MDL607 s3 Apoyo

PUNTO DE EQUILIBRIO
José Santic Agüero

MATERIAL DE APOYO
2018
Universidad Nacional Andrés Bello
Programa de Magíster en Dirección y Liderazgo para la Gestión Educacional
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PUNTO DE EQUILIBRIO
ANÁLIS DE COSTO – VOLUMEN – UTILIDAD

Esta técnica dice relación con el análisis del comportamiento de los ingresos y costos
totales, conforme ocurren los cambios en el nivel del producto, precios de venta y
costos variables o fijos (Horngren, et. al, 1996, p. 941).
Incluye dos tipos de análisis:
• Análisis de Contribución: Permite determinar el impacto en las utilidades de la

entidad de cambios en el precio de sus productos o servicios, en la cantidad
producida o vendida y en su estructura de costos. Si la organización es un
establecimiento educacional, los cambios pueden referirse al precio y otros
ingresos asociados a la colegiatura, a la cantidad de alumnos matriculados y a los
costos de prestación del servicio educacional. Este análisis responde a preguntas
formuladas de la siguiente manera: ¿Qué sucedería si …? Por ejemplo, ¿qué
sucedería con la utilidad neta de la empresa si el precio de venta aumenta en un
5%?, o ¿qué pasaría con esa utilidad si la cantidad de estudiantes matriculados en
el colegio se incrementa en un 10?
• Análisis del Punto de Equilibrio: Este punto, conocido también Umbral de

Rentabilidad, es una herramienta de análisis financiero que permite determinar
el nivel de actividad (de producción, de ventas o de prestación de servicios) de
una empresa, donde no tiene utilidades ni pérdidas; en otras palabras, entrega el
nivel de actividad a partir del cual comienza a percibir beneficios. Se puede
expresar en unidades físicas o monetarias. En el caso particular de un
establecimiento educacional, si es en unidades físicas, entrega la cantidad de
estudiantes a partir de la cual comienza a generar utilidades y, si se expresa en
unidades monetarias, cuál es el nivel de ingresos por colegiatura y otros
asociados a la prestación del servicio educacional que se traduce en una utilidad
igual a cero.
Clasificación de costos
Para utilizar ambas técnicas, es indispensable clasificar los costos de la empresa

o establecimiento educacional en relación con su nivel de actividad, en variables y fijos.
El factor de actividad en un establecimiento educacional es la cantidad de estudiantes
matriculados. En el caso de una empresa industrial, dicho factor es el volumen de
producción (unidades fabricadas) y en una entidad comercial, el volumen de ventas
(unidades vendidas).
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• Costos variables: Son los que tienden a variar en proporción directa con el nivel
de actividad de la empresa; en otras palabras, son costos que aumentan o
disminuyen cuando la cantidad de producción, de ventas o de prestación de
servicios se incrementa o se reduce. En una organización educacional, son los
incurridos por la actividad propia del establecimiento y tienden a variar en
proporción directa con el volumen de esa actividad; en otras palabras, son costos
que aumentan o disminuyen cuando la cantidad de estudiantes matriculados se
incrementa o se reduce.
• Costos fijos: Son los que, en el corto plazo y dentro de un rango razonable de
actividad, tienden a permanecer constantes; en otras palabras, son aquellos
costos que, en condiciones normales, no dependen del nivel de producción,
ventas o prestación de servicios. Por ejemplo, en una entidad educativa, la
remuneración del director es un costo fijo, porque no se verá alterado si la
cantidad de estudiantes sube o baja dentro de dicho rango. Otros ejemplos:
sueldos del personal administrativo, arriendo del edificio, depreciación del
activo fijo, seguros sobre propiedades, contribuciones de bienes raíces,
mantención de edificios y jardines, etc. Algunos de estos costos se presentan,
aunque no se esté otorgando el servicio.
• Costos mixtos: Son aquellos rubros de costos o gastos que, en relación con el
volumen de actividad, no se pueden identificar claramente como variables o fijos.
Los que no fluctúan proporcionalmente con dicho volumen, presentando un
componente fijo y una parte variable, se denominan costos semivariables. Por
ejemplo, la cuenta contable “remuneración de vendedores” suele registrar un
importe fijo según contrato y una parte variable de acuerdo con las ventas
efectuadas. Lo mismo ocurre con el gasto por electricidad, que tiene un cargo fijo
y otro variable según el consumo de kwh.
Por otra parte, están los costos o gastos que varían en forma escalonada para
diferentes volúmenes de producción o ventas o nivel de prestación de servicios. Son
los denominados costos semifijos o escalonados. Por ejemplo, los gastos en publicidad,
los gastos financieros o la remuneración de los supervisores. Esta última, por ejemplo,
puede corresponder a importes constantes en un determinado nivel de actividad
(rango relevante), pero incrementarse cuando dicho nivel sube por sobre el límite
superior del rango y se requiere de un nuevo supervisor. Sería el caso de un
establecimiento escolar que debe contratar a un subdirector o incrementar su planta
docente ante aumentos en la cantidad de estudiantes por encima del rango
considerado relevante. Un caso particular, que está normado por la ley, es la cantidad
de educadoras y asistentes de párvulos en una sala cuna o jardín infantil; al respecto,
el Decreto 315 del 29/06/2011, versión del 20/01/2016, establece lo siguiente para
el nivel medio menor:
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Para el nivel medio menor se exigirá una Educadora o Educador de
Párvulos hasta 32 niños o niñas y una Técnica o Técnico de educación
parvularia hasta 25 niños o niñas, debiendo aumentarse el personal a partir
del niño o niña que excede de dichas cifras. (p.6)
En casos como este, si se excede el límite establecido por ley, los costos fijos
variarán aumentando su nivel.
La representación gráfica de los costos semifijos o escalonados es la siguiente:
Ambos tipos de costos, los semivariables y los semifijos, deben segmentarse en

su parte fija y variable. Los semivariables se pueden segmentar según la información
proporcionada por el área de contabilidad de la empresa y, los semifijos o escalonados,
utilizando el método del Punto alto-bajo o el método estadístico de Regresión simple,
como se explica más adelante. Estos métodos se pueden emplear, también, para
segmentar los costos semivariables, en el caso que la información contable no lo
permita directamente.
Costos totales: Son la suma de los costos fijos más los costos variables.
Costos totales = Costos fijos + Costos variables
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En la gráfica siguiente se observa el comportamiento de estos costos según el
nivel de actividad de la organización.
Cabe agregar que un mismo servicio puede ser costo fijo para una entidad y
variable para otra. En el primer caso, el servicio es prestado en sus propias
instalaciones y, en el segundo, es subcontratado a una empresa externa. Por ejemplo,
un colegio puede tener su propio servicio de casino, caso en el cual el costo es fijo y
otro establecimiento puede subcontratarlo, caso en el que el costo asociado es
variable. Lo mismo ocurre con el mantenimiento de los computadores y demás equipos
tecnológicos del establecimiento escolar, ya que, si la entidad cuenta con personal
propio para esos efectos, el costo asociado a ese servicio es fijo y, si lo subcontrata, es
costo variable
ANÁLISIS DE CONTRIBUCIÓN
Como se ha señalado anteriormente, el análisis de contribución permite determinar el

impacto en las utilidades de la empresa de cambios en variables como el precio de
venta, la cantidad vendida de productos y el nivel de los costos variables o fijos. En una
institución educacional, los cambios podrían estar referidos al precio o arancel de la
colegiatura, la cantidad de alumnos matriculados o el costo de prestación del servicio
educacional. En otras palabras, busca encontrar respuestas a preguntas que se inician
como: ¿qué ocurriría si…? Por ejemplo, ¿qué ocurriría con la utilidad neta de la empresa
si la cantidad de productos vendidos se reduce en un 10%?, o ¿qué pasaría con esa
utilidad si la cantidad de alumnos matriculados en el establecimiento baja en un 10%
o si el valor de la colegiatura o subvención escolar se incrementa en un 10%, con la
cantidad de estudiantes y costos actuales?
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Para efectuar este análisis, el Estado de Resultados del establecimiento se debe
preparar desglosando sus costos totales en fijos y variables como se muestra en el
ejemplo siguiente, para una matrícula de 1000 alumnos:
Valores
Conceptos Símbolos unitarios % Símbolos Totales ($) %
($)
Ingresos de
p 50.000 100 Y 50.000.000 100,0
operación
- Costos variables cv 30.000 60 CVT 30.000.000 60,0
Margen de
mc 20.000 40 MC 20.000.000 40,0
contribución
- Costos fijos CF 14.000.000 28,0
Utilidad (pérdida) U 6.000.000 12,0
Del estado anterior se desprende lo siguiente:
• Margen de contribución: Es la diferencia entre los ingresos de operación y los

costos variables de producir, vender o prestar un servicio. En el ejemplo,
asciende a $20.000.000, y es la cantidad que queda disponible para absorber los
costos fijos de la empresa ascendentes a $14.000.000 y generar la utilidad de
$6.000.000.
• Razón de contribución: Es el cociente entre el margen de contribución y los

ingresos de operación, en este caso, 40%. Significa que se dispone del 40% de los
ingresos para cubrir los costos fijos.
• Razón de costos variables: Son los costos variables divididos entre los ingresos
de operación, es decir, 60%.
En el caso de una entidad educativa, si la dirección superior dispone de un estado de

resultados como el descrito, podrá cuantificar el impacto en los resultados del
establecimiento de la toma de decisiones relacionadas con las tres variables
fundamentales, a saber: cantidad de alumnos, precio o arancel de la colegiatura y
relación de los costos variables.
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Ejemplo 1: Determinar la utilidad de la entidad educativa si la cantidad de estudiantes
sube en un 10%, con la estructura de precio y costos actuales.
Cantidad de alumnos 1000 + 1000 ∗ 0,10 = 1.100
Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Ingresos operacionales por 55.000.000 50.000 100,0
colegiatura
- Costos variables -33.000.000 30.000 60,0
Margen de contribución 22.000.000 20.000 40,0
- Costos fijos -14.000.000 -25,5
Utilidad (pérdida) 8.000.000 14,5
Ejemplo 2: Determinar la utilidad de la entidad si el precio de la colegiatura sube en un

10%, con la cantidad de estudiantes y costos actuales.
Cantidad de alumnos 1.000

colegiatura
- Costos variables 30.000.000 30.000 54,5
- Costos fijos -14.000.000 25,5
Ejemplo 3: Determinar la utilidad de la entidad si los costos fijos suben en 10%,

manteniéndose la ratio de costos variables, cantidad de alumnos y el precio de la
colegiatura actual.

Ingresos operacionales 50.000.000 50.000 100.0
por colegiatura
- Costos variables 30.000.000 30.000 60.0
Margen de contribución 20.000.000 20.000 40.0
- Costos fijos -15.400.000 30,8
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Ejemplo 4: Determinar la utilidad de la entidad si los costos variables disminuyen en
10%, manteniéndose la cantidad de alumnos, el precio de la colegiatura y costos fijos
actuales.

colegiatura
- Costos fijos -14.000.000 28,0
Ejemplo 5: Determinar la utilidad de la entidad si se incluyen todos los cambios vistos

en los ejemplos anteriores.

colegiatura
- Costos fijos -15.400.000 25,5
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TÉCNICA DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
Es una herramienta de análisis financiero que permite determinar el nivel de ingresos

de la empresa para el cual la utilidad es cero, es decir, el nivel de producción o ventas
donde no se generan beneficios ni pérdidas. Se puede expresar en unidades físicas o
monetarias. En el primer caso, si el establecimiento es educacional, entrega la cantidad
de estudiantes atendidos por la entidad que producen una utilidad igual a cero o, si se
prefiere, la cantidad de alumnos a partir de la cual se comienza a generar beneficios.
En el segundo caso, muestra los ingresos en pesos que se traducen en esa utilidad igual
a cero.
Según la clasificación propuesta por Morales (1993), los elementos que

intervienen en la determinación del punto de equilibrio de una unidad educativa son:
• Costos variables unitarios. Se distinguen los siguientes:
o Costos variables por alumno: Son los costos por textos y otros materiales
didácticos utilizados por los alumnos.
o Costos variables por curso y por alumno: Los costos por curso incluyen la
remuneración de profesores y los costos de mantención y equipamiento de
las salas de clase. Tienden a aumentar con el mayor nivel de actividad del
establecimiento, pero en forma escalonada, es decir, para una cierta
cantidad de alumnos permanecen constantes, pero si éstos suben, alcanzan
un nivel superior. Si estos costos se dividen entre la cantidad de
estudiantes, se tiene los costos variables por curso y por alumno.
• Precio de venta: Corresponde a los ingresos percibidos por alumno por

conceptos de escolaridad, cuotas de incorporación, matrícula, y otros ingresos
percibidos para la prestación del servicio educacional. Los ingresos por
escolaridad pueden asumir la forma de pagos directos del estudiante o de una
subvención escolar por alumno entregada por el Estado.
Los supuestos básicos del Punto de Equilibrio son que tanto los ingresos como
los costos variables mantienen una relación lineal dentro de un cierto nivel de
actividad y que es posible la separación de los costos totales en fijos y variables.
Para la determinación del punto de equilibrio de una entidad educacional, se

utilizará la siguiente simbología:
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𝑝 = ingreso por alumno.
𝒒 = cantidad de alumnos.
𝒄𝒗 = costo variable por alumno. Es la suma de los costos variables por alumno y
los costos variables por curso expresados por cada alumno.
𝑪𝑽𝑻 = Costos variables totales.
𝑪𝑭 = Costos fijos del establecimiento.
𝑪𝑻 = Costos totales
𝒀 = Ingresos por ventas del establecimiento.
Las relaciones matemáticas necesarias para calcular el punto de equilibrio, son

las que se muestran a continuación:
𝒀= 𝑝∗𝑞
𝑪𝑽𝑻 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑞
𝑪𝑻 = 𝐶𝑉𝑇 + 𝐶𝐹 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 + 𝐶𝐹
Nota: El asterisco * significa “multiplicado por”.
Con estos antecedentes se puede determinar la fórmula para calcular el punto

de equilibrio como sigue:
1.- Punto de equilibrio en unidades físicas
En términos de las variables definidas anteriormente, el punto de equilibrio es la

cantidad de alumnos atendida por el establecimiento que hace que los ingresos sean
iguales a los costos totales o, si se prefiere, donde la utilidad es cero. Se describen dos
métodos para su determinación:
Método de la ecuación del Estado de Resultados:
Para la determinación matemática del punto de equilibrio se recurre a la siguiente

igualdad básica del estado de resultados del establecimiento:
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Utilidad bruta = Ingresos - Costos variables - Costos fijos
𝑈𝐵 𝑌 =𝑝∗𝑞 totales 𝐶𝐹
𝐶𝑉𝑇 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑞
𝑈𝐵 = 𝑌 − 𝐶𝑉𝑇 − 𝐶𝐹
𝑈𝐵 = (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) − 𝐶𝐹
Haciendo la utilidad bruta igual a cero, se tiene:
0 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹, donde q es la cantidad de equilibrio.
Ejemplo 1: Un comerciante compra un producto en $20.000 para revenderlo después

con un 30% de ganancia. Por el arriendo del local donde exhibe el producto paga
$150.000. ¿Cuántas unidades del producto deberá vender para alcanzar el punto de
equilibrio?
Solución:
𝑝 = 20.000 + 20.000 ∗ 0,30 = 20.000 + 6.000 = $26.000

𝑐𝑣 = $20.00
𝐶𝐹 = $150.000
𝑈𝐵 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹
0 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹
0 = 26.000 ∗ 𝑞 − 20.000 ∗ 𝑞 − 150.000
0 = 6.000 ∗ 𝑞 − 150.000
150.000 = 6.000 ∗ 𝑞
150.000
𝑞= = 25
6.000
Es decir, el comerciante alcanza el punto de equilibrio vendiendo 25 unidades del

producto. Si vende menos obtendrá pérdidas; si vende más, logrará utilidades.
Este cálculo se puede comprobar confeccionando el correspondiente Estado de

resultados, donde la utilidad debe ser cero:
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𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 25 ∗ 26.000 = 650.000
− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑏𝑙𝑒𝑠 = 25 ∗ 20.000 = 500.000
_______
𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 150.000
− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 −150.000
________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 (𝑈𝐵) 0
Ejemplo 2: Una organización sin fines de lucro que acoge a niños en situación de calle,
recibe anualmente una donación de $100.000.000. El costo de atender a uno de estos
niños es de $2.000.000 al año y sus costos fijos ascienden a $50.000.000. ¿A cuántos
niños podrá atender esta organización con la donación recibida?
Solución: La igualdad básica del Estado de resultados, es:
Utilidad bruta = Ingresos - Costos variables - Costos fijos

𝑈𝐵 𝑌 =𝑝∗𝑞 totales 𝐶𝐹
𝐶𝑉𝑇 = 𝑐𝑣 ∗ 𝑞
𝑈𝐵 = 𝑌 − 𝐶𝑉𝑇 − 𝐶𝐹
𝑈𝐵 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹, donde q es la cantidad de niños por atender.
Como la organización no busca beneficios, 𝑈𝐵 = 0
0 = 100.000.000 − 2.000.000 ∗ 𝑞 − 50.000.000
0 = 50.000.000 − 2.000.000 ∗ 𝑞
2.000.000 ∗ 𝑞 = 50.000.000
63.000.000
𝑞= = 25
500.000
Es decir, la organización podrá atender a 25 niños con los $100.000.000 recibidos

como donación.
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Método del margen de contribución:
Como se ha dicho, el margen de contribución es la diferencia entre los ingresos

de operación y los costos variables de producción, ventas o prestación de servicios.
𝑈𝐵 = (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) − 𝐶𝐹
En la ecuación anterior, (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) = 𝑚𝑐, es decir, el margen de

contribución, ya que corresponde a la diferencia entre los ingresos de operación
totales (𝑝 ∗ 𝑞 ) y los costos variables totales (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ).
𝑚𝑐 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞
𝑚𝑐 = 𝑞(𝑝 − 𝑐𝑣)
Como en el punto de equilibrio, 𝑈𝐵 = 0
0 = 𝑞(𝑝 − 𝑐𝑣) − 𝐶𝐹
𝐶𝐹 = 𝑞 (𝑝 − 𝑐𝑣)
Despejando q de esta ecuación, se tiene el punto de equilibrio en unidades físicas:
𝑪𝑭
𝒒𝒆 =
𝒑 − 𝒄𝒗
Si la organización es un establecimiento educacional, 𝑞𝑒 representa la cantidad

de alumnos matriculados que necesita disponer el establecimiento para absorber los
costos variables y los costos fijos, sin generar utilidades ni pérdidas.
El denominador p – cv, como se ha dicho, es el margen de contribución unitario y

corresponde al excedente que queda de los ingresos por alumno, después de cubrir el
costo variable de su formación.
Por consiguiente, el punto de equilibrio en unidades físicas se puede expresar,

también, como sigue:
𝑪𝑭
𝒒𝒆 =
𝒎𝒄
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Ejemplo 3: Un colegio tiene la siguiente estructura de ingresos y costos:
o Costos totales: $35.000.000.

o Costos variables totales: 60% de los costos totales. De esta cifra, un 90%
corresponde a los cursos y el 10% restante es asignable directamente a los
alumnos.
o Costos fijos: 40% de los costos totales.
o Ingreso mensual por alumno: $50.000.
o Cantidad de alumnos matriculados: 875 repartidos en 25 cursos de 35
alumnos cada uno.
¿Por sobre qué cantidad de alumnos el establecimiento educacional genera utilidades?
Solución:
CT = $35.000.000
CVT = 35.000.000 * 0,60 = $21.000.000
CF = 35.000.000 * 0,40 = $14.000.000
cv1 = Costos variables por curso y por alumno
= 21.000.000 * 0,90 / 25 / 35 = $21.600
cv2 = Costos variables por alumno

= 21.000.000 * 0,10 / 875 = $2.400
cv = cv1 + cv2
cv =21.600 + 2.400 = $24.000
p = $50.000
Aplicando la fórmula del punto de equilibrio:
𝐶𝐹
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
14.000.000 14.000.000
𝑞𝑒 = = = 538,4615
50.000 − 24.000 26.000
Es decir, con 538 alumnos el colegio no tiene pérdidas ni ganancias y, a partir de

esa cifra, comienza a generar utilidades.
El punto de equilibrio calculado se comprueba confeccionando el

correspondiente Estado de resultados, donde la utilidad debe ser cero:
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𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 538,4615 ∗ 50.000 = 26.923.075
− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 538,4615 ∗ 24.000 = 12.923.075
__________
𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 14.000.000
− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 −14.000.000
__________
Por encima de la cantidad de equilibrio, supóngase 550 estudiantes, el

establecimiento comenzará a generar utilidades, como se ve a continuación:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 550 ∗ 50.000 = 27.500.000

− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 550 ∗ 24.000 = 13.200.000
_________
− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 − 14.000.000
- _________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 𝑈𝐵) 300.000
A esta misma utilidad se puede llegar multiplicando la mayor cantidad de

alumnos ∆𝑞 por el margen de contribución (mc): 𝑈𝐵 = ∆𝑞 ∗ 𝑚𝑐
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠: ∆𝑞 = 550 – 538,4615 = 11, 5385.

𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑚𝑐 = 50.000 – 24.000 = 26.000
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛 550 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠:
𝑈𝐵 = ∆𝑞 ∗ 𝑚𝑐 = 11,5385 ∗ 26.000 = $300.000.
Ahora, supóngase que esos 550 alumnos corresponden a una cifra

presupuestada por el colegio. ¿Cuál es el margen de seguridad presupuestado, es decir,
en qué porcentaje se podría reducir la matrícula sin que el establecimiento incurra en
pérdidas?
𝑀𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎 − 𝑀𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜

∗ 100
𝑀𝑎𝑡𝑟í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑢𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎
550 − 538,4615
∗ 100 = 2,1%
550
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2.- Punto de equilibrio en unidades monetarias
El punto de equilibrio se puede calcular no sólo en unidades físicas, como en los

ejemplos anteriores, sino también en dinero.
El punto de equilibrio en unidades monetarias se deduce del punto de equilibrio

en unidades físicas:
𝐶𝐹
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por p, se tiene:
𝐶𝐹 ∗ 𝑝
𝑞𝑒 ∗ 𝑝 =
𝑝 − 𝑐𝑣
Dividiendo por p el numerador y el denominador y sabiendo que 𝑞𝑒 ∗ 𝑝 = 𝑌 = Total
de ingresos por colegiatura, se tiene el punto de equilibrio en unidades monetarias o,
lo que es lo mismo, el nivel de ventas en el punto de equilibrio:
𝑪𝑭
𝒀𝒆 = 𝒑 − 𝒄𝒗
𝒑
O bien:
𝑪𝑭
𝒀𝒆 = 𝒄𝒗
𝟏− 𝒑
𝒄𝒗
En la fórmula anterior, es el costo variable unitario como un porcentaje de los
𝒑
ingresos de operación (ventas) del Estado de resultados, por lo que la fórmula anterior
se puede expresar como sigue:
𝑪𝑭
𝒀𝒆 =
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒔𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔
Alternativamente, el punto de equilibrio se puede calcular multiplicando el precio del

producto o servicio por la cantidad de equilibrio:
𝒀𝒆 = 𝒑 ∗ 𝒒𝒆
Ejemplo 1: Determinar los ingresos de equilibrio del colegio con los datos ya
conocidos.
𝐶𝐹 = $14.000.000
𝑝 = $50.000
𝑐𝑣 = $24.000
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𝐶𝐹 14000000 14000000 14000000
𝑌𝑒 = 𝑝 − 𝑐𝑣 = = = = $26.923.077
50000 − 24000 26000 0,52
𝑝 50000 50000
O bien:
𝐶𝐹 14000000 14000000 14000000

𝑌𝑒 = 𝑐𝑣 = = = = $26.923.077
1− 𝑝 24000 1 − 0,48 0,52
1 − 50000
Alternativamente:
𝑞𝑒 = 538,4615
𝑌𝑒 = 𝑝 ∗ 𝑞𝑒
𝑌𝑒 = 50.000 ∗ 538,4615 = $26.923.077
Si se prefiere usar costos variables totales y volumen de ventas, en vez de costo

variable unitario y precio, respectivamente, la fórmula anterior se puede expresar
como sigue:
𝑪𝑭
𝒀𝒆 =
𝑪𝑽𝑻
𝟏− 𝒀
En el ejemplo planteado anteriormente:
𝐶𝑉𝑇 = $21.000.000 = (35.000.000 ∗ 0,60)

𝐶𝐹 = $ 14.000.000 = (35.000.000 ∗ 0,40)
𝑌 = $ 43.750.000 = (50.000 ∗ 875)
𝐶𝐹 14000000 14000000
𝑌𝑒 = = = = $26.923.077
𝐶𝑉𝑇 21000000 1 − 0,48
1− 𝑌 1 − 43750000
Ejemplo 2: Una empresa tiene costos fijos ascendentes a $8.400.000 y el porcentaje

de costos variables sobre las ventas es del 70%. Calcular el punto de equilibrio en
pesos.
Si el porcentaje de costos variables sobre las ventas es del 70%, significa que el margen
de contribución sobre las ventas será del 30% (100%-70%=30%), es decir:
𝑝 − 𝑐𝑣
= 0,30
𝑝
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Por consiguiente:
𝐶𝐹 8.400.000
𝑌𝑒 = 𝑝 − 𝑐𝑣 = = $28.000.000
0,30
𝑝
Es decir, el punto de equilibrio en pesos es $28.000.000.
3.- Determinación de la cantidad de alumnos necesaria para lograr una cierta

utilidad.
Se distinguen dos casos: obtener una utilidad bruta o conseguir una determinada
utilidad neta.
Caso a) Obtener una cierta utilidad bruta (antes de descontar el impuesto a la renta):
Para desarrollar esta aplicación, se usa la ecuación ya conocida de la utilidad bruta.
𝑈𝐵 = (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) − 𝐶𝐹
Reordenando los términos de esta ecuación:
𝑝 ∗ 𝑞 – 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 = 𝑈𝐵 + 𝐶𝐹
𝑞 ∗ (𝑝 − 𝑐𝑣) = 𝑈𝐵 + 𝐶𝐹
Despejando q, se tiene que:

𝑪𝑭 + 𝑼𝑩
𝒒𝒆 =
𝒑 − 𝒄𝒗
Caso b): Obtener una cierta utilidad neta: (descontado el impuesto a la renta):
En la fórmula anterior, 𝑈𝐵 = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎. La 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑁𝑒𝑡𝑎 (𝑈𝑁) es igual a la

utilidad bruta menos el impuesto a la renta:
𝑈𝑁 = 𝑈𝐵 – 𝑈𝐵 ∗ 𝑡, siendo t = tasa de impuesto a la renta. Factorizando UB, se tiene:

𝑈𝑁 = 𝑈𝐵 (1 – 𝑡)
𝑈𝑁
𝑈𝐵 =
1−𝑡
18
La cantidad de equilibrio expresada como:
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
Se replantea como:
𝑼𝑵
𝑪𝑭 + 𝟏 − 𝒕
𝒒𝒆 =
𝒑 − 𝒄𝒗
Ejemplo 1: Con la información del colegio anterior:
𝑝 = $50.000
𝑐𝑣 = $24.000
𝐶𝐹 = $14.000.000
Determinar la cantidad de alumnos necesaria para obtener una utilidad bruta de

$10.000.000.
Solución:
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
14000000 + 10000000 24000000

𝑞𝑒 = = = 923
50000 − 24000 26000
Es decir, con una matrícula de 923 alumnos, el colegio logra una utilidad bruta de
$10.000.000.
Si la utilidad bruta esperada fuera $8.750.000, la cantidad de alumnos es:
8750000 + 14000000 22750000

𝑞𝑒 = = = 875
50000 − 24000 26000
La utilidad bruta de $8.750.000 no fue seleccionada arbitrariamente, ya que

corresponde a la utilidad que tiene el colegio que ha servido de ejemplo y la cantidad
de alumnos no podía ser otra que 875, ya que esos son los alumnos del
establecimiento.
Ejemplo 2: Los costos fijos de una sala cuna ascienden a $1.620.000 al mes y el costo
variable por párvulo es de $120.000. El precio de la mensualidad se establece
incrementando el costo variable unitario en un 30%.
19
a) Calcular la cantidad mínima de párvulos que debe tener la sala cuna para
no incurrir en pérdidas.
b) ¿Qué cantidad de párvulos debe tener para generar utilidades brutas
mensuales de $900.000?
c) ¿Qué cantidad de párvulos debe tener para generar utilidades netas de

impuesto a la renta mensuales de $900.000?
Solución pregunta a):
𝐶𝐹 = $1.620.000
𝑐𝑣 = $120.000
𝑝 = $120.000 ∗ 1,30 = $ 156.000
Punto de equilibrio en unidades físicas:
𝐶𝐹
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
1620000 1620000
𝑞𝑒 = = = 45 𝑝á𝑟𝑣𝑢𝑙𝑜𝑠
156000 − 120000 36000
Solución pregunta b):
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵 1620000 + 900000 2520000

𝑞𝑒 = = = = 70 𝑝á𝑟𝑣𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑝 − 𝑐𝑣 156000 − 120000 36000
Comprobación:

_________
_________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 (𝑈𝐵) 900.000
20
Solución pregunta c):
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
𝑈𝑁 900000
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡 1620000 + 1 − 0,20 (1620000 + 1125000) 2745000
𝑞𝑒 = = = =
𝑝 − 𝑐𝑣 156000 − 120000 36000 36000
= 76,25 ≈ 77 𝑝á𝑟𝑣𝑢𝑙𝑜𝑠
Comprobación:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 76,25 ∗ 156.000 = 11.895.000

− 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = 76,25 ∗ 120.000 = 9.150.000
__________
__________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 1.125.000
− 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 (1.125.000 ∗ 0,2) −225.000
___________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑒𝑡𝑎 (𝑈𝑁) 900.000
4.- Determinación del nivel de ingresos de operación (volumen de ventas) necesario

para lograr una cierta utilidad.
Caso a) Obtener una cierta utilidad bruta (antes de descontar el impuesto a la renta):
Para desarrollar esta aplicación, se usa la ecuación ya conocida de la utilidad bruta.
𝑈𝐵 = (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) − 𝐶𝐹
Reordenando los términos de esta ecuación:
𝑝 ∗ 𝑞 – 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 = 𝑈𝐵 + 𝐶𝐹
𝑞 ∗ (𝑝 − 𝑐𝑣) = 𝑈𝐵 + 𝐶𝐹
21
Despejando q, se tiene que:
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞=
𝑝 − 𝑐𝑣
Multiplicando ambos miembros por p
(𝐶𝐹 + 𝑈𝐵) ∗ 𝑝
𝑞∗𝑝=
𝑝 − 𝑐𝑣
Dividiendo el numerador y el denominador del segundo miembro por p:
(𝐶𝐹 + 𝑈𝐵)
𝑞∗𝑝= 𝑝 − 𝑐𝑣
𝑝
Como 𝑞 ∗ 𝑝 = 𝑌 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠
(𝑪𝑭 + 𝑼𝑩)
𝒀= 𝒑 − 𝒄𝒗
𝒑
Caso b) Obtener una cierta utilidad neta (después de descontar el impuesto a la

renta):
Según se vio anteriormente:
𝑈𝑁 = 𝑈𝐵 – 𝑈𝐵 ∗ 𝑡, siendo t = tasa de impuesto a la renta. Factorizando UB, se tiene:
𝑈𝑁 = 𝑈𝐵 (1 – 𝑡)
𝑈𝑁
𝑈𝐵 =
1−𝑡
Por tanto, la fórmula para calcular los ingresos de operación necesarios para obtener
una cierta utilidad neta es la siguiente:
𝑼𝑵
𝑪𝑭 + 𝟏 − 𝒕
𝒀 = 𝒑 − 𝒄𝒗
𝒑
22
Ejemplo: Una empresa tiene costos fijos ascendentes a $8.400.000 y el porcentaje de
costos variables sobre las ventas es del 70%. Calcular el volumen de ventas (ingresos
de operación), que le permitan obtener una utilidad bruta de $20.100.000 y una
utilidad neta de $14.760.000, si la tasa impositiva es del 40%.
Si el porcentaje de costos variables sobre las ventas es del 70%, significa que el margen
de contribución sobre las ventas será del 30% (100% − 70% = 30%), es decir:
𝑝 − 𝑐𝑣
= 0,30
𝑝
Por consiguiente:
a) Volumen de ventas para obtener una utilidad bruta de $20.100.000:
(𝐶𝐹 + 𝑈𝐵) (8.400.000 + 20.100.000) 28.500.000

𝑌= 𝑝 − 𝑐𝑣 = = = $95.000.000
0,30 0,30
𝑝
b) Volumen de ventas para obtener una utilidad neta de $14.760.000:
𝑈𝑁 14.760.000
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡 8.400.000 + 1 − 0,40 8.400.000 + 24.600.000 33.000.000
𝑌 = 𝑝 − 𝑐𝑣 = = =
0,30 0,30 0,30
𝑝
= $110.000.000
5.- Punto de equilibrio para una mezcla de productos o servicios
Se entiende por mezcla de productos o servicios la combinación relativa de la cantidad

de productos o servicios que constituyen las ventas o ingresos de operación totales de
la empresa. En el caso de un establecimiento escolar, la mezcla de servicios
educacionales podría referirse a la combinación de matrícula de los niveles de
enseñanza preescolar, básica y media y, en una institución universitaria, por ejemplo,
a la combinación de matrícula de pregrado y posgrado o la combinación de las distintas
carreras impartidas.
La fórmula del punto de equilibrio es:
𝑪𝑭
𝒒𝒆 =
𝒎𝒄 𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐
23
El margen de contribución se pondera por la importancia relativa de cada
producto o servicio en el total de las ventas o ingresos operacionales. Dicho margen
para, por ejemplo, una combinación de tres productos o servicios se calcula como
sigue;
Sea:
𝑝1 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 1

𝑐𝑣1 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 1

𝑚𝑐1 = 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 1 = 𝑝1– 𝑐𝑣1

𝛼1 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 1 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝒎𝒄 𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 = 𝒎𝒄𝟏 ∗ 𝜶𝟏 + 𝒎𝒄𝟐 ∗ 𝜶𝟐 + 𝒎𝒄𝟑 ∗ 𝜶𝟑
Por consiguiente, el punto de equilibrio global para una empresa que tiene n productos
o servicios es:
𝑪𝑭
𝒒𝒆 =
𝒎𝒄𝟏 ∗ 𝜶𝟏 + 𝒎𝒄𝟐 ∗ 𝜶𝟐 + 𝒎𝒄𝟑 ∗ 𝜶𝟑 + ⋯ + 𝒎𝒄𝒏 ∗ 𝜶𝒏
La desagregación del punto de equilibrio global por producto o servicio se determina

como sigue:
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 1 = 𝑞𝑒 ∗ 𝛼1

Ejemplo: En la tabla siguiente se presenta la información de ingresos y costos de un

colegio y la proporción en que participa cada uno de los ciclos de enseñanza,
preescolar, básica y media en el total de servicios pedagógicos prestados por el
establecimiento. Interesa determinar:
24
a) El punto de equilibrio en cantidades, globalmente y por ciclos de
enseñanza.
b) El punto de equilibrio global en valores (en pesos).
Conceptos Símbolo Preescolar Básica Media

Precio colegiatura p 30.000 40.000 50.000
- Costos variables cv 18.000 20.000 25.000
unitarios
Margen mc 12.000 20.000 25.000
contribución
- Costos fijos CF 14.000.000
Proporción mezcla 20% 40 % 40%
servicios
Solución:
𝑝1 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = $ 30.000

𝑝2 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 = $ 40.000
𝑝3 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = $ 50.000
𝑐𝑣1 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒. 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = $ 18.000

𝑐𝑣2 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒. 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 = $ 20.000
𝑐𝑣3 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = $ 25.000
𝑚𝑐1 = 𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒. 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 𝑝1– 𝑐𝑣1 = $ 30.000 – $ 18.000

= $12.000
𝑚𝑐2 = 𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒. 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 = 𝑝2– 𝑐𝑣2 = $ 40.000 – $ 20.000
= $20.000
𝑚𝑐3 = 𝑚. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑝3– 𝑐𝑣3 = $ 50.000 – $ 25.000
= $25.000
𝛼1 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒. 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 20% = 0,20

𝛼2 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒. 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 = 40% = 0,40
𝛼3 = 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑒. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 40% = 0,40
Respuesta pregunta a):
Punto de equilibrio en cantidades (global): Para una mezcla de productos, el

margen de contribución es un margen ponderado.
25
𝑪𝑭
𝒒𝒆 =
𝒎𝒄 𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐
𝐶𝐹
𝑞𝑒 =
𝑚𝑐1 ∗ 𝛼1 + 𝑚𝑐2 ∗ 𝛼2 + 𝑚𝑐3 ∗ 𝛼3
14.000.000 14.000.000
𝑞𝑒 = =
12.000 ∗ 0,2 + 20.000 ∗ 0,4 + 25.000 ∗ 0,4 2.400 + 8.000 + 10.000
14.000.000
= = 686,2745 = 687 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
20.400
Punto de equilibrio por niveles de enseñanza:
𝐸𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙𝑎𝑟 = 𝑞𝑒 ∗ 𝛼1 = 686,2745 ∗ 0,20 = 137,2549

≈ 137 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝐸𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 = 𝑞𝑒 ∗ 𝛼2 = 686,2745 ∗ 0,40 = 274,5098
𝐸𝑛𝑠𝑒ñ𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 𝑞𝑒 ∗ 𝛼3 = 686,2745 ∗ 0,40 = 274,5098
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 686,2745
Respuesta pregunta b):
El punto de equilibrio en dinero (en pesos) = cantidad global de equilibrio x

precio promedio de equilibrio.
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 = 𝑝1 ∗ 𝛼1 + 𝑝2 ∗ 𝛼2 + 𝑝3 ∗ 𝛼3
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜

= 30.000 ∗ 0,20 + 40.000 ∗ 0,40 + 50.000 ∗ 0,40
= 6.000 + 16.000 + 20.000 = $42.000
𝑌𝑒 = 𝑝𝑒 ∗ 𝑞𝑒
𝑌𝑒 = 686,2745 𝑥 42.000 = $ 28.823.529
Alternativamente, se puede calcular aplicando la fórmula:
𝐶𝐹
𝑌𝑒 = 𝑐𝑣
1− 𝑝
26
pero con los correspondientes valores promedios:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑐𝑣 = 𝑐𝑣1 ∗ 𝛼1 + 𝑐𝑣2 ∗ 𝛼2 + 𝑐𝑣3 ∗ 𝛼3

= 18.000 ∗ 0,20 + 20.000 ∗ 0,40 + 25.000 ∗ 0, 40 = $ 21.600
𝐶𝐹 14000000 14000000 14000000

𝑌𝑒 = 𝑐𝑣 = = = = $28.823.529
21600
1− 𝑝 1 − 42000 1 − 0,5142857 0,4857143
Es decir, el punto de equilibrio del establecimiento se logra cuando se alcancen

Ingresos de operación de $28.823.529.
Comprobación:
Las cantidades de alumnos por ciclo multiplicadas por sus correspondientes

precios de colegiatura, debe ser igual a los ingresos en el punto de equilibrio
determinado anteriormente.
137,2549 𝑥 30.000 + 274,5098 𝑥 40.000 + 274,5098 𝑥 50.000

= $28.823.529.
27
El gráfico del punto de equilibrio se construye e interpreta como sigue:
En un plano cartesiano, el eje horizontal representa el nivel de actividad en términos

de unidades físicas de producción, de ventas o de prestación de servicios y el eje
vertical muestra los ingresos operacionales y los costos en unidades monetarias.
La línea de costos fijos (CF) corresponde a la línea horizontal paralela al eje que
representa el nivel de actividad y se dibuja a partir del monto de costos fijos medido
sobre el eje vertical del plano cartesiano.
La línea de costos totales (CT) se dibuja uniendo dos puntos del plano cartesiano: el
correspondiente a los costos fijos, cuando el nivel de actividad de la empresa es cero
(inicio de la línea horizontal de costos fijos) y el correspondiente a cualquiera otro nivel
de actividad. De esta manera, se aprecia gráficamente el componente fijo (CF) y
variable (CV) del costo total. Como se ve en el diagrama, la línea de costos totales tiene
una pendiente positiva, porque los costos variables se incrementan
proporcionalmente con el nivel de actividad de la empresa.
La línea de ingresos de operación totales se dibuja también uniendo dos puntos del
plano cartesiano: el correspondiente a los ingresos cuando el nivel de actividad de la
empresa es cero (intersección de ambos ejes del plano cartesiano) y un segundo punto
correspondiente a otro nivel de actividad que se considere apropiado. La pendiente de
esta línea también es positiva, porque tales ingresos son crecientes a medida que
aumenta el nivel de producción, de ventas o de prestación de servicios.
El punto de equilibrio corresponde al punto de intersección entre la línea de ingresos

de operación totales con la de costos totales, es decir, donde ambos conceptos se
igualan.
Por debajo del punto de equilibrio, la organización incurre en pérdidas y, por encima
de él, genera utilidades.
28
GUÍA DE EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS
SOBRE EL PUNTO DE EQUILIBRIO
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio 1:
Una sala cuna tiene costos fijos por $1,500.000. El ingreso que percibe por cada
párvulo es de $140.000, con un costo variable asociado de $100.000. Determine:
a) La cantidad de niños que debe tener la sala cuna para comenzar a percibir
beneficios.
b) ¿Qué ocurrirá si atiende a 50 niños?
c) ¿Qué ocurrirá si atiende a 30 niños?
Solución a):
CF = $1.500.000
p = $140.000
cv = $100.000
𝐶𝐹 1500000
𝑞= = = 37,5 ≈ 38 𝑝á𝑟𝑣𝑢𝑙𝑜𝑠
𝑝 − 𝑐𝑣 140000 − 100000
Solución b):
Resultado (Utilidad o Pérdida) = Ingresos – Costos totales
Si:
𝑝 = 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑐𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
𝐶𝐹 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠
𝑞 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 = 𝑝 𝑥 𝑞
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑐𝑣 𝑥 𝑞
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 (𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎) = 𝑝 𝑥 𝑞 – 𝑐𝑣 𝑥 𝑞 – 𝐶𝐹
Si la cantidad de niños es 50, entonces la sala cuna obtendrá utilidades, porque

dicha cantidad es mayor que la de equilibrio:
29
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 140.000 ∗ 50 – 100.000 ∗ 50 – 1.500.000
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 7.000.000 – 5.000.000 – 1.500.000
= $500.000 (𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜)
Si la cantidad de niños es 30, entonces la sala cuna obtendrá pérdidas, porque
dicha cantidad es menor que la de equilibrio:
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 140.000 𝑥 30 – 100.000 𝑥 30 – 1.500.000

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 4.200.000 – 3.000.000 – 1.500.000
= −$300.000 (𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜).
Ejercicio 2:
Con los datos del ejercicio anterior, determinar el punto de equilibrio, no en

unidades físicas, sino en dinero (en pesos).
Solución:
𝐶𝐹 = $1.500.000
𝑝 = $140.000
𝑐𝑣 = $100.000
Si 𝑌𝑒 = Ingresos en el punto de equilibrio:
𝐶𝐹
𝑌𝑒 = 𝑐𝑣
1− 𝑝
𝐶𝐹 1500000 1500000 1500000

𝑌𝑒 = 𝑐𝑣 = = =
100000
1− 𝑝 1 − 140000 1 − 0,7142857 0,2857143
= $5.250.000 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
Es decir, la sala cuna comienza a generar utilidades si percibe ingresos por sobre
los $5.250.000.
El valor obtenido se puede comprobar de dos maneras. La primera es usando el

concepto de ingreso total y la segunda el de costo total.
𝑆𝑒𝑔ú𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝑌 = 𝑝 𝑥 𝑞 = 140.000 𝑥 37,5 = $5.250.000.

𝑆𝑒𝑔ú𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝐶𝑉𝑇 + 𝐶𝐹 = 𝑐𝑣 𝑥 𝑞 + 𝐶𝐹
= 100.000 𝑥 37,5 + 1.500.000 = $5.250.000
30
Ejercicio 3:
En el año 2012, el Colegio Magíster S.A. obtuvo ingresos por concepto de

matrícula y colegiatura de $6.750.000. En el mismo período sus costos fijos
fueron $2.130.000 y los costos variables totales $3.420.000. a) Determinar el
punto de equilibrio en dinero, b) Calcular los costos variables totales en el punto
de equilibrio.
Solución a):
Como los datos del problema son totales, no valores unitarios, la fórmula que
corresponde utilizar para calcular el punto de equilibrio en dinero es:
𝐶𝐹
𝑌𝑒 =
𝐶𝑉𝑇
1− 𝑌
Datos:
Y = 6.750.000
CVT = 3.420.000
CF = 2.130.000
𝐶𝐹 2130000 2130000 2130000

𝑌𝑒 = = = = = $4.317.859
𝐶𝑉𝑇 3420000
1− 𝑌 1 − 6750000 1 − 0,5067 0,4933
Solución b):
El porcentaje de costos variables es (𝐶𝑉𝑇 / 𝑌) 𝑥 100 = (3.420.000 /

6.750.000) 𝑥 100 = 0,5067 = 50,67%. Por lo tanto, los costos variables totales
en el punto de equilibrio serán:
4.317.859 𝑥 0,5067 = $2.187.859.
Comprobación del punto de equilibrio:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 4.317.859

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 2.187.859
________
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 2.130.000
________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 0
31
Ejercicio 4:
Un mueblista se dedica exclusivamente a la confección de sillas. Debe asumir

cada mes costos fijos de su taller ascendentes a $1.700.000. Hacer cada silla
tiene un costo variable de $32.548 y su precio de venta es de $78.500.
Se pide:
a) ¿Cuántas sillas debe confeccionar el mueblista como mínimo para cubrir los
costos fijos de su taller?
b) El mueblista está pagando actualmente su departamento y su automóvil

nuevo que le significa desembolsar una cuota de $420.000 por el
departamento y de $340.000 por el automóvil. ¿Cuántas sillas debe
confeccionar para cumplir con todos sus compromisos financieros?
Solución a):
CF = $1.700.000
cv = $32.548
p = $78.500
PE en unidades físicas:
𝐶𝐹 1700000
𝑞𝑒 = = = 36,995 ≈ 37 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
𝑝 − 𝑐𝑣 78500 − 32548
Solución b):
CF = $1.700.000 + 420.000 + 340.000 = $2.460.000

cv = $32.548
p = $78.500
𝐶𝐹 2460000
𝑞= = = 53,5341 ≈ 54 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠, 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥.
𝑝 − 𝑐𝑣 78500 − 32548
Ejercicio 5:
Una empresa que fabrica un solo producto tiene costos fijos de $3.200.000 al
mes, costos variables unitarios equivalentes a $1.300 y fija su precio de venta un
18% por sobre el costo variable unitario.
Se pide:
32
a) Calcular la cantidad mínima de ese producto que debe producir y vender
para no generar pérdidas.
b) ¿Qué cantidad debe producir y vender para generar utilidades brutas
(antes de impuesto a la renta) de $2.480.000?
c) ¿Qué cantidad debe producir y vender para generar utilidades netas
(descontado el impuesto a la renta) de $2.480.000?
Solución a):
CF = $3.200.000
cv = $1.300
p = 1.300 x 1.18 = $1.534
𝐶𝐹 3200000
𝑞= = = 13675,213 ≈ 13.675 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝 − 𝑐𝑣 1534 − 1300
Solución b):
𝐶𝐹 = $3.200.000
𝑐𝑣 = $1.300
𝑝 = 1.300 𝑥 1.18 = $1.534
𝑈𝐵 = 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐵𝑟𝑢𝑡𝑎 = $2.480.000
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵 3200000 + 2480000 5680000

𝑞= = = = 24.273,5 ≈ 24.274 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝 − 𝑐𝑣 1534 − 1300 234
Solución c):
𝐶𝐹 = $3.200.000
𝑝 = 1.300 𝑥 1.18 = $1.534
𝑐𝑣 = $1.300
𝐼𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑡 = 17%
Como se está preguntando por la cantidad necesaria para generar utilidades

netas, corresponde aplicar la siguiente fórmula:
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑞𝑒 =
𝑝 − 𝑐𝑣
33
𝑈𝑁 2480000
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡 3200000 + 1 − 0,17 3200000 + 2987951,81 6187951,81
𝑞𝑒 = = = =
𝑝 − 𝑐𝑣 1534 − 1300 234 234
≈ 26.444 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Ejercicio 6:
Una sastrería confecciona pantalones, abrigos y camisas. El costo fijo mensual es

de $890.000, en tanto que el costo variable de fabricar cada pantalón es de
$34.000, el de cada abrigo de $52.000 y el de las camisas de $7.500. El precio de
cada producto tiene un 45% de margen por sobre el costo de cada artículo.
Se pide:
a) ¿Cuántas prendas debe confeccionar y vender la sastrería para alcanzar su

equilibrio operativo, si de cada 10 pedidos, 6 de ellos son pantalones, 2 son
abrigos y 2 son camisas?
b) Punto de equilibrio en unidades monetarias.
c) ¿De qué manera debería distribuirse la producción calculada en a) según la
importancia relativa que tienen los artículos?
Solución:
Precio pantalones: 34.000 ∗ 1,45 = 49.300

Precio abrigos: 52.000 ∗ 1,45 = 75.400
Precio camisas: 7.500 ∗ 1,45 = 10.875
Conceptos Símbol Pantalones Abrigos Camisas

o
Precio p 49.300 75.400 10.875
- Costos variables cv 34.000 52.000 7.500
unitarios
Margen contribución mc 15.300 23.400 3.375
- Costos fijos CF 890.000
Proporción mezcla 60% 20 % 20%
servicios
Solución a):
34
𝐶𝐹
𝑞𝑒 =
𝑚𝑐 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
890.000 890.000
𝑞𝑒 = =
15.300 ∗ 0,60 + 23.400 ∗ 0,2 + 3.375 ∗ 0,2 9.180 + 4.680 + 675
= 61,23151 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠
Solución b):
Punto de equilibrio en unidades monetarias:
Precio promedio: 49.300 ∗ 0,60 + 75.400 ∗ 0,20 + 10.875 ∗ 0,20 = 29.580 +

15.080 + 2.175 = 46.835
Costo var. prom.: 34.000 ∗ 0,60 + 52.000 ∗ 0,20 + 7.500 ∗ 0,20 = 20.400 +
10.400 + 1.500 = 32.300
𝐶𝐹 890.000 890.000 890.000

𝑌𝑒 = 𝑝 − 𝑐𝑣 = = = = $2.868.192
46.835 − 32.300 14.535 0.3103
𝑝 46.835 46.835
Solución c): Distribución de la producción:
𝑃𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 = 61,23151 𝑥 60% = 36,70 = 37 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

𝐴𝑏𝑟𝑖𝑔𝑜𝑠 = 61,23151 𝑥 20% = 12,24 = 12 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑔𝑜𝑠
𝐶𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎𝑠 = 61,23151 𝑥 20% = 12,24 = 12 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎𝑠
Ejercicio 7:
Una empresa, que opera al 70% de su capacidad instalada, vende un producto

que tiene una razón de contribución de 40% y su volumen de ventas mensuales
es de $6.720.000. El precio de venta del producto es de $12.000, pero uno de sus
clientes le ofrece comprar 300 unidades mensuales a un precio de $8.500. Si los
costos fijos de la empresa son $2.712.000, ¿le conviene a la empresa aceptar esa
oferta?
Solución:
𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = =
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠
35
6.720.000 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
= 0,40
6.720.000
6.720.000 − 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 6.720.000 ∗ 0,40

−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 6.720.000 ∗ 0,40 − 6.720.000
−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 2.288.000 − 6.720.000
−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = −4.032.000
Multiplicando por – 1 ambos miembros de la igualdad:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 4.032.000
Estado de Resultados actual:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 6.720.000

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 − 4.032.000
________
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 − 2.712.000
________
𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 − $24.000
Determinación de la cantidad vendida actual:
𝑌 = 𝑝∗𝑞
6.720.000 = 12.000 ∗ 𝑞
6.720.000
𝑞= = 560 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
12.000
Con la utilización del 70% de la capacidad instalada se venden 560 unidades. Con
una regla de tres simple se puede determinar el potencial de ventas al 100%.
560 unidades 0,70

x unidades 1,00
0,70 𝑥 = 560 ∗ 1
560
𝑥= = 800 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
0,70
Por lo tanto, la empresa está en condiciones de vender 300 unidades al precio

ofrecido por el cliente, es decir, a $8.500 y 500 unidades a $12.000:
Ingresos por ventas:
300 ∗ 8.500 = 2.550.000
36
500 ∗ 12.000 = 6.000.000
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 = 8.550.000
Costo variable unitario:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 4.032.000

= = 7.200
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 560
De esta manera:
Estado de Resultados después de considerar la venta de las 300 unidades al

precio ofrecido por el cliente:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 8.550.000

𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 − 5.760.000 (800 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ∗ $7.200)
________
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 − 2.712.000
________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 $78.000
Conclusión: Si la empresa acepta la oferta del cliente, su situación financiera

mejora, porque pasa de una pérdida de $24.000 a una utilidad de $78.000.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 La fabricación de un producto requiere unos costos fijos de $1.500.000. Su

costo variable de producción es de $500 por unidad y su precio de venta es
de $2.000. Se pide: a) ¿A partir de qué cantidad de productos fabricados y
vendidos se comienza a generar beneficios?, b) Determine la utilidad que se
genera si se producen y venden 100 unidades más que las determinadas en
a) y la pérdida que se obtiene al producir y vender 100 unidades menos que
las calculadas en a).
2 Una empresa editorial dedicada a la comercialización de enciclopedias las

vende a $40.000 cada una. Los costos asociados son: Costo variable
unitario: $24.000, comisión de ventas: $2000. Los costos fijos de la firma
(arriendo del local, sueldo de la secretaria, etc.) es de $3.500.000. Se pide
calcular: a) El punto de equilibrio en unidades físicas y monetarias, b)
37
Determinar la utilidad o pérdida de la empresa si el nivel de producción y
venta es de 300 enciclopedias.
3 En la tabla siguiente se presenta la información de ingresos y costos de un

colegio y la proporción en que participa cada uno de los ciclos de
enseñanza, básica y media, en el total de servicios pedagógicos prestados
por el establecimiento.
Conceptos Símbol Básica $ Media $

o
Valor por alumno p 35.000 40.000
- Costos variables unitarios cv 15.000 16.000
Margen contribución mc 20.000 24.000
Proporción mezcla servicios 60 % 40%
Calcular:
a) El punto de equilibrio en cantidades, globalmente y por ciclos de

enseñanza.
b) El punto de equilibrio global en unidades monetarias (en pesos).
4 Una imprenta elabora dos tipos de cuadernos con las siguientes

características:
Conceptos Símbol Cuaderno A Cuaderno B

o $ $
Precio unitario p 2.000 2.500
- Costos variables unitarios cv 500 1.000
Margen contribución mc 1.500 1.500
Proporción mezcla de 30 % 70%
productos
Calcular:
a) El punto de equilibrio en cantidades, globalmente y por tipo de

cuaderno.
b) El punto de equilibrio global en unidades monetarias (en pesos).
38
APÉNDICE
A continuación, se desarrollan temas que complementan la técnica del Costo –
Volumen – Utilidad, que, si bien no son indispensables para la realización de las tareas
propuestas para el curso, sí son necesarios para su cabal comprensión.
• SEGMENTACIÓN DE COSTOS SEMIFIJOS O SEMIVARIABLES:
Para segmentar los costos semifijos o semivariables en sus componentes fijos y

variables, se utilizan preferentemente los dos métodos siguientes:
a) Método del punto alto-bajo: Supóngase que la entidad registra en una sola
cuenta contable las erogaciones por concepto de mantención y reparación de los
equipos computacionales, sin distinguir ambos conceptos. Los costos de
mantención se pueden considerar fijos, porque hay que incurrir en ellos de
acuerdo con un calendario de mantenciones, independientemente del uso de los
equipos, y los costos de las reparaciones son variables, porque se incurre en ellos
solo cuando se necesita efectuarlas. Pero, como se supuso, la contabilidad no
hizo esta distinción y, en este caso, la forma de segmentarlos se hará por el
método del Punto alto-bajo. La información disponible es la siguiente:
Mes Horas de mano de obra Costo de mantención y

(x) reparaciones
(y)
Enero 5 50.000
Febrero 3 39.000
Marzo 6 49.800
Abril 7 66.500
Mayo 8 70.000
Junio 8 70.000
Julio 9 82.800
Agosto 9 82.800
Septiembre 10 93.000
Octubre 11 95.700
Noviembre 12 105.600
Diciembre 12 104.400
Total 100 909.600
El diagrama de dispersión correspondiente a los datos de la tabla anterior es el

siguiente:
40
Costo de mantención y reparaciones de equipos
computacionales
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0 2 4 6 8 10 12 14
Como se aprecia, existe una relación lineal entre las horas de mano de obra y el
costo de mantención y reparaciones durante todo el período, entre las 5 horas (no 3
horas) (nivel de actividad mínimo) y las 12 horas (nivel de actividad más alto) de mano
de obra utilizadas en mantención de los equipos.
Al existir una relación lineal entre las variables, se trata de una línea recta cuya
ecuación es la siguiente:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
Para el método del Punto alto-bajo:
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟

𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 = 𝑦 − 𝑚𝑥
𝑥 = 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝑚 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

𝑚=
𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
Con los datos del ejemplo, para el rango de 6 a 12 horas de mano de obra, se
tiene:
105.600 − 50.000 55.600

𝑚= = = 7.942,9
12 − 5 7
Costos fijos: 𝑛 = 𝑦 − 𝑚𝑥
Se pueden calcular utilizando el punto más alto o el más bajo. En ambos casos, el
resultado será el mismo:
41
Costos fijos calculado con el punto más alto:
𝑛 = 105.600 − 7.942,9 ∗ 12 = 105.600 − 95.315 = 10.285
Costos fijos calculado con el punto más bajo:
𝑛 = 50.000 − 7.942,9 ∗ 5 = 50.000 − 39.715 = 10.285
Por consiguiente, el costo fijo de $10.285 se mantiene dentro del rango de 5

horas a 12 horas. De esta manera, la segmentación del costo de mantención y
reparaciones ascendente a $909.600, se desglosa en su parte fija y variable, como
sigue:
Mes Horas de mano Total costo de Costo fijo $ Costo variable

de obra mantención y $
reparaciones $
Enero 5 50.000 10.285 39.715
Febrero 3 39.000 10.285 28.715
Marzo 6 49.800 10.285 39.515
Abril 7 66.500 10.285 56.215
Mayo 8 70.000 10.285 59.715
Junio 8 70.000 10.285 59.715
Julio 9 82.800 10.285 72.515
Agosto 9 82.800 10.285 72.515
Septiembre 10 93.000 10.285 82.715
Octubre 11 95.700 10.285 85.415
Noviembre 12 105.600 10.285 95.315
Diciembre 12 104.400 10.285 94.115
Total 100 909.600 123.420 786.180
Por consiguiente, la función de costo en el método de estimación alto-bajo, es:
𝑦 = 7.942,9𝑥 + 10.285
Donde 𝑥 = ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑟𝑎.
b) Análisis de regresión simple: Este método estadístico relaciona la variable

dependiente (costo semivariable o semifijo) con la variable independiente (nivel
de actividad o volumen de producción o ventas). Mediante esta herramienta se
puede segmentar el costo semivariable o semifijo en su componente fijo y
42
variable y, además, estimar el costo para distintos niveles de actividad o volumen
de producción o ventas. Esta relación se expresa en una ecuación de la recta:
Donde:
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)

𝑛 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠
𝑚 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
(𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎)
𝑥 = 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
Para determinar los valores m y n, se utiliza el método de los mínimos cuadrados

y sus condiciones se expresan como:
𝑎(∑ 𝑥𝑦) − (∑ 𝑥)(∑ 𝑦)

𝑚= 2
𝑎(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)
2
(∑ 𝑦)(∑ 𝑥 ) − ∑ 𝑥 ∑(𝑥𝑦)
𝑛= 2
𝑎(∑ 𝑥 2 ) − (∑ 𝑥)
Donde a = número de observaciones. Por ejemplo, si la información está referida

a los 12 meses del año. 𝑎 = 12.
Utilizando el mismo ejemplo anterior:
Total costo de
Horas de mano de
mantención y
Mes obra x2 xy
reparaciones ($)
(x)
(y)
Enero 5 50.000 25 250.000
Febrero 3 39.000 9 117.000
Marzo 6 49.800 36 298.800
Abril 7 66.500 49 465.500
Mayo 8 70.000 64 560.000
Junio 8 70.000 64 560.000
Julio 9 82.800 81 745.200
Agosto 9 82.800 81 745.200
Septiembre 10 93.000 100 930.000
Octubre 11 95.700 121 1.052.700
Noviembre 12 105.600 144 1.267.200
Diciembre 12 104.400 144 1.252.800
Total ∑ 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 ∑ 𝒚 = 𝟗𝟎𝟗. 𝟔𝟎𝟎 ∑ 𝒙𝟐 ∑ 𝒙𝒚
= 𝟗𝟏𝟖 = 𝟖. 𝟐𝟒𝟒. 𝟒𝟎𝟎
43
Aplicando las fórmulas anteriores para m y n, se tiene:
12 ∗ 8.244.400 − 100 ∗ 909.600 7.972.800

𝑚= = = 7.847,2
12 ∗ 918 − 100 ∗ 100 1.016
909.600 ∗ 918 − 100 ∗ 8.244.400 10.572.800

𝑛= = = 10.406,3
12 ∗ 918 − 100 ∗ 100 1.016
Por tanto,
𝑦 = 7.847,2𝑥 + 10.406,3
Esto quiere decir que los costos fijos son $10.406,3 y que el costo variable por hora de
mano de obra es de $7.847,2. De esta manera, la segmentación del costo de
mantención y reparaciones ascendente a $909.600, se desglosa en su parte fija y
variable, como sigue:
Mes Horas de mano de Total costo de Importe fijo $ Importe variable

obra mantención y $
reparaciones $
Enero 5 50.000 10.406 39.594
Febrero 3 39.000 10.406 28.594
Marzo 6 49.800 10.406 39.394
Abril 7 66.500 10.406 56.094
Mayo 8 70.000 10.406 59.594
Junio 8 70.000 10.406 59.594
Julio 9 82.800 10.406 72.394
Agosto 9 82.800 10.406 72.394
Septiembre 10 93.000 10.406 82.594
Octubre 11 95.700 10.406 85.294
Noviembre 12 105.600 10.406 95.194
Diciembre 12 104.400 10.406 93.994
Total 100 909.600 124.872 784.728
Comparando ambos métodos, se observa que no hay variaciones significativas en sus

resultados.
Este método estadístico de regresión simple se puede utilizar también con fines
presupuestarios, por ejemplo, para responder a la pregunta: ¿cuál sería el costo de
mantención y reparaciones si se emplean 4 horas ó 14 horas de mano de obra?
Respuesta: para 𝑥 = 4, el costo sería de $41.795,1.
𝑦 = 7.847,2𝑥 + 10.406,3
𝑦 = 7.847,2 ∗ 4 + 10.406,3 = 31.388,8 + 10.406,3 = 41,795,1
44
y para 𝑥 = 14, el costo sería de $120.267,1.
𝑦 = 7.847,2𝑥 + 10.406,3
𝑦 = 7.847,2 ∗ 14 + 10.406,3 = 109.860,8 + 10.406,3 = 120.267,1
• PRECIO DE EQUILIBRIO
De la fórmula de la cantidad de equilibrio se puede deducir el precio de equilibrio, es

decir, el ingreso o arancel por alumno que hace que la utilidad bruta del
establecimiento sea cero.
𝑞 ∗ (𝑝 − 𝑐𝑣) = 𝐶𝐹
𝑞 ∗ 𝑝 – 𝑞 ∗ 𝑐𝑣 = 𝐶𝐹
𝑞 ∗ 𝑝 = 𝐶𝐹 + 𝑞 ∗ 𝑐𝑣
𝑝 = 𝐶𝐹/𝑞 + 𝑞 ∗ 𝑐𝑣/𝑞
𝑪𝑭
𝒑𝒆 = + 𝒄𝒗
𝒒
Ejemplo: Los costos fijos de una sala cuna ascienden a $1.620.000 al mes y el costo
variable por párvulo es de $120.000. Determinar el precio de equilibrio si 1) la
cantidad de párvulos es 45 y 2) es 70 párvulos.
1) El precio de equilibrio para 45 párvulos es:
1.620.000
𝑝𝑒 = + 120.000 = $156.000
45
Comprobación:

________
_________
2) El precio de equilibrio para 70 párvulos es:
1.620.000
𝑝𝑒 = + 120.000 = $143.142,85
70
45
Comprobación:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 70 ∗ 143.142,85 ≈ 10.020.000

_________
__________
• DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE EQUILIBRIO PARA LOGRAR UNA

DETERMINADA UTILIDAD BRUTA
Para deducir este cálculo, se puede partir de la ecuación siguiente:
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞=
𝑝 − 𝑐𝑣
𝑞(𝑝 − 𝑐𝑣) = 𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞𝑝 − 𝑞𝑐𝑣 = 𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞𝑝 = 𝐶𝐹 + 𝑈𝐵 + 𝑞𝑐𝑣
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵 + 𝑞𝑐𝑣
𝑝=
𝑞
𝑪𝑭 + 𝑼𝑩
𝒑= + 𝒄𝒗
𝒒
variable por párvulo es de $120.000. Si la cantidad de párvulos del establecimiento es
70, ¿cuál debería ser el valor de la mensualidad para obtener una utilidad bruta de
$900.000?
El precio para obtener una utilidad bruta de $900.000 con 70 párvulos:
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑝= + 𝑐𝑣
𝑞
1.620.000 + 900.000 2.520.000

𝑝= + 120.000 = + 120000 = $156.000
70 70
46
Comprobación:

________
_________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 (𝑈𝐵) 900.000
• DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE EQUILIBRIO PARA LOGRAR UNA

DETERMINADA UTILIDAD NETA
Para calcularlo, se puede partir de la fórmula siguiente:
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑞=
𝑝 − 𝑐𝑣
𝑈𝑁
𝑞(𝑝 − 𝑐𝑣) = 𝐶𝐹 +
1−𝑡
𝑈𝑁
𝑞𝑝 − 𝑞𝑐𝑣 = 𝐶𝐹 +
1−𝑡
𝑈𝑁
𝑞𝑝 = 𝐶𝐹 + + 𝑞𝑐𝑣
1−𝑡
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡 + 𝑞𝑐𝑣
𝑝=
𝑞
𝑼𝑵
𝑪𝑭 + 𝟏 − 𝒕
𝒑= + 𝒄𝒗
𝒒
variable por párvulo es de $120.000. Si la cantidad de párvulos es 70, cuál debería ser
el valor de la mensualidad para obtener una utilidad neta de $900.000, si la tasa de
impuesto a la renta es 20%?
El precio para obtener una utilidad neta de $900.000 con 70 párvulos:
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑝= + 𝑐𝑣
𝑞
47
900.000
1.620.000 + 1 − 0,20 1.620.000 + 1.125.000
𝑝= + 120.000 = + 120000
70 70
= $159.214,28
Comprobación:
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑔𝑖𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 70 ∗ 159.214,28 ≈ 11.145.000

__________
__________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑏𝑟𝑢𝑡𝑎 1.125.000
− 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 (1.125.000 ∗ 0,20) = 225.000
__________
𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑑 𝑛𝑒𝑡𝑎 900.000
• DETERMINACIÓN DEL INCREMENTO DEL PRECIO DE LA COLEGIATURA

(△𝑝 ) PARA UN INCREMENTO EN LOS COSTOS FIJOS (△ 𝑪𝑭).
Dependiendo si la fórmula del precio que se utilice para esa determinación incluye o
no la utilidad bruta o neta, la fórmula para el incremento del precio será:
𝐶𝐹
𝑆𝑖 𝑝 = + 𝑐𝑣
𝑞
𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹
𝑝 +△𝑝 = + 𝑐𝑣
𝑞
𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭
△𝒑 = + 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞
(𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹 ) + 𝑈𝐵
𝑝 +△𝑝 = + 𝑐𝑣
𝑞
(𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭) + 𝑼𝑩
△𝒑 = + 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒
𝑈𝑁
𝐶𝐹 +
𝑆𝑖 𝑝 = 1 − 𝑡 + 𝑐𝑣
𝑞
48
𝑈𝑁
(𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹 ) +
𝑝 +△𝑝 = 1 − 𝑡 + 𝑐𝑣
𝑞
𝑼𝑵
(𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭) +
△𝒑 = 𝟏 − 𝒕 + 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒

(△𝒑 ) PARA UN INCREMENTO EN LOS COSTOS VARIABLE (△ 𝒄𝒗).
𝐶𝐹
𝑞
𝐶𝐹
𝑝 +△𝑝 = + 𝑐𝑣 +△ 𝒄𝒗
𝑞
𝑪𝑭
△𝒑 = + 𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑝 +△𝑝 = + 𝑐𝑣 +△ 𝒄𝒗
𝑞
𝑪𝑭 + 𝑼𝑩
△𝒑 = + 𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑞
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑝 +△𝑝 = + 𝑐𝑣 +△ 𝒄𝒗
𝑞
𝑼𝑵
𝑪𝑭 + 𝟏 − 𝒕
△𝒑 = + 𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗 − 𝒑
𝒒
49
(ΔP) PARA NEUTRALIZAR UN INCREMENTO EN LOS COSTOS VARIABLES
(ΔCV) Y EN LOS COSTOS FIJOS △ 𝐶𝐹.
𝐶𝐹
𝑞
𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹
𝑝 +△𝑝 = + (𝑐𝑣 +△ 𝑐𝑣)
𝑞
𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭
△𝒑 = + (𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗) − 𝒑
𝒒
𝐶𝐹 + 𝑈𝐵
𝑞
(𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹) + 𝑈𝐵
𝑝 +△𝑝 = + (𝑐𝑣 +△ 𝑐𝑣)
𝑞
(𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭) + 𝑼𝑩
△𝒑 = + (𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗) − 𝒑
𝒒
𝑈𝑁
𝐶𝐹 + 1 − 𝑡
𝑞
𝑈𝑁
(𝐶𝐹 +△ 𝐶𝐹) + 1 − 𝑡
𝑝 +△𝑝 = + (𝑐𝑣 +△ 𝑐𝑣)
𝑞
𝑼𝑵
(𝑪𝑭 +△ 𝑪𝑭) + 𝟏 − 𝒕
△𝒑 = + (𝒄𝒗 +△ 𝒄𝒗) − 𝒑
𝒒
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PUNTO DE EQUILIBRIO

José Santic Agüero

ANÁLIS DE COSTO – VOLUMEN – UTILIDAD

Incluye dos tipos de análisis:

• Análisis de Contribución: Permite determinar el impacto en las utilidades de la

• Análisis del Punto de Equilibrio: Este punto, conocido también Umbral de

Para utilizar ambas técnicas, es indispensable clasificar los costos de la empresa

La representación gráfica de los costos semifijos o escalonados es la siguiente:

Ambos tipos de costos, los semivariables y los semifijos, deben segmentarse en

Costos totales = Costos fijos + Costos variables

Como se ha señalado anteriormente, el análisis de contribución permite determinar el

Del estado anterior se desprende lo siguiente:

• Margen de contribución: Es la diferencia entre los ingresos de operación y los

• Razón de contribución: Es el cociente entre el margen de contribución y los

En el caso de una entidad educativa, si la dirección superior dispone de un estado de

Cantidad de alumnos 1000 + 1000 ∗ 0,10 = 1.100

Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Ejemplo 2: Determinar la utilidad de la entidad si el precio de la colegiatura sube en un

Cantidad de alumnos 1.000

Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Ejemplo 3: Determinar la utilidad de la entidad si los costos fijos suben en 10%,

Cantidad de alumnos 1.000

Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Cantidad de alumnos 1.000

Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Ejemplo 5: Determinar la utilidad de la entidad si se incluyen todos los cambios vistos

Cantidad de alumnos 1.100

Conceptos Totales $ Valores unitarios $ %

Es una herramienta de análisis financiero que permite determinar el nivel de ingresos

Según la clasificación propuesta por Morales (1993), los elementos que

• Costos variables unitarios. Se distinguen los siguientes:

• Precio de venta: Corresponde a los ingresos percibidos por alumno por

Para la determinación del punto de equilibrio de una entidad educacional, se

𝑪𝑽𝑻 = Costos variables totales.

𝑪𝑭 = Costos fijos del establecimiento.

𝒀 = Ingresos por ventas del establecimiento.

Las relaciones matemáticas necesarias para calcular el punto de equilibrio, son

Nota: El asterisco * significa “multiplicado por”.

Con estos antecedentes se puede determinar la fórmula para calcular el punto

1.- Punto de equilibrio en unidades físicas

En términos de las variables definidas anteriormente, el punto de equilibrio es la

Método de la ecuación del Estado de Resultados:

Para la determinación matemática del punto de equilibrio se recurre a la siguiente

Haciendo la utilidad bruta igual a cero, se tiene:

0 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹, donde q es la cantidad de equilibrio.

Ejemplo 1: Un comerciante compra un producto en $20.000 para revenderlo después

𝑝 = 20.000 + 20.000 ∗ 0,30 = 20.000 + 6.000 = $26.000

Es decir, el comerciante alcanza el punto de equilibrio vendiendo 25 unidades del

Este cálculo se puede comprobar confeccionando el correspondiente Estado de

Solución: La igualdad básica del Estado de resultados, es:

Utilidad bruta = Ingresos - Costos variables - Costos fijos

𝑈𝐵 = 𝑝 ∗ 𝑞 − 𝑐𝑣 ∗ 𝑞 − 𝐶𝐹, donde q es la cantidad de niños por atender.

Como la organización no busca beneficios, 𝑈𝐵 = 0

0 = 100.000.000 − 2.000.000 ∗ 𝑞 − 50.000.000

Es decir, la organización podrá atender a 25 niños con los $100.000.000 recibidos

Como se ha dicho, el margen de contribución es la diferencia entre los ingresos

En la ecuación anterior, (𝑝 ∗ 𝑞 ) − (𝑐𝑣 ∗ 𝑞 ) = 𝑚𝑐, es decir, el margen de

Como en el punto de equilibrio, 𝑈𝐵 = 0