MATEMATICA 10° Ciencias

Guía de Aprendizaje de Matemática 10°- Bachillerato en Ciencias
El Mundo Maravilloso de la Matemática

Autoridades
S. E. Maruja Gorday de Villalobos

Ministra de Educación
S. E. Zonia Gallardo de Smith
Viceministra Académica
S. E. José Pío Castillero
Viceministro Administrativo
S. E. Ricardo Sánchez
Viceministro de Infraestructura
Equipo Directivo
Dirección General Directores Nacionales Académicos
Guillermo Alegría Isis Núñez

Director General de Educación Directora Nacional de Educación Media
Académica
Victoria Tello
Carlos González
Subdirectora General de Educación
Director Nacional de Educación Media
Académica
Profesional y Técnica
Anayka De La Espada Agnes de Cotes

Subdirectora General Técnico Directora Nacional de Jóvenes y Adultos
Administrativa
Carmen Reyes
Directora Nacional de Currículo y
Tecnología Educativa
Dirección Nacional de Educación Media Académica

Dirección Nacional de Educación Media Profesional y Técnica
Dirección Nacional de Jóvenes y Adultos
ISIS NÚÑEZ
Directora Nacional de Educación Media Académica
Equipo Coordinador Undécimo Grado Duodécimo Grado

 Johanna E. Castillo M.  Reyna Jaramillo
Región de Veraguas Región de Veraguas
Eduvigis Mercedes Rodríguez I.
Colegio José Bonifacio Alvarado Instituto Urracá
Coordinadora General
 Juan Manuel Quirós  Joel Almanza
Lenin Hernández Región de Panamá Oeste Región de Herrera
Apoyo Técnico Curricular 10° Escuela Stella Sierra C. E. B. G. De Parita
 Janeth Aparicio de Higuera  Anastasio Serrano Abrego
Emiliano González Región de Coclé Región de Bocas del Toro
Apoyo Técnico Curricular 11° I. P.T. Industrial de Aguadulce C.E.B.G. Bilingüe Guabito
 Dalba Janet Morán Arias  Neuza Delgado de Pinzón
Lysseth A. Pittí Región de Coclé Región de Coclé
Apoyo Técnico Curricular 12° Instituto Carmen Conté Lombardo C. E. Bilingüe Federico Zúñiga Feliú
 Lorenzo Caballero Vigil  Jane Cedeño
Aracelly Agudo Región de Veraguas Región de Chiriquí
Diseño de Portadas C.E.B.G. José Santos Puga Instituto David
Colaboradores y correctores  José A. Echeverría
Aritmética Región de Chiriquí
 Yosari Alvarado Benigno Tomas Argote
Docentes Especialistas de  Arnulfo Ariel Ríos Aparicio  Abdul Troncoso
Matemática  Fernando Domínguez Región de Chiriquí
 Rosaura Pérez Araúz I.P.T Diurno de David
Décimo Grado
Algebra
 Cristina González Guerra Revisores
 Yassir E. Bruce M.
Región de Panamá Centro
 Edilberto José Adames Pineda  Dalys Villarreal
Instituto Comercial Panamá
 Migdalia Lineth Domínguez   Región de Coclé
 Cynthia Candanedo I.P. T. Industrial de Aguadulce
Geometría
Región de la Comarca Ngäbe Buglé
 Maricela Muñoz  Nilka O. Solís Samudio
I.P. T. Sitio Prado
 Daniel Alvarado Moreno  Región de Chiriquí
 Elsa Eugenia González Serrano
Trigonometría y cálculo Colegio Francisco Morazán
Región de Chiriquí
 Colegio Comercial Tolé  Nurkia Díaz de Mendieta
 Américo Rodríguez
Versión 2. Agosto, 2020
El contenido de esta guía de aprendizaje es con fines estrictamente educativos, ha sido ajustado al currículo
priorizado del Ministerio de Educación de la República de Panamá. Este material está disponible para el uso de
todos los docentes y alumnos de nuestro país como una herramienta de apoyo en el desarrollo de los contenidos
del grado y ha sido desarrollada un grupo de docentes de matemática y los egresados de la Maestría en Didáctica
de la Matemática, dictada por la Universidad Autónoma de Barcelona; Auspiciada por la SENACYT
Este documento es gratuito, se prohíbe su venta y promoción de cualquier empresa sin autorización.
7
Contenido
AUTORIDADES
MEDIDAS DE PREVENCIÓN PARA EL COVID 19
CRÉDITOS
MENSAJE PARA LOS ESTUDIANTES
PRESENTACIÓN .......................................................................................................................................... 12
1│ ÁLGEBRA ............................................................................................................................................... 13
TEMA 1. LA POTENCIACIÓN ....................................................................................................................... 13
ACTIVIDAD N° 1 ......................................................................................................................................... 17
TEMA 2. RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ..................................................................................... 18
ACTIVIDAD N°2 .......................................................................................................................................... 21
TEMA 3. POTENCIACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ....................................................................... 22
ACTIVIDAD N°3 .......................................................................................................................................... 23
TEMA 4. LA RADICACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS....................................................................... 24
ACTIVIDAD N°4.1 ....................................................................................................................................... 25
ACTIVIDAD N°4.2 ....................................................................................................................................... 27
TEMA 5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA .......................................................... 28
ACTIVIDAD N°5.1 ....................................................................................................................................... 31
ACTIVIDAD N°5.2 ....................................................................................................................................... 40
TEMA 6. RAZÓN Y PROPORCIÓN ................................................................................................................ 45
ACTIVIDAD N°6.1 ....................................................................................................................................... 48
ACTIVIDAD N°6.2.................................................................................................................................... 53
TEMA 7. TANTO POR CIENTO ..................................................................................................................... 54
ACTIVIDAD N°7 .......................................................................................................................................... 59
AUTOEVALUACIÓN A-1 .............................................................................................................................. 60
2│ GEOMETRÍA .......................................................................................................................................... 61
TEMA 8. SEGMENTOS PROPORCIONALES................................................................................................... 61
ACTIVIDAD N° 8. ........................................................................................................................................ 62
TEMA 9. PRIMER TEOREMA DE THALES ..................................................................................................... 63
ACTIVIDAD N°9.1 68
ACTIVIDAD N°9.2 ....................................................................................................................................... 71
TEMA 10. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ..................................................................................................... 72
ACTIVIDAD N° 10........................................................................................................................................ 77
3│TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................... 79
TEMA N°11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS................................................................................................ 79
ACTIVIDAD N° 11.1..................................................................................................................................... 88
ACTIVIDAD N° 11.2..................................................................................................................................... 89
ACTIVIDAD N° 11.3..................................................................................................................................... 90
ACTIVIDAD N° 11.4..................................................................................................................................... 91
4│ ESTADÍSTICA.......................................................................................................................................... 92
TEMA 12. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ......................................................................................................... 92
ACTIVIDAD N°12. ....................................................................................................................................... 95
AUTOEVALUACIÓN A-2 .............................................................................................................................. 96
CURSOS GRATUITOS DE GEOGEBRA ........................................................................................................... 97
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................ 98
8
UNIDAD 1: ALGEBRA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
 Resuelve problemas cotidianos que involucren conceptos básicos y propiedades de potenciación
valorando la solución de problemas del contexto.
 Resuelve problemas cotidianos que involucren conceptos básicos, propiedades y operaciones
algebraicas de radicación, en la resolución de problemas con operaciones básicas y racionalización de
expresiones algebraicas.
 Aplica distintos métodos como estrategia de solución para determinar las raíces de ecuaciones y
problemas de situaciones reales aplicando proceso de una ecuación cuadrática.
INDICADORES DE LOGRO
 Simplifica expresiones aritméticas y algebraicas, aplicando correctamente las propiedades de las
potencias.
 Determina correctamente los valores faltantes de expresiones algebraicas.
 Resuelve situaciones reales, aplicando las propiedades de las potencias, con seguridad.
 Transforma expresiones con radicales a fraccionarias y viceversa, aplicando con seguridad la propiedad.
 Resuelve operaciones con radicales de igual y distintos índices, haciendo uso de la simplificación de
radicales, con dominio de las propiedades.
 Racionalice una expresión algebraica, utilizando los procesos correctos cuando es monomio o polinomio.
 Aplica correctamente, los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas para determinar sus raíces.
 Resuelve Aplicando el lenguaje matemático para traducir situaciones reales y resolverlas con los procesos
de solución de una ecuación cuadrática, correctamente.
 Resuelve con seguridad, ecuaciones con radicales aplicando sus procesos de solución y sus propiedades.
UNIDAD 2: GEOMETRÍA
 Realiza demostraciones geométricas sencillas mediante el Teorema de Thales argumentando las
hipótesis y la tesis, utilizando las nociones geométricas de congruencia, proporcionalidad y sistemas de
representación espacial para interpretar, comprender, elaborar y comunicar informaciones relativas al
espacio físico.
 Realiza demostraciones sencillas mediante la semejanza de triángulos utilizando criterios de semejanzas
para triángulos rectángulos y no rectángulos para interpretar, comprender, elaborar hipótesis y
determinar el valor desconocido.
 Aplica correctamente, los métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas para determinar sus raíces.
 Resuelve Aplicando el lenguaje matemático para traducir situaciones reales y resolverlas con los procesos
de solución de una ecuación cuadrática, correctamente.
 Resuelve con seguridad, ecuaciones con radicales aplicando sus procesos de solución y sus propiedades.
 Establece con seguridad, la diferencia entre los principios de proporcionalidad y los criterios de semejanza
de triángulos.
 Aplica acertadamente, los criterios de semejanza de triángulos para demostrar la semejanza entre dos
triángulos dados y determinar el valor de cada elemento desconocido.
9
UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA
 Aplica la trigonometría al resolver problemas de la vida cotidiana relacionada con los triángulos
rectángulos y oblicuángulos.
 Construye un ángulo en posición normal utilizando correctamente el transportador y expresa las
funciones trigonométricas.
 Determina el valor de las funciones trigonométrica conociendo dos lados del triángulo, con seguridad -
Resuelve triángulos rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas.
 Demuestra identidades trigonométricas utilizando los valores de las funciones de los ángulos especiales.
 Emplea herramientas tecnológicas para analizar la aplicación de las razones trigonométricas.
 Resuelve situaciones reales sobre triángulos oblicuángulos y discute con sus compañeros el proceso
utilizado.
UNIDAD 4: ESTADÍSTICA
 Utiliza la estadística descriptiva, aplicando correctamente el tratamiento de la información obtenida del
entorno, valorando las distintas propuestas de solución con el fin que utilice las fórmulas, organicen,
represente gráficamente e interprete los resultados de las diferentes informaciones del contexto.
 Realiza los procesos estadísticos adecuados para organizar los datos en las Tablas Estadísticas.
 Presenta correctamente los valores numéricos en las columnas correspondientes para completar las
Tablas Estadísticas.
 Establece conclusiones, a partir de los datos organizados en la Tabla, para dar respuesta a la
problemática planteada.
 Interpreta correctamente situaciones del contexto, representado a través de gráficos estadísticos.
 Calcula los valores de las medidas de centralización sustituyendo los elementos en las fórmulas.
 Obtiene, a partir de sucesos o fenómenos, los datos para la correcta construcción de tablas de
distribución de frecuencias para datos agrupados.
 Realiza la tabulación digital de la información recogida en las celdas correspondientes.
 Diseña las gráficas estadísticas con los valores de la frecuencia y los datos que han sido tabulados.
 Calcula las medidas de tendencia central que correspondan a la Tabla.
 Interpreta situaciones reales con gran facilidad, haciendo uso de los programas con aplicación
estadística con el fin que establezca conclusiones e interpretación de datos.
10
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
 Aprender a aprender: Muestra capacidad permanente para obtener y aplicar nuevos
conocimientos y adquirir destrezas.
Desarrolla la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los
símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e
interpretar distintos tipos de información.
 Matemáticas: Resuelve operaciones fundamentales en el campo de los números racionales
mediante la aplicación de los conceptos matemáticos en la solución de situaciones de su
entorno.
 Tratamiento de la información y competencia digital: Participa en proyectos innovadores
mediante la aplicación de estrategias diversas con miras a la solución de situaciones de su
entorno.
 Autonomía e iniciativa personal: Manifiesta actitud perseverante hasta lograr las metas que
se ha propuesto.
RECURSOS DIDÁCTICOS
 Lápiz, borrador cuaderno, regla para imprimir en anexos.
 Calculadora
 Microsoft Office-Excel
11
PRESENTACIÓN
El COVID-19 nos ha cambiado la vida, ahora debemos estar en casa y no en las escuelas
como estamos acostumbrados. De esta manera evitamos un mayor contagio en las
comunidades, en nuestras familias y amigos. Para que continúe estudiando en su casa,
un grupo de docentes de matemática y los egresados de la Maestría en Didáctica de la
Matemática, dictada por la Universidad Autónoma de Barcelona; Auspiciada por la
SENACYT, hemos elaborado esta guía de aprendizaje con el fin de que nuestros
estudiantes sean competentes y descubran la importancia de la matemática y sus
aplicaciones en la naturaleza, en la vida diaria y en el mundo. El propósito fundamental
es mejorar la calidad en los procesos de enseñanza.
Las temáticas presentadas corresponden al currículo priorizado de la educación media en

décimo grado, del Bachiller en Ciencias, Humanidades, Informática, Agropecuaria,
Servicio y Gestión Institucional, Marítima, Industriales. En los talleres que hemos
seleccionado está considerada la problemática que existe en esta área y el papel
fundamental de la visualización en el desarrollo de problemas matemáticos.
La relación con la naturaleza, el comercio, contexto y la relación con otras ciencias,

permiten que el estudiante desarrolle la visualización explorando y observando lo que
sucede con los objetos que existen en su medio, que se valore a sí mismo y aborde
problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue e integre los
conocimientos tecnológicos, humanísticos y científicos que faciliten el establecimiento
de relaciones entre los diferentes campos del saber humano.
A continuación, presentamos los conceptos básicos mediante una secuencia de

actividades (Introducción-I, Temas-T, Autoevaluación-A); que corresponden al año lectivo
2020, las mismas pueden ser desarrolladas en este cuadernillo o en su portafolio de
actividades.
Bienvenidos al “Mundo Maravilloso de la Matemática”.

#aprendoencasa, ¡Juntos lo lograremos!
Docentes del Mundo Maravilloso de la Matemática.
12
1│ ÁLGEBRA SABÍAS QUE..

TEMA 1. LA POTENCIACIÓN
 Repaso
La potenciación era conocida ya desde la antigüedad, los
babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la
multiplicación. Los griegos por su parte tenían predilección por
los cuadrados y los cubos.
La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para

abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la
parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces
que se multiplica.
Si bien la palabra exponente pasó a significar cosas La palabra exponente en sí

diferentes, el primer uso moderno registrado de misma proviene del latín
exponente en matemáticas fue en un libro llamado "expo", que significa "fuera
"Integra Arithemetica", escrito en 1544 por el autor inglés de", y "ponere", que
y matemático Michael Stifel. Pero él simplemente estaba significa "lugar".
trabajando con una base de dos, de modo que, por
ejemplo, el exponente 3 significaba la cantidad de números El método de Stifel se diría
2 que tendrías que multiplicar para obtener 8. que es un poco retrógrado
Lo que se vería así: 2 ³ = 8. en comparación con la
forma en que pensamos
 Potencia de exponente natural acerca del tema hoy.
Una potencia es el producto de factores iguales, es decir,
a n  a  a  a  a  a  ........  a Él diría que "el 3 es la
configuración del 8".
𝒏 veces 𝒂 como factor
Hoy en día, nos referimos a
𝒂 𝒂 eso simplemente como una
Si es un número racional, el producto de por si mismo
𝒃 𝒃 ecuación de 2 al cubo. Hay
𝒏 veces, es una potencia, es decir, una potencia es un que recordar que él estaba
producto de varios factores iguales: trabajando exclusivamente
𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒: indica las veces que se multiplica la base. con una base o un factor de
𝒂 𝒏 𝒂 𝒂 𝒂 𝒂 𝒄 2 y traduciendo del latín un
( ) = ∙ ∙ ∙∙∙ = 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: es el poco más literalmente de lo
𝒃 𝒃 𝒃 𝒃 𝒃 𝒅
resultado de la que hacemos actualmente
𝑏𝑎𝑠𝑒: es el número multiplicación
que se multiplica. 𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 reiterada.
Donde;
c =an y d=bn
13
 Propiedades de las potencias
Propiedad Ejemplo Descripción

Potencia de 70  1 Toda base cuyo
exponente 𝑎0 = 1 exponente es cero, la
cero. potencia es igual a uno.
Potencia de Toda base cuyo

exponente 151=15 exponente es el número
𝑎1 = 𝑎 uno, la potencia es igual
uno.
a la misma base.
Potencias de Si la base es el número
base uno. uno y el exponente es
1n  1 1n  1 cualquier número
natural, la potencia es
uno.
Producto de 32 ∙ 3 = 32+1 = 33 Al multiplicar dos o más
bases iguales. 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 bases iguales, los
= 27 exponentes se suman.
Cociente de 24 Al dividir dos bases
bases iguales. 𝑎𝑚 23
= 24−3 = 21 = 2 iguales, los exponentes
= 𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑛 se restan.
Multiplicación (2 ∙ 3)2 = 62 = 36 Las bases se elevan al

de bases mismo exponente y se
diferentes halla la potencia,
con el mismo (2 ∙ 3)2 = 22 ∙ 32 también se puede
(𝑎 ∙ 𝑏 )𝑛 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛
multiplicar las bases y
exponente. = 4⋅9
= 36 calcular la potencia.
Cociente de Se elevan las bases al

bases mismo exponente y se
𝑎 𝑛 𝑎𝑛 2 4 24 16 dividen las bases, se
diferentes e ( ) = 𝑛 ( ) = 4=
𝑏 𝑏 3 3 81 calcula la potencia.
igual
exponente.
Potencia de La potencia será su
exponente
n 2
1 1 1 n
1 1 inverso
1 elevado a la
negativo. a n     n  n 32     2misma
 potencia.
a a a  3 3 9
Potencia de (33 )2 =3(3∗2) Se multiplican los

(𝑎 𝑚 )𝑛 𝑚𝑛
una potencia. =𝑎 = 36 exponentes y se calcula
=729 la potencia.
14
 Signo de una potencia
La potencia de exponente La potencia de exponente

par es siempre positiva. impar tendrá el mismo signo
2 4 16 de la base.
( ) =
3 81 2 3 8
( ) =
3 27
2 4 16 2 3 8
(− ) = (− ) = −
3 81 3 27
𝟏 𝟐
Ejemplos 1: desarrolle ( )
𝟑
Solución:
1
Al ser el exponente 2 y la base 3 se debe multiplicar 2 veces ella misma:
1 2 1 1 1
( ) = ( )( ) =
3 3 3 9
𝟏 𝟑
Ejemplos 2: ¿Cuál es el resultado de (− ) ?
𝟐
Solución:
La fracción debe multiplicarse 3 veces por ella misma:
1 3 1 1 1 1
(− ) = (− ) (− ) (− ) = −
2 2 2 2 8
𝟑 −𝟑
Ejemplos 3: desarrolle ( )
𝟒
Solución:
Se aplica la propiedad correspondiente y luego se desarrolla la potencia:
3 −3 1 1 (4)3 64 10
( ) = 3 = 3 = = =2
4 3 (3) (3) 3 27 27
( 4) ( 4)3
𝟐 𝟓 𝟐 −𝟐 𝟐 −𝟏
Ejemplos 4: realice la simplificación de ( ) ( ) ( )
𝟓 𝟓 𝟓
Solución:
Se aplica la propiedad correspondiente y luego se desarrolla la potencia:
2 5 2 −2 2 −1 2 5−2−1 2 5−3 2 2 2 2 4
( ) ( ) ( ) =( ) =( ) = ( ) = ( )( ) =
5 5 5 5 5 5 5 5 25
15
𝟑 𝟕 𝟏 𝟒
(𝟒) (𝟐)
Ejemplos 5: simplifique la siguiente expresión
𝟑 𝟓 𝟏 𝟓
(𝟒) (𝟐)
Solución:
Se aplican las propiedades correspondientes y luego se desarrolla la potencia:
3 7 1 4 3 7−5 3 2 9
( 4) ( 2) ( 4) ( 4) 9 2 18 9
16
5 5 = 5−4 = 1 = 1 = (16) (1) = 16 = 8
3 1 1 ( 2) ( 2)
( 4) ( 2) ( 2)
−𝟐
𝟏 𝟑
( )
𝟑
Ejemplos 6: simplifique la expresión [ ]
𝟐 𝟐
( )
𝟑
Solución:
−2 −2
1 3 (1)3 −2
( ) −2
(3)3 (1)3 (3)2 1 (1)−2
[ 3 2] =[ ] = [ 3 2] =[ ] =
2 (2)2 (3) (2) (3)(2)2 (3)−2[(2)2 ]−2
( ) (3)2
3
1
(1)−2 (1)2 (3)2(2)4 (9)(16)
= = = = = 144
(3)−2(2)−4 1 1 (1)2 1
(3)2 (2)4
−𝟐
𝟐−𝟒
Ejemplos 7: simplifique ( )
𝟐−𝟐 −𝟐−𝟑
Solución:
−2 −2
−4 −2 1 1 1 −2 1 −2 −2
2 2 4 2 4 2 4 2 4 23
( −2 ) =( ) =( ) = ( ) = ( ) = ( 4)
2 − 2−3 1 1 1 1 1 1 2
2 − 3 −
2 2 4 8 8 23
= (2−1 )−2 = 22 = 4
16
ACTIVIDAD N° 1
I – Resuelva las siguientes operaciones de potenciación de números racionales.

𝟔
𝟑 𝟔 𝟑 𝟓 𝟕 𝟎
1. ( ) ( ) 6. [( ) ]
𝟕 𝟕 𝟏𝟏
4 5
( 8) 1 2 1 −5
2. 7. ( ) ÷( )
4 3 4 2
( 8)
1 −1
4 2 2 2 2 3
3. [(3) ] 8. [( ) ÷ ( ) ]
4 5 5
2 3 1 4
2 3
5 5 2 3 1 1 ( ) ( 3)
4. (− ) ÷ (− ) 9. [(2 − ) ] ∙ [ 3 ]
6 6 4 4 2 7
( 3)
(2)−1 (3)4 2 3 −1 5 −2 5 −1
5. 10. [( ) ( )] ∙ ( ) + ( )
(2)2 (3)−2 3 5 2 3
II. Observe el siguiente video «Viaje hacia el macrocosmos»
Link del video https://youtu.be/aznd1NEf5Oc
1- Realice una síntesis del video en hoja tamaño carta que lleve una secuencia en el
desarrollo de esta, donde resalte ¿quiénes son los autores del video? ¿qué
contenidos matemáticos se observan?, ¿qué he aprendido?, entre otras preguntas.
¡Genial! Ha culminado el Tema 1 de repaso.
17
TEMA 2. RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
La raíz cuadrada de un número racional es:

𝑎 𝑐 𝑐 2 𝑎
√ = 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 ( ) =
𝑏 𝑑 𝑑 𝑏
𝟗
Ejemplo 1: El número racional tiene dos raíces cuadradas:
𝟐𝟓
3 3 2 9
, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 ( ) =
5 5 25
9 3
Se representa así: √25 = ± 5 3 3 2 9
− , 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (− ) =
5 5 25
𝑎
En general, todo número racional positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas entre sí.
𝑏
Los números racionales negativos no tienen raíz cuadrada, porque cualquier número
elevado al cuadrado da un resultado positivo.
𝟏
Ejemplo 2: Demuestre que √− 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
𝟒
Solución:
1 2 1 1 2 1
𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 (2) = + 4 y (− 2) = + 4 , queda demostrado que no existe la raíz de un
número racional negativo.
𝑎 𝑐
La raíz enésima de un número racional es otro número que elevado a la potencia 𝑛 da
𝑏 𝑑
𝑎
como resultado 𝑏 .
Índice 𝒏 𝒂 𝒄 𝒄 𝒏 𝒂
√𝒃 = 𝒅 ⇒ (𝒅) = 𝒃
Radical Raíz
Base
18
 Raíces cuadradas exactas
¿Cuáles son las

raíces cuadradas
exactas?
√𝑹𝒂𝒅𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 √𝟏 √𝟒 √𝟗 √𝟏𝟔 √𝟐𝟓 √𝟑𝟔 √𝟒𝟗 √𝟔𝟒 √𝟖𝟏 √𝟏𝟎𝟎 √𝟏𝟐𝟏 √𝟏𝟒𝟒 …
Raíz 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …
Las raíces cuadradas exactas son infinitas, recuerda que la radicación es la operación
inversa de la potenciación. Por lo cual; si √4 = 2 (la raíz cuadrada de 4 es 2)
es por qué si elevamos la raíz al cuadrado, obtenemos el radicando,
22 = (2) (2) = 4
 Reglas de los signos

a) Cuando el índice es un número impar, la raíz tiene el mismo signo de la base.
b) Cuando el índice es un número par y la base es negativa, no tiene solución en el campo
de los números racionales.
c) Cuando el índice es un número par y la base es positiva, hay dos resultados que tienen
el mismo valor absoluto y distinto signo.
 Propiedades de los radicales


𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
√𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = √𝑎 ∙ √𝑏 ∙ √𝑐
𝑛
𝑛 𝑎 √𝑎
 √𝑏 = 𝑛
√𝑏
𝑚 𝑛
 𝑚𝑛
√ √𝑎 = √𝑎

𝑛 𝑛𝑚
√𝑎 𝑟 = √𝑎𝑟𝑚
𝑛⁄
𝑚

𝑛
√ 𝑎𝑟 = √𝑎𝑟⁄𝑚
𝑚

𝑛
√𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑛
19
𝟏
Ejemplos 1: aplique las propiedades de los radicales y calcula √
𝟗
Solución:
Se descompone la base en factores primos y se extrae a raíz:
2
1 12 1 2 1 2 1
√
√ =√ 2= ( ) =( ) =
9 3 3 3 3
𝟑𝟐
Ejemplos 2: encuentre la raíz quinta de −
𝟐𝟒𝟑
Solución:
𝟑𝟐
Se descompone − 𝟐𝟒𝟑 en factores primos y se aplican las propiedades:
5
5 32 5 32 5 ( 2)5 5 2 5 2 5 2
√− =− √ √
= −√ 5 = − ( ) = − ( ) = −
243 243 (3) 3 3 3
𝟑
𝟏
Ejemplos 3: ¿Cuál es el resultado de √√ ?
𝟔𝟒
Solución:
Se descompone la base en factores primos y se aplican las propiedades:
6 3
1 6 3 1 2 3 1 3
3 3
1 1 3 1
√ √ = √ √( ) = √( ) = √( ) = ( ) =
64 2 2 2 2 2
𝟏 𝟏
Ejemplos 4: ¿Cuál es el resultado de √ ÷√ ?
𝟑𝟐 𝟖
Solución:
Se descomponen las bases en factores primos y se aplican las propiedades:
5 3 5 3 2
1 1 1 5 1 3 1 2 1 2 1 2−2 1 2 1
√ ÷ √ = √( ) ÷ √( ) = ( ) ÷ ( ) = ( ) =( ) =
32 8 2 2 2 2 2 2 2
20
ACTIVIDAD N°2
I – Resuelva las siguientes operaciones de radicación de fracciones en su
cuaderno de matemáticas.
𝟏𝟔 𝟏
𝟑
1. √ 5. √𝟐𝟓 ∙ √
𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓
3 1 1
2. √− 6. √ ÷ √2
8 32
64 16 3 1
3. √ ÷ 7. ( √− ) (√64)
25 49 512
3 72 12
64 (√ ) (√
4. √√ 8.
75 288
)
729
¡Felicidades! Culminamos el repaso con el

Tema 2. Ahora si pasamos al ÁLGEBRA.
21
TEMA 3. POTENCIACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para la simplificación de expresiones algebraicas con potencias, resulta útil el empleo de
las propiedades de la potenciación, pues facilitan el procedimiento en su solución.
 Observemos los siguientes ejemplos de simplificación de expresiones

algebraicas con potencias:
𝑥6
1) = 𝑥 6−4 = 𝑥 2
𝑥4
𝑚2 1 1
2) 5
= 5−2 = 3
𝑚 𝑚 𝑚
9𝑎5 𝑏3 32 𝑎5 𝑏3 32−1 𝑎5−4 3𝑎

3) = = = 3
3𝑎4 𝑏6 3𝑎4 𝑏6 𝑏6−3 𝑏
4) [(2𝑥𝑦 2 )3 ]2 = (2𝑥𝑦 2 )3∙2 = (2𝑥𝑦 2 )6 = 64𝑥 6 𝑦12
5) (3𝑥 2 𝑦 4 )3 (3𝑥𝑦 3 )2 = (33 𝑥 6 𝑦12 )(32 𝑥 2 𝑦 6 ) = 33+2 𝑥 6+2 𝑦12+6 = 35 𝑥 8 𝑦18 = 243𝑥 8 𝑦18
3 2
22 𝑥 2 𝑦𝑧 2 3𝑥 2 𝑧 26 𝑥 6 𝑦 3 𝑧 6 32 𝑥 4 𝑧 2 26 ∙ 32 𝑥10 𝑦 3 𝑧 8 𝑥 2 𝑧 5
6) ( ) ( ) = ( ) ( ) = =
3𝑥 2 𝑦𝑧 23 𝑥 33 𝑥 6 𝑦 3 𝑧 3 26 𝑥 2 26 ∙ 33 𝑥 8 𝑦 3 𝑧 3 3
5𝑚 −7 𝑛13 5 ∙ 52 𝑚10 𝑛13 𝑛−9

7) = = 51+2 𝑚10−7 𝑛13−9 = 53 𝑚 3 𝑛3 = 125𝑚 3 𝑛3
5−2 𝑚 −10 𝑛9 𝑚7
−2 −2 −2
6𝑎−1 𝑏−5 𝑐 8 6𝑏7 𝑐 8 3𝑏2 𝑐 3 3−2 𝑏−4 𝑐 −6 𝑎2 𝑎2
8) ( ) =( ) =( ) = = =
2𝑏−7 𝑐 5 2𝑎𝑏5 𝑐 5 𝑎 𝑎−2 32 𝑏4 𝑐 6 9𝑏4 𝑐 6
5 1 2 5 2 5 1 1 2
9) (𝑥 2 − 3𝑥 𝑦)
2 = (𝑥 2 ) − 2 (𝑥 ) (3𝑥 𝑦) + (3𝑥 𝑦)
2 2 2 = 𝑥 5 − 6𝑥 3 𝑦 + 9𝑥𝑦 2
1 −1
9 2 1
−
22 𝑚𝑛−6 9 3 2 1 1
10) ( 3 ) = (22+2 𝑚 1+3 14−6
𝑛 ) = (26 𝑚 4 𝑛8 )−2 = 1
− −3 −14
2 𝑚 𝑛
2 (26 𝑚 4 𝑛8 )2
[ ]
1
=
23 𝑚 2 𝑛4
22
ACTIVIDAD N°3
I- Simplifica las siguientes expresiones algebraicas utilizando las propiedades de la

potenciación.
2 4
𝑥3 32 𝑎2 𝑐 5 22 𝑎3 𝑏2 3 3 2 7 11 1 3 2
1) 2 6) ( 3 3 2 ) ( 3 3 ) 11) (7−8 𝑥 4 𝑦 −5 𝑧 3 ) (7 8 𝑥 4 𝑦 −5 𝑧 3 )
𝑥 2 𝑏 𝑐 3𝑎 𝑐
𝟔𝒎𝟕 𝒏𝟒 𝟐−𝟓 𝒙𝟒 𝒚−𝟓 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐

𝟐) 𝟕) 𝟏𝟐) (𝒎𝟐 + ) (𝒎𝟐 − )
𝟏𝟐𝒎𝟏𝟎𝒏𝟑 𝟐−𝟑 𝒙𝟕 𝒚−𝟏 𝟒 𝟑
2 3 1 6
3 −2 𝑎3 𝑏4 𝑐 5
1 1
𝟑) 𝟒(𝒙 − 𝟐𝒚)−𝟏 8) ( 𝑚 3 𝑛7 ) ( 𝑥 4 𝑦 9 ) 13) ( 1 5 3)
2 2 𝑎2 𝑏12 𝑐 −10
1
2 −1 −3
𝟐 𝟑
9) (3𝑥 4 + 5𝑦 3 )(3𝑥 4 − 5𝑦 3 ) 375𝑥 −2 𝑦 3 𝑧 4
𝟒) [(𝟑𝒎𝟐𝒏𝟒 ) ] 14) [( ) ]
7
−11 − −2
3𝑥 𝑦 𝑧 3
2 0
1 1 −3
−𝟐 5
𝟒−𝟑 𝒎−𝟏 𝒏−𝟑 3 1 7 2 36𝑥 2 𝑦 3 4𝑧 −3
𝟓) ( ) 10) (2𝑎2 𝑏2 + 5𝑏 2 ) 15) ( ) ( 4)
𝟐−𝟔 𝒎−𝟐 𝒏−𝟐 2
9𝑦 −3 8𝑥 5 𝑧 3
[ ]
¡Lo has logrado! Culminamos el Tema 3.
23
TEMA 4. LA RADICACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

La raíz enésima de un número 𝑎 es otro número 𝑏 que elevado a la potencia 𝑛 da como
resultado 𝑎.
 Repasemos las propiedades de los radicales

𝑛
√𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑏𝑛 = 𝑎

𝒏 𝒏 𝒏 𝒏 𝒌𝒏

𝒏
√𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = √𝒂 ∙ √𝒃 ∙ √𝒄 √𝒂𝒎 = √𝒂𝒌𝒎
𝒏 𝑛
𝒏 𝒂 √𝒂
 √𝒃 =
𝑘 𝑚
 √𝑎𝑚 = √𝑎 𝑘
𝒏 𝑛
√𝒃
𝒎 𝑚
 ( 𝒏√𝒂) = 𝒏√𝒂𝒎 
𝑛
√𝑎𝑚 = 𝑎 𝑛
𝒎 𝒏
 √ √𝒂 = 𝒎𝒏√𝒂
Estas propiedades son fundamentales para facilitar el proceso de solución de las

expresiones algebraicas con radicales, tanto en la extracción como en la introducción de
factores al radical y en la simplificación.
 Observemos los siguientes ejemplos de simplificación de radicales con

expresiones algebraicas:
3 3 3
1) √8𝑎3 𝑏6 𝑐 8 = √23 𝑎3 𝑏6 𝑐 6 𝑐 2 = 2𝑎𝑏2 𝑐 2 √𝑐 2
5 5
5𝑥 4 − 𝑥 3 5 𝑥 3 (𝑥 − 1) 5 𝑥 − 1 √𝑥 − 1 √𝑥 − 1
2) √ =√ =√ 5 = 5 =
32𝑥 3 25 𝑥 3 2 √25 2
4 4 4 4
3) √81𝑥 2 𝑦 6 = √34 𝑥 2 𝑦 4 𝑦 2 = 3𝑦√𝑥 2 𝑦 2 = 3𝑦√(𝑥𝑦)2 = 3𝑦√𝑥𝑦
72𝑥 5 𝑦 3 𝑧
4) √ = √24𝑥 2 𝑦 2 𝑧 = 2𝑥𝑦√6𝑧
3𝑥 3 𝑦
5) √25𝑎4 + 30𝑎2 𝑏 + 9𝑏2 = √(5𝑎2 + 3𝑏)2 = 5𝑎2 + 3𝑏
24
6 6 3
6) √𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = √(𝑥 − 5)2 = √𝑥 − 5
3
7) [√4(𝑥 − 1)] = √[22 (𝑥 − 1)]3 = √26 (𝑥 − 1)3 = 23 (𝑥 − 1)√𝑥 − 1
= 8(𝑥 − 1)√𝑥 − 1
3
36𝑥 7 𝑦 3
6
6
3
6
8) [√ 5 2 ] = [√18𝑥 2 𝑦] = √(18𝑥 2 𝑦)3 = √18𝑥 2 𝑦 = 3𝑥√2𝑦
2𝑥 𝑦
3 6 6 3
9) √√729𝑚8 𝑛10 = √36 𝑚6 𝑚2 𝑛6 𝑛4 = 3𝑚𝑛 √𝑚2 𝑛4 = 3𝑚𝑛 √𝑚𝑛2
8
2
8 8
10) [ √16𝑎6 𝑏2 𝑐 8 ] = √(24 𝑎6 𝑏2 𝑐 8 )2 = √(22 𝑎3 𝑏𝑐 4 )4 = √22 𝑎3 𝑏𝑐 4 = 2𝑎𝑐 2 √𝑎𝑏
ACTIVIDAD N°4.1
I-Simplifica los siguientes radicales con expresiones algebraicas.
5 11 3
1) √100𝑎3 𝑏4 𝑐 2 6) [ √𝑎 + 𝑏] 11) √108(𝑎 + 𝑏)4
4 4
2) √24𝑥 5 𝑦12 7) √16(𝑚 + 𝑛)3 12) √48𝑎6 𝑏2
3 27𝑎 6 𝑏 2 3 500𝑥 9 𝑦 11 4
6
3) √ 8) √ 13) [ √8𝑥 2 𝑦]
64𝑐 3 2𝑥 6 𝑦10
6 1 3
4) √128𝑚 3 𝑛12 9) √√ 14) √ √128𝑥 7 𝑦 6
81𝑥 4
4 6 2
5) √𝑥 2 + 6𝑥 + 9 10) [ √375𝑎4 𝑏3 ] 15) √12𝑚𝑛2 + 20𝑛3
25
 Observemos los siguientes ejemplos de introducción de un factor a un

radical.
Para introducir un factor en un radical, debemos multiplicar el exponente del factor externo
por el índice del radical y la potencia resultante multiplica la base del radical, es decir:
𝒏 𝒏
𝒂𝒎 √𝒃 = √𝒂𝒎𝒏 𝒃
Note que: si se pueden extraer factores de un radical, también se pueden introducir.
1) 3𝑥 √𝑦 = √32 𝑥 2 𝑦 = √9𝑥 2 𝑦
4 4
2) 𝑥 2 𝑦 √𝑦 3 𝑧 2 = √𝑥 8 𝑦 7 𝑧 2
3) 2(𝑎 + 𝑏)√3 = √22 ∙ 3(𝑎 + 𝑏)2 = √12(𝑎 + 𝑏)2
3 1 3 (𝑚 − 𝑛)3
3
4) (𝑚 − 𝑛) √ =√ = √(𝑚 − 𝑛)2
𝑚−𝑛 𝑚−𝑛
3 4 𝑥 3 4 34 𝑥 3 4 3
5) √ =√ =√ 5
𝑥 2 27 33 𝑥 8 𝑥
1 (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) 𝑥+5
6) √𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = √ 2
=√
𝑥−2 (𝑥 − 2) 𝑥−2
3 2 3 2(𝑥 + 𝑦 )3
3
7) (𝑥 + 𝑦) √ 2 = √ = √2(𝑥 + 𝑦) = 3√2𝑥 + 2𝑦
𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦)2
√(3𝑥 2 + 3𝑥 − 60) 3(𝑥 2 + 𝑥 − 20) 3(𝑥 + 5)(𝑥 − 4) 3(𝑥 + 5) 3𝑥 + 15

8) =√ = √ = √ = √
𝑥−4 (𝑥 − 4)2 (𝑥 − 4)2 (𝑥 − 4) 𝑥−4
3 (𝑚 − 3) 2 3 (𝑚 + 3) 3 (𝑚 − 3)2 3 [(𝑚 + 3)(𝑚 − 3)] 2 (𝑚 + 3)

3
9) (𝑚 + 3) √ =√ =√ = √(𝑚 2 − 9)2
𝑚+3 𝑚+3 𝑚+3
𝑥 2 − 4𝑥 + 16 (𝑥 + 4)2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 16) (𝑥 + 4)(𝑥 3 + 64)

10) (𝑥 + 4)√ =√ =√ = √𝑥 3 + 64
𝑥+4 𝑥+4 𝑥+4
26
ACTIVIDAD N°4.2
I-Introduzca en el radical el factor externo.
√𝑚 2 − 1 3𝑛 𝑚
1) 5𝑥√2𝑦 6) 11) √
𝑚+1 𝑚 18𝑛3
𝟑 𝟐𝒂 𝟑 𝒂 𝒚𝒛𝟐 𝟓 𝟐𝟐𝟒𝒙𝟕
𝟐) 𝒎𝒏 √𝟑𝒎𝟐 𝟕) √ 𝟏𝟐) √ 𝟒 𝟗
𝟑𝒃 𝟑𝒃𝟐 𝟐𝒙 𝒚 𝒛
𝟑 𝟓 1 𝑥 2 + 2𝑥 + 4
𝟑) √𝟒𝒙𝟒 𝒚𝟏𝟏 𝒛 8) √𝑥 2 + 3𝑥 + 2 13) (𝑥 − 2)√
𝒙𝒚𝟐 𝑥+2 𝑥2 − 4
𝟒 𝑎−𝑏 1
𝟒) 𝒂𝟐 𝒃 √𝒂𝒃𝟐 9) (𝑎 + 𝑏)√ 14) (𝑥 + 7)√ 2
𝑎+𝑏 𝑥 + 8𝑥 + 7
3 𝑥2 − 9
𝟓) 𝟐𝒙 𝟒√𝒙 + 𝒚 10) 2(𝑥 − 𝑦)√(𝑥 + 𝑦)2 15) 2𝑥 √
4(𝑥 + 3)
¡Muy bien! Ha culminado el Tema 4
27
TEMA 5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
 Ecuación de segundo grado.

Es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es
2. Así, las ecuaciones 3𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 0; −𝑥 2 + 5𝑥 = 0; 4𝑥 2 − 25 = 0 son ecuación
de segundo grado.
 Ecuaciones Completas de segundo grado.
Son ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Así, 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = 0 𝑦 3𝑥 2 − 𝑥 = 2 son ecuaciones completas de segundo grado.
 Ecuaciones Incompletas de segundo grado.
Son ecuaciones de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0 o 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0. Así, 𝑥 2 − 9 = 0 𝑦 3𝑥 2 +
5𝑥 = 0 son ecuaciones incompletas de segundo grado.
 Solución de una Ecuación Cuadrática.
Resolver una ecuación cuadrática es hallar el valor de la incógnita que satisfacen la
ecuación, es decir, los valores de 𝑥 que hacen que 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. A estos valores
se les llama solución o raíces de la ecuación y como la ecuación es de segundo grado,
tiene dos raíces iguales o diferentes según sea el caso. Así, las raíces de la ecuación
𝑥 2 + 3𝑥 − 28 = 0 son 𝑥1 = −7 𝑦 𝑥2 = 4; ambos valores satisfacen la ecuación.
 Solución de una ecuación incompleta
A. Ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 − 16 = 0.

Solución:
𝑥 2 − 16 = 0
𝑥 2 = 16 despejando x
√𝑥 2 =√16 extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros
𝑥 = ±4
𝑥1 = +4 y 𝑥2 = −4
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 = 64.

Solución:
𝑥 2 = 64
𝑥 = ±√64 extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros
𝑥 = ±8
28
Ejemplo 3: Hallar las raíces de la ecuación 4𝑥 2 − 9 = 0.

Solución:
4𝑥 2 − 9 = 0
4𝑥 2 = 9
9
𝑥2 =
4
9
3
𝑥=±
2
Ejemplo 4: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 = 9.

Solución:
𝑥2 = 9
𝑥 = ±3
Ejemplo 5: Hallar las raíces de la ecuación 9𝑥 2 − 25 = 0.

Solución:
9𝑥 2 − 25 = 0
9𝑥 2 = 25
25
𝑥2 =
9
25
𝑥 = ±√ 9 extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros
5
𝑥=±
3
B. Ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 7𝑥 = 0.
Solución:
𝑥 2 + 7𝑥 = 0 luego factorizando,
𝑥 (𝑥 + 7) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥 = 0 ; 𝑥 + 7 = 0 las raíces de la ecuación son:
𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −7
29
Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 = 𝑥.

Solución:
𝑥2 = 𝑥 pasamos al primer miembro la x
𝑥2 − 𝑥 = 0 luego factorizando,
𝑥 (𝑥 − 1) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥 =0; 𝑥−1 =0 las raíces de la ecuación son:
𝑥=0 𝑦 𝑥=1
Ejemplo 3: Hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 4𝑥 = 0.

Solución:
𝑥 2 + 4𝑥 = 0 luego factorizando,
𝑥 (𝑥 + 4) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥 = 0 ; 𝑥 + 4 = 0 las raíces de la ecuación son:
𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = −4
Ejemplo 4: Hallar las raíces de la ecuación 5𝑥 2 − 3𝑥 = 0.

Solución:
5𝑥 2 − 3𝑥 = 0 luego factorizando,
𝑥(5𝑥 − 3) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥 = 0 ; 5𝑥 − 3 = 0 las raíces de la ecuación son:
3
𝑥=0 𝑦 𝑥=
5
Ejemplo 5: Hallar las raíces de la ecuación 6𝑥 2 = −2𝑥.
Solución:
6𝑥 2 = −2𝑥 pasamos al primer miembro -2x
2
6𝑥 + 2𝑥 = 0 luego factorizando,
2𝑥(3𝑥 + 1) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
2𝑥 = 0 ; 3𝑥 + 1 = 0
0
𝑥 = 2 ; 3𝑥 = −1 las raíces de la ecuación son:
1
𝑥=0 𝑦 𝑥=−
3
Ejemplo 6: Hallar las raíces de la ecuación 4𝑥 2 = 12𝑥.

Solución:
4𝑥 2 = 12𝑥
4𝑥 2 − 12𝑥 = 0 luego factorizando,
4𝑥(𝑥 − 3) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
4𝑥 = 0 ; 𝑥 − 3 = 0
0
𝑥= ; 𝑥=3 las raíces de la ecuación son:
4
𝑥=0 𝑦 𝑥=3
30
ACTIVIDAD N°5.1
I – Determine las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas de la

forma 𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0, utilizando el método de factorización.
1. 𝑥2 − 1 = 0 𝑥 = ±1
2. 𝑥2 − 4 = 0 𝑥 = ±2
3. 𝑥 2 = 25 𝑥 = ±5
4. 𝑥 2 − 100 = 0 𝑥 = ±10
5. 𝑥 2 − 36 = 0 𝑥 = ±6
6. 𝑥 2 = 64 𝑥 = ±8
7. 𝑥 2 − 16 = 0 𝑥 = ±4
8. 𝑥 2 − 169 = 0 𝑥 = ±13
9. 𝑥 2 = 49 𝑥 = ±7
10. 𝑥2 − 9 = 0 𝑥 = ±3
11. 𝑥 2 − 144 = 0 𝑥 = ±12
12. 4𝑥 2 = 81 𝑥 = ± 9⁄ 2
13. 25𝑥 2 − 64 = 0 𝑥 = ± 8⁄ 5
14. 9𝑥 2 − 100 = 0 𝑥 = ± 10⁄3
15. 4𝑥 2 = 49 𝑥 = ± 7⁄ 2
31
II - Determine las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas de la

forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0, utilizando el método de factorización.
1. 𝑥 2 + 6𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = −6
2. 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 2
3. 𝑥 2 = −5𝑥 𝑥 = 0; 𝑥 = −5
4. 𝑥 2 + 7𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = −7
5. 𝑥 2 − 8𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 8
6. 𝑥 2 = 10𝑥 𝑥 = 0; 𝑥 = 10
7. 𝑥2 + 𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = −1
8. 3𝑥 2 − 6𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 2
9. 𝑥 = 𝑥2 𝑥 = 0; 𝑥 = 1
10. 3𝑥 2 − 18𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 6
11. 4𝑥 2 − 2𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 1/2
12. 5𝑥 2 = −10𝑥 𝑥 = 0; 𝑥 = −2
13. 3𝑥 2 + 𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = −1/3
14. 2𝑥 2 − 14𝑥 = 0 𝑥 = 0; 𝑥 = 7
15. 6𝑥 2 = 54𝑥 𝑥 = 0; 𝑥 = 9
32
 Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado completas

B. Ecuación de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
I. Método de Factorización
Ejemplo 1: resolver la ecuación 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = 0.
Solución:
𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = 0 luego factorizando,
(𝑥 + 5)(𝑥 + 3) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥+5= 0; 𝑥+3 =0 las raíces de la ecuación son:
𝑥 = −5 𝑦 𝑥 = −3
Ejemplo 2: resolver la ecuación 𝑥 2 + 3𝑥 − 28 = 0.

Solución:
𝑥 2 + 3𝑥 − 28 = 0 luego factorizando,
(𝑥 + 7)(𝑥 − 4) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥+7= 0; 𝑥−4 =0 las raíces de la ecuación son:
𝑥 = −7 𝑦 𝑥 = 4
Ejemplo 3: resolver la ecuación 𝑥 2 − 13𝑥 + 36 = 0.

Solución:
𝑥 2 − 13𝑥 + 36 = 0 luego factorizando,
(𝑥 − 9)(𝑥 − 4) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥−9= 0; 𝑥−4 =0 las raíces de la ecuación son:
𝑥=9 𝑦 𝑥=4
Ejemplo 4: resolver la ecuación 2𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0.

Solución:
2𝑥 2 − 𝑥 − 6 = 0 luego factorizando,
(2𝑥 )2 − (2𝑥 ) − 12
=0
2
(2𝑥 − 4)(2𝑥 + 3)
=0
2
2(𝑥 − 2)(2𝑥 + 3)
=0
2
33
(𝑥 − 2)(2𝑥 + 3) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥−2=0; 2𝑥 + 3 = 0 las raíces de la ecuación son:
3
𝑥=2 𝑦 𝑥=−
2
Ejemplo 5: resolver la ecuación 3𝑥 2 − 11𝑥 + 10 = 0.
Solución:
3𝑥 2 − 11𝑥 + 10 = 0 luego factorizando,
(3𝑥 )2 − 11(3𝑥) + 30
=0
3
(3𝑥 − 6)(3𝑥 − 5)
=0
3
3(𝑥 − 2)(3𝑥 − 5)
=0
3
(𝑥 − 2)(3𝑥 − 5) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
𝑥−2=0; 3𝑥 − 5 = 0 las raíces de la ecuación son:

5
𝑥=2 𝑦 𝑥=
3
Ejemplo 6: resolver la ecuación 8𝑥 2 + 2𝑥 − 21 = 0.
Solución:
8𝑥 2 + 2𝑥 − 21 = 0 luego factorizando,
(8𝑥 )2 + 2(8𝑥 ) − 168
=0
8
(8𝑥 + 14)(8𝑥 − 12)
=0
8
2(4𝑥 + 7)4(2𝑥 − 3)
=0
8
(4𝑥 + 7)(2𝑥 − 3) = 0 igualando cada factor a cero tenemos:
4𝑥 + 7 = 0 ; 2𝑥 − 3 = 0
4𝑥 = −7; 2𝑥 = 3 las raíces de la ecuación son:
7 3
𝑥=− 𝑦 𝑥=
4 2
34
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
II. Método de Fórmula Cuadrática o Fórmula General 𝑥=
2𝑎
Este método consiste en que, dada una ecuación de segundo grado, se debe sustituir los
valores de los coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 en la formula general para obtener las dos raíces de la
ecuación.
Ejemplo 1: resolver la ecuación 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0.

Solución
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝑎 = 1 , 𝑏 = 3 , 𝑐 = −10 Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
−(3) ± √(3)2 − 4(1)(−10)
𝑥=
2(1)
−3 ± √9 + 40
𝑥=
2
−3 ± √49
𝑥=
2
−3 ± 7
𝑥=
2
−3 + 7 −3 − 7
𝑥1 = ; 𝑥2 =
2 2
4 10
𝑥1 = ; 𝑥2 = −
2 2
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −5
Ejemplo 2: hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 − 2𝑥 − 48 = 0.

Solución
𝑥 2 − 2𝑥 − 48 = 0
𝑎 = 1 , 𝑏 = −2 , 𝑐 = −48 Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−48)
𝑥=
2 (1)
2 ± √4 + 192
𝑥=
2
2 ± √196
𝑥=
2
35
2 ± 14
𝑥=
2
2 + 14 2 − 14
𝑥1 = ; 𝑥2 =
2 2
16 12
𝑥1 = ; 𝑥2 = −
2 2
𝑥1 = 8 ; 𝑥2 = −6

Solución
3𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
𝑎 = 3 , 𝑏 = −7 , 𝑐 = 2 Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
−(−7) ± √(−7)2 − 4(3)(2)
𝑥=
2(3)
7 ± √49 − 24
𝑥=
6
7 ± √25
𝑥=
6
7+5 7−5
𝑥1 = ; 𝑥2 =
6 6
12 2
𝑥1 = ; 𝑥2 =
6 6
1
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 =
3

Solución
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
𝑎 = 1 , 𝑏 = −6 , 𝑐 = 9 Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(9)
𝑥=
2(1)
6 ± √36 − 36
𝑥=
2
6±0
𝑥=
2
36
6
𝑥=
2
𝑥=3
Entonces 𝑥 tiene un solo valor y es 3; las dos raíces son iguales. 𝑥1 = 𝑥2 = 3.
Ejemplo 5: hallar las raíces de la ecuación 2𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0.

Solución
2𝑥 2 + 5𝑥 + 3 = 0
𝑎 = 2 , 𝑏 = 5 , 𝑐 = 3 Sustituyendo estos valores en la fórmula general tenemos:
−(5) ± √(5)2 − 4(2)(3)
𝑥=
2 (2)
−5 ± √25 − 24
𝑥=
4
−5 ± √1
𝑥=
4
−5 ± 1
𝑥=
4
−5 + 1 −5 − 1
𝑥1 = ; 𝑥2 =
4 4
−4 −6
𝑥1 = ; 𝑥2 =
4 4
3
𝑥1 = −1 ; 𝑥2 = −
2
III. Método de Completar Cuadrado

Para aplicar el método de completar el cuadrado a una ecuación de la forma
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, es necesario que el coeficiente 𝑎 = 1.
Ejemplo 1: hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 4𝑥 − 45 = 0.

Solución
𝑥 2 + 4𝑥 − 45 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
4 2 4 2
𝑥 2 + 4𝑥 + (2) = (2) + 45
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 4 + 45 luego factorizando,
(𝑥 + 2)2 = 49
37
𝑥 + 2 = ±√49
𝑥 = −2 ± 7
𝑥1 = −2 + 7 𝑦 𝑥2 = −2 − 7
𝑥1 = 5 𝑦 𝑥2 = −9
Ejemplo 2: hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 0.

Solución:
𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
6 2 6 2
𝑥 2 − 6𝑥 + (2) = (2) + 7
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 9 + 7 luego factorizando,
(𝑥 − 3)2 = 16 al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros
tenemos:
𝑥 − 3 = ±√16
𝑥 = 3 ± √16
𝑥1 = 3 + 4 𝑦 𝑥2 = 3 − 4
𝑥1 = 7 𝑦 𝑥2 = −1

Solución
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
7 2 7 2
𝑥 2 − 7𝑥 + (2) = (2) − 12 luego factorizando,
7 2 49
(𝑥 − ) = − 12
2 4
7 2 1
(𝑥 − 2) = 4 al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
7 1
𝑥− = ±√
2 4
7 1
𝑥= ±
2 2
38
7 1 7 1
𝑥1 = + 𝑦 𝑥2 = −
2 2 2 2
𝑥1 = 4 𝑦 𝑥2 = 3
Ejemplo 4: resolver la ecuación 3𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0.

Solución
3𝑥 2 − 2𝑥 − 8 = 0
Dividiendo entre tres cada término de la ecuación tenemos:
2 8
𝑥2 − 3 𝑥 − 3 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
2 1 2 1 2 8
𝑥 2 − 3 𝑥 + (3) = (3) + 3
2 1 2 1 8
𝑥 2 − 3 𝑥 + (3) = 9 + 3 factorizamos,
1 2 25
(𝑥 − 3) = al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
9
1 25
𝑥− = ±√
3 9
1 5
𝑥= ±
3 3
1 5 1 5
𝑥1 = + ; 𝑥2 = −
3 3 3 3
4
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −
3

Solución
5𝑥 2 − 7𝑥 + 2 = 0
Dividiendo cada término de la ecuación entre cinco, tenemos:
7 2
𝑥2 − 5 𝑥 + 5 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
7 7 2 7 2 2
𝑥 2 − 5 𝑥 + (10) = (10) − 5 factorizamos,
7 2 49 2
(𝑥 − ) = −
10 100 5
39
7 2 9
(𝑥 − 10) = 100 al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
7 9
𝑥− = ±√
10 100
7 3
𝑥= ±
10 10
7 3 7 3
𝑥1 = + ; 𝑥2 = −
10 10 10 10
2
𝑥1 = 1 ; 𝑥2 =
5
Ejemplo 6: hallar las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0.

Solución
𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0 completando el cuadrado tenemos que:
4 2 4 2
𝑥 2 + 4𝑥 + (2) = (2) + 5
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 4 + 5 factorizamos,
(𝑥 + 2)2 = 9 al extraer la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:
𝑥 + 2 = ±√9
𝑥 = −2 ± 3
𝑥1 = −2 + 3 𝑦 𝑥2 = −2 − 3
𝑥1 = 1 𝑦 𝑥2 = −5
ACTIVIDAD N°5.2
I- Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por el método indicado.
I. Método Factorización
1. 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0 𝑥1 = −5 ; 𝑥2 = 2
2. 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 1
40
3. 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = 0 𝑥1 = 6 ; 𝑥2 = 3
4. 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0 𝑥1 = 4 ; 𝑥2 = 2
5. 𝑥 2 + 6𝑥 − 7 = 0 𝑥1 = −7 ; 𝑥2 = 1
6. 2𝑥 2 − 5𝑥 − 42 = 0 𝑥1 = −7/2 ; 𝑥2 = 6
7. 𝑥 2 − 𝑥 − 20 = 0 𝑥1 = −4 ; 𝑥2 = 5
8. 4𝑥 2 − 13𝑥 + 10 = 0 𝑥1 = 5/4 ; 𝑥2 = 2
9. 𝑥 2 + 14𝑥 + 48 = 0 𝑥1 = −8 ; 𝑥2 = −6
10. 6𝑥 2 + 11𝑥 + 4 = 0 𝑥1 = −4/3 ; 𝑥2 = −1/2
11. 𝑥 2 − 3𝑥 − 70 = 0 𝑥1 = 10 ; 𝑥2 = −7
12. 𝑥 2 − 9𝑥 + 20 = 0 𝑥1 = 5 ; 𝑥2 = 4
13. 15𝑥 2 − 4𝑥 − 32 = 0 𝑥1 = −4/3 ; 𝑥2 = 8/5
14. 𝑥 2 + 14𝑥 + 33 = 0 𝑥1 = −11 ; 𝑥2 = −3
15. 𝑥 2 − 10𝑥 − 24 = 0 𝑥1 = 12 ; 𝑥2 = −2
41
II. Método de Fórmula General
1. 𝑥 2 − 16𝑥 + 63 = 0 𝑥1 = 9 ; 𝑥2 = 7
2. 𝑥 2 + 11𝑥 + 24 = 0 𝑥1 = −8 ; 𝑥2 = −3
3. 𝑥 2 − 𝑥 − 20 = 0 𝑥1 = 5 ; 𝑥2 = −4
4. 𝑥 2 + 15𝑥 + 56 = 0 𝑥1 = −8 ; 𝑥2 = −7
5. 𝑥 2 − 5𝑥 − 6 = 0 𝑥1 = 6 ; 𝑥2 = −1
6. 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 𝑥1 = 4 ; 𝑥2 = 3
7. 𝑥 2 + 12𝑥 + 20 = 0 𝑥1 = −10 ; 𝑥2 = −2
8. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −1
9. 𝑥 2 − 18𝑥 + 77 = 0 𝑥1 = 11 ; 𝑥2 = 7
10. 3𝑥 2 + 17𝑥 + 10 = 0 𝑥1 = − 2⁄3 ; 𝑥2 = −5
11. 2𝑥 2 + 𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = − 3⁄2 ; 𝑥2 = 1
12. 4𝑥 2 − 11𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = − 1⁄4 ; 𝑥2 = 3
13. 𝑥 2 − 20𝑥 + 96 = 0 𝑥1 = 12 ; 𝑥2 = 8
14. 2𝑥 2 − 13𝑥 − 7 = 0 𝑥1 = − 1⁄2 ; 𝑥2 = 7
15. 6𝑥 2 − 31𝑥 + 35 = 0 𝑥1 = 5⁄3 ; 𝑥 2 = 7⁄ 2
42
III. Método de Completar Cuadrado
1. 𝑥 2 − 8𝑥 − 9 = 0 𝑥1 = 9 ; 𝑥2 = −1
2. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝒙 − 𝟒𝟐 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟏 ; 𝒙𝟐 = −𝟐𝟏
3. 𝑥 2 − 4𝑥 − 32 = 0 𝑥1 = 8 ; 𝑥2 = −4
4. 𝑥 2 − 9𝑥 + 18 = 0 𝑥1 = 6 ; 𝑥2 = 3
5. 𝑥 2 + 2𝑥 − 35 = 0 𝑥1 = −7 ; 𝑥2 = 5
6. 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 𝑥1 = 4 ; 𝑥2 = 3
7. 3𝑥 2 − 5𝑥 − 2 = 0 𝑥1 = − 1⁄3 ; 𝑥2 = 2
8. 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = −1
9. 2𝑥 2 − 21𝑥 + 54 = 0 𝑥1 = 9⁄2 ; 𝑥2 = 6
10. 4𝑥 2 + 7𝑥 − 15 = 0 𝑥1 = 5⁄4 ; 𝑥2 = −3
11. 𝑥 2 − 6𝑥 − 40 = 0 𝑥1 = 10 ; 𝑥2 = −4
12. 4𝑥 2 − 11𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = − 1⁄4 ; 𝑥2 = 3
13. 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 1
14. 6𝑥 2 − 7𝑥 − 3 = 0 𝑥1 = − 1⁄3 ; 𝑥 2 = 3⁄2
15. 3𝑥 2 − 25𝑥 + 28 = 0 𝑥1 = 4⁄3 ; 𝑥2 = 7
43
II- Completa las casillas con la información solicitada
APLICAMOS LO APRENDIDO ¡Adelante!

Clasificación Coloque los valores de los
(Coloque un gancho ) coeficientes
Ecuación Cuadrática
Completas Incompletas a b c
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟕 = 𝟎
𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 = 𝟎
𝟒𝒚 − 𝟑 + 𝟓𝒚𝟐 = 𝟎
𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎
𝟖𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 = – 𝟓
Base Exponente Potencia
−𝟐 𝟒
𝟑 𝟏𝟐𝟓
𝟒 𝟒𝟎𝟗𝟔
−𝟖 𝟏
𝟐 𝟒𝟎𝟎
𝟑 𝟏
¡EXCELENTE! Ha culminado el Tema 5.
44
TEMA 6. RAZÓN Y PROPORCIÓN

SABÍAS QUE..
 Concepto de razón y proporción
El estudio de las razones y
 Razón proporciones se inicia
como solución de
Una razón es una comparación entre dos o más
problemas de repartos
cantidades. Puede expresarse mediante una fracción.
proporcionales, el cobro
Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre
ellas se escribe como: de impuestos, el cambio
de moneda y también
𝒂 aspectos geométricos
𝒂: 𝒃, 𝒂⁄𝒃 ó 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒆 "𝒂 𝒆𝒔 𝒂 𝒃" relacionados con la
𝒃
medición y semejanza de
Donde “a”, es el antecedente y “b” es el figuras utilizadas para la
consecuente. construcción de edificios
templos.
Ejemplo 1: en una sala de clases hay 10 mujeres y 20
hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el
número de mujeres y el número de hombres?
Solución:
La relación entre el número de mujeres y el número

de hombres es de “10 es a 20”.
El término 10 es el antecedente de la razón y el 20, el

consecuente.
𝟏𝟎 → 𝒂𝒏𝒕𝒆𝒄𝒆𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆
𝟐𝟎 → 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒆
El resultado de la división o cociente entre el
antecedente y el consecuente se denomina valor de la
razón:
𝟏𝟎
= 𝟎. 𝟓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏
𝟐𝟎
Que se interpreta como: “por cada mujer hay dos
varones”.
45
 Mapa de conceptos
Es el cociente
indicado entre
Definición
dos cantidades.
Antecedente (a)
𝑎 Partes de
Simbología ó 𝑎: 𝑏 Consecuente (b)
𝑏 una razón
Razón
Magnitudes
Igualdad Directamente
proporcionales
La igualdad de dos
razones se llama Aplicaciones Magnitudes
proporción. Inversamente
Proporcionales
 Aplicación de la razón
Las razones se utilizan en la práctica para determinar cómo está variando una cantidad con
respecto a otra. Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
Ejemplo 2: se compra en una empresa constructora 27 sacos de cemento y 18 sacos de

arena. Halle la razón de mezcla de sacos de cemento en comparación con los sacos de
arena.
Solución:
Los datos son los siguientes:
 Saco de cemento 27
 Saco de arena: 18
Luego,
27 3
27 ∶ 18 = =
18 2
3 ∶ 2 ¨3 𝑒𝑠 𝑎 2¨
Por cada 3 sacos de cemento se deben mezclar 2 sacos de arena.
46
Ejemplo 3: en un colegio hay 300 señoritas y 200 varones. Determine las siguientes razones.
a) Razón entre las señoritas y el total de alumnos.
b) Razón entre los varones y el total de alumnos.
Solución:
La cantidad total de alumno es 500:
a) Razón entre las señoritas y el total de alumnos es:

300 3
=
500 5
b) Razón entre los varones y el total de alumnos es:

200 2
=
500 5
Ejemplo 4: En un parqueadero de un centro comercial hay 160 automóviles y 80 motos.

Determine las siguientes razones.
a) Razón entre el número de motos y los automóviles.
b) Razón entre el número de automóviles y el número total de vehículos.
c) Razón entre el número de motos y el número total de vehículos.
Solución
a) La razón entre el número de motos y los automóviles es: por cada moto hay 2 autos.
80 1
=
160 2
b) La razón entre el número de automóviles y el número total de vehículos es: por cada 2
autos hay 3 vehículos.
160 2
=
240 3
c) La razón entre el número de motos y el número total de vehículos es: por cada moto hay
tres vehículos.
80 1
=
240 3
47
ACTIVIDAD N°6.1
Instrucciones: Identifique 12 palabra escondidas entre el conjunto de letras del recuadro,

las palabras son relativas a la temática razón y proporción.
Antecedente Comparación Razón Inversa

Directa Numero Cociente Compuesta
Consecuente Igualdad Magnitud Proporción
48
 Proporción
Una proporción es una igualdad entre dos razones; El símbolo de razón es : : y se lee ¨como¨
y representa un igual. Los términos de una proporción son los extremos y los medios.
 Simbología
𝐚/𝐛 = 𝐜⁄𝐝 ó 𝒂: 𝒃 ∶∶ 𝒄: 𝒅
𝐬𝐞 𝐥𝐞𝐞 "𝐚 𝐞𝐬 𝐚 𝐛" 𝐜𝐨𝐦𝐨 "𝐜 𝐞𝐬 𝐚 𝐝"
 Partes de una proporción
 Propiedad fundamental
En toda proporción se cumple que el producto de los medios es igual al de los extremos.
Para demostrar que dos razones forman una proporción debe cumplir que las razones sean
equivalentes. Este principio se conoce como propiedad fundamental de las proporciones.
¨En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios¨.
Si tenemos la proporción:
𝟑 𝟏𝟓
=
𝟒 𝟐𝟎
Y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda: 3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como
proporción lo son verdaderamente.
49
 Propiedad de los Extremos y Medios de las Proporciones.
De la propiedad fundamental de las proporciones se desprenden dos propiedades más:

 En toda proporción un extremo es igual al producto de los medios dividido entre
el otro extremo.
 En toda proporción un medio es igual al producto de los medios dividido entre
el otro medio.
𝟐 𝟓
Ejemplo 1: Dada la siguiente proporción = , determine el valor de x.
𝟒 𝐱
Solución: Multiplicando en forma de cruz por las propiedades tenemos:
2𝑥 = (5) ⋅ (4)
20
𝑥=
2
𝑥 = 10
Ejemplo 2: Dada la siguiente proporción 𝟐𝟎 ∶ 𝟏𝟎 ∷ 𝒙 ∶ 𝟔 , determine el valor de x.
Solución:
10𝑥 = (20)(6)
120
𝑥=
10
𝑥 = 12
Ejemplo 3: Dada la siguiente proporción 7 ∶ 6 ∷ 56 ∶ 𝑥 , determine el valor de x.
Solución:
7𝑥 = (56)(6)
336
𝑥=
7
𝑥 = 48
Ejemplos 4: Dada las siguientes proporciones, determine el valor de x.

𝑛 8
a) =5
2,5
5 𝑏
b) =
120 3
50
Solución:
𝑎) 5 ∙ 𝑛 = (2,5) (8) 𝑏) 5 ∙ 3 = 120 ∙ 𝑏
(2,5)(8) 5∙3
𝑛= 𝑏=
5 120
𝑛=4 15
𝑏=
120
1
𝑏=
8
 Aplicaciones de las proporciones
Magnitud: propiedad o cualidad medible de un cuerpo:

longitud, capacidad, masa, tiempo, entre otros.
Magnitudes directamente proporcionales.

 Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o
dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el
mismo número.
 Poseen una constante de proporcionalidad directa.
Aplique sus conocimientos:

 Si para empaquetar 720 huevos se necesitan 20 cajas, ¿Cuántas cajas se
necesitan para 2160 huevos?.
Solución:
Note que,
¿Cuántas cajas se necesitan para
Huevos Cajas
3600 huevos? Resuelva aquí ↙
720 20
2160 x
720 20
=
2160 𝑥
720 ∙ 𝑥 = 20 ∙ 2160
20 ∙ 2160
𝑥=
720
Resp.: 100 cajas
𝑥 = 60
51
 Un automóvil recorrió 272 kilómetros en 4 horas y 15 minutos ¿cuántos

kilómetros recorrió en una hora?
Recorrido Horas ¿Cuántos kilómetros recorrió en dos

272 km 4 horas 15 minutos horas? Resuelva aquí ↙
x 1 hora
Solución:
Se convierte 4 horas y 15 minutos =4,25 h.
272 𝑘𝑚 4,25 ℎ
=
𝑥 1ℎ
272 𝑘𝑚 ∙ 1 ℎ = 𝑥 ∙ 4,25 ℎ
272 𝑘𝑚 ∙ 1 ℎ
𝑥=
4,25 ℎ
R: 128 km
𝑥 = 64 km
Magnitudes Inversamente Proporcionales

 Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una por un
número, la otra queda dividida por el mismo número.
Aplique sus conocimientos:
 Una persona tiene 30 vacas y tiene alimento para 16 días. Si vende 18 vacas
¿Cuántos días puede alimentar las vacas que le quedan?
Vacas Tiempo/alimento
30 16 días Y si vende 2 vacas más, ¿Cuántos días
12 x puede alimentar las vacas que le
quedan? Resuelva aquí ↙
Solución:
30 𝑥
= invierte
12 16
30 ∙ 16 = 12 ∙ 𝑥
30 ∙ 16
𝑥=
12
𝑥 = 40 días R: 48 días
52
ACTIVIDAD N°6.2
I- Establezca la razón en las siguientes situaciones que se describen a continuación.
1. En un curso de música se matriculan 16 niñas y 14 niños. Determinar la razón de
niñas a niños.
2. Un pastelero utiliza cinco tazas de harina y 10 paquetes de polvo para hornear al
hacer un pastel mediano. ¿En qué razón el pastelero combina la harina con respecto
al polvo para hornear?
3. El colegio organiza un paseo a la playa y en el bus hay 20 mujeres y 12 hombres.
Determine cuál es la razón de hombres a mujeres.
4. En un salón de clases hay 20 estudiantes, al final del trimestre aprobaron 15
estudiantes y reprobaron 5. ¿Cuál fue la razón de aprobados y reprobados en el
salón?
II- Verifique si las siguientes expresiones son una proporción, en caso contrario explique.
20 5 5 75 17 21
a) = b) = c) =
16 4 3 45 3 34
III- Encontrar el valor del término desconocido en las siguientes proporciones.
a) 2 ∶ 𝑥 ∷ 8 ∶ 24
𝑥 10
b) =
25 2
1
c) 𝑥∶5 ∷ 6∶2
IV-Escribe la razón entre cada par de números.

a) 60 𝑦 40 b) 12 𝑦 4 c) 8 𝑦 32 d) 7 𝑦 70
V- Escribe la razón que representa cada una de las siguientes situaciones.
a) Teresa recibe generalmente B/. 25.00 y su hermana B/.60.00, determine la relación
entre las cantidades de dinero que reciben las dos.
b) Con 10 naranjas se hacen 4 vasos de jugos, ¿cuál es la razón entre naranjas y vasos?
VI- Verifique que el siguiente par de razones forman una proporción utilizando la
propiedad fundamental de las proporciones.
4 8 5 10
a) y b) 15: 5 ∷ 6: 2 d) 9: 2 ∷ 18: 4 e) y
9 18 7 14
VII- Encuentre el término desconocido en las siguientes proporciones, utilice la propiedad
de extremos y medios.
𝑤 4 4 𝑚 4 18
a) =7 b) = 100 c) = e) 𝑥: 3 ∷ 5: 15
21 5 𝑥 9
¡EXCELENTE! Ha culminado el Tema 6.
53
TEMA 7. TANTO POR CIENTO
La palabra por ciento viene del latín “per centum”, que significa por cien, o sea el número
de unidades que se toman de cada cien. El signo que se usa para indicar el por ciento es %.
Se puede considerar el por ciento como un decimal que ocupa el lugar de los centésimos.
Todo por ciento se puede indicar en forma decimal o en forma de fracción con denominador
100. El tanto por ciento o porcentaje es una expresión que indica una parte de un todo.
Ejemplos:
𝟐𝟗
a) Equivale a 29% y se lee veintinueve por ciento.
𝟏𝟎𝟎
𝟔𝟑
b) equivale a 63% y se lee sesenta y tres por ciento.
𝟏𝟎𝟎
 Reducción del tanto por ciento a su forma decimal
Regla: para expresar un tanto por ciento en forma decimal, se suprime o elimina el símbolo
de “%” y se mueve el punto decimal dos lugares hacia la izquierda, o lo que es lo mismo, se
divide entre 100.
Ejemplos:
25
a) 25% = 0,25 También se puede obtener dividiendo entre 100, es decir 25% = = 0,25
100
1.5
b) 1,5% = 0,015 También al dividirlo entre 100, tenemos que 1,5% = = 0,015
100
 Reducción de un decimal a tanto por ciento
Regla: Para convertir un decimal a tanto por ciento, se mueve el punto decimal, dos lugares
hacia a derecha y se coloca el símbolo de %.
Ejemplos:
a) 0,27 = 27%
b) 0,039 = 3,9%
c) 0,845= 84,5%
54
Cálculo del tanto por ciento por medio de la fórmula directa
Los términos o elementos en todo tanto por ciento son:
 La Base (B): es el número o cantidad sobre la cual se va a efectuar la operación para

obtener el por ciento. Fórmula:
𝑇
𝑃=𝐵∙
100
 El tanto por ciento o tasa (T): es el por ciento o número de unidades que se toman de
cada cien. Fórmula:
𝑃(100)
𝐵=
𝑇
1
 El porcentaje (P): es la cantidad que resulta de tomar (un centésimo) de otra
100
cantidad, cierto número de veces. Fórmula:
𝑃(100)
𝑇=
𝐵
Ejemplo 1: El 24% de una ciudad conformada por 5250 habitantes ha contratado el
servicio de TV por cable ¿Cuántos habitantes tienen TV por cable?
Solución:
Datos: B= 5250 T=24%
Luego, reemplazamos en:

𝑇
𝑃=𝐵∙
100
24
𝑃 = 5250 ∙
100
𝑃 = 5250 ∙ 0,24
𝑃 = 1260
De donde 1260 personas han contratado el servicio de TV por cable.

Ejemplo 2: Si en un Colegio de 1245 estudiantes, 315 son graduandos ¿Qué porcentaje de
los estudiantes son graduandos?
55
Solución:
Datos: B=1245 P=315
𝑃(100)
𝑇=
𝐵
315(100)
𝑇=
1245
31500
𝑇=
1245
𝑇 = 25,3%
El 25,3% son estudiantes graduandos
Ejemplo 3: Si 450 libros que representan un 30% de una biblioteca, fueron donados
¿cuántos libros tiene la biblioteca?
Solución:
Datos: P=450 T=30%
𝑃(100)
𝐵=
𝑇
450 (100)
𝐵=
30
45000
𝐵=
30
𝐵 = 1500
La biblioteca tiene 1500 libros
 Regla de tres simple Directa

Cuando las magnitudes que intervienen en el problema son directamente proporcionales.
Pasos
 Nombra la cantidad desconocida con una variable.
 Se elabora una tabla con las magnitudes (esquema).
 Se elaboran las proporciones.
 Finalmente se encuentra el valor de la variable (Propiedad fundamental de las
proporciones).
Regla de tres simple inversa
Cuando las magnitudes que interviene en el problema son magnitudes inversamente
proporcionales.
Pasos
 Se nombra la cantidad desconocida con una variable.
 Se elabora una tabla de cantidades o magnitudes que intervienen.
56
 Se plantea las proporciones de acuerdo con el concepto de magnitudes

inversamente proporcionales.
 Se busca el término desconocido.
Regla de tres compuesta
Pasos
 Se realiza una tabla o esquema con los datos ordenados.

 Se asigna una variable al dato desconocido y se compara con las otras magnitudes
para determinar el tipo de proporcionalidad que hay entre ellas.
 Se plantean las proporciones teniendo en cuenta las propiedades fundamentales
de la proporcionalidad compuesta.
La proporcionalidad compuesta es cuando intervienen más de dos magnitudes.
 Pueden darse tres casos fundamentales, donde surgen tres propiedades

fundamentales.
Magnitud A Magnitud B Magnitud C

m p r
n q t
Caso 1. A es directamente proporcional a B y a C.

𝑚 𝑝 𝑟
= ∙
𝑛 𝑞 𝑡
Caso 2. A es inversamente proporcional a B y a C.

𝑚 𝑞 𝑡
= ∙
𝑛 𝑝 𝑟
Caso 3. A es directamente proporcional a B y A es inversamente

proporcional a C.
𝑚 𝑝 𝑡
= ∙
𝑛 𝑞 𝑟
57
 Cálculo del tanto por ciento por el método de la regla de tres simple
Los problemas de tanto por ciento con regla de tres se resuelven mediante comparaciones,
estableciendo previamente cada una de las unidades.
Ejemplo 1: De qué número es 35 el 4%.
Solución:
Números Porcentajes
35 → 4
𝑥 → 100
Luego, se multiplica en forma de equis:

4𝑥 = 35 ∙ 100
4𝑥 = 3500
3500
𝑥=
4
𝑥 = 875
Por lo cual, el 4% de 875 es 35.
Ejemplo 2: Determine el 7% de 215.
Solución:
Números Porcentajes
215 → 100
𝑥 → 7
Luego, se multiplica en forma de equis:

100𝑥 = 215 ∙ 7
100𝑥 = 1505
1505
𝑥=
100
𝑥 = 15,05
Por lo cual, el 7% de 215 es 15,05
58
ACTIVIDAD N°7
1. Transforme de porcentaje a decimal.
a. 65%, 40%, 12%, 5%, 15%, 99%.
2. Transforme de decimal a porcentaje.

a) 0,31 b) 0,73 c) 0,045 d) 0,064 e)0,91 f) 0,84.
3. Resuelva por el método directo.

a) El 51% de una ciudad conformada por 3298 habitantes ha contratado el servicio
de internet. ¿Cuántos habitantes tienen internet?
b) Si en un colegio de 2941 estudiantes, 1127 son damas. ¿Qué porcentaje de los
estudiantes son damas?
c) El 36% de una ciudad conformada por 4134 habitantes ha contratado el servicio
de internet y TV por cable. ¿Cuántos habitantes tienen internet y TV por cable?
d) Si 720 estudiantes representan un 32% de un colegio. ¿Cuántos estudiantes
tiene el colegio?
4. Resuelva por el método de la regla de tres simple.

a) De qué número es 187 el 37%.
b) Determine el 43% de 447.
5. Resuelva por el método de la regla de tres simple.

a) De qué número es 271 el 44%.
b) Determine el 54% de 567.
“El éxito consiste en obtener lo que se desea.

La felicidad, en disfrutar lo que se obtiene”
¡Felicidades! hemos desarrollado 7 temas y

culminamos la Unidad 1.
59
AUTOEVALUACIÓN A-1
Estimados Alumnos(as): con el propósito de favorecer el desarrollo del guía de aprendizaje,
le presentamos la autoevaluación de la unidad 1.
La autoevaluación induce a que “los alumnos desarrollen el hábito de la reflexión, y la

identificación de los propios errores, cuestión fundamental cuando se trata de formar
personas con capacidad para aprender de forma autónoma”. (Valero-García, M., & de Cerio,
L. M. D. 2005, p.27)
La siguiente tabla, debe ser completada al culminar todos los temas, evalúese y propóngase
nuevas metas en el aprendizaje. Las preguntas van conectadas a una escala que usted
considerará según el trabajo realizado hasta el momento. Esta evaluación es cualitativa.
 Al completar la unidad 1, usted se autoevaluará según la siguiente escala de logros:
Lo he logrado Lo estoy logrando Estoy intentando No lo he Logrado

lograrlo
5 4 3 2
COLOQUE UN NÚMERO SEGÚN

AL CONCLUIR LA UNIDAD 1, CONSIDERO QUE:
LA ESCALA
En la asimilación de todos los conceptos
En la actitud positiva ante los retos al desarrollar los

ejercicios
En incrementar mi curiosidad por investigar y
descubrir cosas nuevas
En mejorar mi capacidad para resolver problemas
En hacer buen uso de las TIC’s para profundizar e
investigar con las diferentes plataformas educativas
En seguir las indicaciones y sugerencias de la guía
En hacer buen uso del tiempo para resolver las tareas
En conectar los temas con la vida diaria
TOTAL →
60
2│ GEOMETRÍA SABÍAS QUE…

TEMA 8. SEGMENTOS PROPORCIONALES
Definición:
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias
rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos
determinados en una de las rectas (AB, BC) son
proporcionales a los segmentos correspondientes en la  Thales de Mileto fue un
filósofo y matemático
otra (A’B’, B’C’).
griego.
 Nación en Turquía en
624 a.C. y murió en 548
a.C.
 En su juventud viajó a
Egipto donde aprendió
sobre geometría y
astronomía.
 Dirigió en Mileto una
escuela de Náutica,
construyó un canal
para desviar las aguas
de Halis y daba
consejos a políticos.
 Fue profesor de
Pitágoras.
 Fue el primero en
Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la tratar de dar una
longitud de x. explicación física del
Solución: universo. Por eso se le
14 𝑥 conoce como el padre
= de la filosofía
10 2
14 ∙ 2
𝑥= = 2,8 𝑐𝑚
10
La longitud de 𝑥 = 2,8 𝑐𝑚
61
Ejemplo 2: ¿Las rectas a, b son paralelas?

¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas
a y b?
Solución:
Sí, porque se cumple que los segmentos son
proporcionales:
3 6
=
2 4
12 = 12
Note que: Como definición previa al enunciado del teorema de Thales, es necesario
establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y sus lados son proporcionales entre sí.
ACTIVIDAD N° 8.
Traza con una regla dos rectas r y r' cualesquiera (que no sean paralelas) y realiza las
siguientes actividades:
a) Traza tres puntos A, B y C sobre la recta r y que estén separados 2 cm A y B, y 3

cm B y C.
b) Traza tres rectas paralelas entre sí por los puntos A, B y C, y determina los puntos
de corte correspondientes en la recta r', A', B' y C'.
c) Mide cuidadosamente los distintos segmentos que se forman y comprueba que

se cumple el teorema de Thales.
d) Si trazaras un segmento de 6 cm en la recta r y trazaras dos paralelas por sus

extremos a las anteriores ¿cuánto mediría el segmento que se formaría en la
recta r' ?
e) Realiza un informe con los resultados que has obtenido.
62
TEMA 9. PRIMER TEOREMA DE THALES

El primer teorema de Thales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a
saber, que:
“Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos
triángulos semejantes.”
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un

triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento

paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se
obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son
proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula
Ejemplo 3: En el triángulo, hallar las medidas de los segmentos a y b.
Solución:
Aplicamos la fórmula, y tenemos:
Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del
establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el
siguiente corolario.
63
 Principios de Proporcionalidad
Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza

entre ambos triángulos se deduce la necesaria
proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la
razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se
mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que,

en virtud del Teorema de Tales, son semejantes.
Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y
B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el
triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según

Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de
la pirámide de Keops en Egipto.
Revisa la siguiente dirección para que compruebes

el Teorema de Thales:
https://www.edu.xunta.gal/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1491478128/co
ntido/ud7_proporcionalidad_geometrica_y_teorema_Thales/21_problema_inicial.html
64
PARA SABER MÁS…

La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó
las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura. La leyenda dice
que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la
suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos
triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura superior.
Por un lado, el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide
(C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose
de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos
catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra
𝐴 𝐶
(B). Como en triángulos semejantes, se cumple que = 𝐷, por lo tanto, la altura
𝐵
𝐴𝐶
de la pirámide es 𝐷 = , con lo cual resolvió el problema.
𝐵
 Aplicaciones del Primer Teorema de Tales

El método de Tales tiene una enorme utilidad, puesto que lo podemos emplear para
averiguar la altura de cualquier objeto que sea muy grande. Sirve para calcular alturas
de edificios teniendo referencias de otros elementos que, sí que nos es fácil medir,
como por ejemplo un árbol y ayudándonos en los rayos del sol, las proyecciones de
sombra.
65
Ejemplo 4: Calcule la altura de un edificio.

Solución:
Escribimos la proporción:
6 270
=
5 ℎ
(Siendo h la altura del edificio)
Y resolvemos la proporción:
6𝑥 = 270 ∗ 5
1350
𝑥 =
6
𝑥 = 225
Ejemplo 5: El siguiente esquema nos permite ver cómo Tales calculó la altura de la pirámide
clavando su bastón en la arena.
Solución:
La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden
en la pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al
Sol de la Tierra) y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.
De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales
entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. En dos triángulos semejantes, se
cumple que sus lados homólogos son proporcionales.
En nuestro caso, se cumple que:
𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆

=
𝑺𝒐𝒎𝒃𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒂𝒔𝒕ó𝒏 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒃𝒂𝒔𝒕ó𝒏
Supongamos ahora que, a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía
280 metros, la sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros.
Según lo que hemos visto antes, tendríamos que:
𝟐𝟖𝟎𝒎 𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆
=
𝟐, 𝟖𝟕𝒎 𝟏. 𝟓𝒎
De donde obtenemos:
𝟐𝟖𝟎𝒎 ∙ 𝟏, 𝟓𝒎
𝑨𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒊𝒓á𝒎𝒊𝒅𝒆 =
𝟐, 𝟖𝟕𝒎
= 𝟏𝟒𝟔, 𝟑𝟒𝒎
66
Que 𝟏𝟒𝟔, 𝟑𝟒𝒎 es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad
(actualmente 136,86 𝑚).
Ejemplo 6: Calcula los valores de los segmentos que faltan:
Solución:
Observamos que faltan el segmento «x» y el segmento

«y».
Aplicando la relación de Tales tenemos:
12 𝑐𝑚 7 𝑐𝑚
=
30 𝑐𝑚 𝑥
Despejamos al segmento «x».
7
𝑥 = ( 30 𝑐𝑚)
12 𝑐𝑚
𝑥 = 17,5 𝑐𝑚
Ahora procedemos a calcular el segmento «y».
12 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚
=
30 𝑐𝑚 𝑦
3
𝑦= ( 30 𝑐𝑚)
12 𝑐𝑚
𝑦 = 7,5 𝑐𝑚
Por tanto, hemos encontrado los valores de 𝑥 e 𝑦.
67
ACTIVIDAD N°9.1
1. Calcula el valor de los segmentos desconocidos. AB y BC.
2. En la imagen se muestra una

pared en la que hemos trazado
rectas perpendiculares a su
base indicado la distancia entre
ellas. En la parte superior
hemos colocado los puntos A, B
y C.
Pared-Thales. Imagen de Arturo Mandly en Flickr

Licencia Creative Commons by-nc-sa
Ahora encierra la opción correcta:
2.1 ¿Qué distancia hay entre los puntos A y B?

a) 2m b) 2.5m c) 2.25m
2.2 ¿Qué distancia hay entre los puntos B y C?
a) 4.5m b) 3.75m c) 4.25m
2.3 ¿Qué distancia hay entre los puntos A y C?
a) 600cm b) 550cm c) 625cm
68
3. Los peldaños de esta escalera son paralelos y se ha roto uno de ellos. ¿Cuánto miden
los tramos x e y?
4. La estatura de un niño es de 1.5 metros y la altura de la farola es de 6 metros. Calcule

la distancia x.
5. Calcula la altura de un poste que proyecta una sombra

de 21 metros en el momento que una estaca de 2
metros proyecta una sombra de 3,5 metros.
6. Las tablas de una repisa representada en la

figura son paralelos. Calcula las logitudes de la
repisa representadas como x e y.
69
9.Aplica lo aprendido en casa. Busque objetos que sean similiares.

Mediante las siguientes actividades tratamos de llevar a la práctica los conocimientos
teóricos adquiridos en la unidad didáctica de Proporcionalidad Geométrica, en la cual
empezamos trabajando con el Teorema de Thales y semejanza de triángulos.
A través de estas actividades vamos a medir distancias inaccesibles de diferentes elementos
que se encuentran en el patio del instituto. Para ello, se le propondrá al alumnado una serie
de pasos a seguir y se les pedirá que anoten todos los resultados obtenidos con la finalidad
de analizarlos posteriormente entre todos.
Laboratorio 1: Realiza con la

ayuda de un familiar. Altura de Laboratorio 2: Realiza con la
un árbol ayuda de un familiar. Altura de
una canasta usando en espejo
Para realizar esta actividad vamos
a aprovechar la sombra creada 1. Entre la canasta y el
por el sol. observador situamos un
espejo (en el suelo),
1. Uno de los alumnos debe haciendo una marca en él.
situarse al lado del árbol, tanto 2. Con el espejo situado en
el árbol como él crea una esta posición y mirando a
sombra. través de él, el
2. Medimos la longitud de la observador se aleja poco
sombra proyectada por el a poco hasta coincidir el
árbol. aro de la canasta con la
3. Medimos la longitud de la marca trazada en él.
sombra proyectada por el 3. Aplicamos Thales para
cuerpo del alumno y su altura. calcular la altura de la
4. Aplicamos Thales para calcular canasta.
la altura del árbol.
¡Ahora solo queda analizar los

resultados y ver si a todos nos
dieron los mismos resultados!
70
ACTIVIDAD N°9.2
I- Proporcionalidad geométrica, semejanza y tecnología. Utilizando el software GeoGebra
construya e investigue:
1) Construya una recta. Denótela con a. Construya tres paralelas a la recta a. Denótelas con b, c y d.
2) Construya dos rectas transversales a las cuatro paralelas. Denótelas con r y s.
3) Construya los puntos de intersección de la recta r con las rectas paralelas.
4) Construya los puntos de intersección de la recta s con las rectas paralelas.
5) Denote los puntos de intersección de las rectas r y s con las rectas a, b, c y d con A, A’, B, B’, C, C’, D
y D’, respectivamente.
II- Considere como hipótesis las relaciones que se dan en la construcción anterior y descubra alguna
implicación de las mismas.
6) Utilizando el comando COMENTARIOS (TEXTO) escriba en la parte superior izquierda de la ventana
de dibujo:
AB =
BC =
CD =
A’B’ =
B’C’ =
C’D’ =
7) Calcule las longitudes de los segmentos AB, BC, CD, A’B’, B’C’, C’D’. Mueva estas medidas al lado de
las etiquetas respectivas.
8) Utilizando COMENTARIOS escriba en la parte superior derecha de la ventana de dibujo:
AB/BC =
A’B’/B’C’ =
BC/CD =
B’C’/C’D’ =
9) Calcule las parejas de razones siguientes: AB/BC y A’B’/B’C’; BC/CD y B’C’/C’D’.
10) Muévalas al lado de las etiquetas respectivas.
11) Compare las parejas de razones. ¿Qué observa usted?, ¿Son iguales las razones?
12) Explore moviendo la recta s o la recta r. ¿Qué observa usted?, ¿Son iguales las razones?
13) Explore moviendo la recta a. ¿Qué observa usted?, ¿Son iguales las razones para cada sistema de
paralelas?
14) Formule una conjetura.
Obtenido de: Héctor Osorio A. Departamento de Matemática – Universidad Autónoma de

Chiriquí - Panamá
71
TEMA 10. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza".
Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término
"semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en
forma?...
En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, pero distinto
tamaño".
Dos triángulos se dicen ser semejantes si tienen la misma forma, aunque no necesariamente
igual tamaño. Los lados homólogos de dos triángulos semejantes son aquellos que son
adyacentes a cada uno de los ángulos congruentes, es decir son los lados correspondientes.
∠𝐴 = ∠𝐴’ , ∠𝐵 = ∠𝐵’, ∠𝐶 = ∠𝐶’
𝑎 𝑏 𝑐
= =
𝑎′ 𝑏′ 𝑐′
Los lados homólogos de los triángulos de la figura son: 𝑎 𝑦 𝑎’; 𝑏 𝑦 𝑏’; 𝑐 𝑦 𝑐’

respectivamente. Los ángulos homólogos son: ∠𝐴 𝑦 ∠𝐴′ ; ∠𝐵 𝑦 ∠𝐵′ ; ∠𝐶 𝑦 ∠𝐶′
respectivamente.
Simbólicamente en matemáticas indicamos de la siguiente manera que dos triángulos son

semejantes:
𝛥𝐴𝐵𝐶 ∼ 𝛥𝐴′𝐵′𝐶′
Que se lee: El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es semejante al triángulo 𝐴’𝐵’𝐶’.
72
Para los triángulos tenemos los siguientes criterios que nos ayudan a determinar cuando
éstos son semejantes:
Propiedades fundamentales
1. Criterio Angulo-Ángulo-Ángulo (AAA)
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales:
∠𝐴 = ∠𝐴′
∠𝐵 = ∠𝐵′
Si ∠𝐴 = ∠𝐴′ 𝑦 ∠𝐵 = ∠𝐵′ ⇒ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ∼ 𝛥𝐴′𝐵′𝐶′
2. Criterio Lado-Lado-Lado (LLL)
Dos triángulos son semejantes si la razón de sus lados correspondientes es constante. Dicho
de otra forma, sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales.
𝑎 𝑏 𝑐
= =
𝑎′ 𝑏′ 𝑐′
𝑎 𝑏 𝑐
Si 𝑎′ = 𝑏′ = 𝑐′ ⇒ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ∼ 𝛥𝐴′𝐵′𝐶′
3. Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL)
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos es igual.
73
∠𝐵 = ∠𝐵’
𝑎 𝑐
=
𝑎′ 𝑐′
𝑎 𝑐
Si ∠𝐵 = ∠𝐵’ y = ⇒ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ∼ 𝛥𝐴′𝐵′𝐶′
𝑎′ 𝑐′
EJEMPLOS
1. Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
Solución:
12 10 15
= =
18 15 22,5
0.667 = 0,667 = 0,667
Son semejantes porque tienen sus 3 lados proporcionales.
2. Analice si los siguientes triángulos son semejantes:
74
Solución:
180° − 100° − 60° = 20°
Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
3. Analice si los siguientes triángulos son semejantes:
Solución:
7 8
= 𝑦 65° = 65°
17,5 20
0,4 = 0,4 𝑦 65° = 65°
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
4. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 5,6 m en el mismo

instante que un poste de 7,5m proyecta una sombra de 1,2 m.
𝛥𝐴𝐵𝐸 ∼ 𝛥𝐹𝐺𝐻 entonces:
𝑎 5,6
=
7,5 1,2
1,2a = 7,5 ⋅ 5,6
75
42
𝑎=
1,2
𝑎 = 35 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
5. Determine si los triángulos de la imagen son semejantes (justifique su respuesta). Si

hay semejanza determinar el valor de x.
Los triángulos son semejantes ya que tienen dos ángulos homólogos, además los lados
opuestos al ángulo ϴ (correspondientes) son proporcionales. AB es proporcional a EF
porque se oponen a ϴ y BC es correspondiente a DE por oponerse al ángulo α
15 9
=
5 x
15 ∙ x = 5 ∙ 9
45
x=
15
x=3
El valor del lado DE es 3 metros.
76
ACTIVIDAD N° 10.
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios
tomando en cuenta los criterios de semejanza de
triángulos.
1. En la figura, calcular el valor de AB.
2. El poste de un semáforo peatonal de 2m de altura

proyecta una sombra, a la misma hora en que un
edificio proyecta una sombra de 80 m. Hallar la altura del edificio.
3. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de
otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no
semejantes, justificando tu respuesta.
4. Con los datos de la figura, obtener los valores de los lados EC y BC.
5. En la figura AB y CD son paralelas. Determine el valor de x.
77
La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de
semejanza:
 Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son

semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo.
 Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza
un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa
representa 300000 cm = 3 km en la realidad.
 La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos...

requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y
proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde
con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
78
3│TRIGONOMETRÍA
TEMA N°11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
¿Qué es la trigonometría?
La trigonometría es la rama de las matemáticas que

estudia la relación entre los lados y ángulos de los
triángulos. Etimológicamente, trigonometría significa
“medida de los triángulos”, ya que proviene de las palabras
griegas trígono (triángulo) y metron (medida).
La trigonometría se ocupa de las funciones asociadas a los
ángulos, denominadas funciones trigonométricas: seno,
coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente. Tiene innumerables aplicaciones en
diversos campos de la ingeniería y la ciencia: de una u otra manera en todos los campos de
las matemáticas; en la física, por ejemplo, en fenómenos ondulatorios; en la astronomía,
para medir distancias entre planetas; en la geodesia, en ingeniería civil para la construcción
de puentes y túneles, entre otros.
La función principal de la trigonometría es que nos permite conocer cuánto miden los
ángulos internos de un triángulo con tan solo conocer las longitudes de dos lados del
triángulo, o bien conocer cuánto miden los lados y ángulos de un triángulo solamente
conociendo cuánto miden un ángulo y un lado del mismo.
En trigonometría se trabaja con triángulos rectángulos en los que un ángulo es recto de

90° y los otros tienen que sumar entre los dos 90° (para cumplir con la ley de los 180°).
TEOREMA: La suma de las medidas de los tres ángulos internos de cualquier
triangulo es 180°. ∡𝑨 + ∡𝑩 + ∡𝑪 = 𝟏𝟖𝟎°
 Las razones trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo 𝜶 son las razones

obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Triangulo Rectángulo: es el triángulo que tiene un ángulo

recto o de 90°.
79
Sea 𝜶 (alfa) uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo,
 El seno de un ángulo 𝛼 se define como

la razón entre el cateto opuesto (a) y
la hipotenusa (c).
 El coseno de un ángulo 𝛼 se define como

la razón entre el cateto contiguo o cateto
adyacente (b) y la hipotenusa (c).
 La tangente de un ángulo 𝛼 es la razón entre

el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o
cateto adyacente (b).
 La cosecante de 𝛼, se define como

la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto
opuesto (a).
 La secante de 𝛼. Se define como

la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto
contiguo o cateto adyacente (b).
 La cotangente de 𝛼. se define como

la razón entre el cateto contiguo o cateto
adyacente (b) y el cateto opuesto (a).
Puedes usar la palabra SOCATOA para recordar

las funciones trigonométricas.
𝑜 𝑎 𝑜
𝑆ℎ𝐶 ℎ𝑇𝑎
80
Ejemplos:
Calcular el valor de x de cada figura utilizando las razones trigonométricas:
Figura 1
Solución:
Conocemos la hipotenusa y el ángulo. Como queremos calcular el lado opuesto, utilizamos
el seno:
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
sin 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑥
sin(28)° =
36
𝑥 = 36 ∙ sin 28
𝑥 = 16 900
Respuesta: El lado mide, aproximadamente, 16 900.
Figura 2:
Solución:
En esta figura conocemos el lado contiguo y el ángulo.
Para calcular la hipotenusa, utilizamos el coseno:
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
cos 𝛼 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
11
cos 13° = 𝑥
11
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠13° = 11 289
Respuesta: La hipotenusa(x) mide aproximadamente 11 289.
81
Figura 3
Solución: Como conocemos el lado opuesto y el contiguo al ángulo, utilizamos la tangente:
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
tan 𝛼 =
𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
2
tan 𝑥 = = 0.5
4
𝑥 = tan−1 (0.5) = 26.565°
Respuesta: El ángulo mide, aproximadamente, 26.565°.
 Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo consiste en calcular seis elementos: los tres lados y los tres ángulos.
Para ello necesitamos conocer tres de estos seis elementos y uno de los datos por lo menos
sea un lado. Como el triángulo es rectángulo (un ángulo es 90º) basta conocer dos de sus
elementos, uno de los cuales debe ser un lado.
Si conocemos dos lados del triángulo, podemos calcular el otro aplicando el teorema de
Pitágoras.
El teorema de Pitágoras: 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Sin embargo, en ocasiones no conocemos dos lados, pero sí conocemos uno de los otros
dos ángulos no rectos. En estos casos es cuando utilizamos el seno y el coseno.
82
Ejemplos:
Problema 1: Se desea sujetar un poste de 20 metros de altura

con un cable que parte de la parte superior del mismo hasta
el suelo de modo que forme un ángulo de 30º. Calcular el
precio del cable si cada metro cuesta B/.12,00
Solución: Como conocemos el ángulo 𝞪 y el lado opuesto a

dicho ángulo, utilizamos el seno para calcular la hipotenusa
del triángulo:
𝑐. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
sin 𝛼 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
20 𝑚
sin 30° =
ℎ
20 𝑚
ℎ=
sin 30°
20 𝑚
ℎ=
sin 30°
ℎ = 40 𝑚
(40)(𝐵/.12,00) = 𝐵/.480,00
Respuesta: El cable debe medir 40 metros y su precio es de 𝐵/.480,00
Problema 2: Calcular la altura a, de un árbol sabiendo que, si nos

situamos 8 metros de la base del tronco, vemos la parte superior
de su copa en un ángulo de 36.87º.
Como la altura a es el cateto opuesto al ángulo, utilizaremos el

seno:
Pero como necesitamos calcular la hipotenusa h del triángulo, utilizamos el coseno:
Sustituimos los datos:
83
𝟖 𝟖
𝒉= = = 10,01
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝟔,𝟖𝟕°) 𝟎.𝟕𝟗𝟗
Por tanto, la altura del árbol es:
𝒂 = 𝒉 ∙ 𝐬𝐢𝐧(𝜶) = 𝟏0,01= 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝟔, 𝟖𝟕°) = 𝟏𝟎. 𝟎𝟏 ∙ 𝟎, 𝟔 = 𝟔, 𝟎𝟎𝟔 𝒎.
Respuesta: La altura del árbol es 6,006 m.
Problema 3: Del siguiente triángulo rectángulo se conocen sus dos

catetos: uno mide 4m y el otro mide 3m. Calcular la hipotenusa y
los ángulos α y β.
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de

Pitágoras para calcular la hipotenusa: 𝒉𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Respuesta: La hipotenusa mide 5 metros.
Para calcular los ángulos podemos utilizar, por ejemplo, el seno:
Como conocemos los catetos y la hipotenusa, podemos calcular el seno de los ángulos:
Finalmente, para calcular los ángulos sólo debemos utilizar la función arcoseno:
𝜶 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝟎, 𝟔 = 𝟑𝟔, 𝟖𝟔𝟗
𝜷 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝟎, 𝟖 = 𝟓𝟑, 𝟏𝟑°
84
Problema 4: Obtener el ángulo que forma un poste de 7,5 m de alto con un cable tirante
que va, desde la punta del primero, hasta el piso, y que tiene un largo de 13,75 m.
 Ángulos de elevación y de depresión
Los ángulos verticales son aquellos que están ubicados en un plano vertical, y
están formados por una línea visual y una línea horizontal. Estos ángulos pueden ser de 2
tipos: ángulos de elevación y ángulos de depresión.
En la siguiente imagen podemos apreciar en qué consisten los ángulos de elevación y
depresión:
85
El ángulo de elevación y el ángulo de depresión son congruentes.
Sea α y β dos ángulos, éstos serán ángulos congruentes si tienen

exactamente la misma medida, es decir, 𝛼 = 𝛽.
Ejemplo 1. La medida del ángulo de depresión desde lo alto de una torre de 34 m de

altura hasta un punto K en el suelo es de 80 . Calcule la distancia aproximada del punto K
a la base de la torre.
Solución:
a) Se dibuja una figura representativa de la situación.
b) Se plantea la razón trigonométrica tangente del 10° 80°

ángulo que mide 10 para encontrar el valor de x.
𝒄. 𝒐. 34m
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =
𝒄. 𝒂.
𝒙
𝐭𝐚𝐧 𝟏𝟎° =
𝟑𝟒
𝟑𝟒 ∙ 𝐭𝐚𝐧 𝟏𝟎° = 𝒙
X K
𝒙=𝟔
c) Se da respuesta al problema planteado: La distancia aproximada desde el punto K a la

base de la torre es de 6m.
Ejemplo 2.
86
Ejemplo 3.
De la cima de un faro de 8 m de alto se divisa una lancha con un ángulo de depresión de 8°
calcula la distancia entre la lancha y el pie del faro.
 Gráficas de las funciones trigonométricas
 LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO ES:
La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes)
 LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO ES:
La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).
87
 LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE ES:
ACTIVIDAD N° 11.1
Indicaciones:
 Realice los ejercicios propuestos aplicando las razones trigonométricas.
 Resuelva en forma clara y ordenada.
1. Calcule el valor de x o de 𝞪, según se indique en cada figura, utilizando las razones

trigonométricas:
88
2. En los siguientes triángulos rectángulos, determina el valor de las 6 razones

trigonométricas para el ángulo agudo 𝞫.
El teorema de Pitágoras: 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
ACTIVIDAD N° 11.2
Indicaciones:
 Realiza los ejercicios propuestos aplicando las funciones trigonométricas.
 Resuelve en forma clara y ordenada.
 De la respuesta en forma de oración.
1. Determina la altura del árbol, sabiendo que su

sombra mide 10 m, cuando el ángulo de
elevación del sol es de 30°.
2. Un árbol proyecta una sombra de 17 m de

longitud. Desde el punto del terreno donde
termina la sombra, el ángulo de elevación (formado por la horizontal y la visual
dirigida a un objeto, cundo éste está sobre la horizontal) del extremo superior del
árbol es de 52°. ¿Cuál es la altura del árbol? Haga el dibujo.
3. Encuentra la altura H de un árbol si se sabe que la longitud de su sombra es de 120 cm.

Además, el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal es de 45º. Dibuje el
triángulo rectángulo.
4. Marcos mide 1.72 metros de estatura y su sombra 1.54 metros de longitud, ¿Qué
ángulo forman en ese instante los rayos del sol con la horizontal? Dibuje el triángulo
rectángulo.
5. Observa la figura y determina la altura de la

torre.
89
6. Un faro está ubicado sobre la playa. El faro tiene una altura de 675 metyros. Desde lo
alto del faro y en un ángulo de depresión de 76° se divisa una embarcación. ¿A qué
distancia de la base del faro se encuentra la embarcación?
ACTIVIDAD N° 11.3
CONSTRUCCIÓN Y USO DE UN GONIÓMETRO CASERO
Objetivo: Calcular alturas de edificios o cualquier elemento de difícil

medición o directamente inaccesible.
Primera fase: Construya el teodolito casero o goniómetro.

Segundo fase: Mida un edificio o monumento de su comunidad.
 Elegir dos edificios u otros elementos de altura dentro de tu
comunidad.
 Realizar las mediciones de longitudes y de ángulos y anotar los datos.
Después de escoger el edificio, mida una distancia desde ese objeto hasta el observador, luego el observador mira por
el goniómetro la punta más alta del edificio u objeto escogido y mide el ángulo de inclinación, luego mide la altura del
observador hasta su visión y llena la tabla con los datos recogidos. Después de obtener todos los datos y realizar los
cálculos necesarios para obtener la altura total del edificio, se puede realizar varias veces todo el proceso y calcular el
promedio de todos los datos.

 Documente las mediciones y describa dicho proceso.
Tercera fase: Realice los cálculos e indique las alturas de los edificios medidos.
 Vea videos en YouTube sobre el uso del goniómetro y el cálculo de alturas aplicando
la trigonometría.
 Investige la historia de alguno de los edificios o monumentos medidos.
 Complete: la tabla de datos y resultados.
 Escriba sus conclusiones y reflexiones sobre lo aprendido en esta actividad.
90
TABLA DE DATOS Y RESULTADOS

Edificio Distancia del Ángulo de Ángulo de Altura del Altura Altura total
observador al inclinación elevación observado calculada (h2) del edificio
edificio, en (𝞪) (𝜃 = 90° − 𝛼) r (h1) (hT)
metros.
(d)
d= 𝞪= 𝜃 = 90° − 𝛼 h1 = h2 hT = h1 + h2
𝜃= tan θ =
d hT =
h2 = d ∙ tanθ
h2 =
d= 𝞪= 𝜃 = 90° − 𝛼 h1 = h2 hT = h1 + h2
tan θ =
𝜃= d hT =
h2 = d ∙ tanθ
h2 =
CONCLUSIONES Y RFEFLEXIONES
ACTIVIDAD N° 11.4
Indicaciones: Construya una gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃, para valores: 0° ≤ 𝜃 ≦ 360° cada

30°.
a) Tabla de valores (redondea hasta las centésimas)
𝑋 𝜃 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°
𝑌 𝑠𝑒𝑛 𝜃
b) Gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃
91
4│ ESTADÍSTICA La estadística como

herramienta para el
TEMA 12. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA análisis e
interpretación.
 Objetivos de la estadística
La estadística es una ciencia, que ayuda al individuo a tomar decisiones. Parte Promover la mirada a la
de una problemática a la que aspiramos dar respuesta. Puede conectarse con enseñanza y aprendizaje de
actividades que se apliquen en el área científica, en el área humanística y en la estadística, es muy
relevante.
el área tecnológica, en el comercio, la industria, la salud, entre otros.
Está conectada a los

En el siguiente gráfico hemos resumido los componentes que desarrollamos,
procesos o diseños de
mediante el uso de estadística en nuestras clases, donde Tauber (2020)
investigación que nos
muestra que la estadística tiene como objetivos: impulsar la reflexión y el
arrojan los indicadores que
pensamiento crítico. Así mismo, observamos que inducen a los alumnos a
permiten hacer análisis e
interpretar, comprender, indagar, investigar, generalizar entre otros según los
interpretaciones utilizando
niveles educativos.
recursos tecnológicos al
NIVEL DE EDUCACIÓN SUPERIOR: alcance de los alumnos.
Pensamiento Crítico - Evaluación de
Resultados- Investigación - Modelos- La enseñanza de la
Generalización. estadística en nuestras
NIVEL DE EDUCACIÓN MEDIA: aulas ha tomado relevancia
Razonamiento, Indagación, desde que se implementa
Reconocimiento de la variación, la planificación por
Indagación, Inferencias informales.
competencias en nuestro
NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA: país; como ciencia
Comprensión, Simbología,
interdisciplinar induce al
Comprensión Lectora, Conceptos
básicos, Interpretación. desarrollo de las
visualización y
comprensión lectora de los
 Áreas de la Estadística. alumnos, entre otros y sus
La metodología estadística se divide en dos áreas como: actividades promueven la
atención a la diversidad.
1. Estadística descriptiva: esta área se imparte en los grados de la
educación básica de nuestro sistema educativo. Se encarga de
representar, analizar e interpretar las características de una
población, mediante las presentaciones estadísticas.
2. Estadística Inferencial o inductiva: estima con base a la probabilidad

de un evento, infiere hace predicciones y permite obtener
conclusiones de una muestra o población estudiada. Esta área se
imparte en los grados de la educación media y superior.
92
 Conceptos elementales de la estadística

Los indicadores que recabamos mediante los diferentes instrumentos de recolección de datos, nos
sirven para medir a un país o a un sector, tanto en el comercio o en las investigaciones de mercados
o los que aplicamos procesos de inteligencia comercial.
Los datos e indicadores que miden el producto de una empresa, de un mercado o un departamento
nos permiten analizar desde diversos enfoques y según la necesidad podríamos medir las
exportaciones o importaciones de una empresa y proponer mediante las estadísticas, estrategias de
mercados. Por lo cual podemos realizar el análisis de un producto, análisis de un mercado, análisis
de una empresa, en análisis de un sector económico, entre otros.
a) Población estadística: En estadística, el término “población” se refiere al conjunto de

elementos que se quiere investigar, estos elementos pueden ser objetos, acontecimientos,
situaciones o grupo de personas.
b) Muestra: En estadística, una muestra es un subconjunto de casos o individuos de una

población. En diversas aplicaciones interesa que una muestra sea, representativa y para ello
debe escogerse una técnica de muestra adecuada, que produzca una muestra aleatoria
adecuada. También es un subconjunto de la población, y para ser representativa, debe tener
las mismas características de la población.
Población
Censo: estudio que se realiza a la población.
Muestra Muestreo: estudio que realiza a una parte de la población.
c) Tipos de presentaciones estadísticas: En los análisis estadísticos, es frecuente utilizar

representaciones visuales complementarias de las tablas que resumen los datos de estudio. Con
estas representaciones, adaptadas en cada caso a la finalidad informativa que se persigue, se
transmiten los resultados de los análisis de forma rápida, directa y comprensible para un conjunto
amplio de personas.
93
d) Tipos de representaciones gráficas: Cuando se muestran los datos estadísticos a través de

representaciones gráficas, se ha de adaptar el contenido a la información visual que se pretende
transmitir. Para ello, se barajan múltiples formas de representación:
 Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes
cartesianos, cuando la variable es discreta o cualitativa.
 Histogramas: formas especiales de diagramas de barras para distribuciones cuantitativas
continuas.
 Polígonos de frecuencias: formados por líneas poligonales abiertas sobre un sistema de ejes
cartesianos.
 Gráficos de sectores: circulares o de tarta, dividen un círculo en porciones proporcionales según
el valor de las frecuencias relativas.
 Pictogramas: o representaciones visuales figurativas. En realidad, son diagramas de barras en
los que las barras se sustituyen con dibujos alusivos a la variable.
 Cartogramas: expresiones gráficas a modo de mapa.
 Pirámides de población: para clasificaciones de grupos de población por sexo y edad.
e) Variables cualitativas: Es aquel tipo de variable estadística que describe cualidades, características
y/o circunstancias de algún objeto, persona o eventualidad, sin el uso de números, es decir expresa
una categoría no numérica, por ejemplo, el sexo (femenino o masculino) de un individuo. También
se les conoce como variables categóricas, y en palabras más simples son variables que no apalean un
sentido natural de orden, se miden bajo una escala nominal.
 Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: La variable puede tomar distintos
valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo
entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, fuerte.
 Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio
de orden, como por ejemplo los colores o el lugar de registro.
f) Variable cuantitativa: son las que tienen la capacidad de adoptar valores numéricos, cualquier tipo
de cifra, brindando un mayor entendimiento a los resultados de las estadísticas, ya que dan un valor
bastante exacto. Dentro de las variables cuantitativas se pueden encontrar a su vez diferentes tipos
que se determinan dependiendo de la precisión del instrumento empleado para medirlo.
94
ACTIVIDAD N°12.
I. Cuestionario. Responda las siguientes preguntas en un tríptico creativo de estadística.
Instrucciones: Use hoja blanca o de color y con letra legible

responda las preguntas. Recuerde confeccionar una portada y
responda las preguntas de forma de forma ordenada y con mucha
creatividad.
1. ¿Qué es la estadística?
2 ¿Cómo se aplica la estadística en el comercio? De un ejemplo.
3. Busque en youtube o mire este VIDEO DE ¿cómo representar
los datos? y realice una síntesis de una página de:
a) ¿Qué instrumentos utilizamos para recoger datos?
b) ¿Cómo podemos representar los datos?
c) ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
II. Glosario. Defina e ilustre en su cuaderno los siguientes conceptos1. Busque en diferentes
textos en línea.
a) Población estadística
b) Muestra
c) Tipos de presentaciones estadísticas
o Diagramas de barras
o Histogramas
o Polígonos de frecuencias
o Gráficos de sectores
o Pictogramas
o Cartogramas
o Pirámides de población
d) Variables cualitativas
e) Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa
f) Variable cualitativa nominal
g) Variable cuantitativa.
h) Características de las variables cuantitativas
i) variables cuantitativa de categoría
j) variables cuantitativa discretas
k) variables cuantitativa continua
¡Felicidades! Culminamos todas las unidades

de la guía de autoaprendizaje.
1
http://www.azatrade.info/noticias/wp-content/uploads/2019/05/2_Estad%C3%ADsticaAplicada.pdf
95
AUTOEVALUACIÓN A-2
El siguiente cuestionario es para que se complete al culminar todos los temas, evalué y proponga
nuevas metas en el aprendizaje. Las preguntas deben ser respondidas con la mayor claridad y
agregarlas al final del portafolio que recoja todas las actividades propuestas en esta guía de
aprendizaje.
1. De los temas abordados seleccione:
a) Dos ejemplos, que le hayan ayudado a comprender los conceptos. Escríbalos
b) Dos contenidos que le hayan resultado importante y ayudado a resolver las unidades 2,3 y
4. Explique brevemente.
c) Dos preguntas, problemas o cuestiones que usted pudo responder con facilidad a lo largo
de la unidad. Explique.
d) Dos preguntas, problemas o cuestiones que aún le cuestan aprender.
e) ¿En qué medida considera que las temáticas abordadas en la unidad le resultaron o
resultan de aprovechamiento para el desarrollo de su formación académica?
96
f) ¿Cuáles fueron las clases, temas y/o propuestas que más le interesaron y/o gustaron?
Explique brevemente.
g) ¿Considera que la bibliografía, plataforma Khan Academy, lugares recomendados le sirvió

para profundizar los temas abordados? Explique brevemente.
h) Relate brevemente su proceso de aprendizaje durante el desarrollo de la guía de

aprendizaje. Tenga en cuenta el grado de interés, temas que más le gustaron, temas que
menos le interesaron, lectura, comprensión, dificultades, momentos de ruptura, de
conexión, la realización de talleres, entre otros.
CURSOS GRATUITOS DE GEOGEBRA

Descarga curso inicial y avanzado en:
https://www.oei.es/Educacion/recursoseducativosoei/formaciondocente
97
BIBLIOGRAFÍA
Baldor, A. (1997). Aritmética, Ed. Publicaciones Cultural, México.
Diana de Lajón (2013) Matemática para el comercio 10. Editorial Sibauste S.A.
Arturo Aguilar, Fabián Bravo, Herman Gallegos, Miguel Cerón y Ricardo Reyes (2009).
Matemáticas Simplificadas. Editorial Pearson.
Bolívar, A. (2018). Autoevaluación institucional para la mejora interna.
Valero-García, M., & de Cerio, L. M. D. (2005, September). Autoevaluación y co-evaluación:
estrategias para facilitar la evaluación continuada. In Actas del Simposio Nacional de
Docencia en Informática (SINDI), Granada (pp. 25-32).
Portal Educativo (s.f.). Razones y Proporciones. Recuperado el 27 de julio de 2020.
Disponible en https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/293/Razones-proporciones
INFOGRAFÍA
 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_numeros_r
acionales/cuadernos/3eso_cuaderno_1_cas.pdf
 https://es.khanacademy.org/
 https://verobolanos2009.files.wordpress.com/2014/06/autoevaluacion.pdf
 http://matepotenciacionbasica.blogspot.com/2014/03/historia-de-la-potenciacion.html
 https://www.educ.ar/recursos/151217/funciones-y-ecuaciones-exponenciales-y-
logaritmicas?from=150926
 https://www.educ.ar/recursos/132100/potencias-de-10-ceros-atomos-y-el-tamano-de-todas-las-
cosas?coleccion=132148
98

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El Mundo Maravilloso de la Matemática

S. E. Maruja Gorday de Villalobos

Dirección General Directores Nacionales Académicos

Guillermo Alegría Isis Núñez

Anayka De La Espada Agnes de Cotes

Dirección Nacional de Educación Media Académica

Equipo Coordinador Undécimo Grado Duodécimo Grado

Versión 2. Agosto, 2020

Las temáticas presentadas corresponden al currículo priorizado de la educación media en

La relación con la naturaleza, el comercio, contexto y la relación con otras ciencias,

A continuación, presentamos los conceptos básicos mediante una secuencia de

Bienvenidos al “Mundo Maravilloso de la Matemática”.

Docentes del Mundo Maravilloso de la Matemática.

1│ ÁLGEBRA SABÍAS QUE..

La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para

Si bien la palabra exponente pasó a significar cosas La palabra exponente en sí

 Propiedades de las potencias

Propiedad Ejemplo Descripción

Potencia de Toda base cuyo

Multiplicación (2 ∙ 3)2 = 62 = 36 Las bases se elevan al

Cociente de Se elevan las bases al

Potencia de (33 )2 =3(3∗2) Se multiplican los

 Signo de una potencia

La potencia de exponente La potencia de exponente

I – Resuelva las siguientes operaciones de potenciación de números racionales.

II. Observe el siguiente video «Viaje hacia el macrocosmos»

Link del video https://youtu.be/aznd1NEf5Oc

¡Genial! Ha culminado el Tema 1 de repaso.

TEMA 2. RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

La raíz cuadrada de un número racional es:

 Raíces cuadradas exactas

¿Cuáles son las

 Reglas de los signos

 Propiedades de los radicales

¡Felicidades! Culminamos el repaso con el

TEMA 3. POTENCIACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 Observemos los siguientes ejemplos de simplificación de expresiones

9𝑎5 𝑏3 32 𝑎5 𝑏3 32−1 𝑎5−4 3𝑎

4) [(2𝑥𝑦 2 )3 ]2 = (2𝑥𝑦 2 )3∙2 = (2𝑥𝑦 2 )6 = 64𝑥 6 𝑦12

5𝑚 −7 𝑛13 5 ∙ 52 𝑚10 𝑛13 𝑛−9

I- Simplifica las siguientes expresiones algebraicas utilizando las propiedades de la

𝟔𝒎𝟕 𝒏𝟒 𝟐−𝟓 𝒙𝟒 𝒚−𝟓 𝟕 𝟑 𝟕 𝟐

¡Lo has logrado! Culminamos el Tema 3.

TEMA 4. LA RADICACIÓN CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

 Repasemos las propiedades de los radicales

Estas propiedades son fundamentales para facilitar el proceso de solución de las

 Observemos los siguientes ejemplos de simplificación de radicales con

5) √25𝑎4 + 30𝑎2 𝑏 + 9𝑏2 = √(5𝑎2 + 3𝑏)2 = 5𝑎2 + 3𝑏

 Observemos los siguientes ejemplos de introducción de un factor a un

Note que: si se pueden extraer factores de un radical, también se pueden introducir.

3) 2(𝑎 + 𝑏)√3 = √22 ∙ 3(𝑎 + 𝑏)2 = √12(𝑎 + 𝑏)2

√(3𝑥 2 + 3𝑥 − 60) 3(𝑥 2 + 𝑥 − 20) 3(𝑥 + 5)(𝑥 − 4) 3(𝑥 + 5) 3𝑥 + 15

3 (𝑚 − 3) 2 3 (𝑚 + 3) 3 (𝑚 − 3)2 3 [(𝑚 + 3)(𝑚 − 3)] 2 (𝑚 + 3)

𝑥 2 − 4𝑥 + 16 (𝑥 + 4)2 (𝑥 2 − 4𝑥 + 16) (𝑥 + 4)(𝑥 3 + 64)

¡Muy bien! Ha culminado el Tema 4

TEMA 5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

 Ecuación de segundo grado.