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Teorema de Unicidad y Equivalencia
Teorema de Unicidad y Equivalencia
Teorema de Unicidad y Equivalencia
Antenas de apertura
Las antenas de dimensiones pequeñas comparadas con la longitud de
onda, como lo dipolos, espiras, monopolos, yagis , etc se analizan a
partir de la distribución de corrientes.
.
E
.
H
. . .
H j E J
. . .
E j H M
Ecuaciones de Maxwell
. E 0
E
. .
H 0 H
. .. ..
H j E J H j E
.. . ..
E j H E j H M
1.. 1..
H A E F
.. ..
E j A H j F
1 . .. 1 . ..
v'
G(r ,r')(r ')dv '
v'
G(r ,r') (r ')dv '
. .. .. .. . . .
A G(r , r ')J (r ')dv ' F G(r , r ')M (r ')dv '
v' v'
Vector de radiación
Campos radiados
..jk ˆ ..
jk ˆ
H r A E r F
. .. . ....
E j ( A rˆ A) j (rˆ (r A))H j (F rˆ F ) j (rˆ (r F ))
.. ..
E (H rˆ) E (H rˆ)
Condiciones de contorno generalizadas
La aplicación de las ecuaciones de Maxwell en su forma integral a la
discontinuidad entre dos medios permite obtener las condiciones que
deben cumplir los campos
. . .
nˆ H1 H2 Js
. .
nˆ D1 D2 s
Es decir que para tener un salto en el valor del campo eléctrico entre
dos regiones, es necesario que exista una corriente magnética
laminar.
Dualidad
Las ecuaciones anteriores son duales, es decir que si se conoce la
solución del caso eléctrico se puede pasar a la solución del caso
magnético intercambiado los valores del campo eléctrico por el
magnéticos, o en general las siguientes parejas de valores
. . . . .
E. H A. J D
. B
. .
H E F M τ B D
. 1.
. H = 2 J × nˆ
H . s.
. nˆ E = ηH × nˆ
. η.
. . Js
. E = − Js
H E 2
E
I
2
I
2
I
V = 2 Z0 ()
∞ ∞
I
. . . . 1 .
E H E = M s × nˆ
2
H
. . 1 .
Ms nˆ H = nˆ × E
. . η
1 .
H=− Ms
E 2η
I I ( )
V
2 = IZ0
∞ V ∞
La superposición de los dos problemas anteriores crea una onda
plana de amplitud 2 que se propaga en un solo sentido. En la línea de
transmisión aparece propagación en un solo sentido.
.
. .
E, H = 0 . . 1 .
ˆ
H
H = Js × n = − Ms
nˆ η.
. .
E = nˆ × = −ηJs
.s
M
E
V,I= 0 I V = IZ0
∞V ∞
I
V = IZ0
I=0 I
∞
V = IZ0
I= 0 I
∞V ∞
E1 j H1
S i con strui mos una solución nueva, combinación de ambas, tal como
. . . .
E2 E1 y H2 H1 también debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell.
⎣ H2 H1 E2 E1 ⎦ ⎥ dV E2 dV 0
V ⎢
E1
V
. . .
Dado que 2 0 , necesariamente E1 para que la integral
E2 E1 E2
sea nula, y análogamente con el campo magnético.
Teorema de equivalencia
El teorema de equivalencia permite sustituir las fuentes originales
por otras equivalentes que conducen a la misma solución de las
ecuaciones de Maxwell en una región determinada. El teorema de
equivalencia se apoya en el teorema de unicidad cuando establece
cómo son estas corrientes equivalentes ya que deben elegirse de
modo que se obtenga la misma solución que con las fuentes
originales.
Observando la figura, y suponiendo que las únicas fuentes presentes
son las encerradas por la superficie S, los campos eléctricos y
magnéticos en el exterior de S se pueden calcular a partir de las
.
corrientes J , o bien, por el teorema de unicidad, si se conocen las
componentes tangenciales a S de los campos eléctrico y magnético,
también será posible obtener dicha solución en el exterior de S. Por
eso, si eliminamos las fuentes originales y añadimos unas nuevas,
éstas deben asegurar que se satisfacen las condiciones de contorno
existentes en S. Con este propósito podemos escoger precisamente
como corrientes equivalentes las proporcionadas por las condiciones
de contorno generalizadas, y que están asociadas a la existencia de
una discontinuidad en el campo eléctrico y magnético tangencial,
. . . . . .
Ms nˆ E1 E2 y Js nˆ H1 H2 , siendo 1 el medio externo y 2
el medio interno y nˆ un vector unitario que apunta a la región donde
se desea obtener la solución; en este caso la 1. Dado que sólo estamos
interesados en obtener la solución en el medio 1, es posible
simplificar la obtención de las corrientes equivalentes obligando a
q
u . . . .
Et ,
E, Ht
H . . .
. E, H
e J=0
J
..
e
l E, H = 0
.
En el primer caso las corrientes equivalentes J s , radian en espacio
Ms
libre, en el segundo caso las corrientes Ms radian en presencia de un
cuerpo metálico de superficie S. el teorema de equivalencia asegura
que eligiendo las corrientes como se ha indicado, ambos problemas
proporcionan la misma solución y que además ésta es igual a la que
proporciona el problema original en la región ¡.
Aperturas planas
El teorema de equivalencia permite determinar las corrientes
equivalentes a los campos de la apertura de la figura
nˆ
.
Js nˆ H .
. .
M s nˆ E Ea, Ha
yˆ
.
Ea xˆ
E. Ex xˆ E
H yˆ x yˆ
H y
Z
0
Las corrientes equivalentes son
. nˆ . zˆ yE
ˆx
. . 0
Ex
s'
E j
e jkr N cos L cos
x y
2
r
E
N Ly cos sin
jkr
je x
2r
E ⎛ ⎞
je cos ⎜ cos 1
jkr
E x ', y jkx x jky y
' dx ' dy '
⎝0 '
e
Z ' e ⎟
2r ⎠ s'
E j ⎛ ⎞
e jkr sin cos E x ', y jkx x jky y
' dx ' dy '
2 '
e
r ⎜ ' e ⎟
⎝0 ⎠ s'
Z
E ⎛ ⎞
cos ⎜ cos
je
jkr
E x ', y jkx x jky y
dx ' dy '
∞ ⎝0 '
'
' e ⎟ e
Z I
2r ⎠ s'
Apertura elemental
E ⎛ ⎞
je cos ⎜ cos 1
jkr
E x ', y jkx x jky y
' dx ' dy '
⎝0 '
e
Z ' e ⎟
2r ⎠ s'
E j ⎛ ⎞
e jkr sin cos E x ', y jkx x jky y
' dx ' dy '
2 '
e
r ⎜ ' e ⎟
⎝0 ⎠ s'
Z
Calculando las integrales y sustituyendo la impedancia de la onda
por la del espacio libre, queda
E jkr
je cos 1 cos E0s
2r
E j
e jkr sin 1 cos E0s
2
r
'W P , ds
E s 2 2 1 cos 2 sin d d
0
t
s' 4 2
0 0
W
E0 s 2 4
t
2 3
E , E E x ',
E x ',
jkrˆ jkx x y'
. dx ' dy ' e jk y dx ' dy '
y ' e
'
y ' e
s' r
s'
⎛ f2 x ⎞
F k x, k y jk y y ' y'
jk x x '
e e dx ' dy ' e jkx x ' e jk y dy '⎟ dx '
⎟
⎜ ⎜
s'
xmin ⎝ f1 x ⎠
f2 x yˆ
Ea
xˆ
f1 x
xmin xmax
Transformadas de Fourier de la iluminación uniforme
Cuadrado de lado a
Hexágono de lado a
kx k sin cos
k y k sin sin
k x2 k 2 sin2 cos2
k y2 k 2 sin2 sin2
k x2 k 2 k 2 sin2 k 2
Los cortes del diagrama de radiación corresponden, para aperturas
con fase constante a planos cte . Los valores en el plano
frecuencial corresponden a la recta
ky kx tan
kx2 k 2 k 2
⎛ k ⎞2 ⎛ k ⎞ 2
sin m ⎜ x ⎟ ⎜ y ⎟
⎝k⎠ ⎝k⎠
Apertura rectangular
Los campos radiados por una apertura rectangular de dimensiones
a,b con campos con polarización horizontal son
E ⎛ ⎞
je cos ⎜ cos 1
jkr
E x ', y jkx x jky y
' dx ' dy '
⎝0 '
e
Z ' e ⎟
2r ⎠ s'
E j ⎛ ⎞
e jkr sin cos E x ', y jkx x jk y y
' dx ' dy '
2 '
e
r ⎜ ' e ⎟
⎝0 ⎠ s'
Z
En el caso de una apertura con distribución de campos separables en
el producto de dos funciones las expresiones de los campos se
pueden simplificar
F (kx , a)
f x ' e jk xx '
dx '
a
2
b
2
G(k y , b)
b
g y ' e jky y 'dy '
2
E j ⎞
e jkr ⎛⎜ cos 1 ⎟ E0 F k , aG 0, b
2 r ⎝ Z0 ⎠
E 0
⎛⎞
k k sin cos k sin cos 0
⎜ ⎟
x
⎝2 ⎠
⎛⎞
k k sin sin k sin sin k sin
⎜ ⎟
y
⎝2 ⎠
El diagrama de radiación es
E 0
e jkr ⎛ ⎞
E j
⎜ cos ⎟ E0 F 0, a G k y , b
2 r ⎝ 0 ⎠
Z
1⎛ 1 E'
dx f x ' g y ' dy '
E
⎞⎟ 0 y '
⎜
2 r ⎝ Z0 ⎠ x '
m
Em
1⎛
⎜ 1⎞⎟E0 F 0, aG 0, b
2
r ⎝ Z0 ⎠
Potencia total radiada
1
Wt
E
s'
a
2
ds
F (kx , a)
a
2
f x ' e jk xx '
dx '
a
G(k y , b) 2
b
2
0
0
10
t1( u)
t2( u) 20
t3( u)
30
40
40
0 2 4 6 8 10
0 u 10
b=4 b=8
Directividad de las aperturas
La directividad se puede obtener a partir del campo radiado en la
dirección de máxima radiación y de la potencia total radiada, en el
caso de aperturas en el espacio libre
Pm 2 2
D 4 r2 E E
Wt Wt
4 r2
2
⎛ ⎞
⎜ Ea x ', y ' ds '⎟
4
D 2
⎝ s' ⎠
E a x ', y ' 2 ds '
s'
La directividad en caso de aperturas separables es
⎛⎜ 2a ⎞⎟ 2 ⎜⎛ 2b ⎞⎟ 2
⎜ f x ' dx ' ⎟ ⎜ b g y ' dy ' ⎟
4 ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟
D ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎞⎛b2 ⎞
2 ⎛ a2 ⎟
⎜ ⎟⎜ y ' dy '
⎜
f 2 x ' dx ' ⎟ ⎜ ⎟⎟
a⎜ g 2
⎟ ⎜ b
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛a ⎞2 ⎛1 ⎞2
⎜ f s ds ⎟
2 2
⎜ ⎟
⎜⎜ f x ' dx '⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟
xa ' ⎟
s ⎝ 2 ⎠ a ⎝ 2 ⎠
a ⎛ a2 ⎞ ⎛ 12 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ f 2 s ds ⎟
⎜ f 2 x ' dx '⎟ ⎜ 1 ⎟⎟
⎜a ⎟ ⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛⎜ 2b
⎞⎟ 2 ⎛⎜ 21
⎞⎟ 2
⎛1 ⎛⎜ 21 ⎞⎟ 2
⎞2
⎜2 ⎟
⎜⎜ 1 f s ds ⎟
⎟ ⎜⎜ 1 g t dt
⎟⎟
ilx ily ⎛⎝ 21 2 ⎠b
⎝⎛ 122 ⎠
⎜ 2
⎞⎟ ⎜ 2 ⎟⎞
⎜ f s ds ⎜ t dt ⎟
⎜ 1 g ⎟
⎟ ⎟ ⎜ 1
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 21 ⎞2 ⎛ 12 ⎞
1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟
s ilx
⎜⎜ 1 f s ds ⎜⎜ 1 f s ds
⎟⎟
2 2 ⎟⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
f s 1 1 1 1
f s 1 2 s 1/4 1/3 3/4
f s 1 2 s 2 1/144 1/80 0.55
f s cos s (2/)2 1/2 8/2
Tabla comparativa de diagramas de radiación de aperturas
cuadradas en función de la distribución de campos.