficie.
X Determina la ecuación de una recta en
Por tal motivo, en este capı́tulo, y el plano cartesiano.
como una aplicación del álgebra y la X Conoce los elementos del sistema
geometrı́a vectorial, se estudia analı́- coordenado tridimensional.
ticamente la recta y el plano en el X Maneja apropiadamente el álgebra y la
espacio R3 . geometrı́a vectorial.
Piensas
Conocimientos previos Competencias por lograr
Geometrı́a analı́tica plana. X Conoce las condiciones que definen a

una recta y un plano en el espacio R3 .
Álgebra y geometrı́a vectorial.
X Determina la ecuación de una recta y
de un plano en el espacio R3 .
X Determina las posiciones relativas
entre una recta y un plano, entre dos
rectas y entre dos planos.
Haces
Secciones Habilidades por desarrollar
1.1 El plano en el espacio R3 . X Graficar rectas y planos en el sistema
coordenado tridimensional.
1.2 La recta en el espacio R . 3
X Apreciar el álgebra y la geometrı́a
1.3 Revisión del capı́tulo. vectorial como una herramienta
necesaria para resolver problemas
aplicados a la realidad.
La geometrı́a analı́tica es importante por sus múltiples aplicaciones
en el estudio de los espacios y las formas. En particular, el
conocimiento de la recta y el plano en el espacio, tanto en su
expresión algebraica como geométrica, posibilita el estudio de las
caracterı́sticas y propiedades de las superficies, como la esfera, el
paraboloide y el hiperboloide entre otras.
Rectas tangentes a las curvas

sobre una superficie.
Silla de montar
σ b π Una esfera tangente al plano

A′
A coordenado XY y una recta
tangente en el punto A1 .
S x
y
Engranaje
Un plano tangente a una esfera

que representa a la Tierra.
160 Álgebra Lineal

2.1 EL PLANO EN EL ESPACIO R3
El principal atractivo turı́stico de la ciudad de Nazca (430 km al

sur de la ciudad de Lima) son las lı́neas de Nazca que en promedio
son visitadas por 180 000 turistas al año, quienes en su mayorı́a
contratan una avioneta para sobrevolar las pampas a fin de ver los
geoglifos de motivos naturales como el mono, el pelı́cano, las manos,
la ballena, la araña, etc. Araña
El encargado de la torre de control del aeródromo, de donde parten

las avionetas, supervisa los tiempos que las avionetas se mantienen
en el aire, que en promedio es de 30 minutos.
Se sabe que cada avioneta alcanza los 200 m de altura tres minutos
después de despegar y se mantiene a esa altitud durante el tiempo
que dura el viaje de exploración de los geoglifos. Colibrı́
Con la finalidad de optimizar el tráfico aéreo en la zona, el

administrador del aeródromo analiza el desplazamiento de las
avionetas en el aire, para lo cual requiere conocer la ecuación del
plano en el que se desplazan dichas avionetas a una altitud de 200 m.
También necesita saber la ecuación de la trayectoria lineal de cada
avioneta cuando se desplaza de un geoglifo a otro.
Para dar respuesta a este tipo de información se requiere describir

un plano y una recta en un sistema de coordenadas tridimensional y
determinar la representación algebraica correspondiente.
Plano
→
−
n
Un plano es un conjunto de puntos del espacio R3 de tal manera que
el vector formado por cualquiera de estos puntos con un punto fijo
P0 P
del plano es perpendicular al vector normal del plano.
Plano Q
El vector normal establece la dirección del plano en el espacio R3 ,
es perpendicular al plano y se denota por Ñ
Ýn como se muestra en la Figura 2.1
figura 2.1. P0 : punto fijo

P : punto móvil
Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 161

Observación 1. Condiciones geométricas que definen a un
plano en el espacio.
Un plano Q en el espacio R3 queda determinado, cuando se conoce:
a) Un punto de paso P0 px0 ; y0 ; z0 q del plano y las componentes de
su vector normal Ñ
Ýn pA; B; C q.
→
−
n
P0
b
b) Un punto de paso P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores linealmente

Ýa y Ñ
independientes Ñ
Ýb paralelos al plano.
→
−
n
−
→ −
→
a× b
−
→
b
P0
b
→
−
a
Q
Ýa y Ñ
Ýb , es decir
En este caso el vector normal del plano Q es paralelo al producto
vectorial de Ñ
Ýa Ñ
Ýb ðñ Ñ Ýa Ñ
Ýb
Ñ
Ýn {{ Ñ Ýn k Ñ
c) Tres puntos no colineales P1 px1 ; y1 ; z1 q, P2 px2 ; y2 ; z2 q y
P3 px3 ; y3 ; z3 q del plano.
→
−
n
P2
P1
Q P3
ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ
En este caso, el vector normal del plano Q es paralelo al producto
vectorial de P1 P2 y P2 P3 , esto es
Ýn {{ Ý
ÝÝÑ ÝÝÝÑ Ýn k ÝÝÝÑ ÝÝÝÑ

Ñ P1 P2 P2 P3 ðñ Ñ P1 P2 P2 P3
Con estas condiciones geométricas se determinan las diferentes

ecuaciones del plano en el espacio tal como se muestra a
continuación.

Ecuaciones del plano
La expresión algebraica que representa a un plano en el espacio R3

se presenta en diferentes formas, tales como:
Ecuación general
Ecuación vectorial
Ecuaciones paramétricas
I. Ecuación general o cartesiana del plano

→
−
n
Teorema 1. La ecuación de un plano Q que pasa por el punto
P0 px0 ; y0 ; z0 q y cuyo vector normal es Ñ
Ýn pA; B; C q (Ver figura
P0
2.2) es b
0
Q
Ax By Cz D
Figura 2.2
donde D pAx0 By0 Cz0 q.

A esta expresión se denomina ecuación general o cartesiana del
plano Q.
Prueba
Sea P px; y; z q un punto cualquiera del plano Q diferente del punto
→
−
n
ÝÝÑ
P0 . Luego, el vector P0 P es perpendicular al vector Ñ
Ýn (Ver figura
adjunta). P0 P
Q
Ası́,
ÝPÝ0Ñ
P KÑÝn ðñ ÝPÝ0Ñ P Ñ
Ýn 0
ÝÝÑ
Dado que P0 P px x0 ; y y0 ; z z0 q, se tiene
px x0; y y0; z z0q pA; B; C q 0 Nota

ðñ Apx x0q B py y0q C pz z0q 0 (1) A la ecuación (1) se le denomina
forma ordinaria o forma punto
ðñ Ax By Cz pAx0 By0 Cz0q 0 normal de la ecuación del plano.
Al sustituir el término independiente por D pAx0 By0 Cz0 q,

se obtiene
Ax By Cz D 0
Por lo tanto, la ecuación general o cartesiana del plano Q es
Q : Ax By Cz D 0
Ejemplo 1
x Determine la ecuación del plano que pasa por el punto
Ap2; 1; 1q y es perpendicular al vector Ñ
Ýn p3; 1; 5q.

Solución
x Al sustituir las coordenadas del punto A y las componentes
del vector Ñ
Ýn en la forma ordinaria de la ecuación del plano,
se obtiene
3px 2q py 1q 5pz 1q 0
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, la
forma general de la ecuación del plano es
3x y 5z 12 0
Ejemplo 2
x Dada la ecuación de un plano
Q : 4x 3y 6z 12 0
Identifique su vector normal y los puntos en que corta a los

ejes coordenados.
Solución
x Las componentes del vector normal del plano Q son los
coeficientes de las variables x, y, z que aparecen en su ecuación
general, es decir
Ñ
Ýn p4; 3; 6q
Los puntos en los que el plano Q corta a los ejes coordenados
son:
i) Intersección con el eje X.
Z
Dado que un punto del eje X es de la forma px; 0; 0q, se
P3 2
reemplaza y 0 z en la ecuación del plano, esto es:
b
P2
4x 3p0q 6p0q 12 0 ùñ x3
b
O 4 Y
P1 Por lo tanto, el punto de intersección del plano Q con el
X
3 eje X es P1 p3; 0; 0q.
ii) Intersección con el eje Y .
Como un punto el eje Y es de la forma p0; y; 0q, se reemplaza

x 0 z en la ecuación del plano, esto es:
0x 3y 0z 12 0 ùñ y 4
Por consiguiente, el punto de intersección del plano Q con
el eje Y es P2 p0; 4; 0q.

iii) Intersección con el eje Z.
Dado que un punto del eje Z es de la forma p0; 0; z q, se
reemplaza x 0 y en la ecuación del plano, esto es:
0x 0y 6z 12 0 ùñ z 2
Por lo tanto, el punto de intersección del plano Q con el
eje Z es P3 p0; 0; 2q.
Observación 2. Casos particulares de la ecuación general de un

plano.
La ecuación general de un plano Q : Ax By Cz D 0
presenta los siguientes casos particulares.
a) Plano que pasa por el origen de coordenadas
Dado que 0p0; 0; 0q P Q, al reemplazar x 0 y z en la
ecuación del plano Q, se obtiene D 0. Por consiguiente, la
ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas es:
Q : Ax By Cz 0
Z
b) Plano paralelo a un eje coordenado Ax+By+D =0
Cuando en la ecuación general de un plano no aparece una

variable, dicha ecuación representa a un plano perpendicular
Y
al plano cartesiano formado por las variables que aparecen
en la ecuación y paralelo al eje coordenado de la variable que X
Z
falta en la ecuación. Ası́, el plano de ecuación:
i) Q : Ax By D 0 pA 0, B 0q es perpendicular al
plano XY y paralelo al eje Z. Y
ii) Q : Ax Cz D 0 pA 0, C 0q es perpendicular al X Ax+Cz+D =0

plano XZ y paralelo al eje Y .
iii) Q : By Cz D 0 pB 0, C 0q Z
es perpendicular al
plano Y Z y paralelo al eje X.
Y
c) Plano paralelo a un plano coordenado
X By+Cz+D =0
Cuando en la ecuación geneal de un plano no aparecen dos
variables, dicha ecuación representa a un plano paralelo al
plano coordenado formado por las variables que no aparecen
en la ecuación y perpendicular al eje coordenado de la variable Z
que aparece en la ecuación. Ası́, el plano de ecuación:
i) Q : Ax D 0 pA 0q es perpendicular al eje X y para-

Y
lelo al plano Y Z.
0, es la ecuación general del plano
Ax+D =0
Caso particular: x X
Y Z.

Z ii) Q : By D 0 pB 0q es perpendicular al eje Y y para-
lelo al plano XZ.
By+D =0
Caso particular: y 0, es la ecuación general del plano
O XZ.
Y
X iii) Q : Cz D 0 pC 0q es perpendicular al eje Z y para-
Z
lelo al plano XY .
Cz+D =0 Caso particular: z 0, es la ecuación general del plano
XY .
O
Y
Ejemplo 3
X
a) La ecuación
3x 2y 6 0
representa a un plano perpendicular al plano coordenado
XY y paralelo al eje Z.
Z
b) La ecuación
5z 10 0
x=0
y=0
2y
Y
z=0 representa a un plano perpendicular al plano coordenado
Y Z y paralelo al eje X.
X
c) La ecuación
z30
representa a un plano perpendicular al eje Z y paralelo al
plano XY .
Observación 3. Forma segmentaria de la ecuación de un

plano.
Al determinar la ecuación de un plano Q que interseca a los
Z
ejes coordenados X, Y , Z en los puntos Apa; 0; 0q, B p0; b; 0q y
C p0; 0; cq respectivamente (Ver figura 2.3), se obtiene
b
C
a
c
B
b
x
a
y
b
z
c
1
b Y
A
Esta ecuación se denomina forma segmentaria de la ecuación del
X
plano Q.
Figura 2.3
Ejemplo 4
x Determine la ecuación del plano que interseca a los ejes
coordenados en los puntos Ap2; 0; 0q, B p0; 3; 0q y C p0; 0; 4q.

Solución
x Al sustituir la abscisa del punto A, la ordenada del punto B
y la cota del punto C en la forma segmentaria, resulta
2 3 4 1
x y z
Por consiguiente, al efectuar las operaciones correspondientes,

la ecuación general del plano es
6x 4y 3z 12 0
Ejemplo 5
x En cada caso, determine la ecuación general del plano que
cumple con las condiciones dadas.
a) Pasa por el punto Ap3; 2; 1q y es paralelo a los vectores
Ýa p1; 2; 1q y Ñ
Ñ Ýb p3; 1; 2q
b) Pasa por los puntos Ap4; 2; 3q, B p2; 5; 1q, y es paralelo al
vector Ñ
Ýa p3; 5; 4q
c) Pasa por los puntos no colineales Ap5; 4; 2q, B p4; 3; 1q y
C p1; 2; 3q
d) Pasa por el punto Ap2; 3; 5q y contiene al eje Y .
Solución
x Para determinar la ecuación general de un plano se requiere
conocer un punto de paso P0 y su vector normal ÑÝn .
a) Al conocer el punto de paso Ap3; 2; 1q, solo falta determinar
el vector normal Ñ
Ýn .
Como el plano es paralelo a los vectores Ñ
Ñ
Ý
Ýa y b según la
observación 1-b, el vector normal del plano es:
Ñ
Ýn ÑÝa Ñ
Ýb
Ýj Ñ
Ýk
→
−
Ñ
Ýi Ñ n =→
−
→ −
a×b
Ñ
Ýn 1 2 1 p5; 1; 7q
−
→
b A b
3 1 2 →
−
a
Q
Luego, la forma ordinaria de la ecuación del plano es
5px 3q py 2q 7pz 1q 0
Por consiguiente, la ecuación general del plano es
5x y 7z 10 0

ÝÝÑ
b) Como el plano es paralelo a los vectores AB p2; 7; 2q y
Ñ
Ýa p3; 5; 4q, según la observación 1-b, su vector normal es
−
→ −−→ →
n =AB ×−
a Ñ Ýj Ñ
Ýi Ñ Ýk

→
−
a
Ýn Ý
Ñ ÝÑ Ýa 2 7 2 p38; 2; 31q
AB Ñ

A −− 4
b
AB→ b
3 5
Q B
Luego, al elegir como punto de paso al punto B p2; 5; 1q, la
ecuación ordinaria del plano es
38px 2q 2py 5q 31pz 1q 0
38x 2y 31z 55 0
ÝÝÑ
c) Como el plano es paralelo a los vectores AB p1; 1; 3q
→
− −−→ −
ÝÑ
y AC p6; 6; 5q, según la observación 1-b, el vector
n =AB ×→
a
normal del plano es
C
Ñ
Ýi Ñ
Ýj Ñ Ýk
b
A
b
Q
b
B Ýn Ý
Ñ ÝÑ ÝÑ
AB AC 1 1 3 p13; 13; 0q

6 6 5

Al elegir B p4; 3; 1q como punto de paso, la ecuación ordinaria

del plano es
13px 4q 13py 3q 0
xy10
d) Como el plano contiene al eje Y , entonces pasa por el

origen de coordenadas Op0; 0; 0q y es paralelo al vector
Ñ
Ýj p0; 1; 0q.
ÝÑ
Luego, el plano es paralelo a los vectores OA p2; 3; 5q y
Ñ
Ýj p0; 1; 0q, y según la observación 1-b, el vector normal
es

i Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk
Ýn ÝÑ
Ñ Ñ
Ý
OA j

2
3

5 p5; 0; 2q
0 1 0
Al seleccionar como punto de paso Op0; 0; 0q, la ecuación

ordinaria del plano es
5x 2z 0 ðñ 5x 2z 0

II. Ecuación vectorial de un plano
Teorema 2. Dados un punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores no

Ýa pa1; a2; a3q y Ñ
paralelos Ñ
Ýb pb1; b2; b3q. →
−
n →
−
b
→
−
Ýa y Ñ
Ýb (Ver figura 2.4) es
La ecuación vectorial de un plano Q que pasa por el punto P0 y a
es paralelo los vectores Ñ
px; y; zq px0; y0; z0q rÑ

Ýa Ñ
Ý
t b , r, t PR Q
P0
b
Figura 2.4
Prueba
Sea P px; y; z q un punto cualquiera del plano diferente del punto
ÝÝÑ Ýa y Ñ
P0 . Como los vectores P0 P , Ñ
Ýb son coplanares (Ver figura
2.5), existen escalares r y t, tal que
ÝPÝ0Ñ
P rÑ
Ýa Ñ
Ý
tb (1)
P →
−
b
−
→
a
P0
De acuerdo al concepto de vector de posición, se tiene Q
ÝPÝ0Ñ ÝÝÑ ÝÝÑ
P OP OP0 px; y; z q px0 ; y0 ; z0 q
Figura 2.5
Al reemplazar en (1), resulta

Ýa Ñ
Ý
tb
De donde la ecuación del plano Q es

Ýa Ñ
Ý
t b , r, t PR
A esta forma particular de representar algebraicamente a un plano
Q en el espacio R3 se le llama ecuación vectorial del plano.
Ejemplo 6
x En cada caso determine la ecuación vectorial del plano que:
a) Pasa por el punto P0 p3; 4; 1q y es paralelo a los vectores
Ýa p0; 2; 3q y Ñ
Ñ Ýb p2; 0; 3q.
b) Pasa por los puntos no colineales Ap4; 2; 1q, B p3; 5; 1q y
C p1; 3; 2q.
Solución
Ýa y Ñ
Ýb en la ecuación
a) Al reemplazar las coordenadas del punto P0 y las
componentes de los vectores Ñ
vectorial del plano, se obtiene −−→
A AB b
C
px; y; zq p3; 4; 1q rp0; 2; 3q tp2; 0; 3q , r, t P R
b
−−
A →
C
ÝÝÑ ÝÑ Q b
B
b) Con los puntos A, B y C se forman los vectores AB y AC
que son paralelos al plano, esto es
ÝAB
ÝÑ p1; 3; 2q , ÝÑ
AC p3; 5; 3q

ÝÝÑ ÝÑ
Luego, al reemplazar las coordenadas del punto A y las
componentes de los vectores AB y AC en la ecuación
vectorial del plano, se obtiene
px; y; zq p4; 2; 1q rp1; 3; 2q tp3; 5; 3q , r, t PR

III. Ecuaciones paramétricas de un plano
Teorema 3. Dados un punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores no

Ýa pa1; a2; a3q y Ñ
paralelos Ñ
Ýb pb1; b2; b3q.
Ýa y Ñ
Ýb son
Las ecuaciones paramétricas de un plano Q que pasa por el punto
P0 y es paralelo a los vectores Ñ
$
& x x0 ra1 tb1
Q: y y0 ra2 tb2 ; r, t PR
z z0
%
ra3 tb3
Prueba
La ecuación vectorial del plano Q es
px; y; zq px0; y0; z0q rpa1 ; a2 ; a3 q tpb1 ; b2 ; b3 q
Al efectuar las operaciones básicas entre vectores y aplicar la

relación de igualdad, resultan las ecuaciones paramétricas del
plano Q, estas son
$
& x x0 ra1 tb1
Q: y y0 ra2 tb2 ; r, t PR
z z0
%
ra3 tb3
Ejemplo 7
x En cada caso, determine las ecuaciones vectorial y
paramétricas del plano Q que satisface las condiciones
indicadas.
a) Pasa por el punto P0 p2; 3; 1q y es paralelo a los vectores
Ýa p4; 3; 2q y Ñ
Ñ Ýb p2; 3; 1q.
b) Pasa por los puntos no colineales Ap5; 3; 1q, B p4; 6; 2q y
C p2; 2; 4q.
c) Contiene al eje Z y es paralelo al vector Ñ
Ýa p3; 4; 5q.
Solución
a) Dado que P0 es el punto de paso del plano, su ecuación
vectorial es
Q : px; y; z q p2; 3; 1q rp4; 3; 2q tp2; 3; 1q , r, t PR

Al efectuar las operaciones básicas y aplicar la relación
de igualdad entre vectores, resultan las ecuaciones para-
métricas del plano, esto es:
$
& x2 4r 2t −
→
b
y3 3r 3t ; PR P0
Q: r, t −
→
a
z1
% Q
2r t
ÝÝÑ ÝÑ
b) Con los puntos A, B y C que pertenecen al plano, se forman
los vectores AB y AC paralelos al plano, esto es
ÝAB
ÝÑ p1; 3; 3q y AC
ÝÑ p3; 5; 5q Ab
−
−−→
AB b
C
A −→
C
Q b
B
Al seleccionar a B como punto de paso del plano, su ecuación
vectorial es

Igualando las componentes obtenemos las ecuaciones
paramétricas del plano Q, es decir
$
& x 4 r 3t
Q: y 6 3r 5t ; r, t PR
z 2 3r 5t
%
Ñ
Ý
c) Como el plano Q contiene al eje Z, pasa por el punto
Op0; 0; 0q y es paralelo al vector k p0; 0; 1q.
Luego, la ecuación vectorial del plano es

ðñ Q : px; y; z q rp0; 0; 1q tp3; 4; 5q , r, t PR
Luego, al proceder de manera similar como en los ejemplos
(a) y (b), se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano
Q, es decir
$
& x 3t
Q: y 4t ; r, t PR
zr
%
5t
Ejemplo 8
x Determine las ecuaciones paramétricas del plano T que
contiene al triángulo de vértices P p2; 1; 3q, Qp1; 5; 4q y
Rp2; 3; 2q.

Solución
P b
−
−−→
PQ Q b
ÝÝÑ ÝÑ
x Al seleccionar P como punto de paso del plano y los vectores no
paralelos P Q p3; 4; 1q y P R p4; 4; 1q, las ecuaciones
P −→
R
Q R
b
paramétricas del plano T son
$
& x 2 3r 4t
T : y 1 4r 4t ; r, t PR
z 3 rt
%
Posiciones relativas entre dos planos
Sean Q1 y Q2 dos planos cualesquiera en el espacio R3 , cuyas

ecuaciones generales son
Q1 : A1 x B1 y C1 z 0
D1
Q2 : A2 x B2 y C2 z 0
D2
El vector normal del plano Q1 es Ý
nÑ1 pA1; B1; C1q y el vector normal
Ý
Ñ
del plano Q2 es n2 pA2 ; B2 ; C2 q.
En el espacio R3 , las posiciones relativas entre los planos Q1 y Q2
→
−
n1 son:
a) Planos paralelos (Q1 { Q2 )
Q1 Los planos Q1 y Q2 son paralelos si, y solo si, sus vectores normales
→
−
n2 ÝnÑ1 y nÝÑ2 son paralelos. Es decir:
Q2
Q1 { Q2 ðñ Ý
Ñ1 { Ý
n Ñ2
n
Figura 2.6 En la figura 2.6 se muestran dos planos paralelos Q1 y Q2 , en la
Nota
que se aprecia claramente que ÝÑ1 { Ý
n Ñ2.
n
Cuando dos planos son paralelos,
los tres primeros coeficientes de
sus respectivas ecuaciones son Observación 4
proporcionales o iguales.
1) Dos planos distintos son paralelos si, y solo si, su intersección
Es decir:
es vacı́a, es decir
A1 B1 C1
Q1 {{ Q2 ðñ
A2 B2 C2 Q1 { Q2 ðñ Q1 X Q2 φ
→
−
n
2) Dos planos son idénticos o coincidentes si, y solo si, son
b
paralelos y tienen infinitos puntos en común, esto es
Q1
→
−
n Q1 Q2 ðñ Q1 { Q2 y Q1 X Q2 Q1 po Q2q
3) El plano Q que equidista de los planos paralelos Q1 y Q2
b
Q
→
−
n
se llama plano paralelo medio (Ver figura 2.7) y su ecuación
general es
b
Q2
Q : A1 x B1 y C1 z
D1
2
D2
0
Figura 2.7

b) Planos secantes
→
−
n1
Dos planos distintos Q1 y Q2 son secantes si, y solo si, sus vectores
normales Ý
Ñ1 y ÝnÑ2 no son paralelos (ver figura 2.8), es decir
n →
−
ðñ nÝÑ1r{ nÝÑ2 ðñ nÝÑ1 nÝÑ2 Ñ

Ý0
n2
Q1 y Q2 secantes Q1
Q2
Observación 5. (Planos perpendiculares) Figura 2.8
Dos planos secantes Q1 y Q2 son perpendiculares si, y solo si, sus

vectores normales ÝÑ1 y ÝnÑ2 son perpendiculares (ver figura 2.9), →
−
n1
n
esto es Q2
→
−
n2
Q1 K Q2 ðñ ÝnÑ1 K ÝnÑ2 ðñ Ý
Ñ1 Ý
n Ñ2 0
n
Q1
Ejemplo 9 Figura 2.9
En el paralelepı́pedo rectangular ABCDEF GH que se muestra
H G
en la figura 2.10, se tienen los planos:
Q1 : que contiene a la cara ABCD

E F
Q2 : que contiene a la cara EADH
Q3 : que contiene a la cara EF GH C
D
Q4 : que contiene a la cara BF GC
Establezca la posición relativa entre los planos: A B

Figura 2.10
a) Q1 y Q2 c) Q2 y Q3
b) Q1 y Q3 d) Q1 y Q4
Solución
De acuerdo al concepto de posiciones relativas entre dos planos,
se tiene:
a) Los planos Q1 y Q2 son perpendiculares.
b) Los planos Q1 y Q3 son paralelos y distintos.
c) Los planos Q2 y Q3 son perpendiculares.
d) Los planos Q1 y Q4 son perpendiculares.
Ejemplo 10
En cada caso, determine las posiciones relativas entre los planos
Q1 y Q2 .
a) Q1 : x 2y 3z 5 0 , Q2 : x 2y 3z 7 0
b) Q1 : x y 2z 3 0 , Q2 : 2x y z 9 0
c) Q1 : x y z 4 0 , Q2 : 3x 3z 4 0

Solución
Sean ÝÑ1 y Ý
n Ñ2 los vectores normales de los planos Q1 y Q2,
n
respectivamente.
a) Como Ý Ñ1 p1; 2; 3q Ý
n Ñ2 p1; 2; 3q y los términos
n
independientes de sus respectivas ecuaciones son diferentes,
los planos Q1 y Q2 son paralelos y distintos.
b) Dado que
Ñ
Ý Ñ
i Ýj ÑÝk
Ý
Ñ1 Ý
n Ñ2
n

1
Ñ
Ý
1 2 p1; 5; 3q 0

2 1 1
Los vectores Ý
Ñ1 y Ý
n Ñ2 no son paralelos. Por consiguiente, los
n
planos Q1 y Q2 son secantes.
c) Dado que
Ý
Ñ1 Ý
n Ñ2 p1; 1; 1q p3; 0; 3q 0
n
Los vectores Ý
Ñ1 y Ý
n Ñ2 son perpendiculares. Por consiguiente,
n
los planos Q1 y Q2 son perpendiculares.
Ejemplo 11
En cada caso, determine la ecuación general del plano que cumple
con las condiciones dadas.
a) Pasa por el punto Ap5; 4; 6q y es paralelo al plano
Q : 2x 3y z 5 0.
b) Pasa por el punto B p1; 1; 1q y es perpendicular a cada uno de
los planos Q1 : x y z 4 0 y Q2 : 3x 2y z 5 0.
c) Pasa por el punto C p2; 3; 5q y es perpendicular a los planos
coordenados XZ y XY .
Solución
a) Sean P el plano a determinar y Ñ
Ýn su vector normal.
El vector normal del plano Q es Ý
nÑ
Q p2; 3; 1q. Como P y Q
son planos paralelos, se tiene
Ñ
Ýn {ÝnÑQ ðñ Ñ
Ýn kÝ
nÑ
Q k p2; 3; 1q p2k; 3k; k q , pk 0q
Luego, la ecuación ordinaria del plano P que pasa por el punto

Ap5; 4; 6q, es
2px 5q 3py 4q pz 6q 0
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, la

ecuación general del plano P es
2x 3y z 28 0

b) Sea Q el plano que pasa por el punto B, cuyo vector normal
es Ñ Ýn . Como el plano Q es perpendicular a cada uno de los
planos Q1 y Q2 , su vector normal Ñ Ýn es perpendicular a cada
Ý
Ñ
uno de los vectores normales n1 p1; 1; 1q del plano Q1 y
ÝnÑ2 p3; 2; 1q del plano Q2. Luego, el vector Ñ
Ýn es paralelo
Ý
Ñ Ý
Ñ
al vector n1 n2 . Ası́, se tiene
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ

i Ýk
Ñ
Ýn k pÝnÑ1 ÝnÑ2q
k 1 1

1 k p1; 4; 5q
3 2 1
Por consiguiente, la ecuación ordinaria del plano Q que pasa
por B p1; 1; 1q es
px 1q 4py 1q 5pz 1q 0
y su ecuación general es
Q: x 4y 5z 80
c) Sea Q el plano a determinar. Como es perpendicular a los

Ñ
Ý
planos coordenados XZ y XY , es paralelo al plano coordenado
Y Z y su vector normal es i p1; 0; 0q.
Por lo tanto, la ecuación ordinaria del plano Q que pasa por

el punto C p2; 3; 5q, es
px 2q 0py 3q 0pz 5q 0
y su ecuación general es
Q: x20
Distancia de un punto a un plano
Teorema 4. Sea P0 px0 ; y0 ; z0 q un punto del espacio R3 que no

pertenece al plano Q : Ax By Cz D 0. La distancia del P0
punto P0 al plano Q (Ver figura 2.11) está dada por d
d dpP0 ; plano Qq
|Ax0? By0 Cz0 D|
R
A2 B2 C 2 Q
Figura 2.11
Demostración
Sea Rpx1 ; y1 ; z1 q la proyección ortogonal del punto P0 sobre
ÝÝÑ ÝÝÑ
el plano

Q. Luego, la distancia d es la longitud del vector RP0 ||RP0 || .

ÝÝÑ
Como los vectores paralelos RP0 px0 x1 ; y0 y1 ; z0 z1 q y
Ñ
Ýn pA; B; C q forman un ángulo de 0 (Ver figura 2.12), se tiene
ÝRP
ÝÑ0 Ñ
Ýn ||ÝÝÑ Ýn || cos 0 ||Ý
RP0 || ||Ñ
ÝÑ Ýn ||
RP0 || ||Ñ
Luego,
ÝÝÑ Ñ

Ýn
ùñ ||ÝÝÑ RP0
RP0 ||
||Ñ
Ýn ||
|Apx0 x1q? B py0 y1q C pz0 z1 q|
Figura 2.12
A2 B2 C2
|Ax0 By0
?Cz2 0 p2Ax1 By1 Cz1 q|
A B C2
Como px1 ; y1 ; z1 q P Q entonces,
Ax1 By1 Cz1 D 0

Luego,
Ax1 By1 Cz1 D

Por consiguiente, la distancia del punto P0 al plano Q es:
d
|Ax0? By0 Cz0 D|
A2 B2 C 2
Ejemplo 12
Calcule la distancia del punto P p2; 4; 3q al plano
Q : 6x 3y 6z 3 0
Solución
Al aplicar la fórmula de distancia de un punto a un plano, se tiene
d dpP ; plano Qq
|6a
p2q 3p4q 6p3q 3| 45 5
62 p3q2 p6q2 9
Por consiguiente, la distancia del punto P al plano Q es 5 u.
→
−
n Observación 6. La distancia entre dos planos paralelos Q1 y Q2 ,
cuyas ecuaciones son:
Q1
Q1 : Ax By Cz D1 0
d →
−
n Q2 : Ax By Cz D2 0
está dada por
Q2
d dpplano Q1 ; plano Q2 q ? |2D1 2D2|
A B C2

Ejemplo 13
Calcule la distancia entre los planos paralelos
Q1 : 2x y 2z 7 0 y Q2 : 2x y 2z 13 0
Solución
Al aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, se tiene
d dpplano Q1 ; plano Q2 q a
|13 7| 63 2
4 p1q2 4
Por consiguiente, la distancia entre los planos Q1 y Q2 es 2 u.
E JERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Determine la ecuación del plano Q, que pasa por los puntos
Ap3; 1; 1q, B p1; 2; 2q y C p5; 1; 1q, en sus formas vectorial,
paramétrica, general y segmentaria.
Solución
a) Al elegir Ap3; 1; 1q como punto de paso y los vectores no −−→ −−→ →
−
ÝÝÑ ÝÑ AB ×AC nQ
paralelos AB p4; 3; 1q y AC p2; 2; 0q que están sobre el
C
plano Q, su ecuación vectorial es
A B
Q : px; y; z q p3; 1; 1q rp4; 3; 1q tp2; 2; 0q , r, t PR Q
b) De la relación de igualdad de vectores en la ecuación vectorial

del plano Q, se obtienen sus ecuaciones paramétricas, esto es
$
& x 3 4r 2t
Q: y 1 3r 2t ; r, t PR
z1 r
%
c) Como el vector normal ÑÝn Q del plano es perpendicular a los

ÝÝÑ ÝÑ
vectores AB y AC, se tiene
Ýn r ÝAB ÝÑ ÝÑ

Ñ Q
AC
Al elegir r 1, el vector normal Ñ

Ýn es
Ýj ÑÝk
Q
Ñ
Ýi Ñ
Ýn ÝAB
Ñ Q
ÝÑ ÝÑ
AC 4 3 1 p2; 2; 14q 2p1; 1; 7q
2 2 0
Al considerar el punto de paso Ap3; 1; 1q y el vector normal

Ñ
Ýn Q p1; 1; 7q, la forma ordinaria de la ecuación del plano es
Q : 1px 3q 1py 1q 7pz 1q 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano es
Q: xy 7z 11 0

d) De la forma general del plano Q, se tiene
xy 7z 11
Al dividir esta ecuación entre 11, se obtiene
x
11
11y 7z
11
1 ðñ x
11
y
11
z
11
1
7
Por lo tanto, la ecuación del plano Q en su forma segmentaria
es
Q:
x
11 11
y z
11
1
7
2.- El plano R pasa por los puntos Ap2; 1; 3q y B p3; 2; 1q y es paralelo

al vector Ñ
Ýa p2; 2; 3q. Determine la ecuación del plano en sus
formas: vectorial, paramétrica y general.
−−→ − →
− Solución
AB ×→
a nR
a) Al elegir Ap2; 1; 3q como punto de paso y los vectores no
−
→
a ÝÝÑ
paralelos AB p5; 1; 2q y ÑÝa p2; 2; 3q que están sobre el
A B plano R, la ecuación vectorial del plano es
R
R : px; y; z q p2; 1; 3q rp5; 1; 2q tp2; 2; 3q , r, t PR
b) Al aplicar la relación de igualdad de vectores a la ecuación
vectorial del plano R, las ecuaciones paramétricas de este plano
son
$
& x 2 5r 2t
R: y 1 r 2t ; r, t PR
z 3 2r 3t
%
c) Dado que el vector normal Ñ Ýn R del plano R es perpendicular a

Ý
ÝÑ
los vectores AB y Ñ
Ýa , se tiene
Ýn { ÝÝÑ Ýa ðñ Ñ Ýn r Ý ÝÑ Ýa

Ñ R
AB Ñ AB Ñ
R
Al elegir r 1 el vector normal ÑÝn es:

Ñ
Ýi ÑÝj Ñ Ýk
R
Ýn Ý
Ñ ÝÑ Ýa 5 1 2 p1; 11; 8q
AB Ñ

2 3
R
2
Luego, la ecuación ordinaria del plano R que pasa por el punto

Ap2; 1; 3q es
R : px 2q 11py 1q 8pz 3q 0
R: x 11y 8z 33 0

3.- El plano P pasa por el punto Ap4; 0; 0q y es perpendicular al
vector Ñ
Ýn p3; 2; 4q. Determine la ecuación del plano P en sus
formas general, paramétrica y vectorial.
Solución
a) Dado que Ñ Ýn p3; 2; 4q es el vector normal del plano P , su
ecuación general es
P : 3x 2y 4z D 0
Como el punto Ap4; 0; 0q pertenece al plano, sus coordenadas
satisfacen su ecuación, es decir
3p4q 2p0q 4p0q D 0 ðñ D 12
Luego, la ecuación general del plano P es
P : 3x 2y 4z 12 0
b) Al intersecar el plano P con los ejes coordenados X, Y , Z, se
obtienen los puntos Ap4; 0; 0q, B p0; 6; 0q y C p0; 0; 3q. Luego,
ÝÝÑ
al elegir Ap4; 0; 0q como punto de paso y AB p4; 6; 0q
ÝÑ
y AC p4; 0; 3q vectores sobre el plano P , se obtienen
i) Forma vectorial
P : px; y; z q p4; 0; 0q rp4; 6; 0q tp4; 0; 3q , r, t PR
ii) Forma paramétrica
$
& x 4 4r 4t
P : y 6r ; r, t PR
z 3t
%
4.- Un paralelepı́pedo rectangular está limitado por los planos

coordenados y los planos x 4, y 5, z 6. En el espacio R3 ,
grafique el paralelepı́pedo y determine las coordenadas de todos
sus vértices. Además, calcule el volumen del sólido limitado por
el paralelepı́pedo.
Solución
Al intersecar los planos coordenados con los planos x 4, y 5
y z 6, se obtiene el paralelepı́pedo que se muestra en la figura
adjunta.
Z
z=6
D G
E
F
y=5
O
C Y
A
x=4 B
X

Ası́, los vértices del paralelepı́pedo son los puntos Op0; 0; 0q,
Ap4; 0; 0q, B p4; 5; 0q, C p0; 5; 0q, Dp0; 0; 6q, E p4; 0; 6q, F p4; 5; 6q,
Gp0; 5; 6q. Como OA 4u, AB 5u y BF 6u, el volumen V
del sólido limitado por el paralelepı́pedo, es:
V p4qp5qp6q 120
Por consiguiente, el volumen V es 120 u3 .
5.- El punto P p2; 1; 1q que pertenece al plano Q es el pie de la

perpendicular trazada desde el origen de coordenadas. Halle la
ecuación general del plano Q.
Solución
En la figura adjunta se muestra una interpretación geométrica
del problema. Ası́, el vector normal del plano Q es
Ýn Ý
Ñ Q
ÝÑ
OP p2; 1; 1q
O(0; 0; 0)
Luego, la forma ordinaria de la ecuación del plano Q es
2px 2q py 1q pz 1q 0
P (2; −1; −1)
Q
Por consiguiente, al efectuar las operaciones indicadas, se obtiene

la ecuación general del plano, esto es
Q : 2x y z 6 0
6.- Halle la ecuación general del plano Q que es paralelo al vector

Ñ
Ýa p3; 1; 4q y pasa por los puntos Ap2; 1; 3q y B p3; 1; 2q.
Solución
del problema. De la figura, el vector normal ÑÝn Q del plano es
→
−
nQ
B
Ý
ÝÑ
perpendicular a los vectores AB p1; 2; 1q y Ñ
Ýa p3; 1; 4q.
Luego,
−
→
a
Ýn r ÝÝÑ Ýa
A
Ñ AB Ñ
Q
Q
1, el vector normal del plano es

Al elegir r
Ñ
Ýi Ýj Ñ
Ñ Ýk
Ýn Ý
Ñ ÝÑ Ýa 1 2 1 p9; 1; 7q p9; 1; 7q
AB Ñ
3 1 4
Q
Con el punto de paso Ap2; 1; 3q y el vector normal

Ñ
Ýn p9; 1; 7q, la forma ordinaria de la ecuación del plano es
Q
Q : 9px 2q py 1q 7px 3q 0

Q : 9x y 7x 40 0
7.- Halle la ecuación general del plano R que pasa por el punto
Ap3; 2; 2q y contiene al eje Z.
Solución
En la figura adjunta se muestra la interpretación geométrica del →
−
nR
problema.
De la figura, el vector Ñ
Ýn R es perpendicular a los vectores Eje Z
2)
ÝÑ Ý
ÝÑ
OA p3; 2; 2q y OB p0; 0; 1q. Luego,
A(3; 2
b
;− b
B(0; 0; 1)
b
Ýn r ÝÑ ÝÝÑ
O(0; 0; 0)
Ñ
R
R
OA OB
1, el vector normal del plano es

Al elegir r
Ñ Ýj Ñ
Ýi Ñ Ýk
Ýn ÝÑ
Ñ R
ÝÝÑ
OA OB 3 2 2 p2; 3; 0q
0 0 1
Con el punto de paso Op0; 0; 0q y el vector normal Ñ

Ýn R p2; 3; 0q,
la forma ordinaria de la ecuación del plano es
R : 2px 0q 3py 0q 0pz 0q 0
R : 2x 3y 0
8.- Sea ABCDEF GH un paralelepı́pedo rectangular de aristas
paralelas a los ejes coordenados, tales que cuatro de sus vértices
son: Ap4; 4; 6q, B es el simétrico de A con respecto al plano
XZ, C es el simétrico de A con respecto al punto M p2; 0; 6q y
F es el simétrico de B con respecto al punto N p4; 4; 1q.
a) En el espacio R3 , grafique el paralelepı́pedo y determine las
coordenadas de todos sus vértices.
b) Halle la ecuación general de los planos que contienen a las
caras del paralelepı́pedo.
c) Determine la ecuación general del plano que contiene al
rectángulo ADGF .
d) Calcule la distancia del punto F al plano que contiene al
rectángulo BCHE.
Solución
a) Como el punto B es el simétrico de A con respecto al
plano XZ, entonces B p4; 4; 6q.

Dado que C es el simétrico de A con respecto al punto
M p2; 0; 6q, entonces C p8; 4; 6q.
Como el punto F es el simétrico de B con respecto al
punto N p4; 4; 1q, entonces F p4; 4; 4q.
Luego, la gráfica del paralelepı́pedo rectangular ABCDEF GH
se muestra en la figura adjunta.
Z
D C
A B
Y
H
G
E F
X
Los vértices del paralelepı́pedo son los puntos

Ap4; 4; 6q, B p4; 4; 6q, C p8; 4; 6q, Dp8; 4; 6q, E p4; 4; 4q,
F p4; 4; 4q, Gp8; 4; 4q, H p8; 4; 4q
b) De la figura, los planos que contienen a las seis caras del

paralelepı́pedo ABCDEF GH son paralelos a los planos
coordenados e intersecan en forma perpendicular a los ejes
coordenados. Luego, las ecuaciones de estos planos son:
Ecuación del plano que contiene a la cara EF GH: z 4
Ecuación del plano que contiene a la cara ABCD: z 6
Ecuación del plano que contiene a la cara BCGF : y 4
Ecuación del plano que contiene a la cara ADHE: y 4
Ecuación del plano que contiene a la cara ABF E: x 4
Ecuación del plano que contiene a la cara DCGH: x 8
c) Para hallar la ecuación general del plano Q que contiene al

rectángulo ADGF , se eligen los puntos Ap4; 4; 6q,
D
Dp8; 4; 6q y Gp8; 4; 4q.

ÝÝÑ ÝÑ
Como los vectores AD p12; 0; 0q y AG p12; 8; 10q
están en el plano Q, el vector normal ÑÝn Q del plano es
A G
Ý
ÝÑ ÝÑ
perpendicular a los vectores AD y AG. Luego,
Ýn r ÝÝÑ ÝÑ

F Ñ Q
AD AG

Al elegir r 1, el vector normal del plano es
Ñ
Ýi Ñ Ýj Ñ Ýk
Ýn ÝAD
Ñ ÝÑ ÝÑ
AG 12 0

0 p0; 120; 96q
12 8 10
Q
24p0; 5; 4q
Por lo tanto, la ecuación general del plano Q que pasa por el
punto Ap4; 4; 6q y tiene como vector normal Ñ Ýn Q p0; 5; 4q
es
Q : 5y 4z 4 0
d) Para calcular la distancia de un punto a un plano, primero se

determina la ecuación general del plano.
Ası́, el vector normal Ñ
Ýn R del plano R que contiene al rectángulo
ÝÝÑ
BCHE es perpendicular a los vectores BC p12; 0; 0q y
ÝBH
ÝÑ p12; 8; 10q. Luego,

Ñ
Ýi Ñ
Ýj Ñ
Ýk
Ýn r ÝAD
ÝÑ ÝÑ

Ñ AG

12 0 0 rp0; 120; 96q
r
12 8 10
R

24rp0; 5; 4q
Con el punto de paso B p4; 4; 6q y el vector normal
Ñ
Ýn p0; 5; 4q , la ecuación ordinaria del plano R es
R
0px 4q 5py 4q 4pz 6q 0
Por consiguiente, la ecuación general del plano R es
R : 5y 4z 40
De acuerdo a la fórmula, la distancia del punto F p4; 4; 4q al

plano R, es
?
d dpF ; plano Rq
|5p4q? 4p4q 4|
?40 40 41
25 16 41 41
?
40 41
Por lo tanto, la distancia del punto F al plano R es u.
41
9.- Determine el valor del k para que los planos Q : 2x 3y kz 3 0

y R : x 4y 7z 4 0 sean perpendiculares.
Solución
El vector normal del plano Q es Ñ
Ýn Q p2; 3; kq y del plano R
Ñ
Ý
es n R p1; 4; 7q.

Como el plano Q es perpendicular al plano R, se tiene
Ñ
Ýn K Ñ
Q
Ýn ðñ ÑÝn pÑ
R
Ýn q 0
Q R
ðñ p2; 3; kq p1; 4; 7q 0

ðñ 2 12 7k 0 ùñ k 2
Por consiguiente, el valor de la constante k es 2.
10.- Si los planos P : mx 3y 2z 20 0 y Q : 2x 5y lz 5 0

son paralelos, determine los valores de las constantes l y m.
Solución
El vector normal del plano P es Ñ
Ýn P pm; 3; 2q y del plano Q
Ñ
Ý
es n Q p2; 5; lq .
Como el plano P es paralelo al plano Q, se tiene
Ñ
Ýn { Ñ
P
Ýn ùñ Ñ
Q
Ýn rÑ
Ýn ðñ pm; 3; 2q rp2; 5; lq
P Q
ðñ m2 35 l2
$
& l
' 10
ùñ ' 3
% m 6
5
Por lo tanto, los valores de las constantes son l ym .

10 6
3 5
11.- Halle la ecuación general del plano P que pasa por los puntos
Ap1; 1; 2q, B p3; 1; 1q y es perpendicular al plano
Q : x 2y 3z 5 0
Solución
ÝÝÑ
El vector AB p2; 2; 3q está contenido en el plano P y el vector
normal del plano Q es Ñ Ýn Q p1; 2; 3q. Dado que el plano P es
ÝÝÑ
perpendicular al plano Q y el vector AB está contenido en el
plano P , se tiene
Ñ
Ýn K Ñ
P
Ýn Q
y Ñ
Ýn P KÝ
ÝÑ
AB
Luego, de acuerdo a la interpretación geométrica del producto

vectorial, resulta
Ýn Ý
ÝÑ

Ñ
Ýn r Ñ
P
AB Q
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk
i
Ñ P
Ýn Ý
Ýn Ñ ÝÑ
AB
Q 2 3

1

2 2 3
p12; 3; 6q 3p4; 1; 2q

Luego, la ecuación ordinaria del plano P que pasa por el punto
Ap1; 1; 2q es
P : 4px 1q py 1q 2pz 2q 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano P es
P : 4x y 2z 9 0
12.- Determine la ecuación general del plano P que pasa por el punto
M p2; 1; 1q y es perpendicular a los planos Q : 2x y z 1 0
y R : x y 3z 3 0.
Solución
Sea Ñ
Ýn P el vector normal del plano P .
Dado que el plano P es perpendicular a los planos Q y R, se tiene
Ñ
Ýn K Ñ
P
Ýn p2; 1; 1q
Q
y Ñ
Ýn P KÑ
Ýn p1; 1; 3q
R
Luego,
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk

i
Ñ
Ýn Ñ
Ýn Ñ
Ýn
1 1 p2; 7; 3q
2

1 3
P Q R
1
De esta manera, la ecuación ordinaria del plano P que pasa por

el punto M p2; 1; 1q es
P : 2px 2q 7py 1q 3pz 1q 0
P : 2x 7y 3z 8 0
13.- Calcule la distancia del punto P p1; 1; 2q al plano Q que

contiene a los puntos M p1; 1; 1q, N p2; 1; 3q y Rp4; 5; 2q.
Solución
P →
−
nQ
del problema.
Ası́, el vector normal Ñ
Ýn Q del plano Q es perpendicular a los b
N
ÝÝÑ ÝÝÑ
vectores M N p3; 2; 2q y M R p3; 4; 3q. Luego: Q M b
R
Ýn r ÝÝÑ ÝÝÑ

Ñ Q
MN MR
Al elegir r 1, el vector normal del plano es

Ñ
Ýi Ýj Ñ
Ñ Ýk
Ýn ÝÝÑ
Ñ ÝÝÑ
M N M R 3 2

2 p2; 3; 6q
3 4 3
Q

Luego, la ecuación ordinaria del plano Q que pasa por el punto
M p1; 1; 1q es
Q : 2px 1q 3py 1q 6pz 1q 0
Q : 2x 3y 6z 11 0
Al aplicar la fórmula de distancia del punto P p1; 1; 2q al plano

Q, resulta
d dpP ; plano Qq
|2p1q ?3p1q 6p2q 11|
287 4
4 9 36
Por consiguiente, la distancia del punto P al plano Q es 4u.
14.- Halle, en el eje Z, un punto A que equidiste del punto B p1; 2; 0q
y del plano R : 3x 2y 6z 9 0.
Solución
Eje Z
A
del problema.
B
Como el punto A pertenece al eje Z, es de la forma Ap0; 0; z0 q. De
la figura adjunta y al aplicar las fórmulas de distancia, se tiene
dpA; B q dpA; plano Rq

Q
|3p0q ?29p0q 4 6p36z0q 9|

b
ðñ 1 4 z02
b
ðñ 7 5 |6z0 9|
z02
ðñ 49p5 z02 q p6z0 9q2
ðñ 49z02 245 36z02 108z0 81
ðñ 13z02 108z0 164 0 ðñ z0 2 o z0 82

13
Por lo tanto, las coordenadas del punto A son

Ap0; 0; 2q o A 0; 0;
82
13

E JERCICIOS Y PROBLEMAS ii) Si los planos Q y P son paralelos,
PROPUESTOS 2.1 determine los valores de l y m.
1.- Determine las ecuaciones vectorial, Con los valores hallados de a, l y m,

paramétrica y general del plano R que pasa determine:
por los puntos Ap2; 1; 1q, B p3; 1; 2q y iii) La ecuación general del plano T que pasa
C p1; 5; 3q. por el punto Ap2; 5; 1q y es paralelo al
plano Q.
2.- Dados los puntos Ap5; 2; 1q, B p2; 1; 3q, iv) La ecuación general del plano W que
C p3; 2; 2q, Dp1; 1; 1q, E p3; 1; 3q y pasa por el punto N p3; 1; 2q y es
F p4; 3; 4q, determine: perpendicular a los planos R y
M : 2x y 3z 3 0
v) La distancia del punto C p1; 1; 1q al plano
i) Las ecuaciones vectorial y general del
ÝÝÑ ÝÝÑ
plano Q que pasa por el punto D y es
paralelo a los vectores AB y EF .
R.
ii) Las ecuaciones paramétricas y 4.- Sean los planos:

segmentaria del plano P que pasa por Q1 : 4x 6y 10z 11 0
bz 4 0
ÝÑ
los puntos B y D y es paralelo al vector
AF .
Q2 : 2x ay
i) Si los planos Q1 y Q2 son paralelos, calcule
iii) Las ecuaciones general y segmentaria del los valores de a y b.
ÝÝÑ ÝÝÑ
plano R que pasa por el punto E y es
paralelo a los vectores CF y CD.
ii) Halle la ecuación del plano R que contiene
al eje X y es perpendicular al plano Q2 .
iv) La ecuación general del plano T que pasa iii) Determine si el punto Ap2; 5, 3q
por el punto A y es perpendicular a los pertenece al plano Q1 o al plano Q2 .
planos XY e Y Z.
5.- En un sistema referencial R3 , la puerta de
v) La ecuación general y vectorial del plano una casa que es perpendicular al piso contiene
S, si el punto C que pertenece al plano en una posición determinada a los puntos
S es el pie de la perpendicular trazada Ap2; 2; 4q y B p3; 5; 2q. Determine la ecuación
desde el punto E. del plano que contiene a la puerta en dicha
vi) La ecuación general del plano U que pasa posición.
por el punto F y contiene al eje X. 6.- Sea P : Ax By Cz D 0 el plano
vii) La ecuación vectorial y general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es
V que pasa por el punto C y contiene al paralelo al plano Q1 : 3x 10y 5z 8 0
eje Y . i) Si se sabe que el punto Ap5; p; q q está en
viii) Las ecuaciones paramétricas y general el plano P , encuentre una relación que
del plano W que pasa por el punto E exprese q en función de p.
y contiene al eje Z. ii) Si el plano

3.- Dadas las ecuaciones de los planos:
Q2 : 5 2k x 64y 5 2k z 20
es perpendicular al plano Q1 , halle el valor
R : 2x 8y az 4 0 de k.
Q : lx my 6z 6 0 7.- Sea Q1 un plano que contiene en los puntos
P : x 4y 3z 6 0 Ap1; 3; 2q, B p2; 4 1q, C p8; 3; 2q y
Dpk; 1; 2q
i) Determine el valor de a si los planos R y
P son perpendiculares. i) Halle la ecuación del plano Q1 .

ii) Calcule el valor de k. 10.- Dados los planos:
iii) Determine la ecuación del plano Q2 que P : 2x my 4z 2m 10 0 y
es perpendicular al eje X en el punto que
es la proyección de D sobre este eje. Q : nx 3y z n 40
8.- Sean Q1 y Q2 dos planos perpendiculares i) Determine los valores de m y n, si el plano

entre sı́, tal que Ap5; 6; 4q es un punto P interseca al eje Z en el punto Ap0; 0; 8q
común de ambos planos. Si el plano Q1 y el plano P es perpendicular al plano Q.
contiene al eje Y y el plano Q2 pasa además ii) Halle la ecuación del plano R que pasa
por el punto B p3; 5; 6q, determine: por el punto B p3; 1; 5q y es paralelo al
plano P .
i) Los vectores normales de los planos
Q1 y Q2 . iii) Obtenga la ecuación del plano S que pasa
por el punto C p2; 0; 2q y es perpendicular
ii) La ecuación general de los planos Q1
a los planos R y Q.
y Q2 .
11.- El plano Q : 8x 3y 12z 24 0 interseca
9.- En la figura adjunta se muestra una puerta
a los ejes coordenados X, Y , Z en los puntos
rectangular contenida en el plano XZ. La
A, B y C, respectivamente. En el triángulo
longitud de la base OA mide 1 metro y
ABC, halle las coordenadas del pie de la
la altura OC 2 metros. Si la puerta gira
altura trazada del vértice B.
alrededor del lado OC un ángulo de 30 en
el sentido antihorario, halle la ecuación del 12.- Calcule el valor de k para que la distancia
plano que contiene a la puerta en su nueva del origen de coordenadas al plano
posición (Ver figura adjunta).
R : 2x ky z 2pk 1q 0
Z
C sea igual a 2 u.
B B′
O
30◦ Y
′
A
X A
text

2.2 L A RECTA EN EL ESPACIO R3
En el aeropuerto internacional Jorge Chávez de la ciudad de Lima,

a diario aterrizan y despegan aviones comerciales con destinos
nacionales e internacionales. Algo similar, pero con menor
frecuencia de vuelos ocurre en los aeropuertos del interior del paı́s.
En un dı́a determinado, un avión comercial despega de la ciudad

de Lima con destino a la ciudad de Tarapoto; a la misma hora otro
avión comercial despega de la ciudad de Trujillo con destino a la
ciudad de Pucallpa. Ambas aeronaves siguen trayectorias rectilineas
perpendiculares. Con la finalidad de prevenir accidentes aéreos, el jefe
de la torre de control requiere conocer la ecuación de la trayectoria
lineal de cada avión y estimar el momento en que las aeronaves se
cruzan en el espacio.
Estas situaciones tienen respuestas si se conoce la ecuación de una

recta en el espacio y las posiciones relativas entre dos rectas; conceptos
que se tratan a continuación.
La Recta
Una recta L en el espacio R3 es un conjunto de puntos distribuidos

a lo largo de una dirección constante; esto es, paralelo a un vector
Ñ
Ýa conocido como vector dirección de la recta L. (Ver figura 2.13).
Z
L
a→
−
O Y
X
Figura 2.13
Observación 7. Las condiciones geométricas que determinan de

manera única, una recta en el espacio R3 son:
Caso 1: Cuando se conoce un punto de paso P0 de la recta L y su

vector dirección Ñ
Ýa .
Caso 2: Cuando se conocen dos puntos de paso P1 y P2 de
la recta L.

En la figura 2.14 se interpreta geométricamente cada caso.
Z Z
P1
b
P0b
L −
→ P2
a
O Y O Y
X X L
Caso 1 Caso 2
Figura 2.14
Con los datos de cada caso se determinan las diferentes ecuaciones

de la recta en el espacio R3 , tal como se presenta a continuación.
Ecuaciones de la recta
Z
I. Ecuación vectorial de la recta
Sea L una recta que pasa por el punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y sigue la
−
→
a L
dirección del vector Ñ

Ýa pa1; a2; a3q (Ver figura 2.15)
P0
b
Sea P px; y; z q un punto cualquiera de la recta L y diferente del

X
Y
ÝÝÝÑ
punto P0 . Ası́, el vector P0 P es paralelo al vector Ñ
Ýa . (Ver figura
Figura 2.15
2.16)
Luego, existe un escalar t P R tal que
Z
ÝÝÝÑ Ýa
P0 P tÑ
ðñ Ý ÝÑ ÝÝÝÑ Ýa
OP OP0 tÑ
L
−
→
a P
P0 b
ðñ Ý ÝÑ ÝÝÝÑ tÑ Ýa
b
OP OP0
X
O Y
ÝÝÑ ÝÝÝÑ
Si se considera OP px; y; z q, OP0 px0 ; y0 ; z0 q y
Figura 2.16 Ñ
Ýa pa1; a2; a3q, la ecuación vectorial de la recta L es:
L : px; y; z q px0 ; y0 ; z0 q tpa1 ; a2 ; a3 q , t P R
Por consiguiente, un punto P px; y; z q pertenece a la recta L si, y

solo si, verifica la ecuación anterior.
Ejemplo 14
x Halle la ecuación vectorial de la recta L que pasa por los
puntos Ap1; 2; 3q y B p4; 6; 7q.
Solución
x Para determinar la ecuación vectorial de la recta se necesita
el punto de paso y el vector dirección.

x Como A y B son dos puntos de la recta L, el vector dirección
es
Ýa ÝAB
Ñ ÝÑ p3; 8; 4q
Luego, al escoger el punto A como punto de paso de la recta
L, la ecuación vectorial de la recta es
L : px; y; z q p1; 2; 3q tp3; 8; 4q , t P R
II. Ecuaciones paramétricas de la recta

Sea L una recta que pasa por el punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y sigue la
dirección del vector Ñ
Ýa pa1; a2; a3q. Luego, la ecuación vectorial
de la recta L es
L : px; y; z q px0 ; y0 ; z0 q tpa1 ; a2 ; a3 q , t P R
Al efectuar operaciones en esta ecuación y aplicar la relación de

igualdad entre vectores, se obtiene
$
& x x0 ta1
L: y y0 ta2 , t P R
z z0
%
ta3
Por consiguiente, el punto P px; y; z q pertenece a la recta L si, y

solo si, verifica las ecuaciones paramétricas
$
& x x0 ta1
L : y y0 ta2 , t P R (1)
z z0
%
ta3
Ejemplo 15
x Halle las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por
el punto Ap2; 4; 7q y su vector dirección es Ñ
Ýa p2; 0; 1q.
Solución
x Como el punto A pertenece a la recta L y Ñ Ýa es su vector
dirección, las ecuaciones paramétricas de la recta L son
$
& x 2 2t
L : y4 , tPR
z 7t
%
III. Ecuación simétrica de la recta

Si las componentes del vector dirección Ñ Ýa pa1; a2; a3q son
diferentes de cero en las ecuaciones paramétricas de la recta L
(1), al despejar el parámetro t de cada ecuación e igualar los

resultados, se obtiene la ecuación simétrica de la recta L, esto es
x x0
L:
a1
y a y0 z a z0 (2)
2 3
Ejemplo 16
x Determine la ecuación simétrica de la recta L que pasa por
los puntos P1 p2; 3; 4q y P2 p3; 5; 6q.
Solución
x Como P1 y P2 pertenecen a la recta L, el vector dirección de
la recta es
Ýa Ý
Ñ ÝÝÑ
P1 P2 p5; 2; 2q
Luego, al seleccionar al punto P1 como punto de paso, la

ecuación simétrica de la recta L es
x2
L:
5 y 2 3 z 2 4
Observación 8. En el caso en que una o dos de las componentes

del vector dirección Ñ
Ýa pa1; a2; a3q de la recta L sean iguales a
cero, la ecuación simétrica (2) tiene una de las siguientes formas:
i) Si a1 0, a2 0 y a3 0, la ecuación simétrica de la recta L
es:
y y0
L:
a2
z a z0 , x x0
3
ii) Si a1 0, a2 0 y a3 0, la ecuación simétrica de la recta L

es:
x x0
L:
a1
z a z0 , y y0
3
iii) Si a1 0, a2 0 y a3 0, la ecuación simétrica de la recta L

es:
x x0
L:
a1
y a y0 , z z0
2
iv) Si a1 0 a2 y a3 0, la ecuación simétrica de la recta L es:

L : x x0 , y y0
v) Si a1 0 a3 y a2 0, la ecuación simétrica de la recta L es:
L : x x0 , z z0

vi) Si a1 0 y a2 0 a3, la ecuación simétrica de la recta L es
L: y y0 , z z0
Ejemplo 17
x En cada caso, halle la ecuación simétrica de la recta L que
pasa por el punto P0 p2; 4; 5q y cuyo vector dirección es
a) Ñ
Ýa p6; 0; 7q c) Ñ
Ýa p0; 5; 0q
b) Ñ
Ýa p4; 3; 0q d) Ñ
Ýa p0; 0; 3q
Solución
x De acuerdo al valor de las componentes del vector dirección
Ñ
Ýa , la ecuación simétrica de la recta L en cada caso es
x2 z5
a) L :
6
7
, y 4
x2 y4
b) L :
4
3
, z 5
c) L : x 2 , z 5
d) L : x 2 , y 4
IV. Ecuación general o cartesiana de la recta
Sean Q1 y Q2 dos planos secantes cuyas ecuaciones son:
Q 1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 L
D2 0
Q1 Q2
Q2 : A2 x B2 y C2 z
La intersección de estos planos es una recta L (Ver figura 2.17).
Ası́, un punto P px; y; z q pertenece a la recta L si, y solo si, sus

coordenadas verifican las ecuaciones de los planos Q1 y Q2 , es
decir px; y; z q es una solución del sistema lineal
Figura 2.17
#
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
A este sistema lineal se le denomina ecuación general o cartesiana
de la recta L y se denota por
#
A1 x B1 y C1 z D1 0
L:
A2 x B2 y C2 z D2 0

Ejemplo 18
x Halle la ecuación general de la recta L que pasa por los puntos
Ap2; 1; 3q y B p3; 2; 4q.
Solución
x Dado que los puntos A y B están en la recta L, el vector
dirección de la recta es
Ýa Ý
Ñ ÝÑ
AB p1; 3; 7q
Luego, al seleccionar Ap2; 1; 3q como punto de paso, la

ecuación simétrica de la recta L es
x2
L:
1
y 3 1 z73
Al efectuar operaciones en cada una de las igualdades de la
ecuación simétrica de L, se tiene
x2
1
y 3 1 ùñ 3x y 7 0
x2
1
z73 ùñ 7x z 17 0
Por consiguiente, la ecuación general o cartesiana de la recta

L es
"
3x y 7 0
7x z 17 0
L:
Posiciones relativas entre dos rectas
Sean L1 y L2 dos rectas cualesquiera en el espacio R3 , cuyas

ecuaciones en su forma vectorial son
L1 : px; y; z q px1 ; y1 ; z1 q tÑ
Ýa , t P R
L2 : px; y; z q px2 ; y2 ; z2 q
Ñ
Ý
sb , sPR
El punto de paso de la recta L1 es Apx1 ; y1 ; z1 q y su vector dirección

es Ñ
Ýa pa1; a2; a3q.
El punto de paso de la recta L2 es B px2 ; y2 ; z2 q y su vector dirección
Ñ
Ý
es b pb1 ; b2 ; b3 q.
Ýa , Ñ
Ýb
Las posiciones relativas que ocupan las rectas L1 y L2 en el espacio
R3 están dadas por las posiciones relativas entre los vectores Ñ
ÝÝÑ
y AB . Ası́, se tiene:

I. Rectas paralelas L1 { L2
Ýa y Ñ
Ýb son 1paralelos,
Las rectas L y L son paralelas si y solo si sus vectores dirección
Ñ 2
esto es: L1 L2
L1 { L2 ðñ Ñ Ýa { Ñ
Ýb
→
a→
−
−
b
En la figura 2.18 se muestran dos rectas paralelas L1 y L2 .
Figura 2.18
Ýa { Ñ
Ýb , se presentan dos casos:
Observación 9.Cuando los vectores dirección de L1 y L2 son
paralelos Ñ
a) L1 y L2 son paralelos no coincidentes si la intersección de las L1 L2

rectas L1 y L2 es el conjunto vacı́o, es decir:
Ýa { Ñ
ðñ Ñ Ýb ^
→
a→
−
L1 X L2 φ
−
L1 y L2 son paralelas
b
b
A b
B
no coincidentes
Figura 2.19
En este caso, es suficiente comprobar que el punto de paso de
L1 pAq no pertenecer a la recta L2 . (Ver figura 2.19)
b) L1 y L2 son coincidentes si, y solo si, la intersección de ambas

rectas es una de ellas, es decir:
L1 ≡ L2
L1 y L2
ðñ L1 { L2 ^ L1 X L2 L1 po L2q
a→
−
Ýa { Ñ
Ýb { Ý
son coincidentes
ÝÑ
→
B
−
Ñ
b
b
ðñ AB
A b
En este caso, es suficiente probar que el punto de paso de

L1 pAq pertenece a la recta L2 . (Ver figura 2.20) Figura 2.20
II. Rectas secantes
Las rectas L1 y L2 son secantes si, y solo si, su intersección es un

único punto, es decir
L1 y L2 son secantes ðñ L1 X L2 tP0u

B −
→
a L1
b
A b P0 →
−
b
Q L2
Figura 2.21
Observación 10. Dos rectas L1 y L2 son secantes si no son
Ýa , Ñ
Ýb y ÝÝÑ
paralelas y están contenidas en un mismo plano Q (Ver figura
2.21). Es decir, los vectores Ñ AB son coplanares.

Ası́, se tiene que las rectas L1 y L2 son secantes si, y solo si

Ýa Ñ
Ýb ÝÝÑ
a1 a2 a3
Ñ AB

b1 b2 b3

0

x2 x1 y2 y1 z2 z1
III. Rectas que se cruzan
Las rectas L1 y L2 se cruzan en el espacio R3 si, y solo si, no son

A paralelas y su intersección es el conjunto vacı́o (Ver figura 2.22),
a→
−
b
L1 es decir
−b
→
L1 y L2 se cruzan ðñ { 2
L1rL ^ L1 X L2 φ
L2
Bb
b
Observación 11. Dos rectas L1 y L2 se cruzan si, y solo si, no
Ýa , Ñ
Ýb y ÝÝÑ
son paralelas y no están contenidas en un mismo plano. Es decir,
los vectores Ñ
Figura 2.22
AB no son coplanares.
Por consiguiente, las rectas L1 y L2 se cruzan cuando:

Ýa Ñ
Ýb ÝÝÑ
a1 a2 a3
Ñ AB

b1 b2 b3

0

x2 x1 y2 y1 z2 z1
IV. Rectas perpendiculares
Ýa y Ñ
Ýb son perpendiculares (Ver figura 2.23), esto es
Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si, y solo si, sus vectores
dirección Ñ
L1 Ýa K Ñ
K L2 ðñ Ñ Ýb
Ýa Ñ
ðñ Ñ Ýb 0
Figura 2.23 Observación 12. Cuando dos rectas son perpendiculares pL1 K
L2 q puede ocurrir que su intersección sea un punto P0 o el conjunto
vacı́o, es decir
$
'
& L1 X L2 tP0u pcoplanaresq
L1 K L2 ùñ '
o
%
L1 X L2 φ pse cruzanq
Ejemplo 19
En cada caso, determine la posición relativa entre las rectas L1 y
L2 cuyas ecuaciones son
a) L1 : px; y; z q p2; 1; 3q tp2; 1; 2q
L2 : px; y; z q p3; 2; 1q sp8; 4; 8q

$ $
& x 2 t & x 1 3s
b) L1 : y 1 2t , L2 : y 5 6s
z 4 2t z 2 6s
% %
x5 z3
c) L1 :
2
y 1
1 2
L2 :
x 3
2
y23z13
x2 y1 z2
d) L1 :
x

3 1 4
y
z
, L2 :
1
1 1
Solución
Sean ÑÝa y ÑÝb los vectores dirección de las rectas L1 y L2
respectivamente, y A, B sus respectivos puntos de paso.
a) En este caso, se tiene
Ýa p2; 1; 2q , Ñ
Ñ Ýb p8; 4; 8q , Ap2; 1; 3q y B p3; 2; 1q
Luego:
i) Ñ
Ñ
Ý Ñ
Ý 4Ñ
Ýa { b ; pues b Ýa
ii)
ÝÝÑ {Ñ
AB p1; 3; 4q{
r Ýa
Por consiguiente, las rectas L1 y L2 son paralelas no
coincidentes.
b) En este caso, se tienen

Ýa p1; 2; 2q , Ñ
Ñ Ýb p3; 6; 6q , Ap2; 1; 4q y B p1; 5; 2q
Luego:
i) Ñ
Ñ
Ý
Ýa { b ; pues bÑ
Ý 3Ñ Ýa
ii)
ÝÑ p3; 6; 6q Ñ
ÝAB Ýb
Por consiguiente, las rectas L1 y L2 son coincidentes.
c) En este caso, se tienen:

Ýa p2; 1; 2q , Ñ
Ñ Ýb p2; 2; 1q , Ap5; 1; 3q y B p3; 3; 3q
i) Ýa r{ Ñ
Ñ Ýb pÑ
Ýa kÑ
Ýb q
ii) Como:

Ýb 2 6
8
ÝAB Ýa Ñ
ÝÑ Ñ

1 2 0
2

2 2 1
ÝÝÑ
los vectores AB , Ñ
Ñ
Ý
Ýa y b son coplanares.
Por lo tanto, las rectas L1 y L2 son secantes.

d) En este caso, se tienen:
Ýa p3; 1; 4q , Ñ
Ñ Ýb p1; 1; 1q , Ap0; 0; 0q y B p2; 1; 2q
i) Ýa r{ Ñ
Ñ Ýb pÑ
Ýa kÑ
Ýb q
ii) Dado que:

3 1 4
Ýa Ñ
Ýb ÝÝÑ

Ñ AB

1
1 1 21 0
2 1 2
los vectores Ñ
Ñ
Ý ÝÝÑ
Ýa , b y AB no son coplanares.
Por consiguiente, las rectas L1 y L2 se cruzan.
Ejemplo 20
Determine la ecuación simétrica de una recta L que pasa por el
punto Ap3; 2; 1q y es perpendicular a las rectas:
x2
L1 :
2
y 3 3 z11 y
L2 : px; y; z q p1; 0; 2q tp1; 1; 3q , t P R
Solución
Para hallar la ecuación simétrica de la recta L, falta determinar
las componentes de su vector dirección Ñ Ýa . Ası́, se tiene que el
Ñ
Ý
vector dirección de la recta L1 es b p2; 3; 1q y de la recta L2
es Ñ
Ýc p1; 1; 3q.
Dado que la recta L es perpendicular a las rectas L1 y L2 , se
tiene:
L K L1 Ýa K Ñ
ðñ Ñ Ýb
L K L2 ðñ Ñ
Ýa K Ñ
Ýc
Luego, según la interpretación geométrica del producto vectorial,
resulta:
Ýa kpÑ
Ñ Ýb Ñ
Ýc q
donde:
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ

i Ýk
Ñ
Ýb Ñ
Ýc
3 1 p10; 7; 1q
2

1 1 3
Ası́, el vector dirección de la recta L es Ñ

Ýa p10; 7; 1q.

Por consiguiente, la ecuación simétrica de la recta L que pasa por
el punto Ap3; 2; 1q es
x3
L:
10
y72 z11
Distancia de un punto a una recta
En el espacio R3 , se tienen los puntos P0 px0 ; y0 ; z0 q, P1 px1 ; y1 ; z1 q y

una recta L cuya ecuación vectorial es L : px; y; z q px0 ; y0 ; z0 q tÑ Ýa ,
t P R, tal que el punto P1 no pertenece a la recta L (Ver figura 2.24)
Figura 2.24

Sean d la distancia del punto P1 px; y; z q a la recta L d dpP1 ; Lq
yÑÝv el vector que une los puntos P0 y P1 Ñ Ýv Ý ÝÝÑ
P0 P1 . Entonces,
de la figura 2.24, resulta
d ||Ñ
Ýv || sen θ
donde θ es el ángulo que forman los vectores Ñ
Ýa y Ñ
Ýv (θ ]pÑ
Ýa ; Ñ
Ýv q).
Dado que
||Ñ
Ýa Ñ
Ýv || ||Ñ
Ýa || loooomoooon
||Ñ Ýd ||Ñ
Ýv || sen θ ùñ Ñ Ýa Ñ Ýv ||
||Ñ
Ýa || ,
d
Por consiguiente, la distancia del punto P1 a la recta L está dada

por:
d dpP1 ; Lq
||Ñ
Ýa Ñ Ýv ||
||Ñ
Ýa ||
Ejemplo 21
Calcule la distancia entre el punto P1 p2; 1; 3q y la recta
L : x y z.
Solución
El punto de paso de la recta L es P0 p0; 0; 0q y su vector dirección
es Ñ
Ýa p1; 1; 1q.
Como el vector que une los puntos P0 y P1 es:
Ýv ÝPÝÝ
Ñ Ñ
0 P1 p2; 1; 3q

se tiene
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
d
||ÝÑa ÝÑv || Ñ
Ýa Ñ
Ýv
1

1 p2; 1; 1q
||ÝÑa ||
2
1
1 3
Ası́, Ýa || ?3 y ||Ñ
||Ñ Ýv || ?6.
Ýa Ñ
Luego, la distancia entre el punto P1 y la recta L es
||Ñ
Ýa Ñ Ýv || ?6 ?
dpP1 ; Lq Ýa || ?3 2
||Ñ
? consiguiente, la distancia entre el punto P1 y la recta L es
Por
2 u.
Posiciones relativas entre recta y plano
Sean L una recta y Q un plano cualesquiera en el espacio R3 , cuyas

ecuaciones son:
L : px; y; z q px0 ; y0 ; z0 q tÑ
Ýa , t P R
Q : Ax By Cz D 0
El punto de paso de la recta L es P0 px0 ; y0 ; z0 q, su vector dirección
es Ñ
Ýa y el vector normal del plano Q es ÑÝn pA; B; C q.
Las posiciones relativas entre la recta L y el plano Q en el espacio
R3 son:

I. Recta y plano paralelos L { Q
La recta L es paralela al plano Q si, y solo si, el vector dirección
de L es perpendicular al vector normal de Q y el punto de paso
de la recta L no pertenece al plano Q, es decir:
L{ Qðñ Ñ Ýa K Ñ
Ýn y P0 R Q
Nota.- Si Ñ
Ýa K Ñ
Ýn y P0 P Q, entonces la recta L está contenida
en el plano Q, es decir:
LQ ðñ aKÑ
Ýn y P0 PQ
II. Recta y plano secantes
La recta L y el plano Q son secantes si, y solo si, no son paralelos,
es decir:
L y Q son secantes { ðñ Ñ
ðñ LrQ Ýa r{ Ñ
Ýn
ðñ Ñ
Ýa Ñ
Ýn 0

Figura 2.25
Nota.- La recta L es secante al plano Q si, y solo si, la recta L

interseca al plano Q en un punto (Ver figura 2.25), esto es
L y Q son secantes ðñ L X Q tP0 u
Observación 13. Recta y plano perpendicular (L K Q)
Una recta L y un plano Q que son secantes son, además,

perpendiculares si, y solo si, el vector dirección de L es paralelo
al vector normal del plano Q (ver figura 2.26), es decir
LKQ ðñ Ñ
Ýa { Ñ
Ýn ðñ Ñ
Ýa kÑ
Ýn Figura 2.26
Ejemplo 22
En cada caso determine la posición relativa entre la recta L
y el plano Q.
a) L : px; y; z q p1; 2; 1q tp3; 2; 4q
Q : 3x 2y 4z 13 0
x2
b) L :
2
y 3
3
z 1
4
Q : 3x 2y 3z 9 0
Solución
a) El punto de paso y el vector dirección de la recta L son,
respectivamente, P0 p1; 2; 1q y Ñ
Ýa p3; 2; 4q; y el vector
Ñ
Ý
normal del plano Q es n p3; 2; 4q.
Ası́ Ñ
Ýa p3; 2; 4q Ñ
Ýn .
Por consiguiente, la recta L y el plano Q son secantes y
perpendiculares.
b) El punto de paso y el vector dirección de la recta L son

respectivamente P0 p2; 3; 1q y Ñ
Ýa p2; 3; 4q, y el vector
Ñ
Ý
normal del plano Q es n p3; 2; 3q.

Ası́, Ñ
Ýa Ñ
Ýn p2; 3; 4qp3; 2; 3q 0, esto significa que Ñ
Ýa K Ñ
Ýn .
Además, al reemplazar las coordenadas del punto P0 en la
ecuación del plano Q, se tiene
3p2q 2p3q 3p1q 9 12 0
Por consiguiente, como Ñ

Ýa K Ñ
Ýn y P0 R Q, la recta L y el plano
Q son paralelos no coincidentes.
Ejemplo 23
Dadas la recta L y el plano Q, cuyas ecuaciones son:
L : px; y; z q p1; 5; 1q tp2; 1; 1; q , t P R

Q: x 2y 3z 20
a) Halle el punto de intersección de la recta L con el plano Q.

b) Determine la ecuación de una recta L1 contenida en el plano
Q, que pasa por el punto Ap2; 1; 2q y es perpendicular a la
recta L.
Solución
a) Sea B el punto de intersección entre la recta L y el plano Q,
es decir
tB u L X Q ðñ B PL y B PQ
Ası́
B P L ðñ B p1 2t; 5 t; 1 tq
y
B P Q ðñ p1 2tq 2p5 tq 3p1 tq 20
ðñ 7t 14 0 ðñ t 2
Luego, al reemplazar t 2 en las coordenadas de B, el punto
de intersección de la recta L con el plano Q es B p5; 3; 1q.
b) El vector dirección de la recta L es Ñ Ýa p2; 1; 1q y el vector

normal del plano Q es Ñ Ýn p1; 2; 3q.
Ñ
Ý
Como la recta L1 está contenida en el plano Q y es
perpendicular a la recta L, su vector dirección b es
perpendicular a los vectores Ñ
Ýa y Ñ
Ýn , es decir:
Ñ
Ýb K Ñ
Ýn Ñ
Ý KÑ
y b Ýa ùñ Ñ
Ýb Ñ
Ýn Ñ
Ýa

Ası́:
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
Ñ
Ýb Ñ
Ýn Ñ
Ýa
1 2

3 p1; 5; 3q

2 1 1
Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta L1 que pasa

por el punto Ap2; 1; 2q es
L1 : px; y; z q p2; 1; 2q sp1; 5; 3q , s P R
1.- Determine la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de

las rectas que contienen
a) Al eje X b) Al eje Y c) Al eje Z
Solución
a) Al elegir como punto de paso Op0; 0; 0q y vector dirección el
Ñ
Ý
vector i p1; 0; 0q, se tiene
Forma vectorial
L1 : px; y; z q p0; 0; 0q rp1; 0; 0q rp1; 0; 0q , r PR
Forma paramétrica
De la forma vectorial, se obtiene
$
& xr
L1 : y0 , r PR
z0
%
b) Al elegir como punto de paso Op0; 0; 0q y vector dirección el

Ñ
Ý
vector j p0; 1; 0q, resulta
Forma vectorial
L2 : px; y; z q p0; 0; 0q tp0; 1; 0q tp0; 1; 0q , t P R
Forma paramétrica
De la forma vectorial, se obtiene
$
& x0
L2 : yt , tPR
z0
%
c) Al elegir como punto de paso Op0; 0; 0q y vector dirección el

Ñ
Ý
vector k p0; 0; 1q, se tiene

Forma vectorial
L3 : px; y; z q p0; 0; 0q sp0; 0; 1q sp0; 0; 1q , s P R
Forma paramétrica
De manera similar a la parte a, resulta:
$
& x0
L3 : y0 , sPR
zs
%
2.- Determine la ecuación de la recta L que pasa por los puntos

Ap3; 1; 1q y B p2; 5; 2q en sus formas: vectorial, paramétrica,
simétrica y general.
Solución
Al elegir Ap3; 1; 1q como punto de paso y el vector
ÝAB
ÝÑ p1; 4; 3q como vector dirección, se tiene:
a) Forma vectorial
L : px; y; z q p3; 1; 1q rp1; 4; 3q , r PR
b) Forma paramétrica
$
& x 3r
L: y 1 4r , r PR
z 1 3r
%
c) Forma simétrica
x3
L:
1 y 4 1 z 3 1
d) Forma general
x3
1 y 4 1 ùñ 4x y 13 0
x3
1 z 3 1 ùñ 3x z80
"
4x y 13 0
z80
L:
3x
3.- Intersección de una recta con los ejes coordenados

Sea L la recta que pasa por los puntos Ap6; 2; 0q y B p3; 4; 0q.
Determine (en caso de que exista) las coordenadas del punto de
intersección de la recta L con cada uno de los ejes coordenados.

Solución
ÝÝÑ
Al elegir a Ap6; 2; 0q como punto de paso y a AB p9; 6; 0q
como vector dirección, las ecuaciones paramétricas de la recta L
son:
$
& x 6 9r
L: y 2 6r , r PR
z0
%
a) Supongamos que el punto C es la intersección de la recta L

con el eje X.
Como el punto C pertenece al eje X, entonces tiene la forma
C px; 0; 0q.
Luego, este punto verifica las ecuaciones paramétricas de la
recta L, es decir:
$
& x 6 9r
0 2 6r
00
%
La solución del sistema es r 31 , x 3.

Por consiguiente, el punto de intersección de la recta L con el
eje X es C p3; 0; 0q.
b) Suponga que el punto Dp0; y; 0q es la intersección de la recta

L con el eje Y .
Luego, este punto verifica las ecuaciones paramétricas del la
recta L, es decir:
$
& 0 6 9r
y 2 6r
00
%
La solución del sistema es r 32 , y 2.

Por lo tanto, el punto de intersección de la recta L con el eje
Y es Dp0; 2; 0q.
c) Suponga que el punto E p0; 0; z q es la intersección de la recta

L con el eje Z.
Ası́, este punto verifica las ecuaciones paramétricas de la recta
L, es decir:
$
& 0 6 9r
0 2 6r
z0
%

Como se obtienen dos valores diferentes para r, el sistema no
tiene solución.
Por lo tanto, la recta L no interseca al eje Z.
4.- Intersección de una recta con los planos coordenados

Sea L la recta que pasa por los puntos Ap4; 4; 1q y B p2; 1; 2q.
Determine las coordenadas del punto de intersección de la recta
L con cada uno de los planos coordenados.
Solución
Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el
punto Ap4; 4; 1q y cuyo vector dirección es
ÝAB
ÝÑ p6; 3; 3q 3p2; 1; 1q son
$
& x4 2t
L: y4 t , tPR
z1
%
t
a) Sea C el punto de intersección de la recta L con el plano
coordenado XY . Entonces, tiene la forma C px; y; 0q. Como
este punto pertenece a la recta L, sus coordenadas verifican
las ecuaciones paramétricas de L, es decir
$
& x4 2t
y4 t
01
%
t
Al resolver el sistema se obtienen t 1, x 2, y 3.

Por lo tanto, el punto de intersección de la recta L con el plano
coordenado XY es C p2; 3; 0q.
b) Sea D el punto de intersección de la recta L con el plano

coordenado XZ. Entonces, tiene la forma Dpx; 0; z q y por
pertenecer a la recta L, sus coordenadas verifican las ecuaciones
paramétricas de L, es decir
$
& x4 2t
04 t
z1
%
t
Al resolver el sistema, se obtienen t 4, x 4, z 3.

Luego, el punto de intersección de la recta L con el plano
coordenado XZ es Dp4; 0; 3q.

c) Sea E p0; y; z q el punto de intersección de la recta L con el
plano coordenado Y Z. Entonces, sus coordenadas verifican las
ecuaciones paramétricas de la recta L, es decir
$
& 04 2t
y4 t
z1
%
t
Al resolver el sistema, resultan t 2, y 2, z 1.

coordenado Y Z es E p0; 2; 1q.
5.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta L1 que pasa

por el punto Ap2; 3; 5q y es paralela a la recta
→
−
nR
→
−
" nQ
3x y 2z 7 0 R L2
x 3y 2z 3 0
L2 :
→
−
a
Solución Q

del problema.
Como la recta L2 es la intersección de los planos
Q : 3x y 2z 7 0 y R : x 3y 2z 3 0, entonces su
vector dirección Ñ
Ýa verifica las siguientes condiciones:
Ñ
Ýa K Ñ
Ýn Q p3; 1; 2q y Ñ
Ýa K Ñ
Ýn R p1; 3; 2q
Luego, según la interpretación geométrica del vector producto
vectorial, se tiene:
Ñ
Ý Ñ
i Ýj Ñ Ýk
Ñ
Ýa ÑÝn Q Ñ
Ýn R
3

1 2 p4; 8; 10q
1 3 2
2p2; 4; 5q
Ası́, el vector dirección de la recta L2 es ÑÝa p2; 4; 5q.
Como la recta L1 es paralela a la recta L2 , el vector dirección de
la recta L1 es Ñ
Ýa p2; 4; 5q. Dado que la recta L1 pasa por
el punto Ap2; 3; 5q y su vector dirección es ÑÝa , las ecuaciones
paramétricas de la recta L1 son
$
& x 2 2r
L1 : y 3 4r , r PR
z 5 5r
%
6.- Sean L1 una recta que pasa por los puntos Ap1; 1; 1q y

B p1; 3; 1q y L2 la recta que pasa por los puntos
C p2; 1; 1q y Dp6; 7; 3q.
a) Pruebe que las rectas L1 y L2 son paralelas.
b) Halle la ecuación general del plano Q que contiene a las rectas
L1 y L2 .
Solución
a) Como la recta L1 pasa por los puntos Ap1; 1; 1q y
B p1; 3; 1q, su vector dirección es
Ýa Ý
Ñ ÝÑ
AB p2; 4; 2q
De manera similar, el vector dirección de la recta L2 que pasa

por los puntos C p2; 1; 1q y Dp6; 7; 3q es
Ñ
Ýb ÝÝÑ
CD p4; 8; 4q
1ÑÝb , los vectores Ñ
Ýa y Ñ
Ýb son paralelos.
Dado que Ñ
Ýa
2
Por lo tanto, las rectas L1 y L2 son paralelas.
b) En la figura adjunta se muestra una interpretación geométrica

del problema. De la figura, se tiene
Ñ
Ýn Q K Ñ
Ýa p2; 4; 2q y Ñ
Ýn Q KÝÝÑ
AC p1; 2; 2q
Luego:

iÑ
Ý Ñ Ýj Ñ Ýk
Ñ Ýa Ý
Ýn Q Ñ ÝÑ
AC 4 2 p4; 6; 8q
2

1 2 2
2p2; 3; 4q
Al elegir Ap1; 1; 1q como punto de paso del plano Q, la ecuación
ordinaria del plano es
Q : 2px 1q 3py 1q 4pz 1q 0
Por lo tanto, su ecuación general es
Q : 2x 3y 4z 3 0
7.- Halle la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto

Ap5; 1; 0q y es perpendicular a las rectas
$
& x 3t 7 y9
L1 : y 2t 4 y L2 : x 1 z 112
z 3t 4
% 2

Solución
Sea Ñ
Ýa el vector dirección de la recta L.
Ñ
Ý
De las ecuaciones de las rectas L1 y L2 , los vectores dirección son
respectivamente b p3; 2; 3q y Ñ Ýc p1; 2; 1q.
Dado que la recta L es perpendicular a las rectas L1 y L2 , se
tiene:
L K L1 Ýa K Ñ
ðñ Ñ Ýb
L K L2 ðñ Ñ
Ýa K Ñ
Ýc
vectorial, resulta
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
Ýa Ñ
Ñ Ýb Ñ
Ýc
3 2 3 p4; 6; 8q 2p2; 3; 4q

1 2 1
Por consiguiente, la ecuación vectorial de la recta L que pasa por

el punto Ap5; 1; 0q y cuyo vector dirección es Ñ Ýa p2; 3; 4q es
L : px; y; z q p5; 1; 0q rp2; 3; 4q , r PR
8.- Dadas las rectas
L1 : px; y; z q p3; 2; 6q tp2; 3; 4q

y
x5
L2 :
1
y41 z 1 4
a) Pruebe que las rectas L1 y L2 se intersecan.
b) Halle las coordenadas del punto de intersección.
c) Determine la ecuación general del plano R que contiene a las
rectas L1 y L2 .
Solución
a) Las ecuaciones paramétricas de las rectas L1 y L2 son
$
& x 3 2t Ap3; 2; 6q punto de paso
L1 : y 2 3t , Ñ
Ýa p2; 3; 4q vector dirección
z 6 4t
%
$
& x5 r
B p5; 1; 4q punto de paso
L2 : y 1 4r , Ñ
Ýb p1; 4; 1q vector dirección
z 4 r
%

Al efectuar el triple producto escalar de los vectores Ñ
Ñ
Ý
Ýa , b y
ÝAB
ÝÑ p8; 1; 10q, se tiene

2 4
Ýa Ñ
Ýb ÝÝÑ
3
Ñ AB

1
4

1 0
8 1 10
Luego, los vectores Ñ

Ñ
Ý ÝÝÑ
Ýa , b y AB son coplanares. Por tanto,
las rectas L1 y L2 se intersecan.
b) Sea M px; y; z q el punto de intersección de las rectas L1 y L2 .

Luego, las coordenadas de este punto verifican las ecuaciones
paramétricas de las rectas L1 y L2 , es decir
$
& x 3 2t 5 r
y 2 3t 1 4r
z 6 4t 4 r
%
Al resolver el sistema se obtienen r 2, t 3. Luego, al

reemplazar el valor de r 2 en las ecuaciones paramétricas
de la recta L2 o el valor de t 3 en las ecuaciones paramétricas
de la recta L1 , se tiene M p3; 7; 6q.
Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas L1 y L2 es
M p3; 7; 6q.
c) En la figura adjunta se muestra una interpretación geométrica

del plano R, donde
Ñ
Ýn R K Ñ
Ýa y Ñ
Ýn R KÑ
Ýb
vectorial, se tiene
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk
i
Ñ Ýa Ñ
Ýn R Ñ Ýb
3 4 p13; 6; 11q
2

4 1
1
p13; 6; 11q
Al elegir M p3; 7; 6q como punto de paso, la ecuación ordinaria
del plano R es
R : 13px 3q 6py 7q 11pz 6q 0
R : 13x 6y 11z 15 0

9.- Dada la recta L que pasa por los puntos Ap1; 2; 1q y B p3; 5; 0q y
el plano R : 3x 2y 3z 11 0
a) Pruebe que la recta L y el plano R se intersecan.
b) Determine las coordenadas del punto M que es la intersección
Nota
del plano R y la recta L.
Para determinar el punto de
Solución intersección de una recta con
ÝÝÑ
a) El vector dirección de la recta L es AB p2; 3; 1q y el vector
un plano, un procedimiento
adecuado es usar las ecuaciones
normal del plano R es Ñ Ýn R p3; 2; 3q. paramétricas de la recta.
ÝÝÑ
Como AB Ñ Ýn R 6 6 3 15 es diferente de cero, la recta
y el plano se intersecan.
ÝÝÑ
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el
punto Ap1; 2; 1q y cuyo vector dirección es AB p2; 3; 1q ,
son:
$
& x 1 2r
L: y 2 3r r PR
z 1r
%
Como el punto M px; y; z q es la intersección de la recta L y el

plano R, se tiene:
L X R tM u ðñ M PL y M PR
Ası́,
M P L ðñ M p1 2r; 2 3r; 1 rq y
M P R ðñ 3p1 2rq 2p2 3rq 3p1 rq 11 0
ðñ 15r 15 0 ùñ r 1
Por lo tanto, al reemplazar el valor de r 1 en las
coordenadas del punto M , la intersección de la recta L con el
plano R es M p1; 1; 2q.
10.- Dadas la recta L y el plano Q:

$
& x 3 4t
L: y 1 4t tPR
z 3 t
%
Q: Ax 2y 4z D 0
Determine los valores de A y D para que la recta L esté contenida
en el plano Q.

Solución
Como la recta L está contenida en el plano Q, el punto
de paso B p3; 1; 3q pertenece al plano Q y su vector dirección
Ñ
Ýa p4; 4; 1q es perpendicular al vector normal Ñ
Ýn Q pA; 2; 4q.
Ası́, se tiene
a) Ñ
Ýa K Ñ
Ýn Q ðñ Ñ
Ýa Ñ
Ýn Q 0
ðñ p4; 4; 1q pA; 2; 4q 0
ðñ 4A 12 0 ðñ A 3
b) B P Q ðñ 3p3q 2p1q 4p3q D 0 ðñ D 23
Por lo tanto, los valores de las constantes son A 3 y D 23
11.- Dadas la recta L1 y el plano R

x2
L1 :
k
y 4 1 z35
R : 3x 2y cz 1 0
Determine los valores de k y c para que la recta L1 sea

perpendicular al plano R.
Solución
De las ecuaciones de la recta L1 y el plano R, el vector dirección
y el vector normal son respectivamente Ñ Ýa pk; 4; 3q y
Ñ
Ýn R p3; 2; cq. Como la recta L1 es perpendicular al plano R,
se tiene
Ñ
Ýa { Ñ
Ýn R
ðñ Ñ Ýa r ÑÝn R ðñ pk; 4; 3q rp3; 2; cq
$
& k 6
ðñ 3 2 c ðñ % 3
k 4 3
c
2
Por consiguiente, los valores de las constantes son k 6 y
c .
3
2
12.- Halle las coordenadas del punto Q que es simétrico del punto
P p1; 3; 4q con respecto al plano R : 3x y 2z 0.
Solución
del problema.
De la figura, M es punto medio entre P y Q y es la intersección
de la recta LP Q con el plano R.

La recta LP Q pasa por el punto P p1; 3; 4q y Ñ
Ýn R p3; 1; 2q es
su vector dirección. Luego, sus ecuaciones paramétricas son
$
& x 1 3r
LP Q : y3 r r PR
z 4 2r
%
Como el punto M es punto de intersección de la recta LP Q con

el plano R, se tiene
M P LP Q X R ðñ M P LP Q y M P R
ðñ M p1 3r; 3 r; 4 2rq P R
ðñ 3p1 3rq p3 rq 2p4 2rq 0
ðñ 14r 14 0 ðñ r 1
Ası́, al reemplazar r 1 en los coordenadas de M , se obtiene
M p2; 2; 2q.
Como M p2; 2; 2q es punto medio entre P p1; 3; 4q y Q,
entonces Qp5; 1; 0q.
Por lo tanto, el punto simétrico de P con respecto al plano R es
Qp5; 1; 0q.
13.- Halle el punto M que es simétrico del punto Ap2; 2; 8q con

respecto a la recta L : px; y; z q p4; 0; 2q rp2; 1; 1q , r P R.
Solución
del problema.
ÝÝÑ
De la figura, B es punto medio entre A y M , y AB es perpendicular
al vector Ñ
Ýa .
Como el punto
B px; y; z q P L ùñ B p4 2r; r; 2 rq
Luego, el vector que une los puntos A y B es
ÝAB
ÝÑ p6 2r; r 2; 10 rq
ÝÝÑ
Como el vector AB es perpendicular al vector Ñ Ýa , se tiene
ÝAB
ÝÑ K Ñ
Ýa ðñ ÝAB ÝÑ Ñ
Ýa 0
ðñ p6 2r; r 2; 10 rq p2; 1; 1q 0
ðñ 6r 24 0 ðñ r 4
Al reemplazar el valor de r 4 en las coordenadas del punto B
se obtiene B p4; 4; 2q. Por consiguiente, al aplicar la fórmula de
punto medio resulta M p6; 6; 4q.

14.- Un rectángulo tiene su centro en el punto C p2; 1; 1q y uno de sus
lados está sobre la recta L1 : px; y; z q p1; 1; 1q rp1; 2; 2q, r P R.
Si el punto de paso de la recta L1 es un vértice del rectángulo,
determine:
a) La ecuación del plano R que contiene al rectángulo.
b) Las ecuaciones paramétricas de las rectas que contienen a los
otros tres lados del rectángulo.
c) El área de la región plana limitada por el rectángulo.
Solución
a) En la figura adjunta se muestra una interpretación geométrica
del problema.
→
−
nR
b
E b D L4
−
→ C(2; 1; −1)
b
b
B b
L1
A(1; 1; 1) L −→
a =(−1; 2; 2) L
2 3 R
De la figura, se tiene
Ñ
Ýn R K Ñ
Ýa y Ñ
Ýn R K ÝÑ
AC p1; 0; 2q

vectorial, se tiene
Ñ
Ý Ñ Ýj Ñ Ýk

i
Ñ Ýa ÝÑ
Ýn R Ñ AC 2

2 p4; 0; 2q
1

0 2
1
2p2; 0; 1q
Al elegir Ap1; 1; 1q como punto de paso, la ecuación ordinaria
del plano R es
R : 2px 1q 0py 1q pz 1q 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano R es
R : 2x z30
Ñ
Ý
b) i) De la figura, el vector dirección b de la recta L2 verifica
Ñ
Ýb K Ñ
Ýa p1; 2; 2q y b
Ñ
Ý KÑ
Ýn R p2; 0; 1q
Ası́, se tiene
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk
i
Ñ
Ýb Ñ
Ýa Ñ
Ýn R 2 2 p2; 5; 4q

1

2 0 1

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta L2
que pasa por el punto Ap1; 1; 1q son
$
& x 1 2t
L2 : y 1 5t , tPR
z 1 4t
%
ii) Como el punto C p2; 1; 1q es punto medio entre Ap1; 1; 1q

y D, entonces Dp3; 1; 3q.
Dado que la recta L4 es paralela a la recta L1 , su vector
dirección es Ñ
Ýa p1; 2; 2q.
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta L4
que pasa por el punto Dp3; 1; 3q son
$
& x 3s
L4 : y 1 2s , sPR
z 3 2s
%
iii) La recta L3 pasa por el punto Dp3; 1; 3q es paralela a la

Ñ
Ý
recta L2 . Luego, su vector dirección es b p2; 5; 4q. Por
consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la recta L3
son:
$
& x 3 2α
L3 : y 1 5α , αPR
z 3 4α
%
c) El área de la región plana limitada por el rectángulo es
AR d pA; B q d pA; E q
De la figura, se tiene
d pA; B q 2 rdpC; recta L2 qs

d pA; E q 2 rdpC; recta L1 qs
Por la fórmula de distancia de punto a recta, resulta
||ÝÑ Ñ
Ý
AC b ||
dpC; recta L2 q
||Ñ
Ýb ||
ÝÑ Ñ
Ý
donde: AC p1; 0; 2q y b p2; 5; 4q
Ñ
Ýi Ñ Ýj Ñ Ýk
ÝÑ Ñ
Ý
AC b 1 0 2 p10; 0; 5q 5p2; 0; 1q
2 5 4

?
Luego, dpC; recta L2 q ?
5 5
53
3 5
De manera similar, por la fórmula de distancia de punto a
recta, se tiene
dpC; recta L1 q
||ÝÑ
AC Ñ Ýa ||
Ñ
Ý
|| a ||
ÝÑ
Donde: AC p1; 0; 2q y Ñ Ýa p1; 2; 2q
Ñ
Ýi Ýj Ñ
Ñ Ýk
ÝÑ
AC ÑÝa 1 0 2 p4; 0; 2q 2p2; 0; 1q

1 2 2
?
Luego, dpC; recta L1 q
2 5
3
Por lo tanto, el área de la región plana limitada por el
rectángulo es

?

?
AR 2
5
3
2
2 5
3
409 5 u2
15.- Cuatro helicópteros están situados en los puntos Ap3; 1; 1q,

B p1; 3; 2q, C p1; 1; 2q y Dp3; 2; 1q.
a) Determine si los 4 helicópteros están ubicados en un mismo
plano.
b) Si el helicóptero que está en el punto A lanza un proyectil en
la dirección del vector ÑÝa p4; 4; 2q, ¿es posible que dicho
proyectil impacte en uno de los helicópteros restantes?
c) Si el helicóptero que está en el punto D se desplaza en lı́nea
recta en la dirección del helicóptero que está en el punto B;
determine el punto en el cual la distancia del helicóptero que
está en el punto C es menor con respecto al helicóptero que
se desplaza del punto D al punto B.
Solución
a) Sea R el plano que contiene a los puntos Ap3; 1; 1q, B p1; 3; 2q
y C p1; 1; 2q, donde están ubicados tres de los helicópteros.
ÝÝÑ ÝÑ
Los vectores AB p2; 2; 1q y AC p2; 2; 1q están sobre
el plano R. Luego, el vector normal Ñ Ýn R de este plano es
Ý
ÝÑ ÝÑ
perpendicular a los vectores AB y AC, es decir
Ñ Ýj Ñ
Ýi Ñ
Ýk
Ýn R Ý
Ñ ÝÑ ÝÑ
AB AC 2 2

1 p4; 0; 8q 4p1; 0; 2q
2 2 1


Al elegir Ap3; 1; 1q como punto de paso, la ecuación ordinaria
del plano R es
R : px 3q 0py 1q 2pz 1q 0
Por lo tanto, la ecuación general del plano R es

R: x 2z 5 0
Para que el punto Dp3; 2; 1q esté en el plano R, sus

coordenadas deben verificar su ecuación, esto es
3 2p1q 5 0
Por consiguiente, los 4 helicópteros están en un mismo plano.
b) El proyectil que se lanza del punto Ap3; 1; 1q, según la dirección
del vector ÑÝa p4; 4; 2q se mueve sobre la recta
L : px; y; z q p3; 1; 1q rp4; 4; 2q , r P R, cuyas ecuaciones
paramétricas son:
$
& x 3 4r
L: y 1 4r , r PR
z 1 2r
%
Las coordenadas de los puntos B y D no verifican las ecuaciones

paramétricas de la recta L. En cambio, las coordenadas del
punto C p1; 1; 2q sı́ las verifican, es decir
,
1 3 4r .
1 1 4r - r 12
2 1 2r
Por lo tanto, el proyectil impacta en el helicóptero que está en

el punto C.
c) En la figura adjunta se muestra una interpretación geométrica
del problema. De la figura, el punto M es el pie de la
perpendicular trazada desde el punto C. Luego, la distancia
del punto C al punto M es la menor distancia del punto C al
segmento DB.
Al elegir Dp3; 2; 1q como punto de paso de la recta L1 y
ÝÝÑ
vector dirección DB p2; 5; 1q, sus ecuaciones paramétricas
son
$
& x 3 2t
L1 : y 2 5t , t P R
z1 t
%
Como el punto M px; y; z q pertenece a la recta L1 , entonces

M p3 2t; 2 5t; 1 tq.

ÝÝÑ
Luego, el vector CM p2 2t; 1 5t; 1 tq es perpendicular
ÝÝÑ
al vector DB p2; 5; 1q. Ası́, se tiene
ÝDB
ÝÑ ÝÝÑ
CM 0 ðñ 2p2 2tq 5p1 5tq p1 tq 0
ðñ 30t 10 0 ðñ t 13
Al reemplazar t 1
en las coordenadas de M , se obtiene

3
; ;
7 1 4
M .
3 3 3
Por lo tanto, el punto en
la cual la
distancia de C al segmento
; ;
7 1 4
DB es la menor, es M .
3 3 3
E JERCICIOS Y PROBLEMAS 5.- Dadas las rectas:

PROPUESTOS 2.2
L1 :
x
4 4 z 3
y 3
1
1.- Dados los puntos Ap6; 2; 2q, B p4; 6; 0q,
C p2; 2; 4q y Dp1; 5; 4q. Determine: $
& x 5 8t
a) Las ecuaciones vectorial y paramétricas L2 : y2 t , tPR
z 1t
de la recta L1 que pasa por los puntos A %
y B.
a) Pruebe que estas rectas se intersecan.
b) Las ecuaciones simétrica y general de la
recta L2 que pasa por los puntos C y D. b) Determine las coordenadas del punto de
intersección.
c) Las ecuaciones vectorial, paramétrica,
simétrica y general de la recta que c) Halle la ecuación general del plano R que
contiene a la mediana relativa al vértice contiene a las rectas L1 y L2 .
A del triángulo ABC.
6.- Dadas las rectas:
2.- La recta L pasa por los puntos Ap3; 0; 8q
y B p6; 0; 4q. Determine las coordenadas de L1 :
x
3
5
y 2 5 z21
los puntos en que la recta L interseca a los $
ejes coordenados X y Z. & x 6t 9
L2 : y 2t , tPR
z 5t 2
3.- Determine las coordenadas de los puntos de %
intersección de la recta
x1 y6 z4
L:
1 3 2
a) Pruebe que estas rectas se cruzan.
b) Halle las ecuaciones generales de los
con cada uno de los planos coordenados. planos paralelos R y Q que contienen a
4.- La recta L pasa por los puntos Ap5; 1; 1q y las rectas L1 y L2 , respectivamente.
B p1; 2; 2q. Determine las coordenadas del c) Calcule la distancia entre las rectas L1 y
punto de intersección de la recta L con el L2 .
plano Q : 2x y 3z 18 0.

7.- Determine las ecuaciones vectorial y a) Halle los valores de a y m para que
paramétricas de la recta L que pasa por el plano Q1 sea paralelo al plano Q2 y
el punto M p3; 4; 5q y es perpendicular a las el plano Q3 sea perpendicular al plano
rectas: Q: xyz 20
L1 : px; y; z q p0; 1; 2q rp1; 1; 1q b) Sea A un punto del plano Q2 , cuyas

$ coordenadas son iguales. Determine la
& xk ecuación general de un plano que pasa
L2 : yk , k PR por el punto A y es perpendicular a los
z0
%
planos Q1 y Q3 .
8.- Dadas las rectas: 12.- Dados los planos Q1 , Q2 y la recta L
"
x y 3z 1 0
Q1 : pm nqx 3y 4z 12 0
xy z 10
L1 :
" Q2 : 2x 3y 2mz 13 0
x 2y 5z 1 0
L : px; y; z q p2; 1; 1q tpa; 2a; 2aq
x 2y 3z 9 0
L2 :
a) Verifique que estas son paralelas. a) Determine los valores de m y n para que
los planos Q1 y Q2 sean paralelos.
b) Halle la ecuación del plano Q que contiene
a las rectas L1 y L2 . b) Halle el punto A que es la intersección de
c) Determine la ecuación vectorial de la recta la recta L con el plano Q2 .
L que equidiste de las rectas L1 y L2 (la c) Si B p3; b; 4q es punto del plano Q2 ,
recta L se llama paralela media entre las halle las ecuaciones paramétricas de la
rectas L1 y L2 ) recta L1 que pasa por los puntos A y B.
9.- Dados el punto Ap3; 1; 1q y el plano

d) Determine la ecuación general del plano
R : 2x y 3z 10 0
R que contiene a la recta L y pasa por el
punto M p1; 1; 1q.
a) Determine la ecuación de la recta L que
pasa por el punto A y es perpendicular al 13.- Sea
plano R. L : px; y; z q p4; 2; 5q tp2; m2; mq, t P R
b) Halle el punto M que es la proyección del una recta que interseca al plano coordenado
punto A sobre el plano R. Y Z y al plano Q1 : 3x 2y 3z 7 0 en
c) Determine el simétrico del punto A con un mismo punto A.
respecto al plano R. a) Determine las coordenadas del punto A.
10.- Dados el punto M p1; 1; 2q y la recta b) Halle la ecuación general del plano Q2 que
L : px; y; z q p3; 2; 8q tp3; 2; 2q, t P R contiene a la recta L y es perpendicular
al plano Q1 .
a) Halle el punto N que es la proyección del
punto M sobre la recta L. 14.- La recta L1 pasa por los puntos Ap4; 3; 4q
b) Determine el punto R que es el simétrico y B p4; 5; 4q y corta al eje Y en el punto
del punto M con respecto a la recta L. P y al plano coordenado XZ en el punto Q.
La recta L2 pasa por los puntos C p4; 4; 8q
y Dp2; 2; 3q y corta al eje Z en el punto R
11.- Dados los planos:
Q1 : mx 3y 5z n 0 y al plano coordenado XY en el punto S.
Q2 : 12x 6y pm 4qz 16 0 a) Determine las coordenadas de los puntos
Q3 : x 2ay 3z b6 P , Q, R y S.

b) Grafique el tetraedro R P QS en pelota que sigue una trayectoria rectilı́nea. Si
el sistema coordenado tridimensional y el primer disparo tiene la dirección del vector
Ñ
Ýa p8; 4; 5q y el segundo la dirección del
calcule el volumen del sólido limitado por
el tetraedro.
Ñ
Ý
vector b p16; 6; 1q, determine
c) Halle la ecuación general del plano T que
a) La ecuación general del plano que contiene
contiene a los puntos P , Q y R.
el arco.
15.- Los vértices A y C de un triángulo ABC b) Cuáles de los disparos ingresan al arco,
resultan de intersecar la recta chocan en un parante o caen fuera del
L : px; y; z q p6; 4; 0q tp12; 8; 6q , t P R arco.
con el eje de cotas y con el plano
Q : 3x 3y 5z 24 0 respectivamente. 17.- Sea Q un plano que pasa por el punto
Si el vértice B es el simétrico del punto A Ap2; 5; 5q y contiene a la recta
con respecto al origen de coordenadas, halle L : px; y; z q p3; 4; 2q tp3; 2; 2q,
a) Los vértices del triángulo ABC. t P R.
b) Las ecuaciones paramétricas de la recta a) Halle la ecuación general del plano Q.
b) Si B p0; m; 0q es un punto del plano Q,
L1 que contiene a la altura del triángulo
ABC trazada del vértice C al lado AB.
calcule el valor de la constante m.
c) La ecuación vectorial de la recta L2 que
pasa por el vértice C del triángulo, es c) Si la recta L1 pasa por los puntos A y
paralela al plano coordenado XY y es B, halle el punto de intersección de dicha
perpendicular a la recta recta con la recta L.
L3 : px; y; z q pt; 4; 0q , t P R. d) Determine el punto de intersección de la
recta L1 con un plano paralelo al plano
16.- En una cancha de fútbol, un arco tiene sus
vértices en los puntos Ap4; 4; 0q, B p4; 10; 0q,
coordenado XZ que pasa por el punto
Dp0; 5; 0q.
C p4; 10; 2q y Dp4; 4; 2q. Desde el punto
M p20; 12; 0q se efectúan dos disparos con una e) Calcule la distancia entre el punto A y
la recta L.

2.3 R EVISIÓN DEL CAPÍTULO
En este capı́tulo se estudiaron la recta y el plano en el espacio R3 ,

cuyo contenido se resume en el siguiente esquema:
Plano Recta
Ecuaciones:
Ecuaciones:
- Vectorial
- Vectorial
- Paramétricas
- General
- Simétrica
- Paramétricas
- General
Posiciones Posiciones
relativas entre relativas entre
planos rectas
Posiciones
relativas entre
una recta y un plano

1.- Dados los puntos Ap2; 2; 2q y B p3; 4; 1q y los planos
P : x yz 30 y Q : 3x y 2z 7 0
En cada caso, halle la ecuación general del plano que:

a) Pasa por el punto A y es paralelo al plano Q.
b) Pasa por los puntos A y B y es perpendicular al plano P .
c) Pasa por el punto A y es perpendicular a los planos P y Q.
Solución
a) Sea R el plano que pasa por el punto Ap2; 2; 2q y es paralelo
al plano Q.
El vector normal del plano Q es Ñ
Ýn Q p3; 1; 2q que también
es vector normal del plano R, por ser planos paralelos.
Luego, la ecuación ordinaria del plano R es:
R : 3px 2q 1py 2q 2pz 2q 0
Por lo tanto, su ecuación general es:
R : 3x y 2z 12 0
b) Sea S el plano que pasa por los puntos A y B y es perpendicular

al plano P .
del problema.
De la figura, se tiene:
Ýn K Ý
Ñ S
ÝÑ
AB p1; 6; 3q y Ñ
Ýn K Ñ
S
Ýn p1; 1; 1q
P
Luego:
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk
i
Ýn Ý
Ñ ÝÑ Ýn
AB Ñ

6 3 p3; 2; 5q p3; 2; 5q
1

1 1
S P
1
Ası́, la ecuación ordinaria del plano S que pasa por el punto

Ap2; 2; 2q y cuyo vector normal es Ñ Ýn S p3; 2; 5q es:
S : 3px 2q 2py 2q 5pz 2q 0
Por consiguiente, su ecuación general es:
S : 3x 2y 5z 12 0

c) Sea T el plano que pasa por el punto A y es perpendicular a
los planos P y Q.
T K P ðñ Ñ
Ýn K Ñ
Ýn p1; 1; 1q
T K Q ðñ Ñ
Ýn K Ñ
Ýn p3; 1; 2q
T P
T Q
Luego:
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ Ýk

i
Ñ
Ýn Ñ
Ýn Ñ
Ýn
1 1 p1; 5; 4q
1

1 2
T P Q
3
De esta manera, la ecuación ordinaria del plano T que pasa

por el punto Ap2; 2; 2q es:
T : 1px 2q 5py 2q 4pz 2q 0
Por lo tanto, su ecuación general es:
T : x 5y 4z 4 0
2.- Dados los puntos Ap5; 4; 3q, B p2; 3; 2q y las rectas:
y2
L1 : x 1 z33 y
2
L2 : px; y; z q p2; 1; 3q tp0; 1; 2q , t P R
En cada caso, determine la ecuación de la recta que:

a) Pasa por el punto B y es paralela a la recta L1 .
b) Pasa por el punto B y es perpendicular a las rectas L1 y L2 .
c) Pasa por el punto A y es perpendicular y secante con la recta
L1 .
Solución
a) Sea L3 la recta que pasa por el punto B p2; 3; 2q y es paralela
a la recta L1 . El vector dirección de la recta L1 es Ñ
Ýa p1; 2; 3q.
Como las rectas L1 y L3 son paralelas, el vector dirección de
la recta L3 es el vector Ñ Ýa .
Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta L3 es:
L3 : px; y; z q p2; 3; 2q rp1; 2; 3q , r PR

b) Sea L4 la recta que pasa por el punto B p2; 3; 2q cuyo vector
dirección es el vector Ñ
Ýa y es perpendicular a las rectas L1 y
L2 . Ası́:
L4 Ýa K Ñ
K L1 ðñ Ñ Ýb p1; 2; 3q
L4 K L2 ðñ Ñ
Ýa K Ñ
Ýc p0; 1; 2q

Luego:
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
Ýa Ñ
Ñ Ýb Ñ
Ýc
1
2

3 p7; 2; 1q
0 1 2
En consecuencia, la ecuación simétrica de la recta L4 es
x2
L4 :
7 y 2 3 z 1 2
c) Sea L5 la recta que pasa por el punto Ap5; 4; 3q y es
perpendicular y secante a la recta L1 . En la figura adjunta se
muestra una interpretación geométrica del problema.
De la figura, se tiene que el punto
C P L1 X L5 ðñ C P L1 y C P L5
Las ecuaciones paramétricas de la recta L1 son
$
& x 1 r
L1 : y 2 2r , r PR
z 3 3r
%
C px; y; z q P L1 ðñ C p1 r; 2 2r; 3 3rq
El vector que une los puntos Ap5; 4; 3q y C es

ÝÑ
AC pr 6; 2r 2; 3r 6q
Dado que este vector es perpendicular al vector dirección

Ñ
Ýa p1; 2; 3q de L1, se tiene
Ýa ÝÑ
Ñ AC 0 ðñ r 6 2p2r 2q 3p3r 6q 0
ðñ 14r 28 0 ðñ r 2
Al reemplazar el valor de r 2 en las componentes del vector
ÝÑ ÝÑ
AC resulta AC p4; 2; 0q, que es el vector dirección de la
recta L5 .
Por lo tanto, la ecuación vectorial de la recta L5 es
L5 : px; y; z q p5; 4; 3q tp4; 2; 0q , t P R
3.- La recta L : px; y; z q p2; 1; 2q tp4; 2; 6q , t P R, interseca

al plano Q en el punto B cuya abscisa es 6. Si el plano Q pasa por
el punto C p0; 1; 0q y su vector normal es Ñ
Ýn Q pα 2; α 3; αq
a) Determine las coordenadas del punto B.
b) Halle la ecuación general del plano Q.

Solución
a) El punto B px; y; z q pertenece al plano Q y a la recta L, es
decir
B px; y; z q P L X Q ðñ B PL y BPQ
ðñ B p2 4t; 1 2t; 2 6tq P Q
Como la abcisa del punto B es 6, entonces,

2 4t 6 ðñ t1
Por lo tanto, el punto es B p6; 1; 4q.

b) Los puntos B p6; 1; 4q y C p0; 1; 0q están sobre el plano Q,
ÝÝÑ
luego el vector BC p6; 0; 4q es perpendicular al vector
normal ÑÝn Q pα 2; α 3; αq, es decir
ÝBC
ÝÑ K Ñ
Ýn ðñ ÝBC
ÝÑ Ñ
Ýn 0
Q Q
ðñ 6pα 2q 0pα 3q 4α 0
ðñ 2α 12 0 ðñ α 6
De esta manera, al reemplazar el valor de α 6 en las
componentes del vector normal del plano Q se tiene
Ñ
Ýn p4; 9; 6q p4; 9; 6q
Q
Al elegir C p0; 1; 0q como punto de paso, la ecuación ordinaria

del plano Q es
Q : 4px 0q 9py 1q 6pz 0q 0
Q : 4x 9y 6z 9 0
4.- Dado el punto Ap5; 5; 12q y el plano Q : 3x 5y 5z 129 0

a) Compruebe que el punto A no pertenece al plano Q.
b) Halle el punto de intersección de la recta L con el plano Q,
donde L es la recta que pasa por el punto A y es perpendicular
al plano Q.
c) Calcule la suma de las coordenadas del punto B, donde B es
el simétrico del punto A con respecto al plano Q.
Solución
a) Al reemplazar las coordenadas del punto Ap5; 5; 12q en la
ecuación del plano Q se tiene
3p5q 5p5q 5p12q 129 59 0

L Como el resultado es diferente de cero, el punto A no pertenece
→
−
nR al plano Q.
A b
b) Según la figura adjunta (interpretación geométrica del

problema) el vector dirección de la recta L es
M
Q
Ñ
Ýn Q p3; 5; 5q.
Luego, las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por
el punto Ap5; 5; 12q son
$
& x 5 3r
L: y 5 5r , r PR
z 12 5r
%
Dado que M px; y; z q es el punto de intersección de la recta L

con el plano Q (Ver figura adjunta), se tiene
PL y M PQ
M
ðñ M p5 3r; 5 5r; 12 5rq P Q
ðñ 3p5 3rq 5p5 5rq 5p12 5rq 129 0
ðñ 59r 59 0 ðñ r 1
Al reemplazar el valor de r 1 en las coordenadas del punto
M , se tiene M p2; 10; 17q.
Q es M p2; 10; 17q.
c) Como el punto B es el simétrico del punto Ap5; 5; 12q con
respecto al plano Q, entonces el punto M p2; 10; 17q es punto
medio entre A y B. Luego, al aplicar la fórmula del punto
medio, se tiene B p1; 15; 22q.
Por lo tanto, la suma de las coordenadas del punto B es
1 15 22 36
5.- Un cı́rculo con centro en el punto C p3; 3; 3q y radio 5 u se

encuentra en el plano Q : x 3. Desde los puntos Ap2; 2; 1q y
B p3; 3; 1q se realizan disparos en las direcciones de los vectores
Ýa p5; 1; 2q y Ñ
Ñ Ýb p6; 2; 5q, respectivamente.
Determine si los disparos impactan o no en el cı́rculo.
Solución
Sea L1 la recta que contiene a la trayectoria del primer disparo
que sale del punto Ap2; 2; 1q y sigue la dirección del vector
Ñ
Ýa p5; 1; 2q y L2 la recta que contiene a la trayectoria del
segundo disparo que sale del punto B p3; 3; 1q y sigue la dirección
Ñ
Ý
del vector b p6; 2; 5q.

Las ecuaciones paramétricas de las rectas L1 y L2 son
$ $
& x 2 5r & x 3 6t
L1 : y 2 r , r P R y L2 : y 3 2t , t P R
z 1 2r z 1 5t
% %
Sea M px; y; z q el punto de intersección de la recta L1 con el plano

Q, entonces,
P L1 y M P Q
M
ðñ M p2 5r; 2 r; 1 2rq P Q
ðñ 2 5r 3 ðñ r 1
Luego, al reemplazar el valor de r 1 en las coordenadas del
punto M se tiene M p3; 3; 3q.
Sea N px; y; z q el punto de intersección de la recta L2 con el plano
Q, entonces,
P L2 y N P Q
N
ðñ N p3 6t; 3 2t; 1 5tq P Q
ðñ 3 6t 3 ðñ t 1
Luego, al reemplazar el valor de t 1 en las coordenadas del
punto N , se tiene N p3; 1; 6q.
Dado que el punto M p3; 3; 3q coincide con el centro del cı́rculo,
el primer disparo impacta en el cı́rculo.
Como la distancia del centro del cı́rculo C p3; 3; 3q al punto
N p3; 1; 6q es
?
dpC; N q 16 9 5u
El segundo disparo impacta en la circunferencia del cı́rculo.
6.- Del rectángulo ABCD, contenido en el plano Q : x 2, se cono

cen el punto M p2; 2; 1q de intersección de sus diagonales y el
vértice C p2; 6; 4q. Si una fuente de luz colocada en la proyección
del punto M sobre el plano coordenado Y Z emite un rayo de luz
dirigido hacia el punto A opuesto al vértice C, determine:
a) La ecuación vectorial de la recta que contiene al rayo de luz.
b) El punto de intersección del rayo de luz con el plano coordenado
XY .
c) La ecuación del plano R que contiene a la diagonal AC del
rectángulo y es perpendicular al plano coordenado Y Z.

Solución
a) La proyección del punto M p2; 2; 1q sobre el plano coordenado
b N (0; 2; 1)
Y Z es N p0; 2; 1q y el vértice opuesto de C p2; 6; 4q es el punto
C(2; 6; 4)
b Ap2; 2; 2q (Ver figura adjunta).
Luego, la ecuación vectorial de la recta L (que contiene al rayo
de luz) que pasa por los puntos Ap2; 2; 2q y N p0; 2; 1q es
b
M (2; 2; 1)
L : px; y; z q p2; 2; 2q rp2; 4; 3q , r PR

b
A(2; −2; −2)
L
b) Sea T px; y; z q el punto de intersección del rayo de luz (recta
L) con el plano coordenado XY . Luego,
T P L ðñ T p2 2r; 2 4r; 2 3rq P plano XY
ðñ 2 3r 0 ðñ r 23

2 2
T , se tiene T ; ;0 .
3 3
Por lo tanto, elpunto de

intersección del rayo de luz con el
2 2
plano XY es T ; ;0 .
3 3
c) Según la figura adjunta (interpretación geométrica del
problema) el vector Ñ Ýn R es perpendicular a los vectores
ÝÑ Ñ
Ý
AC p0; 8; 6q e i p1; 0; 0q. Luego,
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
Ýn ÝÑ
Ñ R
Ñ
Ý
AC i

0
8

6 p0; 6; 8q 2p0; 3; 4q
1 0 0
Ası́, la ecuación ordinaria del plano R que pasa por el punto

Ap2; 2; 2q es
R : 0px 2q 3py 2q 4pz 2q 0

R : 3y 4z 2 0
7.- Una recta L pasa por el punto B p1; 3; 2q y es perpendicular al

vector Ñ
Ýa p2; 0; 6q y a la recta
L1 : px; y; z q p1; 2; 3q tp0; 1; 2q , t P R
a) Halle las ecuaciones paramétricas de la recta L.
b) Si una partı́cula recorre la trayectoria determinada por la recta
L, desde el punto de intersección de L con el plano
Q1 : x 2y z 9 0 hasta el punto de intersección de L

con el plano Q2 : x 2y z 15 0, calcule la distancia
recorrida por la partı́cula.
Solución
a) Sea Ñ
Ýc el vector dirección de la recta L que pasa por el punto
B p1; 3; 2q.
Como la recta L es perpendicular al vector Ñ
Ýa y a la recta L1,
se tiene
Ñ
Ýc K Ñ
Ýa p2; 0; 6q y Ñ Ýc K Ñ
Ýb p0; 1; 2q
Ñ
Ý
donde b es el vector dirección de la recta L1 .
Luego,
Ñ Ýj Ñ
Ý Ñ
i Ýk
Ñ Ýa Ñ
Ýc Ñ Ýb
2
0

6 p6; 4; 2q 2p3; 2; 1q
0 1 2
Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta L son
$
& x 1 3r
L: y 3 2r , r PR
z 2r
%
b) La distancia recorrida por la partı́cula, es la distancia entre

los puntos M y N , donde M es la intersección de la recta L
con el plano Q1 y N es la intersección del plano Q2 con la
recta L. Ası́, se tiene
M px; y; z q P L X Q1ðñ M P L y M P Q1
ðñ M p1 3r; 3 2r; 2 rq P Q1
ðñ p1 3rq 2p3 2rq p2 rq 9 0
ðñ 8r 16 0 ðñ r 2
M se obtiene M p7; 1; 0q.
De manera similar, se tiene
N px; y; z q P L X Q2 ðñ N P L y N P Q2
ðñ N p1 3r; 3 2r; 2 rq P Q2
ðñ p1 3rq 2p3 2rq p2 rq 15 0
ðñ 8r 8 0 ðñ r 1
N , resulta N p2; 5; 3q.
Al calcular la distancia entre los puntos M y N , se tiene

? ? ?
dpM ; N q 81 36 9 126 3 14
?
Por lo tanto, la distancia recorrida por la partı́cula es 3 14 u
8.- Dadas la recta L y el plano Q

$
& x 2 pa 5qt
L: y 3 pa 7qt , tPR
z 5t
%
Q: x y 2z 4 0
a) Calcule el valor de a para que la recta L sea paralela

al plano Q.
b) Determine el valor de a para que la recta L sea secante al
plano Q.
Solución
a) La recta L pasa por el punto Ap2; 3; 0q y ÑÝa pa5; a7; 5q
es su vector dirección. Para que la recta L sea paralela al plano
Q, se deben cumplir:
i) A R Q ii) Ñ
Ýa K Ñ
Ýn Q p1; 1; 2q
Ası́, se tiene
i) Al reemplazar las coordenadas correspondientes del punto
Ap2; 3; 0q en la ecuación del plano Q : x y 2z 4 0,
se tiene
2 p3q 2p0q 490
Luego, el punto A no pertenece al plano Q.
ii) Ñ
Ýa K Ñ
Ýn Q ðñ Ñ
Ýa Ñ
Ýn 0 Q
ðñ a 5 pa 7q 2p5q 0
ðñ 2a 8 0 ðñ a 4
Por lo tanto, para que la recta L sea paralela al plano Q el
valor de a es 4.
b) Para que la recta L intersecte al plano Q, el producto escalar
del vector Ñ
Ýa pa5; a7; 5q con el vector Ñ
Ýn Q p1; 1; 2q
debe ser diferente de cero; es decir
Ñ
Ýn Ñ
Q
Ýa 0 ðñ a 5 pa 7q 2p5q 0
ðñ 2a 8 0 ðñ a4
Por consiguiente, para que la recta L sea secante al plano Q,

el valor de a debe ser diferente de 4.

9.- Sean las rectas
L1 : px; y; z q p5; 2; 7q rp2; 1; 1q , r PR
"
x 3y z 2 0
x y 3z 2 0
L2 :
a) Pruebe que la recta L1 es paralela a la recta L2 .

b) Halle la ecuación del plano R que contiene a las rectas
L1 y L2 .
c) Si el centro de una circunferencia tangente a las rectas L1 y
L2 es C p1; b; cq, halle los valores b y c.
Solución
a) De las ecuaciones de las rectas L1 y L2 , se tiene
#
Ap5; 2; 7q , punto de paso
L1 : Ñ
Ýa p2; 1; 1q , vector dirección
"
x 3y z 2 0
x y 3z 2 0
L2 :
Para pasar la ecuación general de la recta L2 a su forma

paramétrica, se define una de las variables en término de un
parámetro. Ası́, para z t, el sistema lineal resultante es
"
x 3y t 2
x y 3t 2
Al resolver el sistema lineal en términos de t, se obtiene

$
& x 1 2t
L2 : y 1 t , tPR
zt
%
Luego, la recta L2 pasa por el punto B p1; 1; 0q y su vector

Ñ
Ý
dirección es b p2; 1; 1q.
Por lo tanto, las rectas L1 y L2 son paralelas, pues Ñ
Ýa { b . Ñ
Ý
b) De la figura adjunta (interpretación geométrica del problema),
se tiene
Ñ
Ýn K Ñ
R
Ýa p2; 1; 1q y Ñ
Ýn R KÝ
ÝÑ
AB p4; 3; 7q
Luego,
Ñ Ýj Ñ
Ýi Ñ Ýk

Ñ Ýa ÝAB
Ýn Ñ ÝÑ 2 1 1 p4; 18; 10q

4 3 7
R

2p2; 9; 5q

Al elegir Ap5; 2; 7q como punto de paso del plano R, su
ecuación ordinaria es
R : 2px 5q 9py 2q 5pz 7q 0
R : 2x 9y 5z 70
L2 c) De la figura adjunta (interpretación geométrica del problema),

la recta L equidista de las rectas L1 y L2 (paralela media).
L
3; ; .
B 1 7
b
L1
El punto medio entre A y B es M
b 2 2
C
Luego, M 3; ;
M 1 7
−a
→ es punto de paso de la recta L y
2 2
b
A
Ñ
Ýa p2; 1; 1q es su vector dirección.
Ası́, las ecuaciones paramétricas de la recta L son
$
'
'
'
x 3 2r
'
&
y r
1
L:
'
2 , r PR
'
'
'
% z 27 r
Dado que el centro C p1; b; cq de la circunferencia está sobre la

recta L, sus coordenadas verifican las ecuaciones paramétricas,
es decir
$
'
'
'
1 3 2r
'
&
b r
1
'
2
'
'
'
% c 72 r
Al resolver este sistema lineal, se obtiene
r 1 , b 23 , c 92

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es C 1; ; .

3 9
2 2
10.- En el plano Q : 3x 2y 4z 1 0 se encuentra una parábola,

cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V p1; 1; 1q y
F p1; 2; 2q.
Determine las ecuaciones paramétricas de la directriz de la
parábola y de la recta que contiene al lado recto de la parábola.
Solución
De la figura adjunta (interpretación geométrica del problema), el

vértice V p1; 1; 1q es punto medio entre el foco F p1; 2; 2q y el
punto A, (intersección de la recta directriz y el eje focal). Luego
por la fórmula de punto medio, se obtiene Ap3; 4; 4q.
Si Ñ Ýa es el vector dirección de la recta directriz L1,
entonces Ñ
Ýa es perpendicular al vector Ñ
Ýn Q p3; 2; 4q y al vector
ÝVÝÑ
F p2; 3; 3q.
Luego,
Ñ Ýj Ñ
Ýi Ñ

Ýk
Ñ Ýn ÝVÝÑ
Ýa Ñ F 3

2 4 p18; 17; 5q
2 3 3
Q

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta directriz L1

de la parábola que pasa por el punto Ap3; 4; 4q son
$
& x 3 18r
L1 : y 4 17r , r PR
z 4 5r
%
Sea L2 la recta que contiene al lado recto de la parábola (LL1 ).

De la figura adjunta, la recta L2 pasa por el punto F p1; 2; 2q
y su vector dirección es Ñ
Ýa p18; 17; 5q.
Por consiguiente, las ecuaciones paramétricas de la recta L2 que
contiene al lado recto de la parábola son
$
& x 1 18t
L2 : y 2 17t , tPR
z 2 5t
%
E JERCICIOS Y PROBLEMAS b) Halle el valor de k, si el plano

2.3
k 3 y 2z 26 0 pk P Rq
PROPUESTOS
Q3 : k 3 x
1.- Sean L1 y L2 dos rectas que pasan por el es perpendicular al plano Q1 .
punto Ap3; 2; 1q. Además la recta L1 pasa
por el punto B p4; 3; 1q y la recta L2 tiene c) Calcule la distancia entre los planos
a ÑÝa p1; 0; 1q como su vector dirección. Q1 y Q2 .
Determine los puntos P1 y P2 , que son las d) Calcule la distancia del punto E al
intersecciones de las rectas L1 y L2 con el el plano Q3 .
plano Q : 7x 5y 3z 0
3.- Sea Q el plano que pasa por los puntos
2.- Sea Q1 : Ax By Cz D 0 un plano Ap4; 0; 0q, B p0; 4; 0q y C p0; 0; 4q. Halle
que pasa por el origen de coordenadas y es la ecuación vectorial de la recta L que es
paralelo al plano Q2 : 3x 2y 4z 17 0 perpendicular al plano Q y pasa por el punto
a) Si el punto E p2; m; mq está en el plano de intersección de la recta
Q1 , calcule el valor de m. L1 : px; y; z q p3t 1; 2 4t; 2tq t P R
con el plano Q.

4.- Dadas las rectas L1 , L2 y el plano R. a) Compruebe, analı́ticamente, que las rectas
L1 y L2 se cruzan.
L1 : px; y; z q p1; 1; 1q tp2; 1; 1q b) Determine las ecuaciones de los planos
L2 : px; y; z q p3; 1; 4q rp2; 3; 2q paralelos Q1 y Q2 que contienen a cada
una de las rectas L1 y L2 .
R: x 2y 3z 30
a) Halle las coordenadas del punto A que
pertenece al plano R y tiene la ordenada L1 : px; y; z q p4; k; 0q rp1; 1; 1q
y6
igual a su cota y su abscisa igual al doble
de su ordenada. L2 : x 3 z53
8
b) Determine la ecuación general de la
recta L que pasa por el punto A y es Calcule el valor k para que las rectas L1 y
perpendicular a cada una de las rectas L1 L2 sean secantes y determine el punto de
y L2 . intersección.
c) Halle el punto de intersección de la recta
L2 con el plano R.
L1 :
x
1 y 9 15 z 6 10
5.- Halle la ecuación vectorial de la recta L que $
pasa por el punto Ap3; 4; 0q e interseca a la & x8 t
parte positiva del eje Z en el punto B. Se L2 : y 9t , tPR
z 4 6t
%
sabe, además, que el área de la región plana
limitada por el triángulo OAB es igual a
40u2 , donde O es el origen de coordenadas. ¿Se puede construir un triángulo que tenga
un lado sobre la recta L1 y el otro lado sobre
6.- Dadas la recta L y el plano Q: la recta L2 ? Justifique su respuesta.
L : px; y; z q pn 1; n 2; 4nq
10.- Dadas la recta L y el plano Q
"
tp2n; n 3; n 3q 2x y 2z 5 0
x 3z 1 0
L:
Q : 2x 3y z 24 0
Q : 2x ay 6z 40
a) Si la recta L es paralela al plano Q, halle a) Calcule el valor de a para que la recta L
el punto de paso y vector dirección de la sea paralela al plano Q.
recta L.
b) ¿Existe algún valor de a para que la recta
b) Determine el punto A, que es proyección L sea perpendicular al plano Q? Justifique
ortogonal del punto de paso de la recta L su respuesta.
sobre el plano Q.
11.- Halle la ecuación del plano R que contiene
c) Halle la ecuación del plano R, que es al punto M p2; 1; 2q y a la recta
"
perpendicular al eje Z en el punto que x y 2z 3 0
3x 2y z 3 0
es la proyección ortogonal del punto A L:
sobre este eje.
12.- Halle la ecuación vectorial de la recta L1 que
7.- Dadas las rectas pasa por el punto Ap2; 2; 2q, es paralela
L1 : px; y; z q p6; 2; 0q tp1; 1; 1q al plano Q : x " 3y 4z 5 0 e interseca
y2
L2 : px; y; z q p12; 0; 4q rp6; 2; 3q a la recta L :
z5

13.- En el paralelogramo ABCD, dos vértices 17.- En el punto Ap0; 0; 6q del plano
consecutivos son Ap1; 3; 1q, B p3; 4; 1q y Q : x 2y 2z 12 0 se encuentra
sus diagonales están sobre las rectas una canica. Cuando esta canica se suelta, se
desliza sobre la recta L1 que está contenida
L1 : px; y; z q p1; 3; 1q tp3; 2; 1q en el plano Q, la cual es perpendicular a la
L2 : px; y; z q p3; 4; 1q rp1; 3; 3q recta de intersección pL2 q del plano Q con el
plano coordenado XY .
a) Halle la ecuación del plano que contiene
al paralelogramo ABCD. a) Interprete geométricamente el problema
en el sistema tridimensional.
b) Determine las coordenadas de los vértices
C y D. b) Halle las ecuaciones paramétricas de la
recta L1 .
c) Calcule el área de la región plana limitada
por el paralelogramo ABCD. c) Determine el punto de intersección de las
rectas L1 y L2 .
14.- El centro de una elipse es el punto C p1; 1; 3q y 18.- Los puntos Ap6; 0; 0q, B p22; 12; 0q,
la recta L1 : px; y; z q p4; 4; 2q rp1; 1; 3q C p16; 20; 0q y Dp0; 8; 0q, cuyas coordenadas
es tangente a la elipse en uno de sus vértices. se miden en metros, determinan los vértices
a) Interprete geométricamente el problema de la base ABCD de un edificio cuyas aristas
y luego halle la ecuación del plano R que laterales son verticales y miden AA1 16 m,
contiene a la elipse. DD1 16 m, BB 1 15 m y CC 1 15 m.
b) Determine la ecuación vectorial del eje a) Presente un esquema en el sistema
focal de la elipse. tridimensional y compruebe que la base
c) Halle las coordendas de los vértices de la del edificio es un rectángulo.
elipse. b) Halle la ecuación del plano que contiene
al techo del edificio.
15.- Los vértices de un cuadrilátero son
Ap2; 4; 6q, B p8; 2; 8q, C p4; 5; 3q y c) Si desde el punto M p20; 2; 2q se dispara
Dp1; 2; 4q. un proyectil que sigue la dirección del
vector ÑÝa p6; 8; 6q; justificando su
a) Pruebe que dicho cuadrilátero es un respuesta, diga si el proyectil impacta o
trapecio. no en la pared lateral AA1 B 1 B del edificio.
by z 12 0 y las
b) Si por el vértice C se traza una paralela al
19.- Dados el plano Q : x
lado DA y por el vértice D, una paralela
rectas
al lado CB; dichas paralelas se cortan en "
un punto Q. Determine las coordenadas y 3
x z
L1 :
del punto Q y pruebe que está sobre el
"
y 2
lado AB.
x 2z
L2 :
16.- Halle las ecuaciones paramétricas de la recta
"
L que pasa por el punto M p4; 5; 3q e y 1
x 3z
interseca a las rectas L3 :
L1 :
x
y23 z12
3
1
Calcule el valor de b para que los puntos de
intersección del plano Q con cada una de las
x2 z1
L2 :
2
y 1
3
5
rectas estén alineados.

X

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Capı́tulo

2 Recta y plano en el espacio

El aprendizaje del cálculo diferencial Sabes

Geometrı́a analı́tica plana. X Conoce las condiciones que definen a

Rectas tangentes a las curvas

σ b π Una esfera tangente al plano

Un plano tangente a una esfera

160 Álgebra Lineal

El principal atractivo turı́stico de la ciudad de Nazca (430 km al

El encargado de la torre de control del aeródromo, de donde parten

Con la finalidad de optimizar el tráfico aéreo en la zona, el

Para dar respuesta a este tipo de información se requiere describir

figura 2.1. P0 : punto fijo

Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 161

b) Un punto de paso P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores linealmente

Con estas condiciones geométricas se determinan las diferentes

162 Álgebra Lineal

La expresión algebraica que representa a un plano en el espacio R3

I. Ecuación general o cartesiana del plano

donde D  pAx0 By0 Cz0 q.

px x0; y y0; z z0q pA; B; C q  0 Nota

Al sustituir el término independiente por D  pAx0 By0 Cz0 q,

Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 163

Identifique su vector normal y los puntos en que corta a los

ii) Intersección con el eje Y .

Como un punto el eje Y es de la forma p0; y; 0q, se reemplaza

164 Álgebra Lineal

Observación 2. Casos particulares de la ecuación general de un

Cuando en la ecuación general de un plano no aparece una

ii) Q : Ax Cz D  0 pA  0, C  0q es perpendicular al X Ax+Cz+D =0

i) Q : Ax D  0 pA  0q es perpendicular al eje X y para-

Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 165

Observación 3. Forma segmentaria de la ecuación de un

166 Álgebra Lineal

Por consiguiente, al efectuar las operaciones correspondientes,

Luego, la forma ordinaria de la ecuación del plano es

Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 167

38px 2q 2py 5q 31pz 1q  0

Por consiguiente, la ecuación general del plano es

Al elegir B p4; 3; 1q como punto de paso, la ecuación ordinaria

Por consiguiente, la ecuación general del plano es

d) Como el plano contiene al eje Y , entonces pasa por el

Al seleccionar como punto de paso Op0; 0; 0q, la ecuación

168 Álgebra Lineal

Teorema 2. Dados un punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores no

px; y; zq  px0; y0; z0q rÑ

Al reemplazar en (1), resulta

px; y; zq px0; y0; z0q  rÑ

De donde la ecuación del plano Q es

px; y; zq  px0; y0; z0q rÑ

Capı́tulo 2. Recta y plano en el espacio 169

px; y; zq  p4; 2; 1q rp1; 3; 2q tp3; 5; 3q , r, t PR

Teorema 3. Dados un punto P0 px0 ; y0 ; z0 q y dos vectores no

px; y; zq  px0; y0; z0q rpa1 ; a2 ; a3 q tpb1 ; b2 ; b3 q

Al efectuar las operaciones básicas entre vectores y aplicar la

Q : px; y; z q  p2; 3; 1q rp4; 3; 2q tp2; 3; 1q , r, t PR

170 Álgebra Lineal

Q : px; y; z q  p4; 6; 2q rp1; 3; 3q tp3; 5; 5q , r, t PR

Luego, la ecuación vectorial del plano es

donde D pAx0 By0 Cz0 q.

px x0; y y0; z z0q pA; B; C q 0 Nota

Al sustituir el término independiente por D pAx0 By0 Cz0 q,

ii) Q : Ax Cz D 0 pA 0, C 0q es perpendicular al X Ax+Cz+D =0

i) Q : Ax D 0 pA 0q es perpendicular al eje X y para-

38px 2q 2py 5q 31pz 1q 0

px; y; zq px0; y0; z0q rÑ

px; y; zq px0; y0; z0q rÑ

px; y; zq px0; y0; z0q rÑ

px; y; zq p4; 2; 1q rp1; 3; 2q tp3; 5; 3q , r, t PR

px; y; zq px0; y0; z0q rpa1 ; a2 ; a3 q tpb1 ; b2 ; b3 q

Q : px; y; z q p2; 3; 1q rp4; 3; 2q tp2; 3; 1q , r, t PR

Q : px; y; z q p4; 6; 2q rp1; 3; 3q tp3; 5; 5q , r, t PR

Q : px; y; z q p0; 0; 0q rp0; 0; 1q tp3; 4; 5q , r, t PR

ðñ nÝÑ1r{ nÝÑ2 ðñ nÝÑ1 nÝÑ2 Ñ

Ax1 By1 Cz1 D 0

Ax1 By1 Cz1 D

Al elegir r 1, el vector normal Ñ

Al elegir r 1 el vector normal ÑÝn es:

1, el vector normal del plano es

1, el vector normal del plano es

R : 2px 0q 3py 0q 0pz 0q 0

0px 4q 5py 4q 4pz 6q 0

9.- Determine el valor del k para que los planos Q : 2x 3y kz 3 0

ðñ p2; 3; kq p1; 4; 7q 0

10.- Si los planos P : mx 3y 2z 20 0 y Q : 2x 5y lz 5 0

Por lo tanto, los valores de las constantes son l ym .

P : 2px 2q 7py 1q 3pz 1q 0