CAPITULO 6

6.1) Tres fuentes isotrópicas, con espaciado entre ellas d, son colocadas a lo largo del eje
Z. El coeficiente de excitación de cada elemento externo es la unidad mientras que el del
elemento del centro es 2. Para un espacio d=λ/a entre elementos, encuentre:

a) Factor de arreglo
b) Ángulos (en grados) donde los nulos del patrón ocurren (0°≤θ≤180°)
c) Ángulos (en grados) donde el máximo del patrón ocurre (0°≤θ≤180°)

6.2) LA TRADUCCION ESTA EN LA CLASE DEL DIA 12/1/2011

6.3) Un arreglo de 3 elementos de fuentes isotrópicas tiene la relación de fase y magnitud

mostrada en la figura. El espaciado entre elementos es d=λ/2

a) Encuentre el factor de arreglo

b) Encuentre los nulos

6.4) Repita el ejercicio anterior cuando los coeficientes de excitación para los elementos
#1. #2 y #3 son respectivamente +1, +j y –j

6.5) Cuatro fuentes isotrópicas son colocadas a lo largo del eje Z como se muestra.
Asumiendo que las amplitudes de los elementos #1 y #2 son +1 y las amplitudes de los
elementos #3 y #4 son -1 (o 180° desfasado con respecto a #1 y #2), encuentre:

a) Factor de arreglo en forma simplificada

b) Todos los nulos cuando d=λ/2
6.6) Tres elementos isotrópicos de igual fase de excitación son colocados a los largo del
eje Y como se muestra. Si la amplitud relativa de #1 es +2 y de #2 y #3 es +1, encuentre
la expresión simplificada para factor de arreglo tridimensional no normalizado.

6.7) Diseñe un arreglo uniforme de 2 elementos isotrópicos, posicionado a lo largo del eje
Z a una distancia λ/4, así su único máximo ocurre a lo largo de θ=0°. Asumiendo
condiciones ordinarias END-FIRE, encuentre:

a) Excitación relativa de fase de cada elemento

b) Factor de arreglo del arreglo

6.8) Repita el ejercicio anterior para que el único máximo ocurra a los largo de θ=180°
6.9) Diseñe un arreglo END-FIRE de cuatro elementos posicionados a los largo del eje Z
a una distancia d y con un factor de arreglo máximo hacia θ=0°. Para un espaciado d=λ/2
entre elementos encuentre:

a) Excitación de fase progresiva entre los elementos

b) Ángulos (en grados) donde los nulos del factor de arreglos ocurren
c) Ángulos (en grados) donde el máximo del factor de arreglo ocurre
d) Ancho de haz (/en grado) entre los primeros nulos del factor de arreglo
e) Directividad (en dB) del factor de arreglo.

6.10) Diseñe un arreglo lineal uniforme END-FIRE con un solo máximo así su directividad
es 20 dB (isotrópico). El espaciado entre elementos es λ/4, y su longitud es mucho mayor
que el espaciado. Determine:

a) Número de elementos
b) Longitud total del arreglo (en longitud de ondas)
c) Ancho de haz de potencia mitad HPBW aproximado (en grados)
d) Nivel de amplitud (comparado con el máximo del lóbulo mayor) de primer lóbulo
menor (en dB)
e) Cambio de fase progresiva entre los elementos (en grados)

6.11) Rediseñe el arreglo anterior con el fin de incrementar su directividad mientras se

mantiene la uniformidad, el número de elementos, el espaciado entre elementos y la
radiación END-FIRE del ejercicio anterior.

a) Qué diferencia del diseño del problema anterior va a hacer para lograr esto? Sea
especifico y de valores
b) Por cuantos decibeles (máximo) puede incrementar la directividad, comparado con
el diseño del problema anterior?
c) Está esperando que el ancho de haz de potencia media se incremente o se
decremente? Por que se incrementa o decrementa y por cuanto?

6.12) Diez elementos isotrópicos son colocados a lo largo del eje Z. Diseñe un arreglo
END-FIRE Hansen-Woodyard con un máximo direccionado hacia θ=180°. Encuentre:

a) Espaciado
b) Diferencia progresiva de fase β (en radianes)
c) Localización de los nulos (en grados)
d) Primer nulo de ancho de haz (en grados)
e) Directividad

6.13) Un arreglo de 10 elementos isotrópicos están localizados a lo largo del eje Z a una
distancia d. Asumiendo una distribución uniforme, encuentre la fase progresiva (en
grados), ancho de haz de potencia media (en grados), primer nulo de ancho de haz (en
grados), nivel máximo de ancho de haz del primer lóbulo lateral (en grados), nivel máximo
relativo del lóbulo lateral (en dB), y la directividad (en dB) usando ecuaciones para los
arreglos:
 a) Broadside
b) END-FIRE
c) END-FIRE Hansen-Woodyard

Cuando el espaciado entre arreglos es de λ/4

6.14) Encuentre el ancho de haz y la directividad de un arreglo uniforme de diez

elementos isotrópicos colocados a lo largo del eje Z. El espaciado entre elementos es de
λ/4 y su máximo está dirigido a 45° desde su eje.

6.15) Muestre que para que un arreglo uniforme de N arreglos no tenga ningún lóbulo
menor, el espaciado y la diferencia de fase progresiva entre elementos debe ser:

a) d=λ/N, β=0 para un arreglo Broadside

b) d= λ/2N, β=±kd para un arreglo END-FIRE

6.16) Un arreglo uniforme de 20 elementos isotropicos es colocado a lo largo del eje Z a

una distancia y /4 con un cambio de fase progresiva de β radianes. Calcule β (dando la
respuesta en radianes) para los siguientes tipos de arreglos:
a) Broadside
b) End-fire con máximo en θ=0
c) End-fire con máximo en θ=180
d) Arreglo de fase con un máximo aimed a θ=30
e) Hansen-Woodyard con máximo en θ=0
f) Hansen-Woodyard con máximo en θ=180

6.17) Diseñar un arreglo lineal uniforme de 19 elementos con espaciado de /4 entre
elementos
a) Cual es la fase progresiva de excitación entre los elementos para que el máximo del
factor de arreglo sea 30º desde la línea de los elementos donde son colocados?
b) Cual es el ancho de haz de potencia mitad (en grados) de el factor de arreglo de la
parte a?
c) Cual es el valor de dB del máximo del primer lóbulo menor.

6.18) Para un arreglo lineal uniforme Broadside de 10 elementos isotrópicos, determine la

directividad aproximada en dB cuando el espaciado entre elementos es
a) /4
b) /2
c) 3/4
d) 

6.19) La máxima distancia d entre elementos en un arreglo lineal para suprimir los lóbulos
mayores es:

cuando o es la dirección de patrón máximo. Cuál es la distancia máxima entre elementos

sin incluir los módulos mayores, cuando el arreglo es diseñado ángulos máximos de
a) θo=30º
 b) θo=45º
c) θo=60º

6.20) Un arreglo de 4 fuentes isotrópicas está formado para colocar uno en el origen, uno
en el largo de los ejes X, Y y Z a una distancia d del origen. Encuentre el factor de arreglo
de todos los espacios. El coeficiente de coeficiente de los elementos es idéntico.

6.21) Diseñe un arreglo lineal de elementos isotrópicos colocados a lo largo de eje z tal
que los nulos del factor de arreglo ocurran a θ=0º y θ=45º. asuma que cada elemento esta
espaciado a una distancia de /4 y que β=0

6.22) Diseñe un arreglo lineal de elementos isotrópicos colocados a lo largo del eje Z tal
que los ceros del factor de arreglo ocurran en θ=10º, θ=70º y θ=110º. asuma que los
elementos están espaciados a una distancia /4 y que β=45º
a) dibuje y etiquete la región visible en el circulo unitario
b) encuentre el número de elementos requeridos
c) determine su coeficiente de excitación

6.23) Repita el problema anterior para que los nulos ocurran a θ=0º, θ=50º y θ=100º.
asuma un espacio de /5 y β=0 entre los elementos.

6.24) Diseñe un arreglo binomial de tres elementos isotrópicos posicionados en el eje Z a

una distancia d. Encuentre:
a) Coeficientes de excitación normalizados
b) Factor de arreglo
c) nulos del factor de arreglo para d=
d) máximo del factor de arreglo para d=

6.25) Muestre que un arreglo binomial de tres elementos con espaciado d menor o igual
/2 entre elementos no posee un lóbulo lateral.

6.26) Cuatro fuentes isotrópicas son colocadas simétricamente a lo largo del eje Z a una
distancia d. Diseñe un arreglo binomial. Encuentre:
a) coeficientes de excitación normalizados
b) factor de arreglo
c) ángulos (en grados) donde los nulos de factor de arreglo ocurren cuando d=3/4

6.27) Cinco fuentes isotrópicas son colocadas simétricamente a lo largo del eje Z, cada
uno separado de su vecino a una distancia eléctrica kd=5π/4 para un arreglo binomial
encuentre:
a) Coeficiente de excitación
b) factor de arreglo
c) patrón de potencia normalizada
d) ángulos en grados donde los nulos ocurren (de haber alguno)

6.28) Diseñe un arreglo binomial de cuatro elementos de dipolos /2, colocados

simétricamente a lo largo de eje x a una distancia d. La longitud de cada dipolo es
paralela al eje Z.
a) encuentre los coeficientes de excitación normalizados
b) escriba el factor de arreglo para todos los espacios
c) escriba las expresiones para el campo E en todos los espacios

6.29) Repita el diseño anterior cuando los dipolos /2 son colocados a lo largo del eje Y

6.30) Diseñe un arreglo binomial Broadside de 6 elementos colocados a lo largo del eje Z
separados por una distancia d=/2
a) encuentre la amplitud de los coeficientes de excitación (an's)
b) cual es la fase de excitación progresivo entre elementos
c) escriba el factor de arreglo
d) ahora asuma que los elementos son dipolos /4 orientados en la dirección Z. Escriba la
expresión del vector campo eléctrico en el campo lejano

6.31) Repita el problema anterior para un arreglo de 7 elementos

6.32) 5 elementos isotrópicos, con espaciado d entre ellos, son colocados a lo largo del
eje Z. Para una distribución de amplitud binomial
a) escriba el factor de arreglo en su forma más simplificada
b) encuentre los nulos del arreglo cuando d = (0º≤ θ ≤180º)

6.33) Repita el problema anterior para un arreglo Dolph-Tschebyscheff con un nivel de

lóbulo lateral de -20dB

6.34) Diseñe un arreglo de tres elementos Dolph-Tschebyscheff de elementos isotrópicos

y nivel de lóbulo lateral de -40dB colocados simétricamente a lo largo del eje Z.
Encuentre:
a) amplitud de los coeficientes de excitación
b) factor de arreglo
c) ángulo donde los nulos ocurren para d=3/4 (0º≤ θ ≤180º)
d) directividad para d = 3/4
e) ancho de haz de potencia mitad para d=3/4

6.35) Diseñe un arreglo de cuatro elementos Dolph-Tschebyscheff de elementos

isotrópicos y nivel de lóbulo lateral de -40dB colocados simétricamente a lo largo del eje
Z.
a) amplitud de los coeficientes de excitación
b) factor de arreglo
c) ángulo donde los nulos ocurren para d=3/4

6.36) Repita el diseño del problema anterior para un arreglo de cinco elementos Dolph-
Tschebyscheff de -20dB

6.37) Repita el diseño del problema anterior para un arreglo de seis elementos Dolph-
Tschebyscheff de -20dB

6.38) Repita el diseño del problema 6.28 para un Dolph-Tschebyscheff con distribución de
un nivel de lóbulo lateral de -40dB y /4 de espaciado entre elementos. Adicionalmente
encuentre:
a) la directividad del arreglo entero
b) anchos de haz de potencia media del arreglo entero en los planos XY y YZ.
6.39) Repita el diseño del problema 6.29 para un Dolph-Tschebyscheff con distribución de
un nivel de lóbulo lateral de -40dB y /4 de espaciado entre elementos. Adicionalmente
encuentre:
a) la directividad del arreglo entero
b) anchos de haz de potencia media del arreglo entero en los planos XY y YZ.

6.40) Diseñe un arreglo de cinco elementos isotrópicos Dolph-Tschebyscheff nivel de

lóbulo lateral -40dB. Los elementos son colocados a lo largo del eje X con espaciado de
/4 entre ellos. Determine:
a) coeficientes de amplitud normalizados
b) factor de arreglo
c) directividad
d) ancho de haz de potencia media

6.41) La longitud total de un arreglo de elementos discretos es 4. Para un diseño Dolth-
Tschebyscheff de nivel de lóbulo lateral -30dB y espaciado de /2 de elementos a lo largo
del eje Z, encuentre:
a) número de elementos
b) coeficientes de excitación
c) directividad
d) ancho de haz de potencia medio

6.42) Diseñe un arreglo Broadside de tres elementos de fuentes isotrópicas Dolph-

Tschebyscheff de nivel de lóbulo lateral de -26dB colocados a lo largo del eje Z, para este
diseño encuentre:
a) coeficientes de excitación normalizados
b) factor de arreglo
c) nulos del factor de arreglo cuando d=/2 en grados
d) máximo de factor de arreglo cuando d=/2 en grados
e) ancho de haz (en grados) del factor de arreglo cuando d=/2
f) directividad (en dB) del factor de arreglo cuando d=/2

6.43) Diseñe un arreglo uniforme Broadside, con sus elementos colocados a lo largo del
eje Z, tal que la directividad del factor de arreglo es 33dB (isotrópico). Asumiendo que el
espaciado entre elementos es /16, y este es muy pequeño comparado con la longitud
total del arreglo. Determine:
a) el número más cercano de elementos enteros para lograr esto
b) longitud total del arreglo en longitudes de onda
c) ancho de haz de potencia media en grados
d) nivel de amplitud en dB del máximo del primer lóbulo menor comparado con el máximo
del lóbulo mayor.

6.44) El diseño del problema anterior necesita ser cambiado a un Dolph-Tschebyscheff no

uniforme a fin de minimizar el nivel de amplitud del lóbulo lateral a -30dB, manteniendo el
mismo número de elementos y espaciado. Para el nuevo diseño no uniforme, cual es el:
a) Ancho de banda de potencia media en grados
b) directividad en dB

6.45) Diseñe un arreglo linear Dolph-Tschebyscheff de N elementos con un espaciado

uniforme entre ellos. El factor de arreglo debe contener las siguientes especificaciones:
1) Nivel de lóbulo lateral -40dB
2) Cuatro lóbulos menores completos desde 0º ≤ θ ≤ 90º, todos con el mismo nivel.
3) el espaciado más largo permitido entre elementos en longitudes de onda y que todavía
mantenga las especificaciones anteriores.
Determine:
a) Numero de elementos
b) coeficientes de excitación, normalizados para que uno de los elementos del borde sea
la unidad
c) máximo espaciado permitido (en longitudes de onda) entre elementos manteniendo las
especificaciones.
d) Plotee (en incrementos de 1º) el factor de arreglo (en dB) normalizado (max=0dB).
Chequee para que el factor de arreglo mantenga las especificaciones, sino encuentre cual
es el error.

6.46) En un arreglo de lóbulos laterales menores un radar de alto desempeño es muy

deseable. En una aplicación particular se desea diseñar un arreglo lineal Broadside que
mantenga todos los lóbulos laterales en el mismo nivel de -30dB. El número de elementos
debe ser 3 y el espaciado entre ellos de /4
a) mantenga el diseño con las mismas especificaciones
b) cual es la amplitud de excitación de los elementos
c) cual es el ancho de haz de potencia media del lóbulo principal en grados
d) cual es la directividad en dB del arreglo.

6.47) Diseñe un arreglo lineal Broadside de amplitud no uniforme de 5 elementos. La

longitud total del arreglo es 2. Para mantener las especificaciones del ancho de haz de
potencia media y lóbulo lateral, la amplitud de excitación de los elementos debe ser una
distribución cosenoidal representada por:

Donde Xn es la posición del n-vo elemento en términos de L mayúscula medidos desde el

centro del arreglo. Determine la amplitud de los coeficientes de excitación a n's de los cinco
elementos. Asuma un espaciado uniforme entre los elementos y el final de los elementos
está localizado en el borde de la longitud de los arreglos.

6.48) Se desea diseñar un arreglo cuadrado de barrido uniforme cuya elevación de ancho
de haz de potencia media es 2º. Determine las dimensiones mínimas del arreglo cuando
el máximo barrido del ángulo es:
a) θo=30º
b) θo=45º
c) θo=60º

6.49) Determine los ángulos de elevación y azimuth de los lóbulos mayores para un
arreglo plano uniforme de 10x10 elementos cuando el espaciado entre elementos es . El
máximo del ancho principal está dirigido hacia θo=60º y o=90º y el arreglo está
localizado en el plano XY.

6.50) Diseñe un arreglo plano uniforme 10x8 elementos (10 en dirección X, y 8 en Y) para
que el máximo principal este orientado a θo=10º y o =90º. Para un espaciado de
dx=dy=/8 entre elementos, encuentre:
a) diferencia progresiva de fase entre elementos en las dirección X y Y.
b) directividad del arreglo
c) anchos de haz de potencia media (en dos planos perpendiculares) del arreglo

6.51) El máximo del haz principal de un arreglo plano 10x10 de 100 elementos está
dirigido hacia θo=10º y o=45º. Encuentre la directividad, anchos de haz (en dos planos
perpendiculares), y el haz de ángulo solido para una distribución Tschebyscheff diseñada
con lóbulos laterales de -26dB. El arreglo es colocado en el plano XY y los elementos
están igualmente espaciados con d=/4. Debe notarse que un arreglo con elementos
bidireccionales debería tener una directividad que sea la mitad del mismo arreglo con
elementos unidireccionales.

6.52) Repita el problema 6.50 para un arreglo Tschebyscheff con una distribución de
lóbulos laterales de -30dB.

6.53) En el diseño de arreglos lineales uniformes, el máximo usualmente ocurre a θ= θo a

una frecuencia de diseño f=fo el cual ha sido usado para determinar la fase progresiva
entre los elementos. Cuando la frecuencia varía desde la frecuencia central designada f o
hacia fh, la amplitud máxima del factor de arreglo a f=f h es 0.707, la amplitud máxima
normalizada de unidad para f=fo. La frecuencia fh es referida para una frecuencia de
potencia mitad y es usada para determinar la frecuencia de ancho de haz para la cual el
patrón máximo varía sobre una amplitud de 3dB. Usando el factor de arreglo de un arreglo
lineal uniforme determine la expresión para una frecuencia de ancho de haz de 3dB en
términos de la longitud L del arreglo y un barrido de ángulo θo.

CAPITULO 7

7.1) Un arreglo de tres elementos se colocan a lo largo del eje Z. Suponiendo

que el espacio entre los elementos de d= λ/4  y la excitación amplitud relativa es igual a
a1 = 1, a2 = 2, a3 =1,

π 3π
a) Encontrar los ángulos donde el factor arreglo se desvaneció cuando β=0 , ,π , y
2 2
b) trazar el patrón relativo de cada factor de arreglo

Uso del método schelkunoff

7.3) El factor de arreglo plano z de un arreglo  de elementos isotópico coloca el eje z  está

dado por: AF=z ( z 4 −1)

Determine el:
a) número de elementos del arreglos. Si hay algunos elementos con  coeficientes  nulo
excitación  (elementos nulos), así lo indican
b) la posición de cada elemento (incluyendo el de elemento nulo) a lo largo del eje z
c) la magnitud y la fase (en grados) de excitación de cada elemento
d) los ángulos donde el patrón anula cuando la longitud del arreglo total
(incluyendo elementos nulos) es de 2 λ
7.4) repetir el problema anterior cuando: AF=z (z 3−1)

7.5) repetir el problema 7.2 cuando:

SF ( θ )= {1040ºen otro
≤ θ ≤140 º
lugar

7.6) Repetir la transformada de Fourier de diseño de ejemplo 7.2 para una fuente lineal  a

lo largo del eje z, cuyo patrón sectorial viene dada por:

SF ( θ )= {160 º ≤θ ≤ 120 º
0 en otro lugar

Usar l = 5 λ  y 10 λ comparar los patrones de reconstrucción con la deseada.

7.7) repetir la transformada de Fourier de diseño del problema 7.6 para  un  arreglo  lineal 

con una distancia de d= λ/2 entre los elementos y

a) N= 11 elementos

b) N= 21 elementos

7.8) repetir el diseño del problema 7.6 utilizando el método de WoodwardeLawson  para

la línea de recursos.

7.9) repetir el diseño del problema 7.7 utilizando el método deWoodward-Lawson  para

arreglos  lineales para N = 10,20.

7.10) Diseñe, utilizando el método de Woodward-Lawson, un líneade fuente  de  l=5

cuyo espacio de modelo factor está dado por

SF ( θ )=sin 3 ( θ ) 0 º ≤θ ≤ 180 º

Determinar la distribución actual y  comparar el modelo reconstrucción  con  el patrón

deseado

7.11) repetir el diseño del problema 7.10 para un arreglo lineal de N= 10 elementos con

una distancia de d= λ/2  entre ellos
7.14) Para algunas aplicaciones de radar de búsqueda, es más conveniente contar con

una antena que tiene un haz cuadrado de , un patrón cosecante de

y es cero en otro lugar. Diseñe una fuente lineal, usando el método

Woodward - Lawson, con un factor de espaciado de

Trace el patrón reconstruido para , y compararlo con el patrón deseado.

7.15) Repita el diseño del Problema 7.14, con el método Woodward - Lawson, para un
arreglo lineal de 41 elementos con una distancia de entre ellos.

7.16) Diseño una fuente lineal de Taylor (Tschebyscheff de error) con un

(a) -25 dB de nivel de lóbulo lateral y

(b) -20 dB de nivel de lóbulo lateral y

Para cada uno, encontrar el ancho de haz de media potencia, y trace la distribución

normalizada actual y el patrón de reconstrucción, cuando

7.17) Obtenga (7-33) utilizando (7-1), (7-32), y la integral finita y polinomios de

Gegenbauer.

7.18) Repetir el diseño del ejemplo 7.7 para un arreglo con I=4 , d=/2 N=9.

7.19) Diseñar un arreglo broadside de cinco elementos de fuentes isotropicas, -40dB

nivel de los lóbulos laterales Taylor (un parámetro). Los elementos se colocan a lo largo
del eje x con una separación de / 4 entre ellos. Determinar:

(a) coeficientes normalizados de excitación (amplitud y fase) de cada elemento.

(b) Factor de arreglo

7.20) Obtener los factores del espacio para distribuciones continuas de fuentes lineales
uniformes, triangulares, coseno y coseno cuadrado. Compare con los resultados de la
tabla 7.1.
7.21) Calcular el ancho de haz de media potencia, ancho de haz del primer nulo nivel del
primer lóbulo lateral (en dB), y la directividad de un arreglo lineal de elementos
estrechamente espaciados con una longitud total de 4 cuando su distribución de
amplitud es:

(a) Uniforme

(b) triangulares

(c) coseno

(d) coseno cuadrado

7.22) Obtener el factor de espacio para: la forma cónica radial uniforme, y cono radial
cuadrado de distribución de apertura continua circular. Compare con los resultados en la
tabla 7.2

7.23) Encuentre el ancho de haz de potencia mitad, ancho de haz del primer nulo, nivel
del primer lóbulo lateral (en dB), y el factor de ganancia de un arreglo plano circular de
elementos muy cercanos, con un radio de 2λ cuando la distribución de amplitud es:

(a) uniforme
(b) la forma radial cónica
(c) la forma radial cónica-cuadrada