Termodinámica y fluidos

c)

c a) b)

𝑥𝑦 = 𝑐 x
𝑐
𝑦=
𝑥

M1 M2

Fluido:

Denominamos fluido a un sistema de partículas las cuales, a diferencia del sólido, no están
rígidamente unidas y se mueven con libertad unas con respecto de las otras.

V V

𝑚 12𝑘𝑔 𝑘𝑔
Ml=12 kg Mg=4kg V=2m3 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝜌 = 𝑉
= 2𝑚3
= 6 𝑚3

4𝑘𝑔 𝑘𝑔
3
=2 3
2𝑚 𝑚
Densidad= cantidad de masa en una unidad de volumen.

Una pieza de metal tiene una masa de 125 kg y un volumen de 25 cm3. ¿Cuál es la masas de 1 cm3
de este metal? ¿Cuál es el volumen de 80 g de este metal? ¿Cuál es la masa de 40 cm 3 de este
metal?
125𝑘𝑔 𝑘𝑔
𝜌= 3
=5 3
25 𝑐𝑚 𝑐𝑚
La masa de un centímetro cúbico es 5kg

5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5

0.016 cm3

El volumen de 80 g es
𝑚 0.08𝑘𝑔
𝑉= = = 0.016𝑐𝑚3
𝜌 𝑘𝑔
5 3
𝑐𝑚
La masa de 40 cm3
𝑘𝑔
𝑚 = 𝜌𝑉 = 5 40 𝑐𝑚3 = 200𝑘𝑔
𝑐𝑚3
Una barra de mantequilla tiene un volumen de 120 cm3 y una masa de 110 g ¿Cuál es la masa de
50 cm3 de mantequilla?

45.83 g

𝑚 = 𝜌𝑉 = 𝜌(50𝑐𝑚3 )
𝑚 110𝑔 𝑔
𝜌= = 3
= 0.916 3
𝑉 120𝑐𝑚 𝑐𝑚
𝑔
𝑚 = 𝜌𝑉 = 0.916 3 (50𝑐𝑚3 ) = 45.83𝑔
𝑐𝑚
Área Fuerza Presión P=F+(1/A) P=F/A

2m2 5N 2.5N/m2 =2.5Pa

2m2 10N 5Pa

2m2 20N 10Pa

2m2 40N 20Pa

Área Fuerza Presión

2m2 5N 2.5 Pa

4m2 5N 1.25 Pa

8m2 5N 0.625 Pa

16m2 5N 0.3125 Pa

La presión, a diferencia de la fuerza, no tiene una dirección definida. Por esto podemos decir que
presión es un escalar.

Calcular la fuerza sobre la parte frontal de una persona debida a la presión atmosférica (El área
superficial total promedio de una persona es 1.7 m2).

Área frontal= 1.7m2/2 = 0.85 m2

Presión atmosférica =101325 Pa

F=pA 101325 N/m2(0.85m2)= 86126.25 N

Presión (ver solo el principio)

https://www.youtube.com/watch?v=SFcLbAe1P1w
 (p+dp)A y0
h
m y
pA 0
mg

𝐹
𝑝=
𝐴
𝐹 = 𝑝𝐴
Calcular la presión como una función de la profundidad 𝑦

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑝𝐴 − 𝑚𝑔 − (𝑝 + 𝑑𝑝)𝐴 = 0
𝑝𝐴 − 𝑚𝑔 − 𝑝𝐴 − 𝑑𝑝𝐴 = 0
−𝑚𝑔 − 𝑑𝑝𝐴 = 0
𝑚𝑔 + 𝑑𝑝𝐴 = 0
𝑑𝑝𝐴 = −𝑚𝑔
𝑚𝑔
𝑑𝑝 = −
𝐴
𝑚
𝜌=
𝑉
𝑚 = 𝜌𝑉
𝑉 = 𝐴𝑑𝑦
 𝑚 = 𝜌𝐴𝑑𝑦
Sustituyendo en la expresión para la presión
𝜌𝐴𝑑𝑦𝑔
𝑑𝑝 = −
𝐴
𝑑𝑝 = −𝜌𝑑𝑦𝑔
𝑝 𝑦
∫ 𝑑𝑝 = − ∫ 𝜌𝑑𝑦𝑔
𝑝0 𝑦0

𝑦
𝑝 − 𝑝0 = −𝜌𝑔 ∫ 𝑑𝑦
𝑦0

𝑝 − 𝑝0 = −𝜌𝑔(𝑦 − 𝑦0 )
𝑝 = 𝑝0 − 𝜌𝑔(𝑦 − 𝑦0 )
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔(𝑦0 − 𝑦)

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔(𝑦0 − 𝑦)
Si 𝑦0 se toma a la altura de líquido, entonces, ℎ = 𝑦0 − 𝑦 es la profundidad a la cual estamos
calculando la presión.

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Para nuestro ejemplo 𝑝0 es la presión atmosférica. La presión manométrica toma el cero de

presiones en el valor de la presión atmosférica, para esta escala de presiones las presiones
menores que la atmosférica son negativas.

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ

𝑝0 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑝𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎
𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑝𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 + 𝜌𝑔ℎ

h
Ley de pascal

La presión aplicada a un fluido encerrado es transmitida íntegramente a cada porción del fluido y a
las paredes del contenedor.

Supongamos que dentro de una válvula de vacío la presión debida al aire interno es 1300𝑃𝑎 =
1.3𝑥103 𝑃𝑎 = 0.013𝑥105 𝑃𝑎. Calcular la presión manométrica.

Presión atmosférica: 1.013𝑥105 𝑃𝑎 = 101300𝑃𝑎

Presión absoluta

1300 Pa 101300 Pa

Presión manométrica

-100000 Pa 0

Un barril contiene una capa de aceite de 0.120 𝑚 de grosor flotando en el agua. El grosor del
volumen de agua es 0.250 𝑚. La densidad del aceite es 600 𝑘𝑔/𝑚3. ¿Cuál es la presión en la
interface agua-aceite? ¿Cuál es la presión en el fondo del barril?

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + (600𝑘𝑔/𝑚3 ) (9.8 𝑚⁄ 2 ) (0.120𝑚)

𝑠
𝑝 = 101300 𝑃𝑎 + 705.6 𝑃𝑎 = 102005.6 𝑃𝑎
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Datos

𝑝0 = 102005.6 𝑃𝑎

𝜌 = 1000𝑘𝑔/𝑚3
ℎ = 125𝑚
 𝑝 = 102005.6 𝑃𝑎 + 𝜌𝑔ℎ

𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚3

ℎ = 0.250𝑚
9.8𝑚
𝑝 = 102005.6 𝑃𝑎 + 1000 𝑘𝑔/𝑚3 ( 2 ) 0.250𝑚
𝑠
𝑝 = 104455.6 𝑃𝑎
Un tubo en U, en el cual ambos extremos están abiertos a la atmosfera, contiene cierta cantidad
de agua. En uno de sus lados se vierte aceite, sustancia que no se mezcla con el agua, hasta que
llega a una distancia 𝑑 = 12.3 𝑚𝑚 sobre el nivel del agua del otro lado. En el otro extremo
deltubo el nivel del agua se eleva una distancia 𝑎 = 67.5 𝑚𝑚 desde su nivel original. Halle la
densidad del aceite.

𝑝𝐶 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔(2𝑎 + 𝑑)

𝑝𝐶 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔(2𝑎)

Como la presión solo depende de la profundidad, las dos expresiones son iguales

𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔(2𝑎 + 𝑑) = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔(2𝑎)

𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔(2𝑎 + 𝑑) = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑔(2𝑎)

𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (2𝑎 + 𝑑) = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (2𝑎)

 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (2(67.5𝑚𝑚) + 12.3𝑚𝑚) = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (2(67.5𝑚𝑚))

𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (147.3𝑚𝑚) = 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (135𝑚𝑚)

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 (135𝑚𝑚)
𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (147.3𝑚𝑚) =
147.3𝑚𝑚
𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (147.3𝑚𝑚) = 0.916𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎

𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (147.3𝑚𝑚) = 0.916(1000𝑘𝑔/𝑚3 )

𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 (147.3𝑚𝑚) = 916𝑘𝑔/𝑚3

Hay un máximo de profundidad en la cual un buceador puede respirar a través de un tubo de

snorkel ya que conforme la profundidad aumenta, las diferencias de presiones entre el pulmón y la
presión atmosférica aumenta colapsando al pulmón. ¿Cuál es esta diferencia de presión cuando el
pulmón del buceador está a 6.1 m por debajo de la superficie del agua dulce?

𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 𝑝𝑑 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝

𝑘𝑔 𝑚
𝑝𝑑 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 1000 (9.8 ) 6.1𝑚 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 59780 𝑃𝑎
𝑚3 𝑠2
𝑝𝑑 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 59780 𝑃𝑎
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 101300𝑃𝑎

P=Patm+ρgh
La figura muestra una vista esquemática de un gato hidráulico empleado para elevar un automóvil. El fluido
hidráulico es aceite (densidad = 812 𝑘𝑔/𝑚3 ). Se emplea una bomba de mano, con la cual se aplica una fuerza
de magnitud 𝐹𝑖 al pisto menor (de 2.2 𝑐𝑚 de diámetro) cuando la mano aplica una fuerza de magnitud 𝐹ℎ al
extremo del mango de la bomba. La masa combinada del automóvil que va a ser
elevado y la plataforma de elevación es de M = 1980 kg, y el pistón grande tiene un diámetro de 16.4 cm. La
longitud L del mango de la bomba es de 36 cm, y la distancia x desde el pivote
hasta el pistón es de 9.4 cm. (a) ¿Cuál es la fuerza aplicada 𝐹ℎ necesaria para elevar el automóvil? (b) Por
cada carrera hacia abajo de la bomba, en la que la mano se mueve una distancia vertical de 28 cm, ¿a que
altura se eleva el automóvil?

Fi
28cm

𝑉𝑖 = 𝑉0
𝐴𝑖 28𝑐𝑚 = 𝐴0 𝑦
(1.21𝜋𝑐𝑚2 )28𝑐𝑚 = (67.24𝜋𝑐𝑚2 )𝑦

(1.21𝜋𝑐𝑚2 )28𝑐𝑚
=𝑦
67.24𝜋𝑐𝑚2
𝑦 = 0.5𝑐𝑚
𝑝𝑖 = 𝑝0
𝐹𝑖 𝐹0
=
𝐴𝑖 𝐴0
𝐴0
𝐹 = 𝐹0
𝐴𝑖 𝑖

𝐴0 = 𝜋𝑟02 = 𝜋(8.2𝑐𝑚)2 = 67.24𝜋𝑐𝑚2

𝐴𝑖 = 𝜋(1.1𝑐𝑚)2 = 1.21𝜋𝑐𝑚2
67.24𝜋𝑐𝑚2
𝐹 = 𝐹0
1.21𝜋𝑐𝑚2 𝑖
55.57𝐹𝑖 = 𝐹0
𝑚
𝐹0 = 𝑀𝑔 = 1980𝑘𝑔 (9.8 ) = 19404𝑁
𝑠2
𝐹0 19404𝑁
𝐹𝑖 = = = 349.18𝑁
55.57 55.57
 Fi

Fh
𝜏 = 𝐹𝑅
𝜏𝑖 = 𝐹𝑖 𝑥
𝜏ℎ = 𝐹ℎ 𝐿
𝜏ℎ = 𝜏𝑖
𝐹ℎ 𝐿 = 𝐹𝑖 𝑥
𝐹𝑖 𝑥 349.18𝑁(9.4𝑐𝑚)
𝐹ℎ = = = 91.18𝑁
𝐿 36𝑐𝑚

Flotación
Acción de sostenerse en cualquier parte menos en el fondo dentro de un fluido.

𝑚
𝜌=
𝑉
𝑚𝑔 = 𝜌𝑉𝑔
 pmenor A

pmayorA
mg p=F/A →F=pA

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 − 𝑚𝑔 = 0

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 = 𝑚𝑔

La fuerza encargada que el paralelepipedo flote es 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴, ya que tiene la misma
magnitud que el peso del paralelepipedo y empuja hacia arriba. Por esto, a la fuerza 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 −
𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 se le llama fuerza de flotación.

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 = 𝑚𝑔
𝑚
𝜌=
𝑉
𝑚 = 𝜌𝑉
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐹𝑓𝑙 = 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑔

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 − 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑔 > 0

Cuando se hunde
 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 − 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔 < 0

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 < 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑔 = 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 < 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔 < 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔

𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 < 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔 𝑉𝑑𝑒𝑠 𝑔
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 < 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜

Cuando flota

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 − 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑔 > 0

𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 > 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑔

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑔 = 𝑝𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝐴 − 𝑝𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐴 > 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑔

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑔 > 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑉𝑔

Eliminando 𝑉𝑔

𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 > 𝜌𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜

Un objeto de densidad mayor al fluido se hunde por que su peso es mayor al peso del volumen del
fluido desalojado.

Problema

Unos estudiantes encuntran que dos objetos (llamados A y B) se balancean al ponerlos en las
charolas de los brazos opuestos de una balanza. Ellos afirman, a partir de sus exploraciones con
agua, que uno flota y el otro no. Sin embargo, no pueden recordar cual de ellos es el flota. El
volumen del objeto A es mayor que el volumen del objeto B. ¿Cuál de los objetos flota?
𝑚𝐴 𝑚𝐵
<
𝑉𝐴 𝑉𝐵
La densidad de A es menor que la densidad de B. El objeto A es el que flota.

Problema

Un bloque cúbico de madera, de 10.0 cm de lado, flota en la interfase de agua y aceite con su
𝑘𝑔
superficie de abajo a 1.50 cm por debajo de la interface. La densidad del aiceite es 790 ⁄ 3 .
𝑚
¿Cuál es la presión sobre la cara superior del bloque? ¿Cuál es la presión sobre la cara inferior del
bloque? ¿Cuál es la masa del bloque?

p1A

p2A

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

𝑘𝑔 𝑚
𝑝1 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + (790 3
) 9.8 2 (0.015𝑚) = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 116.13𝑃𝑎
𝑚 𝑠
Presión en la cara inferior

𝑝2 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Sea 𝑝0 la presión en la interfase

𝑝0 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑔ℎ
𝑘𝑔 𝑚
𝑝0 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + (790 3
) 9.8 2 0.1𝑚 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 774.2𝑃𝑎
𝑚 𝑠
𝑘𝑔 𝑚
𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 774.2𝑃𝑎 + (1000 3
) 9.8 2 (0.015𝑚) = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 774.2𝑃𝑎 + 147𝑃𝑎
𝑚 𝑠
= 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 921.2 𝑃𝑎
Fuerza de flotación

𝐹𝑓𝑙 = 𝑝2 𝐴 − 𝑝1 𝐴

𝐹𝑓𝑙 = 𝑚𝑔
𝐹𝑓𝑙
=𝑚
𝑔

𝐴 = 0.1𝑚(0.1𝑚) = 0.01𝑚2
 𝑝2 𝐴 − 𝑝1 𝐴
=𝑚
𝑔
(𝑝2 − 𝑝1 )𝐴
=𝑚
𝑔
(𝑝𝑎𝑡𝑚 + 921.2 𝑃𝑎 − 〈𝑝𝑎𝑡𝑚 + 116.13𝑃𝑎〉)𝐴
𝑚 =𝑚
9.8 2
𝑠
(𝑝𝑎𝑡𝑚 + 921.2 𝑃𝑎 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 − 116.13𝑃𝑎)𝐴
𝑚 =𝑚
9.8 2
𝑠
(921.2 𝑃𝑎 − 116.13𝑃𝑎)𝐴
𝑚 = 𝑚 = 0.8215 𝑘𝑔
9.8 2
𝑠
Densidad del cubo de madera
𝑚 0.8215 𝑘𝑔 0.8215 𝑘𝑔 𝑘𝑔
𝜌𝑚𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 = = = 3
= 821.5 3
𝑉 0.1𝑚(0.1𝑚)(0.1𝑚) 0.001𝑚 𝑚
Una loza de hielo flota en agua dulce de un lago. ¿Cuál es el mínimo volumen que debe tener la
loza para que una mujer de 45𝑘𝑔 se pueda parar sobre el hielo sin mojarse?

𝐹𝑓𝑙 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑔

Masa total del hielo y la mujer

𝑘𝑔
𝑚 = 𝜌ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 + 𝑚𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 = 920 𝑉 + 45𝑘𝑔
𝑚3 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜

𝐹𝑓𝑙 = 𝑚𝑔

Sustituyendo valores
𝑘𝑔
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑔 = (920 𝑉 + 45𝑘𝑔) 𝑔
𝑚3 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜
𝑘𝑔
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 = 920 𝑉 + 45𝑘𝑔
𝑚3 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜
𝑘𝑔 𝑘𝑔
1000 3
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 = 920 3 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 + 45𝑘𝑔
𝑚 𝑚
𝑘𝑔 𝑘𝑔
1000 3
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 − 920 3 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 = 45𝑘𝑔
𝑚 𝑚
 𝑘𝑔
80 𝑉 = 45𝑘𝑔
𝑚3 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜
45𝑘𝑔
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 = = 0.56𝑚3
𝑘𝑔
80 3
𝑚
Que volumen de un yate debe permanecer sumergido para mantenerse a flote en el mar si su
masa es de 1000 kg.

1 2

𝐹𝑓𝑙 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑔

𝑚
𝐹𝑓𝑙 = 1000𝑘𝑔 (9.8 ) = 9800𝑁
𝑠2
𝑘𝑔 𝑚
9800𝑁 = (1030 ) 𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 (9.8 )
𝑚3 𝑠2
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑑𝑜 = 𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜
𝑘𝑔 𝑚
9800𝑁 = (1030 3
) 𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 (9.8 2 )
𝑚 𝑠
𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜 = 0.97𝑚3

Dinámica de Fluidos
Líneas de flujo

Rerpresentan a un fluido en movimiento. Estás lineas no se cruzan y tampoco pueden ser

interrumpidas ya que esto nos representaria partículas del fluidos que de repente se quedaran
estáticas, lo cual no es posible ya que se las llevaría la corriente.
La densidad de lineas de flujo representa la velocidad del fluido.

Ecuación de continuidad.

dm2 dV2

dx2 dV2
dt

dm1 dV1
dx1
dV1

𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2
𝑑𝑚1 = 𝜌(𝑑𝑉1 )
Volumen de un cilindro= Área de la base por la altura

𝑑𝑉1 = 𝐴1 𝑑𝑥1
Sustitutyendo en la masa uno

𝑑𝑚1 = 𝜌𝐴1 𝑑𝑥1

Haciendo lo mismo para la masa dos

𝑑𝑚2 = 𝜌𝑑𝑉2
𝑑𝑉2 = 𝐴2 𝑑𝑥2
𝑑𝑚2 = 𝜌𝐴2 𝑑𝑥2
Como las dos masas son iguales

𝜌𝐴1 𝑑𝑥1 = 𝜌𝐴2 𝑑𝑥2

De la definición de la velocidad
𝑑𝑥1
𝑣1 = ⟹ 𝑑𝑥1 = 𝑣1 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥2
𝑣2 = ⟹ 𝑑𝑥2 = 𝑣2 𝑑𝑡
𝑑𝑡
Sustituyendo estas expresiones para 𝑑𝑥1 y 𝑑𝑥2 en 𝜌𝐴1 𝑑𝑥1 = 𝜌𝐴2 𝑑𝑥2 ,
 𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡
Eliminando la densidad

𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡

Tambien podemos eliminar el tiempo

𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2

Recordemos que
𝑑𝑚 𝑑𝑚
𝜌= ⟹ 𝑑𝑉 =
𝑑𝑉 𝜌
Arriba vimos que 𝑑𝑚 = 𝜌𝐴𝑣𝑑𝑡
𝑑𝑚 𝜌𝐴𝑣𝑑𝑡
𝑑𝑉 = = = 𝐴𝑣𝑑𝑡
𝜌 𝜌
Dividiendo entre el tiempo
𝑑𝑉
= 𝐴𝑣
𝑑𝑡
Esta relación nos mide que tan rápido se mueve el volumen del fluido y le llamamos flujo
volumétrico.
𝑚
Supongamos que 𝐴1 = 4𝑚2 y que 𝑣1 = 2 𝑠 . Cual es el flujo volumetrico a través de la sección
transversal 1.

𝑚 𝑚3
𝐴1 𝑣1 = 4𝑚2 (2 )=8
𝑠 𝑠
Ahora supongamos 𝐴2 = 0.5𝑚2 cual sería la velocidad:
𝑚
𝑣2 = 16
𝑠
𝑚 𝑚3
𝐴2 𝑣2 = 0.5𝑚2 (16 )=8
𝑠 𝑠
Una manguera de jardín que tiene un diametro interno de 0.75 in está conectada a un aspersor
que consta de un accsesorio con 24 orificios, cada uno de 0.050 in de diametro. Si el agua de la
manguera tiene una velocidad de 3.5 ft/s, ¿a que velocidad sale por los orificios del aspersor?

𝐴1 𝑣1 = 24𝐴2 𝑣2
𝐴1 𝑣1
= 𝑣2
24𝐴2

0.75𝑖𝑛 2
2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑢𝑟𝑎 = 𝐴1 = 𝜋𝑟 = 𝜋 ( ) = 0.14𝜋𝑖𝑛2
2
𝑣1 = 3.5 ft/s

0.050𝑖𝑛 2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 = 𝐴2 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋 ( ) = 0.000625𝜋𝑖𝑛2
2
ft
0.14𝜋𝑖𝑛2 (3.5 s )
= 𝑣2
24(0.000625𝜋𝑖𝑛2 )

ft
0.14(3.5 s )
= 𝑣2
24(0.000625)
ft
32.6 = 𝑣2
s

La siguiente figura muestra cómo se angosta al caer la corriente de agua que sale de la llave. El
área de la sección transversal 𝐴0 es de 1.2 𝑐𝑚2 y la de 𝐴 es de 0.35 𝑐𝑚2. Los dos niveles están
separados por una distancia vertical ℎ = 45 𝑚𝑚. ¿En que cantidad fluye el agua de la llave?
𝐴0 𝑣0 = 𝐴𝑣
𝑑𝑉
= 𝐴𝑣
𝑑𝑡
(1.2 𝑐𝑚2 )𝑣0 = (0.35 𝑐𝑚2 )𝑣

(1.2 𝑐𝑚2 )
𝑣 =𝑣
(0.35 𝑐𝑚2 ) 0
3.42𝑣0 = 𝑣
𝑑𝑉
= 1.2 𝑐𝑚2 𝑣0
𝑑𝑡
 V0=?

ℎ = 45 𝑚𝑚
𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑔

𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑔ℎ

𝑣 2 − 2𝑔ℎ = 𝑣02

√𝑣 2 − 2𝑔ℎ = 𝑣0
𝑚
√𝑣 2 − 2 (9.8 ) 0.045𝑚 = 𝑣0
𝑠2

𝑚2
√𝑣 2 − 0.882 = 𝑣0
𝑠2

Arriba ya tenemos una expresión para 𝑣

𝑚2
√(3.42𝑣0 )2 − 0.882 = 𝑣0
𝑠2

𝑚2
11.7𝑣0 2 − 0.882 = 𝑣02
𝑠2
 𝑚2
11.7𝑣0 2 − 𝑣02 = 0.882
𝑠2

𝑚2
10.7𝑣0 2 = 0.882
𝑠2
𝑚2
0.882 2
𝑣0 2 = 𝑠 2 = 0.082 𝑚
10.7 𝑠2

𝑚2
𝑣0 = √0.082
𝑠2

𝑚
𝑣0 = 0.29
𝑠
Sustituyendo en el flujo volumétrico

𝑑𝑉 𝑚 100𝑐𝑚 𝑐𝑚3
= 1.2 𝑐𝑚2 (0.29 ) = 1.2 𝑐𝑚2 (0.29 ) = 34.8
𝑑𝑡 𝑠 𝑠 𝑠

Ecuación de Bernilli

dt

𝐹
𝑝=
𝐴
 𝐹 = 𝑝𝐴
La fuerza 𝑝1 𝐴1 puede provenir, por ejemplo, de una bomba que quiere elevar al fluido. La fuerza
𝑝2 𝐴2 se opene al movimiento. Trabajo debido a la fuerza 𝑝1 𝐴1

𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑥
𝑑𝑊1 = 𝑝1 𝐴1 𝑑𝑠1
𝑑𝑊2 = −𝑝2 𝐴2 𝑑𝑠2
Trabajo total

𝑑𝑊 = 𝑑𝑊1 + 𝑑𝑊2 = 𝑝1 𝐴1 𝑑𝑠1 − 𝑝2 𝐴2 𝑑𝑠2

𝑑𝑉 = 𝐴1 𝑑𝑠1
𝑑𝑉 = 𝐴2 𝑑𝑠2
Con estás expresiones para el volumen el trabajo total se reescribe como

𝑑𝑊 = 𝑝1 𝑑𝑉 − 𝑝2 𝑑𝑉 = (𝑝1 − 𝑝2 )𝑑𝑉

𝑑𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = (𝑑𝑚)𝑔𝑦2 − (𝑑𝑚)𝑔𝑦1 = (𝑑𝑚)𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = (𝜌𝑑𝑉)𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )

𝑑𝑈 = 𝜌𝑔𝑑𝑉(𝑦2 − 𝑦1 )
1 1 1
𝑑𝐾 = 𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 = (𝑑𝑚)𝑣22 − (𝑑𝑚)𝑣12 = (𝑑𝑚)(𝑣22 − 𝑣12 )
2 2 2
1 1 1
𝑑𝐾 = (𝜌𝑑𝑉)𝑣22 − (𝜌𝑑𝑉)𝑣12 = (𝜌𝑑𝑉)(𝑣22 − 𝑣12 )
2 2 2

1
𝑑𝐾 = 𝜌𝑑𝑉(𝑣22 − 𝑣12 )
2
𝑑𝑊 = 𝑑𝐾 + 𝑑𝑈
1
(𝑝1 − 𝑝2 )𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝑉(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝜌𝑔𝑑𝑉(𝑦2 − 𝑦1 )
2
1 2 2
(𝑝1 − 𝑝2 )𝑑𝑉 2 𝜌𝑑𝑉(𝑣2 − 𝑣1 ) + 𝜌𝑔𝑑𝑉(𝑦2 − 𝑦1 )
=
𝑑𝑉 𝑑𝑉
1
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌(𝑣22 − 𝑣12 ) + 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )
2
 1 1
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑣22 − 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔𝑦2 − 𝜌𝑔𝑦1
2 2
1 1
𝑝1 + 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 𝜌𝑣22 + 𝜌𝑔𝑦2
2 2
Supongamos que el fluido no se mueve.

𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2
𝑝1 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 − 𝜌𝑔𝑦1
𝑝1 = 𝑝2 + 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )
𝑝1 = 𝑝2 + 𝜌𝑔ℎ

Un tanque elevado de altura ℎ = 32 𝑚 y diámetro 𝐷 = 3.0 𝑚 abastece de agua a una casa (ver figura). Una
tubería horizontal en la base del tanque tiene un diámetro 𝑑 = 2.54 𝑐𝑚. Para satisfacer las necesidades
del hogar, la tubería de abastecimiento debe ser capaz de sustituir agua a razón de 𝑅 = 0.0025 𝑚3 /𝑠. a) Si
el agua estuviera fluyendo a la cantidad máxima, ¿cuál sería la presión en la tubería horizontal? b) Una
tubería más pequeña, de diámetro d' = 1.27 cm abastece al segundo piso de la casa, a una distancia de 7.2 𝑚
sobre el nivel del suelo. ¿Cuáles son la velocidad del flujo y la presión del agua en esta tubería?

1 1
𝑝𝐴 + 𝜌𝑣𝐴2 + 𝜌𝑔𝑦𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜌𝑣𝐵2 + 𝜌𝑔𝑦𝐵
2 2
 1 1
𝑝𝐴 + 𝜌𝑣𝐴2 + 𝜌𝑔𝑦𝐴 − 𝜌𝑣𝐵2 − 𝜌𝑔𝑦𝐵 = 𝑝𝐵
2 2
𝑝𝐴 = 1.01𝑥105 𝑃𝑎
𝑘𝑔
𝜌 = 1000
𝑚3
𝑣𝐴 =?

𝑑𝑉 𝑚3
= 𝑅 = 0.0025 = 𝐴𝐴 𝑣𝐴
𝑑𝑡 𝑠
𝑚3
0.0025
𝑠 =𝑣
𝐴
𝐴𝐴

𝑚3
0.0025
𝑠 = 𝑣 = 0.00035 𝑚
𝐴
3𝑚 2 𝑠
𝜋( )
2
𝑦𝐴 = ℎ = 32𝑚

𝑑𝑉 𝑚3
= 𝑅 = 0.0025 = 𝐴𝐵 𝑣𝐵
𝑑𝑡 𝑠

𝑚3
0.0025
𝑠 =𝑣
𝐵
𝐴𝐵
𝑚3
0.0025 𝑚
𝑠
2 = 𝑣𝐵 = 4.93 𝑠
0.0254 𝑚
𝜋( )
2
𝑦𝐵 = 0
Sustituyendo datos en la expresión para 𝑝𝐵
1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑘𝑔 𝑚
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + (1000 3 ) (0.00035 ) + (1000 3 ) (9.8 2 ) (32𝑚)
2 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠
1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑘𝑔 𝑚
− (1000 3 ) (4.93 ) − (1000 3 ) (9.8 2 ) (0) = 𝑝𝐵
2 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠
1 𝑘𝑔 𝑚 2 𝑘𝑔 𝑚
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + (1000 3 ) (0.00035 ) + (1000 3 ) (9.8 2 ) (32𝑚)
2 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠
1 𝑘𝑔 𝑚 2
− (1000 3 ) (4.93 ) = 𝑝𝐵
2 𝑚 𝑠

𝑘𝑔 𝑚2 𝑘𝑔 𝑚2 𝑘𝑔 𝑚2
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + 0.00006125 + 313600 − 12152.45 = 𝑝𝐵
𝑚3 𝑠2 𝑚3 𝑠 2 𝑚3 𝑠2
𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔 𝑚 𝑘𝑔 𝑚
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + 0.00006125 2 2
+ 313600 2 2 − 12152.45 2 2 = 𝑝𝐵
𝑚 𝑠 𝑚 𝑠 𝑚 𝑠
𝑁 𝑁
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + 0.00006125 2 + 301447.55 2 = 𝑝𝐵
𝑚 𝑚
1.01𝑥105 𝑃𝑎 + 0.00006125𝑃𝑎 + 301447.55𝑃𝑎 = 𝑝𝐵
 1.01𝑥105 𝑃𝑎 + 301447.55𝑃𝑎 = 𝑝𝐵
402447.55𝑃𝑎 = 𝑝𝐵
𝑑𝑉 𝑚3
= 𝑅 = 0.0025 = 𝐴𝐶 𝑣𝐶
𝑑𝑡 𝑠

𝑚3
0.0025
𝑠 =𝑣
𝐶
𝐴𝐶

𝑚3
0.0025
𝑠 =𝑣
𝐶
1.27 cm 2
𝜋( )
2
𝑚3
0.0025 𝑚
𝑠
2 = 𝑣𝐶 = 19.73 𝑠
0.0127 m
𝜋( )
2

1 1
𝑝𝐵 + 𝜌𝑣𝐵2 + 𝜌𝑔𝑦𝐵 = 𝑝𝐶 + 𝜌𝑣𝐶2 + 𝜌𝑔𝑦𝐶
2 2
Como 𝑦𝐵 = 0
1 1
𝑝𝐵 + 𝜌𝑣𝐵2 = 𝑝𝐶 + 𝜌𝑣𝐶2 + 𝜌𝑔𝑦𝐶
2 2
1 𝑘𝑔 𝑚 2 1 𝑘𝑔 𝑚 2
402447.55𝑃𝑎 + (1000 3 ) (4.93 ) − (1000 3 ) (19.73 )
2 𝑚 𝑠 2 𝑚 𝑠
𝑘𝑔 𝑚
− (1000 3 ) (9.8 2 ) (7.2 𝑚) = 𝑝𝐶 = 149403.55𝑃𝑎
𝑚 𝑠
La siguiente figura muestra un líquido que está siendo descargado por un orificio practicado en un tanque
grande y situado a una distancia h bajo la superficie del líquido. El tanque esta abierto por arriba. (a) Aplique
la ecuacion de Bemoulli a una línea de corriente líquida que una a los puntos 1,
2, y 3, y demuestre que la velocidad de salida es
𝑣 = √2𝑔ℎ
Esta ecuacion se conoce como la ley de Torricelli. (b) Si el orificio estuviera curvado directamente hacia
arriba, ¿a qué altura se elevaría la línea de corriente liquida? (c) ¿Cómo afectaría al análisis la viscosidad o la
turbulencia?