ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIAS
ANÁLISIS VECTORIAL
Deber 2: Límites y continuidad

1. Muestre que toda bola abierta es un conjunto abierto

 
Sea U = ( x, y ) /1  x 2 + y 2  4 , muestre que es abierto
Sea U = ( x, y ) / x  0, y  0 , muestre que es abierto
Sea U = ( x, y, z ) / x + y + z  r  , encuentre su frontera
2 2 2 2

2. Determinar el dominio de la función f ( x, y ) = log ( 3 + x + y ) y representarlo

gráficamente.

3. Identificar y esquematizar los conjuntos de nivel de la función definida por

x2 + y 2
f ( x, y, z ) = , z  0 para los valores c = 0, c = 1, c = −1
z

4. Sea la ecuación 8 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 32
a) Nombrar y esquematizar la superficie que ella representa.
b) Hallar y graficar la curva de nivel correspondiente a z = 4

5. Sean x, y positivas y sea T el triángulo de vértices ( 0, y ) , ( x, 0 ) , ( − x, 0 )

Se representa con f ( x, y ) el perímetro de dicho triángulo
a) Graficar el triángulo T
b) Hallar una fórmula para f ( x, y )
c) Graficar la curva de nivel para f ( x, y ) = 2

6. Considerar la ecuación z = ax 2 + by 2 , con a, b ambos positivos ó ambos negativos. Describir

la sección horizontal de corte donde z = constante y las secciones obtenidas en los planos x = 0
y y = 0 . Determinar la sección obtenida en el plano vertical x = c .

7. Una montaña muy parecida al Pão de Açúcar (Rio de Janeiro - Brasil) tiene forma de
paraboloide, con una altura de 400 m y una base circular de 100 m de radio. Usando una escala y
un sistema de referencia adecuados, trazar un pequeño mapa de contorno en donde se aprecien
las curvas de nivel para alturas de 0, 100, 200, 300 y 400 m.

8. Una montaña muy parecida al monte Fuji (Japón) puede describirse matemáticamente, en un
sistema de referencia apropiado, mediante la ecuación:

f ( x; y) = 100 − x2 + y 2 − 100; 0  f ( x, y )  100

donde las medidas están en metros. Trazar varias curvas de nivel y esbozar la forma del accidente
orográfico. AYUDA: Para el dibujo puede servir de orientación ver la curva que se obtiene cuando
la gráfica se intersecta con los planos yz y xz .

9. Calcular el siguiente límite:

  a b  sen x  - 12 
lim  - , ln   ,e x 
 1- x 1- x  x  
x →0 a b

10. Sea r :→ n
la función definida por

 x2 y 2
 , ( x, y )  ( 0, 0 )
f ( x, y ) =  x 2 y 2 + ( x − y )
2


 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 )

a) Muestre que lim lim f ( x, y )  = lim lim f ( x, y ) 

x →0  y →0  y →0  x →0 

b) Se puede concluir que lim f ( x, y ) = 0 ?

( x , y )→( 0,0)

4 xy
11. Calcule lim
( x , y )→( 0,0 ) x2 + y 2
12. Estudie la continuidad de la función definida por

 x2 − y 2
 xy 2 2 , ( x, y )  ( 0, 0 )
f ( x, y ) =  x y
 0 , ( x, y ) = ( 0, 0 )


13. Cómo escogería el número  para que la función definida por

1 − cos x 2 + y 2
 , ( x, y )  ( 0, 0 )
f ( x, y ) =  x2 y 2

  , ( x, y ) = ( 0, 0 )
Sea continua?

14. Muestre que

1 1
lim  2 xy e− x y dx   lim 2 xy e− x y dx
2 2

y → y →
0 0

x2
cos x − 1 −
15. Calcular, si existe, el límite de la función f ( x, y ) = 2
x4 + y 4
(i) cuando ( x, y ) → ( 0, 0 )
(ii) cuando ( x, y ) → ( ,  )

En caso de no existir alguno de ellos, justificar.

3xy
16. Sea la función f ( x, y) = , ( x, y )  ( 0,0 )
x + y2
2
Determinar si se la puede definir en ( 0, 0 ) de manera que sea continua en todo el plano. Justificar.

1 − cos ( xy )
17. Calcular lim
( x , y )→( 0,0) x2 y 2

x4 y
18. Muestre que el siguiente límite no existe: lim
( x , y )→( 0,0) x + y
8 2

 2 x2 + 3 y 2
 2 si ( x, y )  ( 0, 0 )
19. Sea la función f ( x, y ) =  x + y
2

3 si ( x, y ) = ( 0, 0 )

a) Calcular lim f ( x, y ) o determinar por qué no existe.
( x , y )→(1,0)
b) Calcular lim f ( x, y ) o determinar por qué no existe.
( x , y )→( 0,0)
c) ¿Es f ( x, y ) continua en ( 0, 0 ) ? Justificar.

xy 2
20. Calcular lim o determinar por qué no existe
( x , y )→( 0,0) x + y
2 4

Hallar el límite, si existe, o demostrar que el límite no existe

x2 − y 2
21. lim 2
( x , y )→( 0,0 ) x + y 2

xy
22. lim
( x , y )→( 0,0 ) x + y2
2

xy 2
23. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

3x 2 y
24. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

25. lim x5 + 4 x3 y − 5 xy 2
( x , y )→( 5, −2 )

26. lim xy cos ( x − 2 y )

( x , y )→( 6,3)

x2
27. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

( x + y)
2

28. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x2 + y 2
8x2 y 2
29. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

x3 + xy 2
30. lim
( x , y )→( 0,0) x 2 + y 2

xy
31. lim
( x , y )→( 0,0) x2 + y 2
 xy + 1
32. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x + y2 + 1
2

2 x2 y
33. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 4 + y 2

x3 y 2
34. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

2 x3 − x 2 + y
35. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x 3 − x 2 + y
y x −x2 3

5x2 y
36. lim
( x , y )→(1,2) x 2 + y 2

5x2 y
37. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2
2
 x2 − y 2 
38. lim  2 
( x , y )→( 0,0 ) x + y 2
 
−x
39. lim
( x , y )→( 0,0) x 2 + y 2

x4 − y 2
40. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 4 + y 2

x− y
41. lim
( x , y )→( 0,0 ) x + y
y − x

x2 + y
42. lim
( x , y ) →( 0,0 ) y
y 0

x4
43. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 4 + y 2

xy
44. lim
( x , y )→( 0,0 ) xy
xy  0

x+ y
45. lim
( x , y )→( 0,0 ) x − y
y x

x2
46. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x 2 − y 2
y  x

x+ y
47. lim
( x , y ) →( 0,0 ) 2 + cos x
x
48. lim
( x , y )→( 0,4) y
x 2 − 2 xy + y 2
49. lim
( x , y )→(1,1)
y x
x− y
xy − y − 2 x + 2
50. lim
( x , y )→(1,1)
x 1
x −1
 x2 − y2
51. lim
( x , y ) →(1,1) x − y
y x

2x − y − 2
52. lim
( x , y ) →( 2,0 )
y2 x+4
2x − y − 4

x− y+2 x −2 y
53. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x− y
y x

x − y +1
54. lim
( x , y ) →( 4,3)
y  x −1
x − y −1
x+ y−4
55. lim
( x , y )→( 2,2 ) x+ y −2
y − x + 4

x3
56. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

xy
57. lim
( x , y )→( 0,0 ) x + y 2
2

xy 3
58. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 6

xy − x + y
59. lim
( x , y )→( 0,0 )
y − x
x+ y
xy
60. lim
( x , y )→( 0,0 ) x + y 4
2

4 x3
61. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

x2 y 4
62. lim
( x , y ) →( 0,0 )
x2 + y 4 + ( x − y 2 )
2

tan x sen y
63. lim
( x , y )→( 0,0 ) x2 + y 2
x2
64. lim
( x , y ) →( 0,1)
y 1
y −1

65. lim x2 sen ( x2 + y 2 )

( x , y )→( 0,0)

x2 − y 4
66. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

x2 y 2
67. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

y2 z
68. lim
( x , y , z )→( 0,0,0 ) x 2 + y 2 + z 2

x2 + y 2
69. lim
( x , y )→( 0,0 ) x2 + y 2 + ( x − y )
2
 x2 y 2
70. lim
( x , y )→( 0,0 ) x2 + y 2 + ( x − y )
2

sen ( xy )
71. lim
( x , y ) →( 0,0 ) x
x0

x2 + y 2
72. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 4

x2 − y 2
73. lim
( x , y )→( 0,0 ) x 2 + y 2

Respuestas 21 en adelante
21. No existe, los reiterados no coinciden
22. No existe, considerar la dirección y = x
23. No existe, considerar la dirección y = x2
24. Valor 0
25. Valor 2025
26. Valor 0
27. No existe, los reiterados no coinciden
28. No existe, considerar la dirección y = mx
29. Valor 0
30. Valor 0
31. Valor 0
32. Valor 1
33. No existe, considerar la dirección y = mx2
34. Valor 0
35. No existe, considerar la dirección y = x2
36. Valor 2
37. Valor 0
38. No existe, considerar la dirección y = x
39. No existe, considerar la dirección y = x
40. No existe, considerar la dirección y = mx2
41. No existe, considerar la dirección y = mx , con m  −1
42. No existe, considerar la dirección y = mx2 , con m  0
43. No existe, los reiterados no coinciden
44. No existe, los reiterados no coinciden
45. No existe, los reiterados no coinciden
46. No existe, los reiterados no coinciden
47. Valor 0
48. Valor 0
49. Valor 0
50. Valor -1
51. Valor 2
52. Valor 14
53. Valor 2
 1
54. Valor 4

55. Valor 4
56. Valor 0
57. No existe, considerar la dirección y = mx , con m  0
58. No existe, considerar la dirección y = x3
59. No existe, los reiterados no coinciden
60. No existe, considerar la dirección y = mx ,
61. Valor 0
62. Valor 0
63. No existe, considerar la dirección y = x
64. No existe, los reiterados no coinciden
65. Valor 0
66. No existe, los reiterados no coinciden
67. Valor 0
68. Valor 0
69. No existe, considerar la dirección y = mx
70. Valor 0
71. Valor 0
72. No existe, los reiterados no coinciden
73. No existe, los reiterados no coinciden