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ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
V.Abraira
Referencia bibliográfica
Definiciones
Ciencia que sirve para demostrar que dos personas han comido 1/2 pollo cada una,
cuando en realidad una ha comido uno y la otra ninguno.
La estadística es la ciencia que estudia los métodos que permiten realizar este proceso
para variables aleatorias. Estos métodos permiten resumir datos y acotar el papel de la
casualidad (azar).
Contraste de hipótesis.
5. Experimentos aleatorios.
En este apartado vamos a tratar las nociones básicas para el tratamiento del
azar y que serán necesarios para tratar el siguiente tema, en el que estudiarás
el concepto de probabilidad.
Los comienzos del estudio matemático del azar podemos situarlo precisamente
como consecuencia del estudio de los juegos de azar. Fueron el Caballero de
Meré alrededor de 1651, a la vez que los matemáticos Fermat y Pascal, los
que comenzaron con un estudio exhaustivo de este tipo de problemas.
Actualmente estos conceptos son aplicados prácticamente en todas las ciencias
y en una gran variedad de situaciones de la vida real.
No podemos siempre determinar lo que va a suceder, pero si podemos realizar
un estudio de los casos posibles que pueden darse y qué posibilidades tenemos
de que ocurran cada uno de ellos.
Por ejemplo; si lanzamos un dado,
sabemos que sólo hay seis
posibilidades: 1,2,3,4,5 o 6 dependiendo
del azar la puntuación obtenida.
Temas de
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Estadística
lunes, 18 de febrero de 2013
Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre
condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:
Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones
iniciales produce los mismos resultados.
Ejemplo: Una operación de adición.
Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se
repita siempre de la misma manera.
Ejemplo: El lanzamiento de un dado.
Espacio muestral
se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio. El espacio muestral se denota como S.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio. Los eventos
normalmente se denotan con las letras mayúsculas A, B, C; y tienen la característica de ser
subconjuntos de S ((A, B, C) S). Los eventos pueden ser:
Evento seguro, es aquel que tiene todos los posibles resultados. S = A #S = #A. Por
ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.
Evento imposible, es aquel que no tiene un posible resultado. Por ejemplo al tirar un dado
obtener una puntuación igual a 7.
Eventos compatibles, dos eventos, A y B, son compatibles cuando tienen algún eventos
elemental común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener
múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un evento elemental común.
Evento incompatibles, dos eventos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún
elemento en común. Ejemplo si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es
obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.
Eventos independientes, dos eventos, A y B, son independientes cuando la probabilidad
de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo al lazar dos
dados los resultados son independientes.
Eventos dependientes, dos eventos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de
que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Ejemplo extraer dos cartas
de una baraja, sin reposición, son eventos dependientes.
Evento contrario, el evento contrario a A es otro evento que se realiza cuando no se
realiza A. Ejemplo son eventos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.
Se clasifican en:
Donde el punto muestral es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Representándose al número de puntos muestrales por #S.
#A = 1
Evento compuesto:
#B = 4
Ante estos conceptos es posible llegar a pensar que un evento y un punto muestral son lo mismo,
pero realmente no lo son. Un ejemplo claro se puede observar en el lanzamiento del dado, un
evento sería por ejemplo que salga número par, para lo cual servirían los puntos muestrales {2} {4}
{6}. De ahí las diferencias entre unos y otros.
Unión (A B)
El evento formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. La probabilidad de la
unión de dos eventos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos eventos que
se unen, menos la probabilidad del suceso intersección.
Cuya probabilidad es
Intersección (A B)
Es el evento formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B. Es aquel evento
compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La
probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Ejemplo: Al lanzar un dado al aire y analizar los siguientes dos eventos.
Evento A: que salga número par.
Evento B: que sea mayor que 3.
La intersección de estos dos eventos tiene los puntos muestrales {4} y {6}.
Ejemplo: Si se lanza un dado al aire y se analiza el evento que salga un número impar su
complementario, suceso (A), es que obtengamos un número par.
Diferencia (A - B)
La diferencia de eventos, A − B, es el evento formado por todos los puntos muestrales de A que no
son de B.
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
Animación de operaciones con conjuntos
Para una mejor comprensión de las operaciones con conjuntos, presione aquí.
Ejercicios
Cálculo de Probabilidades
Cuando se realiza un experimento puede ser de dos clases: -Determinista: un experimento que siempre que se
repita con las mismas condiciones iniciales se obtiene igual resultado. -Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas
condiciones iniciales, no se puede predecir el resultado. (Ejemplo: lanzar un dado ó extraer una carta).
Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser
previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de
haberlo realizado en similares condiciones.
A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.
Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o
azar.
o tambien: es decir que bajo las mismas condiciones no se puede repetir dos veces. Es comos si lanzaras dos dados
y te caerán 1,1 ó 1,2 ó 3,6 entre otros
ejemplo: S(1,2)(1,2)(1,3) entre otros.
Tabla de contenidos
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1 2. Espacio muestral
o 1.1 Ejemplo del
espacio muestral
2 3. Sucesos
o 2.1 Ejemplo
2. Espacio muestral
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio.
Lo denotamos con la letra . Ejemplo: lanzar una moneda,lanzar dos dados
El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:
También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muetral es:
3. Sucesos
Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral . Para designar
cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.
Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama espacio de sucesos y se
designa por .
Ejemplo
Salir múltiplo de 5:
Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento; es decir, están formados
por un sólo elemento del espacio muestral, por ejemplo, al lanzar un dado que ocurra el suceso "sacar nº 3" {3}
Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o
más sucesos elementales. Por ejemplo: "sacar número impar al lanzar un dado" {1, 3, 5}
Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados
posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.
Suceso imposible es aquel suceso que nunca se cumple cuando se realiza el experimento. Se representa por .
Categoría: Matemáticas
EVENTOS
EVENTOS
Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la
mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabiliasticos
los eventos se clasifican de la siguiente forma:
Cuando el enunciado de un problema de la probabilidad tiene como condición que se presente uno o
otro evento, la probabilidad total se forma por la suma directa de las
1).P(AoB)=P(A)+P(B)
En el caso de eventos no excluyentes entre si debe considerarse que la probabilidad de que
ocurran ambos eventos esta incluida en ellos esa probabilidad de la suma directa (regla general
de la suma de probabilidades)
P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AyB)
cuando el enunciado de un problema de probabilidad tiene como condición que se presente uno y
otro evento, la probabilidad total se forma por la multiplicación directa de las probabilidades
individuales si los eventos son independientes.
2).P(AyB)=P(A)*P(B); si son independientes
si los eventos son dependientes deben considerarse que ocurra un segundo evento si ya ocurrió
un primer evento esto se conoce como: regla general de la multiplicación de
probabilidades.
3).P(PyB)=P(A)*P(B\A)
Evento aleatorio
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En la teoría de la probabilidad, un evento aleatorio o fuente de sucesos aleatorio es un
subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se
pueden dar en un experimento aleatorio. En teoría de la probabilidad a cada evento aleatorio
se le puede asignar una medida de probabilidad, y el conjunto de todos los sucesos aleatorios
constituye una σ-álgebra de conjuntos.
Formalmente, sea un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto , donde son
una serie de posibles resultados. En el caso de espacios probabilísticos infinitos existe el
requerimiento de que un subconjunto es un evento aleatorio solo si , es decir, que se trate de
un subconjunto que específicamente pertenezca a la σ-álgebra usada para definir el espacio
muestral
Ver Conceptos
2. Espacio Muestral
Ver Concepto
Ejemplo:
$$ E = \{ 1,2,3,4,5,6 \}$$
Nótese que, dependiendo de lo que nos interese, el espacio muestral será de una
forma u otra.
Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado puede interesarnos la paridad del
resultado obtenido (es decir, si el número que ha salido es par o impar) o puede
simplemente interesarnos el número que ha salido.
3. Sucesos Aleatorios
Concepto de suceso aleatorio y sus tipos: seguro, imposible, dependiente,
independiente, compatible e incompatible.
Ver Texto
Ejemplo:
sale cara
sale cruz
Ejemplo:
sacar un 8
sacar un número mayor que 6
En contraposición,
Decimos que un suceso aleatorio es un suceso seguro si siempre ocurre.
Ejemplo:
Finalmente, clasificamos los sucesos aleatorios según la relación que existe entre
ellos en dependientes o independientes y en compatibles o incompatibles.
Ejemplo:
Sucesos independientes:
Sucesos dependientes:
Ejemplo:
Suceso A:
Suceso B:
$$ A \cup B$$
Ejemplo:
Ejemplo:
5. Test
Pregunta 1
Razonamiento:
Mostrar
El espacio muestral está formado por los posibles resultados del experimento.
Cuando lanzamos una moneda, los únicos resultados posibles son sacar cruz o
sacar cara.
Pregunta 2
El espacio muestral es
$$ E = \{1,2,3,4,5,6 \} $$
El espacio muestral es E = {Sale un número par, Sale un número impar}.
El espacio muestral es E ={Sale cara, Sale cruz}.
Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento:
Mostrar
Pregunta 3
Extraemos una carta de una baraja española y nos fijamos sólo en el palo de la
carta extraída.
Razonamiento:
Mostrar
Puesto que sólo nos fijamos en el palo, las únicas posibilidades son Bastos,
Copas, Oros y Espadas.
Pregunta 4
Razonamiento:
Mostrar
Sabemos que el espacio muestral es E = {"Sacar cara", "Sacar cruz"} ya que son
los dos únicos resultados posibles.
Pregunta 5
Lanzamos un dado.
"Sacar un número impar" y "Sacar un número mayor que 3" son sucesos
incompatibles.
"Sacar un número par" y "Sacar un número mayor que 3" son sucesos
incompatibles.
"Sacar un número impar" y "Sacar un número mayor que 5" son sucesos
incompatibles.
Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Razonamiento:
Mostrar
Los sucesos incompatibles son los que no pueden darse al mismo tiempo.
Nótese que los sucesos contrarios tampoco pueden darse al mismo tiempo. La
diferencia es que si dos sucesos A y B son contrarios y se cumple uno de ellos,
entonces el otro no se cumple; y si uno de ellos no se cumple, entonces el otro sí
se cumple. En cambio, dos sucesos incompatibles pueden no suceder al mismo
tiempo.
Pregunta 6
$$ A\cup B $$
es...
Razonamiento:
Mostrar
Pregunta 7
Mostrar
Al lanzar dos dados, el número que sale en un dado es independiente del número
que sale en el otro.
Pregunta 8
Los sucesos "Sacar un número par" y "Sacar un número mayor que 38" son
incompatibles.
El espacio muestral es
Razonamiento:
Mostrar
La primera opción es falsa porque podemos sacar un número par y mayor que 38:
40, 42, 44, 46, 48 y 50.
La segunda opción es falsa porque el espacio muestral está compuesto por todos
los números del 1 al 50.
Pregunta 9
Razonamiento:
Mostrar
Nota: según las leyes de los grandes números, si lanzamos la moneda infinitas
veces, sale cara y cruz el mismo número de veces.
Pregunta 10
$$ A\cup B $$
es...
Razonamiento:
Mostrar
Recordamos que la unión de dos sucesos es que ocurra uno, el otro o ambos.
Pregunta 11
En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Realizamos una extracción.
Los sucesos "Sacar una bola impar" y "Sacar una bola mayor que 8" son
compatibles.
El espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
El suceso "Sacar una bola mayor que 12" es imposible.
Todas las opciones anteriores son verdaderas.
Razonamiento:
Mostrar
La tercera es verdadera ya que las bolas están numeradas del 1 al 10, por lo que
nunca podremos obtener una bola con el número 12.
Pregunta 12
$$ A \cap B = E $$
La intersección de los sucesos A y B es un suceso imposible.
Los sucesos A y B son el mismo suceso.
Todas las opciones anteriores son falsas.
Razonamiento:
Mostrar
La intersección de los sucesos A y B es el suceso "se cumple A y se cumple B".
Por tanto, este suceso es "bola par y menor que 2", que es una situacón imposible
(porque 1 es impar).
Pregunta 13
Tenemos una urna con 40 bolas: 10 bolas rojas (R), 10 azules (A), 10 moradas
(M) y 10 blancas (B).
Además, para cada color, las bolas están numeradas del 1 al 10: R1, R2, R3,...,
R10, A1, A2, A3,...A10, M1, M2,..., M10, B1, B2, B3,..., B10.
Si la bola extraída es roja (R), es más probable que salga un número par.
El espacio muestral no puede determinarse (es desconocido).
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
E = {R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7,
A8, A9, A10, M1, M2, M3, M4, M5, M6, M7, M8, M9, M10}.
Razonamiento:
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Pregunta 14
Razonamiento:
Mostrar
La primera opción es falsa ya que dos sucesos pueden ser incompatibles porque
no pueden suceder simultáneamente (como los sucesos "ser par" y ser "impar" en
el lanzamiento de una moneda) y no ser imposibles.
Pregunta 15
$$ A \cup B = E $$
(d) La intersección de los sucesos, A∩B, es un suceso imposible.
Sólo las afirmaciones (c) y (d) son correctas.
Razonamiento:
Mostrar
La primera opción es falsa porque no existen razones para pensar que alguno de
los sucesos sea imposible.