Unidad I.

Funciones trascendentales:
exponencial, logarítmica, trigonométricas
(seno, coseno y tangente)

Actividad Integradora 1. Función exponencial y Función

Logaritmo
 Resultado de aprendizaje

• Identifica las características de la función

exponencial y la función logaritmo a partir
del análisis de su gráfica.

• Resuelve problemas hipotéticos o reales

que involucren a la función exponencial y la
función logaritmo, con el uso pertinente de
las TIC.
 La Función Exponencial

Una función exponencial está dada por la expresión

𝒙
𝒇 𝒙 = 𝒃 , 𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝒃 > 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟏
El término 𝒃 recibe el nombre de base y el exponente 𝒙 es
una variable que toma diferentes valores tanto positivos
como negativos. El dominio de toda función exponencial
está definido para todos los números reales ℝ, y el rango
está conformado por el conjunto de los números reales
positivos, es decir 𝒚 ∈ (𝟎, +∞).
Por lo tanto la función exponencial es continua para todos
los valores de 𝑥 de su dominio.
 Función
exponencial
𝑥 Exponente
𝑓 𝑥 =𝑏
Base
Si 𝒃 > 𝟏 la función exponencial
describe un comportamiento
creciente

𝑥
𝑓 𝑥 =𝑏
Cuando 𝟎 < 𝒃 < 𝟏, la
función exponencial
es decreciente.

𝑥
𝑓 𝑥 =𝑏
x
𝒇 𝒙 = 𝒃𝒙 𝒇 𝒙 = 𝒃𝒙
𝟎<𝒃<𝟏 𝒃>𝟏
 Características principales
Analizando la función
𝑓 𝑥 = 2𝑥 , se tiene:

Dominio: ℝ
Rango: (𝟎, +∞)
Creciente: (−∞, +∞)

Corta al eje y en 𝑨(𝟎, 𝟏)

Asíntota horizontal: eje 𝒙 (𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒚 = 𝟎)

 𝒈 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
 𝒈 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙

𝒉 𝒙 = 𝟒𝟎𝒙

𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
𝒑 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙
En la función exponencial 𝒑 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝒙
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 , cuando el valor de
𝑏 es un número entero 𝒈 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙
positivo mayor a 1, la función
exponencial mantiene un 𝒉 𝒙 = 𝟒𝟎𝒙
comportamiento creciente. Si
𝑏 toma valores muy grandes,
entonces la función
exponencial tiende a
acercarse al eje de las
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
ordenadas: 𝑦.
Observa también, que todas
mantienen el mismo dominio,
rango, intersección con el eje
𝑥 y la misma asíntota
horizontal.
En la función exponencial
𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 , cuando al
exponente 𝑥 se le agrega
un numero real positivo,
el punto de intersección 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙+𝟐 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
con el eje 𝑦 se desplaza
hacia arriba.
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
En la función
exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 ,
cuando al exponente 𝑥
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙−𝟏 se le agrega un numero
real negativo, el punto
de intersección con el
eje 𝑦 se desplaza hacia
abajo.
Función
Exponencial
de base 𝑒
 Función Exponencial de base ℮

El número 𝒆 se define como el número al que tiende la

𝟏 𝒎
expresión 𝟏 + cuando 𝒎 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, …, es decir,
,
𝒎
𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗 … La función exponencial base 𝒆
se define:
𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙
La función exponencial de base 𝒆 es
creciente cuando 𝑥>0 y
decreciente si 𝑥 < 0. En ambos casos
su dominio son todos los números
reales, el rango está definido en el
intervalo (0, +∞) y cuenta con una
asíntota horizontal definida para la
recta 𝑦 = 0 (eje 𝑥).
La función exponencial
de base 𝒆 es creciente
cuando 𝒙 > 𝟎
𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙

La función
exponencial de
base 𝒆 es
decreciente si
𝑥 < 0.
 Función Exponencial de base ℮
Considerando la función 𝑓 𝑥 = 𝑒 3𝑥 , sus características son:

Dominio: ℝ
R𝐚𝐧𝐠𝐨: (−∞, +∞)
Creciente: (−∞, +∞)

Sólo corta al eje y

Observa que cuando 𝒙 = 𝟎,
su imagen es 1, ya que:
𝒇 𝟎 = 𝒆 𝟑 𝟎 = 𝒆𝟎 = 𝟏
Por lo que la coordenada
del punto de intersección
es 𝑨(𝟎, 𝟏) Asíntota horizontal: eje 𝒙 (𝒚 = 𝟎)
Aplicaciones
de la función
exponencial
 Ejemplos de aplicación de la función exponencial

Interés Compuesto

Interés Compuesto Continuamente

Crecimiento Poblacional
 Interés compuesto

Es aquel en el cual el capital cambia al final de cada

periodo, debido a que los intereses se adicionan al
capital para formar un nuevo capital denominado
monto y sobre este monto volver a calcular intereses,
es decir, hay capitalización de los intereses. En otras
palabras se podría definir como la operación
financiera en la cual el capital aumenta al final de
cada periodo por la suma de los intereses vencidos.
La suma total obtenida al final se conoce con el
nombre de monto compuesto o valor futuro. A la
diferencia entre el monto compuesto y el capital
original se le denomina interés compuesto.
Al rédito que se paga por usar dinero de otra persona o
banco se le llama interés. Este por lo general se calcula
como un porcentaje llamado tasa de interés de un
capital en un periodo dado. Cuando el interés generado
al final de un periodo de pago se agrega al capital, de
modo que el interés calculado al final del siguiente
periodo de pago se base en la nueva cantidad de capital
(capital anterior + interés) decimos que el interés es
compuesto.
El interés compuesto es el interés pagado sobre un
interés anterior.
El interés es la cantidad de dinero pagado por el uso de
cierta cantidad de dinero. El capital es la cantidad total de
dinero prestada a un banco o persona bajo la forma de un
préstamo. La tasa de interés, expresada en porcentaje, es
la cantidad cobrada por el uso del capital durante cierto
periodo, que por lo general se expresa sobre una base
anual.
Al trabajar con problemas de interés compuesto, comúnmente se
utilizan los siguientes periodos de pago:
Para determinar el interés compuesto, se empleará la siguiente función:
 Ejemplo 1
Carlos abrió una cuenta de ahorro en la Caja Popular Mexicana, invirtió
$1000.00 a una tasa del 8% anual. Determina qué cantidad de dinero
tendrá Carlos después de 3 años, compuesto de forma:
a) Bimestral
b) Trimestral
c) Semestral
 Carlos abrió una cuenta de ahorro en la Caja Popular Mexicana, invirtió $1000.00 a una tasa
del 8% anual. Determina qué cantidad de dinero tendrá Carlos después de 3 años, compuesto
de forma:
a) Bimestral
Solución:
Datos:
𝒓 𝒏𝒕
𝑃 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑨 𝒕 =𝑷 𝟏+
𝑟 = tasa anual epresada en 𝒏
decimales= 8% = 𝟎. 𝟎𝟖 𝟔(𝟑)
𝟎. 𝟎𝟖
𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 + = 𝟏𝟐𝟔𝟗. 𝟐𝟑𝟒𝟔
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠= bimestral ( en un 𝟔
año hay 6 bimestres) = 6
Después de tres años Carlos tendrá $1269.2346,
𝑡 = 𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔 su inversión aumentó 269.2346 en tres años,
compuesto bimestralmente a una tasa del 8%
𝐴(3) = Cantidad de dinero que anual.
tendrá Carlos después de 3 años
Recomendaciones para el uso de la calculadora
científica
𝟔(𝟑)
𝟎. 𝟎𝟖
𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 + = 𝟏𝟐𝟔𝟗. 𝟐𝟑𝟒𝟔
𝟔

Para escribir la expresión de arriba en la

calculadora científica, se recomienda
introducir los datos de la siguiente forma:

1000 (1+(0.08÷ 6)) ^18

Carlos abrió una cuenta de ahorro en la Caja Popular Mexicana, invirtió $1000.00 a una tasa
del 8% anual. Determina qué cantidad de dinero tendrá Carlos después de 3 años, compuesto
de forma:
b) Trimestral
Solución:
Datos:
𝒓 𝒏𝒕
𝑃 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑨 𝒕 =𝑷 𝟏+
𝒏
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 8% = 𝟎. 𝟎𝟖 𝟒(𝟑)
𝟎. 𝟎𝟖
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠= trimestral ( en un 𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 + = 𝟏𝟐𝟔𝟖. 𝟐𝟒𝟏𝟕
𝟒
año hay 4 trimestres) = 4

𝑡 = 𝟑 𝑎ñ𝑜𝑠 Después de tres años Carlos tendrá $1268.24172

su inversión aumentó $268.2417 en tres años,
𝐴(3) = Cantidad de dinero que compuesto bimestralmente a una tasa del 8%
tendrá Carlos después de 3 años anual.
Recomendaciones para el uso de la calculadora
científica
𝟎.𝟎𝟖 𝟒(𝟑)
𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 + = 𝟏𝟐𝟔𝟖. 𝟐𝟒17
𝟒

Para escribir la expresión de arriba en la

calculadora científica, se recomienda
introducir los datos de la siguiente forma:

1000 (1+(0.08÷ 4)) ^12

Carlos abrió una cuenta de ahorro en la Caja Popular Mexicana, invirtió $1000.00 a una tasa
del 8% anual. Determina qué cantidad de dinero tendrá Carlos después de 3 años, compuesto
de forma:
c) Semestral
Solución:
Datos:
𝒓 𝒏𝒕
𝑃 = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑨 𝒕 =𝑷 𝟏+
𝒏
𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 8% = 𝟎. 𝟎𝟖 𝟐(𝟑)
𝟎. 𝟎𝟖
𝑛 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠= semestral ( en un 𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏 + = 𝟏𝟐𝟔𝟓. 𝟑𝟏𝟗𝟎
𝟐
año hay 2 semestres) = 2
Después de tres años Carlos tendrá $1265.3190, su
𝑡 = 𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔 inversión aumentó 265.3190 en tres años,
compuesto bimestralmente a una tasa del 8% anual.
𝐴(3) = Cantidad de dinero que
tendrá Carlos después de 3 años
 Interés Compuesto Continuamente

La constante 𝑒 se utiliza en el estudio del interés compuesto que se abordó

anteriormente. Supongamos ahora que 𝑃, 𝑟 y 𝑡 son constantes y que 𝑛 se incrementa
sin límite. El tipo de interés que se obtiene recibe el nombre de interés compuesto
continuamente.

𝑨(𝒕) = 𝑷𝒆𝒓𝒕
Función del interés 𝐴(𝑡) = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠
compuesto 𝑃 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜
continuamente 𝑟 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑡 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
 Ejemplo 1
Se deposita $1 000 en un banco que paga el 8% anual compuesto
continuamente, ¿cuál será el nuevo capital después de 3 años?

Datos:
𝑃 = Capital depositado = 1000 Solución:
𝑨 𝒕 = 𝑷𝒆𝒓𝒕
𝑟 = tasa de interés
anual en decimales = 8% = 0.08 𝑨 𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒆(𝟎.𝟎𝟖)(𝟑) = 𝟏𝟐𝟕𝟏. 𝟐𝟒𝟗𝟏

𝑡 = tiempo= 3 𝑎ñ𝑜𝑠 El capital después de 3 años es de

$1271.2491 compuesto continuamente.
𝐴(3) = Capital después de 3 años
 Diferencia entre interés compuesto y el
interés compuesto continuamente
Interés compuesto
Interés compuesto continuamente
Es aquel tipo de interés en el cual los intereses
se calculan sobre el capital más el interés Es el interés acumulado al capital de manera
obtenido en el periodo anterior. Es decir, al final instantánea, es decir el capital crece
de cada periodo los intereses se adicionan continuamente en menos de 1 segundo.
al capital (Proceso de capitalización), logrando Se define una tasa de interés continuo
así en tiempos iguales intereses cada vez (r%) como aquella cuyo periodo de
mayores. capitalización es lo más pequeño posible. Por
ejemplo, se habla del 32% capitalizable
El interés compuesto representa el costo del continuamente, lo cual significa que es una
dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial tasa expresada anualmente y su periodo de
(C) o principal a una tasa de interés (i) durante capitalización puede ser lo más pequeño
un período (t), en el cual los intereses que se posible.
obtienen al final de cada período de inversión
no se retiran sino que se re-invierten o añaden
al capital inicial; es decir, se capitalizan,
produciendo un capital final (Cf).
 Crecimiento Poblacional

El crecimiento poblacional se refiere

al incremento del número de habitantes en
un espacio y tiempo determinado, es decir,
es el cambio en la población en un cierto
plazo, y puede ser contado como el cambio
en el número de individuos en una
población por unidad de tiempo para su
medición.
Se estudiará el crecimiento poblacional de
personas, bacterias y virus.
 Ejemplo 1
El número de moscas de la fruta en una población experimental,
después de t horas, se incrementa de acuerdo a la función:
𝑵 𝒕 = 𝟐𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟑𝒕
a) ¿Cuántas moscas había al inicio del experimento?
Datos:
𝑡 = 𝟎 horas (al inicio del experimento se refiere que aún no ha
trascurrido el tiempo después de que se dio comienzo al Recuerda que, una de las
propiedades de los
experimento). exponentes estudiadas en
el 2° semestre indicaba que
Solución: todo termino numérico o
algebraico, elevado a la
𝑵 𝟎 = 𝟐𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟑(𝟎) = 𝟐𝟎𝐞𝟎 = 𝟐𝟎 𝟏 = 𝟐𝟎 potencia 0, el resultado es
1:
El experimento se inició con 20 moscas 𝒆𝟎 = 𝟏
 Recomendaciones para el uso de la calculadora
científica
𝑁 0 = 𝟐𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟑(𝟎) = 𝟐𝟎𝐞𝟎 = 20 1 = 20

Para escribir la expresión de arriba marcada La tecla Shift

de rojo, en la calculadora científica, se seguida de la tecla
In hace que se
recomienda introducir los datos de la active la función
siguiente forma: “e”

20 SHIFT In(0.03x0) o bien 20 SHIFT In 0

El número de moscas de la fruta en una población experimental,
después de t horas, se incrementa de acuerdo a la función:
𝑵 𝒕 = 𝟐𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟑𝒕

b) ¿Cuál es la población de moscas después de 72 horas?

Datos:
𝒕 = 𝟕𝟐 horas

𝑁(72) = cantidad de moscas después de 72 horas

Solución:
A las 72 horas habrá
𝑵 𝟕𝟐 = 𝟐𝟎𝒆𝟎.𝟎𝟑(𝟕𝟐) = 𝟏𝟕𝟑. 𝟒𝟐𝟐𝟕 moscas aproximadamente 173
moscas