FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE SIMULACIÓN DISCRETA 1

UNIDAD II Muestreo Montecarlo

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UNIDAD II
2.1 MUESTREO MONTE CARLO

El origen de los métodos modernos de simulación proviene de lo que se

conoce como Muestreo Monte Carlo, técnica que fue utilizada en primer lugar
por J. von Newman y luego se popularizó entre otros investigadores, junto con
los equipos militares de Investigación de Operaciones durante la segunda
guerra mundial (Davis MacKewon).

A finales de 1.940, von Newman y Ulman utilizaron el término Monte Carlo para
referirse a una técnica matemática que usaban entonces para resolver ciertos
problemas de protección nuclear que eran, ó demasiado costosos para
resolverse experimentalmente ó demasiado complicados para ser tratados
analíticamente. El análisis Monte Carlo involucra la solución de un problema
matemático no probabilístico mediante la solución de un proceso estocástico
cuyos momentos o distribuciones de probabilidad satisfacían las relaciones
matemáticas del problema no probabilístico (Naylor).

El término Monte Carlo se refiere a un proceso que se utiliza en forma aleatoria

para elegir valores muestrales a partir de una distribución probabilística.
Después, esos valores muestrales se utilizan como entradas o valores
operativos para un modelo de simulación. Por ello, el muestreo Monte Carlo no
es simulación sino que es, más bien, un procedimiento o método que se utiliza
con modelos probabilísticos de simulación (Davis MacKewon).

El método Monte Carlo es el elemento básico de cualquier experimento de

simulación porque, en esencia, es el proceso de muestreo asociado con la
simulación. Por fortuna, el muestreo de valores aleatorios a partir de
distribuciones de probabilidad puede lograrse a través de generadores de
proceso (se verán en la Unidad IV) a diferencia del procedimiento de búsqueda en
tablas asociado con el método de Monte Carlo tradicional.

2.1.1 ILUSTRACIÓN DEL PROCESO MONTE CARLO (Davis/McKeown)

Suponga que se quiere simular las toneladas de basura que se recogen en un

día específico. Siempre debe conocerse el comportamiento de lo que se va a
simular: En este caso, se sabe que algunos días se recolectan 10
toneladas,otros días 20 toneladas, ... , otros 70 toneladas, y lo que se va a
simular es un día cualquiera, por lo tanto se requiere conocer la distribución de
probabilidad.

Suponga que la distribución de probabilidad está dada por:

Toneladas de basura
recolectadas por día Probabilidad
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---------------------------- -----------------
10 0.10
20 0.22
30 0.25
40 0.20
50 0.12
60 0.07
70 0.04

Para comenzar el proceso, es necesario elaborar una distribución probabilística

acumulada. Es decir, necesitamos conocer la probabilidad de que las toneladas
de basura recogidas en un día determinado ( variable aleatoria discreta en este caso )
sean menos que, o igual a un valor determinado. Esto puede lograrse con la
siguiente tabla:

Toneladas de basura
Recolectadas por día p(d) P(recolección Intervalo para los
(d)  d) números aleatorios

10 0.10 0.10 0.00 ... 0.09

20 0.22 0.32 0.10 ... 0.31
30 0.25 0.57 0.32 ... 0.56
40 0.20 0.77 0.57 ... 0.76
50 0.12 0.89 0.77 ... 0.88
60 0.07 0.96 0.89 ... 0.95
70 0.04 1.00 0.96 ... 0.99

Dado que para cualquier distribución probabilística acumulada las

probabilidades caen en el intervalo [0 , 1], es posible generar una ocurrencia
aleatoria correspondiente a una distribución probabilística específica,
seleccionando un número al azar entre cero (0) y uno (1), encontrando el
intervalo de distribución acumulada dentro del cual cae el número aleatorio e
identificando el valor asociado de la variable aleatoria en consideración.

Para ilustrar la forma como esto se realiza, es posible elaborar una curva de
distribución acumulada de los datos (ver página siguiente):
Observe que la longitud de la línea vertical en cada uno de los escalones
corresponde al valor de la probabilidad para cada nivel de recolección de
basura (por ej. para el nivel de recolección de 20 toneladas la línea vertical
mide 0.22).

Si se genera al azar un número entre 0 y 1 (éste puede leerse en una tabla,

como la que aparece al final de esta sección, obtenerse de una calculadora que
tenga funciones de números aleatorios o bien calcularse de forma matemática
como lo veremos más adelante), entonces al determinar la ubicación del
número generado aleatoriamente en el eje vertical se obtiene un valor muestral
asociado para ese nivel de recolección. Por ejemplo, suponga que generamos
el número aleatorio 0.4764, el nivel de recolección asociado sería 30 toneladas
de basura para ese día. Cada generación de un número aleatorio se entiende
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como un experimento de muestreo. Si repitiésemos este proceso de muestreo
un gran número de veces (iteraciones), esperaríamos obtener un nivel de
recolección de 30 toneladas el 25% de las veces. Por ello, los valores
simulados con esta metodología para un número grande de iteraciones
corresponderían a la distribución original estadística de la recolección de
basura.

Curva de distribución acumulada

El muestreo a partir de una distribución probabilística utilizando el método de

Monte Carlo es bastante simple una vez que se ha elaborado la curva
(distribución) probabilística acumulada. Sin embargo, para aceptar que el
proceso es correcto desde el punto de vista estadístico, debemos asegurarnos
de que los números aleatorios tengan en realidad una distribución aleatoria
uniforme entre 0 y 1 (este asunto será tratado en la sección 3.4 y 3.6). Para
llevar a cabo una simulación manual puede utilizarse una tabla de números
aleatorios. Los números aleatorios generados por computadora se basan en
procedimientos matemáticos más que en tablas (Davis / MacKewon).

Nota: Observe la última columna de la tabla anterior. Se puede utilizar con el

mismo efecto de la curva de distribución acumulada.

A fin de ilustrar manualmente el proceso de la simulación en general, pero

haciendo hincapié en los aspectos de control de tiempos de la simulación se
analiza en seguida, a vía de ejemplo, un caso particular.
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2.1.2 CASO DE LA EMPRESA MANUFACTURERA D.E.F. (Davis / MacKewon)

Los Ingenieros Industriales de la Empresa Manufacturera D.E.F. han observado

que el tiempo muerto de la maquinaria en el área de producción 1) ocasiona
considerables pérdidas de producción, 2) aumenta los pedidos atrasados que
no se han satisfecho y 3) hace que se pierdan oportunidades de ventas.

Estos ingenieros opinan que es posible reducir en forma significativa el

problema utilizando un número adecuado de personal de mantenimiento.

El salario por hora (incluyendo prestaciones) para el personal de

mantenimiento es de $ 4.000. Los ingenieros consideran que se pierden $
15.000 por hora cuando una máquina no está en operación; esta cifra incluye
las utilidades que se pierden así como también el costo del tiempo muerto de
los operarios de las máquinas (que son diferentes del personal de
mantenimiento).

Se quiere entonces determinar el número óptimo de personal de

mantenimiento. Es decir, la empresa necesita saber en qué punto el costo del
personal de mantenimiento ($ 4.000 por hora) equivale a los costos esperados
por el tiem
po muerto de los operarios de las máquinas y las utilidades que se pierden ($
15.000 por hora).

El gerente de producción de la empresa ha recopilado datos con respecto al

tiempo que transcurre entre fallas de las máquinas, así:

Tiempo entre Frecuencia de

fallas (minutos) ocurrencia
-------------------- -------------------
15 7
16 14
17 15
18 28
19 36
20 27
21 15
22 8
-------
150

No se han recopilado datos con respecto al tiempo que el personal de

mantenimiento invierte en reparar una máquina; sin embargo, el gerente
proporcionó una estimación aproximada de los tiempos de servicio y de sus
probabilidades asociadas, así:
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Tiempo de servicio
(minutos) Probabilidad
------------------------ -----------------
5 - 15 0.05
15 - 25 0.25
25 - 35 0.40
35 - 45 0.25
45 - 55 0.05

La siguiente tabla muestra la distribución acumulada de los tiempos entre fallas

de las máquinas:

Tiempo entre fallas

(min) p(f) P(tiempo entre fallas Intervalo para los
(f)  f) números aleatorios

15 0.0467 0.0467 0.0000 ... 0.0466

16 0.0933 0.1400 0.0467 ... 0.1399
17 0.1000 0.2400 0.1400 ... 0.2399
18 0.1867 0.4267 0.2400 ... 0.4266
19 0.2400 0.6667 0.4267 ... 0.6666
20 0.1800 0.8467 0.6667 ... 0.8466
21 0.1000 0.9467 0.8467 ... 0.9466
22 0.0533 1.0000 0.9467 ... 0.9999

Observe que al elaborar esta tabla fue necesario calcular la probabilidad del
tiempo entre fallas antes de obtener la probabilidad acumulada. Esto se llevó a
cabo dividiendo cada frecuencia de ocurrencia entre el número total de
observaciones (150). Se incluye también la columna denominada “Intervalo
para los números aleatorios”, la que se utilizará para evitar el dibujo de las
curvas de distribución acumulada.

Similarmente, se construye la siguiente tabla para la distribución probabilística

acumulada del tiempo de servicio de reparación de las máquinas:

Tiempo de servicio
(min) p(t) P(tiempo de Intervalo para los
t servicio  t ) números aleatorios

5 - 15 10 0.05 0.05 0.0000 ... 0.0499

15 - 25 20 0.25 0.30 0.0500 ... 0.2999
25 - 35 30 0.40 0.70 0.3000 ... 0.6999
35 - 45 40 0.25 0.95 0.7000 ... 0.9499
45 - 55 50 0.05 1.00 0.9500 ... 0.9999

Note que en el tiempo de servicio se han registrado dos columnas: la primera

corresponde al intervalo del enunciado del problema, y la segunda al punto
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medio de cada intervalo, valor que será utilizado en la simulación (suponemos
una distribución uniforme dentro de cada intervalo).
Se inicia la simulación suponiendo que el día de trabajo comienza a las 8:00
a.m. La simulación terminará al final de un día de trabajo de 8 horas (se corre
la simulación hasta las 4 p.m., suponiendo que no existe tiempo libre para el
almuerzo).

Cuando ocurre una falla se comienza el servicio de mantenimiento de

inmediato si hay disponible una persona de mantenimiento; si no lo está, la
máquina pasa a una línea de espera.

Se dará servicio a las máquinas que esperan en la línea sobre la base de que
la primera que llega es la primera que se atiende.

Se recopilan datos sobre las características operativas del sistema (sobre los
tiempos que las máquinas están en la fila, el número de máquinas que están en
la línea de espera y la cantidad de tiempo que cada persona está desocupada),
luego se utilizan estas estadísticas para calcular el costo total.

A continuación se presenta los resultados de la simulación cuando existe

disponible para mantenimiento un solo empleado.
Con un solo empleado de mantenimiento: (Ver tabla de la página siguiente)

El primer número aleatorio para generar el tiempo en que ocurre la primera falla
es 0.6279. Luego el tiempo que pasa hasta la primera falla es de 19 minutos.
Por tanto, la primera falla ocurre a las 8:19 a.m. Dado que el trabajador de
mantenimiento llegó a trabajar a las 8:00 a.m. se le asigna de inmediato para
que empiece el mantenimiento a la máquina descompuesta. Para determinar el
tiempo que le llevará dar servicio a la máquina se genera un número aleatorio
para el servicio, el cual es 0.4446 que corresponde a un servicio de 30 minutos.
Por ello, el servicio para la primera máquina descompuesta se termina a las
8:49 a.m. Dado que el trabajador de mantenimiento tuvo que esperar hasta las
8:19 a.m. antes de que ocurriera la primera falla, el tiempo muerto para este
trabajador es de 19 minutos. Y dado que la primera máquina descompuesta no
pasó a la línea de espera antes de que se le diera servicio, el operario de la
máquina no incurrió en tiempo muerto (Nota: Sí hay un tiempo perdido de este
operario, correspondiente al tiempo que dura el mantenimiento, pero este
tiempo está en función de la falla y no del servicio de mantenimiento y
nosotros, ahora, estamos interesados es en analizar el número adecuado de
personas en mantenimiento que incide sobre las pérdidas debido al tiempo de
máquinas dañadas); el tiempo muerto en el que estamos interesados es el que
pierde el operador por estar esperando el servicio).

Ya que se procesó la primera falla, se continúa con la segunda. El

correspondiente número aleatorio para la siguiente falla es 0.8234, que
equivale a 20 minutos. Puesto que la primera falla ocurrió a las 8:19, la
segunda falla ocurre a las 8:39 a.m. El trabajador de mantenimiento aún está
dando servicio a la primera máquina, por lo que la segunda máquina debe
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pasar a la línea de espera. Hay 10 minutos muertos para el operario de la
máquina por causa de esta espera, ya que el servicio de mantenimiento para
esta segunda máquina sólo puede comenzar a las 8:49 a.m. (cuando termina el
servicio a la primera máquina descompuesta). La longitud de la línea de espera
es 1 (última columna de la tabla).
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# Tiempo Tiempo Tiempo Número

aleatorio que pa- Tiempo Se # alea- Tiempo Termina muerto muerto del de má-
Falla para la sa has- de ocu- inicia el torio de ser- el ser- del operario quinas
No. siguiente ta la si- rrencia de servicio para el vicio vicio personal de la má- que es-
falla guiente la falla servicio (min) de man- quina peran
falla tenimient servicio
(min) o
(ocioso)

1 0.6279 19 8:19 8:19 0.4446 30 8:49 19 -- --

2 0.8234 20 8:39 8:49 0.6427 30 9:19 -- 10 1
3 0.5273 19 8:58 9:19 0.5902 30 9:49 -- 21 1
4 0.1820 17 9:15 9:49 0.0318 10 9:59 -- 34 2
5 0.6383 19 9:34 9:59 0.5901 30 10:29 -- 25 2
6 0.1471 17 9:51 10:29 0.3044 30 10:59 -- 38 2
7 0.3208 18 10:09 10:59 0.1699 20 11:19 -- 50 2
8 0.8224 20 10:29 11:19 0.5783 30 11:49 -- 50 2
9 0.6331 19 10:48 11:49 0.8764 40 12:29 -- 61 3
10 0.5482 19 11:07 12:29 0.2112 20 12:49 -- 82 3

Sumas 187 270 371 19

Hacia el momento en que ocurre la novena falla, la longitud de la línea de espera ha aumentado a tres y la novena
máquina espera 61 minutos antes de que se le comience a dar servicio. Dado que es evidente que la línea de espera
continuará aumentando si se tiene un trabajador de mantenimiento, se dan por terminados los cálculos en la décima
falla.
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2.1.3 TALLER # 1 MÉTODO MONTE CARLO

Hacer simulación para dos trabajadores de mantenimiento. Calcular costos,

etc.

2.1.4 TALLER # 2 MÉTODO MONTE CARLO (Shambling/Stevens)

Se supone que la demanda diaria de un artículo particular puede expresarse

mediante la siguiente distribución:

Demanda Probabilidad

0 0.05
1 0.10
2 0.15
3 0.30
4 0.25
5 0.15

Se desea generar un patrón de demanda para 10 días. Utilice intervalos para

números aleatorios desde 00 hasta 99. Utilice los siguientes números
aleatorios: 14, 74, 24, 87, 07, 45, 26, 66, 26, 94.
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TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS (Escaneada de Davis / McKeown)
4764 6279 4446 5582 1634 2396 7984 0892 6049 7488
8416 8234 6427 4959 7344 5582 8579 1652 8767 2934
9434 5273 5902 1824 2809 7556 2486 2963 2006 7914
3420 1820 0318 7041 0746 7468 0788 2913 5730 1305
6827 6383 5901 3555 3049 0858 8872 3181 0495 5501
8521 1471 3044 9717 6203 4840 8645 9348 3101 7983
1129 3208 1699 5571 2923 0382 0032 5459 4610 5684
5806 8224 5783 4674 6696 1011 6599 7695 4470 1598
9285 6331 8764 8461 4031 8934 7259 7712 8980 6963
6955 5482 2161 1838 2875 9525 9769 8136 9966 6852
5937 3445 3694 1834 3496 4466 4629 9659 5169 3131
8044 4611 6072 1084 8306 6117 8550 2526 3276 4537
2219 3193 8224 6791 4229 0579 8448 6988 7886 3739
5570 6273 1455 3007 9751 8758 8610 1781 8456 4518
5496 4841 1443 6085 8950 5867 1830 7652 3884 1657
5054 7303 6255 7005 2068 3442 8084 8559 1254 2478
0661 8875 6251 9846 7295 4338 5145 2204 3691 8096
7321 7051 1108 0625 3440 6284 4179 4339 3666 1786
1799 1989 5595 5457 5435 1938 4324 6299 9208 3997
4934 4071 1456 4076 3090 4586 2596 3397 3189 3251
8262 8374 4637 1581 2275 7185 8938 1194 1403 1840
9586 7055 6472 0928 4832 5912 2768 7070 3751 1718
1882 0684 0933 4112 7413 2027 4233 9662 6926 2455
9670 1291 4890 7457 7666 3246 4877 4168 1609 3896
2039 5973 9776 0099 0272 5058 7182 7786 5649 8697
8416 4676 2229 7245 0700 4369 0390 6289 2870 7244
5670 5432 2966 6749 6488 8453 1751 7768 4356 3516
1198 0414 0140 5503 9564 1048 8107 2043 0830 5920
5263 5133 4011 7164 2389 0693 8934 2723 1078 2653
0385 9999 7544 3593 9120 1661 7054 2791 1173 8148
5169 8408 1074 4192 4800 5589 8279 9855 7618 5088
4031 8123 0927 9697 5585 7698 1450 6706 3222 3469
3457 1531 7016 2007 9172 9358 0468 4212 2238 7065
3859 3643 4141 4584 4035 2295 9716 7871 1234 1723
7228 1267 4020 3840 9324 4281 9163 4899 2737 2626
1165 5407 3768 0190 0135 5534 7293 7472 0754 1557
5089 9780 2195 6766 8383 4123 3447 7244 1091 3490
5544 0016 3828 6315 6349 2892 6764 4509 0942 1833
0840 4942 1475 3908 4765 8715 0892 5274 9646 7686
1186 4425 3216 5570 5255 8678 8967 7269 4330 4904
7678 1351 6002 2999 4725 2305 6893 2079 0195 5658
1892 2323 3188 7864 3646 7732 7501 9132 3081 2445
3382 4579 1513 7065 5765 7341 3386 9137 4236 9718
8149 5468 6474 0654 0441 9946 2749 7297 5046 0704
3519 2481 8907 7830 7936 0624 6938 9750 7356 7141