I.E.P.

FEDERICO VILLARREAL
Profesor: Brady Alférez Challo Año y Sección: 4to "A"

Sector circular
Un sector circular es una porción de un círculo
limitado por dos radios (r) y un arco de circunferencia,
r
que tiene una longitud (L).
q L
Not a
L = q⋅r r
El ángulo central de
un sector circular θ
siempre debe estar
expresado en radianes.
propiedad

Del gráfico:
L1 = q ⋅ r1 L1
θ=
r1 r1

θ L1 L2
L2 = q ⋅ r2 L2
θ=
r2 r2
I mport a nte 
Equivalencias entre L1 L2
∴
medidas angulares. r1 = r2

180º < > 200g < > π rad

área de un sector circular

θ ⋅ r2
A= caso 1
2
r

θ L LL⋅⋅rr
A= caso 2
22

L22
A= L caso 3
R e cu e rda 2θ
2θ

El área de un trapecio.
área de un trapecio circular
b

Área sombreada = A –A
C A

h C O O

A
D B

h usando (caso 3)
r1
B
L22 L12 1
O θ L1 L2 As = – = ( L 2 – L12)
(b+B)⋅h 2θ 2θ 2θ 2
A=
2 r2
1 L2 L1
B As = – ( L2 + L1 )
D 2 θ θ

( L2 + L1 ) . h
As =
2

TRIGONOMETRIA Pag. 11
 Cuarto de Secundaria

Propiedades relativas a la longitud de arco

Poleas y engranajes
R e cu e rda
I.
Área del círculo
L2
L1 L1 = L2
r
θ2 2
r
θ1
θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2
r1 θ1 r2
=
θ2 r1
A = πr2

II.

L1 = L2
L2

θ2
r2 θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2
r1
θ1 r2
θ1 =
θ2 r1
L1

Número de vueltas que da una rueda

O
O
I mport a nte
r
r
O Perímetro de una
circunferencia
r
O
r

El número de vueltas que da un disco que rueda está en función de la distancia L = r ⋅ (2π)
recorrida por su centro (o) y de su perímetro.
L = 2π r

d
Nv =
2π r

d: distancia recorrida por el centro del disco.

TRIGONOMETRIA Pag. 12
 Cuarto de Secundaria

EJERCICIOS PARA LA CLASE

Nivel I 4 Determina el suplemento de un ángulo central que
subtiende un arco de 3π m en una circunferencia
1 Según el gráfico, indica verdadero (V) o falso (F).
de 5 metros de radio.
y

1 rad 3 A 5

A 108º B 92º C 72º

I. x = 3 u D 36º E 112º
II. y = 5 u
5 Si el radio de la semicircunferencia es 9 , encuentra
III. A = 8 u2 π
el valor de P.
P = L2 – L1 + L3
A VVV B VFF C FFF
L2
D FVV E VFV

2 Calcula el perímetro del sector mostrado.

L1 L3
4θ
3θ 2θ
x rad
x+2

3x + 2

A 1 u B 2 u C 4 u
D 1,5 u E 3u
A 10 u B 12 u C 14 u
D 16 u E 15 u
6 Descubre el área sombreada.
E
3 Halla el número de vueltas que da la rueda cuando C
12
se desplaza de A hacia B. A
a
d O 2 2a 12

B
2 12 D
2 F
A B

π
rad
30

A 1 B 2 C 3 A 80 u2 B 64 u2 C 76 u2
D 4 E 1,5 D 84 u2 E 90 u2

TRIGONOMETRIA Pag. 13
 Cuarto de Secundaria

7 Calcula el área sombreada. Nivel II

B
10 De la figura mostrada, al hacer girar el sistema
las ruedas B y C giran longitudes que suman 64π.
8
Determina cuántas vueltas dará la rueda mayor.
π A
rad
4 C
A D C B
3 4
5

A (4 – π) u2 B (π – 4) u2
C (3 – π) u2 D (2 – π) u2
E (π – 3) u2

8 De la figura mostrada:
C
A
A 1 B 3 C 5
π
rad D 4 E 2
O 4 cm
4
11 Si la longitud de la circunferencia es 36π, encuentra
B la longitud del arco AB.
D A
Se puede afirmar que:
I. AB = π cm
O 60º
II. Área sombreada = 6π cm2
III. CD = π 2 cm
B

A 12π B 18π C 16π

D 14π E 20π

A Solo I B Solo II C I y II 12 Descubre el valor de E.

D I y III E Solo III E = 4y – x

4a
9 Del gráfico mostrado, halla el área sombreada.
a 3a y
C 4a
3m
A
x
a
O 2m 5m

B
D

A 2 m 2 B 3 m2 C 4 m2 A 1a B 2a C 3a
D 5 m2 E 10 m2 D 4a E 5a

TRIGONOMETRIA Pag. 14
 Cuarto de Secundaria

13 Si en una circunferencia de radio (3x + 7) m, 16 Encuentra la relación entre el área sombreada y

para un ángulo central de 80g le corresponde un no sombreada.
arco de longitud (x + 3)π m, calcula el radio de la
circunferencia.

1 3 4
A B C
A 4 m B 12 m C 10 m 3 2 3
D 21 m E 22 m D 2 E 1
1 2

Nivel III 17 Del gráfico mostrado, indica verdadero (V) o falso

(F) según corresponda.
14 Si un sector circular y un cuadrado tienen igual E
2
área e igual perímetro, halla el ángulo del sector D
circular. A
10
4

O
B 3 C F

I. El perímetro del sector circular OEF es 28 u.

II. El área del tronco del sector circular ADCB es
A 2 rad B 2 rad 21 u2.
C 2 2 rad D 2 2 – 2 rad III. El área del sector AOB es 4 u2.
E 1 rad A VVF B FFV C VFV
D VVV E FFF
15 Determina el valor del radio r.
18 En el sector circular, descubre el valor de x.
2 rad C
3
A
12
r 2x 4x2 –1
D
O B x
12

A 3 u B 9 u C 12 u A 1,2 B 1,5 C 1,6

D 6 u E 11 u D 1,3 E 1,4

TRIGONOMETRIA Pag. 15
 Cuarto de Secundaria

TAREA DOMICILIARIA
1 Calcula el perímetro del sector AOB. 4 Encuentra el área de la región sombreada.
A A
7
4

O (x – 3) rad 7u O x 11 u

(x + 4
3) u
B B

Rpta. Rpta.

2 Halla el valor de x.
5 El área de un sector circular es 15 m2. Si duplicamos
el ángulo central y triplicamos su radio, ¿cuál será
A
el valor del área del nuevo sector circular?
3

O 4u 8u

x B

Rpta.

6 Descubre el área de la región sombreada.

A

Rpta.
O 1 rad 5u 7u

3 El perímetro de un sector circular es el quíntuple

B
del radio. Determina la medida del ángulo central
en radianes.

Rpta. Rpta.

TRIGONOMETRIA Pag. 16
 Cuarto de Secundaria

7 9 10 Encuentra el área de la región sombreada.

La rueda de la figura da vueltas.
πr A
C
r D
O 4u
2u
r r E
r 2u
1u B

Calcula la longitud recorrida por dicha rueda.

Rpta.

8 Halla el valor de L2 – L1. Rpta.

L2 11 Dos engranajes de 20 y 30 cm están en contacto

en un punto. Si el menor gira un ángulo de 36°,
26 ¿qué ángulo girará el mayor?
7θ L1
6θ

Rpta.

12 Descubre el radio del sector circular.

Rpta.

9 Sea θ radianes el ángulo central de un sector

circular cuya longitud de arco es 3π metros. Si: O θ L

Determina el radio, si: r

θ π
+ =2
π θ L .
además: 3θ =
16 – r

Rpta. Rpta.

TRIGONOMETRIA Pag. 17
 Cuarto de Secundaria

Síntesis

θ L r1
L1 L2
Sector circular r L1 L2
r1 = r
r2 2
L=θ.r

r r
Área
área de un
de un sector θ A L L1 A L2
trapecio circular
circular r

θr2 L2 L⋅r (L1 + L2) r

A= A= A= A=
2 2θ 2 2

L1 L2
θ1 L1
L2 θ2
Poleas y θ1
r1 θ2
engranajes
r1 r2
r2

θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2 θ1 ⋅ r1 = θ2 ⋅ r2

d
Número de vueltas O O d
de una rueda r r nv =
2π r

PRACTIQUEMOS UN POCO MÁS

1 Si la longitud de arco de un sector circular mide 2π cm 2 Si el radio de un sector circular mide 5 cm y su
π
y subtiende un ángulo central de 45º, determina el ángulo central mide 80g, determina la longitud de
radio del sector circular.
arco del sector.
Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

TRIGONOMETRIA Pag. 18
 Cuarto de Secundaria

3 Halla el valor de x. 4 Halla el valor de x.

x+1 2x + 5
x x+4 2
3 4

6 Resolución:

Resolución:

Rpta. Rpta.

5 Calcula el área del trapecio circular sombreado. 6 Calcula el área de la región sombreada.

4 cm
5 cm

11 cm 14 cm
3 cm

2 cm
Resolución:
Resolución:

Rpta. Rpta.

7 Encuentra el número de vueltas que da la rueda, 8 Encuentra la cantidad de vueltas que gira la
cuando se desplaza de A hacia B. rueda cuando se desplaza de A hacia B.
α

1 1
π
rad
B 6
19

A π 1 1
rad
3
14 A α B

Resolución:
Resolución:

Rpta. Rpta.

TRIGONOMETRIA Pag. 19
 Cuarto de Secundaria

9 De la figura mostrada, descubre la longitud de la 10 En la figura mostrada, descubre el diámetro de la

circunferencia. circunferencia.
4 cm

3 rad
10

1
14 rad

6 cm

Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

11 El arco de un sector circular aumenta en un 10 % y su 12 El ángulo central de un sector circular aumenta

radio disminuye en un 20 %. ¿En qué porcentaje en 15 %. Si su radio disminuye en 10 %, ¿en qué
varía el área del sector? porcentaje varía el área del sector?
Resolución: Resolución:

Rpta. Rpta.

L3 L3 + L1
13 Determina el valor de . 14 Determina el valor de .
L1 + L2 L2 + L4

L1
2θ
L1 L2 L3 θ
L2
L3
L4

Resolución:
Resolución:

Rpta. Rpta.

TRIGONOMETRIA Pag. 20