Ecuaciones Diferenciales: Conceptos Preliminares

Héctor Hernández
Grupo de Fı́sica Teórica, Departamento de Fı́sica,
Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes,
Mérida 5101, Venezuela

26 de septiembre de 2005
1. Introducción
Para construir un modelo que permita describir un fenómeno fı́sico se recurre a la carac-
terización de las cantidades involucradas a través de funciones matemáticas, f = f (t, x, y, z).
El cambio de estas funciones con respecto a alguna de sus variables introduce el concepto de
derivada de una función. Las ecuaciones que expresan una relación entre las funciones y sus
derivadas se llaman Ecuaciones Diferenciales.
Desde la época de I. Newton (1642-1727), las ecuaciones diferenciales son las herramientas
matemáticas más utilizadas para describir la dinámica de fenómenos fı́sicos. Durante los siglos
XVII y XVIII, los filósofos comienzan a preocuparse por estudiar una variedad de problemas
con un rico contenido matemático: la naturaleza de las vibraciones de una cuerda de violı́n, la
deformación de una varilla o membrana por la acción de una carga, la dependencia del periodo
de un péndulo con su longitud, el movimiento de los planetas. Las métodos introducidas por
Newton, G. W. Leibniz (1647-1716) y la siguiente generación de matemáticos permitieron
desarrollar un conjunto de herramientas para encontrar las soluciones respectivas a dichos
problemas.
Estos problemas requieren el entendimiento de fenómenos que cambian constantemente
con el tiempo o el espacio, y el estudio de estos fenómenos llevan, de manera natural, al
origen de las ecuaciones diferenciales y al estudio de sus soluciones.
Newton, en 1671, clasificó las ecuaciones fluxionales (diferenciales) en tres clases. La
primera clase, ecuaciones que contienen dos fluxiones (diferencial de una variable) y un solo
fluente (variable dependiente):
ẏ dy
= = f (x) .
ẋ dx
La segunda clase estaba conformada por dos fluxiones y dos fluentes
ẏ dy
= = f (x, y) .
ẋ dx
La notación del punto sobre la variable para indicar la derivada de la función se debe a
Newton.
La tercera clase, en la clasificación de Newton, es lo que ahora se conoce como ecua-
ciones diferenciales en derivadas parciales, es decir, ecuaciones como la que se muestra a
continuación
∂ 2 y(t, x) ∂ 2 y(t, x)
a2 = ,
∂x2 ∂t
donde a es una constante. La diferencia fundamental entre esta ecuación y las anteriores
radica en que la función incógnita es una función de más de una variable. Para encontrar
la función solución, y(x) o y(t, x), Newton construyó un método que consistı́a en hacer
desarrollos en series de potencias de las funciones involucradas.
Años mas tarde, James Bernoulli (1654-1705) demostró que el problema de la bra-
quistócrona - el problema de encontrar una curva tal que una partı́cula que se deslice de

1
un punto a otro lo haga en el menor tiempo posible - es equivalente a resolver la siguiente
ecuación diferencial.
dy a3/2
=p ,
dx b2 y − a3
donde a y b son constantes.
La ecuación anterior se conoce como una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
Lo de ordinaria tiene que ver con el hecho de que la función incógnita es una función de una
sola variable y lo de primer orden es porque la derivada involucrada es de orden uno.
Al resolver el problema de la braquistócrona, Bernoulli propuso el problema de encontrar
la forma de una curva que represente una cuerda que cuelga libremente entre dos puntos
fijos, es decir, la catenaria. Leibniz, C. Huygens (1629-1695), John Bernoulli (1667-1748)
encontraron de manera independiente la solución al problema. John Bernoulli usó la separa-
ción de variables, una técnica descubierta independientemente por Leibniz, y demostró que
la ecuación
dy
y = X(x) Y (y) ,
dx
puede reducirse a una integral.
En 1695, James Bernoulli propuso la siguiente ecuación diferencial - ecuación que hoy en
dı́a lleva su nombre.
dy
+ p(x)y = y n q(x) .
dx
Un año más tarde, Leibniz demostró que el cambio de variable z = y 1−n , reduce la ecuación
de Bernoulli a una ecuación diferencial ordinaria de primer orden “lineal”, es decir, una
ecuación de la forma:
dy
= p(x)y + g(x) .
dx
En el año de 1720, el matemático italiano J. Ricatti (1676-1754) en el estudio de problemas
geométricos propone la ecuación:
dy
= A(x)y + B(x) y + C(x) y 2 .
dx
Esta ecuación, la ecuación de Ricatti, a diferencia de la ecuación anterior, se denomina una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden“no lineal”, lo de no lineal es por el termino
y(x)2 .
Un tiempo después L. Euler (1707-1783) demostró que sı́ una solución particular a la
ecuación de Ricatti u(x) es conocida, entonces la sustitución y(x) = u(x) + z(x)−1 convierte
la ecuación no lineal en una ecuación lineal para z(x).
Euler desarrolló muchos métodos que aún siguen siendo utilizados hoy en dı́a: el método
del factor integrante, métodos sistemáticos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de

2
orden mayor que uno con coeficientes constantes y una serie de métodos para obtener solu-
ciones aproximadas, también introduce la distinción entre soluciones particulaes y soluciones
generales.
Con la llegada del siglo XIX el enfoque sobre el estudio de las ecuaciones diferenciales
comienza a cambiar, más que la busqueda de métodos para encontrar la solución, surge la
necesidad de enfrentar el problema de la existencia y unicidad de las soluciones. A. Cauchy
(1789-1857) al estudiar este problema da inicio a la teoria de la ecuaciones diferenciales en
el plano compejo.
La mecánica celeste fue otra fuente importante de problemas matemáticos, en particular
el problema de tres cuerpos: el sistemas sol-luna-tierra, por ejemplo. Este estudio produjo
avances importantes en las técnicas se resolución de ecuaciones diferenciales y a un entendi-
miento más general del comportamiento de sus soluciones.
El problema de tres cuerpos se encuentra descrito por ecuaciones diferenciales no lineales
que no pueden resolverse de manera explı́cita en terminos de las funciones desconocidas,
de manera que no es posible estudiar el problema de estabilidad analizando las soluciones
analı́ticas.
En la actualidad las ecuaciones diferenciales no lineales pueden resolverse facilmente
por métodos numéricos y utilizando recursos computacionales pequeños. En problemas muy
complicados, donde las ecuaciones de movimiento y las condiciones iniciales son definidas
de manera precisa, el método numérico es tal vez la única manera posible de resolver el
problema.

2. Conceptos Básicos
El sistema dinámico más simple es aquel que se puede representar por una sola variable
real, la cual puede considerarse como una coordenada en un espacio unidimensional, o espacio
de fase. El movimiento del sistema se representa por una función x(t) del tiempo t que
satisface una ecuación diferencial de primer orden
dx
ẋ = = v(x, t) , (1)
dt
donde v(x, t) es una función conocida y bien comportada de x y de t. Por lo general a la
función v(x, t) se le denomina función velocidad.
Si se considera que el sistemas es un sistema autónomo, es decir, un sistema donde la
función v es independiente del tiempo t, la ecuación (1) puede resolverse de manera sencilla
por integración directa Z x
dx
t − t0 = . (2)
x0 v(x)

Si la integral existe, la solución viene dada en la forma de t como función de x, y la inversa

de t(x) será x(t−t0 ). Esta dependencia de t−t0 es una propiedad de los sistemas autónomos.

3
 Puede suceder que la integral anterior no se pueda expresar en la forma de funciones
elementales, y por lo tanto, la inversa de t(x) no se pueda despejar. En este caso, es posible
obtener alguna información del sistema estudiando los puntos xf -llamados puntos fijos o
puntos criticos del sistema autónomo- donde v(xf ) = 0.
De alguna manera el comportamiento de x(t) se encuentra controlado por los puntos xf .
Si inicialmente el sistema se encuentra en xf , entonces, el sistema permanecerá en ese punto
indefinidamente. Los puntos xf representan el estado de equilibrio del sistema y en el resto
de puntos el sistema cambia. Un sistema que se encuentre inicialmente entre dos puntos fijos
no podrá salir de ese intervalo. Un punto fijo se llama un punto estable si v(x) decrece en
xf , es decir, v 0 (xf ) < 0 y en el caso contrario un punto fijo inestable.
Si la función velocidad viene dada como una función lineal v(x) = −a(x − xf ), a > 0, el
movimiento en la vecindad de xf viene dado por:

x(t) = xf + (x0 − xf )e−at , (3)

donde x0 = x(0). En este ejemplo, la solución nunca alcanzará el punto xf .

2.1. Ejemplo 1: La Ecuación Logı́stica

Cuando la población de una especie única se encuentra en una región suficientemente
grande, esta se puede representar por una función real x(t) > 0. En la práctica, la población
no puede aumentar sin lı́mite ya que en algún momento se debe producir una competencia
por los recursos para sobrevivir. Por lo tanto, existe una población máxima sustentable,
x = xm , en donde la tasa de muertes y nacimientos son iguales. Entonces, v(xm ) = 0 con
v(x) > 0 para 0 < x < xm . La función velocidad más simple que satisface esas condiciones
es v(x) = ax(xm − x), donde a es una constante positiva. Se tiene en este caso la la ecuación
logı́stica:
ẋ = ax(xm − x) . (4)
La ecuación logı́stica se puede resolver por separación de variables:
Z x Z t
dx x0 xm
=a dt ⇒ x(t) = , (5)
x0 x(xm − x) t0 x0 + (xm − x0 )e−axm (t−t0 )

donde x0 = x(t0 ).
Como ejemplo se puede considerar una población de peces en un lago, el número de
individuos x(t) para diferentes tiempos de muestra en la siguiente tabla, el tiempo t viene
dado en meses.
t 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
x 39 53 72 96 129 171 233 315 399 502
t 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0
x 630 761 924 1065 1231 1321 1512 1807 2049

4
 Para estimar los valores de xm y a se toman valores de la tabla anterior. En este caso se
puede tomar también como valores iniciales: t0 = 0, x0 = 39
39xm
t = 7 → 233 = ,
39 + (xm − 39)e−axm (6−0)
39xm
t = 12 → 924 =
39 + (xm − 39)e−axm (12−0)
al resolver para a y xm se obtiene de manera apróximada que a = 1,62 × 10−4 y xm = 1944.
Por lo tanto:
75823,90
x(t) = , (6)
(39 + 1905,20 e−0,32 t )
La gráfica de (6) y los datos originales se muestran en la figura (1), se puede apreciar que la
aproximación es bastante buena hasta para tiempos menores que 16.
2500

2000

1500
x(t)

1000

500

0
0 5 10 15 20 25
t

Figura 1: La función solución (6) de la ecuación logı́stica y los datos originales.

2.1.1. Ejercicio 1
Considere la ecuación
ẋ = A sen(αx) , A > 0 , α > 0
demuestre que la solución con x(0) = x0 , 0 < x0 < π/α es
2  αx 
eαAt .
h i
0
x(t) = arctan tan
α 2
Realice una comparación gráfica entre esta solución y la del ejemplo 1.

5
2.1.2. Ejercicio 2
El óxido nitrico (NO) y el oxı́geno (O2 ) reacciona para formar NO2 :

2NO + O2 ⇒ 2NO2 .

Si C(t) representa la concentración de NO2 , y esta satisface la ecuación diferencial

Ċ = κ(α − C)2 (2β − C) , C ≥ 0 , C(0) = 0 ,

donde κ es una constante positiva y α y β son las concentraciones iniciales de (NO) y (O2 )
respectivamente, y ambas mayores que cero. Discuta cualitativamente el comportamiento de
la concentración de NO2 cuando α < β/2 y α > β/2.

3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Definición 1: Sea f (x) una función de una variable x y la cual esta definida sobre un
intervalo a < x < b. Se denomina una ecuación diferencial ordinaria (e.d.o.) a una ecuación
que involucra a x, la función f (x) y una o más derivadas de f (x).
Existen diferentes notaciones para representar e.d.o.

df (x) dy
+ xf (x)2 = 0 ⇒ + xy 2 = 0 ⇒ y 0 + xy 2 = 0 .
dx dx
La función f (x) que satisface una e.d.o. se denomina función solución de la ecuación dife-
rencial.
En general, una e.d.o. se puede denotar por

F x, y, y 0, y 00...y (n) = 0 .


(7)

3.1. Orden de una ecuación diferencial

Definición 2: El orden de una ecuacion diferencial (e.d.) es el orden de la derivada más
alta involucrada en la ecuación.

y 00 + (3y 0)2 + 2x = 5 , orden 2

y0 + y + 2 = x , orden 1

6
3.2. Ecuaciones diferenciales Lineales y No Lineales
La clasificación más importante de las e.d.’s es la de linealidad y no linealidad. La e.d. (7)
se denomina una ecuación diferencial lineal (e.d.l.) si F es una función lineal de las variables
y,y 0...y (n) . La e.d.l. más general de orden n es una ecuación de la forma:

a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + . . . + an (x)y = g(x) . (8)

Sı́ g(x) = 0, la ecuación se denomina una ecuación diferencial homogénea, y sı́ g(x) 6= 0, la
ecuación se denomina una ecuación diferencial inhomogénea.
Una ecuación que no sea de la forma (8) se denomina una ecuación diferencial no lineal.
Ejemplos de e.d. no lineales son los siguientes:

y 000 + 2ex y 00 + yy 0 = x4 ,
g
θ̈ + senθ = 0 .
l
En general, las e.d. se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias y no ordinarias.
Una ecuación diferencial no es ordinaria si la función incógnita es una función de más de
una variable. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales en derivadas parcales.
Algunos ejemplos de este grupo son:

∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t)
α2 2
= ,
∂x ∂t
∂2µ ∂2µ ∂2µ
+ 2 + 2 = 4πρ(x, y, z) ,
∂x2 ∂y ∂z
∂Ψ ~ ∂2Ψ
2
i~ =− + V (x)Ψ(x) .
∂t 2m ∂x2

3.3. Soluciones Explı́citas y Soluciones Implı́citas

Es claro que la solución de un e.d. lleva a una identidad cuando ésta es sustituida en la
e.d. problema. Por ejemplo:
y = x2 , −∞ < x < ∞ ,
es solución de la e.d.
(y 00 )3 + (y 0 )2 − y − 3x2 − 8 = 0
ya que al hacer la sustitución de la solución en la e.d. se llega a una identidad.
En el caso de que y = f (x) no represente una función entonces se dice que f (x) no es
una solución, por ejemplo:
p
y = −(1 + x2 ) , −∞ < x < ∞ ,

7
no define una función en los números reales, pero sin embargo es solución de
x + yy 0 = 0 .
Definición 3: Sea y = f (x) una función definida en un intervalo I : a < x < b. Se dice
que f (x) es una solución explı́cita, o simplemente una solución, si esta satisface la ecuación
diferencial para todo x ∈ I.
Ejemplo: Se puede probar que la solución de la e.d.
y 0 = (x + y)2 , −∞ < x < ∞ ,
es la función
y = tan(x) − x .
Esta función se encuentra definida únicamente para x 6= (2n + a) π2 , con n = ±0, ±1, ±2 . . ..
En este caso, el intervalo para el cual esta definida la solución es más pequeño que el intervalo
donde esta definida la ecuacion diferencial.
Cuando se tiene una función implı́cita definida por una relación del tipo f (x, y) = 0 y
que al mismo tiempo es una solución de una e.d., algunas veces, puede resultar muy dificil
despejar y en terminos de x y ası́ probar que efectivamente es una solución al hacer la
sustitución en la e.d.
Definición 4: Una relación de la forma f (x, y) = 0 se llama una solución implı́cita de la
ecuación diferencial
F x, y, y 0, y 00 . . . y (n) = 0 ,

en un intervalo I : a < x < b, sı́:

1. existe una función g(x) definida en I tal que f [x, g(x) = 0], ∀ x ∈ I, y sı́
2. g(x) satsface la ecuación diferencial, es decir, sı́
F x, g(x), g 0(x), g 00(x) . . . g (n) (x) = 0 .

Ejemplo: Se puede mostrar que la función implı́cita

f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0
es una solución de la e.d.
F (x, y, y 0) = yy 0 + x = 0
en el intervalo I : −5 < x < 5, ya que se cumplen los dos argumentos de la Definición 4.
Al resolver para y se obtiene que:
√
y = ± 25 − x2 , −5 ≤ x ≤ 5.
de todas estas posibilidades es necesario seleccionar
√ una de las expresiones que realmente
2
represente una función, si se selecciona y = 25 − x , −5 ≤ x ≤ 5 entonces:

8
 √ x
1. g(x) = 25 − x2 , y por g 0(x) = − √25−x 2 entonces −5 < x < 5

2. al sustituir g(x) en la e.d. se obtiene una identidad

√
 
0 2
x
F (x, g(x), g (x)) = 25 − x − √ +x=0
25 − x2

3.3.1. Ejercicio 3
Demuestre si la función
xy 2 − ey − 1 = 0 ,
es una solución implı́cita de
xy 2 + 2xy − 1 y 0 + y 2 = 0 .

4. Solución General y Solución Particular de una Ecua-

ción Diferencial
En los cursos básicos de cálculo se resuelven ecuaciones diferenciales simples, por ejemplo:
y 0 = ex , ⇒ y = ex + C ,
y 00 = ex , ⇒ y = ex + C1 x + C2 ,
y 000 = ex , ⇒ y = ex + C1 x2 + C2 x + C3 ,
donde C1 , C2 y C3 son constantes.
Se puede llegar a la falsa conclusión de que siempre que una e.d. tenga solución entonces
tendrá infinitas soluciones, y que el número de constantes arbitrarias estará directamente
ligado al orden de la e.d.
Se tienen los siguientes contra-ejemplos:
a) Las ecuaciones
2 2
(y 0) + y 2 = 0 , (y 00) + y 2 = 0 ,
tienen sólo una solución y = 0.
b) La ecuación de primer orden
xy 0 = 1 ,
no tiene solución en el intervalo −1 < x < 1. Pero puede ser formalmente integrada para
dar:
y = ln |x| + C , x 6= 0 .
Al ser una función discontinua en cero no corresponde entonces a una solución porque la
solución debe satisfacer la e.d. para todo x de I. Sin embargo, si x < 0, entonces
y = ln(−x) + C1 , x < 0,

9
y de esta manera es una solución valida de la e.d. De igual forman si x > 0, entonces

y = ln(x) + C2 , x > 0,

también es una solución válida de la e.d. Por lo tanto, la lı́nea x = 0 divide al plano en dos
regiones donde pueden ser válidas sólo una de las soluciones indicadas y no existe solución
si la región incluye x = 0.
c) La ecuación difeencial de primer orden

(y 0 − y) (y 0 − 2y) = 0 ,

tiene como solución:

(y − C1 ex ) y − C2 e2x = 0 .

En este caso se tienen dos constantes de integración en la solución de la e.d. de primer orden.
Pero afortunadamnte estos casos ocurren con poca frecuencia y se puede decir que las
conjeturas anteriores son válidas para una gran mayoria de ecuaciones diferencales. Para esta
gran mayoria se puede decir que la solución de una ecuación diferencial de orden n contiene
n constantes arbitrarias.
Definición 5: Las funciones definidas por

y = f (x, C1 , C2 . . . Cn ) ,

de n + 1 variables, se denominan una familia de soluciones n-paramétrica de la ecuación

diferencial de orden n
F x, y, y 0, y 00 . . . y (n) = 0 .

A una familia de soluciones n-paramétrica se le suele llamar algunas veces una Solución
General de la ecuación diferencial y a las soluciones que resultan de asignarle valores numéri-
cos a las constantes arbitrarias Soluciones Particulares, de esta manera, se tiene un número
infinito de soluciones particulares. Sin embargo, se puede considerar el siguiente ejemplo:
3/2 1
y 0 = −2 (y 0 ) , ⇒ y= , Familia 1-paramétrica .
(x + C)2

Existe otra solución de la e.d. y esta es y = 0. Esta solución no puede ser obtenida a partir
de la familia 1-paramétrica para ningún valor de la constante C.
No se llamará a una familia de soluciones n-paramétrica una solución general al menos
que se pueda probar que contiene a todas las soluciones particulares.
Definición 6: Una solución de una ecuación diferencial se denomina una solución parti-
cular si satisface la ecuación diferencial y además no contiene constantes arbitrarias.
Definición 7: Una familia de soluciones n-paramétrica de una ecuación diferencial se
denomina una solución general si esta contiene todas las soluciones particulares de la ecuación
diferencial.

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 Definición 8: Las n condiciones que permiten determinar los valores de las constantes
arbitrarias de una familia de soluciones n-paramétricas , si son dadas en terminos de un
valor de la variable independiente, se denominan Condiciones Iniciales (c.i.) )y al problema
de resolver la ecuación diferencial Problema con Condiciones Iniciales.
Ejemplo: Resolver la ecuación
yy 0 = (y + 1)2 ,
con la c.i. y(2) = 0.
Por separación de variables:
y dy
Z Z
= dx , y 6= −1 .
(y + 1)2

Integrando se obtiene la famila 1-paramétrica solución:

1
+ ln |y + 1| = x + C , y 6= −1 .
y+1
Con la c.i. se puede calcular C,
1
+ ln |0 + 1| = 2 + C ⇒ 1=2+C ⇒ C = −1 ,
0+1
y de esta manera se obtiene una solución particular:
1
+ ln |y + 1| = x − 1 , y 6= −1 .
y+1
Hay que notar que la solucón descartada y = −1, también es una solución de la e.d. Por
lo tanto, se tiene otra solucón particular que no puede ser obtenida asignándole algún valor
a la constante C.

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