República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria.

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Materia: Líneas de Transmisión de Energía Eléctrica.

PARÁMETRO CAPACITIVO DE LÍNEAS DE

TRANSMISIÓN.

Profesor: Ing. Leonel Mujica.

Elaborado por:
Br. Samuel Marval, C.I. N° V-26.469.752, Extensión Porlamar.
Br. Julio García, C.I. N° V-22.987.458, Extensión Mérida.
Br. Marwinson Lozada, C.I. V-27.293.254, Extensión Pto. Ordáz.

13 de julio de 2020.
Capacitancia.

Propiedad que tienen los cuerpos para mantener una carga eléctrica. La capacitancia
también es una medida de la cantidad de energía eléctrica almacenada para una
diferencia de potencial eléctrico dada. Cabe destacar que la capacidad es siempre una
cantidad positiva y que depende de la geometría del condensador considerado. Otro
factor del que depende es del dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del
condensador. Cuanto mayor sea la constante dieléctrica del material no conductor
introducido, mayor es la capacidad.

Es la capacidad de un componente o circuito para recoger y almacenar energía en

forma de carga eléctrica. La capacitancia se expresa a su vez como la relación entre la
carga eléctrica de cada conductor y la diferencia de potencial (es decir, tensión) entre
ellos.

El valor de la capacitancia de un capacitor se mide en faradios (F), denominados así en

honor al físico inglés Michael Faraday.

La capacitancia puede aumentar cuando:

a) Las placas de un capacitor (conductores) están colocadas más cerca entre sí.
b) Las placas más grandes ofrecen más superficie.
c) El dieléctrico des el mejor aislante posible para la aplicación.

Campo Eléctrico de un Conductor Recto de Gran Longitud.

Si un conductor cilíndrico largo y recto se encuentra en un medio uniforme, como el

aire, y está aislado de otras cargas de manera que la carga se distribuye uniformemente
alrededor de su periferia, el flujo asociado será radial. Todos los puntos equidistantes al
conductor son equipotenciales y tienen la misma densidad de flujo eléctrico a equis
metros del conductor imaginando una superficie cilíndrica concéntrica con el conductor
a equis metros de radio. Como todas las partes de la superficie son equidistantes al
conductor, la superficie cilíndrica es equipo tencial y la densidad de flujo eléctrico en la
superficie es igual al flujo que deja al conductor por metro de longitud, dividido por el área
de la superficie en una longitud axial del m. la densidad de flujo es representada por la
siguiente ecuación:
𝑞
𝐷𝑓 = 𝐶/𝑚²
2𝜋

Donde q es la carga del conductor en coulombs por metro de longitud y x es la

distancia en metros desde el conductor al punto donde se calcula la densidad de flujo
eléctrico. La intensidad del campo eléctrico o el negativo del gradiente de potencial es
igual a la densidad de flujo eléctrico dividida entre la permisividad del medio. Por lo tanto,
la intensidad del campo eléctrico es:
𝑞
𝐸= 𝑉/𝑚
2 𝜋𝑥𝑘

E y q pueden ser expansiones instantáneas, fasoriales o de cd.

Diferencia de Potencial entre Dos Puntos Externos, Debido a una Carga.

La diferencia de potencial entre dos puntos en volts es numéricamente igual al trabajo

en joules por coulomb necesario para mover un coulomb de carga entre los dos puntos.
La intensidad del campo eléctrico es una medida de la fuerza sobre una carga que está
en el campo. La intensidad del campo eléctrico en volts por metro es igual a la fuerza en
newton por coulomb sobre un coulomb de carga en el punto considerado.

La integral de línea, entre los dos puntos, de la fuerza en newton que actúa sobre un
coulomb de carga positiva, es el trabajo hecho para mover la carga desde el punto de
más bajo al más alto potencial y es numéricamente igual a la diferencia de potencial entre
los dos puntos.

Capacitancia de una Línea Bifilar Monofásica.

La capacitancia de una línea de dos conductores se define como la carga sobre los
conductores sobre la unidad de la diferencia de potencial entre ellos. En forma de
ecuación, la capacitancia por unidad de longitud de la línea es:

𝑞 𝐹
𝐶= 𝑥
𝑣 𝑛

Donde q es la carga sobre la línea en coulombs por metro y v es la diferencia de

potencial entre los conductores en volts.

Por conveniencia de aquí en adelante se hará referencia a la capacitancia por unidad

de longitud solamente como capacitancia y se indican las dimensiones correctas para
las ecuaciones desarrolladas.

Br. Samuel Marval, C.I. 26.469.752.

Reactancia Capacitiva de Conductor y Neutro.

La reactancia capacitiva (XC), es la propiedad que tiene un capacitador para producir

la corriente en un circuito de corriente alterna. Al introducir un condensador eléctrico o
capacitador en un circuito de corriente alterna, las placas se cargan y la corriente eléctrica
disminuye a cero.

Cuando por un conductor circula una corriente eléctrica variable, se crea en su entorno
un campo magnético también variable que rodea tanto al propio conductor que lo genera
como al resto de conductores del circuito al que pertenecen.

La energía almacenada por unidad de longitud en el campo magnético que rodea a

una línea monofásica en el espacio que la separa de la línea de retorno tiene la siguiente
expresión:
1
𝐸 = 2 ∫ 𝐵. 𝐻. 𝑑𝑠 𝐽/𝑚

Dónde:

B: Inducción magnética.

H: intensidad de campo magnético.

ds: Elemento de superficie transversal que rodea el eje de nuestra línea.

La reactancia capacitiva en una línea de transmisión, queda igualmente definida, al

caso de un capacitador rudimentario, es decir:

1
𝑋𝑐 =
𝑤𝐶

Siendo w la frecuencia angular expresada en radianes por segundo, la señal de

tensión, que se suele definir como 2𝜋𝑓.

1.779𝑥10⁶ 𝑑
𝑋𝑐𝑛 = ln 𝑜ℎ𝑚/𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑓 𝑟

2.862𝑥10⁶ 𝑑
𝑋𝑐 = ln 𝑜ℎ𝑚/𝑚
𝑓 𝑟

La reactancia capacitiva existe en paralelo a lo largo de la línea de transmisión por lo

que Xc en ohmios por unidad de longitud, debe dividirse por la longitud de la línea para
de esta manera encontrar la reactancia capacitiva total de la línea neutro.
Aplicando una sencilla propiedad de longitud, se puede escribir la reactancia capacitiva
respecto al neutro como:

1.779𝑥10⁶ 1 1.779𝑥10⁶
𝑋𝑐𝑛 = ln + ln(𝑑) 𝑜ℎ𝑚/𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎
𝑓 𝑟 𝑓

Pudiéndose decir de esta manera que la capacitancia de línea a neutro de la línea de

transmisión consta de dos (02) términos, el primero que se refiere a la reactancia
capacitiva a una separación de 1 pie y que se suele denotar como Xa, y un segundo
término que se suele denominar factor de separación de la reactancia capacitiva y se
denota como X´a, y un segundo término que se suele denominar factor de separación de
la reactancia capacitiva y se denota como X´d resultando:

𝑋𝑐𝑛 = 𝑋𝑎 + 𝑋´𝑑

La justificación de esta expansión, queda completamente atribuida a la utilización de

conductores multifilares compuestos, como en el caso de ACSR, para los cuales sus
fabricantes procuran una serie de pruebas donde estiman dichos términos de la
expansión, quedando estos valores tabulados para los tamaños más comunes de
conductores y sus diversas combinaciones.

Capacitancia de una Línea de Transmisión Trifásica en Disposición de Triángulo

Equilátero.

Se debe tener presente que el radio en la ecuación de la capacitancia es el radio

exterior del conductor. Al decir espaciamiento equilátero, nos referimos a iguales ángulos
e iguales distancias entre los conductores adyacentes.

𝑎𝑞 𝐷 𝑟
En la formula 𝑉𝑎𝑏 = 2𝜋𝐾 (𝐼𝑛 𝑟𝑎 − 𝐼𝑛 𝐷𝑏) 𝑉

D D

a C
D Br.SamuelMarval, C.I. 26.469.752.
Se muestran los tres conductores idénticos de radio r de una línea trifásica con
espaciamiento equilátero.

El efecto qc sobre la tensión Vab, será:

𝑞𝑎 𝐷
𝑉𝑎𝑏 = ln 𝑉
2𝜋𝐾 𝐷

El efecto es cero, es equivalente:

1 𝐷 𝑟 𝐷
𝑉𝑎𝑏 = (𝑞𝑎 𝐼𝑛 + 𝑞𝑏 𝑙𝑛 + 𝑞𝑐 𝑙𝑛 ) 𝑉
2𝜋𝐾 𝑟 𝐷 𝐷

1 𝐷 𝐷 𝑟
𝑉𝑎𝑏 = (𝑞𝑎 𝐼𝑛 + 𝑞𝑏 𝑙𝑛 + 𝑞𝑐 𝑙𝑛 ) 𝑉
2𝜋𝐾 𝑟 𝐷 𝐷

Al sumar ambas ecuaciones no resulta lo siguiente:

1 𝐷 𝑟
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 = (2𝑞𝑎 𝐼𝑛 + (𝑞𝑏 + 𝑞𝑐 𝑙𝑛 ) 𝑉
2𝜋𝐾 𝑟 𝐷

En el desarrollo de estas ecuaciones se ha supuesto que la tierra esta lo bastante

lejos y tiene un efecto despreciable. Las cargas son sinuidales y son expresadas como
factores porque los voltajes se suponen sinuidales y se expresan como fasores. Si no
hay otras cargas en las cercanías, la suma de las cargas en los tres conductores es cero
y se puede sustituir –qa por qb+qc en la ecuación para así poder obtener:

3𝑞𝑎 𝐷
𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 = ln 𝑉
2𝜋𝐾 𝑟

Como la capacitancia al neutro es la relación de la carga sobre un conductor al voltaje

entre el conductor y el neutro, se tiene que:

𝑞𝑎 2𝜋𝐾
𝐶𝑛 = = 𝐹/𝑚 𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜
𝑉𝑎𝑛 ln(𝐷/𝑟)

El termino corriente de carga se aplica a la corriente asociada con la capacitancia de

la línea. Para un circuito monofásico, la corriente de carga es el producto del voltaje línea
a línea y la susceptancia línea a línea o, como fasor.

𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑗𝑤 𝐶𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏

Br. Samuel Marval, C.I. 26.469.752.

 Para una línea trifásica, la corriente de carga se encuentra multiplicando el voltaje al
neutro por la susceptancia capacitiva al neutro. Esto da la corriente de carga por fase y
concuerda con el cálculo de circuitos trifásicos balanceados sobre la base de una sola
fase con neutro de retorno. La corriente de carga fasorial en la fase a es:

𝐼𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 𝑗𝑤𝐶𝑛 𝑉𝑎𝑛 𝐴/𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎

Como el voltaje rms varia a lo largo de la línea, la corriente de carga no es igual

en todas partes de la misma. Con frecuencia, el voltaje que se usa para obtener un valor
de la corriente de carga, es el normal para el que la línea se diseña como pueden ser
220 0 500 KV, que probablemente no es el voltaje real en la estación generadora o en la
carga.

Br. Samuel Marval, C.I. 26.469.752.

Corriente de descarga de la línea.

La capacitancia de la línea de transmisión posee una cierta corriente de carga, que

pertenece al flujo de carga que se produce cuando en un punto de las líneas hay una
variación de la tensión. Cabe destacar que la corriente de carga o descarga de la línea
de transmisión posee la misma frecuencia de la tensión que se conectó y además
adelanta 90 grados a la tensión.

La corriente de carga (Ic) de un circuito monofásico, es el producto de la tensión entre

los conductores por la suceptancia entre ellos, para el caso de una línea de transmisión
trifásica, la corriente de carga queda descrita por como la tensión de fase por la
susceptancia de fase de la línea:

𝐼𝑐 = 𝑗𝜔 𝐶𝑎𝑏 𝑉𝑎𝑏

Si se considera que las líneas son de una longitud algo apreciable, y que la señal de
tensión varía en el tiempo, esta también variara en el espacio, por lo que la corriente no
es la misma en todas partes de la línea de transmisión. En mediciones de la corriente
de carga de la línea de transmisión, se suelen aplicar la tensión para la cual se encuentra
diseñada.

Capacitancia de una línea de transmisión trifásica con disposición asimétrica

En una línea de transmisión trifásica con disposición asimétrica, la capacitancia por

fase con respecto al neutro es diferente. Si la línea es transpuesta la capacitancia media
de una fase es igual en todos los puntos de la transposición, ya que el conductor ocupa
todas las posiciones de los otros conductores.

a c b
 1

b a c L/3 L/3
L/3

3 2 c b a

I II III

En la realidad práctica las líneas no son transpuestas, pero la asimetría que se

genera es pequeña, de modo que para los cálculos se puede realizar suponiendo una
transposición perfecta. Se procede al cálculo de la tensión entre las fases a y b en cada
uno de los tramos de transposición resultando.

𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼
1 𝑑12 𝑅 𝑑23
𝑉𝑎𝑏 = (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑏 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑐 𝐿𝑛 ( ))
2𝜋𝜀 𝑅 𝑑21 𝑑31

𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼𝐼
1 𝑑23 𝑅 𝑑31
𝑉𝑎𝑏 = (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑏 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑐 𝐿𝑛 ( ))
2𝜋𝜀 𝑅 𝑑23 𝑑21

𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼𝐼𝐼
1 𝑑31 𝑅 𝑑12
𝑉𝑎𝑏 = (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑏 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎𝑐 𝐿𝑛 ( ))
2𝜋𝜀 𝑅 𝑑31 𝑑23

Se supone que la caída de tensión a lo largo de la línea es despreciable; se supondrá

que la carga del conductor por unidad de longitud es igual en los diferentes tramos de
transposición por lo que las tensiones entre conductores son diferentes:
𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼𝐼 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐼𝐼𝐼
(𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑏 )
𝑉𝑎𝑏 =
3

Sustituyendo:

1 𝑑12 𝑑23 𝑑13 𝑅3 𝑑12 𝑑23 𝑑31

𝑉𝑎𝑏 = (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎 𝑏 𝐿𝑛 ( )) + (𝑎 𝑐 𝐿𝑛 ( ))
2𝜋𝜀 𝑅3 𝑑12 𝑑23 𝑑33 𝑑12 𝑑23 𝑑31

Donde DMG = 3√𝑑12 𝑑23 𝑑31 Distancia Media Geométrica, se aplican a cada línea:

Julio García C.I. 22.987.458.

 1 𝐷𝑀𝐺 𝑅3
𝑉𝑎𝑏 = 2𝜋𝜀 (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + 𝑎𝑏 𝐿𝑛 (𝐷𝑀𝐺)
𝑅3

1 𝐷𝑀𝐺 𝑅3
𝑉𝑎𝑐 = 2𝜋𝜀 (𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) + 𝑎𝑐 𝐿𝑛 (𝐷𝑀𝐺 )
𝑅3

Sumando:

1 𝐷𝑀𝐺 𝑅3
𝑉𝑎𝑐+ 𝑉𝑎𝑏 = 2𝜋𝜀 (𝑎𝑎 ( )) + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 )𝐿𝑛 (𝐷𝑀𝐺) Ec-1
𝑅3

Se conoce que en los sistemas trifásicos se cumplen que: -𝑎𝑎 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

Según las propiedades de identidades trifásicas de voltaje de fase con respecto al

voltaje de línea: 𝑉𝑎𝑏 + 𝑉𝑎𝑐 = 3𝑉𝑎𝑛

1 𝐷𝑀𝐺 𝑅3
Sustituyendo en la Ec-1 se obtiene: 3𝑉𝑎𝑛 = 2𝜋𝜀 (2𝑎𝑎 𝐿𝑛 ( )) − 𝑎𝑎 𝐿𝑛(𝐷𝑀𝐺)
𝑅3

𝑎𝑎
La capacitancia 𝐶𝑎𝑛 = 𝑉𝑎𝑛

2𝜋𝜀
𝐶𝑎𝑛 = 𝐿𝑛 ( 𝐷𝑀𝐺 )
𝑅

Capacitancia de un conductor cilíndrico paralelo al plano de tierra

Imaginando un cilindro conductor de radio R, el cual se encuentra en el espacio

suspendido paralelo sobre el plano de tierra a una altura h; sobre este cilindro se coloca
una cierta carga positiva de valor Q.

En esta situación para determinar el parámetro capacitivo debe determinarse

primeramente la diferencia de potencial entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra;
para ello se hace necesario aplicar la Teoría de Imágenes. Para ello, para simular el
campo eléctrico que surge entre el conductor cilíndrico y el plano de tierra, se coloca
una carga imagen que es otro conductor ficticio, que se ubica a una distancia h por
debajo del plano de tierra, y al cual se le asigna carga opuesta a la del cilindro (-Q), de
modo que el efecto del terreno es reemplazado por el conductor imagen, y el problema
queda en condiciones semejantes a al anterior, con la única salvedad que se considera
para efectos de la solución solo el efecto por encima del plano de tierra.

Ahora bien si se define un punto “P” en el espacio, sobre el plano de tierra, se puede
determinar el potencial en el mismo, tomando una referencia muy lejana (x→∞).
El potencial eléctrico en el punto “P”, puede ser escrito como; como la combinación lineal
de los potenciales eléctricos debido a la carga depositada sobre el cilindro conductor y
su imagen.

𝑣𝑝 = 𝑉𝑝 1 + 𝑉𝑝 2

El potencial que produce la el cilindro con carga por encima del plano de tierra, con
respecto a la referencia remota queda dado por la siguiente expresión:

𝑄 𝑥
𝑉𝑝 1 = 𝐿𝑛 ( )
2𝜋𝜀 𝑟

Donde x es la distancia entre el centro del cilindro el punto de referencia remota (x→∞);
de igual modo el potencial que produce la el cilindro con carga imagen por debajo del
plano de tierra, con respecto a la referencia remota puede ser determinado de forma
análoga.

−𝑄 𝑥
𝑉𝑝 2 = 𝐿𝑛 ( )
2𝜋𝜀 𝑟

Finalmente sustituyendo estos potenciales en la expresión (1), se obtiene el potencial

en el punto “P”.

𝑄 𝑥 𝑥
𝑉𝑝 = [𝐿𝑛 ( ) − 𝐿𝑛 ( )]
2𝜋𝜀 𝑟 𝑟

Ahora bien, si se supone que el punto “P”, se emplaza en la superficie del conductor
cilíndrico sobre el plano de tierra, asumiendo que el radio del cilindro es mucho menor
que la distancia del plano de tierra (h>>R); el potencial del conductor resulta:

𝑄 𝑥 𝑥
𝑉𝑝 = 𝑉12 = [𝐿𝑛 ( ) − 𝐿𝑛 ( )]
2𝜋𝜀 𝑅 𝐻

De modo que aplicando propiedades de logaritmos a la expresión:

𝑄 𝐻
𝑉12 = 𝐿𝑛 ( )
2𝜋𝜀 𝑅

La expresión anterior representa la diferencia de potencia entre el conductor cilíndrico y

el plano de tierra (V12). Este resultado era fácilmente deducible teóricamente, debido a
que por teoría de imágenes, la diferencia de potencial entre el conductor y el plano
conductor paralelo de tierra es la mitad de la obtenida entre la de dos conductores donde
uno es la imagen.
 La capacitancia por unidad de longitud, del conductor paralelo al plano de tierra;
puede ser calculado, como el cociente de la carga involucrada, y la tensión entre el
cilindro y el plano de tierra.
𝑄 2𝜋𝜀
𝐶1𝑡 = 𝑉 𝐶1𝑡 = 𝐻
12 𝐿𝑛( )
𝑅

Nótese que la capacitancia por unidad de longitud entre el conductor y el plano de tierra
(C1T), es el doble de la obtenida para dos conductores paralelos, despreciando el efecto
de tierra.

Capacitancia de dos conductores cilíndricos paralelos al plano de tierra

Imagínese dos cilindros conductores de radio R, los cuales se encuentran paralelos

entre sí y con respecto al plano de tierra.

La solución de la capacitancia de dos conductores cilíndricos, sobre un plano semi-

infinito, puede ser encontrada por medio de la teoría de imágenes, de modo que se
reemplaza el plano conductor, por dos cilindros ficticios situados simétricos, por debajo
del plano de tierra, y con carga de signos opuesto a las de los cilindros por encima del
plano de tierra.

Ahora bien, la tensión del conductor 1, respecto a un punto muy alejado (x→∞),
puede ser calculado, bajo esta configuración de la teoría de imágenes, como la
combinación lineal de las contribuciones de los cuatro cuerpos cargados.

𝑉1 = 𝑉11 + 𝑉12 + 𝑉13 + 𝑉14

Siendo V11; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido

por el conductor 1;

V12; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto producido por el

conductor 2; V13; la tensión entre el conductor 1 y un punto de referencia remoto
producido por el conductor 1 imagen; V14, la tensión entre el conductor 1 y un punto de
referencia remoto producido por el conductor 2 imagen.

Realizando los respectivos cálculos resulta:

𝑄1 𝑥 𝑄2 𝑥 𝑄1 𝑥 𝑄2 𝑋
𝑉1 = 𝐿𝑛 ( ) + 𝐿𝑛 ( ) − 𝐿𝑛 ( )− 𝐿𝑛 ( )
2𝜋𝜀 𝑅 2𝜋𝜀 𝑑12 2𝜋𝜀 𝐻11 2𝜋𝜀 𝐻12

Se procede a aplicar propiedades de logaritmos:

𝑄 1 𝐻11 𝑄2 𝐻
𝑉1 = 2𝜋𝜀 𝐿𝑛 ( ) + 2𝜋𝜀 (𝑑12 ) Julio García C.I. 22.987.458.
𝑅 12
Se procede al cálculo de la tensión del conductor 2, respecto al punto de referencia
remota de:

𝑉2 = 𝑉21 + 𝑉22 +𝑉23 +𝑉23

De modo análogo se puede deducir:

𝑄1 𝑥 𝑄2 𝑥 𝑄1 𝑥 𝑄2 𝑋
𝑉2 = 𝐿𝑛 ( ) + 𝐿𝑛 ( ) − 𝐿𝑛 ( )− 𝐿𝑛 ( )
2𝜋𝜀 𝑑12 2𝜋𝜀 𝑅 2𝜋𝜀 𝐻12 2𝜋𝜀 𝐻12

Operando con el logaritmo:

𝑄1 𝐻12 𝑄2 𝐻12
𝑉2 = 𝐿𝑛 ( )+ ( )
2𝜋𝜀 𝑑12 2𝜋𝜀 𝑅

Estas ecuaciones pueden ser escritas en notación matricial.

𝐻11 𝐻12
𝐿𝑛 ( ) 𝐿𝑛 ( )
𝑉1 1 𝑅 𝑑12 𝑄1
= [ ]
𝑉2 2𝜋𝜀 𝐻12 𝐻22 𝑄2
𝐿𝑛 ( ) 𝐿𝑛 ( )
[ 𝑑12 𝑅 ]

En el caso de conductores considerando el efecto de tierra; el definir un parámetro

capacitivo único resulta imposible, ya que existen diferencias de potencial entre los
conductores y entre ellos y tierra; pero la relación entre las cargas y los potenciales
referentes al plano de tierra, pueden combinarse en forma matricial como:

La ecuación matricial anterior puede ser escrita en forma más compacta.

𝑉 1 𝐵 𝐵12 𝑄1 1
[ 1 ] = 2𝜋𝜀 [ 11 ][ ] 𝑉 = 2𝜀𝜋 [𝐵] →
𝑉2 𝐵21 𝐵22 𝑄2 𝑄

La matriz [B], recibe el nombre de matriz de potenciales de Maxwell; cuyos términos son
definidos como logaritmos de distancias.

𝐻𝑖𝑗
𝐵𝑖𝑗 = 𝐿𝑛 ( )
𝑑𝑖𝑗

Julio García C.I. 22.987.458.

Donde en los casos en que i = j, la distancia dij queda sustituidas por el radio físico del
conductor. En forma matricial, resulta sencillo, conocer la carga a partir de la tensión en
los conductores y la matriz de potenciales de Maxwell.

𝑄 = 2𝜋𝜀[𝐵]−1V

Si se toma el hecho de que la relación entre carga y tensión en un capacitor es la

capacitancia, entonces resulta fácil decir que la matriz de capacitancia de la línea de
transmisión es:

[𝑐] = 2𝜋𝜀[𝐵]

Resultando:

⃗ = [𝐶]𝑉
𝑄 ⃗

Admitancia capacitiva de una línea bifilar considerando el efecto tierra

Supóngase que se tiene una cierta sección de una línea de transmisión de longitud.

I(x) I(x+∆x)
[C]

Ax

El vector de carga eléctrica; para el segmento de línea, queda dado por:

Julio García C.I. 22.987.458.

⃗ = [𝐶]𝑉
∆𝑄 ⃗ ∆𝑥
Si se procede a derivar con respecto al tiempo a la expresión.

𝑑∆𝑄⃗ ⃗⃗⃗𝑡
𝑑𝑉
= [𝐶] ∆𝑥
𝑑𝑡 𝑑𝑡

Por otra parte, la ecuación de corriente según la ecuación de Kirchhoff

𝑑𝑣
(𝐼, 𝑋 +)𝐼(𝑋 + ∆𝑥)[∈] 𝑋∆
𝑑𝑡

Si se hace que la longitud de la sección de la línea Δx; se transforma en el negativo de

la derivada del vector corriente en función de la posición.

𝑑𝐼 𝑑𝑣
− = [𝑐]
𝑑𝑥 𝑑𝑡

En el caso de las líneas de transmisión de tipo comercial, se trabaja con campos cuasi-
estacionarios, con señales armónicas en el tiempo; de modo que se puede definir la
admitancia capacitiva como:

[𝑦] = 𝑗𝑤[𝑐]

𝑑𝐼
= [𝑦]
𝑑𝑥

Si es expande la forma matricial de este sistema, se tiene que se generan dos

ecuaciones con dos incógnitas.

𝑑𝐼1
= 𝑦11 𝑣1 − 𝑦12 𝑣2
𝑑𝑥
𝑀 { 𝑑𝐼2
}
= 𝑦21 𝑣1 − 𝑦12 𝑣2
𝑑𝑥

Julio García C.I. 22.987.458.

El sistema M, indica que las variaciones de la corriente de cada conductor en función
del espacio, es una función del voltaje propio del conductor y del voltaje del otro
conductor.

Este sistema demuestra el acople capacitivo entre conductores; que se evidencia con
los términos Y12 y Y12.

Estos términos se pueden demostrar que son iguales lo que hace a la matriz de
potenciales de Maxwell, [B], simétrica, por lo que evidentemente las matrices
capacitancia [C] y admitancia [Y] también lo sean; y se extiende a sus inversas.

El conjunto de ecuaciones M, no posee una representación sencilla, pero se puede

pseudo explicar por un elemento de línea, con elementos concentrados que lo
relacionan.

Julio García C.I. 22.987.458.

Matriz de admitancia Capacitiva en Líneas de Transmisión Trifásica

Se tiene una línea de transmisión trifásica, con la disposición que se muestra en la figura; donde
se asume que cada conductor posee igual radio;

En este caso, la disposición de los conductores es asimétrica entre ellos y

poseen alturas diferentes medidas respecto al plano de tierra (h1, h2, h3). Para eliminar el efecto
asimétrico que genera esta disposición de los conductores sobre los parámetros eléctricos de la
línea, se emplea una transposición perfecta, en la cual cada conductor se ubica en cada una las
posibles disposiciones, a intervalos regulares de la línea.
 Marwinson lozada

De modo que los conductores de las fases a, b, c, ocupan las otras posibles posiciones de la
disposición sobre las torres (1, 2, 3), una longitud equivalente a un tercio del trayecto total de la
línea (L). Ahora bien debido a que la disposición de la línea es asimétrica; y ahondado al hecho
de que las fases cambian de posición sobre la transposición (en cada caso la matriz es de 3x3
elementos).

Para el Tramo 1 de la transposición se cumple:

 Donde los elementos de la matriz de potenciales de Maxwell pueden ser escritos como:

Marwinson lozada

Haciendo referencia a las alturas y distancias antes definidas resulta:

Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión sin Transposición

Protege los conductores de fase de las descargas eléctricas directas. Cuando un rayo cae sobre la
torre, los cables de guarda a ambos lados de la torre proporcionan caminos paralelos para la
descarga, con lo que la impedancia efectiva se reduce y el potencial de la parte superior de la
torre es relativamente menor

Un cable óptico a tierra, más conocido por sus siglas en inglés como cable OPGW (Optical Ground
Wire), es un tipo de cable que se usa en líneas de transmisión de energía eléctrica. Este cable
combina las funciones de aterriza miento y telecomunicaciones. Un cable OPGW contiene en el
interior una estructura tubular con una o más fibras ópticas, y en el exterior hilos de acero y
aluminio. Se encuentra instalado normalmente en la parte superior de las torres eléctricas de
transmisión de energía.

La parte conductiva del cable tiene como función aterrizar las partes adyacentes de la torre y
enlazar los conductores de alta tensión ante las descargas atmosféricas. Las fibras ópticas dentro
del cable pueden usarse para transmitir información a altas velocidades, ya sea para que la
electrificadora implemente sistemas de protecciones y control de la línea de transmisión, o para
las comunicaciones de datos y voz de la electrificadora, o bien pueden ser arrendadas a terceros
para servir como una interconexión de fibra óptica de alta velocidad entre ciudades.

La fibra óptica es un aislante y es inmune a la línea de transmisión, a la inducción del rayo, al

ruido eléctrico externo y a la diafonía. Típicamente los cables OPGW contienen fibras ópticas

Marwinson lozada
Mono modo con bajas pérdidas de transmisión, permitiendo la transmisión de datos a grandes
distancias con velocidades altas. La apariencia externa del cable OPGW es similar al conductor de
acero reforzado (ACSR), usualmente usados como hilo guarda.

El cable OPGW fue patentado por BICC en 1977. La instalación de los cables OPGW se empezó a
masificar en la década de los 1980. Para el año 2000, se instalaron a nivel mundial alrededor de
60,000 km. En Asia, especialmente China, se convirtió el mergado regional más grande donde se
usa el cable OPGW en la construcción de líneas de transmisión.

Efecto del Cable de Guarda sobre la Capacitancia de la Línea de Transmisión con

Transposición

Una transposición es una rotación física de los conductores que se traduce en cada conductor o
fase que se mueve para ocupar la siguiente posición física en una secuencia regular. Después de
que ocurre una transposición, cada conductor o fase ocuparán una posición diferente en la
estructura que antes de la posición de transporte, como se muestra en la Figura 1 a continuación.
Hay una variedad de estructuras y molduras utilizado para llevar a cabo transposiciones. Las
transposiciones se realizan típicamente el uso de marcos especial en dos estructuras.
Transposiciones estructura única también se han utilizado en líneas de transmisión de acero de
celosía, como se muestra en la figura 3. Estos se conocen transposiciones como único punto a
veces. Transposiciones comunicaciones fueron típicamente a cabo como se muestra en la Figura:

Marwinson lozada
 Matriz Admitancia Capacitiva de Conductores conectados eléctricamente en paralelo

En las líneas de transmisión con tensiones de operación mayor a 230kV, el efecto corona empieza
a ser un fenómeno de especial atención para el diseño de las líneas como consecuencia de las
pérdidas de potencia activa; y es para evitar este efecto que se empleen varios conductores por
fase; constituyendo lo que se denomina conductores en haz (bundle). Si se considera dos
conductores cilíndricos de radio R, que se encuentran paralelos entre sí y con el plano de tierra.

Marwinson lozada
Para este caso la relación de tensiones y variaciones longitudinales de la corriente queda dada

por:

Si se considera que ambos conductores se encuentran conectados eléctricamente en paralelo,

se tiene que el potencial respecto a tierra de ambos conductores es el mismo, es decir: V1 = V2
= V.

Si se procede a sumar ambas ecuaciones con la condición de igual potencial en cada conductor
se tiene:

Por otra parte como los conductores se encuentra eléctricamente en paralelo, se cumple que la
corriente del paralelo (I) es la suma de las corrientes en cada conductor “I1e I2”.

Sustituyendo, se tiene:

De modo que se puede asumir que la admitancia de estos conductores en paralelo resulta (Y):

Marwinson lozada
Se conoce que la admitancia está relacionada con la matriz de potenciales de Maxwell.

Donde:

En función de los términos de la matriz de potenciales de Maxwell de este sistema se tiene:

Si se realiza la consideración de que los conductores de esta configuración se encuentran a la

misma altura sobre el plano de tierra; resulta:

Por lo que los términos de la matriz de potenciales de Maxwell; B11 y B12 de modo que si se
sustituye esta condición en la expresión.

Si se procede a sustituir la definición en términos de logaritmo de los elementos, B 11 y B12 se

tiene:

Marwinson lozada
Finalmente la reactancia capacitiva de este conductor compuesto considerando el efecto de
tierra puede ser escrita como:

De esta ecuación e interpreta como un conductor equivalente ficticio de radio √𝑅𝐷12 que se
√𝐻11 𝐻22
encuentra a una altura sobre el plano de tierra , sobre el plano de tierra.
2

Marwinson lozada