Volumen 95

NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas

Julio de 2017 Volumen 95
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 95, julio de 2017, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Director
Israel García Alonso
Comité editorial
Hugo Afonso, Alicia Bruno, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Fátima García e Inés
Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel
Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,
Luis Rico y Xavier Vilella.
Portada. Autor: Marta Muñoz González. Título: “Parábola contra el muro”. (Primer Premio en Concurso
Fotografía y Matemáticas 2008)”.
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: administracion@sinewton.org
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Alfredo Monereo Muñoz
(Secretario General), Guacimara Pérez Cartaya (Tesorera), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de actas).
Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran
Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío
Alemán (Tenerife), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), Purificación Jurado Antúnez (El Hierro).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas
ISSN: 1887-1984
Volumen 95, julio de 2017, páginas 3-4
Índice
Editorial 5
Artículos
Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el programa

de Matemáticas en un centro Kumon 7
L. Lluch
Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Educación
Infantil y Primer Ciclo de Primaria 25
H. Zamora, R. Aciego, A. Martín-Adrián y E. Ramos
Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de
Educación Primaria 43
A. López, R. Aciego, M. García-Déniz, D. García-Quintero y E. Ramos
Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo: Análisis
de una práctica educativa de aula 61
M. L. Novo, A. Berciano y Á. Alsina
Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros maestros de
Primaria 77
R. Nortes Martínez-Artero, A. Nortes Checa
Secciones
Experiencias de aula
TIPS de ruta
93
M.J. Casado Barrio
Mundo Geogebra
Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de conjeturas
utilizando GeoGebra 107
M. Freyre y A. M. Mántica

Índice (continuación)
Problemas
Tenemos la solución a tus problemas. (Problemas Comentados XLVI)
123
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Juegos
También tenemos las del dominó
137
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
Leer Matemáticas
Las matemáticas del amor. Hannah Fry
153
Reseña: A. Yanira Duque Hernández
Informaciones 155
Normas para los autores 159
4 Vol. 95 julio de 2017 NÚMEROS

5
ISSN: 1887-1984
Israel García, Director de Números
Llega el mes de julio y con él presentamos un nuevo volumen de la Revista Números. Si me

permite, voy a pedirle que se fije en la portada de nuestro volumen. Aparte de indicar que se trata de
un ganador del concurso de “Fotografía y Matemáticas”, podemos observar en ella la imagen de una
curva.
De siempre los matemáticos hemos estudiado y descrito las propiedades que presentan las
curvas que, de manera natural, aparecen a nuestro alrededor o que, gracias a la imaginación y el
desarrollo geométrico y algebraico, podemos idear y construir. Esta curva que vemos en la imagen es
E
una curva bien conocida por todos: la parábola. A nadie se le escapa su bella curvatura y la
singularidad de su vértice como valor máximo de la misma. Pero, ¿podemos asegurar con toda certeza
que se trata de una parábola? ¿Qué característica presenta que nos haga pensar que no es otra curva
D
diferente? Tal vez podría ser esa otra curva tan particular y utilizada en arquitectura: la catenaria. Y
aquí surge la duda, ¿cómo distinguimos si se trata de una parábola o una catenaria? Huygens descubrió
que no eran la misma curva, aunque no pudo dar con su expresión algebraica. Hasta ese momento, la
I
parábola había servido como modelo matemático de las curvas que generan las cuerdas o cadenas
cuando se sujetan por los extremos. El arco catenario no aparece en la construcción en Europa hasta el
T
siglo XVII, pues desde la época griega y romana se utilizaban las curvas derivadas del círculo como
elementos constructivos que, siendo más fáciles, eran menos estables. Gaudí utilizó la catenaria en sus
construcciones por sus propiedades de tensión y peso. La catenaria distribuye regularmente el peso
O
que soporta.
Aprovechando estos días de relax y descanso, dejo para el lector el análisis más concienzudo
R
que nos permita conocer con mejor exactitud qué curva realmente aparece en la imagen.
I
En este número de Números
Tenemos ante nosotros un volumen que presenta diferentes artículos muy interesantes con ideas
A
muy acertadas para mejorar el proceso de enseñanza y logran un aprendizaje de las matemáticas más
eficaz.
L
Lluch Molins abre este volumen con un artículo sobre las matemáticas en un centro Kumon. Se
denomina así a un método de enseñanza no reglada y sin carácter oficial donde el alumno es el
verdadero protagonista y el objetivo principal, que persigue que aprenda a estudiar de forma
autodidacta. Desde el área de matemáticas se persigue proporcionar al alumno una base sólida de
cálculo y desarrolla las habilidades necesarias para que afronte con éxito y confianza diferentes
contenidos matemáticos de Secundaria. En el artículo se explica la experiencia con este método y los
éxitos conseguidos.
Los dos trabajos siguientes, elaborados por diferentes autores, están ambos relacionados con el
“Proyecto Newton. Matemáticas para la vida”, centrados en Educación Infantil y Educación Primaria.
Este proyecto surge como iniciativa del Consejo Escolar de Canarias y la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas para dar respuesta a los problemas detectados en la enseñanza
de las Matemáticas en Canarias como así se reflejó en el informe sobre la Realidad Educativa Canaria
2011. Estos trabajos vienen a poner de manifiesto la repercusión que el proyecto tiene tras su puesta en

Editorial
I. García
marcha en diversos centros educativos de Canarias y cómo ayudan a los estudiantes en la adquisición
de la competencia matemática.
En el trabajo de Novo, Berciano y Alsina se realiza un estudio de investigación en el que se

analiza la diferencia en la adquisición del conocimiento cuando se presenta este integrado frente a la
adquisición cuando se presenta este conocimiento parcelado. Buscan que el conocimiento conectado
sea inherente ya que permite un conocimiento más profundo por parte de los estudiantes en las
primeras edades.
Nortes y Nortes realizan una investigación sobre la ansiedad, motivación y confianza hacia las
Matemáticas. Un interesante trabajo con estudiantes de Primaria, futuros profesores, y su relación con
el conocimiento matemático. La ansiedad hacia el conocimiento matemático es un componente
afectivo emocional que repercute en la futura formación que puedan producir en sus estudiantes.
También contamos con nuestras secciones fijas:

L
Experiencias de aula nos propone “TIPS de ruta”, actividad con la que se analiza y se proponen
A
rutas en cuya elaboración se conjuga el conocimiento matemático y las herramientas tecnológicas

actuales. Se ilustra el desarrollo de una actividad motivadora para los estudiantes y ofreciendo la
posibilidad de desarrollo de aprendizajes en servicio, ofertando los productos a la comunidad.
I
Mundo Geogebra por su parte nos presenta una serie de actividades a desarrollar utilizando este
R
software y teniendo objetivo enunciar propiedades de las diagonales del rectángulo.
Seguidamente contamos con los desafíos propuestos en las secciones de Problemas y Juegos,
O
para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.
Esperamos disfruten este nuevo volumen.

T
I
D
E

ISSN: 1887-1984
Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el

programa de Matemáticas en un centro Kumon
Laia Lluch Molins (Universidad de Barcelona. España)
Fecha de recepción: 18 de septiembre de 2016

Fecha de aceptación: 16 de abril de 2017
Resumen En este artículo se reportan los resultados de un estudio interpretativo, desde el enfoque
cualitativo, cuyo objetivo es comprender y valorar desde un punto de vista socio-
educativo el trabajo que se realiza en el programa de Matemáticas según el método de
aprendizaje Kumon con adolescentes. La recogida de información se desarrolló a partir
de entrevistas dirigidas, observaciones de los participantes en el aula y del análisis
documental. Los informantes clave son trece alumnos, sus respectivas familias y la
dirección y el profesorado de un centro. En los resultados, se identificó que los
estudiantes trabajan autónomos y concentrados; a pesar de que la seguridad y la
motivación no son siempre las que se desean e, incluso, la constancia, la calificación y
posterior corrección de los ejercicios que se requiere no siempre se perciben con el
trabajo realizado en casa.
Palabras clave Adolescentes, Aprendizaje de las matemáticas, Estudio de caso, Metodología cualitativa,
Método Kumon
Title Analysis and assessment of the Mathematics program carried out with teenagers
with Kumon learning method
Abstract This article presents the results of an interpretative study report from the qualitative
approach, which aims to understand and value from a socio-educational point of view the
work done in the Mathematics program according to Kumon learning method with
teenagers. The data collection is developed from semi-structured interviews, participants’
observation in the classroom, and document analysis. Key informants are thirteen
students, their families and the management and teachers of the center. In the results, it is
shown that students work autonomously and consciously; although security and
motivation are not always those that are desired and even consistency, qualification and
subsequent corrections of the exercises required are not always perceived with the work
done at home.
Keywords Teenagers, Mathematics learning, Case study, Qualitative methodology, Kumon learning
method
1. Introducción
Mejorar el desarrollo cognitivo y desarrollar al máximo el potencial de cada alumno forman

parte de las inquietudes de cualquier maestro. La formación de un docente debería ser continua y
nunca se debería dejar de investigar. La educación debe avanzar, mejorar y adaptarse a los cambios a
través de la innovación y la investigación de nuevos métodos de intervención en el aula.

Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el programa de Matemáticas
en un centro Kumon
L. Lluch
Este estudio tiene como objetivo general comprender y valorar desde un punto de vista socio-
educativo el trabajo que se realiza con los adolescentes en el programa de Matemáticas según el
método de aprendizaje Kumon. Teniendo presente el protagonismo que asume el alumnado en el
proceso de enseñanza-aprendizaje y la importancia de la capacidad de aprender a aprender –la cual se
vincula con las otras competencias-, el método Kumon persigue animar a los niños y a las niñas para
que quieran aprender y sean capaces de estudiar cualquier cosa que deseen o necesiten en un futuro.
Para ello, en este artículo se presenta el análisis de actitudes, capacidades y aprendizajes académicos
de los adolescentes de Educación Secundaria y Bachillerato, basado en un estudio de caso que nos
permite comprender las realidades concretas de estos alumnos, con perfiles e historias específicas y
complejas.
Es por esta razón que una de las inquietudes es comprender los motivos que justifican una
menor presencia de alumnos en el centro a medida que avanzan los cursos. Tal y como podemos ver
en el siguiente gráfico (véase figura 1), que muestra los alumnos que trabajan con el programa de
matemáticas (77,93%), el número de estudiantes por curso escolar disminuye una vez se inicia la
Educación Secundaria. A rasgos generales, según la etapa educativa, el número de estudiantes en el
centro Kumon objeto de estudio de Educación Secundaria, Bachillerato y Universidad (29,20%) es
menor que el número de estudiantes de Educación Infantil y Educación Primaria (70,79%).
15,7%
13,6%
12,1%
Porcentaje
8,6%
7,9%
5,7%
3,6%
2,9% 2,9%
1,4% 1,4% 2,1% 2,1%
0,7%
0,0% 0,0% 0,0%
Curso escolar
Figura 1. Distribución de los alumnos del centro Kumon que trabajan con el programa de Matemáticas
(febrero de 2016). Elaboración propia.
Desde el punto de vista socio-educativo, este estudio contribuye a comprender cómo los
adolescentes de un centro Kumon viven y perciben el aprendizaje con este método de aprendizaje. Por
esta razón, se analizan diferentes trayectorias académicas de estudiantes mayores de 12 años. En este
sentido, la presente investigación puede ser de interés para todos los profesionales de la educación que
compartan los principios que inspiran y modulan este método de aprendizaje.
2. El método Kumon
Kumon es un método de enseñanza no reglada y sin carácter oficial, localizado en 49 países de

todo el mundo; un método de aprendizaje a largo plazo que desarrolla una serie de habilidades y
capacidades en los alumnos a través de dos programas: Lectura y Matemáticas. Con esta metodología,
8 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

en un centro Kumon
L. Lluch
el origen de la cual data en 1954, el alumno es el verdadero protagonista y el objetivo principal, que
logre aprender a estudiar de forma autodidacta.
Concretamente, el programa Kumon de Matemáticas es un programa integral de aprendizaje que

proporciona al alumno una base sólida de cálculo y desarrolla las habilidades necesarias para que
afronte con éxito y confianza diferentes contenidos matemáticos de Secundaria. Este parte desde
aprender a contar y a escribir números, y llega incluso más allá del cálculo integral y diferencial. Este
programa está compuesto por 20 niveles, que corresponden a más de 4.000 hojas de estudio en forma
de cuadernillos y están especialmente diseñados con ejemplos, indicaciones y notas que guían al
alumno para un aprendizaje autónomo y a un ritmo constante. Cada nivel del programa de
Matemáticas amplía de manera gradual las habilidades adquiridas en el anterior, lo que garantiza una
buena comprensión y la posibilidad de practicar lo aprendido. Kumon concede máxima importancia a
que el alumno entienda el procedimiento de las operaciones y, por ello, a su capacidad de elegir la
manera más eficaz de resolver cada ejercicio. Esto se consigue por medio de la orientación
individualizada, que permite al estudiante desarrollar agilidad mental y exprimir al máximo su
potencial de aprendizaje (Mejía, 2006, p. 284). En esencia, este programa contribuye al desarrollo de
los estudiantes por medio de la adquisición de habilidades de aprendizaje autodidacta.
2.1. Objetivos de aprendizaje
Formar personas responsables y competentes mediante la búsqueda del potencial de cada

individuo y el desarrollo máximo de sus capacidades, y contribuir así a la sociedad es el objetivo
principal de Kumon. Los objetivos específicos que cualquier alumno debe lograr con los dos
programas que ofrece el método de origen japonés son los que se describen a continuación (Kumon
Instituto de Educación, 2015, p. 9).
 Aprender por sí mismo. Se proporcionan las herramientas necesarias para aprender por uno
mismo, con el objetivo último de que el alumno adquiera una capacidad que le será de ayuda
durante toda la vida. Con esta filosofía, el alumno adquiere la competencia de aprender a
aprender y la capacidad de autorregulación académica estudiadas en numerosas
investigaciones1.
 Hábito de estudio. La finalidad es que el alumno sea capaz de gestionar su tiempo, planificar
y adoptar una actitud y un comportamiento positivos ante el estudio. Con tan sólo unos
minutos de dedicación al día, a largo plazo, se desea que el alumno termine percibiendo la
tarea como una actividad más incorporada en su día a día. Desde Kumon no existe el
establecimiento de límites en el aprendizaje por edad o diagnóstico, si no que la programación
realizada se va reajustando a la evolución que tenga cada alumno a lo largo de su recorrido en
el centro (Kumon Instituto de Educación de España, 2015).
 Concentración. Con los programas de Kumon, se espera que el alumno aprenda a dar la
máxima utilidad a las horas que invierte en estudiar y organizar mejor el día a día. Más
importante que la cantidad de tiempo dedicado al estudio es que, en este periodo, el trabajo se
lleve a cabo con plena concentración.
 Confianza en uno mismo. Se persigue desarrollar confianza en sí mismo, que el alumno crea
en sus propias posibilidades; la cual cosa le permite enfrentarse a los nuevos retos con
1
Abarca, 2011; Allueva y Bueno, 2011; García Palacios, 2012; González Clavero, 2016; Hernández, 2011;
Hernández y Ortega, 2014; Jornet, García-Bellido y González-Such, 2012; María-Consuelo y Flores, 2010;
Pintrich 1995, 1998, Salmerón-Pérez y Gutiérrez-Braojos, 2012; Sanmartí, 2007, 2009, 2010; Stobart, 2010;
Zimmerman 1986, 1988, 1990; entre otras investigaciones.
Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 9

en un centro Kumon
L. Lluch
seguridad y optimismo, superar el miedo a equivocarse y aprender a no frustrarse y a no

desistir.
 Motivación para aprender. Un alumno que es capaz de aprender nuevos contenidos por sí
mismo y aprovechar al máximo su tiempo de estudio entiende el aprendizaje como un proceso
natural y desarrolla una actitud positiva ante cualquier tarea (Harter, 1984); además, se siente
a gusto y cómodo con aquello que él realiza (Farias y Pérez, 2010).
Es por este motivo que, en Kumon, se parte de la base que todos pueden avanzar, a pesar de que
no todos aprendan lo mismo ni en el mismo tiempo, sino que cada uno progresa a su ritmo. Se
pretende que el estudiante atribuya sentido a los beneficios de trabajar a partir del autodidactismo.
2.2. Principios metodológicos
Por otra parte, a continuación, se detallan los principios metodológicos (Kumon Instituto de
Educación, 2015, p. 10), con que se trabaja en Kumon. En primer lugar, una vez se quiere empezar
con el método, se lleva a cabo una evaluación inicial –a partir del test de diagnóstico- con que se prevé
su base (se determinan los contenidos que domina y con los que se encuentra totalmente cómodo,
según el tiempo de ejecución) y se inicia por el punto de partida fácil y adecuado que le corresponde
(primer paso para individualizar la tarea del alumno). Ausubel (1978) señala la importancia del
individuo cuando dice: “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno
sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia”. Este aspecto le permitirá fijarse sus propias metas
y perseguirlas con firmeza, del mismo modo que prevé el concepto de Zona de Desarrollo Próximo
(ZDP), introducido por Lev Vygotsky desde 1931. De este modo, se reafirma su confianza para hacer
la tarea, al igual que así es más fácil trabajar cada día.
En segundo lugar, algunos factores como el tiempo de ejecución en realizar la tarea diaria
(cuadernillo) por parte del alumno, el tipo de errores que comete o cómo afronta la resolución de estos
errores, ayudan al profesor a decidir el material que mejor se ajusta a sus necesidades. Es así como hay
individualización del aprendizaje, la cual exige la “adaptación de los contenidos a los intereses y
necesidades del alumno” (Mejía, 2006, p. 283), como la idea defendida por Montessori (1912), la cual
resume que todos los niños pasan por unas etapas determinadas durante su desarrollo, pero no todos
ellos las pasan al mismo tiempo.
En tercer lugar, es de carácter esencial destacar la constancia con la que se ha de trabajar, un

poco cada día. El alumno asiste al aula dos veces por semana, aunque trabaja todos los días del año
durante aproximadamente media hora por programa, incluidos los fines de semana y los periodos de
vacaciones.
En cuarto lugar, el propio material didáctico está diseñado para que el alumno aprenda por sí
mismo, sin explicaciones; con autonomía. Los nuevos contenidos se fundamentan en los
conocimientos y las habilidades que el alumno ha ido adquiriendo con anterioridad; centrando la
atención en la forma en que se responsabiliza de su trabajo y motivando para que sea autónomo
también en las rutinas que rodean su estudio. Como nos precisa Zimmerman (1989, 1994), los
alumnos pueden considerarse autorregulados en la medida en que sean -desde un punto de vista meta-
cognitivo, motivacional y conductual- participantes activos en su propio proceso de aprendizaje.
En quinto lugar, otro principio metodológico estrechamente relacionado con el mencionado

ahora es el hecho de aprender de los errores. La operación de señalar los aciertos y errores
(calificación) inmediatamente después de terminar la tarea mediante los libros correctores permite al

en un centro Kumon
L. Lluch
alumno encargarse de analizar las causas y corregir el error. De este modo, se pierde el miedo a
equivocarse y se entienden los errores como una herramienta de mejora (De la Torre, 2013).
En sexto lugar, cabe destacar que los mejores resultados: a largo plazo. Se establece una
previsión de estudio individualizada para cada alumno atendiendo a la evolución y el desarrollo de sus
capacidades, según los niveles del programa de Matemáticas. Según Freire (1999), al realizar esta
clasificación entre niveles, los estudiantes llegan a aceptar sus dificultades y destrezas, motivándolos a
desarrollar su aprendizaje a su propio ritmo, sin sentirse distintos al resto. El autodidactismo "es un
proceso lento y largo que requiere disciplina, trabajo sistemático y conocimiento especializado de la
disciplina o actividad", define Agüero (2006, p. 31).
Para finalizar, en séptimo lugar, añadir la implicación de las familias en la educación de sus
hijos como último e imprescindible principio metodológico. Y es a través de la comunicación que se
vela proporcionar las herramientas posibles para desarrollar al máximo el potencial de aprendizaje de
los alumnos. Por lo tanto, todo ello implica un compromiso a largo plazo; pues el método “los
involucra directamente en el desarrollo de las habilidades de sus hijos y la importancia de saber
elogiarlos” (Mejía, 2006, p. 284).
3. Metodología del estudio
Partiendo de la cuestión planteada, ¿Por qué a partir del inicio de la Educación Secundaria
disminuye progresivamente el número de estudiantes en el centro Kumon?, a continuación, es el
momento de definir la planificación metodológica de esta investigación.
El presente estudio se enmarca dentro de una investigación educativa de corte cualitativo,

concretamente, en el denominado estudio de caso (Del Rincón et al., 1995; Stake, 2005; Muñiz, 2010;
Álvarez y Maroto, 2012). La investigación llevada a cabo es idiográfica (Gilgun, 1994, en Muñiz,
2010), puesto que “implica la descripción amplia, profunda del caso en sí mismo, sin el propósito de
partir de una hipótesis o teoría, ni de generalizar las observaciones” (Muñiz, 2010, p. 1). El estudio de
caso pretende la comprensión de la realidad objeto de estudio abordando “de forma intensiva una
unidad” (Muñiz, 2010, p. 1), esto es, tal y como señala Stake (2005, p. 11), persigue “el estudio de la
particularidad y de la complejidad de un caso singular, para llegar a comprender su actividad en
circunstancias importantes”.
Así se propuso un estudio interpretativo desde el enfoque cualitativo que contribuyera a

comprender cómo los adolescentes que acuden a un centro Kumon viven y perciben el aprendizaje con
el método. La recogida de información a partir del estudio de casos se desarrolla a partir de técnicas e
instrumentos combinados: entrevistas semi-estructuradas o dirigidas en las que se plantean cuestiones
iniciales que guían la entrevista de manera flexible; observaciones de los participantes en el aula
registradas a partir de escalas y diarios de campo que permiten contrastar y triangular la información
recogida; y el análisis documental para la identificación de los estudiantes participantes en relación a
aspectos relevantes para el estudio de su progresión (nivel escolar, fecha de nacimiento, fecha de
matrícula, permanencia en cuánto al tiempo de estudio, nivel inicial -punto de partida fácil-, nivel
actual, progresión en cuanto a niveles superados, y si trabaja o no con contenidos por encima de su
nivel escolar). Además, se ha llevado a cabo un análisis documental oficial con recogida de
información cuantitativa y datos de interés del propio centro.
A continuación, se detalla una tabla que resume la planificación metodológica de acuerdo a los
objetivos específicos que establecemos en este estudio (véase tabla 1).

en un centro Kumon
L. Lluch
Objetivo general
1. Comprender y valorar desde un punto de vista socio-educativo el trabajo desarrollado con adolescentes en
torno al programa de Matemáticas en un centro Kumon.
Recogida de Informantes
Objetivos específicos: Dimensiones:
información: clave y colectivo:
 Autonomía
1.Conocer y valorar las - Aprender por sí mismo, autodidactismo
actitudes y - Atribución de sentido (cómo se concibe Entrevistas semi- Estudiantes de
capacidades el método Kumon y su utilidad) estructuradas más de 12 años.
desarrolladas por los  Motivación para aprender individuales. Dirección y
estudiantes: - Fijarse y perseguir propias metas Observación profesorado del
autonomía,  Confianza en uno mismo participante: centro.
motivación, confianza Actitud frente al aprendizaje diario de campo y Familias de los
en uno mismo y Actitud frente a los errores escala individual. estudiantes.
concentración. Seguridad
 Capacidad de concentración
 Rendimiento escolar Análisis
- Punto de partida fácil documental: Libro
- Capacidad y agilidad de cálculo de notas e
2. Conocer y valorar los
- Tiempo de ejecución de los ejercicios informes
aprendizajes
- Evolución del estudiante con respecto a semestrales de
académicos adquiridos Estudiantes de
los niveles del programa de evolución de cada
por los estudiantes: más de 12 años.
Matemáticas y con respecto a su nivel estudiante.
rendimiento escolar y
escolar: Trabajo con contenidos por Observación
hábito de estudio.
encima de su nivel escolar participante:
 Hábito de estudio, constancia diario de campo y
- Realización diaria del Kumon escala individual.
Tabla 1. Metodología de la investigación.
3.1. Técnicas e instrumentos
El estudio de los objetivos de investigación nos lleva a plantear la recogida de información a

través de técnicas e instrumentos combinados. En primer lugar, se han elaborado entrevistas semi-
estructuradas o dirigidas, en las que planteamos unas cuestiones iniciales que guían la entrevista de
manera flexible. Es así como se facilita que puedan emerger preguntas espontáneas, teniendo en
cuenta que “las mejores preguntas son aquellas que surgen de la propia conversación” (Del Olmo y
Osuna, en Ballesteros, 2014, p. 54).
El guion inicial de entrevista ha sido adaptado a la tipología de informantes, en función de los

objetivos específicos que se tratan de analizar en cada colectivo. A modo de ejemplo, a continuación,
se incluye un extracto del guion de cuestiones dirigidas a los estudiantes participantes:
1. ¿Cuál es el motivo (o motivos) por el cual empezaste a trabajar con el programa de

Matemáticas de Kumon? ¿Consideras que has trabajado o desarrollado este aspecto?
2. ¿Consideras favorable el nivel por donde empezaste el estudio en Kumon (punto de partida
fácil)?
3. ¿Cómo percibes el trabajo inicial (construcción de la base) del método Kumon con
contenidos matemáticos ya conocidos por ti?
4. Actualmente, ¿trabajas con contenidos por encima de tu nivel escolar?

en un centro Kumon
L. Lluch
5. ¿Consideras que el hecho de aprender por ti mismo, sin explicaciones por parte de las
profesoras, te permite estar motivado para aprender (fijarte y perseguir propias metas)?
6. ¿Crees que trabajar con el método Kumon te permite adquirir capacidades y actitudes para
ser un alumno excelente?
7. ¿Te gusta trabajar con el método Kumon?
8. ¿Qué es el método Kumon para ti?
9. ¿Qué consideras que te aporta trabajar con el método Kumon cada día?
10. ¿Te sientes autónomo cuando trabajas?
11. ¿Te sientes motivado para aprender?
12. ¿Te sientes seguro y con confianza en ti mismo?
13. ¿Cuál es tu actitud frente a los errores en los ejercicios?
14. ¿Consideras que trabajas concentrado?
15. En tu opinión, ¿crees que los resultados académicos que has obtenido en el instituto o
superior reflejan el verdadero trabajo autónomo que realizas en Kumon? Razona tu
respuesta.
16. ¿Cuál es el papel de tu familia con el trabajo del método Kumon?
17. ¿Te gustaría ser alumno concluyente2? ¿Cuánto tiempo crees que requerirías?
18. ¿Cuáles son los motivos que te animan a seguir en el centro? Si quisieras decir algún motivo
por el cual abandonaríais el estudio con el método Kumon, ¿cuál sería? ¿Habría alguno
más?
19. ¿Consideras oportuno añadir algo más?
Para su consiguiente transcripción, y con el fin último de conseguir un registro detallado del
proceso, se contó con el consentimiento para grabar la entrevista dirigida. De este modo, en primera
instancia, se contempla que el resultado de este trabajo de campo en forma de texto escrito, narrado,
refleje el “proceso de construcción” del discurso (Del Olmo, 2008), y puede enriquecer mucho el
posterior análisis de información y elaboración de las reflexiones finales del estudio.
Junto con las entrevistas, se ha completado la recogida de información con la observación a

través de escalas y diarios de campo, con el objetivo último de completar y contrastar la información
oral con la observación directa en el aula. Creemos que combinar formas de registros sistematizados o
estructurados (escalas) con los registros abiertos (diarios) nos aporta posibilidades de manejar y
triangular las aportaciones de ambos instrumentos y aluden a la variedad de puntos de vista que
convergen en la realidad del estudio (Flick, 2004).
Las escalas contemplan la valoración del grado de frecuencia de la conducta (nunca – alguna
vez – frecuentemente – siempre). Se componen de dieciséis ítems (véase tabla 2) relacionados con las
dimensiones a analizar que vimos en la tabla 1, referidas a los alumnos, y que obedecen a lo recogido
en el estado de la cuestión de la investigación. Estos instrumentos han sido completados en el aula a lo
largo de tres semanas, después de cada sesión.
2
Finalizar todos los niveles del programa de Matemáticas de Kumon (concluir el nivel O).

en un centro Kumon
L. Lluch
Grado de
frecuencia
Frecuentemente
Conducta
Alguna vez
Variable a analizar
Siempre
observada3
Nunca
1. Pregunta a las profesoras Actitud y capacidad del
cuando tiene una duda estudiante: autonomía y
necesaria. confianza en uno mismo.
Actitud y capacidad del
2. La predisposición frente la
estudiante: confianza en uno
tarea y el estudio es positiva.
mismo.
3. Trabaja concentrado en el Actitud y capacidad del
aula de inicio a fin del estudiante: capacidad de
cuaderno. concentración.
4. Se muestra motivado y
dispuesto a seguir
estudiante: motivación para
aprendiendo con el estudio en
aprender.
Kumon.
5. Se muestra autónomo y
seguro en la realización de la
estudiante: autonomía.
tarea.
6. Cree en sus propias
estudiante: confianza en uno
posibilidades y capacidades.
mismo.
7. Cuando se encuentra frente a
contenidos nuevos
estudiante: autonomía,
(autodidactismo), muestra una
motivación para aprender y
actitud de interés, seguridad y
confianza en uno mismo.
confianza.
8. Percibe la tarea como una
Aprendizaje académico: hábito
actividad más incorporada en
de estudio, constancia.
su día a día.
9. Muestra agilidad para ejecutar Aprendizaje académico:
la tarea: capacidad de cálculo capacidad y agilidad de
y agilidad en el cálculo. cálculo.
10. Extrae sus propias estudiante: autonomía.
conclusiones y estrategias de Aprendizaje académico:
resolución. capacidad y agilidad de
cálculo.
11. Requiere ayuda para la Aprendizaje académico:
corrección de la tarea. habilidades de comprobación.
3
Las conductas observadas se anotan en el diario de campo, según una referencia numérica.

en un centro Kumon
L. Lluch
Aprendizaje académico:
12. De manera autónoma, se
habilidades de comprobación.
corrige los ejercicios
realizados en el aula.
estudiante: autonomía.
Aprendizaje académico: hábito
13. Realiza los cuadernos en casa. de estudio, constancia,
rendimiento escolar.
14. Corrige correctamente los Aprendizaje académico:
cuadernos en casa, sea de habilidades de comprobación.
manera autónoma o por parte Actitud y capacidad del
de la familia. estudiante: autonomía.
15. Cuando comete un error, Aprendizaje académico:
marca el ejercicio erróneo y él habilidades de comprobación.
mismo se encarga de analizar Actitud y capacidad del
las causas y de corregirlo. estudiante: autonomía.
16. Gracias a los procesos de
Aprendizaje académico:
supervisión, calificación y
habilidades de comprobación.
corrección del trabajo, pierde
el miedo a equivocarse y
estudiante: autonomía,
entiende los errores como una
confianza en uno mismo.
herramienta de mejora.
Tabla 2. Extracto de escala
Con el fin de contextualizar y dotar de mayor significado a la información recogida en las

escalas nos apoyamos en el diario de campo (véase figura 2), el cual ha sido escrito de manera
individual a lo largo de tres semanas, después de cada sesión en el aula, con una periodicidad de cuatro
días por semana.
ALUMNO/A: ______________________________ FECHA: ___/___/______ HORA: ___:___

EDAD: ____(años) CURSO ESCOLAR: __________
INICIO EN KUMON (fecha de matriculación): ___/___/______
NIVEL KUMON4: _____ (inicial – punto de partida fácil) - NIVEL KUMON: _____ (actual)
CONDUCTAS OBSERVADAS:
Figura 2. Diario de campo. Adaptación de Registro Descriptivo de Castillo, S. y Cabrerizo, J. (2010: 158).
3.2. Informantes
El trabajo se ha realizado gracias a la participación voluntaria de los siguientes informantes. En

primer lugar, la directora del centro Kumon. En segundo lugar, ocho alumnos de Educación
Secundaria, tres de Bachillerato y dos estudiantes de Universidad. Inicialmente, fueron seleccionados
4
En todos los Libros de notas mensualmente se actualiza una gráfica de evolución del estudiante, donde también están
trazadas líneas según: su nivel escolar según el estándar internacional (KIS), 6 meses por encima de su nivel escolar
(ASHR1), 2 años por encima de su nivel escolar (ASHR2) y 3 años por encima de su nivel escolar (ASHR3).

en un centro Kumon
L. Lluch
aleatoriamente nueve alumnos según criterios de clasificación (interés por la metodología, capacidad
lógico-matemática, posibilidad de participación de la familia), según diferentes cursos escolares
(Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Universidad) y según diferentes meses de
permanencia. Sin embargo, el número de participantes se amplió para aportar diferentes narraciones y
tener una visión más compleja del trabajo desarrollado con adolescentes en torno al programa de
Matemáticas en el centro Kumon. Y, en tercer lugar, también han participado sus respectivas familias.
3.3. Plan de análisis de datos e interpretación de la información recogida
La tarea de analizar las narraciones obtenidas mediante los instrumentos de recogida de

información completados tiene como fin “interpretar el contenido y reconstruir el sentido general del
material” (Medina et al., 2014, p. 106). Para ello, se han llevado a cabo varias lecturas de los textos
impresos con mucha atención y concentración, evitando distracciones, pausas e interrupciones, y se
han clasificado los elementos de un conjunto, buscando lo que tienen en común según el marco teórico
inicial (Ballesteros, 2007, p. 391), según un procedimiento inductivo, estableciendo, así, categorías o
<<códigos>> (Miles y Humberman, 1984, 1994, en Medina et al., 2014, p. 107). Asimismo, junto al
fragmento se ha anotado una referencia de la ubicación en el texto del cual ha sido extraído, siguiendo
la siguiente estructura: (tipo de instrumento - Informante clave) como, por ejemplo, (entrevista –
Estudiante P.). De este modo, se han establecido y explicado relaciones y comparativas entre los
distintos discursos de los colectivos participantes (Mayring, 2001, en Medina et al., 2014, p. 107-108).
4. Resultados
A continuación, se detalla el tratamiento de los resultados y la interpretación de la información

recogida; las categorías de los cuales aluden a los objetivos específicos que vertebran la presente
investigación. La predisposición de los resultados de esta manera alude a una construcción de la
narrativa sobre la base de los testimonios e incluso con el cruce con otros instrumentos.
Conocer y valorar las actitudes y capacidades desarrolladas por los estudiantes: autonomía,
motivación, confianza en uno mismo y concentración
Con el fin de contribuir a este objetivo, se preguntó a los informantes clave acerca de los
motivos principales por los cuales deciden empezar a trabajar con el método Kumon. Por su parte, la
directora nos señaló la adquisición y la mejora de las siguientes capacidades: la constancia, la
organización y la autonomía. Destaca también que “a ciertas edades, el Kumon no es que no sea
efectivo, sino que es cuestión de voluntad” (entrevista - Directora), puesto que, así también lo afirman
algunas familias, “vienen por el boca a oreja. Vienen porque tienen interés propio, al observar los
beneficios de sus amigos, colegas, compañeros… Y como ven que a él le va bien, se motivan para
proponerse el mismo reto” (entrevista - Directora).
Los tres aspectos comentados por la directora del centro son el denominador común de los
diferentes motivos que nos han aportado las familias y los estudiantes, indicando que han sido
trabajados y desarrollados: “no tenía seguridad” (entrevista – Familia S. G.), “las mates me costaban
muchísimo” (entrevista – Estudiante M. R. P.), “por problemas de concentración” (entrevista –
Estudiante M. G.), “conocer otra forma de estudiar, en la que el refuerzo positivo se considere
importante y necesario para fomentar la autoconfianza del alumno” (entrevista – Familia J.), y,
asimismo, por “decisión de la propia alumna. Una amiga estaba apuntada y la animó” (entrevista –
Familia M. F.).

en un centro Kumon
L. Lluch
Durante el trabajo con los estudiantes en el centro Kumon, nos comenta la directora, se les hace
ver que son responsables últimos de su aprendizaje y que su progresión depende de ellos. Afirma,
también, que “se nota tanto esta autonomía, que vienen a gusto”; hay plena ilusión “de darse cuenta
que son capaces de avanzar y de deducir por ellos mismos” (entrevista – Directora), y este aspecto se
observa, principalmente, cuando trabajan por encima de su nivel escolar, nos indica. Los alumnos
participantes en esta investigación demuestran tener autonomía (véase figura 3, según escalas de
estudiantes) y son conscientes de ello. Esta idea se refuerza con respuestas obtenidas en entrevistas a
los estudiantes: “no me gusta mucho que estén encima de mí, si no soy yo la que dice necesito ayuda”
(entrevista – Estudiante N.), “totalmente autónoma, a veces me atasco; entonces miro atrás y me doy
cuenta de dónde está el error y cómo solucionarlo” (entrevista – Estudiante T.), y “el hecho de deducir
por mí misma, lo hago también siempre en el cole” (entrevista – Estudiante M. G.). Así como en las
observaciones en el aula: “Por sí sola, tiene el hábito de pasar los resultados de los cuadernillos
realizados en casa en su propio cuaderno de notas” (diario de campo).
77,78%
66,67% 66,67%
Porcentaje
55,56% 55,56%
44,44% 44,44% 44,44%
33,33% 33,33%
22,22% 22,22%
Se muestra Pregunta a las Corrige De manera Extrae sus propias Cuando se

autónomo y seguro profesoras cuando correctamente los autónoma, se conclusiones y encuentra frente a
de la realización tiene una duda cuadernos en casa, corrige los estrategias de contenidos nuevos
de la tarea. necesaria. sea de manera ejercicios resolución. (autodidactismo),
autónoma o por realizados en el muestra una
parte de la familia. aula. actitud de interés,
seguridad y
confianza.
Dimensiones estudiadas en cuando a la autonomía del estudiante
Nunca Alguna vez Frecuentemente Siempre
Figura 3. Recuento de frecuencias (en porcentajes) sobre las dimensiones estudiadas en cuanto a la actitud y
capacidad del estudiante, concretamente, sobre su autonomía (febrero de 2016). Elaboración propia.
Además de la autonomía, atribuyen al método Kumon la mejora de la capacidad de

concentración, la confianza en uno mismo y la seguridad: “su actitud a la hora de trabajar en sus
estudios es muy parecida a la de Kumon. Los resultados son mejores al mejorar su concentración”
(entrevista – Familia M. C.), “antes siempre dejaba los deberes con algunos ejercicios sin hacer […]
Tengo más confianza en levantar la mano y decir la respuesta correcta […] Ahora con Kumon también
las actividades las sé hacer yo […] y me siento seguro” (entrevista – Estudiante S. G.),
“Frecuentemente, dibuja una cara feliz () en cada página cuando toda esta la ha realizado
correctamente, además de escribir un 100% bien grande y un ¡Muy bien!” (diario de campo), “le
enseña a ser perseverante y luchar para alcanzar una meta que siempre tiene recompensa” (entrevista –
Familia P.), “saber hacer este problema sin agobiarme y yendo paso por paso […] y valorarlo como lo
he hecho yo, y sola” (entrevista – Estudiante M. M.), “me ha permitido, por una parte, desarrollar
pensamiento matemático –antes totalmente ausente- y, por otra parte, y sobre todo, experimentar que
no hay personas buenas o malas en matemáticas, sino que todo tiene que ver con la manera de
aprender […]. Me ha permitido un gusto por las matemáticas que de otra manera no hubiera adquirido
nunca” (entrevista – Estudiante T.). Esta última estudiante resume que “el aprendizaje de manera
autónoma es un reto, pero incide totalmente en la motivación. El hecho de dirigir tu aprendizaje y ser

en un centro Kumon
L. Lluch
consciente de todo el proceso es un elemento esencial para la motivación. Cuánto más ves que
aprendes, más ganas tienes de aprender y de ir avanzando hacia niveles que te permitan plantear
nuevos retos y desafíos a superar” (entrevista – Estudiante T.).
Sin embargo, la seguridad del alumno no es siempre la que en Kumon se desea; “se muestra
insegura cuando alguna profesora-orientadora está cerca de J.; pues pregunta si lo ha hecho bien antes
de empezar otro ejercicio” (diario de campo).
Aunque hay quien afirma que el hecho de aprender por uno mismo les permite estar motivados
para aprender y “para resolver problemas más difíciles no solamente en matemáticas, sino en otras
materias” (entrevista – Familia M. G), se han encontrado dos tipos de actitudes acerca de la
metodología de origen japonés y su utilidad. Por una parte, hay quien reconoce que Kumon les ha
ayudado en todo su ámbito académico en el instituto o superior de manera global, integral, porque
“son muchas cosas; no solo el aprendizaje de matemáticas, sino la capacidad de estudio, seguridad,
hábito y constancia” (entrevista – Familia M. G.), “el perfeccionamiento de habilidades en las
matemáticas, sumado al crecimiento personal (auto-superación, obtención de virtudes y habilidades) y
diversión en el conocimiento” (entrevista – Estudiante R.); y, por otra están los que atribuyen a las
matemáticas exclusivamente la utilidad del método Kumon, puesto que manifiestan que les ha
permitido “calcular más rápido […] solo me ha ayudado en mates, aunque la concentración en todo”
(entrevista – Estudiante J.), “me ha aportado organizarme en matemáticas […] y que me gusten más
las mates” (entrevista – Estudiante M. C.), “me sentía con una seguridad. […] Las mates no me irán
mal si hago Kumon” (entrevista – Estudiante M. M.).
Tampoco es unánime lo que los alumnos adolescentes apuntan acerca del método: “es un rollo
cuando repites […] A mí me gusta avanzar” (entrevista – Estudiante P.), “normalmente miro el
corrector porque es difícil” (entrevista – Estudiante M. G.), “a veces dudo un poco, pero al practicar se
resuelven las dudas” (entrevista – Estudiante T.), “no me acuerdo que tengo que hacer Kumon […] Me
da palo hacerlo” (entrevista – Estudiante J.) o “siempre había pensado que era nefasta en matemáticas
[…] la visión que tiene Kumon de los errores permite verlos como oportunidad de aprendizaje no
como un problema” (entrevista – Estudiante T.).
Con respecto a su motivación mostrada en el aula para aprender con el método Kumon (véase
figura 4, según escalas de estudiantes), la han justificado por “el hecho de tener más confianza y […]
el seguir y no rendirme nunca” (entrevista – Estudiante S. G.). “Es un reto de superación para ellos. Y
cuando consiguen superar las dificultades sin ayuda les motiva a seguir adelante sin miedo y se sienten
orgullosos de ellos mismos” (entrevista – Familia M. C.).
66,67%
Porcentaje
22,22%
11,11%
Nunca Alguna vez Frecuentemente Siempre
Dimensión estudiada en cuanto a la motivación para aprender

Figura 4. Recuento de frecuencias (en porcentajes) sobre la dimensión de motivación para aprender: Se encuentra
motivado y dispuesto a seguir aprendiendo con el estudio en Kumon (febrero de 2016). Elaboración propia

en un centro Kumon
L. Lluch
A pesar de que aparece la palabra obligación en algunas ocasiones –“él viene más como… como
obligado” (entrevista – Familia N. y C.)-, se manifiesta voluntad e iniciativa propia en los alumnos: “Yo
creo que el Kumon lo hacemos porque nosotros queremos, por voluntad; y no porque te tengan que obligar
[…] no es una cosa que tus padres te lo tengan que hacer ver, como obligado” (entrevista – Estudiante M.
M.). “El método Kumon te brinda todas esas posibilidades (organización, seguridad, actitud favorable
frente a los errores), pero también tiene que estar la disposición de cada uno a aprender más y el entorno
tanto familiar como social, que dé apoyo al alumno o alumna” (entrevista – Estudiante T.).
Bajo el punto de vista de la directora del centro, la actitud que demuestran los estudiantes es:
“me motivo muy deprisa, pero me desmotivo también muy deprisa”, como, por ejemplo, “Muestra
motivación por el nuevo nivel empezado (O); último del programa de Matemáticas” (diario de campo)
o “muestra interés para los futuros temas” (diario de campo). Mientras que la actitud frente al estudio
con contenidos nuevos, no conocidos, es de “me desespero” (entrevista – Directora): “desde que ha
empezado el nivel E, se muestra en el aula con una posición de cansancio, apoyando en su mano la
cabeza […] ha habido algún día en que no ha traído la tarea realizada en casa, por el motivo que se la
habrá dejado en su habitación” (diario de campo).
Sin embargo, en relación a su actitud frente a los errores, algunos de los estudiantes se sienten
indiferentes frente a los errores que cometen en los ejercicios; otros los aceptan y afirman que
procuran mejorar y recordar ese fallo para no cometerlo de nuevo; y otros incluso se quedan
sorprendidos e incluso se enfadan y “a veces los errores son muy tontos, porque en el Kumon de hoy
he tenido tres errores que eran de despiste” (entrevista – Estudiante P.).
Conocer y valorar los aprendizajes académicos adquiridos por los estudiantes: rendimiento escolar
y hábito de estudio
Con el fin de indagar sobre la evolución del estudiante con respecto a los niveles del programa
de Matemáticas de Kumon y con respecto a su nivel escolar, se preguntó a los informantes sobre los
motivos que hacen mantener la inscripción de los mismos. La directora aporta que éstos “continúan
porque observan una progresión, obtienen beneficios progresivamente […] se les ayuda a aprender
[…] y todo esto que se llevan no afecta solamente a la asignatura de matemáticas; sino que la propia
organización, constancia, autonomía y organización les permite sentirse capaces en todo su ámbito
escolar” (entrevista – Directora).
Con lo que respecta a los estudiantes, estos nos han indicado argumentos por los cuales siguen
en el centro enfocados a su rendimiento escolar como, por ejemplo: “empecé a subir las notas y estoy
muy contenta” (entrevista – Estudiante M. R. P.), “porque mis padres me animan mucho. […] si esto
ya lo tengo, pues podría estudiar más para las otras cosas y todo sería menos complicado” (entrevista –
Estudiante P.), “me ha abierto la curiosidad de ir más allá, si he llegado hasta aquí, ¿dónde más podría
llegar?” (entrevista – Estudiante T.) y “es un mínimo esfuerzo constante con lo que puedes llegar a ser.
[…] Yo creo que Kumon ha sido como mi reto con las mates. Porque a mí no me gustaban nada, y me
empiezan a gustar, pero… […] Aún queda algo pendiente, en plan superarlo todo. Aunque yo creo que
cuando lo supere todo me encantarán las mates” (entrevista – Estudiante N.).
Por su parte, las familias participantes aportaron -como argumentos o motivos que les animan a
seguir- respuestas más centradas en el personal del centro y en la evolución global del estudiante; “el
trato es a la vez que profesional, afectivo y personalizado” (entrevista – Familia P.), “les veo el
cambio, les veo mejor” (entrevista – Familia N. y C.).

en un centro Kumon
L. Lluch
De los estudiantes adolescentes que han participado en esta investigación, con más de doce
meses de permanencia en el centro Kumon, un 8,33% trabaja con contenidos de su nivel escolar,
según el estándar internacional de Kumon (KIS); un 16,66% trabaja con contenidos 6 meses avanzados
(ASHR1); y un 16,66% con contenidos 3 años avanzados (ASHR3). Esto implica que un 58,33% de los
adolescentes participantes está trabajando con contenidos ya conocidos y trabajados previamente, es
decir, aún no trabajan con el autodidactismo (véase figura 5).
58,33%
Porcentaje
16,66% 16,66%
8,33%
Con contenidos por Contenidos escolares 6 meses por encima 2 años por encima de 3 años por encima de
debajo de los (KIS) de su nivel escolar su nivel escolar su nivel escolar
contenidos escolares (ASHR1) (ASHR2) (ASHR3)
actuales
Tipo de contenido
Figura 5. Distribución de los alumnos (en porcentajes) del centro Kumon con más de 12 meses de permanencia según
el tipo de contenido con el cual trabajan del programa de Matemáticas (febrero de 2016). Elaboración propia.
Teniendo en cuenta que “nos proponemos que en un año con el estudio de Kumon lleguen a lo
que actualmente trabajen en el instituto” (entrevista – Directora), se ha querido indagar acerca de su
interés por trabajar por encima de su nivel escolar y las respuestas han sido distintas. Ha habido
alumnos que se han mostrado indiferentes al preguntarles si querían superar su nivel escolar como, por
ejemplo “me da igual (superar su nivel escolar), yo sigo las normas y que me guíen” (entrevista –
Estudiante S. G.). Otros reconocen estar trabajando con contenidos por encima de su nivel escolar y
coinciden en todo lo que les aporta: “aquí ya lo he hecho y me acuerdo de las cosas” (entrevista –
Estudiante M. C.).
Y también hay estudiantes que afirman ser autónomos, estar motivados, trabajar concentrados,
pero que les gustaría trabajar por encima (o han trabajado durante un período de tiempo por encima),
puesto que “así vas al cole con una base de lo que tienes que hacer porque ya sé hacer lo que me vas a
explicar” (entrevista – Estudiante M. F.) o “no he llegado al nivel del cole, pero sí que poco a poco,
como un edificio […] y ya voy, por ejemplo, por la segunda planta” (entrevista – Estudiante N.). Esta
última adolescente participante, ha superado 12 niveles del programa de Matemáticas en 40 meses, ha
afirmado que “hay cosas que en el cole no lo he aprendido aún, y en Kumon he aprendido otras
técnicas más lógicas” puesto que “en el cole se hacen más largas y en Kumon son como más
reducidas, que vas a entenderlo. En el cole no, lo entiendes, pero este paso, que no se me olvide
porque es necesario, que en realidad no lo es, pero miran el proceso. Lo tienes que hacer para que
luego, en el examen…” (entrevista – Estudiante N.).
En el mismo sentido, algunas familias conciben el hecho de trabajar por encima de su nivel
escolar como “perfecto, le da seguridad” (entrevista – Familia M. G.), “casi que mejor, porque están
como más preparados cuando llegan al colegio” (entrevista – Familia N. y C.). Por el contrario, otras
afirman que “no es ese nuestro objetivo” (entrevista – Familia M. R.) o “no creo que sea un problema,
porque las materias de clase son diferentes al refuerzo de cálculo que se realiza en Kumon” (entrevista
– Familia J.).

en un centro Kumon
L. Lluch
Por otra parte, la directora destaca como uno de los obstáculos de la evolución del estudiante
adolescente con respecto a los niveles del programa de Matemáticas y con respecto a su nivel escolar,
y que asegura remarcar durante la entrevista inicial con las familias, es el hecho que “como el nivel
escolar actual (escolar) se encuentra a bastante distancia del punto de partida fácil (de Kumon),
muchos estudiantes se encuentran motivados al principio pero quizás se les hace muy largo el trayecto
hasta lo que trabajan en el instituto” (entrevista – Directora). De hecho, el 69,23% de los estudiantes
participantes en este estudio empezó a trabajar con el nivel inicial 2A, como su punto de partida fácil y
adecuado; el objetivo del cual se centra en desarrollar su capacidad de estudio y su habilidad de
cálculo aprendiendo a sumar hasta 10. Por este motivo, afirma que “otros también lanzan la toalla
solamente empezar, pues no ven el porqué de empezar con niveles tan fáciles para ellos” (entrevista –
Directora).
Ante esta situación, se optó por preguntar a los estudiantes y a las familias participantes acerca
de su valoración sobre el nivel inicial (punto de partida fácil) y su percepción sobre el trabajo inicial
(construcción de la base) según los principios metodológicos del método. Tanto un aspecto como el
otro se percibe de manera positiva por la capacidad y agilidad en el cálculo mental y por el tiempo de
ejecución de los ejercicios; “me resultó muy fácil, pero necesario. […] les sorprende verme hacer
Kumon, tan ágil y tan rápido” (entrevista – Estudiante T.).
Sin embargo, esta facilidad se traduce en percibir que “me hubiera empezado más adelante,
porque era muy fácil” (entrevista – Estudiante C.), “si ya lo sé hacer, ¿por qué lo tengo que volver a
hacer?” (entrevista – Estudiante M. G.) o “¿Cómo me ponen sumas y restas? […] Yo pensaba que nos
estaban tomando el pelo” (entrevista – Estudiante N.). Esta última aportación continúa añadiendo que
“No es que no me gustase, pero esa agilidad ya fue un bueno, al menos ya he conseguido algo. Y esa
agilidad la notaba mucho. […] Al principio […] no me apetecía, pero no, después ya fue venga, lo
hago que son cinco minutos” (entrevista – Estudiante N.).
Por otra parte, es esencial puntualizar uno de los obstáculos más frecuentes y relacionado con el
trabajo con contenidos básicos: “a veces nos hemos encontrado situaciones en que no se acordaban de
la resta llevando o de las divisiones de dos cifras” (entrevista – Directora) y estos contenidos forman la
base del programa de matemáticas de Kumon y, si no se tienen superados, “les hacen tener lagunas en
nuevos contenidos en el instituto” (entrevista – Directora).
En general, los estudiantes también nos han hablado de la constancia, del trabajo diario;
percibiendo que Kumon “es una manera de enseñarte a estudiar, quizás no una manera tan directa,
pero sí muy indirectamente, es una manera de decirte debes estudiar cada día” (entrevista – Estudiante
M. M.). En ocasiones concretas, la constancia se adapta a cada estudiante como, por ejemplo, “en
época de exámenes, N. no asiste al centro, sino que trabaja desde casa (el estudiante C. recoge su
material)” (diario de campo).
No obstante, el esfuerzo diario no siempre es el deseable cuando han de trabajar fuera del aula:
“Observando los ejercicios realizados en casa, en ciertas ocasiones hay alguno sin completar” (diario
de campo), “su progreso en Kumon se ve afectado por su no-trabajo en casa. Solamente tenemos
constancia e información de su estudio los dos días que asiste en el centro (miércoles y jueves); nunca
se excusa para justificar por qué no lo trae” (diario de campo) y “puntuales veces ha copiado las
soluciones del corrector directamente” (diario de campo). Respecto al uso del corrector-solucionario,
se les motiva a hacer un buen uso del mismo: “Observando los ejercicios realizados en casa, en ciertas
ocasiones hay alguno con la anotación siguiente He mirado el corrector. Asimismo, en el aula, tiene la
tendencia de preguntarnos antes de abrir el libro solucionario si puede consultarlo; a pesar de saber
que se puede consultar en casos necesarios sin previo aviso” (diario de campo).

en un centro Kumon
L. Lluch
Sabiendo la responsabilidad que comporta la realización diaria del Kumon, se indagó acerca de
los motivos por los cuales abandonarían el estudio con el método Kumon. En la mayoría de las
entrevistas, nos han afirmado que “no lo voy a dejar” (entrevista – Estudiante C.); afirman que los
motivos serían por no poder compaginar el trabajo de Kumon con los estudios u otras extraescolares,
si hubiera la necesidad de dedicar tiempo a otros objetivos, o porque reconocen el hábito de estudio y
necesario diario; “es muy esclavo el hecho de tenerlo que hacer cada día […] y durante las
vacaciones” (entrevista – Estudiante M. F.). Otro estudiante, que se matriculó hace 4 meses, señala
que “si viese que estoy cerca del O… entonces, ¿para qué? Quizás, a lo mejor, estos niveles cerca del
O ya no me van a servir” (entrevista – Estudiante S. G.).
Asimismo, retomamos uno de los aspectos que también ha salido como motivo por el cual
deciden matricularse en el centro: “hay estudiantes que vienen con un objetivo” (como, por ejemplo:
“alfabetizarse e intentar comprender textos”, “no sabía más que sumar y restar”, “entrar en un
determinado tipo de bachillerato”, “paso de bachillerato a la universidad”); con la cual cosa, una vez lo
logran, deciden abandonar el centro (entrevista – Directora). Evidentemente, esto requiere un esfuerzo
con las familias en la reunión inicial para dejar claro los objetivos y los principios metodológicos de
Kumon. Los resultados se obtienen a largo plazo y “nuestro objetivo no es repasar los contenidos, no
es una clase de repaso, Kumon va más allá” (entrevista – Directora). A modo de ilustración, destacar
por la propia experiencia en el centro Kumon que, en la primera reunión inicial con la familia, el
estudiante adolescente no suele estar presente; a pesar de que sí que se enfatiza sobre la importancia
del trabajo durante las vacaciones; “para que no llegue este periodo y abandonen el estudio […]
aunque siempre nos adaptamos según la situación” (entrevista – Directora).
Finalmente, destacar que se les cuestionó si les gustaría ser concluyentes de Kumon, esto es,
lograr superar el último nivel del programa de Matemáticas (nivel O). La mayoría de los informantes
clave ha afirmado que sí lo desearía por la satisfacción y el conocimiento que les aportaría, con tal de
“no dejarlo a medias” (entrevista – Estudiante N. y entrevista – Estudiante S. G.) y “aunque es mucho
trabajo, creo que las habilidades que desarrollas en los dos programas te ayudan en muchos aspectos
de la carrera profesional de cada uno, además del desarrollo de las habilidades básicas como son la
autoestima, la seguridad, la autonomía y la motivación por aprender” (entrevista – Estudiante T.).
Sin embargo, algunos estudiantes han conocido el significado de ser concluyente a partir de la
entrevista y no todos ellos han confesado que lo tienen como meta u objetivo personal; “Si llego,
llego; y si no, pues también” (entrevista – Estudiante J.). También se planteó el interrogante a los
adolescentes y a las familias sobre cuánto tiempo creen que requieren para ser concluyentes y, los que
se atrevieron a predecir, coincidieron en la respuesta: año y medio o dos años (entrevista – Familia P.,
entrevista – Estudiante M. C., entrevista – Estudiante N., entrevista – Estudiante P., entrevista –
Estudiante C., entrevista – Estudiante M. F., entrevista – Estudiante T. y entrevista – Estudiante R.).
5. Conclusiones y discusión
En este proceso interpretativo, se evidencia que, siendo ellos los responsables últimos de su
aprendizaje, los estudiantes trabajan autónomos y concentrados; a pesar de que la seguridad y la
motivación no son siempre las que se desean. Asimismo, hay dos tipos de atribuciones de sentido
acerca de la metodología de origen japonés; por una parte, los que atribuyen que Kumon les permite
mejorar y desarrollarse en todo su ámbito escolar y, por otra parte, los que conciben su utilidad
exclusivamente en la asignatura de matemáticas. No obstante, los adolescentes apuntan que la
capacidad y la agilidad en el cálculo mental se han desarrollado desde el principio, gracias al trabajo
diario.

en un centro Kumon
L. Lluch
En cuanto a sus aprendizajes académicos, el nivel inicial por donde empiezan a trabajar los
alumnos en Kumon es bastante inferior con respecto a su nivel escolar actual; por ello, no se cumple la
proyección de que en un año empiecen a trabajar por encima de su nivel escolar de manera
autodidacta. De ahí que la comunicación, la negociación y la adaptabilidad son aspectos necesarios
durante la dinámica en el aula para elogiar y motivar a los estudiantes. Incluso la constancia, la
calificación y posterior corrección de los ejercicios que requiere esta metodología no siempre se
perciben con el trabajo que se realiza en casa.
El hecho de aplicar esta metodología de investigación en el estudio ha permitido profundizar en

el caso en sí mismo, con una amplia descripción que ha abarcado muchas variables. No hay respuestas
concluyentes ni se puede inferir qué aspectos son los causantes de la disminución progresiva del
número de estudiantes de Secundaria o superior en el centro; sino que únicamente nos permite
identificar aspectos que suelen darse en estas trayectorias de abandono: la larga distancia que hay entre
el punto de partida fácil y el nivel escolar (instituto o superior), la no-presencia del adolescente en la
entrevista inicial con la familia, el hecho de no entender el porqué del trabajo con contenidos fáciles,
que ya conocen, o con contenidos por encima de su nivel escolar, entre otros. Somos conscientes,
además, que en nuestro ámbito son numerosos los factores que no se pueden analizar y que
obstaculizan la generalización de los resultados.
Sin embargo, este estudio constituye una aproximación de interés que permite derivar líneas de
mejora –como, por ejemplo, la posibilidad de llevar a cabo la entrevista inicial con la familia y con el
adolescente, la proyección de estudio para proponerse llegar a su nivel escolar y concluir el programa
de Matemáticas, la realización constante de reuniones de seguimiento para plantearse objetivos a
lograr por año, y el trabajo en colaboración con los centros escolares-. Todas estas propuestas deberían
estar focalizadas en la búsqueda de una orientación más efectiva.
En la misma línea, esta investigación también permite establecer propuestas de investigación

sobre cuestiones que se quedan sin responder respecto al trabajo con el método Kumon y los
adolescentes. Nos referimos a las actitudes de desmotivación que muestran algunos de ellos, al
principio de no trabajar un poco cada día ni de calificar-corregir correctamente los ejercicios, y a la
limitada participación que se le brinda a la familia. De ahí la importancia de investigar en la práctica,
vinculando sistematicidad, reflexión y acción; y la continuidad que abre este estudio.
Bibliografía
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2011, pp. 1-7.
Agüero, M. (2006). El pensamiento práctico de una cuadrilla de pintores. Estrategias para la
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Educativa, de la Universidad de Barcelona, con líneas de investigación: evaluación, competencias y
feedback. Barcelona, España. Profesora-orientadora en un centro Kumon. Barcelona, España. Graduada
en Maestro en Educación Primaria, mención en Atención a la Diversidad (Universidad de Barcelona) y
Máster en Innovación e Investigación en Educación, especialización en Innovación e Investigación en
Didáctica (Universidad Nacional de Educación a Distancia).
Dirección electrónica: lallumo_5@hotmail.com

ISSN: 1887-1984
Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la Vida” en Educación

Infantil y Primer Ciclo de Primaria
Haridian Zamora (Universidad de La Laguna. España)
Ramón Aciego (Universidad de La Laguna. España)
Antonio Martín-Adrián (Consejería de Educación del Gobierno de Canarias. España)
Eladio Ramos (Consejo Escolar de Canarias. España)
Fecha de recepción: 12 de noviembre de 2016

Resumen Se evalúa el efecto del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Infantil y
Primer Ciclo de Educación Primaria. En un primer estudio, desde una aproximación
cualitativa, se recoge la valoración del profesorado (12 docentes) y se observa la
dinámica de trabajo en el aula de aproximadamente 200 alumnos de cinco centros
diferentes: 1 con larga participación en el Proyecto; 3 de nueva incorporación; y un grupo
control. En un segundo estudio, desde una aproximación cuantitativa, se evalúa el
rendimiento del alumnado en una prueba de resolución de problemas de cálculo mental,
utilizando un diseño cuasiexperimental y trasversal: grupo consolidado, dos años
participando en el programa (N = 27); grupo de nueva incorporación (N = 28); y grupo
control (N = 29).
Palabras clave competencia matemática, cálculo mental, competencia socio personal, educación infantil,
educación primaria.
Title Evaluation of “Project Newton. Mathematics for Life" in Early Childhood

Education and First Cycle Primary
Abstract It evaluates the effect of the “Newton Project. Mathematics for Life” on the teachers and
students of Pre-school education and first cycle of Primary Education. In a first study,
from a qualitative approach, assessment of teachers (12 teachers) is collected and work
dynamics is observed in the classroom of about 200 students from five different schools:
1 with long involvement in the project; 3 new addition; and one control group. In a
second study, from a quantitative approach, student performance is evaluated on a test of
problem solving mental arithmetic, using a quasi-experimental and traversal design:
Consolidated group, 2 years participating in the program (N = 27); new addition group
(N = 28); and control group (N = 29).
Keywords Mathematical competence, mental arithmetic, personal skill, Pre-school education,

Primary Education.
1. Introducción
La competencia matemática es la capacidad para resolver correctamente tareas matemáticas.

Dicha competencia, debe estar complementada por la comprensión, tanto de las técnicas necesarias

Evaluación del “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” en Educación Infantil y Primer
Ciclo de Primaria.
para la resolución de la tarea, como de las relaciones entre los distintos contenidos y procesos
matemáticos que se trabajen. Es decir, se considera que, en matemáticas, la competencia y la
comprensión son conceptos cognitivos que se complementan, y para alcanzarlos, será necesario un
proceso de crecimiento paulatino, en el que se tenga en cuenta las diferentes dimensiones de las
matemáticas (Godino, 2002).
En lo que a este trabajo respecta, se aborda y evalúa por primera vez desde el “Proyecto
Newton. Matemáticas para la vida”, la competencia matemática en Educación Infantil y Primer Ciclo
de Primaria. De un modo general, las competencias matemáticas propuestas en el Programa para la
Evaluación Internacional de Alumnos de la OCDE (PISA, por sus siglas en inglés) son: Pensamiento y
Razonamiento, Argumentación, Comunicación, Construcción de Modelos, Representación y uso de
operaciones y lenguaje técnico, simbólico y formal y Planteamiento y Resolución de problemas.
Concretamente, en la etapa de Educación Infantil, las competencias de pensamiento y razonamiento,
se pueden desarrollar. También la competencia de argumentación, pero de manera más limitada. Por
tanto, la competencia matemática en Educación Infantil podría llevar consigo procesos de
pensamiento, razonamiento y argumentación (De Castro, Molina, Gutiérrez, Martínez y Escorial,
2012). Concretamente, el Proyecto Newton destaca la importancia de trabajar la competencia
matemática desde estos niveles. Sobre todo, se defiende que una condición fundamental en estas
edades es la manipulación. Sin ella, la consolidación posterior no será posible.
Actualmente, según el marco legislativo español, los contenidos educativos correspondientes al

primer y segundo Ciclo de Educación Infantil se estructuran en los siguientes ámbitos de experiencia y
desarrollo:
Primer Ciclo (Decreto 201/2008, 30 de septiembre, BOC nº 203, de 9 de octubre de 2008) y

segundo Ciclo (Decreto 183/2008, 29 de julio): Conocimiento de sí mismo, la autonomía personal, los
afectos y las primeras relaciones sociales. Descubrimiento y conocimiento del entorno. Los diferentes
lenguajes: comunicación y representación.
Por su parte, con respecto a los contenidos matemáticos de la etapa de Educación Primaria, se
destaca lo siguiente (BOC nº156, 13 agosto 2014):
La finalidad de las matemáticas en esta etapa es elaborar las bases del razonamiento lógico-
matemático en los alumnos, sin centrarse únicamente en la enseñanza del lenguaje simbólico-
matemático. De este modo, la educación matemática podrá cumplir su función formativa,
contribuyendo al desarrollo cognitivo, instrumental y funcional. En cuanto al proceso de aprendizaje,
se trabajará en base a experiencias y el alumnado empleará diversos recursos y materiales
didácticos, manipulativos y tecnológicos. Además, se trabajará en la estimación de cálculos, medidas
y cantidades, así como en la predicción de resultados de encuestas, experimentos o investigaciones.
Con ello se pretende que el alumnado interiorice tanto los significados de los conceptos que está
manejando, como las predicciones o suposiciones que él mismo elabora a cerca de la tarea que está
realizando. Asimismo, se debe fomentar la interacción entre iguales, entre alumnado y docente, y
promover el aprendizaje cooperativo. Además, se pretende dar mayor importancia a la evaluación
cualitativa frente a la cuantitativa.
Con la información recogida en este punto, conviene considerar la afirmación, formulada por
Alsina et al. (2009), de que, al menos hasta ese momento en España, el conocimiento de matemáticas
en el profesorado de las etapas de Infantil y Primaria, no quedaba garantizado si se tenía en cuenta el
peso de los contenidos de matemáticas en los planes de estudio de las titulaciones de formación del
profesorado. Además, señalaban que muchos de los profesores de matemáticas habían tenido pocas
oportunidades de profundizar en lo esencial de dicha materia durante su formación inicial. Asimismo,

Ciclo de Primaria.
dijeron que en aquel momento se habían producido ciertas reformas en esas titulaciones que hacían
pensar en un cambio al respecto: estos estudios pasaban a ser de cuatro cursos académicos y, además,
se preveía la especialización en matemáticas en algunas universidades.
Esto que se planteaban Alsina et al. (2009), hace 7 años, se ve actualmente agravado, pues en
este momento, ni los maestros de Educación Infantil ni los de Primaria, tienen ningún tipo de
especialidad.
Una vez estudiados los currículos de ambas etapas educativas, veremos ahora si concuerdan o
no, según las investigaciones realizadas, con el desarrollo madurativo de los niños.
Autores como Lesh y English (2013) afirman que el nivel de dificultad de una tarea puede ser
sensiblemente modificado simplemente adecuando el estilo del lenguaje, utilizando símbolos,
diagramas o gráficos, con modelos más concretos, o con experiencias basadas en metáforas. Esta es
una vieja reivindicación formulada hace ya algún tiempo por Bruner (1960): A cualquier niño se le
puede enseñar cualquier concepto, en cualquier momento, si el concepto se presenta en una forma que
sea apropiada para su nivel de desarrollo. También Resnick (1983) ponía el acento en que la
enseñanza debe centrarse en aspectos cualitativos, y que el aprendizaje, por su parte, se puede
comenzar a impartir cuanto antes, pues los niños desde muy pequeños están preparados para aprender.
Las dos condiciones necesarias son que los niños y niñas: (a) encuentren sentido al problema
utilizando sus propias experiencias; y (b) que tomen consciencia de que hay varias maneras diferentes
de pensar sobre un problema dado y, de este modo, serán ellos mismos capaces de evaluar las
fortalezas y debilidades de cada alternativa. Lesh y English (2013) ponen ejemplos de problemas
enmarcados en contextos de personajes de cuentos y utilizando objetos manipulables (palillos de
helado, pajitas de refrescos, tablero de puntos, piezas de circuitos de trenes…). La investigación sobre
el uso de modelos y perspectivas de modelado (models & modeling perspectives) (Lesh y Doerr,
2003) muestra que, si los niños reconocen claramente la necesidad de utilizar un tipo específico de
descripción matemática, diagrama, artefacto o herramienta, y si están en condiciones de evaluar las
fortalezas y debilidades de maneras alternativas de pensar, entonces a menudo, incluso los más
pequeños, son capaces de producir herramientas y artefactos impresionantemente potentes,
reutilizables y compartibles en la que los "objetos" matemáticos que están descritos implican mucho
más que simples recuentos. Para ello, el tipo de ayuda que resulta más efectiva es, generalmente,
aquella que estimula la reflexión más que la guía dirigida.
El “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” nació en el curso 2012/2013 con el principal
objetivo de llevar a cabo una propuesta que generara un cambio real, efectivo y generalizable tanto en
el aprendizaje, como en la enseñanza de las matemáticas. Para ello, centrándonos concretamente en
Infantil y 1º y 2º de Primaria, el proyecto propone una metodología cuyo principal referente es
Constance Kamii (Kamii, 1985, 1989, 1994; Kamii & Russell, 2010, 2012), quien defiende la
importancia de fomentar la autonomía de los niños, promoviendo habilidades como el respeto, el turno
de palabra, levantar la mano para participar en el aula, etc. Asimismo, el Proyecto propone la
estimulación del cálculo mental con las “Regletas de Cuisenaire” (juego de piezas de diez tamaños, de
1 a 10 cm., y diferentes colores) (ver figura 1). El uso de esta herramienta permite que el alumnado
aprenda la descomposición de los números e iniciarlos en las actividades de cálculo y que el
aprendizaje se convierta en algo tangible y manipulativo, lo cual es muy importante en las primeras
etapas de aprendizaje. Además, se introducen tareas que ayudan a la contextualización de actividades
matemáticas en situaciones cotidianas (Consejo Escolar de Canarias, 2015; ZZZ, 1999).
Por último, resulta oportuno hacer referencia a que este Proyecto, a través de la evaluación de
los resultados que se han obtenido de 3º a 6º de Primaria, ha encontrado efectos positivos tanto en el
profesorado, como en el alumnado. En cuanto al profesorado, cabe destacar el alto consenso en valorar
la acción formativa con un alto nivel de interés y utilidad. En cuanto a la evaluación del efecto de la
Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 julio de 2017 27

Ciclo de Primaria.
acción formativa en el alumnado, ha quedado constata la adquisición de los procesos implicados en la

resolución de problemas del alumnado de 3º a 6º de Primaria cuyo profesorado participó en la acción
formativa.
Lo que aún no había cubierto en este proyecto es la evaluación del efecto de la acción formativa
en el alumnado de Educación Infantil y Primer Ciclo de Educación Primaria. Consecuentemente, esta
investigación plantea los siguientes objetivos:
Conocer, una vez más, la valoración que el profesorado de Educación Infantil y de 1º-2º de
Educación Primaria hace de la acción formativa en la que participan.
Evaluar el efecto de la acción formativa en el alumnado de Educación Infantil y de 1º-2º de

Educación Primaria, tanto desde una aproximación cualitativa como cuantitativa. En la
aproximación cualitativa, además del efecto en la competencia matemática, se analizará su
efecto en la competencia socio personal.
2. Método
2.1. Participantes
2.1.1. Estudio 1: Aproximación cualitativa
Valoración del profesorado
Para el estudio sobre la valoración de la acción formativa por parte de los docentes, los
participantes son 12 profesores y profesoras. Concretamente 8 tutores y 4 no tutores. Estos docentes
pertenecen a 3 centros de Educación Infantil y Primaria de la isla de Tenerife.
Observación de la dinámica de trabajo en el aula
Participan 200 alumnos aproximadamente que se sitúan entre los cursos de Infantil y Primer
Ciclo de Primaria, pertenecientes a 5 colegios diferentes: 1 con larga experiencia con el Proyecto, 3
centros de nueva incorporación, y 1 colegio como grupo control o de contraste.
2.1.2. Estudio 2: Análisis cuantitativo. Resolución de problemas de cálculo mental
Para la realización del estudio cuantitativo sobre cálculo mental, los participantes son 84
alumnos y alumnas de 2º de Primaria pertenecientes a 4 colegios: un centro con una larga experiencia
de cuatro años participando en el Proyecto (grupo consolidado, N = 27), un centro de nueva
incorporación (N = 28), y dos centros que conformaron el grupo control (N = 29).
2.2. Descripción de la acción formativa
Para conocer de la dinámica de las acciones formativas que se realizan con el profesorado, se
toma como referencia el Informe Ejecutivo del Proyecto Newton (Consejo Escolar de Canarias, 2015).
Además, se acude a una acción formativa dirigida a docentes de Infantil, 1º y 2º de Primaria y se
mantienen diferentes entrevistas con los formadores.
En la reunión establecida con uno de los formadores, explica detalladamente las pautas y
técnicas que, entiende, se deben seguir en el aula. Así como los contenidos que resultan

Ciclo de Primaria.
imprescindibles impartir en estas edades, destacando la numeración, el cálculo, la geometría y la

resolución de problemas. Remarca la importancia de la utilización de material tangible en
matemáticas. Asimismo, apunta que los ejercicios que se les deben presentar a los alumnos y a las
alumnas deben estar adaptados a su edad, así como a su entorno y vida cotidiana, facilitando de este
modo su comprensión y finalmente su resolución. Además, cada ejemplo de ejercicio que propone, lo
explica con el material que se debe utilizar. Esos ejercicios los resuelve de manera clara, detallando
cada paso que se debe realizar con el alumnado y precisando otros modos de resolución si se viera
oportuno.
En relación a las reuniones de formación, éstas se llevan a cabo dos veces al mes con una
duración de 3 horas cada una. En ellas se comentan las técnicas que se han utilizado en el aula el
último mes y, a su vez, se plantean las tareas que se llevarán a cabo el mes siguiente, enseñando a los
maestros y a las maestras los recursos didácticos necesarios para ponerlas en práctica. Con las
diferentes sesiones formativas, se promueve también que el profesorado en formación se convierta en
formador, creando de esta manera un proceso de intercambio e innovación entre docentes, con el fin
de compartir, aprender, enseñar y comprender. Asimismo, uno de los principales objetivos que se
plantea es que el profesorado consiga potenciar la autonomía de los alumnos, dándoles la oportunidad
de confrontar los distintos puntos de vista respecto a la resolución de una tarea (Kamii, 1985, 1989,
1994; Kamii & Russell, 2010, 2012).
Una vez conocidas las bases de la acción formativa del proyecto, se acude a algunas de estas
sesiones, manteniendo también entrevistas con los formadores. A continuación, se describe una de
estas acciones formativas:
En el inicio de la sesión, el formador pregunta a los maestros y a las maestras si se ha podido

llevar a cabo lo abordado en la sesión anterior, se comentan brevemente los resultados obtenidos y se
resuelven las dudas que les hayan podido surgir en sus aulas.
A lo largo de la sesión, el formador plantea nuevas operaciones o pequeños problemas,

resolviéndolos tanto en la pizarra como con los materiales que se nombrarán a continuación.
Desde un primer momento se insiste en que los alumnos no tienen que saber matemática
mecánica, sino matemática comprendida. Se argumenta que hoy en día los niños y las niñas
reproducen y contestan lo que su maestro o maestra espera, pero sin haber comprendido los conceptos.
Se comenta, asimismo, como las matemáticas de primaria se basan en la composición y
descomposición de números. Para ello se insiste en la necesidad de utilizar materiales tangibles, que el
alumno o alumna pueda tocar y manipular. Algunas de estas herramientas, que ya han sido trabajadas
en sesiones anteriores, son:
Regletas, cuyo color ayuda a los niños a crear imágenes mentales, además de su tamaño, el cual
dependerá también del número al que represente. (Ver figura 1)

Ciclo de Primaria.
Figura 1: “Regletas de Cuisenaire”
Bloques de base 10, que se utilizan para trabajar con los sistemas de numeración en 1º de
primaria.
El formador remarca que, aunque estas técnicas requieren tiempo para acostumbrarse y trabajar
con ellas, son mucho más útiles que las que se suelen proponer en las fichas o en los libros
convencionales (más mecánicas), pues fomentan el razonamiento. Argumenta que los niños y las niñas
que trabajan con este material, lo graban mentalmente y luego operan con la imagen mental de éste.
En cuanto a la adecuación de los conceptos con las edades, se recuerda que 3 años es la edad de
los hábitos, control de esfínteres, controlar el llanto, saber escuchar, etc., por lo que la resolución de
problemas se recomienda para el resto de cursos de Educación Infantil y Primaria. La estructura o
proceso que se propone para resolver adecuadamente un problema es el siguiente:
1. Comprender: a estas edades esta fase se hace en común.
DATOS OBJETIVO
RELACIÓN
2. Pensar: se desarrollan las estrategias de pensamiento. Tales como:

 Modelización con material tangible: la manipulación siempre es la entrada al
razonamiento.
 Ensayo-Error: el alumno prueba a resolverlo de una manera (1ª hipótesis), si consigue lo
que se le pide bien, si no, debe volver a probar (otra hipótesis). En este sentido, hay que
fomentar que los niños tengan argumentos, el error no importa, es una fuente de
aprendizaje, aun así, hay que hacer que el alumno se pare para que piense y diga algo
con algún motivo, argumentos, de esta forma se crea en los niños y las niñas el hábito
de opinar con alguna razón: “el por qué es el razonamiento que se ha utilizado para
llegar al qué”. En caso de equivocación, la nueva hipótesis que obtenga el alumno
puede tener en cuenta la anterior o no, por esta razón, el maestro o la maestra siempre
debe fomentar a que sí se tenga en cuenta. De esta manera se le enseña a aprender de la

Ciclo de Primaria.
experiencia. Con ello también se le ayuda al ensayo-error inteligente, lo que provocará

que el alumno o la alumna no resuelva los problemas matemáticos de manera arbitraria
o sin criterio, sino que será más certero y tendrá en cuenta su experiencia. En estas
edades los niños y las niñas no saben lo que es pensar, por eso hay que expresar en voz
alta todo lo que se hace, y poco a poco se irá interiorizando.
3. Ejecutar: fase en la que el alumno o alumna lleva a cabo la o las operaciones.
4. Responder: es importante siempre hacer una comprobación de la respuesta.
A continuación, el formador propone varios ejemplos de problemas para resolver a partir de esta
estructura, nombrando los materiales que se podrían utilizar en cada caso (regletas, cubos…). Añade
que los problemas propuestos ayudarán al alumnado a que, cuando lleguen a tercer curso, sepan la
secuencia de los hábitos mentales que deben manejar.
Resulta importante comentar que el profesorado que recibe la acción formativa expresa que,
gracias a este tipo de procedimientos, se ha logrado que a sus alumnos y alumnas les gusten las
matemáticas, prefiriendo esta asignatura antes que otras.
Llegados a este punto se muestra, a modo de ilustración y de manera esquemática, los

contenidos tratados en esta sesión de formación con los maestros y maestras de Infantil y Primer Ciclo
de Primaria:
 Estructura aditiva (suma y resta).

 Composición y descomposición de los números de 1 cifra.
 Composición y descomposición del 10.
 Completar a la decena más cercana. El número que quería ser 10.
 Preponderancia de lo oral, previo a los símbolos escritos, en Infantil.
 Resolución de problemas en Infantil y 1º Ciclo de Primaria:
o Adaptación al modelo del Proyecto Newton.
 Estrategias iniciales a incorporar. Modelización y ensayo-error.
 Uso de materiales estructurados y no estructurados: regletas, tapas, cubos de base 10, cubos
encajables, números Montessori, etc.
Resulta conveniente apuntar que, en una conversación mantenida con el formador, éste comenta
que las acciones formativas las prepara concretando ciertos puntos que se deben tratar forzosamente,
pero que luego el transcurso de la sesión debe ser espontáneo y fluido, atendiendo a aquellas
cuestiones que puedan ir surgiendo en la propia dinámica.
2.3. Evaluación de la acción formativa
2.3.1. Estudio 1: Aproximación cualitativa
2.3.1.1. Valoración del profesorado
Instrumentos
Para la evaluación del Proyecto Newton por parte del profesorado, se utiliza un cuestionario en
el que se miden diferentes variables: interés, aprovechamiento, fortalezas, dificultades y propuestas de
mejora. Además, este mismo cuestionario le da al profesorado la oportunidad de comentar alguna
experiencia de haber llevado al aula lo aprendido. Para este estudio sólo se toman los datos sobre
interés y aprovechamiento.

Ciclo de Primaria.
Diseño
Diseño descriptivo, en el que se valora tanto el interés como el aprovechamiento de los docentes
con respecto al Proyecto.
Procedimiento
Se entregan los cuestionarios a los docentes y posteriormente se recogen para su análisis.
Análisis de datos
Se realiza un análisis de frecuencias de su interés y aprovechamiento.
2.3.1.2. Observación de la dinámica de trabajo en el aula
Instrumentos
Hoja de registro, de elaboración propia, en la que se rastrea aspectos sobre competencias en la

Resolución de Problemas y competencias Sociopersonales. En este registro se pretende plasmar tanto
la amplitud como la frecuencia de las diferentes variables a medir (Ver tablas 1 y 2).
Diseño
Se obtiene una descripción dinámica de las observaciones, registrando la frecuencia (número de

veces que se da la conducta) y amplitud (número de alumnos que realizan la conducta) (ver tablas 1 y
2) de las conductas realizadas por los alumnos en sus aulas. Siguiendo una perspectiva transversal, la
observación se realiza en grupos que se diferencian en el tiempo que llevan implicados en el Proyecto
(consolidado, nueva incorporación y control).
Procedimiento
Las observaciones, se realizan en las aulas durante sesiones ordinarias de matemáticas. Desde
un primer momento, se le pide al profesor o profesora que dediquen la sesión a tareas de Resolución
de Problemas. Los observadores se sitúan en un rincón relativamente apartado de la clase y se limitan
a observar. Durante el trascurso de la clase, se toma nota de los procedimientos utilizados para
resolver las tareas y ejercicios (competencia matemática), así como de las interacciones del grupo
(competencia sociopersonal).
Análisis de datos
Se lleva a cabo un análisis de los datos que se registrados durante las observaciones.
2.3.2. Estudio 2: Análisis Cuantitativo. Resolución de problemas de cálculo mental
Instrumentos
Se utiliza una prueba, de elaboración propia, con cinco problemas matemáticos de cálculo
mental. Para resolver correctamente los cuatro primeros: el primer ejercicio requiere realizar una
suma; el segundo restar; el tercero multiplicar; y el cuarto dividir. Para responder adecuadamente el
último ejercicio, han de darse cuenta de que faltan datos, por lo que deben explicar que con los datos

Ciclo de Primaria.
proporcionados el ejercicio no tiene solución. En cada problema, el acierto se contabiliza como 1 y

tanto el error como dejar el ejercicio en blanco, puntúa 0. Los problemas que los alumnos debían
resolver son los siguientes:
1. Lucía tiene cuatro caramelos y Marcos le regala 2. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?
2. María tiene cinco euros y le da dos a Susana. ¿Cuántos le quedan?
3. Pedro tiene 4 paquetes de caramelos y en cada uno hay 5 caramelos. ¿Cuántos caramelos hay
en total?
4. Jesús tiene 6 euros y los reparte en partes iguales a tres amigos. ¿Cuánto le da a cada uno?
5. Ramón tiene cuatro caramelos y Sergio un caramelo. ¿Cuántos perros tienen los dos?
Diseño
Estudio transversal en el que se contrastan dos grupos, atendiendo al tiempo que lleven
implicados en la acción formativa del Proyecto Newton (Consolidado, dos años; Nueva Incorporación,
ocho meses formando parte del proyecto); y un grupo control. Se trata de un estudio cuasiexperimental
dado que los participantes no se escogen aleatoriamente sino atendiendo a su relación temporal con el
Proyecto.
Procedimiento
Se concierta con los centros el día de pase de pruebas en cada uno, para su aplicación basta con
una sola sesión. Una vez en el colegio, se le pide colaboración al profesorado para el pase de pruebas.
Los alumnos (todos de 2º de Primaria) colocan sus mesas de manera individual, se les explica en qué
consiste la prueba y a continuación proceden a su cumplimentación.
Análisis de datos
Se lleva a cabo un Análisis de Varianzas (ANOVA) entre los tres grupos: consolidado; nueva
incorporación; y control.
3. Resultados
3.1. Estudio 1: Aproximación Cualitativa
3.1.1. Valoración del profesorado
El 100% del profesorado valora el grado de interés de la acción formativa como alto (16,7%) o
muy alto (83,3%). Con respecto al nivel de aprovechamiento también el 100% de los docentes lo
valoran como alto (41,7%) o muy alto (58,3%). (Ver Figura 2).

Ciclo de Primaria.
Figura 2: Grado de Interés y Aprovechamiento valorado por los profesores
3.1.2. Observación de la dinámica de trabajo en el aula
Para registrar la amplitud de la clase que realiza una conducta determinada, se utilizan 3 figuras
diferentes: una línea vertical para indicar que lo realiza un solo alumno; un cuadrado cuando lo realiza
un pequeño grupo de la clase y un rectángulo cuando lo realiza toda, o la mayor parte del aula. Para
contabilizar la frecuencia, basta con contar cuántas de estas figuras se han registrado (ver tablas 1 y 2).
Para describir las observaciones que se realizan en las diferentes aulas, se establece un orden
para favorecer la comprensión. En primer lugar, se hace una descripción de las condiciones físicas del
aula, a continuación, se describe la dinámica del aula, explicando la competencia de los alumnos en
Resolución de Problemas. Por último, se explican las competencias Sociopersonales observadas.
Centro consolidado
En este centro se evalúa una clase de 1º de Primaria. La luminosidad del aula es adecuada y las
mesas están dispuestas algunas formando una L y otras formando un grupo, todos realizan la misma
actividad. Llevan a cabo diversos ejercicios durante la sesión en los que se ven reflejadas las
matemáticas. Utilizan material como regletas, tapas, el cuadro de la centena, etc. (ver tabla 1), trabajan
también con el dinero: van dos alumnos a la venta (simbólica) del colegio, para ello llevan una hoja de
registro en la que deben apuntar el producto comprado y su precio, luego se comenta con todos los
compañeros en la pizarra. En cuanto a las soluciones que dan a los diferentes problemas que se les
plantean, no sólo las razonan, sino que incluso varios alumnos saben y dicen las estrategias que
utilizan. Además, es una clase muy participativa y que expresa su opinión (ver tabla 2). Respeta tanto
el turno de palabra como a sus compañeros y se ayudan entre ellos, saliendo incluso a la pizarra
cuando algún compañero lo necesita.
Centros de nueva incorporación
Se observan aulas de tres colegios distintos de nueva incorporación al Proyecto Newton: una
clase de 4 años, otra de 5 años, una de 1º de Primaria y dos aulas de 2º de Primaria.
En un colegio se evalúa el aula de los alumnos y alumnas de 4 años. Tiene tanto una
luminosidad como un orden destacables, con las mesas distribuidas en grupos y dispone de distintas
zonas del aula para realizar diversas actividades, por ejemplo, un área de juego al final de la clase, en
la cual se sitúa un pequeño y simbólico supermercado. En cuanto a la dinámica de la sesión, cada

Ciclo de Primaria.
grupo de mesas hace una actividad diferente, y hay que destacar que, aunque la mayoría responde a la
profesora casi sin pensar bien el problema, utilizan las regletas para la mayoría de las actividades que
llevan a cabo (ver tabla 1), dándoles a cada una el valor correcto que le corresponde. También la
profesora utiliza los sellos de las regletas para los cuales, los niños tienen que averiguar su valor con la
ayuda de las mismas, realizan incluso sumas. Es una clase bastante participativa (ver tabla 2).
En otro de los centros se evalúan tres aulas: una de Infantil de 5 años, otra de 1º de Primaria y
una de 2º de Primaria.
La clase de Infantil de 5 años, a pesar de tener mucho material, se aprecia bastante ordenada, la
luminosidad es adecuada y las mesas están colocadas por pequeños grupos. Cabe destacar la cantidad
de material didáctico que utilizan: regletas, geoplanos, calculadora (tutorizados por los alumnos de
primero), tangram (ver tabla1). Además, es una clase que se muestra muy interesada en participar (ver
tabla 2) y, aunque las actividades se plantean y comentan todas en voz alta, su realización es
individual. En 1º de primaria las mesas están colocadas en forma de círculo y la profesora se mueve
por toda la clase. En cuanto al orden y luminosidad, son ambos adecuados. Este curso ya trabaja la
geometría, las medidas naturales, los números decimales y además saben diferenciar varios tipos de
línea. Durante la sesión se plantean diferentes problemas y los alumnos exponen las diferentes
operaciones que se pueden realizar para llegar a la misma solución. Se observa que cuando intentan
resolver un problema y no pueden, recurren a las regletas o calculadora. Esta clase muestra ser menos
participativa que las observadas anteriormente (ver tabla 2). En cuanto al aula de 2º de Primaria, al
igual que el resto, está bien iluminada y ordenada, las mesas distribuidas por grupos. Hay que destacar
de este alumnado la gran capacidad de razonamiento ante los diversos problemas que le plantea la
profesora, además utilizan adecuadamente el material necesario (ver tabla 1), sobre todo las regletas
que las usan prácticamente para todos los ejercicios. Otro dato interesante es que la mayor parte de la
sesión discurre en inglés, ante lo cual los alumnos se les ve muy acostumbrados y se desenvuelven
muy bien, incluso comprendiendo los datos que les aportan los problemas. Asimismo, destacar que es
un grupo muy activo y participativo (ver tabla 2) y que, en cuanto al trabajo en equipo, aunque las
tareas son individuales, siempre se realizan en voz alta y se comprueban las soluciones con los
compañeros.
En el último centro de nueva incorporación se observa también una clase de 2º de Primaria,

distribuidas las mesas por grupos, con luminosidad adecuada y ordenada, dando la impresión de
amplitud. Cada grupo de mesas conformaba un equipo de trabajo, y los diferentes problemas que
plantea el docente son resueltos en equipo, es decir, el profesor plantea un problema para toda la clase
el cual se debe resolver por grupos. Cada grupo tiene el símbolo de un animal y durante la sesión el
profesor los llama según el animal que les corresponde, animando y dinamizando la sesión
continuamente, pasando por cada grupo para que los alumnos le expliquen la solución. Para la
resolución de los problemas utilizan diferentes materiales como dinero simbólico, calculadora, etc.
algunos problemas también los escenifican en la pizarra. De este grupo se debe señalar su gran
capacidad para trabajar en equipo (ver tabla 2).
Centro control
En este colegio se observan 3 aulas: Infantil de 5 años, 1º de Primaria y 2º de Primaria. En el

aula de 5 años, la luminosidad es adecuada y cuenta con bastante material, sin embargo, no es
demasiado espaciosa. Los niños están distribuidos por grupos. Durante toda la sesión trabajan el
número 9, por lo tanto, la solución que los alumnos deben dar es siempre 9. Resulta llamativo que
trabajando con las regletas, no les den el valor correspondiente a cada una. De hecho, la profesora las
llama “palitos” sin diferenciarlas ni por su tamaño ni por su color. Aunque todos trabajan el número 9,
cada conjunto de mesas lo hace con materiales diferentes como plastilina (tienen que hacer 9 bolitas) o
puzles (fichas en las que mediante un velcro los alumnos y alumnas deben colocar el número 9 en su

Ciclo de Primaria.
lugar, dentro de una pequeña serie de números) que cuando la profesora lo indica, se rota de mesa. La
clase de 1º de Primaria, tiene buena luminosidad y está ordenada, las mesas están dispuestas en forma
de U orientada hacia la mesa del profesor, el cual se sitúa dentro de esa U de pie durante toda la sesión
acercándose a las mesas de los alumnos, con respecto a la dinámica de la sesión, todos los niños
realizan la misma actividad al mismo tiempo. En otras ocasiones, resuelven problemas por parejas,
cada pareja uno diferente. El profesor proyecta en la pizarra electrónica el libro que los niños están
utilizando en la mesa. Para la resolución de problemas siguen la estructura: Datos-Operación-
Solución, además el profesor les ayuda haciendo algún dibujo aclarativo en la pizarra. También
utilizan el ábaco individualmente y, por ejemplo, en el caso de un problema relacionado con libros,
utilizan éstos para resolverlo. En cuanto a las regletas, los alumnos conocen su valor, pero el profesor
considera que es más rápido utilizar los dedos por lo que no usan este tipo de material (ver tabla 1).
Cabe añadir que la clase es muy participativa y que trabajan en equipo cómodamente (por parejas) (ver
tabla 2). Finalmente, la clase de 2º de Primaria tiene una adecuada luminosidad, es amplia y está
ordenada. Las mesas están colocadas por parejas orientadas hacia la pizarra. La sesión discurre de un
modo bastante monótono. Los alumnos se levantan para resolver los problemas en la pizarra digital
pero la profesora no permite que se equivoquen, antes de que el niño o niña cometa algún error, ella le
dice la solución. Además, si el alumno no sabe la solución, también se la dice, sin darle la oportunidad
de pensar o razonar. Trabajan la geometría diferenciando entre figuras planas y en 3D: la docente pone
en la pizarra electrónica los dibujos de las figuras y un audio con la explicación. A continuación, la
profesora refuerza dicha explicación. Los enunciados de los problemas también se plantean a través de
audios. A pesar de la monotonía de la sesión, los niños son bastante participativos (ver tabla 2).
Variables
Piensan el
Respuesta Comprensión Utilizan Razona la Solución
Centros posible
anticipada de datos material solución alternativa
resultado
Consolidado
(1º primaria)
Nueva inc.
(4 años)
Nueva inc.
(5 años)
Nueva inc.
(1º primaria)
Nueva inc.
(2º primaria)
Nueva inc.
(2º primaria)
Control
(5 años)
Control
(1º primaria)
Control
(2º primaria)
: Representa a un solo alumno : Representa a un pequeño grupo
: Representa a un grupo amplio o la totalidad de la clase
Tabla 1: Registro de la Competencia en Resolución de Problemas

Ciclo de Primaria.
Variables
Respetan Respetan y
Expresan Participan Escuchan a Trabajan
Centros turno de ayudan a
su opinión activamente los demás en equipo
palabra compañeros
Consolidado
(1º primaria)
Nueva inc.
(4 años)
Nueva inc.
(5 años)
Nueva inc.
(1º primaria)
Nueva inc.
(2º primaria)
Nueva inc.
(2º primaria)
Control
(5 años)
Control
(1º primaria)
Control
(2º primaria)
: Representa a un solo alumno : Representa a un pequeño grupo
: Representa a un grupo amplio o la totalidad de la clase
Tabla 2: Registro de las Competencias Sociopersonales

Ciclo de Primaria.
3.2. Estudio 2. Análisis cuantitativo: Resolución de Problemas de Cálculo Mental
En cuanto al análisis de los resultados de los 84 alumnos (grupo consolidado, N = 27; nueva
incorporación, N = 28; y grupo control, N = 29) evaluados en los ejercicios de cálculo mental, no se
aprecian diferencias significativas en ninguno de los grupos con respecto a los dos primeros
problemas, cuya operación consiste en sumar y restar respectivamente (ver tabla 3 y figura 3). Sin
embargo, al analizar los tres últimos ejercicios que deben resolver los niños (multiplicar, dividir y un
ejercicio en el que se tiene que identificar que no tiene solución), sí se observan diferencias
significativas (p≤ .001). Las diferencias en los ejercicios de multiplicar y dividir están en el grupo
consolidado, que es el que obtiene un resultado significativamente mejor que los otros dos grupos. Por
su parte, en el ejercicio 5 que se corresponde con identificar que el problema no se puede resolver, es
Cálculo Exp.1 Exp.2 Nueva Control Significación (p)

Consolidado incorporación
General Múltiple
Cálculo 1 1.00 .82 .86 .82 (1).168
(.35) (2).835
(+) Dt (.00) (.39)
(3).061
Cálculo 2 .89 .82 .76 .455 (1).351

(.32) (.39) (.44) (2).766
(-) Dt
(3).742
Cálculo 3 .81 .43 .24 .000*** (1).000***

(.40) (.50) (.44) (2).206
(x) Dt (3).004**
Cálculo 4 .81 .36 .21 .000*** (1).000***

(.41) (2).327
(/) Dt (.40) (.49)
(3).000***
Cálculo 5 .89 .25 .00 .000*** (1).000***

(.32) (.44) (.00) (2).007**
(Sin sol.) Dt (3).000***
p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)

Contrastes:
(1) Consolidado vs control
(2) Nueva incorporación vs control
(3) Consolidado vs nueva incorporación
Tabla 3: Media de los ejercicios de Cálculo Mental 1
1
La tabla recoge los siguientes valores estadísticos: Media ( ), valor obtenido al sumar todos los resultados y
dividir entre el número total de alumnos; Desviación Típica (Dt), medida del grado de dispersión de los datos
con respecto a la media; Significación (p), cuanto menor sea su valor, más fuerte será la evidencia de que la
diferencia no se debe a una mera coincidencia.

Ciclo de Primaria.
1,2
*
0,8 Consolidado (N = 27)
**
0,6 N. Incorporación (N = 28)
Control (N = 29)
0,4
0,2
0
Cálculo Cálculo 2(-) Cálculo 3 (x) Cálculo 4(÷) Cálculo 5
1(+) (Sin.sol)
p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)
Figura 3: Medias de los ejercicios de cálculo mental
4. Discusión y conclusiones
Se cuenta con un informe que analiza el efecto de la acción formativa “Proyecto Newton.
Matemáticas para la vida” en los alumnos y alumnas de Educación Infantil y 1º y 2º de Educación
Primaria, aspecto que hasta ahora no se había abordado debido a la dificultad que conlleva la
evaluación en estas edades. Además, los resultados de esta investigación, muestran la efectividad de
dicho proyecto, no sólo a través de los datos obtenidos en el alumnado, sino también gracias a la
positiva valoración realizada por el profesorado con respecto al interés y aprovechamiento del mismo.
Como se ha venido mencionando a lo largo de este trabajo, y tal como defiende este Proyecto,
resulta de gran importancia trabajar las matemáticas desde edades tempranas. No tanto con conceptos
teóricos sino con materiales manipulativos y tangibles, pues cuanta mayor sea esa manipulación,
mayor será la interiorización y asimilación de los conceptos matemáticos (Bruner, 1960; Consejo
Escolar de Canarias, 2015; Lesh y Doerr, 2003; Lesh y English, 2013; Resnick, 1983).
Con respecto a la valoración de la acción formativa por el profesorado, cabe destacar los buenos
resultados obtenidos, pues el 100% de ellos, tanto tutores como no tutores, consideran alto o muy alto
el interés y el aprovechamiento del mismo. Por ello, como fortaleza podríamos extraer su disposición
y actitud abierta a incorporar nuevos procedimientos, sin embargo, una debilidad detectada ha sido que
una vez en el aula, no todos los docentes utilizan el material recomendado. Ante ello, se insiste en su
utilización y se reitera las ventajas y avances que se logran en los alumnos.
En relación a los alumnos, por primera vez se ha conseguido registrar la acción formativa en
aulas de Infantil y Primer Ciclo de Primaria. Por un lado, con el estudio cualitativo se han observado,
en general, resultados favorables que demuestran la efectividad de este Proyecto, sobre todo en
aspectos que tienen que ver con el manejo de las matemáticas, destacando la gran agilidad y

Ciclo de Primaria.
desenvoltura que muestra el alumnado cuyo profesorado se ha implicado en la acción formativa,

utilizando los materiales adecuados en cada momento. Las diferencias observadas se dan sobre todo
entre los grupos experimentales (independientemente de si se trata de consolidado o nueva
incorporación) en contraste con el control o de comparación. Sin embargo, en el ámbito de
competencias sociopersonales no se detectan diferencias relevantes, pues en general todos los alumnos
observados muestran buenos hábitos en el aula como ayudar a sus compañeros, respetar el turno de
palabra, participar activamente en clase, etc. Por otro lado, con respecto al estudio cuantitativo se
detectan diferencias significativas en aquellos ejercicios que implican mayor dificultad
(multiplicación, división y problema sin solución), especialmente a favor del grupo consolidado. Estos
resultados muestran la superioridad del grupo consolidado con respecto tanto al grupo control como al
grupo de nueva incorporación, aunque en este último caso la significación en el ejercicio de
multiplicar es ligeramente menor. Además, hay que añadir que el grupo de nueva incorporación sólo
ha sido superior al control en el ejercicio de identificar que el problema no tenía solución. Por último,
cabe destacar la importancia de los resultados obtenidos sobre este último ejercicio. Ningún alumno
del grupo control supo responder a este problema, lo que demuestra que nunca han practicado este tipo
de ejercicios. Esta cuestión pone de manifiesto la veracidad de lo que había explicado un formador del
Proyecto Newton y que fue comentado al principio de este informe, relacionado con que hoy en día los
niños reproducen y contestan lo que el maestro espera, pero sin haber comprendido los conceptos.
Frente al resultado del grupo control, el 89% de los alumnos del centro consolidado sí que ha
detectado que dicho problema no se podía resolver por no disponer de los datos necesarios para ello.
Por su parte, el 25% del grupo de nueva incorporación también ha sabido responder adecuadamente
este ejercicio, lo cual demuestra dos cosas; por un lado, que este alumnado se ve beneficiado de la
acción formativa del Proyecto, y por otro que, aunque ha obtenido mejor resultado que el grupo
control, sigue siendo una media bastante inferior a la del grupo consolidado. Ello es un indicador de
que cuanto más tiempo lleva el profesorado implicado en esta formación, más familiarizado estará con
esta dinámica de trabajo y mejores resultados obtendrá su alumnado. Por todo ello, se puede concluir
que el “Proyecto Newton. Matemáticas para la vida” también resulta positivo para los más pequeños
del colegio, favoreciendo un mejor desarrollo de sus competencias matemáticas.
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Resnick, L. B. (1983).Mathematics and science learning: A new conception [Abstract]. Science, 220
(4596), 477-478.
María Haridian Zamora Marrero. Graduada en Psicología en la Universidad de La Laguna, Campus de

Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife.
Dirección electrónica: harizama@gmail.com
Ramón Aciego de Mendoza Lugo. Profesor Titular de Psicología Evolutiva y de la Educación,

Universidad de La Laguna, Campus de Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Entre sus
temas de investigación, actualmente centra su atención en: Resolución de problemas matemáticos:
procesos psicológicos e implicaciones instruccionales; Ajedrez como recurso educativo; Estrategias y
programas para el crecimiento personal y desarrollo de valores en adolescentes.
Dirección electrónica: raciego@ull.es
Antonio Ramón Martín Adrián. Maestro, especialista en matemáticas y formador de formadores.

Consejería de Educación del Gobierno de Canarias.
Dirección electrónica: tonycapicua@yahoo.es
Eladio Ramos. Doctor en Psicología, coordinador técnico educativo del Consejo Escolar de Canarias y
profesor de la UNED. Ha impartido docencia en la Universidad, en Primaria y en Adultos y ha sido
orientador en distritos educativos de Tenerife. Su formación y experiencia como docente e investigador se
ha centrado en inteligencia emocional, clima escolar, competencias, convivencia, educación en valores y
atención a la diversidad cultural.
Dirección electrónica: eladio@consejoescolardecanarias.org

ISSN: 1887-1984
Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de

Educación Primaria
Atteneri López y Ramón Aciego (Universidad de La Laguna. España)
Manuel García-Déniz (Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. España)
Domingo García-Quintero (Consejería de Educación del Gobierno de Canarias. España)
Eladio Ramos (Consejo Escolar de Canarias. España)

Resumen Se evalúa el impacto del “Proyecto Newton Matemáticas para la vida” en el profesorado
y alumnado de 3º a 6º de Educación Primaria (Tenerife, España). Se constata el interés y
el aprovechamiento que despierta la acción formativa en el profesorado. Para evaluar su
impacto en el alumnado, se realiza un diseño trasversal y cuasiexperimental, con cuatro
grupos: consolidado, cuatro años de participación en el Proyecto (N = 76), casi-
consolidado, entre tres y dos años de participación (N = 210); de nueva incorporación (N
= 63); y un grupo control (N = 89). Se detectan mejoras estadísticamente significativas,
tanto en los procesos de resolución de problemas como en la adaptación escolar, en el
alumnado cuyo profesorado participa en la formación. Estas mejoras se incrementan a
medida que su profesorado lleva más tiempo implicado en el Proyecto.
Palabras clave Competencia matemática, resolución de problemas, adaptación escolar, educación

primaria.
Title Evaluation of Project Newton. "Mathematics for Life" from 3rd to 6th of Primary
Education
Abstract It evaluates the impact of the “Newton Mathematics Project for life” for teachers and
students 3rd to 6th the primary school (Tenerife, Spain). Teachers are interested in the
project and his exploitation. To assess their impact on students, a transversal and quasi-
experimental design is done with four groups: consolidated (N = 76), nearly-
consolidated (N = 210), new incorporation (N = 63) and control (N = 89). It is found
statistically significant improvements on the processes of problem solving and school
adjustment in students whose teachers participated in this formative action. These
improvements will increase as teachers take longer involved in the project.
Keywords Mathematical competence, problems solving, school adaption, primary school
1. Introducción
El aprendizaje es un proceso mediante el cual nuevos conocimientos son asimilados dentro de la

estructura conceptual del que aprende (Saldarriaga, 2012).
Esta investigación se centra concretamente, en el aprendizaje de las matemáticas.

Evaluación del Proyecto Newton. “Matemáticas para la Vida” de 3º a 6º de Educación Primaria
La competencia matemática se define como la capacidad de un individuo de identificar y

entender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundamentados,
utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal
como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo (PISA, 2003). Esta competencia activa una
serie de procesos que pueden agruparse en tres categorías: reproducción (operaciones matemáticas
simples), conexión (combinación de ideas para resolver problemas con una solución directa) y
reflexión (uso del pensamiento matemático amplio) (Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económico, 2014).
La finalidad de la asignatura de Matemáticas en la Educación Primaria es construir los

fundamentos del razonamiento lógico-matemático en los alumnos/as de esta etapa, y no únicamente
centrarse en la enseñanza del lenguaje simbólico-matemático (Boletín Oficial de Canarias, 2014).
Respecto al currículo en matemáticas, en Educación Primaria, se valoran las siguientes

competencias (Boletín Oficial de Canarias, 2014):
 Comunicación lingüística (CL), indica las relaciones numéricas y geométricas y la descripción

verbal y escrita de los razonamientos y procesos matemáticos con un lenguaje correcto y el
vocabulario matemático preciso.
 Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT) mediante la
resolución de diferentes situaciones de aprendizaje que propicien el empleo de las matemáticas
dentro y fuera del aula, y en relación con otras asignaturas
 Competencia digital (CD), proporciona destrezas asociadas a los procesos de análisis y de
síntesis, de razonamiento, de clasificación, de reflexión y de organización.
 Aprender a aprender (AA), facilita el desarrollo de esquemas mentales que ayudan a organizar
el conocimiento.
 Competencias sociales y cívicas (CSC), se refiere al trabajo en equipo y a las dinámicas de
interacción social.
 Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE), es la resolución de problemas y el trabajo
científico, que implica la capacidad de transformar las ideas en actos.
 Conciencia y expresiones culturales (CEC), pone en juego la iniciativa, imaginación y
creatividad, que favorecen la comprensión de determinadas producciones artísticas.
Estas competencias curriculares se reflejan en cinco bloques: “Procesos, métodos y actitudes en

matemáticas”, “Números,” “Medida”, “Geometría" y "Estadística y Probabilidad”. Durante el
desarrollo de estos temas se practica la resolución de problemas, que es objeto de estudio en esta
investigación.
Muchos alumnos y alumnas presentan dificultades en la resolución de problemas, a pesar de no

manifestar dificultades para ejecutar las operaciones aritméticas implicadas en el problema. Esta
discrepancia entre la ejecución de operaciones y la resolución de problemas puede ser explicada por
diferentes factores: por las variables propias del problema, por el conocimiento conceptual necesario
para resolverlo, y también, por el tipo de estrategias que ponen en marcha para resolver el problema,
ya que se suelen saltar la comprensión y emplean estrategias más superficiales, como, la estrategia de
la palabra clave (recibir o conseguir se asocia a suma) (Hegarty, Mayer y Monk, 1995; Nesher y
Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte y Pauwels, 1992). También pueden guiarse por los números que
aparecen en el problema para decidir la operación. Así, si los números son 78 y 54 se podría pensar en
una suma o una multiplicación, pero si son 78 y 3 la operación más probable sería la división,
infiriendo las operaciones a partir del tamaño de los números (Sowder, 1988). O bien seleccionar los
números y dejarse guiar por la operación más reciente enseñada en clase o simplemente ejecutar una
operación con la que uno se siente más competente. Incluso cuando los problemas introducen

información numérica irrelevante esta tiende a ser utilizada en las operaciones ejecutadas por los
estudiantes (Littlefield & Rieser, 1993).
El uso de las estrategias superficiales puede estar mediatizado por los materiales curriculares,
entre los que cabe destacar el libro de texto. Los problemas que aparecen en los libros tienden a ser
agrupados y formulados de tal forma que la utilización de estrategias superficiales puede llevar a una
ejecución correcta del problema. Usualmente, los enunciados de estos problemas tienen una intención
educativa y son situaciones creadas por los expertos para estimular el aprendizaje de los estudiantes o
evaluarlo (Gaigher, Rogan & Braun, 2007). Casi todos los problemas matemáticos se pueden resolver
directamente aplicando reglas, fórmulas y procedimientos mostrados por el profesor o dados en el
libro. Esto puede hacer pensar que el pensamiento matemático consiste en aprender, memorizar y
aplicar reglas, fórmulas y procedimientos (Lester, Garofalo & Kroll, 1989). Es importante interiorizar
determinados contenidos para hacer frente a la resolución de problemas.
Sin embargo, los problemas deben ser desafíos matemáticos que han de resultar atractivos,
capaces de focalizar la atención del alumnado en actividades de su interés. Serán abiertos y con
soluciones únicas o múltiples. Han de admitir distintas estrategias en la búsqueda de la solución, y
presentarse en distintos formatos (sólo texto, sólo gráficos, mixtos, manipulativos, orales, etc.).
También se ha de tener en consideración que en la resolución de problemas intervienen

procesos internos como esfuerzo, concentración, perseverancia, creatividad, autoconfianza,
autoconcepto, motivación. En este sentido, el constructivismo, de acuerdo con Ausubel (1976),
considera que una de las condiciones indispensables para que sea posible el aprendizaje significativo
es que el alumno manifieste una disposición para aprender el nuevo contenido y que dicha disposición
se revele en una manera profunda de encarar la tarea (Entwistle, 1998). Es decir, que la intención del
alumnado sea fundamentalmente comprender aquello que estudia y que para conseguir este objetivo
busque relacionar el nuevo contenido con aquello que ya sabe, perseverando en este intento hasta
conseguir un determinado tipo de comprensión.
Alsup (2005) comparó la instrucción tradicional y la constructivista en matemáticas. En su

estudio demuestra que la segunda ofrece ventajas para reducir la ansiedad hacia las matemáticas.
Pugalee (2001) investigó sobre la relación entre las matemáticas y la meta-cognición. Validó
que la escritura de los estudiantes sobre sus procesos matemáticos al solucionar problemas, muestra
evidencias de comportamientos meta-cognitivos. Los resultados sugieren la conveniencia de incluir la
escritura de los procesos como parte integral del plan de estudios de las matemáticas.
Se puede concluir que más que enseñar a los alumnos/as a resolver problemas, se trata de
enseñarles a pensar matemáticamente. Es decir, a que sean capaces de abstraer y aplicar ideas
matemáticas a un amplio rango de situaciones. Este es el principal objetivo del Proyecto Newton:
Matemáticas para la vida, desde 3º a 6º de primaria. El Proyecto surge tras analizar los resultados de
la evaluación de la competencia matemática en el alumnado canario (Evaluación General de
Diagnóstico 2009. Ministerio de Educación, 2010). En cuanto a la competencia matemática del
alumnado perteneciente a Educación Primaria, el promedio de España equivale a 500 puntos, mientras
que Canarias presenta una puntuación global correspondiente a 463 puntos, 37 por debajo de la media
del Estado. Además, los resultados muestran que el mayor porcentaje de alumnado de Canarias se
agrupa en los niveles de rendimiento más bajos (nivel menor o igual a 1 con un 26 por ciento) y en el
nivel intermedio bajo (nivel 2 con un 38 por ciento). Hay un porcentaje de alumnado muy escaso que
domina las habilidades y destrezas matemáticas con notable eficacia (nivel 5 con un 3 por ciento).
Asimismo, estos datos revelan que el alumnado de Educación Primaria presenta mayores problemas en

las tareas relacionadas con los procesos de conexión y de reflexión, resultando más sencillo reproducir
ejercicios ya practicados.
Las bases del Proyecto Newton Matemáticas para la vida, se fundamentan en las aportaciones
de Pólya (1945,1954) y de Schoenfeld (2010, 2013), los cuales remarcan que para entender una teoría,
se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza se centra en el proceso de
descubrimiento más que en el simplemente desarrollo apropiado de los ejercicios. Para involucrar a
sus estudiantes en la solución de problemas, sustentan su método en los siguientes cuatro pasos:
entender el problema, configurar un plan, ejecutar dicho plan y mirar hacia atrás y verificar el
resultado con la vida real.
En estos pasos se apoya el Proyecto Newton para el proceso de resolución de problemas,

considerando las siguientes fases:
Fase 1: Comprender, en este paso se busca y clasifica toda la información del problema. Para
ello se utilizan: datos, objetivos, relaciones y representaciones gráficas. En la acción formativa se le
explica al profesorado que lo importante de esta fase es que sus alumnos/as aprendan a sintetizar la
información, quedándose con lo esencial del problema.
Fase 2: Pensar, consiste en seleccionar estrategias. Estas son de tres tipos: Auxiliares, como la
simplificación y la analogía. Las básicas: modelización, organización de la información y ensayo y
error. Y las específicas: buscar patrones, eliminar, ir hacia atrás y generalizar. Estas estrategias son los
caminos que llevan a encontrar la solución.
Fase 3: Ejecutar las acciones, que las propias estrategias indican.
Fase 4: Responder, para ello, primero se comprueba, luego se analiza la solución y se elabora la
respuesta.
Estas cuatro fases son idénticas a las utilizadas por Polya o Schoenfeld, incluso por Guzmán
(2014) y otros profesores que han desarrollado métodos para la resolución de problemas. Sin embargo,
se presentan algunas diferencias que hacen el Proceso más cercano a los alumnos. Se incorpora un
grupo de estrategias extraídas de ideas procedentes del Shell Center for Mathematical Educaction y se
diferencian de las simples técnicas de trabajo utilizadas en otras propuestas. Se distingue así la
estrategia de organizar la información de las diversas técnicas que pueden ser utilizadas como parte
central de ella: la técnica partes-todo para problemas aritméticos, por ejemplo. Se remarca de manera
muy particular la primera fase del proceso, comprender, insistiendo en la idea de búsqueda de
información y su clasificación en datos, objetivo y relación, en especial de esta última, ya que su
conocimiento facilitará la elección de estrategia y la ejecución de la misma. Se insiste también en
asociar cada estrategia y cada técnica a una herramienta lógica. El aprendizaje de estas herramientas es
vital para el buen desarrollo del proceso.
Se establece una dinámica grupal para la resolución de los problemas en clase. Gran grupo en
los primeros aprendizajes, pasando después a pequeños grupos de trabajo colaborativo. El final del
aprendizaje del proceso se establece en el momento que los alumnos son capaces de atacar los
problemas de forma individual y manteniendo, sin embargo, las fases del proceso en los rastros que
deja en su cuaderno. El alumnado ha de expresar continuamente su pensamiento y justificar sus
decisiones. El profesor o la profesora escuchará atentamente y preguntará para que todos los
pensamientos de los alumnos salgan a flote. La última fase del proceso permite que cada equipo de
alumnos presente sus resultados y razonen sus argumentos resolutivos ante el resto de la clase, que
también participará de forma activa demandando respuestas a sus dudas o incomprensiones.

El Proyecto Newton también ofrece la posibilidad de aprender “acompañado”. Además de las

sesiones de formación, se realizan otras en el aula con la presencia activa del ponente y se estimula la
posibilidad de acompañarse ellos mismos en las sesiones habituales de trabajo de resolución de
problemas con los alumnos.
Aunque se da cada trimestre una batería de problemas que pueden utilizar con sus alumnos y
alumnas, se ofrece la posibilidad de estudiarlos y adaptarlos a las características de su alumnado y a
sus propios criterios. Los profesores y profesoras de un mismo centro o de centros cercanos deberán
reunirse con frecuencia para seleccionar los problemas a aplicar, resolverlos con diferentes estrategias
o adaptarlos, de manera que cuando se produzca su aplicación en la clase se tengan todas las
respuestas posibles a las dudas que nos puedan plantear los alumnos.
Además, el proyecto, se centra en la formación del profesorado, ya que en distintas

investigaciones se ha puesto de manifiesto que el factor más importante para asegurar aprendizajes
efectivos en el área de Matemáticas es la preparación de la clase por parte del profesor (Quintanilla,
Labarrere & Araya, 2000). La clase debe prepararse de modo que los estudiantes vayan construyendo
su propio conocimiento. El docente ha de actuar como orientador o guía. Es preciso que se motive y se
le proporcione al alumnado el material y los recursos necesarios para llegar al propósito esperado,
dejándoles la iniciativa a ellos.
En cuanto a los propósitos de esta investigación, por una parte, destacar que el objetivo general
consiste en evaluar el Proyecto Newton “Matemáticas para la vida” desde 3º a 6º de primaria en el
curso 2015-2016, ya que se ha evaluado durante los cuatro años anteriores (Consejo Escolar de
Canarias, 2015). Concretamente, se podrían agrupar los objetivos específicos en dos categorías:
Por un lado, los objetivos que coinciden con las evaluaciones anteriores de este proyecto
(Consejo Escolar de Canarias, 2015):
- Conocer la propuesta metodológica del proyecto.
- Analizar la satisfacción del profesorado con la acción formativa.
- Analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas del

alumnado.
Por otro lado, los nuevos objetivos que se incorporar en la presente evaluación:
- Analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas del

alumnado, dependiendo del tiempo que su profesorado lleve participando en el Proyecto.
- Analizar el impacto de la acción formativa en la adaptación escolar del alumnado.
2. Método
2.1. Participantes
El Proyecto Newton, para llevar a cabo la acción formativa, se divide en dos grupos de
formadores. Por un lado, seis imparten formación al profesorado de Infantil, 1º y 2º de Primaria. Esta
acción formativa se centra en el cálculo mental, el uso de materiales tangibles como regletas y el

fomento de competencias sociopersonales como la autonomía, la participación y la toma de

decisiones. Por otro lado, seis formadores se encargan de la acción formativa en la resolución de
problemas de los docentes desde 3º de Primaria a Secundaria. Concretamente, esta investigación se
centra en Educación Primaria (desde 3º a 6º).
Los centros que participan en el Proyecto, desde 3º a 6º de Primaria se encuentran en el nordeste

del Hierro y en las zonas del casco, del norte y del sur de Tenerife (Canarias, España).
Para llevar a cabo esta evaluación se toman los resultados de seis colegios. Estos, se distribuyen en
grupo experimental consolidado, casi-consolidado, nueva incorporación, y grupo control (ver tabla 1).
Grupo Frecuencia Porcentaje

Consolidado 76 17.4
Casi – consolidado 210 47.9
Nueva incorporación 63 14.4
Control 89 20.3
Total 438 100
Tabla 1. Frecuencia de los grupos participantes en la evaluación
En relación a la evaluación del Proyecto por parte del profesorado, participan 12 docentes, de
los cuales 10 son tutores y 2 no lo son (ver figura 1).
2.2. Acción formativa
En el proyecto se realizan acciones formativas a los docentes que imparten clases desde Infantil
a Secundaria. Concretamente nos centraremos en la acción formativa del profesorado de 3º a 6º de
Primaria.
Para conocer cómo se llevan a cabo las acciones formativas, partimos del Informe Ejecutivo
2012-2015 del Proyecto Newton, Matemáticas para la vida (Consejo Escolar de Canarias, 2015).

Además, se entrevista al formador principal, ya que es el que imparte mayor número de horas de
formación, y se realiza la observación de una sesión de formación.
La acción formativa consiste en una reunión mensual, es decir, tres reuniones por trimestre,
desarrolladas en horario de tarde con una duración aproximada de 3 horas, realizadas en un colegio
céntrico de la zona.
El material utilizado es, fundamentalmente, pizarra normal y/o digital, proyector y pantalla. En
algunas ocasiones, se utilizan recursos didácticos (regletas, geoplano, bloques lógicos) o materiales
reales para realizar modelizaciones.
La formación tiene como objeto el dominio práctico de los contenidos. Por ello, en estas
sesiones, por una parte, se plantea la tarea para realizar en el aula y se proporcionan los recursos
necesarios para ponerlas en prácticas. Además, se les pregunta si han resuelto los problemas en la
clase y se les anima a que comenten la dinámica llevada a cabo. Posteriormente, el formador invita a
identificar todas las alternativas posibles, haciendo especial hincapié en cómo debe orientar a su
alumnado en cada fase. Por otra parte, se aportan pautas al profesorado para buscar problemas
adecuados, adaptarlos a su grupo (nivel y edad de los alumnos), analizarlos y resolverlos. De este
modo, el profesorado podrá confeccionar una amplia batería de problemas, que tendrá a su
disposición. También se pone especial atención en la actitud del profesor. Este no debe dar respuestas,
sino incitar a su búsqueda. Debe estar atento al modo de trabajo de cada alumno y alumna,
interviniendo sólo cuando lo considere necesario para abrir un nuevo camino o para desatascar el ya
emprendido. Siempre estimulando, proponiendo nuevas preguntas que hagan avanzar el proceso,
dando positividad a todas las respuestas, pero pidiendo mayor concreción en la argumentación. Debe
preparar minuciosamente los problemas que va a presentar, no solo para conocer todas las respuestas
posibles y todos los caminos que conducen a ellas, sino también los posibles errores que se puedan
cometer y las vías que puede proponer para encarrilar el proceso.
Las sesiones formativas y el desarrollo de la actividad en el aula están apoyados por una
plataforma educativa Moodle, donde se resuelven las dudas y se ofertan nuevos problemas y
actividades para reforzar y evaluar el trabajo en el aula. Además, disponen de un curso preparatorio,
en el que se les facilitan vídeos de cómo llevar a cabo las fases y estrategias del proceso en el aula.
Una ventaja del Proyecto es que el profesorado va creciendo con el alumnado, ya que el primer
año, se imparten tres acciones formativas por trimestre. En cambio, en el segundo año, esta formación
es menos frecuente y el trabajo comienza a ser más autónomo. En el tercer año del proyecto esta
autonomía es aún más evidente, ya que la formación se hace una vez por trimestre, donde se les
facilitan 10 problemas por trimestre, graduando el nivel de dificultad a medida que avanza el curso.
Al profesorado se le pide que una vez a la semana dedique una sesión de Matemáticas a la
resolución de problemas, siguiendo la metodología trabajada en las acciones formativas. De este
modo, aunque no se trabaje en todas las sesiones de matemáticas la resolución de problemas, la
metodología del proyecto si se ve reflejada en el resto de sesiones, debido a que se desarrollan
habilidades, tales como, trabajo en equipo, participación, habilidades comunicativas, etc.
2.3. Evaluación de la acción formativa
Instrumentos
Las pruebas que se han empleado para obtener información sobre la valoración del profesorado,
los procesos de resolución de problemas y la adaptación escolar, son las siguientes:

Para la valoración del Proyecto por parte del profesorado que recibe la acción formativa se
emplea una escala tipo likert (1, muy bajo; 2, bajo; 3, alto; 4, muy alto), que recoge el grado de interés
y el aprovechamiento.
Para el registro de los Procesos en la Resolución de Problemas, a los alumnos se les presenta
un problema que deben resolver dejando el rastro de cómo han realizado el problema. Para ello se le
formulan preguntas como: ¿Cuáles son los datos que me dan? ¿Cuál de estas tres formas
(modelización, ensayo y error y organización de la información) crees que puede ayudarte para
resolver el problema? ¿Por qué has elegido esa forma?... Una vez realizados los ejercicios, se registra
la constatación o no (SI = 1; No = 0) tanto de los aspectos generales como de las fases de la resolución
de problemas (véase tablas 2 y 3).
Para la evaluación de la adaptación escolar se emplea el Test Autoevaluativo Multifactorial de

Adaptación Infantil (TAMAI) (Hernández, 1983). Dicha prueba consta de 175 proposiciones con las
que se evalúa la Inadaptación Personal, Social, Escolar, Familiar y Actitudes Educadoras de los
padres. Sin embargo, para la investigación solo se emplea la escala de adaptación escolar compuesta
por 20 items en negativo y 11 en positivo. Su estructura factorial queda conformada, por un lado, por
el factor de aversión a la instrucción (actitud y comportamiento negativo hacia el aprendizaje), que a
su vez integra a los subfactores: hipolaboriosidad (baja aplicación y rendimiento), hipomotivación
(baja motivación o interés por los contenidos escolares) y la aversión al profesorado (actitud negativa
hacia los profesores en general). Por otro lado, por el factor de indisciplina (mal comportamiento en
clase). En adelante, se citarán los diferentes factores utilizando el término equivalente en positivo:
adaptación escolar, actitud hacia la instrucción, laboriosidad, motivación, actitud hacia el profesorado
y disciplina. Sin bien, en la anotación numérica habrá de tener en cuenta que menor puntuación refleja
mejor adaptación.
Diseño
Para analizar la satisfacción del profesorado con la acción formativa se realiza un diseño
descriptivo.
Para analizar el impacto de la acción formativa en los procesos de resolución de problemas y en

la adaptación escolar del alumnado, se lleva a cabo un estudio transversal, ya que la valoración se hace
en un único momento temporal. El diseño es cuasiexperimental, debido a que no se asignan
aleatoriamente los participantes a las condiciones experimentales (Montero & León, 2007). Se han
considerado tres grupos experimentales: consolidado (alumnado cuyo profesorado lleva cuatro años
implicado en el proyecto), casi-consolidado (dos o tres años) y nueva incorporación (se incorporó en el
presente curso). Se realiza un contraste entre los diferentes grupos experimentales, además de con un
grupo control, donde no se ha llevado a cabo la acción formativa. Dichos análisis se realizan tanto en
la evaluación de los procesos de resolución de problemas como en la autovaloración de la adaptación
escolar. Por lo tanto, la variable independiente es el grupo al que se pertenece (consolidado, casi-
consolidado, nueva incorporación y control). Las variables dependientes son en cuanto al proceso de
resolución de problemas: aspectos generales, comprender, pensar, ejecutar, responder y total de los
procesos. En cuanto a la adaptación escolar: actitud hacia la instrucción, laboriosidad, motivación,
actitud hacia el profesorado, disciplina y adaptación escolar.
Procedimiento
La cumplimentación de las pruebas por el alumnado se realizó en tres semanas desde el 25 de

abril hasta el 9 de mayo. Para ello, se le pidió colaboración al profesorado para realizar el paso de las
mismas en unas condiciones óptimas. Primero, se separaron las mesas, a continuación, se les explicó

en qué consistía la tarea: en primer lugar, resolver un problema y, en segundo lugar, responder al
cuestionario sobre su actitud hacia la escuela.
Al profesorado se le solicitó que cumplimentase el cuestionario en la última sesión de

formación.
Análisis de datos
Para analizar la valuación del profesorado se realiza un análisis de frecuencias de las variables
interés y aprovechamiento.
Para analizar el efecto de la acción formativa en el alumnado se realiza un Análisis de Varianzas

(ANOVA) entre los grupos experimentales y el grupo control, tanto en las variables de procesos de
resolución de problemas como de adaptación escolar.
Todos los análisis se llevan a cabo con el programa estadístico SPSS22.
3. Resultados
3.1. Valoración del profesorado
El 100 por ciento del profesorado valora como alto (50 %) o muy alto (50 %) el grado de interés
de la acción formativa. En el nivel de aprovechamiento se observan los siguientes porcentajes, 50%
alto, 25% muy alto y 25% bajo (ver figura 2).
3.2. Efecto de la acción formativa en el alumnado
Procesos implicados en la resolución de problemas
En cuanto al análisis de los procesos de resolución de problemas, se pueden apreciar diferencias

significativas entre los grupos en todos los procesos (ver tabla 2 y figura 3). Al observar las medias se
comprueba que se da un desarrollo gradual, es decir, la consolidación de los procesos en el alumnado
aumenta a medida que el profesorado lleva más tiempo implicado en la acción formativa.

En relación al total de procesos, se aprecian diferencias significativas (p < .001) respecto al

grupo control en el grupo experimental consolidado y en el experimental casi-consolidado. Además,
hay diferencias entre el experimental casi-consolidado y el experimental consolidado F (3) = 28.842 p
≤ .019. En cambio, esta discrepancia no es tan destacada entre el grupo de nueva incorporación y el
control.
En cuanto a los aspectos generales, resaltar que hay diferencias significativas entre los grupos,
como se puede apreciar al observar las medias. Las principales discrepancias se observan en el grupo
control F (3) = 24.231p ≤ .000, en relación con el consolidado y el casi-consolidado (ver tabla 3). Sin
embargo, no se encuentran diferencias significativas en este proceso entre el grupo control y el
experimental de nueva incorporación F (3) = 24.231p ≥ .105
Respecto a la fase de comprender, hay diferencias significativas entre los grupos (p < .001).
Resaltar que las diferencias entre el experimental consolidado y el casi-consolidado, solo se dan en la
estrategia “define bien la relación”, la cual también es diferente en el control F (3) = 19.964 p ≤ .000.
El grupo control además se diferencia del consolidado y el casi-consolidado en el resto de variables F
(3) = 28.174 p ≤ .000.
En relación a la fase de pensar, se aprecian diferencias menores que en el resto de procesos F (3)
= 2.941 p ≤ .033 Sin embargo las discrepancias siguen la misma dirección, puntuando el grupo
consolidado mayor que el control. Estas diferencias solo se establecen entre el grupo control y el
experimental consolidado F (3) = 2.941 p ≤ .011
También, existen diferencias significativas entre los grupos respecto a la fase de ejecutar. En las
variables “diseña un diagrama adecuado a la estrategia”, “es correcto”, “sabe utilizarlo” se establecen
discrepancias entre el grupo experimental consolidado y los otros tres grupos, siendo las tres
significativas. En esta fase tampoco hay diferencias significativas entre el grupo control y el
experimental de nueva incorporación.
En cuanto a la fase de resultados, el desajuste se produce en el grupo control y el experimental

de nueva incorporación respecto al experimental consolidado, en ambos casos F (3) = 28.842 p ≤ .000
Así mismo, resaltar que al comparar el grupo control y el experimental de nueva incorporación no se
establecen diferencias F (3) = 28.842 p ≥ .989.
Casi- Nueva Significación

Fase Consolidado Control
Consolidado incorporación General Múltiple
Aspectos .61 .61 .43 .34 (1) .000***
.000***
generales DT (.29) (.28) (.28) (.27) (2) .000***
.54 .44 .31 .21 (1) .000***
Comprender .000*** (2) .000***
DT (.24) (.27) (.25) (.24) (3) .038*
.37 .27 .30 .17
Pensar .033*
DT (.49) (.44) (.46) (.38)
.66 .55 .44 .33 (1) .000***
Ejecutar .000***
DT (.27) (.24) (.29) (.26) (2) .000***
.45 .40 .22 .23 (1) .000***
Responder .000***
DT (.32) (.30) (.24) (.22) (2) .000***
.57 .50 .36 .32 (1) .000***
Total .000***
DT (.21) (.19) (.23) (.19) (2) .000***
p ≤ .05 (*), p ≤ .01 (**), p ≤ .001 (***)
Significación múltiple: (1) Consolidado vs. control; (2) Casi-consolidado vs. control; (3) Nueva incorporación vs. control
Tabla 2. Media de los procesos de resolución de problemas

1
La tabla recoge los siguientes valores estadísticos: Media ( ), valor obtenido al sumar todos los resultados y
dividir entre el número total de alumnos; Desviación Típica (DT), medida del grado de dispersión de los datos
con respecto a la media; Significación (p), cuanto menor sea su valor, más fuerte será la evidencia de que la
diferencia no se debe a una mera coincidencia.
-------------------------------------------------
colocar tabla 3 aproximadamente aquí
-------------------------------------------------
Escala de adaptación escolar
Se registran diferencias significativas en todos los factores de adaptación escolar, excepto en la

actitud hacia el profesor y la motivación. Aunque en este último sí se registra una tendencia en la
misma dirección que en el resto de factores (ver tabla 4 y figura 4). Concretamente en la puntuación
global de adaptación escolar se observan diferencias significativas del grupo control en relación al
consolidado y al casi-consolidado, en ambos casos F (3) = 7.962 p ≤ .01. Además, no se dan
diferencias entre estos dos grupos F (3) = 7.962 p ≥ .945.
Respecto a la actitud hacia la instrucción, se dan discrepancias significativas entre los grupos.
Concretamente se establecen diferencias entre el grupo control y el grupo experimental consolidado F
(3) = 5.834 p ≤ .008. Dicha diferencia también se da entre el grupo control y el casi-consolidado F (3)
= 5.834 p ≤ .008. Por el contrario, no hay discrepancias entre el control y el de nueva incorporación F
(3) = 5.834 p ≥ .997.
En cuanto al factor de laboriosidad también se registran diferencias significativas entre los

grupos F (3) = 9.922 p ≤ .000. Destaca la discrepancia que se establece entre el grupo experimental
consolidado y el casi-consolidado respecto al control.

En relación a la motivación por la escuela no hay diferencias significativas. No obstante, se

observa una tendencia en la misma dirección que los factores anteriores.
Respecto a la actitud hacia el profesorado, es la única variable en la que no existen diferencias

significativas, ni tendencia, entre los grupos.
En cuanto a la disciplina se puede observar, que existen diferencias significativas entre los
grupos en este factor. Esta discrepancia se da en el grupo experimental de nueva incorporación (p <
.001) y el control (p < .001) en relación con el grupo experimental consolidado. (p<.001) Esto también
se produce entre el grupo casi-consolidado y el control.

ADAPTACIÓN 3.03 3.31 5.65 5.48 (1) .002**
.000***
ESCOLAR DT (4.08) (3.45) (4.91) (5.64) (2) .002**
Actitud hacia la 2.49 2.70 4.30 4.20 (1) .008**
.001**
instrucción DT (3.35) (2.96) (3.92) (4.40) (2) .008**
.57 .68 1.33 1.56 (1) .000***
Laboriosidad .000***
DT (1.07) (1.12) (1.69) (1.86) (2) .000***
1.60 1.72 1.72 2.22
Motivación .062
DT (2.04) (2.14) (2.14) (2.39)
Actitud hacia el .32 .30 .35 .42
.327
profesorado DT (.84) (.65) (.91) (1.04)
.53 .62 1.35 1.28 (1) .001***
Disciplina .000***
DT (.98) (1.08) (1.65) (1.70) (2) .001***
p ≤ .05 (*), p ≤ .01 (**), p ≤ .001 (***)
Tabla 4. Medias y desviaciones típicas de cada grupo en cada factor de adaptación escolar.
Figura 4. Medidas de la adaptación escolar

4. Discusión y conclusiones
Los resultados confirman la eficacia de la acción formativa implementada en el “Proyecto

Newton. Matemáticas para la Vida”. Se constata una valoración positiva sobre el interés y la utilidad
que ésta ha despertado en el profesorado formado. Además, se aprecian mejoras significativas en los
procesos de resolución de problemas y en la adaptación escolar de su alumnado. Mejoras que se
incrementan a medida que el profesorado lleva más tiempo implicado con el Proyecto.
Concretamente, en cuanto a la valoración de la acción formativa por el profesorado destaca el

alto consenso en considerar ésta con un alto o muy alto nivel de interés y aprovechamiento, lo cual
ratifica los resultados obtenidos en evaluaciones anteriores (Consejo Escolar de Canarias, 2015). Cabe
hacer una distinción entre el interés y el aprovechamiento. El 100% del profesorado indica que la
acción formativa le ha despertado un interés entre alto o muy alto. Sin embargo, la cifra se reduce al
75% del profesorado que estima el aprovechamiento como alto o muy alto. En este sentido, hay que
precisar que este 25% que puntúa como bajo son profesores no tutores, los cuales tienen menos
oportunidad de llevarlo a la práctica.
En cuanto a la evaluación del efecto de la acción formativa en el alumnado, se constata que éste
realiza más adecuadamente los procesos de resolución de problemas a medida que su profesorado
lleva más tiempo implicado con el Proyecto. Las diferencias son especialmente significativas a favor
del alumnado cuyo profesorado lleva más de un curso académico implicado en el mismo.
Como datos especialmente llamativos, destaquemos que cerca del 60 por ciento de los alumnos
y alumnas, cuyo profesorado lleva más de un curso académico en el Proyecto, encuentran la respuesta
correcta. En el grupo de nueva incorporación menos, el 25 por ciento. Y en el grupo control, solo el 18
por ciento. Sin embargo, solo el 38 por ciento del grupo consolidado, el 36 por ciento del casi-
consolidado, el 25 por ciento del de nueva incorporación y, tan solo, el 12 por ciento del control logra
expresar por escrito de forma clara, coherente y secuenciada las justificaciones de sus decisiones.
Estos resultados mantienen cierta consonancia con los obtenidos en otros estudios (Hegarty, Mayer &
Monk, 1995; Nesher & Teubal, 1975; Verschaffel, De Corte & Pauwels, 1992) donde se observa que
muchos alumnos y alumnas presentan dificultades para resolver problemas, a pesar de no presentar
dificultades para ejecutar las operaciones aritméticas implicadas en él. O con el estudio de Vicente,
Dooren & Verschaffel (2008) que resalta la dificultad del alumno en la comprensión del problema, ya
que una vez han elegido la operación a realizar, tienden a aplicarla automáticamente y el resultado
obtenido entienden que es la respuesta al problema, sin verificar que tiene sentido en relación a la
pregunta del problema.
Los alumnos del grupo control tienen un cierto conocimiento de la resolución de problemas
tradicional. Esto explica que alcancen niveles adecuados en la mayoría de las estrategias de ejecución.
Este grupo selecciona bien algunos elementos, aunque luego no los utilizan o no saben explicar por
qué hicieron esa elección. Lo que les diferencia de los alumnos del Proyecto reside más en las
justificaciones que estos sí hacen y la búsqueda de diagramas apropiados que tampoco realizan.
En cuanto a la adaptación escolar, también se constata una autopercepción del alumnado de

mejor adaptación a medida que su profesorado lleva más tiempo implicado con el Proyecto. Esto se
observa, particularmente, en que este alumnado estima que su aplicación hacia el estudio, su
rendimiento y su comportamiento en clase es mejor. De nuevo, las diferencias son especialmente
significativas a favor del alumnado cuyo profesorado lleva más de un curso académico implicado en el
mismo. Estos datos podrían corroborar las conclusiones a las que llega Entwistle (1998), en las que
expone que el aprendizaje significativo requiere de una actividad cognitiva compleja para elegir los
esquemas de conocimiento previos convenientes, aplicarlos a la nueva situación, revisarlos y

modificarlos, acceder a su reestructuración, evaluarlo, etc. Para llevar a cabo este aprendizaje, el
alumno debe estar motivado porque, aunque es más útil y gratificante, requiere de mayor esfuerzo y
que en ocasiones las experiencias educativas previas de los alumnos les han enseñado que resulta
suficiente un aprendizaje superficial.
El argumento anterior, podría condensar en cierta medida algunas de las principales

conclusiones de nuestra investigación. Efectivamente, el “Proyecto Newton. Matemáticas para la
vida” hace hincapié en el aprendizaje significativo, el cual necesita un tiempo para consolidarse, pero
tras él, los resultados parecen avalar avances importantes en la capacidad de resolución de problemas,
al tiempo que una actitud más favorable hacia el aprendizaje, en nuestros alumnos y alumnas.
Con los alumnos del Proyecto Newton se realiza en muy poco tiempo y de forma muy sutil, un
cambio en la manera de afrontar el resto de aprendizajes de la clase de matemáticas. Poco a poco va
incorporando a su hacer diario muchas de las técnicas que practica en la resolución de problemas,
convirtiéndose en un alumno más interesado, más investigador y más crítico con su propio
aprendizaje. El profesorado también observa con agrado que sus alumnos y alumnas quieren “más
matemáticas” y “más tareas del tipo Proyecto Newton” porque le resultan interesantes las tareas
repetitivas.
Reconocimiento
El presente estudio se realiza en el marco del Acuerdo de Colaboración del Consejo Escolar de
Canarias con la Universidad de La Laguna. Se agradece la participación y disponibilidad del
profesorado, alumnado y Centros, tanto los implicados en el Proyecto como el grupo control o de
contraste.
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Atteneri López García. Graduada en Psicología en la Universidad de La Laguna, Campus de Guajara,

s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife.
Dirección electrónica: atteneri-07@hotmail.com

Ramón Aciego de Mendoza Lugo. Profesor Titular de Psicología Evolutiva y de la Educación,

Universidad de La Laguna, Campus de Guajara, s/n. 38205 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Entre sus
temas de investigación, actualmente centra su atención en: Resolución de problemas matemáticos:
procesos psicológicos e implicaciones instruccionales; Ajedrez como recurso educativo; Estrategias y
programas para el crecimiento personal y desarrollo de valores en adolescentes.
Dirección electrónica: raciego@ull.es
Manuel García-Déniz. Maestro de Primera Enseñanza, especialista en matemáticas y formador de

formadores. E-mail: mgarciadeniz@gmail.com. Tfno.: 922923148. Consejo Escolar de Canarias, C/
Consistorio, 20. 38201 La Laguna, Santa Cruz de Tenerife. Fax: 922923159. Ha sido Secretario General
de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas “Isaac Newton” y Vicepresidente de la Asociación
Europea de Enseñantes (AEDE-Sección Canaria). Autor de dos secciones fijas en la revista Números
sobre resolución de problemas, uso didáctico del juego y didáctica de la geometría
Domingo García-Quintero. Maestro, licenciado en Pedagogía e Inspector de Educación.

Dirección electrónica: dgarquiy@gmail.com
Eladio Ramos. Doctor en Psicología, coordinador técnico educativo del Consejo Escolar de Canarias y
profesor de la UNED. Ha impartido docencia en la Universidad, en Primaria y en Adultos y ha sido
orientador en distritos educativos de Tenerife. Su formación y experiencia como docente e investigador se
ha centrado en inteligencia emocional, clima escolar, competencias, convivencia, educación en valores y
atención a la diversidad cultural.
Dirección electrónica: eladio@consejoescolardecanarias.org
ANEXO

ASPECTOS .61 .61 .43 .34 (1) .000***
.000***
GENERALES DT (.29) (.28) (.28) (.27) (2) .000***
Cumplimenta los
.89 .88 .69 .72
cuatro pasos del (1) .006**
.003**
proceso en el (2) .002**
DT (.309) (.330) (.408) (.452)
orden correcto.
Encuentra la .57 .59 .25 .18 (1) .000***
.000***
respuesta correcta DT (.499) (.494) (.439) (.386) (2) .000***
Expresa por
escrito de forma .38 .36 .25 .12
clara coherente y (1) .001***
.000***
secuenciada, las (2) .000***
justificaciones de DT (.489) (.482) (.439) (.331)
sus decisiones
.54 .44 .31 .21 (1) .000***
COMPRENDER .000*** (2) .000***
DT (.24) (.27) (.25) (.24) (3) .038*
Localiza y .80 .79 .63 .39 (1) .000***
clasifica los datos .000*** (2) .000***
y el objetivo DT (.401) (.408) (.485) .491 (3) .002**
Define bien la .09 .20 .06 .02 (2) .000***
.000***
relación DT (.291) (.397) (.246) (.149)
Indica ya algún .71 .34 .24 .21 .000*** (1) .000***

tipo de diagrama DT (.457) (.474) (.429) (.412)

.37 .27 .30 .17
PENSAR .033*
DT (.49) (.44) (.46) (.38)
Justifica .37 .27 .30 .17
adecuadamente su .033*
estrategia DT (.486) (.443) (.463) (.376)
.66 .55 .44 .33 (1) .000***
EJECUTAR .000***
DT (.27) (.24) (.29) (.26) (2) .000***
Diseña un
.34 .10 .13 .07
diagrama
.000*** (1) .000***
adecuado a la
(.478) (.301) (.336) (.252)
estrategia
.49 .26 .16 .13 (1) .000***
Es correcto .000***
DT (.503) (.441) (.368) (.343) (2) .049*
.53 .30 .19 .17 (1) .000***
Sabe utilizarlo .000***
DT (.503) (.461) (.396) (.376) (2) .042*
Utiliza
.72 .86 .62 .72
conocimientos
.000*** (2) .023*
matemáticos
DT (.450) (.351) (.490) (.452)
adecuadamente
.92 .89 .81 .73 (1) .002**
Es organizado .001***
DT (.271) (.313) (.396) (.446) (2) .001***
Llega a una .95 .90 .71 .73 (1) .000***
.000***
solución DT (.225) (.294) (.455) (.446) (2) .000***
.45 .40 .22 .23 (1) .000***
RESPONDER .000***
DT (.32) (.30) (.24) (.22) (2) .000***
Comprueba la .20 .10 .05 .00 (1) .000***
.000***
solución DT (.401) (.307) (.215) (.000) (2) .01**
Hace un análisis .43 .40 .21 .31
de la solución con
.014*
respecto al
contexto DT (.499) (.491) (.408) (.467)
Elabora la .71 .69 .40 .37 (1) .000***

.000***
respuesta DT (.457) (.465) (.493) (.486) (2) .000***
p ≤ 0.05 (*), p ≤ 0.01 (**), p ≤ 0.001 (***)
Tabla 5. Media de los procesos de resolución de problemas

ISSN: 1887-1984
Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo:

Análisis de una práctica educativa de aula
María Luisa Novo (Universidad de Valladolid. España)
Ainhoa Berciano (Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. España)
Ángel Alsina (Universidad de Girona. España)

Fecha de aceptación: 02 de mayo de 2017
Resumen En este artículo se analizan las características de una actividad diseñada desde la
perspectiva del conexionismo y su nivel de eficacia para desarrollar el pensamiento
matemático de los niños de las primeras edades. Desde este enfoque, se sustituye un
desarrollo lineal de los contenidos por un desarrollo global, de manera que en una misma
actividad se trabajan varios conceptos a la vez. Para realizar el análisis se presenta una
práctica docente realizada con 23 alumnos de 3 años. El análisis realizado ha permitido
observar la presencia de conexiones conceptuales (entre conceptos), prácticas (con la
vida cotidiana) y docentes (con otras disciplinas). Se concluye que la
enseñanza‐aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil desde la perspectiva del
conexionismo contribuye a la comprensión profunda del conocimiento.
Palabras clave Educación matemática, práctica educativa, Educación Infantil, Conexionismo.
Title Early Childhood Education from the perspective of connectionism education.

Analysis of an educational practice classroom.
Abstract This article describes the characteristics of an activity designed from the perspective of
connectionism and its effectiveness to develop children’s mathematical thinking at the
earliest ages. From this perspective, a linear development of contents is substituted by a
global development, so that in the same activity several concepts appear at once. For the
analysis, a teaching practice carried out with 23 students of three years is presented. The
analysis allowed to observe the presence of conceptual connections (between concepts),
practical connections (with daily life) and teaching connections (with other disciplines).
We conclude that the teaching and learning of mathematics in early childhood education
from the perspective of connectionism contributes to deeper understanding of knowledge.
Keywords Mathematics education, educational practice, Early Childhood Education,

Connectionism.
1. Introducción
En la etapa de Educación Infantil los niños deberían interpretar el conocimiento como un todo y
no como disciplinas desconectadas unas de otras. El currículum español vigente refuerza esta idea de
enseñanza fundamentada en las conexiones entre los distintos contenidos:

Educación matemática infantil desde la perspectiva del conexionismo: Análisis de una práctica
educativa de aula
“Los contenidos de una área adquieren sentido desde la complementariedad con el resto
de las áreas, y tendrán que interpretarse en las propuestas didácticas desde la globalidad
de la acción y de los aprendizajes. Así, por ejemplo, el entorno no puede ser comprendido
sin la utilización de los diferentes lenguajes y del mismo modo, la realización de
desplazamientos orientados tiene que hacerse desde el conocimiento del propio cuerpo y
de su ubicación espacial” (ORDEN ECI/3960/2007, de 19 de diciembre, p. 1023).
Peña, Novo, Delgado y Marqués (2015) presentan un trabajo desde este enfoque en el que se
escoge la ciudad como un contexto de aprendizaje para integrar muchos contenidos y construir
conexiones desde las ciencias experimentales, la educación artística y las matemáticas, realizando
distintas “miradas” a una realidad que les resulta familiar.
En el ámbito de la educación matemática infantil, diversos autores han señalado la necesidad de

aprender matemáticas de forma globalizada a partir de contextos significativos para los niños de las
primeras edades: explorando el entorno, jugando, tocando, cantando, contando cuentos, haciendo
dramatizaciones, etc. para ir descubriendo progresivamente el espacio, los números, las medidas…
(Saá, 2002; Alsina, 2011; Marín, 2013; entre otros). De esta forma, los niños llegan a apreciar las
matemáticas porque las observan en su alrededor, las practican, juegan con ellas, permitiendo que en
la escuela se aprenda lo que los niños saben de modo intuitivo y adquieran nuevos conocimientos a
través de actividades matemáticas más eficaces.
Este planteamiento metodológico implica que el pensamiento matemático no se asocie a un

conocimiento ajeno a la realidad; sino que se considere como una capacidad del ser humano para
tomar decisiones según ciertas reglas y métodos estructurados y así poder adaptarse a un entorno que
cambia continuamente. Para tal fin, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados
Unidos (NCTM, 2000) propone trabajar los contenidos matemáticos a través de los procesos
matemáticos de resolución de problemas, razonamiento y prueba, comunicación, conexiones y
representación, que deben formar parte de la educación integral de los niños. En relación a las
conexiones, se subraya que:
Los programas de enseñanza de todas las etapas deberían capacitar a los estudiantes para:
reconocer y usar las conexiones entre ideas matemáticas; comprender cómo las ideas matemáticas
se interconectan y construyen unas sobre otras para producir un todo coherente; reconocer y
aplicar las matemáticas en contextos no matemáticos. (NCTM, p.68).
En este sentido, parece necesario sustituir prácticas docentes tradicionales que son poco
beneficiosas para fomentar el aprendizaje considerando las conexiones. Los Principios para la Acción
(NCTM, 2015 pp.2-3) se hacen cargo e identifican esas prácticas obsoletas, destacando que, en
muchas ocasiones, “el foco está puesto en el aprendizaje de procedimientos sin ninguna conexión con
el significado, comprensión o las aplicaciones que requieren esos procedimientos”.
Desde la Educación Matemática Realista (EMR) se preconiza también la visión de la enseñanza

de las matemáticas centrada en las conexiones. Por esta razón, Freudenthal (1991) plantea que uno de
los seis principios de la EMR es, precisamente, el principio de interconexión. Dicho principio subraya
la necesidad de considerar las relaciones que existen entre los diferentes bloques de contenido
matemático (números, geometría, medida…), en lugar de interpretarlos de forma aislada.
Considerando los fundamentos anteriores, el objetivo de este trabajo es presentar una actividad
que ha sido diseñada desde la perspectiva del conexionismo. De forma más concreta, se establecen las
características que debe tener una actividad diseñada desde esta perspectiva y se analiza su eficacia
para desarrollar el pensamiento matemático de los niños de las primeras edades.

educativa de aula
2. Un acercamiento al Conexionismo
A lo largo de la historia han surgido distintos modelos de aprendizaje, teorías que brindan
marcos de referencia para dar sentido a las observaciones ambientales, que sirven como puente entre la
investigación y la realidad educativa. Cada modelo tiene sus características y su explicación para los
distintos procesos que ayudan a aprender al ser humano, y que se han aplicado y se aplican en el
ámbito educativo. Para cualquier profesional que se dedique a la educación, y en concreto a la
educación matemática, es evidente que puede desarrollar mejor su trabajo si es consciente de los
distintos marcos de aprendizaje.
En este artículo se asume, como marco de aprendizaje, el conexionismo, que puede situarse
como un nuevo puente entre las llamadas ciencias cognitivas y las neurociencias (Caño y Luque,
1995). En la Figura 1 se puede percibir que existen características que comparten el conexionismo y el
cognitivismo y también se muestra en qué se diferencian.
Figura 1. Semejanzas y diferencias entre conexionismo y cognitivismo (Novo, 2015, p.85)
La diferencia más importante entre el conexionismo y el cognitivismo es que en el

conexionismo se deja de lado un procesamiento lineal de la información percibida (propio del
cognitivismo) y se sustituye por procesamientos múltiples, destacando la importancia de las relaciones
entre los elementos percibidos. Este procesamiento múltiple lleva a percibir la adquisición del
conocimiento como una red neuronal interconectada, en la que cada conexión se podría concebir como
un canal con varias direcciones. Según Crespo (2007) las entradas y las iteraciones que sean necesarias
producirán diferentes salidas, lo que permite restablecer progresivamente las relaciones conceptuales.
Los procesos que suelen aparecer en los modelos conexionistas, siguiendo a McLeod, PlunKeett
y Rolls, (1998), son cinco:
1. Las neuronas se entienden como elementos interconectados cuya información se distribuye en

paralelo. Admiten variaciones de los datos recibidos e interactúan con las demás neuronas.

educativa de aula
2. Las neuronas son las encargadas de transmitir los datos de unas a otras para conseguir ofrecer
un resultado que surge de la serie de “entradas” recibidas. Algo parecido sucede en las redes
conexionistas: se pone en marcha un estado de activación en las unidades de procesamiento como
resultado de las percepciones recibidas que se va a propagar, posteriormente, a otras unidades. La base
del conocimiento está en esa masa cambiante de conexiones (Canseco, 2007).
3. El cerebro está organizado en diversas capas. Las neuronas están distribuidas en estratos
independientes. Las informaciones recibidas se van transmitiendo de una capa a la siguiente y entre
varias. La estructura de las redes conexionistas suele reflejar esta misma organización.
4. La fuerza de conexión de las neuronas es variable. Según el peso y la fuerza de conexión de

las neuronas así serán los cambios producidos, las relaciones entre las distintas neuronas han de ser
eficaces para obtener un potencial de acción que se siga propagando. En las redes conexionistas existe
una relación multiplicativa entre la respuesta de salida de una unidad emisora y la fuerza de conexión
entre las unidades emisora y receptora.
5. La fuerza de conexión provoca el aprendizaje. Las neuronas reciben continuamente estímulos

del exterior que se van procesando y modificando. Los cambios que se van produciendo son la base de
la memoria y el aprendizaje. En las redes conexionistas, el aprendizaje consiste en cambios de los
pesos de las conexiones entre las unidades. Estos cambios se producen a causa de las diversas
percepciones, que siguiendo determinados mecanismos producen las distintas respuestas.
Según Cobos (2005), la conclusión es que la información recibida se codifica a través de las
neuronas de forma distribuida, ya que se necesitan varias neuronas para que seamos capaces de
representar un objeto. Además, esas neuronas sirven para formar parte de la representación de otros
objetos. De alguna manera, todas las redes conexionistas funcionan de forma similar ya que su
arquitectura consiste en el modo en que sus unidades actúan y en la estructura que presenta la red.
Siemens (2004), por otra parte, menciona que la capacidad de conectar, asociar y recrear son las
señas de identidad del conexionismo. Además, el aprendizaje se concibe como un procedimiento para
conectar diversas informaciones. La facultad de seguir aprendiendo es más importante que lo que ya se
domina y es necesario impulsar las conexiones para favorecer el aprendizaje duradero. La competencia
para percibir las conexiones entre diversos ámbitos, ideas y conceptos es primordial.
El resultado más importante en el conexionismo es, pues, la manera de procesar la información,

destacando la importancia de las conexiones entre los objetos observados que crean una red neuronal
interconectada. Así, a pesar de que no se puede trabajar directamente con las neuronas desde la
enseñanza experimental, se puede tomar el modelo conexionista como inspiración en el análisis del
aprendizaje de los conceptos matemáticos en Educación Infantil y como modelo de enseñanza. En este
sentido, Devlin (2002) señala que las matemáticas tienen todavía que abrir muchas “puertas”. Para este
autor, casi todos los aspectos de nuestra vida de alguna manera están conectados con ellas, ya que sus
distintos niveles de abstracción son la esencia primaria del pensamiento, de la comunicación, del
cálculo, de la sociedad y de la vida.
3. Conexionismo y educación matemática infantil
Novo (2015), en el marco de una tesis doctoral que analiza los procesos de enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas en educación infantil desde la perspectiva del conexionismo, considera
diversos aspectos para poder llevar a cabo prácticas matemáticas desde esta perspectiva. Para esta

educativa de aula
autora, la integración neuronal en paralelo sugiere que la manera en la que han de trabajar los niños al
realizar sus actividades no es secuencial, sino que, para ser capaces de evocar los conceptos
matemáticos, necesitan trabajarlos de distintas maneras (tocando los materiales, viéndolos,
oyéndolos,…), pero no aisladamente, sino de forma conectada.
Desde este punto de vista, las percepciones son fundamentales: del mundo exterior llegan
diferentes estímulos (visuales, sonoros, táctiles, olfativos,…) que son fundamentales para atraer la
atención del niño y que no siempre se interpretan de la misma manera. El aprendizaje juega un papel
muy importante en la interpretación que se da a esas sensaciones. Lovell (1999, pp. 25-26) señaló que:
“los conceptos parecen proceder de las percepciones, del contacto real con objetos y situaciones
vitales, de experiencias sufridas y de distintas clases de acciones realizadas.”
Desde la perspectiva del conexionismo, pues, así como las informaciones de las capas
cerebrales van transmitiéndose de una capa a la siguiente, los conceptos matemáticos se sustentan unos
sobre otros pasando, poco a poco, de los más sencillos a los más complicados, en la línea de las
jerarquías de aprendizaje que en su momento planteó Gagné (1970), o las trayectorias de aprendizaje
que sugieren Sarama y Clemens (2009). En este sentido, según Rumelhart y McClelland (1992, p.
304) “cada huella de memoria está distribuida en muchas conexiones diferentes y cada conexión
interviene en muchas huellas de conexión distintas”.
Desde este marco, los conceptos matemáticos, acciones o relaciones entre objetos matemáticos
y cotidianos se conciben como pequeñas “unidades de aprendizaje” denominadas “neuronas” que
adquiere el niño en su día a día. A este respecto, es importante aclarar que las “neuronas” no han de
entenderse como elementos aislados, sino que están dotadas de la plasticidad suficiente para
evolucionar gracias a interactuar con otras según la fase de aprendizaje en la que nos encontremos. A
modo de ejemplo, si como “unidad de aprendizaje” consideramos el conteo, es claro que su tamaño,
pensado como “neurona”, aumentará según el niño vaya aprendiendo una cantidad mayor de números.
Igualmente, la adquisición de información nueva dentro de la “unidad de aprendizaje conteo”
proporciona al niño una serie de estrategias y habilidades que hasta ahora no poseía, dando lugar a
conexiones nuevas, tanto a la hora de identificar colecciones, como representaciones simbólicas del
cardinal de los mismos o realizar primeras tareas de ordenación o correspondencia término a término
entre colecciones.
Así, pues, el enfoque del conexionismo recuerda a un planteamiento más bien categórico de las
matemáticas en el que el niño va creando relaciones más profundas a través de la interiorización de
propiedades intrínsecas a los objetos matemáticos, que a su vez hacen que algunos de ellos tengan un
mayor “peso” en esta macro-estructura e incite a plantear nuevas preguntas que ayuden al niño a
avanzar en su aprendizaje, siempre desde el enfoque de la experimentación con el entorno que le
rodea, haciendo uso de todos sus sentidos y partiendo de su interés y curiosidad.
Desde este enfoque, surgen diversos interrogantes: ¿qué aspectos deberían considerarse para
planificar y gestionar prácticas de enseñanza de las matemáticas en las primeras edades desde el
conexionismo?; ¿todos los contextos de enseñanza-aprendizaje favorecen la creación de redes
neuronales interconectadas que contribuyan, en última instancia, a una mayor comprensión del
conocimiento matemático?; ¿qué beneficios conlleva este planteamiento respecto a los métodos de
enseñanza más habituales en las aulas?, entre otros.
Para poder dar respuesta a estos interrogantes, el conexionismo recomienda el establecimiento

de relaciones diversas que favorecen la actividad neuronal. Hay determinadas prácticas matemáticas
que contribuyen en mayor medida que otras al aprendizaje de forma conectada, por lo tanto, es

educativa de aula
necesario considerar los diferentes tipos de estímulos que interactúan en la adquisición de los
conceptos. Ya se ha comentado en un principio la necesidad de interpretar el conocimiento como un
todo y no como disciplinas desconectadas unas de otras. Así, pues, para llegar a conseguir mejores
frutos en el desarrollo del pensamiento matemático desde las primeras edades, el NCTM (2000, p.
136) sugiere que “la conexión más importante en los primeros aprendizajes matemáticos es la
existente entre las matemáticas, intuitivas, informales, que los niños han aprendido a través de sus
experiencias y las que están aprendiendo en la escuela”, otorgando un papel protagonista a los
conocimientos previos que los niños adquieren en el marco de experiencias informales (en su vida
cotidiana, jugando, cantando, etc.). Junto con este planteamiento, también sugieren que “los niños
conectan frecuentemente ideas matemáticas nuevas con las anteriores, mediante el uso de objetos
concretos” (NCTM, 2000, p. 136).
A partir de estas ideas, Alsina (2011, 2012) plantea distintos tipos de conexiones y diversos
contextos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil. En concreto, este autor
propone dos grandes tipos de conexiones: a) las conexiones entre los diferentes bloques de contenido
matemático y entre los contenidos y los procesos matemáticos (conexiones intradisciplinares); b) las
conexiones de las matemáticas con otras áreas de conocimiento y con el entorno (conexiones
interdisciplinares).
Por otra parte, Novo (2015) plantea otros tipos de conexiones, que mantienen similitudes
importantes con las anteriores:
 Conexiones conceptuales: son las encargadas de producir nexos entre contenidos matemáticos
diversos (identificaciones de cualidades sensoriales, de cantidades de la serie numérica, de
formas, de situaciones espaciales, de aspectos de medida, de semejanzas y diferencias entre
escenas; agrupaciones según un criterio; asociación de número y cantidad; discriminaciones de
cantidades, de formas, de aspectos de medida; relaciones diversas como emparejamientos de
objetos iguales, clasificaciones, seriaciones, ordenaciones, comparaciones de objetos;
representaciones gráficas sencillas; e iniciación al lenguaje matemático). Se vinculan a las
conexiones entre contenidos matemáticos planteadas por Alsina (2012, p. 9), “en las que los
bloques de contenidos constituyen un campo integrado de conocimiento”.
 Conexiones prácticas: establecen relaciones entre las matemáticas y el entorno. En muchas
ocasiones se presentan las matemáticas relacionadas con aspectos cotidianos, en concreto la
utilidad de los números en el día a día. Se considera también la utilización de cuentos, juegos
y material didáctico en la actividad de aula, favoreciendo el desarrollo de aspectos lógicos,
numéricos, geométricos, etc. Se vinculan principalmente a las conexiones entre las
matemáticas y la vida cotidiana planteadas por Alsina (2012, p. 14), donde “se trata de
descubrir las matemáticas que hay en la vida cotidiana para favorecer que los niños y niñas
aprendan a verlas, a interpretarlas, a comprenderlas, para que progresivamente puedan
desarrollarse mejor en este contexto”
 Conexiones docentes: son las encargadas de establecer vínculos entre diversos conceptos
matemáticos a través de una metodología activa y de vivenciar las experiencias matemáticas
vinculadas con otras materias: psicomotricidad, música, lengua, etc. Se vinculan a las
conexiones entre las matemáticas y otras disciplinas planteadas por Alsina (2012, p. 12), que
parte de la base que “una actividad es interdisciplinar cuando se usan diferentes disciplinas
para construir saberes adecuados, sin infravalorar los conocimientos de ninguna de las
disciplinas usadas”.
Alsina (2011), señala que las conexiones matemáticas tienen distintas funciones: 1) función
formativa (cuando los niños y niñas pueden conectar ideas matemáticas, su comprensión mejora); 2) función

educativa de aula
instrumental (permite utilizar el conocimiento matemático en otras disciplinas), 3) función aplicada

(relaciona las matemáticas con la vida cotidiana); y 4) función evaluativa (estudia cómo evoluciona la
construcción del pensamiento matemático de los más pequeños). A partir de los aspectos descritos, se
analizan las características de una actividad diseñada desde esta perspectiva y su nivel de eficacia para
desarrollar el pensamiento matemático de los niños de las primeras edades.
4. Análisis de una práctica matemática en Educación Infantil basada en el conexionismo
La práctica que se analiza a continuación está extraída del estudio realizado sobre las tareas
docentes del profesorado de un colegio público y que se enmarca dentro de una tesis doctoral
presentada en la Universidad de Valladolid por Novo (2015).
4.1. Contexto de la actividad
La experiencia docente ha sido llevada a cabo en el Colegio Público “Federico García Lorca”.
Se ha elegido dicho colegio porque ya se había tenido un primer contacto con el centro en un trabajo
previo a esta investigación. Se había realizado una entrevista a dos de las maestras del equipo de
educación infantil y se constató la evidencia de su interés por la innovación educativa y, por tanto,
abiertas a nuevos modelos de enseñanza-aprendizaje que estén fundamentados teóricamente. Además,
al plantear la posibilidad de realizar experiencias matemáticas desde la perspectiva del conexionismo
todo el equipo de infantil estaba de acuerdo.
Todas las profesoras tenían especial interés por la docencia en matemáticas, trabajaban “un
calendario matemático” confeccionado por todas ellas. Cada día de la semana, para cada nivel de
educación infantil, se realizaba la experiencia que marcaba dicho calendario. En el curso 2011-2012 y
2012-2013 además del Plan de formación del centro, participaron en el Proyecto Fiaval (colaboración
con un centro educativo portugués) y Programa Arce “Aprender a cooperar, cooperar para aprender”
(proyecto del MEC para intercambiar experiencias con un colegio de Palma de Mallorca).
Para el análisis que detallamos a continuación se ha elegido una implementación de esta

metodología llevada al aula de 3 años, con un total de 23 niños y niñas de primero de educación
infantil.
Para la recogida de datos y su posterior análisis hemos usado como instrumentos: una grabación
en vídeo de catorce minutos de duración, registros de la profesora que ha llevado a cabo la
implementación y anotaciones de una observadora externa (encargada también de realizar la
grabación).
4.2. ¿Cómo se realiza la actividad?
Previamente a la actividad que a continuación detallamos, es conveniente remarcar que los

alumnos ya han realizado tareas previas de descubrimiento y exploración de los objetos que
conforman la experiencia (cuadrados, círculos, triángulos y cantidades de elementos 1, 2 y 3), han
trabajado con materiales manipulativos y han hecho pequeñas indagaciones sobre estos objetos
buscándolos en el aula, describiendo sus características y fomentando la relación de la matemática con
la vida cotidiana a través del entorno cercano.
La actividad consta de dos partes: en la primera parte los alumnos clasifican formas
geométricas, identifican y discriminan formas, cuentan y reconocen cantidades elementales de

educativa de aula
elementos (1, 2, 3); y en la segunda realizan “sudokus”. En ambos casos, los alumnos están sentados
en el suelo formando un corro.
Para la primera parte la maestra dispone de un aro rojo pequeño y otro aro amarillo grande,
distintas formas geométricas de mismo tamaño pero distinto color (tres cuadrados rojos, tres cuadrados
azules y tres círculos verdes) y tres tarjetas con las grafías de los números 1, 2 y 3.
Para la segunda parte los materiales elegidos son un tablero grande verde con nueve casillas
para realizar un “sudoku” con las formas, hojas con tableros tres por tres y ternas de tarjetas
identificativas pequeñas de distintas formas y colores, pero del mismo tamaño (círculos verdes,
círculos rojos, cuadrados azules oscuros, cuadrados azules claros, cuadrados rojos y triángulos
amarillos). También se dispone de etiquetas con imágenes de múltiples objetos de la vida cotidiana
para colocar en tablas tres por tres en hojas para trabajo individual.
La secuencia de intervención docente ha tenido en cuenta una serie de etapas/fases

ejemplificadas a continuación y que se podrían trasladar fácilmente a otro tipo de actividad:
 Presentación de las formas geométricas en la alfombra de la asamblea (círculos y cuadrados).

 Descubrimiento de las cualidades de las formas de la alfombra, por turnos (los alumnos
reconocen las formas y las describen, comentando cuántas hay, de qué color son, qué tamaño
tienen,…).
 Colocación de las formas en los aros por turnos, siguiendo las indicaciones de la maestra; por
ejemplo, en el aro pequeño un círculo y en el aro grande dos cuadrados. En esta parte, la
maestra formula distintas preguntas para ayudar a descubrir e identificar las formas
solicitadas.
 Periodo de diálogo entre la maestra y los niños, dando lugar a “conversaciones matemáticas”
sobre las experiencias vividas.
 Asociación de la cantidad con las formas geométricas en la que los niños se inician en la serie
numérica del 1, el 2 y el 3. Una vez colocadas las formas en los aros, deben asociar la tarjeta
correspondiente al cardinal de los conjuntos contenidos en el aro pequeño y en el aro grande.
 En un tablero tres por tres hay que completar un “sudoku de formas” entre todos (círculos,
cuadrados y triángulos), en el que en cada fila y en cada columna no se puede repetir la misma
forma geométrica con el mismo color.
 Necesidad de llevar las experiencias colectivas a una experiencia personal. Realización del
sudoku de formas de modo individual.
 Conexión con la vida cotidiana. Se trabajan los sudokus con elementos de la vida cotidiana.
Mostramos a continuación la transcripción de la primera parte (los nombres de los alumnos son
ficticios):
Maestra: “Todos calladitos ¿vale?, sólo sale el que yo vaya diciendo, vamos a ir por turnos todos,
¿vale? “Empezamos en María1 ¿de acuerdo? para allá, hacia allá vamos a ver María1, vamos a ir
poniendo en el círculo pequeño círculos y en el círculo grande cuadrados ¿vale? Venga. En el
círculo pequeño, círculos.” Hay una niña que interrumpe la comunicación cuando la maestra pide
a María1 que coloque círculos en el aro pequeño y, por ello, la profesora le pide que se esté
quieta.
Maestra: “Estate quieta María2, vamos.
María1 se acerca a las formas geométricas, que están apiladas, y elige un círculo verde y lo
coloca en el aro pequeño, se retira a su sitio.
Maestra: “Venga, María3, rápido, en el pequeño círculos, en el grande, cuadrados, ¿Dónde lo
ponemos?”

educativa de aula
María3 elige un cuadrado azul, se queda un poco pensando y lo coloca en el lugar adecuado.
Maestra: “Muy bien.María4 ahora vas a poner tú otro cuadrado, pero me vas a decir qué figura
coges y ¿por qué la pones ahí? Venga tienes que decirlo.”
María4 se acerca a coger una figura y la maestra le dice:
Maestra: “María4, esa es igual que la que tenemos, coge otra que sea distinta, vale, ¿qué figura
coges?”
María4: “El triángulo.”
Maestra:” Mira para allá y díselo a la observadora externa. ¿Qué figura has cogido? ¿Es un
triángulo? ¿Es un círculo o un cuadrado? ¿Qué es?
La profesora con sus indicaciones ayuda a María4 a reconocer el cuadrado.
María4: “Cuadrado.”
Maestra: “¿Por qué es un cuadrado? porque tiene,…”
María4: “Cuatro lados.” Maestra: “Vamos a verlos, márcalos.”
María4 va pasando sus dedos por los lados y, a la vez, en voz alta, va diciendo los números.
María4: “Uno, dos, tres, cuatro.”
Maestra: “Esto son cuatro esquinitas, ¿vale? Ponle donde van los cuadrados.”
María4 sitúa el cuadrado rojo encima del azul.
Maestra: “Pero no le pongas encima, ponle al lado que le vamos a ver.”
Figura 2. Los cuadrados en el círculo amarillo y los círculos en el círculo rojo
Maestra: “Bueno pues nos vamos a fijar en lo que hemos puesto aquí. María5, ven aquí, te voy a
dar unos cartelitos y tú me pones uno o dos si hay un cuadrado, dos cuadrados o un círculo o dos
círculos, a ver, espera, que no te he dicho lo que hay que hacer, sepárate un poquito, voy a poner
aquí tres numeritos y los círculos coge el número que hay, de círculos, ¿cuántos hay?”
La maestra coloca tres tarjetas donde aparecen escritos el 1, el 2 y el 3 y María5 coge el número 3.
Figura 3. Asociación de número y cantidad

educativa de aula
Maestra: “Ese, a ver, María5, ¿qué número es? ¿Le conoces? ¿Cómo se llama?”
María5: “El tres.”
Maestra: “Pero el tres, ¿hay tres círculos?”
María5: “No.”
Maestra: “No, pues, fuera, no nos vale, coge los círculos que hay.”
María5 se acerca a las tarjetitas y, esta vez, escoge el 1.
María5: “Uno.”
Maestra: “Uno, pues muy bien. Lo pones delante, estupendo.”
María5 se acerca al aro pequeño rojo con un círculo y coloca el 1 al lado.
Maestra: “María6, ven aquí.”
María6 es de otro país y todavía no conoce muy bien el idioma. La maestra se acerca
al aro grande amarillo con dos cuadrados y señalando el 2 y el 3…
Maestra: “María6, ¿Cuántos hay aquí? ¿Este o este?”
María6: “Uno.”
Maestra: “No, uno no, dos, ¿cuál es el dos?”
María6 señala con el dedo la tarjeta del 2.
María6: “Ése.”
Maestra: “Ése, pues, ponle ahí, fenomenal. Vete para allá.”
Para llevar a cabo la segunda parte de la actividad, la maestra retira los aros y los cartelitos de
los números y se queda con el círculo verde y los dos cuadrados, el rojo y el azul, y saca un tablero
con una cuadrícula de tres por tres. Posteriormente, la maestra explica la dinámica del juego, “sudoku
de formas”. En todas las filas y columnas deben estar los tres elementos y no repetir ninguno.
Figura 4. Sudoku de formas
Primeramente, se resuelve el sudoku en la asamblea, en la que, por turnos, se pone una pieza
cada vez; luego filas enteras, por turnos. Finalmente, el tablero entero es cumplimentado por algún
alumno. Y se pasa al trabajo individual, ampliando las tarjetas con distintas formas y colores. También
se utilizan etiquetas de objetos diversos para seguir completando “sudokus”.

educativa de aula
Figura 5. Sudoku completado por todos los niños y las niñas y trabajo individual (izquierda y derecha respectivamente)
4.3. Análisis de los conceptos conexionados
Una vez mostradas las dos partes de la actividad, pasamos a analizar las conexiones que en ellas
se encuentran y que los niños han podido trabajar previamente en el aula. Para mostrar con mayor
facilidad el análisis, tal como se ha indicado en el marco teórico, estas conexiones deben clasificarse
en dos tipos distintos: las “neuronas” (o “unidades de aprendizaje”), en las que determinaremos qué
conceptos matemáticos se trabajan o qué acciones realizan los niños con respecto a estos conceptos y
“los nexos entre las neuronas”, es decir, los “puentes entre unidades de aprendizaje”, propiamente
llamadas conexiones, que se entienden como las relaciones establecidas a través de acciones realizadas
por los niños entre los distintos tipos de unidades de aprendizaje.
En la primera parte se han identificado conexiones entre conceptos y procesos matemáticos.

Como “unidades de aprendizaje” relacionados con conceptos matemáticos se han encontrado
evidencias entorno a las formas geométricas (triángulos, cuadrados, círculos), tamaños de formas
(grande, pequeño), números (1, 2, 3) y conceptos asociados con la localización “en el círculo” como
equivalente a “dentro del círculo”). Y en relación a las “unidades de aprendizaje” asociadas a procesos
o acciones matemáticas se han localizado las siguientes:
 Identificaciones de formas.
 Comprensión de normas y retos para comprender en qué consiste una clasificación.
 Discriminación y trazado de formas planas: círculo y cuadrado (esta acción viene precedida de
la instrucción de la maestra, que pide a los niños que cojan una forma geométrica).
 Ubicación en el espacio (una vez cogida y clasificada la figura correspondiente, deben
colocarla en el sitio correspondiente).
 Identificación de los números 1 , 2 y 3.
 Interés por el conteo y la cardinación.
 Abstracción matemática, argumentación y comunicación. Se incide en que los alumnos
comuniquen el resultado de sus acciones usando lenguaje matemático adecuado, y se fomenta
que escuchen las explicaciones de los demás. Cuando la maestra pregunta por qué es un
cuadrado la forma geométrica a María4, la alumna explica y comprueba que tiene un
cuadrado).
A lo largo de toda la actividad precedente, la maestra construye los “puentes” necesarios entre
las distintas “unidades de aprendizaje”, esto es, plantea las preguntas adecuadas para que los niños
establezcan conexiones que relacionen en paralelo conceptos matemáticos con otros conceptos

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matemáticos o con acciones matemáticas y acciones matemáticas con otras acciones matemáticas.
Teniendo en cuenta la clasificación de Novo (2015), estas conexiones pueden ser clasificadas en:
 Conexiones conceptuales: discriminación, clasificación y trazado de formas. Asociación de

número y cantidad (a modo de ejemplo, cuando la maestra pide a María5 que asocie un
número a cada conjunto dependiendo de su cardinal). Identificación y trazado de los números
1 y 2. Realización de la serie numérica de los números 1 y 2.
 Conexiones prácticas: interés por conocer los números y su utilidad. Importancia de la
comunicación utilizando el lenguaje matemático adecuado y animando a prestar atención a las
justificaciones de los otros niños.
 Conexiones docentes: Abstracción matemática y argumentación favorecidos por los nexos
establecidos por la profesora. Metodología activa en la que participan todos los niños, en la
asamblea practicando todas las conexiones entre los conceptos que se han indicado
anteriormente.
Análogamente, en la segunda parte de la actividad, un análisis pormenorizado nos permite

establecer las siguientes conexiones:
Como “unidades de aprendizaje” relacionadas con conceptos matemáticos se tienen formas

geométricas de diversos colores (cuadrados rojos, cuadrados azules y círculos verdes), ampliando a
más formas y colores realizando actividades parecidas, conceptos asociados a la orientación (“coloca
al lado de…”, “pon en fila…”), en la realización de los “sudokus”, cumplimentando tablas tres por tres
en las que cada forma o cada etiqueta de objeto figura una sola vez.
Como “unidades de aprendizaje” asociadas a procesos o acciones matemáticas:
 Identificaciones de formas geométricas.

 Comprensión de las normas ante el planteamiento del juego del “sudoku” (la profesora explica
cómo se tiene que completar).
 Uso del lenguaje matemático adecuado para discriminar las formas planas.
 Ubicación espacial (una vez elegida la figura geométrica se sitúa al lado de la que
corresponde).
 Localización. Detrás de cada tarjeta identificativa de los “sudokus individuales” hay un
símbolo. Cada tarjeta tiene dos caras delante y detrás, cuando van a guardar las tarjetas en
bolsitas con su correspondiente tabla, se colocan “por delante o por detrás” de la tabla).
 Discriminación del primero y último (al ir rellenando los “sudokus” por filas)
 Razonamiento y prueba: Discriminación de las distintas filas (acción que consiste en ir
completando con las formas o los objetos cada tira).
 Comunicación: se fomenta que escuchen las explicaciones de los demás.
 Cumplimentación de tablas (“sudokus”, tres por tres siguiendo criterios de color y forma, por
ejemplo eligiendo tres colores entre (rojo, verde, amarillo, azul) y tres formas entre (círculo,
cuadrado triángulo, rectángulo). Otras se completan con etiquetas de objetos relacionados con
el entorno de los niños y las niñas, como aparece en la figura 6.
 Identificación de objetos iguales.
 Reconocimiento de “símbolos iguales” (las nueve etiquetas de cada “sudoku individual” se
guardan en una funda con su tabla, aparece dibujado el mismo símbolo detrás de cada tarjeta
identificativa y en dicha lámina).

educativa de aula
Figura 6. Recogida del material didáctico
Como en la primera parte de la presente actividad los niños vuelven a establecer conexiones
tanto entre conceptos como entre conceptos y acciones matemáticas gracias a pequeñas sugerencias de
la maestra, verbalizando todas las situaciones experimentadas. A modo de ejemplo la maestra sugiere
a uno de los niños que reúna las piezas que faltan para completar la última fila y colocar en el lugar
correspondiente. Las acciones que los niños conexionan son la discriminación de última y la ubicación
de una sola tarjeta en el sitio adecuado. Análogamente según Novo (2015), estas conexiones pueden
ser clasificadas en:
 Conexiones conceptuales: discriminación de formas geométricas. Ubicadores espaciales:

delante, detrás, primero, último. Identificación de objetos iguales. Realización de tablas según
color y forma.
 Conexiones prácticas: comprensión de las normas ante el planteamiento del juego del
“sudoku”. Comunicación: se fomenta que escuchen las explicaciones de los demás. Uso del
lenguaje para matemático para discriminar las formas.
 Conexiones docentes: razonamiento y prueba para discriminar las distintas filas (acción que
consiste en ir completando con las formas o los objetos cada tira). Metodología interactiva en
la que todos los niños participan con los demás y con la profesora que es la que establece los
nexos para ayudar a argumentar, razonar… Importancia del paso de las experiencias en la
asamblea al trabajo individual para poder comprobar el desarrollo del pensamiento lógico
matemático de los más pequeños.
5. Consideraciones finales
En este artículo se ha presentado una actividad que ha sido diseñada desde la perspectiva del
conexionismo. Se han encontrado evidencias relativas a los tres tipos de conexiones planteadas por
Novo (2015).
En relación a las conexiones conceptuales, se ha observado como los niños realizan

asociaciones de cantidad, identificaciones de aspectos numéricos, identificaciones de formas,
identificaciones de aspectos iguales, discriminaciones de formas, trazado de números, realización de
tablas, etc. Poco a poco, pues, los alumnos van adquiriendo de forma progresiva la noción de cantidad,
y están más familiarizados con el conteo. Cabe señalar que el material utilizado (“sudokus”) ha

educativa de aula
motivado y facilitado la realización de la actividad, y ha permitido establecer conexiones entre los

conceptos.
Respecto a las conexiones prácticas, se ha percibido que mediante las actividades motrices se
facilita la adquisición de las nociones relativas a la posición relativa en el espacio (los niños colocan
los objetos dentro de… con sus manos). En algunas ocasiones, los niños no son capaces de expresar
con palabras determinadas nociones, pero sí que las expresan con las manos, en otras actividades, con
el cuerpo, etc. También se ha observado que descubren los objetos y sus características mediante la
manipulación, a través de los sentidos. Asimismo, en la actividad analizada, continuamente se han
producido relaciones con situaciones de la vida cotidiana para contar, repasar grafías, completar lo que
falta, indicar cuántos hay, buscar la tarjeta que indica cuántos objetos se tienen, comprobar
contando,…Todo ello ha favorecido la enseñanza-aprendizaje de los números.
Finalmente, en relación a las conexiones docentes, se ha podido comprobar que a los niños no
les cuesta trabajar varios conceptos de forma simultánea en situaciones en las que la maestra plantea
diversos interrogantes, cuando estos están bien planteados. En este sentido, es necesario indicar que
cuando se produce una situación de dificultad por parte de varios niños, a menudo no es debido a que
la actividad sea dificultosa porque conexiona varios contenidos, sino porque la maestra no expresa
adecuadamente esa actividad. En ocasiones, la maestra suele utilizar sinónimos o expresiones que los
niños no acaban de entender y eso puede llevar al fracaso de la actividad. El lenguaje, pues, debería ser
muy preciso. En nuestro estudio, por ejemplo, se ha observado que la maestra intenta utilizar un
lenguaje lo más ajustado posible a la actividad que se desarrolla, introduciendo el vocabulario nuevo
necesario para que los niños se familiaricen con él y lo incorporen a sus expresiones habituales. Por
ello, es frecuente que en sus conversaciones, en los rincones, juegos o en el patio, utilicen términos y
expresiones que se han trabajado en el aula. Siguiendo todavía con el análisis de la comunicación en el
aula, se ha observado también que en términos generales, a los niños les cuesta expresar lo que
realmente viven, por falta de vocabulario, sobre todo en el primer nivel. En cambio, los alumnos de
tercer curso son ya capaces de relatar correctamente sus vivencias y explicar adecuadamente las
experiencias realizadas. Otro dato interesante es que cuando en el desarrollo de una actividad, un
grupo bastante numeroso de alumnos no consigue la realización correcta de la misma, suele ocurrir
que los niños entienden mejor las aclaraciones (explicaciones, interpretaciones) de sus propios
compañeros que las repeticiones de la profesora. Se deduce, pues, que fomentar las interacciones entre
los propios niños puede favorecer el éxito de la actividad. Finalmente, en relación a la representación
escrita, se comienza trabajando representaciones plásticas y gráficas de las distintas propiedades
trabajadas. En un principio estas representaciones son muy simples (tarjetas identificativas y
pictogramas) pero son fundamentales para poder pasar a la etapa simbólica. Estos procesos ayudan a
interpretar diferentes códigos, estableciendo relaciones entre los elementos que los componen y las
relaciones generadas favorecen el establecimiento de conexiones.
Una vez analizados los distintos tipos de conexiones, se concluye con una breve valoración
acerca del aprendizaje de los alumnos y del papel de la maestra. En cuanto al rendimiento del alumno
se valora fundamentalmente mediante su observación sistemática. En este seguimiento se comprueban
todas las funciones de las conexiones planteadas por Alsina (2011): formativa, instrumental, aplicada
y evaluativa.
Los niños que han sido capaces de precisar un mayor número de diferencias entre objetos, de
establecer más relaciones o de precisar más detalles en una observación, han presentado mayor
facilidad para asimilar conceptos abstractos. Se ha observado también que todos los aprendizajes que
resultan más complicados para los alumnos, se deberían presentar de forma periódica y con diferentes
tipos de actividades para favorecer su adquisición.

educativa de aula
La actividad analizada ha proporcionado una progresión en el conocimiento de los conceptos

trabajados, logrando su interiorización y ayudando a su evocación posterior. Cada vez han seguido
instrucciones más complejas porque la docencia es más transversal, pero a la vez se han producido
aprendizajes de conceptos conexionados entre sí y, por tanto, aprendizajes más eficaces. Los alumnos
han identificado mejor los códigos. Ha aumentado su curiosidad por conocer cosas nuevas, por
descubrir, experimentando, lo que les rodea, sentando las bases de su pensamiento lógico matemático.
En las “conversaciones matemáticas” se ha notado una mayor anticipación de respuestas acertadas.
Además, el hecho de que los niños hayan podido emitir respuestas sobre diversos contenidos, que
están conexionados, en un intervalo temporal corto, ha favorecido una actitud de respeto y valoración
sobre las intervenciones de sus compañeros.
Por último, en lo que se refiere al papel de la maestra en la gestión de la práctica educativa de

aula, se puede afirmar que su realización ha permitido que los niños hayan estado atentos y, cuando
esto no ha ocurrido, no es tanto porque se trate de una actividad con conexión de conceptos, sino
porque están centrados en algún material que les atrae, en un compañero o en cualquier otro aspecto
por insignificante que parezca. Las tareas docentes se han desarrollado en un clima de seguridad,
confianza, participación y colaboración. Tanto los niños como la maestra han sentido que pertenecen a
un grupo de trabajo. En un clima distendido, acogedor y participativo, los niños se han sentido
cómodos, y no han tenido reparos en preguntar y comentar cualquier cosa que se les ocurre.
En síntesis, esta forma de trabajar en el aula ha favorecido la comprensión profunda de todos los
conocimientos matemáticos experimentados, que es una de las principales finalidades de la educación
matemática infantil.
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el 13 de octubre de 2016, de http://www.elearnspace.org/ Articles/connectivism.htm
María Luisa Novo. Profesora de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Valladolid. Su

interés mayor es la investigación en Educación Matemática Infantil y en la formación del profesorado en
este nivel educativo y en Educación Primaria.
Dirección electrónica: marialuisa.novo@uva.es
Ainhoa Berciano. Profesora del Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias

Experimentales de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Sus líneas de
investigación se centran en la enseñanza-aprendizaje de la matemática en Educación Infantil y en la
formación de profesorado.
Dirección electrónica: ainhoa.berciano@ehu.eus
Ángel Alsina. Profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Girona. Sus líneas de
investigación están centradas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las primeras edades
y en la formación del profesorado. Ha publicado artículos y libros sobre cuestiones de educación
matemática, y ha llevado a cabo actividades de formación permanente del profesorado de matemáticas en
España y América Latina.
Dirección electrónica: angel.alsina@udg.edu

ISSN: 1887-1984
Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros

maestros de Primaria
Rosa Nortes Martínez-Artero (Universidad de Murcia. España)
Andrés Nortes Checa (Universidad de Murcia. España)

Fecha de aceptación: 03 de junio de 2017
Resumen La ansiedad es un componente afectivo emocional que condiciona el desarrollo de la

enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para conocer la ansiedad, la motivación y la
confianza hacia las matemáticas de los futuros maestros se tomó a lo largo de cuatro
cursos académicos una muestra de 829 alumnos de 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de
Primaria a los que se les aplicó tres cuestionarios, utilizando una escala Likert de 1 a 5.
El nivel de ansiedad, ligeramente superior al valor neutral, se mantiene a lo largo de los
cuatro cursos académicos y sube ante los exámenes. Tanto la confianza como la
motivación de los estudiantes es alta, la ansiedad en mujeres es mayor que en hombres
siendo las diferencias significativas y mientras que las mujeres están más motivadas los
hombres tienen mayor confianza en las matemáticas.
El que en el periodo de los cuatro años académicos una de cada dos futuras maestras y
uno de cada cuatro futuros maestros tenga ansiedad por encima del valor neutral es
negativo, pero que las alumnas cuando terminan sus estudios tengan menos ansiedad y
mayor confianza y motivación hacia las matemáticas es altamente positivo.
Palabras clave Ansiedad, motivación, confianza, matemáticas, maestros.
Title Anxiety, motivation and confidence toward mathematics in pre-service mathematics

teachers
Abstract Anxiety is an affective and emotional behaviour which conditions the development of the
teaching and the learning of mathematics. In order to know the anxiety, the motivation
and the confidence of pre-service teachers, 829 Primary Education students—2nd, 3rd
and 4th years—were administered 3 questionnaires, using a 1-5 Likert scale. The level of
anxiety, slightly over the neutral value, stays the same throughout the four academic
years and increases during the examination period. The students' confidence and
motivation is high, anxiety in women is significantly higher than in men, and while
women are more motivated men feel more confident in mathematics. The fact that one in
two pre-service female teachers and one in four male teachers experience a level of
anxiety over the neutral value is a negative aspect. However, the fact that, after
completing their degree, female students decrease their level of anxiety and increase their
confidence and motivation towards mathematics is highly positive.
Keywords Anxiety, motivation, confidence, mathematics, teacher.

Ansiedad, motivación y confianza hacia las Matemáticas en futuros maestros de Primaria
1. Introducción
La medida del dominio afectivo matemático supone un aspecto de vital importancia en la

investigación matemática y la ansiedad hacia las matemáticas es un componente básico de las
emociones y por tanto del dominio afectivo matemático (Palacios, 2016).
PISA 2012 revela que “los países y economías donde los alumnos solían referir niveles más
altos de ansiedad son también aquellos donde el rendimiento de estos en dicha materia es menos
bueno” (OECD, 2015, p. 1). En dicho informe se menciona que uno de cada tres alumnos se pone
nervioso ante un problema de matemáticas y en casi todos los países y economías participantes las
chicas revelaron mayor ansiedad frente a las matemáticas que los chicos, resultando las diferencias
significativas.
La ansiedad en Matemáticas está directamente relacionada con las percepciones que el alumno
tiene sobre sus posibilidades para las Matemáticas y ante una prueba o examen muchas personas
tienen reacciones de ansiedad que generalmente producen un deterioro en el rendimiento, aunque la
ansiedad ante los exámenes disminuye conforme se acrecientan los sentimientos de autoeficacia y
aumenta la seguridad personal (Nortes y Martínez, 1996).
2. Marco teórico
Las emociones, creencias y actitudes son factores claves para comprender el comportamiento en
matemáticas de los futuros maestros, porque influyen en el aprendizaje matemático como un sistema
regulador, como un indicador de la situación de aprendizaje, como fuerzas de inercia o resistencias al
cambio y como vehículo de conocimiento. (Maroto, 2015). Las emociones son difíciles de identificar,
las creencias pueden ser sobre la disciplinan y sobre el propio estudiante y las actitudes tiene una gran
trascendencia en el proceso educativo.
La ansiedad hacia las matemáticas se caracteriza, según Auzmendi (1992), por un bloqueo
afectivo que puede surgir por la falta de adecuación del método de enseñanza de las matemáticas o de
la ausencia de esquemas adecuados para la resolución de problemas.
Algunos trabajos recientes son los de Muñoz y Mato (2007), Rosario, Núñez, Salgado,
González-Pienda, Valle, Joly y Bernardo (2008), Sánchez, Segovia y Miñán (2011), Pérez-Tyteca
(2012), Pérez-Tyteca, Monge y Castro (2013), Palacios, Hidalgo, Maroto y Ortega (2013), Caballero
(2013), Sánchez-Mendías (2013), Nortes y Nortes (2014), Maroto (2015), Marbán, Maroto y Palacios
(2016) y Gómez-Chacón (2016) que reafirman la importancia que tiene el estudio del dominio afectivo
en la enseñanza y el aprendizaje de los futuros maestros.
Muñoz y Mato (2007) consideran la ansiedad como la raíz de muchos casos de rechazo escolar
y a una muestra de 1220 alumnos de 1.º a 4.º de ESO de A Coruña (586 chicas y 634 chicos) aplicaron
un cuestionario elaborado por ellos, de fiabilidad alfa de Cronbach de 0,95, en donde el primer factor a
medir era “ansiedad ante la evaluación”, obteniendo una media de 3,669 y en los cinco factores
“ansiedad total” una media de 3,123 en una escala Likert de 1 a 5.
Rosario et al. (2008) consideran la ansiedad ante los exámenes dependiendo del grado en que la
situación del examen sea percibida como amenazadora, experimentando el alumno un incremento en
el nivel de ansiedad. Los hombres tienden a afrontar las situaciones de examen como un desafío no
implicándose si se perciben incapaces, mientras que las mujeres encaran las situaciones de examen
como más amenazadoras, evidenciando comportamientos ansiosos. Estas conclusiones las obtienen en

una investigación en dos muestras independientes de 533 y 796 alumnos de 1.º, 2.º y 3.º de E.S.O. En
el primer estudio, en donde el 48,4% son chicos y el 51,6% son chicas, encontraron diferencias en
ansiedad ante los exámenes en función del sexo, siendo las chicas más ansiosas que los chicos y
disminuyendo la ansiedad en la medida en que aumenta el rendimiento en matemáticas. En el segundo
estudio se ratifican los resultados del primero.
Sánchez et al. (2011) aplican la escala de ansiedad a las matemáticas de Fennema-Sherman

(1976) a una muestra de 71 alumnos, futuros maestros de primaria, en donde el 73,24% eran mujeres y
el 26,76% hombres de edad media 21 años. Obtienen como Ansiedad hacia las matemáticas 2,739 en
una escala Likert de 1 a 5. Clasifican los resultados en tres categorías: ansiedad media los
pertenecientes a (M-DT, M+DT), baja los inferiores a este intervalo y alta los superiores a dicho
intervalo, concluyendo que solo el 19,72% de los estudiantes se sitúan en el nivel bajo de ansiedad, y
que cuando estos estudiantes sean los responsables de la docencia podría ser uno de los factores que
contribuirá a la aparición de actitudes de rechazo hacia las matemáticas.
Pérez-Tyteca (2012) en su tesis doctoral utilizó una muestra de 1242 alumnos de 26 titulaciones
en la Universidad de Granada que empezaban estudios universitarios, de ellos 39% hombres y 61%
mujeres de edad media 19,7 años y edades comprendidas entre 18 y 52 años. Les aplicó, entre otros, el
cuestionario de ansiedad hacia las matemáticas de Fennema-Sherman, en una escala Likert de 1 a 5,
obteniendo una ansiedad media de 2,731 y una desviación típica de 0,80. Los hombres eran 464 y
obtuvieron de media 2,518 y DT=0,783, mientras que las 726 mujeres obtuvieron de media 2,868 y
DT=0,781, siendo la diferencia por sexo significativa. Entre estas titulaciones se encontraba la de
Primaria con 177 alumnos, el 14,3% del total de la muestra, que obtuvo una media de 2,917, siendo en
hombres de 2,766 y en mujeres 2,954. La titulación Maestro de Primaria se encuentra en el grupo de
titulaciones con niveles más altos de ansiedad (sexto de veintiséis), un 70% declara ponerse nervioso
en los exámenes y un 80% siente preocupación por su capacidad para resolver los problemas. En la
muestra las mujeres tienen mayor ansiedad ante las matemáticas que los hombres y a mayores
contenidos matemáticos en la titulación cursada menor ansiedad. La autoconfianza en matemáticas es
de 3,239 en la muestra y de 2,995 en Primaria, siendo mas alta en mujeres que en hombres y
significativa.
Pérez-Tyteca et al. (2013) en el estudio que realizan de Afecto y Matemáticas mencionan

“dentro del conjunto de estudiantes que realizan el paso de la educación secundaria a la universitaria,
existe correlación negativa entre su ansiedad matemática y su autoconfianza” (p. 66). Y que los
alumnos que sienten ansiedad cuando estudian matemáticas tienden a no interesarse en su estudio ni
disfrutar con ellas, considerando la ansiedad matemática como un estado afectivo caracterizado por la
ausencia de confort que puede experimentar un individuo en situaciones relacionadas con las
matemáticas, sufriendo más ansiedad las mujeres que los hombres.
Palacios et al. (2013) consideran la ansiedad como un sentimiento de tensión, miedo o

aprehensión que conlleva conductas. A una muestra de 1064 alumnos de 6.º EP., 1.º, 2.º, 3.º y 4.º de
ESO y 1.º Bachillerato, de edad media 13 años y 8 meses, 53% hombres y 47% mujeres les aplican,
entre otras, la escala de ansiedad matemática (EANS) de 16 ítems. Llegan a la conclusión de que “a
mayores niveles de ansiedad, menos rendimientos en matemáticas” y que “una parte del rechazo a la
escolarización podría ser explicado por niveles altos de ansiedad matemática” (p. 106).
Caballero (2013) en su tesis doctoral utilizó una muestra de 60 maestros en formación inicial
(MFI) de la universidad de Extremadura en Badajoz, pertenecientes al tercer curso de la Diplomatura
de Maestro de Primaria del curso 2008/09 de los que 14 son hombres y 46 mujeres, siendo el 91,67%
menores de 25 años y en donde dos de cada tres han estudiado el bachillerato de Humanidades y
CCSS. Les aplicó, entre otros, el Cuestionario de dominio Afectivo de Resolución de Problemas (alfa
de Cronbach de 0,617) que consta de 21 ítems con una escala Likert de 1 a 4. Un 46,67% presenta una

ansiedad moderada, un 38,33% una ansiedad acusada ante la Resolución de Problemas de

Matemáticas (RPM) y tan solo un 15% no experimenta ansiedad o lo hace en grado bajo.
Sánchez-Mendías (2013) para su tesis doctoral tomó una muestra de 488 estudiantes de los once
grupos que estudian el primer curso de la carrera universitaria de Grado en Educación Primaria en la
universidad de Granada. El 38,1% son hombres y el 61,9% mujeres, no superiores a 20 años son el
74,4%, de media 20,09 años, de intervalo de 18 a 50 años. Les aplicó, entre otras, la escala de
Ansiedad hacia las Matemáticas de Fennema-Sherman (1976). La ansiedad hacia las matemáticas fue
de 2,76, ante la disciplina de 2,68, ante la resolución de problemas de 2,66 y ante la evaluación de
2,94. Y en autoconfianza un 3,32, todo ello en una escala Likert de 1 a 5. El género influye
significativamente en las puntuaciones obtenidas siendo la ansiedad más alta en mujeres que en
hombres.
En Nortes y Nortes (2014) a una muestra de 149 alumnos de la licenciatura y el grado de

Matemáticas de distintas universidades españolas, en donde el 49% eran hombres y el 51% mujeres,
de edad media 20,973 y edades comprendidas entre 17 y 28 años, se les aplicó, entre otras, la escala de
Ansiedad ante las Matemáticas de Fennema-Sherman. La ansiedad media fue de 2,007, la ansiedad
global de 1,714, la ansiedad ante la resolución de problemas de 2,093 y ante los exámenes de 2,501 en
una escala Likert de 1 a 5. Las alumnas más ansiosas que los alumnos en la resolución de problemas y
ante un examen, con diferencias significativas y los futuros docentes más ansiosos que los no que no
se van a dedicar a la docencia.
Maroto (2015) en su tesis doctoral considera como primer objetivo caracterizar el dominio
afectivo-matemático de los maestros en formación y para ello utiliza las respuestas dadas por 2130
maestros en formación de diez centros universitarios (658 hombres, 1272 mujeres). Aplica, entre otras,
una escala de Ansiedad (EANM) formada por 20 ítems y su objetivo es “medir el grado de
desasosiego, miedo o angustia de los futuros docentes hacia las matemáticas” (p. 178). La fiabilidad de
esta escala la midió con 1193 alumnos, obteniendo un alfa de Cronbach de 0,95 y los resultados
obtenidos en una escala tipo Likert de 0 a 4 traducidos a una escala de 1 a 10 resulta una ansiedad de
4,25. Hay diferencias significativas por sexo, más ansiosas mujeres (4,37) que hombres (3,91) y al
finalizar los estudios del grado los maestros en formación no tienen menos ansiedad que cuando los
iniciaron (4,39 frente a 4,17).
Marbán et al. (2016) para conocer si la formación didáctico-matemática que reciben los
estudiantes del Grado de Educación Primaria modifica la ansiedad matemática realizaron un estudio
sobre una muestra incidental de 627 estudiantes pertenecientes a cinco universidades españolas. Los
resultados obtenidos indican que la formación recibida no ha reducido los niveles de ansiedad que los
estudiantes presentaban al inicio de sus estudios en relación con las matemáticas.
En un estudio reciente Gómez-Chacón (2016) indica que la significatividad de la interacción

ante los dominios cognitivo y afectivo durante el aprendizaje matemático se ha observado en trabajos
relacionados con: 1) diferencias individuales, 2) en los procesos de aprendizaje de un individuo frente
a una tarea, 3) en el estudio interacción cognitiva y afecto y 4) que tienen en cuenta conjuntamente
aspectos culturales, sociales y personales.
3. Objetivo
El objetivo de este trabajo es conocer la ansiedad, la motivación y confianza hacia las

Matemáticas de los futuros maestros de primaria considerando una muestra a lo largo de cuatro cursos
académicos en donde participan alumnos de 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de Primaria, cursos en

los que se imparte la materia de Enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas, utilizando la escala de

Ansiedad ante las Matemáticas de Fennema-Sherman (1976) y dos subescalas de Auzmendi (1992),
contrastando con otros estudio anteriores. La muestra es incidental.
4. Método
4.1. Muestra
Alumnos y alumnas, estudiantes de 2.º, 3.º y 4.º, del Grado de Maestro de Primaria de la
Universidad de Murcia matriculados los cursos 2012/13, 2013/14, 2014/15 y 2015/16, en número de
829, de los que 213 son hombres y 616 mujeres, siendo 380 de 2.º, 273 de 3.º y 176 de 4.º, de edad
media 21 años y 8 meses y edades comprendidas entre 17 y 53 años.
4.2. Instrumentos
Escala de Ansiedad de Fennema-Sherman (1976). Consta de 12 ítems unos formulados de

forma positiva y otros de forma negativa, según una escala Likert de 1 a 5 en donde 1 es totalmente en
desacuerdo para los formulados de forma positiva y 1 es Totalmente de acuerdo para los formulados
de forma negativa.
A los ítems formulados en negativo (AN1, AN2, AN3, AN4, AN5 y AN6) se les ha asociado su
valor complementario al totalizar (de 1 es 5 y de 2 es 4) para seguir el criterio de que a mayor
puntuación mayor ansiedad. Los 12 ítems formulados de forma positiva de la Escala de Fennema-
Sherman vienen en la Tabla 1.
ANSIEDAD ANTE LAS MATEMÁTICAS

AN1 Le tengo miedo a las matemáticas.
AN2 No me gustaría nada hacer más cursos de matemáticas.
Normalmente me preocupo sobre si soy capaz de resolver problemas
AN3
de matemáticas.
AN4 Casi siempre me pongo nervioso en un examen de matemáticas.
AN5 Normalmente no estoy tranquilo en los exámenes de matemáticas.
AN6 Normalmente no estoy tranquilo en las clases de matemáticas.
AN7 Normalmente las matemáticas me ponen incómodo y nervioso.
AN8 Las matemáticas me ponen incómodo, inquieto irritable e impaciente.
AN9 Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas de matemáticas.
Cuando hago un problema de matemáticas se me queda la mente en
AN10
blanco y no soy capaz de pensar claramente.
AN11 Una prueba de evaluación de matemáticas me da miedo.
AN12 Las matemáticas me hacen sentir preocupado, confundido y nervioso.
Tabla 1. Cuestionario de Fennema-Sherman (1976)
Se agrupan en tres subescalas: 1) Ansiedad hacia las Matemáticas en General: 1, 2, 6, 7, 8 y 12;

2) Ansiedad hacia la Resolución de Problemas: 3, 9 y 10; y 3) Ansiedad hacia los Exámenes: 4, 5 y 11.

Subescalas de Motivación y Confianza del Cuestionario de Actitud hacia las Matemáticas de

Auzmendi (1992). Están formadas por tres ítems cada una en donde unos están formulados de forma
positiva y otros de forma negativa, y se han codificado de modo que una puntuación mayor vaya
asociada a unas actitudes más positivas y viceversa. Forman una escala de Likert de 1 a 5. Para
Auzmendi (1992) el factor Motivación puede interpretarse como “la motivación que siente el
estudiante hacia el estudio y utilización de las matemáticas” (p. 87) y el factor Confianza puede
interpretarse “como el sentimiento de confianza que provoca la habilidad en matemáticas” (p. 87). El
índice original de fiabilidad de Cronbach de Motivación es 0,560 y el de Confianza de 0,498. Se
presentan los ítems en la Tabla 2 en donde los tres ítems de motivación están redactados de forma
negativa.
MOTIVACIÓN HACIA LAS MATEMÁTICAS

M1 La matemática es demasiado teórica para que pueda servirme de algo.
Las matemáticas pueden ser útiles para el que decida realizar una
M2
carrera de “ciencias”, pero no para el resto de los estudiantes.
La materia que se imparte en las clases de Matemáticas es muy poco
M3
interesante.
CONFIANZA HACIA LAS MATEMÁTICAS
Tener buenos conocimientos de Matemáticas incrementará mis
C1
posibilidades de trabajo.
Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de
C2
Matemáticas.
C3 Si me lo propusiera creo que llegaría a dominar bien las Matemáticas.
Tabla 2. Subescalas de Motivación y Confianza de Auzmendi (1992)
4.3. Procedimiento
A principio de los cursos académicos 2012/13, 2013/14, 2014/15 y 2015/16 en la primera

semana de clase se les aplicó a los alumnos una serie de pruebas para conocer su relación afectivo-
cognitiva con las Matemáticas. Dos de las pruebas fueron el Cuestionario de Ansiedad de Fennema-
Sherman (1976) y la Escala de Actitud de Auzmendi (1992) que incluye las subescalas de Motivación
y Confianza. En el análisis de los resultados se utiliza el paquete estadístico Systat 13.0
5. Resultados
5.1. Estadísticos
El índice alfa de fiabilidad de Cronbach del cuestionario de Ansiedad es 0,885, el de Motivación

es 0,557 y el de Confianza es de 0,363. El hecho de que estos dos últimos índices sean bajos puede
estar ocasionado porque son factores poco diferenciados y específicos. Al considerar conjuntamente
Motivación y Confianza su índice es 0,602.
La media y la desviación típica de los 12 ítems de Ansiedad, se presentan en la Tabla 3 en

donde todos tienen de mínimo 1 y de máximo 5, siendo el número de alumnos 829.

AN1 AN2 AN3 AN4 AN5 AN6

Media 3,176 2,993 3,693 3,920 3,686 2,706
DT 1,163 1,180 1,113 1,074 1,147 1,068

Media 2,802 2,519 2,452 2,627 2,917 2,779
DT 1,132 1,103 1,100 1,041 1,146 1,161
Tabla 3. Estadísticos por ítems de Ansiedad
 El ítem con menor puntuación es AN9 (Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas
de matemáticas) y el de mayor puntuación AN4 (Casi siempre me pongo nervioso en un
examen de Matemáticas).
 El ítem con las respuestas más concentradas es AN10 (Cuando hago un problema de
matemáticas se me queda la mente en blanco y no soy capaz de pensar claramente) y con las
respuestas más dispersas el AN2 (No me gustaría nada hacer más cursos de matemáticas).
En la Tabla 4 se presentan la media y desviación típica de los seis ítems, tres de Motivación y
tres de Confianza de los 829 alumnos en donde la puntuación mínima es 1 y la máxima es 5.
MOTIVACIÓN CONFIANZA
M1 M2 M3 C1 C2 C3
Media 3,919 4,163 3,461 3,753 4,344 3,800
DT 0,931 0,885 0,914 0,886 0,945 0,892
Tabla 4. Estadísticos por ítems de Motivación y Confianza
 El ítem C2 (Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de Matemáticas)
tiene la puntuación más alta y más dispersa.
 El ítem M3 (La materia que se imparte en las clases de Matemáticas es muy poco interesante)
tiene la puntuación más baja.
 El ítem M2 (Las Matemáticas pueden ser útiles para el que decida realizar una carrera de
“ciencias”, pero no para el resto de los estudiantes) tiene las respuestas más concentradas.
En las Tablas 5 y 6 se presentan los estadísticos por variable tanto generales como por género,
siendo la edad de los alumnos entre 17 y 53 años, 829 los participantes, 213 hombres y 616 mujeres.
EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

Media 21,68 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966
DT 4,776 0,744 0,826 0,801 0,918 0,662 0,602
Tabla 5. Estadísticos por variables
 En Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) por encima de la puntuación neutral 3 hay 416
futuros maestros, el 50,18% del total de la muestra.
 En Ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG), por encima de 3 hay 314, el 37,88%.

 En Ansiedad ante Problemas (ANP), por encima de 3 hay 306, el 36,91%.

 En Ansiedad ante Exámenes (ANE), por encima de 3 hay 564, el 68,03%.
 En Motivación (MO), por encima de 3 hay 707, el 85,28%.
 En Confianza (CO), por encima de 3 hay 757, el 91,31%.
HOM EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

Media 22,415 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002
DT 5,085 0,701 0,754 0,720 0,939 0,645 0,580
MUJ
Media 21,425 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954
DT 4,642 0,723 0,823 0,806 0,860 0,663 0,610
Tabla 6. Estadísticos por variables y sexo
 En hombres ANS por encima 3 hay 67 hombres, el 31,46%, del total de alumnos y en mujeres
349, el 56,66%, del total de alumnas.
 En hombres ANG por encima de 3 hay 50, el 23,47%, y en mujeres 264, el 42,86%.
 En hombres ANP por encima de 3 hay 48, el 22,54%, y en mujeres 258, el 41,88%.
 En hombres ANE por encima de 3 hay 104, el 48,83% y en mujeres 460, el 74,68%.
 En hombres MO por encima de 3 hay 177, el 83,10% y en mujeres 530, el 86,04%.
 En hombres CO por encima de 3 hay 199, el 93,43% y en mujeres 558, el 90,58%.
En las Tablas 7 y 8 se presentan los estadísticos por variable, tanto ansiedad total como ansiedad
general, ansiedad ante problemas y ansiedad ante exámenes y en actitud la motivación y la confianza.
En la Tabla 7 resultados globales y en la Tabla 8 por género de los cursos académicos (CA) 2012/13,
2013/14, 2014/15 y 2015/16.
CA N ANS ANG ANP ANE MO CO

12/13 309 3,022 2,880 2,901 3,468 3,782 3,866
13/14 197 3,000 2,779 2,969 3,536 3,860 3,927
14/15 142 2,976 2,800 2,833 3,424 3,939 4,108
15/16 181 3,050 2,841 2,921 3,591 3,858 4,068
MUES 829 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966
Tabla 7. Medias por Curso Académico
 La Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) varía en 74 milésimas de unos cursos a otros.
 La Ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG) se encuentra en todos los cursos por
debajo de 3 (valor neutral).
 La Ansiedad ante la Resolución de Problemas (ANP) no llega a 3.
 La Ansiedad ante los Exámenes (ANE) supera en todos los casos el valor neutral 3.
 Tanto la Motivación (MO) como la Confianza (CO) de los futuros maestros es alta, situándose
en torno al valor 4.

CAH N ANS ANG ANP ANE MO CO

12/13 60 2,736 2,608 2,683 3,117 3,628 3,828
13/14 52 2,566 2,365 2,647 2,955 3,808 3,981
14/15 42 2,627 2,488 2,571 2,934 3,802 4,111
15/16 59 2,747 2,596 2,616 3,181 3,667 4,119
MUES 213 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002
CAM
12/13 249 3,091 2,946 2,953 3,553 3,819 3,875
13/14 145 3,155 2,928 3,085 3,745 3,878 3,908
14/15 199 3,122 2,932 2,943 3,630 3,997 4,107
15/16 122 3,196 2,959 3,068 3,790 3,951 4,044
MUES 616 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954
Tabla 8. Medias por Curso Académico y sexo
 En hombres (CAH) Ansiedad ante las Matemáticas (ANS) y sus subescalas están por debajo
del valor 3, excepto en dos cursos en donde la ansiedad ante los exámenes (ANE).
 En Motivación y Confianza, tanto en hombres (CAH) como en mujeres (CAM), en todos los
cursos es superior a 3,5.
 Las alumnas, aunque con valores muy próximos a los alumnos, están más motivadas que sus
compañeros.
 En Ansiedad ante las Matemáticas, solo en Ansiedad hacia las Matemáticas en General las
alumnas están por debajo del valor neutral 3.
En las Tablas 9 y 10 se presentan los estadísticos por variable tanto generales como por género
de los cursos 2.º, 3.º y 4.º del Grado de Maestro de Primaria.

2.º 380 3,043 2,861 2,971 3,524 3,882 3,963
3.º 273 3,052 2,888 2,900 3,526 3,735 3,951
4.º 176 2,898 2,691 2,794 3,424 3,932 3,996
MUES 829 3,015 2,834 2,910 3,504 3,844 3,966
Tabla 9. Medias por Curso del Grado de Maestro de Primaria
 La Ansiedad ante las Matemáticas de los alumnos de 4.º es menor que en los alumnos de 2.º.
 La ansiedad general, ante problemas y ante exámenes es en 4.º inferior a 2.º
 La Confianza y Motivación más altas las tienen los alumnos de 4.º curso.


2.º 90 2,680 2,548 2,663 3,040 3,678 3,963
3.º 68 2,672 2,500 2,583 3,083 3,672 4,020
4.º 55 2,676 2,506 2,648 3,061 3,836 4,042
MUES 213 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002
CAM
2.º 290 3,156 2,959 3,067 3,675 3,945 3,963
3.º 205 3,178 3,016 3,005 3,673 3,756 3,928
4.º 121 2,999 2,775 2,859 3,590 3,975 3,975
MUES 616 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954
Tabla 10. Medias por Curso del Grado de Maestro de Primaria y sexo
 Los alumnos de 4.º curso están más motivados y tiene mayor confianza en las Matemáticas
que los de 2.º y 3.º
 La ansiedad ante los exámenes (ANE) más baja la tiene los alumnos de 2.º curso.
 La ansiedad hacia las Matemáticas en General (ANG) y la ansiedad ante la resolución de
problemas (ANP) más baja la tienen los alumnos de 3.º.
 Menor ansiedad ante las matemáticas las alumnas de 4.º que las de 2.º.
 Menor ansiedad hacia las Matemáticas en general, ante problemas y ante exámenes tienen las
alumnas de 4.º respecto a las de 2.º
 Mayor confianza y motivación las alumnas de 4.º que las de 2.º.
5.2. Correlación de Pearson
En la Tabla 11 se presentan las correlaciones de Pearson más altas entre los ítems de ansiedad y
en la Tabla 12 las correlaciones entre las variables analizadas.
AN7-AN8 AN4-AN5 AN11-AN12 AN8-AN12 AN7-AN12 AN9-AN10 AN10-AN12

r 0,727 0,685 0,680 0,647 0,639 0,619 0,614
p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001
Tabla 11. Correlaciones entre ítems de Ansiedad más altos
 Todas las correlaciones entre ítems son significativas excepto AN2-AN3.

 Las correlaciones entre los ítems de Motivación son bajas (la mayor M1-M2 es 0,375), aunque
todas son significativas.
 En Confianza todas las correlaciones son significativas, siendo la más alta C1-C3 con 0,176.
ANS-ANG ANS-ANP ANG-ANP ANG-ANE ANG-ANE ANP-ANE MO-CO

r 0,929 0,816 0,816 0,675 0,653 0,574 0,368
p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001
Tabla 12. Correlaciones entre variables de Ansiedad, Confianza y Motivación

 Las tres subescalas de la escala de ansiedad correlacionan muy alta con ansiedad hacia las
matemáticas (ANS) y entre ellas.
 Ansiedad correlaciona negativamente con motivación y confianza. A mayor motivación menor
ansiedad (r=-0,226, p<.001) y a mayor confianza menor ansiedad (r=-0,316, p<.001).
 Todas las correlaciones son significativas menos Motivación-Ansiedad Exámenes (r=-0,085,
p=.223).
5.3. T de Student
Para ver si existen diferencias por género en los ítems de ansiedad, motivación y confianza se
aplicó una t-Student cuyos resultados aparecen en las Tablas 13 y 14. En la Tabla 15 se presentan por
género y probabilidad de las variables estudiadas.

HOM 2,676 2,854 3,296 3,479 3,169 2,385
MUJ 3,349 3,041 3,758 4,073 3,865 2,817
p <.001 .047 <.001 <.001 <.001 <.001
HOM 2,484 2,263 2,178 2,432 2,559 2,455

MUJ 2,912 2,607 2,547 2,708 3,041 2,891
p <.001 <.001 <.001 <.001 <.001 <.001
Tabla 13. Medias de ítems por género de la escala de Ansiedad
 En todos los ítems de la escala de Ansiedad de Fennema-Sherman hay diferencias

significativas por género. Mayor ansiedad en alumnas que en alumnos.
MOTIVACIÓN CONFIANZA
M1 M2 M3 C1 C2 C3
HOM 3,634 4,033 3,474 3,765 4,305 3,925
MUJ 4,018 4,208 3,456 3,748 4,357 3,756
p <.001 .013 .804 .811 .489 .017
Tabla 14. Medias de ítems subescalas de Motivación y Confianza
 En Motivación en dos de los tres ítems tienen las alumnas mayor puntuación que los alumnos,
siendo significativa la diferencia.
 En Confianza en un ítem mejor los alumnos que las alumnas.
SEXO EDAD ANS ANG ANP ANE MO CO

HOM 22,415 2,676 2,522 2,634 3,059 3,717 4,002
MUJ 21,425 3,132 2,942 3,005 3,657 3,888 3,954
p .010 <.001 <.001 <.001 <.001 .001 .319
Tabla 15. Medias por variables Ansiedad, Motivación y Confianza

 Los alumnos que participan en el estudio tienen un año más de edad media que las alumnas,
que es significativo.
 En todas las escalas de ansiedad las alumnas tienen más ansiedad que los alumnos, siendo las
diferencias significativas.
 Las alumnas están más motivadas que los alumnos, siendo la diferencia significativa.
 Los alumnos tienen más confianza en las matemáticas que las alumnas, no siendo la diferencia
significativa.
5.4. Análisis de la varianza
Se ha aplicado un Análisis de la Varianza, calculando una F de Snédecor, tanto por Curso del
Grado de Maestro de Primaria (CGMP) como por Curso Académico (CA), de forma global y por
género, siendo los resultados:
 Ansiedad por Curso del Grado de Maestro de Primaria (CGMP), (F=2,785, p=.062) no es
significativa.
 Motivación por CGMP (F=5,922, p=.003) es significativa a favor de 2.º y 4.º.
 Confianza por CGMP no es significativa (F=0,313, p=.732).
 Ansiedad por curso académico no es significativa (F=0,298, p=.827).
 Confianza por curso académico no es significativo (F=1,943, p=.121).
 Motivación por curso académico es significativo (F=7,667, p<.001) a favor de los dos últimos.
5.5. Recta de regresión múltiple
Para ver si las tres subescalas de Ansiedad entran como variables independientes en la ecuación
de Ansiedad ante las Matemáticas (variable dependiente), se aplica una recta de regresión múltiple
resultando que las tres son significativas (p<.001) configurando la expresión de la Tabla 16.
RECTA DE REGRESIÓN MÚLTIPLE VE

ANS = 0,021 + 0,495  ANG + 0,252  ANP + 0,245  ANE 97,80
Tabla 16. Recta de regresión múltiple
 Las variables ANG, ANP y ANE resultan muy significativas al aplicar una F de Snédecor
(F=12286,227, p<.001).
 La Ansiedad ante las Matemáticas en función de la Ansiedad en General, la Ansiedad ante la
resolución de Problemas y la Ansiedad ante Exámenes tiene una varianza explicada del
97,80% del total.
5.6. Análisis por conglomerados
Mediante este análisis se intenta agrupar a los alumnos tratando de lograr la máxima
homogeneidad en cada grupo y la mayor diferencia entre los grupos. Se han establecido tres grupos y
como medida de disimilitud la distancia euclidiana. Los conglomerados de Ansiedad, Motivación y
Confianza se presentan en la Tabla 17.

ANSIEDAD MOTIVACIÓN CONFIANZA

G1 G2 G3 G1 G2 G3 G1 G2 G3
Min. 1,000 2,667 3,583 1,000 2,667 3,667 1,333 3,000 4,000
Máx. 2,583 3,500 5,000 2,333 3,333 5,000 2,667 3,667 5,000
Media 2,119 3,084 3,975 1,968 3,113 4,160 2,343 3,484 4,331
DT 0,356 0,248 0,347 0,482 0,251 0,411 0,361 0,239 0,320
N 243 387 199 21 206 602 36 273 520
% 29,31 46,68 24,0 2,53 24,85 72,62 4,34 32,93 62,73
Tabla 17. Conglomerados en Ansiedad, Motivación y Confianza
 El grupo inferior G1 en Ansiedad (29,31%) debería de corresponderse con el grupo superior
G3 de Motivación (72,62%) y Confianza (62,73%). Como eso no ocurre no podemos asegurar
que esta distribución en conglomerados pueda resultar útil en el estudio.
 Más del 60% de los participantes tienen una motivación alta y una confianza alta hacia las
Matemáticas, pero tan solo tres de cada diez tiene una ansiedad baja ante las Matemáticas.
6. Discusión y Conclusiones
En la Escala de Fennema-Sherman (1976), tanto en el presente estudio como en el de Sánchez-

Mendías (2013) y en mujeres de Pérez-Tyteca (2012) el ítem con puntuación más alta es AN4 (Casi
siempre me pongo nervioso en un examen de matemáticas) mientras que la puntuación más baja es
AN9 (Me pongo malo cuando pienso en resolver problemas de Matemáticas) en nuestro estudio y en
el de Pérez-Tyteca (2012) es AN8 (Las matemáticas me ponen incómodo, inquieto irritable e
impaciente) y en el de Sánchez-Mendías (2013) es AN6 (Normalmente estoy intranquilo en las clases
de Matemáticas). En los 12 ítems las diferencias son significativas con mayor ansiedad en las alumnas,
siendo en el estudio de Pérez-Tyteca (2012) también significativas con más ansiedad para mujeres. El
nivel de ansiedad se ha reducido tras la formación matemáticas recibida, en contra de lo obtenido por
Mato (2015) y Marban et al. (2016) en que aumentaba. Es importante el resultado obtenido en el ítem
de confianza C2 (Me provoca una gran satisfacción el llegar a resolver problemas de matemáticas) en
donde la media 4,344 es el valor más alto de los ítems de confianza y motivación.
En el estudio realizado la media de ansiedad se sitúa en 3,015, en Pérez-Tyteca (2012) en la

titulación de maestros en 2,91 y en Sánchez-Mendías (2013) en 2,76, todos ellos medidos con la
misma escala de Fennema-Sherman, lo que viene a indicar que hay en los futuros maestros una
ansiedad moderada. Que aumenta ante la resolución de problemas a 3,50, y en el estudio de Pérez-
Tyteca (2012) a 3,57 y en el de Sánchez-Mendías (2013) a 2,60. Y en Exámenes en mujeres en el
presente estudio se eleva a 3,66, en Pérez-Tyteca (2012) a 3,31 y en Sánchez-Mendías a 3,14.
Considerando las puntuaciones de Ansiedad (ANS) y desglosando por Ansiedad hacia las
Matemáticas en General (ANG), Ansiedad ante Problemas (ANP) y Ansiedad ante Exámenes (ANE),
las puntuaciones más altas en ansiedad en este estudio y en otros (Rosario et al. 2008, Pérez-Tyteca,
2012; Sánchez-Mendías, 2013; Nortes y Nortes, 2014 y Maroto, 2015) las tienen las mujeres frente a
los hombres, siendo la diferencia significativa. De todas las medias la más alta es en mujeres de
nuestro estudio ante exámenes. Considerando por género en las tres subescalas de los estudios
referenciados las diferencias son significativas, teniendo más ansiedad las alumnas.
En Ansiedad hacia las matemáticas con puntuación superior a 3 (valor neutral) hay más de la
mitad de los futuros maestros, llegando en el caso de ansiedad ante los exámenes al 68%. Por sexo en

hombres por encima de 3 hay uno de cada cuatro, mientras que en mujeres una de cada dos, siendo
ante exámenes uno de cada dos alumnos y tres de cada cuatro alumnas. Los hombres tienen mayor
confianza y las mujeres mayor motivación, siendo en este caso significativa (p=.001). También
Maroto (2015) obtuvo que los hombres tienen más confianza que las mujeres, siendo la diferencia
significativa.
Por curso académico la ansiedad (ANS) más alta se da en el curso 15/16 y la más baja en el
14/15, con pequeñas variaciones y ocurre igual ante exámenes (ANE). Mayor ansiedad en mujeres que
en hombres en todos los cursos académicos.
Por cursos del Grado de Maestro en todas las variables los alumnos de 4.º tienen menos
ansiedad que los de 2.º y mayor motivación y confianza, que es contrario a lo obtenido por Maroto
(2015) en donde al finalizar los estudios del grado los maestros en formación no tienen menos
ansiedad que cuando iniciaron sus estudios y “la formación que estamos dando a los futuros maestros
no hace mejorar las emociones matemáticas con las que acceden a los estudios de grado” (p. 295).
En el análisis de la varianza llevado a cabo, la ansiedad, aunque es menor en 4.º que en 2.º
considerando los tres cursos del grado no resulta significativa, al igual que ocurre con confianza. Si lo
es la motivación favorable a 2.º y 4.º y significativa. Y por curso académico la ansiedad no tiene
diferencias significativas en los cuatro cursos, tampoco la confianza, pero si la tiene motivación
favorable a los cursos 14/15 y 15/16.
Las correlaciones entre Ansiedad y las subescalas son altas, todas ellas significativas, mientras que la
correlación entre Motivación y Confianza no tiene valor alto, aunque si es significativa. Como era de
prever la ansiedad correlaciona negativamente con motivación y confianza, lo que nos indica que un
alumno con ansiedad ante las matemáticas está poco motivado y tiene poca confianza en las matemáticas.
En la recta de regresión múltiple las tres subescalas (ANG, ANP y ANE) actúan como variables
independientes en la expresión de la ansiedad hacia las matemáticas (ANS) considerada como variable
dependiente, viendo que las tres subescalas aplicando la t-Student resultan significativas (p<.001) y
que la ecuación obtenida explica el 97,8% de la varianza total.
Sánchez-Mendías (2013) obtiene tres conglomerados en donde el 30,94% de los alumnos tienen
Ansiedad baja, media el 40,57% y alta el 28,48%. Con Autoconfianza baja el 28,07%, media el 41,39%
y alta el 30,53%, comprobando que en la mayoría de los casos los sujetos que conforman el perfil de
Ansiedad baja también pertenecen al perfil de Confianza alta. En el estudio realizado el porcentaje de
estudiantes con Ansiedad baja, Motivación alta y Confianza alta no se corresponden, dando a entender
que hay alumnos con Confianza y Motivación alta que no pertenecen al grupo de Ansiedad baja.
¿Qué conclusiones podemos obtener del presente estudio con futuros maestros de primaria? Estamos
de acuerdo con Martínez (2008) cuando dice que en el aula los estudiantes construyen actitudes positivas,
neutras y negativas, siendo éstas las que conducen hacia el rechazo a las matemáticas. Y Pérez-Tyteca
(2012) aporta un dato preocupante cuando manifiesta que los futuros maestros serán los encargados de
enseñar matemáticas a las nuevas generaciones y precisamente se encuentran entre los alumnos con mayor
ansiedad matemática, sextos en una lista de veintiséis titulaciones diferentes. Y Sánchez-Mendías (2013)
considera que un buen maestro se debe caracterizar por una baja ansiedad y una alta confianza, porque “la
ansiedad es la raíz de muchos casos de fobia o rechazo escolar y la necesidad de prevenirla se comprende
cuando se piensa en los efectos que el fracaso escolar llega a tener” (p. 222).
La ansiedad y la falta de motivación y confianza se genera desde los primeros niveles

educativos. Las experiencias negativas vividas en la asignatura de matemáticas y la metodología

utilizada por algunos profesores hacen que los bloqueos vayan aumentando en el estudiante ante el
desconocimiento de cómo proceder ante la resolución de un problema matemático, situándose en un
camino de difícil retorno. Además, cuando los alumnos llegan a la Universidad e inician los estudios
del Grado de Maestro de Primaria los profesores del Área de Didáctica de las Matemáticas no siempre
utilizan adecuadamente los recursos a su alcance dentro del dominio afectivo.
Porque “lo cognitivo y afectivo parecen ser indivisibles y ambos tienen responsabilidades en las
actuaciones evaluativas emitidas por los sujetos ante determinados objetos, personas o situaciones”
(Martínez, 2008, p. 251). Si añadimos que un porcentaje elevado de alumnos muestra una clara
desmotivación hacia las matemáticas y que según Ruiz de Gauna et al. (2013, p. 12) “constituye un
tercio del alumnado, futuros maestros, que esperan recibir una enseñanza práctica ligada a los contenidos
que debe impartir”, que aprueban la materia uno de cada dos estudiantes (Nortes y Nortes, 2016), que un
74,31% son mujeres y que tres de cada cuatro alumnas tienen una ansiedad ante los exámenes superior a
la neutra, aunque más del 85% de los futuros maestros se muestren motivados y con confianza,
estaremos describiendo la situación real de los estudios del Grado de Maestro de Primaria.
Como aportaciones del presente estudio están las ligeras diferencias obtenidas a lo largo de los
cuatro cursos en Ansiedad, Motivación y Confianza de los alumnos del Grado de Maestro de Primaria,
con valores mejorables en la primera y altos en las otras dos. Se ratifican las investigaciones anteriores
de que las mujeres tienen más ansiedad que los hombres y al ser mujeres tres de cada cuatro
estudiantes hace necesario e imprescindible rebajar su nivel de ansiedad ante las Matemáticas. El
hecho de que las futuras maestras cuando finalizan sus estudios tienen menos ansiedad que cuando los
iniciaron, más confianza y más motivación ante las Matemáticas es un resultado altamente positivo.
En general es necesario rebajar el grado de ansiedad de las futuras maestras. Para ello es preciso
que inicien el Grado de Maestro de Primaria con unos conocimientos básicos en Matemáticas y en
Resolución de Problemas que eviten la angustia, el miedo, los nervios, los agobios… hacia la
asignatura y que puedan cursar la Didáctica de las Matemáticas con actitudes positivas que permitan
entusiasmarse con las Matemáticas y transmitirlo posteriormente a sus futuros alumnos. Para ello
Gómez-Chacón (2016) destaca en la determinación de la interacción cognición y afecto en
matemáticas: la estructura del afecto local, la conceptualización del trabajo matemático, las decisiones
metodológicas y el análisis implicativo de datos.
Los alumnos que acceden al Grado de Maestro de Primaria tienen confianza y están motivados
hacia las Matemáticas y para reducir los niveles de ansiedad y aumentar la confianza en sí mismos, se
propone que refuercen sus conocimientos de matemáticas escolares. Para ello, en la primera parte de la
asignatura inicial de Matemáticas y su didáctica, mediante clases activas se trabaje por grupos los
conceptos fundamentales de matemáticas y la resolución de problemas, comentando las estrategias
utilizadas, dando mayor peso a los procedimientos que a los resultados, analizando las dificultades y
los errores y aprendiendo de ellos.
Bibliografía
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Gómez-Chacón, I. M. (2016). Métodos empíricos para la determinación de estructuras de cognición y

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http://www.ugr.es/~recfpro/rev153COL6.pdf
Sánchez-Mendías, J. (2013). Actitudes hacia las matemáticas de los futuros maestros de Educación
Primaria. Tesis doctoral inédita. Universidad de Granada, Granada.
Rosa Nortes Martínez-Artero. Profesor Ayudante Doctor de la Facultad de Educación de la Universidad

de Murcia. Pertenece al Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de
investigación relacionadas con la formación inicial de maestros. Últimas publicaciones: “Resolución de
problemas, errores y dificultades en el Grado de Maestro de Primaria” (Revista de Investigación
Educativa, 34.1) y “¿Qué pensaban los estudiantes de las diplomaturas de maestro de educación primaria
sobre las clases de ciencias de sus prácticas de enseñanza?” (Enseñanza de las Ciencias, 34.1).
Dirección electrónica: mrosa.nortes@um.es
Andrés Nortes Checa. Profesor de la Facultad de Educación de Universidad de Murcia. Pertenece al

Departamento de Didáctica de las Ciencias Matemáticas y Sociales. Líneas de investigación relacionadas
con la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Dirección electrónica: anortes@um.es

ISSN: 1887-1984
E
X
TIPS de ruta
P
María Jesús Casado Barrio (Instituto de Enseñanza Secundaria F. Daviña Rey. Lugo. España)
E
Resumen TIPS de Ruta es un proyecto de movilidad desarrollado durante el curso 2015-2016 en
las materias de matemáticas y tecnología de la información y la comunicación, cuya
misión es fomentar el respeto por la movilidad sostenible y segura a partir del estudio de
R
modelos matemáticos de rutas temáticas. Como productos finales se obtuvieron mapas de
rutas en formato metrominuto, una aplicación para dispositivos Android y distintas
actividades publicadas en los blogs del proyecto, además de entradas en la wikipedia.
I
Una parte se realizó conjuntamente con profesoras portuguesas a través de un proyecto
eTwinning con el nombre de TIPS de movilidad España-Portugal.
E
Palabras clave Rutas, movilidad, metrominuto, geogebra, eTwinning, proyecto.
Coordinador: Sergio Darias Beautell

N
Abstract TIPS de ruta is a mobility project developed during the 2015-2016 course in math and
information technology and communication, whose mission is to promote respect for
C
sustainable and safe mobility from the study of mathematical models of routes themes.
As final products route maps were obtained in metrominuto format, an application for
Android devices and various activities posted on the blogs of the project, and Wikipedia
I
entries. A party was held jointly with Portuguese teachers through an eTwinning project
with the name of TIPS of mobility Spain-Portugal.
A
Keywords Routes, mobility, metrominuto, geogebra, eTwinning, project.
S
1. Introducción
En el año 2012 la Consejería de Educación gallega propone a su red de centros una iniciativa
basada en el aprendizaje por proyectos, el “Plan Proxecta”. La idea inicial es promover la innovación a
D
través de programas educativos que desarrollen el aprendizaje por competencias, la educación en
valores y el trabajo interdisciplinar del profesorado. En un principio recoge diversos programas que ya E
existían en otras consejerías, e incluye alguno nuevo, agrupándolos bajo un mismo marco legal.
Para una parte del profesorado, entre los que me incluyo, la idea de trabajar con una cobertura
de formación y un reconocimiento a través de horas de innovación, nos pareció una oferta interesante,
ya que estábamos aplicando en nuestras aulas esta metodología por cuenta propia sin más aval que
A
nuestra propia experiencia.

U
Este fue el principio de partida de una serie de proyectos que en el IES Daviña Rey hemos
venido desarrollando, de los que he sido coordinadora, y que han tenido como eje fundamental la
búsqueda de modelos matemáticos de situaciones reales, y su aplicación dentro y fuera del aula.
L
A lo largo de estos cuatro años hemos ido creando distintas estrategias de trabajo y formado un
grupo de colaboradores que participan, bien en la parte local (Plan Proxecta), o bien en la parte
A
internacional (proyecto etwinning).

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
Existen temáticas clave que por su relevancia social son recurrentes en proyectos escolares,
A
aparecen en páginas de organismos e instituciones, e incluso disponen de materiales de aula muy

completos, cualquier profesor que quiera aplicarlos en sus clases puede hacerlo de forma sencilla. Sin
embargo no todos presentan el enfoque curricular que sería necesario para que se considere integrado
L
y permita formar parte de los estándares evaluables de una materia.

U
En nuestro caso, el bloque uno del currículo, procesos, métodos y actitudes en matemáticas, es
totalmente abordable desde una metodología por proyectos, con algunos criterios de evaluación muy
ligados a este aspecto como por ejemplo “Valorar la modelización matemática como un recurso para
A
resolver problemas de la realidad cotidiana, evaluando la eficacia y limitaciones de los modelos

utilizados o construidos”. Pero para los demás bloques es necesario hacer una adaptación de las
actividades que se proponen en los materiales existentes en la red, analizando qué estándares se
trabajan en cada una de ellas e introduciendo las modificaciones que sean necesarias.
E
La resolución de problemas es una parte de la competencia matemática que tradicionalmente se

relega a la habilidad de resolver ejercicios pautados. Estos se presentan agrupados por contenidos
D
matemáticos lo que implica desligarlos de contextos reales, habida cuenta de que en el mundo real los
problemas son heterogéneos y por lo tanto no están asociados a un único concepto.
Otra cuestión de interés es la interdisciplinaridad, que también se intenta evitar para que la
dificultad de la resolución sea exclusiva de la materia, esta situación caduca en el momento en que
S
nuestros alumnos ponen un pie en la calle y entran en la vida laboral.
El aprendizaje por proyectos va en contra de ambas actitudes y presenta las matemáticas como
A
un conjunto, dentro de un contexto real y como un valor necesario, útil, imprescindible y básico, no
sólo dentro de la vida escolar (para otras materias) sino también en su día a día.
I
Durante el curso 2015-2016 nuestro proyecto versó sobre el tema “Movilidad sostenible y
segura”. Este programa está promovido por la Dirección General del Tráfico, organismo que
C
proporciona abundante información en su portal web además de formación específica para docentes.
Su principal objetivo es incentivar la participación de alumnado y profesorado en la mejora de la
N
movilidad en los dos aspectos indicados, en su entorno más cercano y en los desplazamientos
habituales. El programa liga de modo directo con los objetivos de la secundaria y del bachillerato, de
hecho este tema está nombrado de forma específica como objetivo para bachillerato en el Real Decreto
E
1105/2014, de 26 de diciembre, en su artículo 25, apartado n)1.
La movilidad tiene una fuerte conexión con las ciencias sociales (mapas y lugares), con la física
I
(magnitudes asociadas al movimiento), con la economía (coste del transporte, sostenibilidad), con la
biología (medio ambiente, aparato locomotor), con la educación física (caminar como deporte,
R
bicicleta), y con contenidos a tratar en todas las materias como la salud. El tema es demasiado amplio
para abordar en todos sus aspectos, por ello es preciso buscar actividades que combinen distintos
enfoques, con las matemáticas como elemento vertebrador.
E
El planteamiento inicial de un proyecto tiene una serie de etapas que, a nuestro juicio, son las
siguientes:
P
 Justificación/motivación (misión, objetivos y título del proyecto)

X
E
1
Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
 Participantes (alumnado, profesorado, organismos y expertos)
E
 Posibles actividades relacionadas con el currículo de las materias y calendario
aproximado (temporalización).

X
Metodología y recursos necesarios para su desarrollo (presupuesto).
 Evaluación (procesual y final).
P
En la fase uno, motivación, buscamos un título que represente qué queremos conseguir con el
proyecto, ha de ser original, creativo y fácil de recordar. Esta tarea nos llevó a “TIPS de ruta”,
(consejos para mejorar la movilidad, y creación de rutas, bajo distintas temáticas y con distintas
E
finalidades). En el caso del proyecto eTwinning el título fue “TIPS de movilidad España-Portugal”.
R
Una vez que se han decidido los participantes, la selección de actividades pasa por una revisión
del currículo de las materias implicadas, (en este caso matemáticas, 1º y 2º de ESO, y tecnología de la
información y la comunicación, 4º y 1º de bachillerato TIC); y de su cronología, además de
I
colaboraciones de agentes externos.
E
Después de una búsqueda en la red obtuvimos una larga lista de problemas que, si bien
aportaron ideas, no guardaban una secuencia didáctica, así que nos centramos en dos o tres procesos
que conectasen con todos los bloques del currículo para elaborar un producto final. Así nos
N
centramos en la creación de rutas, y en su modelo matemático, los mapas.
La metodología se basó en el trabajo colaborativo, y combinó actividades individuales y en
C
grupo tanto dentro como fuera del aula, este formato fue compartido por alumnado y profesorado. El
equipo docente se reunía una vez a la semana para coordinar las tareas de cada materia que
I
convergerían en el producto final. Para llevarlo a cabo se precisaron medios tecnológicos que
permitiesen el trabajo simultáneo entre personas desde distintos lugares, el intercambio de ficheros, y
el almacenamiento conjunto de los materiales utilizados. Así mismo se buscó la difusión a través de
A
soportes web (públicos y privados).
S
Habitualmente utilizamos tres herramientas: el paquete de google (drive, gmail, blogger, maps,
youtube …), el aula virtual del centro (aula moodle con acceso sólo para profesores y alumnos), y
Twinspace (portal de trabajo para los proyectos eTwinning). En todos los proyectos creamos blogs
que apoyan la difusión, carpetas compartidas con los ficheros generados en el proceso, y actividades
dentro del moodle privado con los resultados de las evaluaciones. Además, utilizamos software
D
específico de matemáticas y programación para tareas concretas, geogebra, hojas de cálculo, App
Inventor … y en este empleamos también aplicaciones para el análisis de rutas como endomondo y
wikiloc. Otras herramientas de comunicación que utilizamos de forma más esporádica, fueron skype o
E
whatsapp.
La evaluación de las actividades se realizó durante todo el curso escolar, con instrumentos de
distintos tipos (pruebas, observación, rúbricas), que combinaron el análisis de la expresión oral y
A
escrita, y la presentación de resultados/productos en público. Las calificaciones formaron parte de la

nota del trimestre y se integraron en la nota global del curso. También se realizó una evaluación del
proyecto, al finalizar, en la que se recogieron sugerencias, el grado de alcance de los objetivos, así
U
como el de satisfacción de los participantes. Esto se hizo tanto para la parte local como para la
realizada con el alumnado extranjero.
L
Para nosotros es muy importante que los proyectos sean intracurriculares; no tiene sentido su
tratamiento ocasional, como propuesta extraescolar, para participar en un concurso o sin formar parte
de las calificaciones. Creemos que este tipo de enfoques minusvaloran las actividades y hacen que el
A
alumnado no se tome en serio el tema del programa. Esto no es incompatible con que una parte del

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
proyecto contenga actividades extraescolares, de hecho es recomendable; o que una vez realizado, si
A
se estima oportuno, se presente a un concurso, como una evaluación externa que nos aportará una
valoración final del trabajo realizado; pero esto no debe verse como un objetivo sino un incentivo.
L
2. TIPS de ruta. Objetivos del proyecto

U
En las líneas anteriores ya se ha ido adelantando qué se pretende en el aprendizaje por

proyectos, de hecho existen unos objetivos comunes a todos ellos que podemos resumir en los
A
siguientes:
 Motivar al alumnado con un proyecto actual, innovador, integrador y abierto la toda la

comunidad educativa, que le ayude a formarse como ciudadano responsable.

E
Cambiar el papel del alumnado para que adopte una actitud activa frente a los problemas
de su entorno, aportándole herramientas tecnológicas que le permitan cambiar esta
situación y comunicarse con otras personas en la búsqueda de un bien común.
D
 Romper los muros del aula y sacar al exterior las actividades realizadas utilizando los
medios de publicación de la web 2.0.
 Identificar, formular y resolver problemas del entorno a partir de su experiencia
cotidiana, utilizando para ello las matemáticas, la informática y los recursos de los que
dispone el centro.
S
 Elaborar nuevos materiales didácticos relacionados con el tema a tratar que faciliten la
labor educativa de otros docentes.

A
Experimentar nuevas formas de organizar el trabajo a partir de almacenes en la nube y

sitios de recursos compartidos (cloud computing).
 Desarrollar un aprendizaje innovador, autónomo y cooperativo a partir de las nuevas
I
tecnologías.
 Hacer un uso responsable de la red y del hardware de conexión (dispositivos móviles,
C
tabletas, ordenadores); discriminando la información obtenida y respetando los derechos

de autor y de imagen.
N
Para este proyecto en particular añadimos
 Sensibilizar a los ciudadanos en general y a nuestros alumnos en particular sobre la

E
importancia de la seguridad y de la sostenibilidad en sus desplazamientos como

viajeros y como peatones, principalmente los escolares.

I
Concienciar a la comunidad educativa de la posible prevención de accidentes de

movilidad a partir del análisis de sus causas, dando a conocer las conductas de riesgo y
explicando cómo evitarlas.
R
 Generar sinergias entre el centro, los organismos locales y las familias, para lograr los
objetivos anteriores.

E
Buscar similitudes y diferencias de movilidad entre la zona de los dos centros

participantes de Portugal y de España.
P
3. TIPS de ruta: Actividades

X
3.1. Metrominutos
E
Las actividades realizadas combinan distintas estrategias de aprendizaje: organización,

planificación, comprensión, elaboración y ensayo, y evaluación. El producto final que hizo el papel de

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
columna vertebral fue el metrominuto i. Para los que no conozcan este tipo de mapas un metrominuto
E
es un mapa sinóptico, similar a los mapas de metro, que fue ideado por el ayuntamiento de Pontevedra,
y que en su inicio se pensó como mapa pedestre para difundir rutas por esta ciudad que fuesen de fácil
recorrido indicando las distancias en metros y los tiempos en minutos, de ahí su nombre.
X
El proyecto, en sus dos vertientes, local e internacionalii, tuvo una primera presentación ante el
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alumnado a cargo del profesor en prácticas del máster de secundaria José Antonio López Pérez,
ideario del logo M3 y constructor del primer diseño. Hay que señalar que en nuestro centro, la
integración del profesorado en prácticas en los procesos docentes pasa por su inclusión en los
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proyectos que desarrollamos siempre que sea posible.
R
Cuando se planteó la primera actividad, dentro del bloque de funciones para el curso de segundo
de ESO, se pensó en un recorrido limitado por el centro de Monforte, ubicado en un mapa dentro de
un diagrama cartesiano y utilizando como herramienta geogebra. Este mapa se incluyó dentro de una
I
situación de aprendizaje, para que el alumnado trabajando en equipo lo analizase y completase.
Simultáneamente comenzamos la publicación en el blog del proyecto de las tareas que íbamos
realizando. En la entrada MetroMinuto Monforte [M3]: Actividad en equipo orientada a
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competenciasiii, se explica con todo detalle el proceso de elaboración, aplicación y evaluación, así
como los estándares asociados y las posibles ampliaciones que se implementaron más adelante,
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metrominutos temáticos.
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Figura 1. Primer mapa de rutas realizado con geogebra

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En este primer mapa el punto (0,0) es la Plaza de España, y los demás puntos se eligen por su
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vinculación a los lugares donde vive nuestro alumnado, intentando que haya valores en todos los
cuadrantes. Aquí ya vimos la necesidad de que fuesen ellos quienes decidiesen qué puntos deberían
estar o no y cómo situarlos en función del destino final del mapa. Así, el metrominuto escolar contiene
L
los centros educativos de Monforte y otros puntos necesarios para conectarlos mediante rutas, pero su
centro de coordenadas no es la Plaza de España porque la distribución de éstos no lo aconseja.
Recordamos que no se trata de un mapa a escala sino de un mapa sinóptico.
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TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
A modo de resumen estas serían las etapas de elaboración de los mapas:

A
 Búsqueda de los puntos más relevantes de cada tema (incluye realización de rutas a pie
para la captación de puntos en el terreno)
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 Colocación de estos puntos en un software de geometría: geogebra

 Conexión de los puntos mediante segmentos para elaborar las rutas.
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 Búsqueda de información sobre las distancias entre puntos en google maps.

 Cálculo de tiempos a partir de esas distancias tomando como velocidad 5km/h (esta
referencia es la más común pero se puede variar)
A
 Anotación de tiempos y distancias en un mapa borrador

 Elaboración del mapa final (portada) y de la contraportada, en nuestro caso con el
software PowerPoint
 Publicación en distintos soportes de los mapas en tamaño A3 y A4.
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En el curso escolar 2015-2016 se publicaron tres metrominutos, escolar, de emergencias y de

rutas saludables.
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El primero (figura2) y el segundo (figura 3) fueron más sencillos, tienen menor número de
puntos con referencias muy claras. El mapa escolar contiene los centros educativos que figuran en la
página de la consejería de educación de Galicia a los que se suman los puntos clave para su conexión
(cruces, …); el mapa de emergencias contiene los hospitales y farmacias, el centro de salud y los
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lugares con desfibrilador (datos proporcionados por el 061), entre los que se incluye nuestro instituto.
Para su publicación se realizaron previamente las inscripciones en el depósito legal de Lugo y una vez
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imprimidos se repartieron en centros educativos, farmacias y locales sanitarios.

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Figura 2. Mapa de rutas escolares

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TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
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Figura 3. Mapa de Emergencias
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El tercero (figuras 4 y 5) fue más complicado porque se elaboró sin puntos a priori. En el
proceso se tardaron tres meses y se implicó a distintos organismos oficiales como el ayuntamiento y la
policía local, así como a expertos en la materia. Nuestro objetivo era proporcionar a la ciudadanía
I
monfortina una serie de rutas para caminar que tuviesen además elementos de interés (naturaleza,
monumentos,…). Para ello tuvimos que investigar las que ya existían, si estaban o no señalizadas, sus
características (distancias, perfil, iluminación, dificultad,…), recorrerlas a pie, decidir si las añadíamos
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al mapa o no, plasmarlas en un formato digital, extraer el modelo matemático de cada una de ellas
realizando la transformación del trazado real a líneas poligonales, y finalmente, hacer con todas ellas
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el mapa sinóptico, el metrominuto, con un diseño geométrico lo más visual posible y con maquetación
atractiva.
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Figura 4. Mapa de rutas saludables hecho con geogebra

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
Todo el proceso está documentado en las distintas entradas del blog “Tips de ruta-aula”. En él
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se incluyen actividades para cada etapa y bloque temático con tareas que se pueden extraer de las rutas
como por ejemplo, paseos aleatorios, estudios funcionales, proporciones, relaciones algebraicas, …
(ver las entradas del blog funcionesiv, probabilidadv, estadísticavi, álgebravii y geometríaviii).
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Los mapas pueden descargarse en este enlaceix que da acceso a una carpeta donde se encuentran
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otros archivos como la versión con google maps y una hoja de cálculo con información adicional.
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Figura 5. Mapa de rutas saludables

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Una de las actividades de funciones elaboradas a partir del metrominuto consistió en el estudio
de las tarifas de taxi locales. Recientemente acababa de publicarse una nueva tarifa en el boletín oficial
de la provincia según la cual el precio de un trayecto (además de incluir la bajada de bandera) está en
I
función de los kilómetros recorridos, el número de maletas que se transportan, el horario diurno o
nocturno, y si es día laborable o festivo. Este precio incluye un tramo de carencia de mil quinientos
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metros, que a la hora de convertir en una función nos lleva a un modelo a trozos. Las distancias
monfortinas son relativamente pequeñas por lo que la mayoría de los trayectos tienen el mismo precio,
están en la zona de carencia, esto coincidía con la experiencia personal de las personas consultadas. La
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representación gráfica de las tarifas se hizo con geogebra y sus resultados fueron utilizados en dos
situaciones de aprendizaje distintas, por un lado el proyecto etwinningx, donde españoles y
portugueses hicieron una comparativa de las tarifas a partir de recorridos entre centros educativos de
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Barreiro (Portugal) y de Monforte (España) obtenidos de sus mapas escolares. La segunda situación
fue la app para android que el alumnado de informática de cuarto de ESO diseñó con su profesor Luis
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Vázquez López basada en el mapa de emergencias, los de segundo colaboraron explicando a los de
cuarto los precios de los taxis para rutas entre el hospital y las farmacias. La app M3Farmaciasxi se
puede descargar de Google play y muestra la farmacia de guardia de distintos lugares y su
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localización, además de otras cuestiones de interés.

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
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Figura 6. Menú App M3Farmacias y portada del mapa de emergencias
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3.2. La medida y su valor en la experiencia.
Después de publicar el mapa de rutas saludables la siguiente actividad fue recorrer una de ellas,
I
optamos por la ruta número cinco. El recorrido cinco (en rojo en la imagen), de forma pentagonal,
recibe el nombre de “Mirador del Monte de Distriz”xii porque este es el punto más representativo. Una
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de las peculiaridades de sus tramos es que hay una relación de progresión aritmética en sus longitudes
(1200, 1400, 1600, 1800 y 2000 m), esta cuestión se utilizó para plantear una situación algebraica. La
suma de todo el trayecto es de 8 km, una cantidad importante para recorrer a pie, y si añadimos que
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tiene una pendiente considerable en la subida al mirador tenemos otro concepto matemático
importante de la vida real.
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Figura 7. Recorrido realizado en la salida escolar por la ruta número cinco

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TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
Cuando se planteó en clase qué ruta del mapa debíamos hacer a pie desde el instituto se valoró
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cuál era la distancia total a recorrer desde el centro educativo, los posibles trayectos y el esfuerzo que
representaban los tramos con pendiente. En principio la ruta cinco pareció viable, pero llegado el
momento se propuso al alumnado tomar un atajo para la subida principal (en la figura 7 puede verse
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este atajo, es una captura de pantalla del mapa creado ex proceso para esta salidaxiii). La respuesta fue
negativa, querían hacer el recorrido completo, y se sentían perfectamente capaces de realizarlo.
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Finalmente tomamos el atajo y gracias a esto y al descanso hecho en el mirador para tomar un
tentempié pudimos terminar el largo paseo. Hasta ese momento no fueron conscientes de la magnitud
A
que representan los ocho mil metros, a los que se añadió el trayecto desde el instituto, y la pendiente
del diez por ciento. Este último dato, la pendiente de subida, dio lugar a varias tareas de aula. Su
desarrollo está volcado en las entradas del blog que muestran la geometría de la rutaxiv y su
preparaciónxv.
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Figura 8. Atajo para la subida al mirador por la ruta número cinco

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3.3. Búsqueda de información, recopilación de datos y colaboración en red

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La recopilación de información asociada a la elaboración de los mapas fue compleja, era

necesario elaborar rutas reales y ponerlas en soporte digital partiendo de cero, una tarea demasiado
ardua para alumnado del primer ciclo de ESO, pero la web wikiloc nos facilitó el proceso. En ella
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encontramos rutas que otras personas habían realizado y compartido, disponibles para embeber y
descargar, y con posibilidad de modificar. En otro de los blogs del proyecto, “TIPS de ruta”xvi,
dedicado al público en general, publicamos distintas rutas seleccionadas en esta web a partir de las
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cuales se hicieron recorridos que nos llevaron a la selección final del metrominuto de rutas saludables.

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
Los alumnos, por parejas, eligieron una ruta para evaluar, la recorrieron durante las vacaciones
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de Semana Santa, tomaron datos de tiempos de recorrido y otros elementos como señales, e
iluminación, sacaron fotos y la volcaron en un dibujo manual, y finalmente la pasaron a un archivo de
geogebra. El resto de la información fue compartida en un documento de google drive con el que se
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elaboró una presentación para mostrar en clase y al resto del centro educativo el día de las letras
gallegas: descripción de la ruta y mapa real frente a modelo matemático.
P
En nuestras tareas de investigación sobre la elaboración de rutas observamos que los mapas
peatonales del estilo del metrominuto están alcanzando relevancia entre las actividades que realizan
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las instituciones preocupadas por la movilidad sostenible, sin embargo este concepto todavía no
figuraba como tal en la wikipedia. Pensamos que un subproyecto interesante dentro de la materia de
TIC de bachillerato podría ser la publicación de esta palabra. Se hicieron entradas en cuatro idiomas,
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castellano, gallegoxvii, catalánxviii e inglésxix. La primera ha sido borrada, intentaremos volver a
publicarla, las demás, de momento, siguén operativas.
I
Simultáneamente conocimos la existencia de emapicxx, una plataforma que realiza encuestas
geolocalizadas a través de la cual realizamos un sondeo sobre los medios de transporte utilizados para
E
ir al instituto. A través de ella conocimos a su responsable, el profesor de la UDC Alberto Varela
García, este nos pidió colaboración en el proyecto de investigación GEOMOVExxi, cuya finalidad es el
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análisis de la movilidad escolar, en el cual también participamos.
Figura 9. Captura de pantalla de emapic C

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4. TIPS de ruta: proyecto sin final
Si algo tienen en común los proyectos que hemos realizado hasta el momento en nuestro centro
A
educativo es su valor social, esto les imprime un carácter de continuidad; no se pueden finalizar, ni dar
por completados porque su periodo de vigencia no caduca. Las actividades elaboradas se suman a las
que introducimos con los nuevos temas y van conformando un currículo de matemáticas con valores
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éticos, susceptibles de ser retomadas o ampliadas en cualquier momento.
El curso pasado recibimos el primer premio de innovación educativa en Galicia, motivado en

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parte por el compromiso que venimos manteniendo desde hace cuatro años con el trabajo por
proyectos. El dinero del premio lo hemos destinado a un viaje educativo en el que aprovechamos para
realizar actividades de movilidad (representación gráfica de la función a trozos del trayecto del
A
autobúsxxii, figura 9) y del tema de este curso, alimentación saludablexxiii. La más relevante fue una cata

TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
alimentaria en la empresa de investigación AZTIxxiv, en ella conocimos una aplicación de la estadística

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en la industria apenas explorada en nuestras aulas que nos dio nuevas ideas. La movilidad y la vida
saludable van de la mano, por ello seguimos trabajando en equipo con el departamento de educación
física y en breve publicaremos un metrominuto que llevará el gasto energético en kilocalorías de cada
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ruta elaborado por el alumnado de tercero de ESO.

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Figura 10. Gráfica del trayecto de autobús

I
Otros incentivos que evalúan los resultados de TIPS de ruta positivamente han sido la obtención
del sello de calidad europeo del proyecto etwinning y el primer premio de la IV edición del concurso
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de proyectos de educación vial de la DGTxxv. En este último se valoraban también los estudios que
realizamos de la movilidad del entorno del centro y de nuestra ciudad. A partir de razones,
proporciones, funciones, cambios de unidades, medidas, magnitudes, geometría, álgebra, estadística
N
… estudiamos las matemáticas de la vida y las ponemos en práctica, dentro y fuera del aula,
difundiendo en blogs y medios de comunicación las actividades y distribuyendo los productos finales
(mapas, calendarios …) en todos los lugares que visitamos.
E
Caminamos y nos alimentamos midiendo y valorando si estos resultados son correctos no solo
I
en el cálculo realizado también para nuestra salud, estas son nuestras fuentes de motivación. En
definitiva, utilizamos las matemáticas como un medio para mejorar la calidad de vida.
R
Bibliografía
E
Son numerosas las páginas web que se han consultado para la elaboración del proyecto, los enlaces
están publicados en los artículos de nuestros blogs “TIPS de ruta” y “TIPS de ruta-aula” a los que
P
se hace referencia al final. Destacamos dos páginas por su relevancia en este artículo
Plan Proxecta recuperado de http://www.edu.xunta.es/portal/node/16723
Metrominuto de Pontevedra: http://www.pontevedra.eu/movete/metrominuto/plano-distancias-e-
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tempos
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TIPS de ruta
M.J. Casado Barrio
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María Jesús Casado Barrio. Instituto de Enseñanza Secundaria Francisco Daviña Rey. Monforte de
X
Lemos (Lugo). España. Catedrática de Matemáticas de Enseñanza Secundaria y experiencia profesional
de 27 años de docencia.
Dirección Electrónica: profe1mats@gmail.com
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i
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominutoquees.html
ii
https://twinspace.etwinning.net/13138/home
iii
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https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-
lomce.html
iv
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/metrominuto-monforte-actividad-equipo-competencias-
lomce.html
I
v
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/04/rutas-y-probabilidades.html
vi
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/opinion-sobre-la-movilidad-en-monforte.html
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vii
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/rutas-y-algebra.html
viii
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html
ix
https://drive.google.com/drive/folders/0B_AkJQPX09X1UldWTk0tNThLSU0
N
x
https://twinspace.etwinning.net/13138/pages/page/93318
xi
http://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/01/m3farmacias.html
xii
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/search/label/Monte%20de%20distriz
C
xiii
https://www.google.com/maps/d/viewer?mid=1JUgJZVLR_4rz1w1oxt16SilafmY&usp=sharing
xiv
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/06/geometria-de-la-ruta.html
xv
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/05/preparando-la-ruta-5.html
I
xvi
http://tipsderuta.blogspot.com.es/2016/03/senderismomonfortewikiloc.html
xvii
https://gl.wikipedia.org/wiki/Metrominuto
xviii
https://ca.wikipedia.org/wiki/Metrominut
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xix
https://en.wikipedia.org/wiki/Metrominuto
xx
https://emapic.es/survey/227osla
xxi
http://cartolab.udc.es/geomove/
S
xxii
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2016/12/de-tips-de-ruta-comacinco.html
xxiii
https://comacinco.blogspot.com.es/
xxiv
https://comacinco.blogspot.com.es/2016/12/catando.html
xxv
https://tipsderuta-aula.blogspot.com.es/2017/01/primer-premio-iv-edicion-concurso-de.html
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ISSN: 1887-1984
Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de

conjeturas utilizando GeoGebra
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Magali Freyre
Ana María Mántica
U
Resumen Se presenta el análisis de una actividad cuyo propósito es que estudiantes de 14 y 15 años
enuncien las propiedades de las diagonales del rectángulo utilizando GeoGebra. Se
N
observan documentos regulatorios, el protocolo del software, grabaciones de audio y
video, las conclusiones obtenidas y el intercambio producido. Se estudian las conjeturas
de las propiedades y los procesos de validación de dos grupos. Los alumnos hacen
constataciones empíricas, efectuando mediciones con la herramienta Distancia o
D
longitud, en un caso para comprobar lo anticipado y en otro para establecer la conjetura.
No recurren a propiedades geométricas para inferir y validar el resultado. Si bien el
software admite una modificación continua del dibujo de la pantalla generando otros
O
dibujos asociados a la misma figura, no sienten la necesidad de utilizar el arrastre.
Coordinador: Carlos Ueno

Palabras clave GeoGebra – Rectángulo - Propiedades – Conjeturas - Validación
G
Title Empirical verification and use of properties for the validation of conjectures using
GeoGebra
E
Abstract It is provided the analysis of an activity that is solved by students of 14 and 15 years old.
The activity aims to mention the properties of the diagonals or the rectangle using
GeoGebra. Curriculum designs, construction protocol software files, audio and video
O
records, conclusions obtained and the exchange of ideas produced, are considered for the
analysis. It is considered the study of conjectures about properties and processes of
validation of two groups of students. They do empirical proofs using Distance or length
G
tool. They perform measurements for two objectives, to check ideas already expected and
to make conjectures. Students don´t use geometric properties to infer and validate the
result. Even though the software allows them to make continuous changes in the drawing
E
that appears on the screen, they don´t deem necessary to use this dragging capability.
Keywords GeoGebra – Rectangle - Properties – Conjectures - Validation

B
R
1. Introducción
Se presenta una actividad realizada por un grupo de estudiantes con edades de 14 y 15 años de
A
segundo año de escuela secundaria de la ciudad de Santa Fe (Argentina), a partir de una consigna que
pretende que se enuncien las propiedades de las diagonales del rectángulo utilizando GeoGebra. Se
expone el análisis previo y el de su implementación. En este último se analizan particularmente las
conjeturas acerca de las propiedades y los procesos de validación llevados a cabo por los alumnos,
teniendo en cuenta el recurso empleado para su producción.
Los estudiantes trabajaron previamente con el software GeoGebra, realizando construcciones de

paralelogramos y rectángulos. También verificando las propiedades del paralelogramo por lo que
conocen las herramientas básicas de la Apariencia Geometría y el modo de determinar otras en
Constatación empírica y uso de propiedades para la validación de conjeturas utilizando GeoGebra
función de las pestañas y de la ayuda que brinda el software. Es importante el uso regular de software,
esto permite a los alumnos desarrollar conocimientos matemáticos e informáticos (vinculados al uso
del software) y articularlos.
2. Marco de referencia
Exponemos brevemente los principales referentes considerados para el análisis que se presenta
A
en este artículo.
R
De Villiers (2003) presenta para definir un conjunto de conceptos geométricos, en general y en

particular los cuadriláteros, dos tipos de clasificaciones: jerárquicas y particionales. Las jerárquicas
son aquellas en las que los conceptos más particulares son subconjuntos de los más generales. Las
B
particionales, en cambio, refieren a aquellas en las que los subconjuntos de conceptos son disjuntos
entre sí. Las clasificaciones jerárquicas se basan en definiciones más económicas lo que posibilita una
simplificación del sistema deductivo. Si se define un concepto A como subconjunto de otro concepto
E
B, por la clasificación jerárquica no es necesario volver a demostrar las propiedades del concepto B
para A. También permiten que se desarrolle una perspectiva global que es útil dado que posibilita una
mejor comprensión de la relación entre los conceptos, en cuanto la intersección de algunos conceptos
G
generales, produce las propiedades de algunos conceptos particulares. Las dificultades que manifiestan
los alumnos relacionadas con las clasificaciones jerárquicas tienen que ver con su carácter lingüístico
y funcional. Lingüístico porque implica una interpretación correcta del lenguaje usado en esta
O
clasificación; y funcional ya que implica una comprensión acerca de qué aspectos hacen que este tipo
de clasificaciones resulte más útil que las particionales en algunos casos. Algunas dificultades están
relacionadas con el significado de la palabra “es” en oraciones como “un cuadrado es un rectángulo”.
E
Se entiende “es” como “es lo mismo que” o “es equivalente a”. Podría explicitarse: “un cuadrado es un
rectángulo especial” lo que podría ser más claro para los estudiantes. Teniendo en cuenta estas
G
dificultades, es conveniente proponer actividades en las que los alumnos se involucren eligiendo la
clasificación que crean conveniente, probando todas las propiedades que sean necesarias, para así
arribar a la conveniencia de las clasificaciones jerárquicas. El trabajo con software de geometría
dinámica (SGD) contribuye a que los alumnos vean y acepten la posibilidad de realizar inclusiones
jerárquicas modificando las construcciones y encontrando casos particulares.
O
Respecto al trabajo con este tipo de recursos, Arcavi y Hadas (2000) afirman que el desempeño
en los ambientes dinámicos favorece la visualización, aspecto fundamental en el aprendizaje de los
D
conceptos geométricos. Trabajar con SGD brinda a los estudiantes la posibilidad de construir figuras,
visualizarlas y transformar las construcciones. Sostienen que el carácter dinámico de estos software
N
contribuye a desarrollar en los estudiantes el hábito de transformar un ejemplo particular y de este

modo estudiar sus variaciones, obtener pistas de lo que se mantiene constante y por tanto puede
facilitar justificaciones intuitivas de conjeturas matemáticas que pueden ser base para la realización de
U
pruebas cada vez más formales. A través de la experimentación los alumnos pueden comparar,
cambiar y modificar las figuras. Esta facilidad de obtener muchos ejemplos favorece la producción de
conjeturas y generalizaciones. La retroalimentación es realizada por el software mismo. Cuando se
M
generan desigualdades entre las expectativas de una cierta acción y los resultados de esa acción, se
produce una sorpresa que convoca al alumno a reanalizar su conocimiento, aspecto fundamental para
el logro de aprendizajes significativos. El hecho de que la retroalimentación provenga directamente del
ambiente computacional la hace más efectiva que la que podría realizar el profesor, no solo porque
carece de juicios de valor sino porque posibilita la reflexión, la verificación y revisión de predicciones,
motivando la necesidad de una demostración. Las actividades que se propongan en el aula y la forma
de implementarlas deben considerar que se provoquen conflictos e inconsistencias que motiven
encontrar maneras de resolverlos. “El reto es encontrar situaciones en las cuales el resultado de la

actividad sea inesperado o contra-intuitivo, de tal forma que la sorpresa (o el desconcierto) generado
cree una clara diferencia con las predicciones explícitamente enunciadas” (p.26).
Con respecto a la utilización de SGD en la clase de matemática, Laborde (1997) sostiene que
amplía el campo de experimentación brindado por el trabajo con lápiz y papel. Mientras este último
está limitado a la imprecisión del trazado y otras razones materiales, el software ofrece distintos tipos
de representación gráfica integrando conocimientos geométricos.
M
En un contexto de lápiz y papel, el alumno puede dar la vuelta al papel y ver
el dibujo en diferentes posiciones, pero no puede hacer variar los elementos
variables más que trazando otro dibujo, es decir, emprendiendo otra acción
U
basada en sus conocimientos. (Laborde, 1997, p.40)
El desplazamiento por manipulación directa de estas representaciones se basa en propiedades
N
geométricas y por tanto ofrece al alumno retroacciones que son exteriores a sus acciones. La
interpretación del sujeto es fundamental para entender las relaciones entre dibujo y objeto geométrico.
El contexto, los conocimientos y la naturaleza misma del dibujo influyen en la caracterización del
D
objeto geométrico, en cuanto “…las propiedades espaciales del dibujo no pueden ser interpretadas
como que remiten a propiedades del objeto: al dibujo está ligado un dominio de interpretación”
(Laborde, 1997, p.36).
O
Esteley, Marguet y Cristante (2012) sostienen que GeoGebra es un recurso para enseñar
Matemática que ofrece múltiples opciones. Así, "...permite proponer a los alumnos tareas de
investigación y experimentación, que en la mayoría de los casos no requerirán demasiados
G
conocimientos técnicos ya que bastará con conocer algunas herramientas básicas y algunos comandos
sencillos para afrontarlas" (p.21). Desde su aspecto geométrico, el SGD asume dos principios básicos:
dudar de lo que se ve y ver más de lo que se ve. El primero se refiere a la duda acerca de lo que se
E
percibe en una imagen estática, y la posibilidad de confirmar invariantes haciendo uso del arrastre. El
segundo se refiere a la posibilidad de estudiar relaciones que no están presentes a simple vista en la
figura, permitiendo construcciones auxiliares y mediciones que favorecen un proceso de
O
experimentación.
G
Novembre, Nicodemo y Coll (2015) sostienen que la utilización de una herramienta tecnológica
en la clase de matemática abre la posibilidad de abordar problemas que serían imposibles sin su ayuda
y permite adoptar un enfoque experimental de la Matemática que cambia la naturaleza de su
E
aprendizaje. Afirman que no siempre es necesario pensar en nuevos problemas, sino que resulta
interesante analizar de qué manera se pueden resolver los problemas con nuevas herramientas. En este
sentido es importante que los docentes se planteen qué es lo que cambia en la enseñanza y el
B
aprendizaje cuando se resuelve un problema conocido utilizando tecnología, cuáles son los aportes de
la tecnología y, qué conocimientos tecnológicos y matemáticos son necesarios para un nuevo abordaje
de la enseñanza de la matemática
R
Respecto al estudio de las propiedades de figuras geométricas, Itzcovich y Broitman (2001)

sostienen que esto requiere conocerlas y poder disponerlas para validar conjeturas; lo cual implica un
A
proceso más complejo que conocerlas perceptivamente y saber sus nombres. Contribuye a que se
desarrolle un modo de pensar geométrico, que supone una anticipación de un resultado utilizando
propiedades disponibles, y poder afirmar que este resultado es correcto porque dichas propiedades lo
garantizan. “En geometría el modo de demostrar la validez de una afirmación no es empírico (por
ejemplo, midiendo o dibujando), sino racional (a través de argumentos)” (p.3). El papel de la
construcción resulta fundamental teniendo en cuenta que el solo hecho de que los alumnos miren
dibujos que representan figuras geométricas no garantiza que identifiquen sus propiedades. Las
actividades de construcción favorecen esta identificación de ciertas características y propiedades de los

objetos geométricos que, por su utilidad en los procesos deductivos, adquieren importancia. “El
desafío de las construcciones es considerar las propiedades ya conocidas de las figuras y tener en
cuenta los datos dados. Exige a los alumnos tomar decisiones acerca del procedimiento de
construcción y los instrumentos a utilizar” (p.21).
2. Metodología
A
La propuesta se implementa en un segundo año de escuela secundaria al que concurren 34

alumnos. Se acuerda con el docente del curso los días para implementar la actividad y se comunica a
los alumnos que la misma se enmarca en un trabajo de investigación que requiere que sea grabada en
R
audio y video. Se cuenta con el consentimiento de los estudiantes y las autoridades para desarrollar
dos clases consecutivas de ochenta minutos de duración cada una y difundir en congresos y revistas
especializadas en educación matemática el análisis del material recogido.
B
La institución cuenta con una sala especial que tiene disponibles 20 netbooks y un proyector.
Para el trabajo con software específico se recurre al responsable del manejo de la sala a fin que realice
E
su instalación. Estos recursos se disponen reservando previamente la sala.

G
La docente nos informa que en clases previas desarrolla las propiedades de lados, ángulos y
diagonales del paralelogramo. Para la construcción de paralelogramos y elaboración de conjeturas de
propiedades, hacen uso del software GeoGebra. Con respecto a la definición de rectángulo, utiliza una
O
clasificación jerárquica al definirlo como paralelogramo con un ángulo recto.
La consigna planteada por el equipo de investigación consta de una primera parte que consiste
E
en el trabajo de construcción de un rectángulo con GeoGebra y se realiza en parejas (17), con una
netbook por binomio. Se utiliza el software GeoGebra que se encuentra instalado en las netbooks
distribuidas en Argentina en el marco del programa Conectar Igualdad, creado en abril de 2010.
G
Estudios de este tipo se han realizado en otros entornos dinámicos tales como Cabri, Sketchpad, entre
otros.
El docente guía a los alumnos para que validen sus construcciones a través del arrastre, a fin de
O
asegurarse que están correctamente elaboradas. A continuación, se conjeturan las propiedades de las
diagonales del rectángulo. La segunda parte de la consigna, en grupos de cuatro, consiste en discutir y
validar las propiedades de las diagonales conjeturadas por cada binomio.
D
Algunos de estos grupos en el encuentro siguiente exponen al resto de la clase sus conclusiones.
N
Para la recogida de datos se utilizan grabaciones de audio de las interacciones en los grupos de
cuatro, grabaciones de video de la puesta en común y el archivo de GeoGebra correspondiente a cada
construcción. El protocolo de construcción que ofrece el software permite la reconstrucción de lo
U
actuado por cada binomio y es utilizado como insumo para el análisis.

M
Lo que brinda información más significativa relacionada a los procesos de validación, en este
caso, es el protocolo del software y lo expuesto por los grupos.
Las conclusiones a las que arribaron los distintos grupos se pueden encontrar en Freyre y
Mántica (2015) presentadas en el marco de las IV Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en
el campo de las Ciencias Exactas y Naturales.
En este artículo se elabora el estudio de dos casos, un grupo de cuatro estudiantes que realiza
una constatación de su conjetura a través de la medición y otro que valida utilizando propiedades

disponibles. Para este análisis se tienen en cuenta lo que proporciona el protocolo del software,
grabaciones de audio y video, las conclusiones a las que arribaron, el intercambio producido en la
puesta en común a la luz del marco de referencia considerado.
3. Análisis de la propuesta implementada
En este punto se presenta el análisis previo, que no es exhaustivo, realizado por los docentes que
M
diseñan la propuesta y el análisis de su implementación, tomando para este caso en particular lo
realizado por los dos grupos. La tarea propuesta, se elabora teniendo en cuenta las características del
trabajo con clasificaciones jerárquicas y el uso del arrastre que proporciona el software.
U
La consigna de la tarea es:
N
Construye con GeoGebra un rectángulo. Nombra los vértices , , ,y .
D
Traza sus diagonales. Nombra al punto de intersección.
¿Qué propiedades cumplen las diagonales? Justifica tus afirmaciones.
O
3.1. Análisis previo
Presentamos en este apartado las posibles soluciones que pueden plantear los estudiantes en
G
función de sus conocimientos previos. Considerando que son alumnos de segundo año de secundaria y
teniendo en cuenta los documentos regulatorios, suponemos que han trabajado teorema de Pitágoras,
criterios de congruencia de triángulos, transformaciones rígidas, propiedades de los ángulos
E
determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal, definiciones de paralelogramo y de
rectángulo, propiedades de lados, ángulos y diagonales de un paralelogramo.
O
G
E
B
R
Figura 1
A
Detallamos los posibles procedimientos de validación sobre la conjetura: “ es punto medio de

las diagonales.”
 Hacer uso de la herramienta Distancia o longitud que permite medir la longitud de los
segmentos para determinar su igualdad.
 Utilizar la herramienta Medio o centro y verificar que es el punto medio de y .

 Hallar el simétrico de un vértice con respecto al centro utilizando la herramienta Simetría

central y verificar que es el otro extremo del segmento.
 Considerar que el rectángulo es un paralelogramo, y como en todo paralelogramo las
diagonales se cortan en su punto medio, en el rectángulo también.
 Recurrir a la comparación de triángulos empleando criterios de congruencia.
Presentamos dos posibles procedimientos:

A
1-
R
= por ser lados opuestos del rectángulo, el ángulo es igual a por ser opuestos por el
vértice. por ser alternos internos entre las paralelas y y la transversal .
por ser complementos de ángulos iguales. Los triángulos y son iguales por
B
tener dos ángulos y un lado igual. Por lo tanto todos sus lados son iguales, = y = . En
este procedimiento se utiliza la propiedad de que el rectángulo tiene ángulos rectos.
E
2-
G
= por ser lados opuestos del rectángulo, el ángulo es igual a por ser opuestos por el
vértice. = por ser alternos internos entre las paralelas y y la transversal . Los
O
triángulos y son iguales por tener dos ángulos y un lado igual. Por lo tanto todos sus lados
son iguales, = y = .
E
En estos procedimientos se utilizan las propiedades que el rectángulo tiene ángulos rectos y que
los lados opuestos son congruentes.
G
Detallamos los posibles procedimientos de validación sobre la conjetura: “Las diagonales son
iguales.”
 Utilizar la herramienta Distancia o longitud para determinar la igualdad de los segmentos

O
y .
 Hacer uso de la herramienta Rotación para hacer un giro con centro y ángulo para
determinar que = y como es punto medio, = y = . Por lo tanto
D
= .
 Recurrir a Circunferencia (centro, punto) para trazar una circunferencia de centro o que pase
por a y una de centro que pase por . Luego,
N
- Utilizar el arrastre para obtener distintos rectángulos y comprobar visualmente que las
U
circunferencias coinciden. Por lo tanto = por ser diámetros de la circunferencia.
- Comprobar desde la vista algebraica que las ecuaciones de ambas circunferencias son iguales. Por lo
M
tanto = por ser diámetros de la circunferencia.
 Recurrir a Circunferencia (centro, punto) para trazar una circunferencia de centro que pase
por . Luego, utilizar la herramienta Relación para verificar que el punto pertenece a la
circunferencia. El punto pertenece por ser punto medio de , y por lo mismo. Por lo
tanto = por ser diámetros de la circunferencia.
 Utilizar el teorema de Pitágoras y la definición de rectángulo

 = por ser lados opuestos del rectángulo

 =
 = = 1 recto.
Por el Teorema de Pitágoras,
 Utilizar los criterios de congruencia para comparar triángulos:
M
El triángulo es igual al triángulo por:
U
 = por ser lados opuestos del rectángulo.
 =
 = = 1 recto.
N
De lo anterior, por el criterio que afirma que dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
D
y el ángulo comprendido congruentes, podemos decir que = .
3.2. Análisis de la implementación
O
Para comenzar, se considera el grupo A, constituido por los binomios 1 y 2, que utiliza la
medición para fundamentar sus conjeturas.
G
El protocolo de construcción del archivo de GeoGebra del binomio 1 nos muestra que utilizan
las siguientes herramientas: Punto, Segmento, Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de
intersección y Polígono para la construcción del rectángulo. Segmento para trazar las diagonales, y
E
para determinar la longitud de las mismas, la herramienta Distancia o longitud.
Para trazar la circunferencia circunscripta al rectángulo utilizan la herramienta Circunferencia
(centro, punto).
O
Con la opción Texto expresan como conclusiones:
Las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.
G
La circunferencia pasa por todos los puntos.
E
Las diagonales se cortan en un punto medio.
B
El binomio 2 utiliza las mismas herramientas que el binomio 1 para la construcción del
rectángulo, el trazado de diagonales y la determinación de las longitudes de estas últimas.
Emplea también la herramienta Ángulo para realizar la marca de los ángulos interiores del
R
rectángulo, cuestión que luego no es retomada en las conclusiones.

Con la opción texto expresan:
A
Las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.
La circunferencia pasa por todos los puntos.
Las diagonales se cortan en el punto medio de la figura.
El audio permite afirmar que no hubo interacción entre los integrantes del grupo al respecto de
validar lo que afirmaron.

En la puesta en común, en la primera instancia exponen lo realizado proyectando el archivo del

binomio 1.
A
R
B
E
G
Figura 2. Exposición del grupo A
Se transcribe lo manifestado por el grupo en la puesta en común1.

O
A:2 Marcamos las diagonales, las medimos con una de las herramientas y nos dio que medían
lo mismo, por eso pusimos las diagonales de un rectángulo miden lo mismo.
E
Después marcamos la circunferencia y pusimos que pasa por todos los puntos.
G
Y de las diagonales…pusimos que se cortaban en un punto medio porque se cortan justo en la

mitad. También los ángulos miden 90°.
La docente interviene preguntando por qué se puede decir que se cortan en su punto medio
O
tratando de que los estudiantes validen las afirmaciones realizadas.
A: Las medimos y después medimos el segmento , , y .

D
Otra pregunta de la docente es por qué se puede afirmar que son iguales.
N
A: También lo medimos.
U
Se les pregunta cómo afirman que la circunferencia pasa por todos los puntos.
A: Hicimos la circunferencia desde este punto, y cuando llegamos al otro punto… también por
M
el hecho de que cada segmento de las diagonales mide lo mismo, entonces si vos hacés la
circunferencia, te va a dar… Era para verificar que estaba bien hecho
D: ¿Por qué necesitaban verificar?
A: Para saber si estaba bien hecho.
1
La forma lingüística empleada es la variedad dialectal del español rioplatense
2
A: refiere a las expresiones textuales en la puesta en común de los alumnos y D: a las de la docente

Los estudiantes no logran establecer la relación entre el dibujo del rectángulo realizado y el
objeto geométrico que representa el rectángulo y manifiestan la necesidad de constatar que los ángulos
son de 90° a pesar de utilizar herramientas del software que lo aseguran, como lo es Recta
perpendicular.
La construcción realizada no responde a un dibujo prototipo del rectángulo (con los lados que
forman el ángulo recto en posición horizontal y vertical). La posición del dibujo en la pantalla está
fuera del dominio de interpretación de los dibujos de un rectángulo para los estudiantes. Esto puede
M
haber llevado a constatar que los ángulos interiores del rectángulo construido son rectos.
U
N
D
O
G
E
Figura 3. Construcción en GeoGebra del grupo A
O
Las retroacciones que ofrece el entorno informático a través del desplazamiento resultan útiles
para el planteo y validación de conjeturas. En este caso, pareciera que no utilizan el arrastre para
validar su conjetura de que las diagonales son iguales. El único procedimiento que afirman haber
G
utilizado es el de medir con la herramienta Distancia o longitud en el rectángulo construido. Si bien
esto no se visualiza en el protocolo los alumnos lo manifiestan en la puesta en común. Es decir, para
E
afirmar que las diagonales son iguales es suficiente efectuar una medición en un rectángulo
determinado, pero para constatar que la circunferencia pasa por los vértices del rectángulo necesitan
corroborarlo midiendo los segmentos que quedan determinados al cortarse las diagonales, aun cuando B
es una propiedad del paralelogramo, y por tanto del rectángulo, que las diagonales se cortan en su
punto medio.
R
Los alumnos realizan constataciones empíricas. No se evidencian procedimientos anticipatorios

a la experiencia de medir, ya que no se utilizan propiedades conocidas para validar sus conjeturas.
Itzcovich y Broitman (2001) sostienen que luego de realizar la construcción es interesante promover el
A
análisis de las propiedades utilizadas, "... que expliciten las propiedades en las que se apoyaron" (p.21)
Consideramos ahora lo realizado por el grupo B, conformado por los binomios 3 y 4, quienes
utilizan propiedades para validar sus afirmaciones.
El binomio 3, en el protocolo de construcción evidencia haber utilizado las herramientas Punto,

Segmento, Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de intersección y Polígono para la construcción

del rectángulo. La herramienta Segmento para determinar las diagonales y Ángulo para marcar los
ángulos interiores del rectángulo.
Con la herramienta Circunferencia (centro, punto) traza una circunferencia con centro en el
punto de intersección de las diagonales que pasa por un vértice del rectángulo y otra con el mismo
centro que pasa por un vértice consecutivo al anterior.
Con la opción Texto expresan como conclusiones:

A
Todos sus ángulos miden 90º

R
Su circunferencia pasa por todos los puntos

B
El binomio 4 utiliza para la construcción del rectángulo las herramientas Punto, Segmento,
Recta paralela, Recta perpendicular, Punto de intersección y Polígono para la construcción del
rectángulo. Utiliza la herramienta Ángulo para constatar la perpendicularidad de las rectas.
E
Con la herramienta Distancia o Longitud mide los lados y las diagonales del rectángulo y luego
G
los segmentos de las diagonales que quedan determinados por el punto de intersección. Trazan la
circunferencia circunscripta al rectángulo con la herramienta Circunferencia (centro, punto).
O
Con la herramienta Texto, en el archivo se pueden ver las siguientes conclusiones:
Hay la misma distancia entre el punto en donde se encuentran las dos diagonales hasta el
E
vértice es la misma siempre.

G
Si se realiza una circunferencia tomando como punto inicial donde se cortan las diagonales, la
circunferencia pasará por todos los vértices.
Miden lo mismo porque es un rectángulo y lo controlamos con la función distancia o longitud

O
No se ve en los estudiantes que utilicen la función de arrastre que proporciona GeoGebra para
constatar que la figura conserva las propiedades, moviendo sus elementos primitivos.
Se expresa en el audio de este grupo lo siguiente:
D
Las diagonales miden lo mismo porque es un rectángulo y lo comprobamos con la función

N
distancia, longitud, las medimos y miden lo mismo, eso se justifica solo, no sé por qué, es un
rectángulo. Se cortan en su punto medio, nos fijamos con la misma función, y medimos la distancia
del punto medio al vértice y nos dio la misma distancia del otro vértice al punto medio.
U
Si se hace una circunferencia desde donde se cortan las dos diagonales, pasa por los vértices.
M
La validación en este caso se produce a modo de respuesta de la consigna y no como una

interacción entre los integrantes. Puede apreciarse que la interacción no se da entre los cuatro
estudiantes, sino que son los del binomio 4 los que intercambian al respecto de la consigna.
En la puesta en común los integrantes del grupo B explican cómo obtuvieron las conclusiones
proyectando el archivo del binomio 4.

M
U
N
Figura 4. Exposición del grupo B
D
A: Si vos hacés una circunferencia, el borde de la circunferencia va a pasar por todos los
vértices del rectángulo.
O
Sus ángulos miden 90º ya que es un rectángulo y sus diagonales se cortan en un punto.
Las diagonales son el diámetro de la circunferencia y si vos tomás desde el punto medio que se
cortan las diagonales hasta que llegue a la circunferencia es el radio.
G
Se produce un intercambio entre la docente y los estudiantes con el propósito de que expresen
cómo validan lo que afirman.
E
D: ¿Cómo hicieron para marcar la circunferencia?
O
A: Marcamos el punto medio de las diagonales y le pusimos letra , después pusimos
circunferencia, y de ahí marcamos el punto y nos dio la circunferencia.
G
D: ¿Cómo saben entonces que es el diámetro?
E
A: Porque lo medimos, aparte lo habíamos dado en un curso pasado.
D: ¿Qué habían dado en un curso pasado?

B
A: Si trazás una línea que pase por el punto medio y que toque los dos extremos de una
R
circunferencia va a ser el diámetro.
D: ¿Cómo sabían que D es punto de la circunferencia?

A
A: Con una tecla que dice relación y apretamos la diagonal y la circunferencia.
D: La conclusión es que las diagonales miden lo mismo… ¿Sacaron alguna otra conclusión?
A: Si, que los ángulos miden 90º porque es un rectángulo y que las diagonales se cortan en un
punto.

D: ¿En qué punto?
A: El del medio, el punto .
D: ¿Y eso cómo lo saben, que se cortan en el punto medio?
A: Si vos medís la diagonal y después medís desde el vértice que marcás la diagonal hasta el
A
medio, es la misma distancia que si lo hacés del otro lado.
D: Ustedes me dijeron que ese es un diámetro de la circunferencia, y que el punto es en el

R
que se cortan las diagonales y que todos los puntos A, B, C y D están en la circunferencia. Si digo
que se cortan en el punto medio. ¿Qué son , , y de la circunferencia?
B
A: Radios
E
D: ¿Y cómo son los radios de una circunferencia?
A: Iguales
G
D: ¿Qué podríamos decir entonces?

O
A: Que la diagonal sería el diámetro y la mitad de la diagonal sería el radio.

E
G
O
D
N
U
Figura 5. Construcción en GeoGebra del grupo B

M
Los alumnos no afirman que es diámetro de la circunferencia recurriendo a la propiedad

disponible de las diagonales del paralelogramo. Utilizan la definición de diámetro de una
circunferencia, lo mismo afirman de la otra diagonal, previa constatación de que los vértices son
puntos de la circunferencia con la herramienta Relación.
Los estudiantes utilizan la propiedad de los diámetros de una circunferencia para afirmar que las
diagonales son iguales. En este procedimiento de tipo anticipatorio relacionan la actividad propuesta

con conocimientos desarrollados anteriormente. No obstante miden para comprobar que su afirmación
es verdadera.
Puede observarse que no utilizan la opción que brinda el software de arrastre para determinar
distintos rectángulos, a partir del construido, para conjeturar que los vértices pertenecen a la
circunferencia de centro en el punto de intersección de las diagonales y que pasa por uno de ellos. No
afirman la propiedad por el trazado "a ojo", sino que utilizan una herramienta que les brinda el
programa que es Relación.
M
4. Reflexiones finales
U
Teniendo en cuenta el análisis expuesto se puede decir que las validaciones realizadas por los
alumnos son constataciones empíricas, a partir del uso de la herramienta Distancia o longitud.
N
Efectúan mediciones en un caso para establecer conjeturas y en otro para comprobar lo anticipado.
D
Para los estudiantes del primer grupo es suficiente con lo que les devuelve el software al
respecto de medir para afirmar que las diagonales son iguales. Este procedimiento sólo permite
constatar lo que ocurre en este ejemplo particular del rectángulo. “No se recurre a ninguna propiedad
O
geométrica que dé cuenta de la necesariedad del resultado obtenido, ni hay certeza geométrica de que
pudiera provenir de concatenar propiedades que permiten inferir tal resultado” (Itzcovich, 2005, p.46).
En el segundo caso los alumnos utilizan la herramienta Relación para comprobar que las
circunferencias construidas son las mismas, y hacen uso de la propiedad que todos los diámetros de
G
una circunferencia son iguales para conjeturar que las diagonales del rectángulo son iguales. No
obstante utilizan la herramienta Distancia o longitud para constatar la igualdad de las mismas.
E
Los estudiantes no hacen uso de lo que De Villiers (2003) denomina clasificación jerárquica,
"...para validar la propiedad que las diagonales se cortan en su punto medio, no aparece como
O
argumento utilizado por los alumnos que el rectángulo es un paralelogramo y por esa razón cumple
con la propiedad" (Freyre y Mántica, 2015, p.10). La propiedad de los diámetros de una circunferencia
es disponible para los alumnos, es decir forma parte de su "caja de herramientas". La propiedad de las
G
diagonales del paralelogramo mencionada es un contenido desarrollado previamente, sin embargo los
alumnos no recurren a la misma para resolver la actividad analizada.
E
Para que los estudiantes reconozcan las ventajas de las clasificaciones jerárquicas, es necesario
que se involucren en un proceso de elaboración de definiciones y clasificaciones realizando pruebas
formales de todas las propiedades, tal como afirma De Villiers (2003). Los alumnos no tienen
B
oportunidad de apreciar las cualidades de estas clasificaciones puesto que generalmente no se exigen
pruebas formales de las propiedades, solo se las enuncia. Esto se relaciona con una dificultad
R
funcional, ya que los alumnos no comprenden en qué aspectos las clasificaciones jerárquicas son más
útiles que las particionales. Las clasificaciones jerárquicas posibilitan formular teoremas de modo más
económico y simplifican la sistematización y deducción de propiedades, pero esto no es usual en la
A
escuela secundaria.
La posibilidad de experimentación que ofrece el entorno informático, parece no haber sido

utilizada por los alumnos. Para que los estudiantes puedan comprender todas las potencialidades que
brinda el software es importante que interpreten lo que implica una construcción en un SGD.
Si bien el software ofrece una modificación continua del dibujo en la pantalla generando otros
dibujos asociados a la misma figura, los estudiantes no hacen uso del recurso de desplazamiento que

como plantea Laborde (1997) es beneficioso en cuanto a las retroacciones que permite: "(...) la ventaja
de ello es que estas retroacciones proceden de un dispositivo externo al sujeto e independiente del
profesor y, de esta manera, son susceptibles de hacer evolucionar al sujeto" (p.40).
Este software de geometría dinámica no sólo permite a los estudiantes construir figuras a partir
de su definición o del conocimiento de ciertas propiedades y visualizarlas, sino que también les
permite transformar construcciones en tiempo real. “Este dinamismo puede contribuir hacia la
formación del hábito de transformar (o bien mentalmente o por medio de una herramienta) un ejemplo
A
particular, para estudiar las variaciones, visualmente da indicios de invariantes, y posiblemente facilita
las bases intuitivas para dar justificaciones formales de conjeturas y proposiciones matemáticas”.
R
(Arcavi y Hadas, 2000, pp. 25-26)
Una cuestión a destacar es que pareciera que los estudiantes no sienten la necesidad de utilizar
B
el arrastre, herramienta propia de los software de geometría dinámica que permite al menos verificar,
las afirmaciones realizadas a partir de mediciones, con una variedad de figuras que se obtienen a partir
del arrastre de los puntos libres. En el caso de la actividad planteada se supone que el estudiante, al no
E
utilizar el arrastre, está constatando que las diagonales son iguales en un único rectángulo. No
obstante, afirma que esto se cumple en todos los rectángulos.
G
Laborde (2015) afirma que los estudiantes no comprenden que cuando realizan la construcción
tienen cuestiones geométricas que considerar, que al no hacerlo y tomar un punto libre y desplazarlo
O
hay elementos que no lo van a seguir. No comprenden por qué pasa esto, qué ha cambiado y cómo
interpretarlo geométricamente. Es difícil que comprendan que el desplazamiento cambia el tamaño de
la figura, pero no su forma.
E
Es fundamental estudiar la relación entre el conocimiento geométrico del estudiante, los aportes
que brinda el software y la mirada crítica que pueden construir sobre las respuestas que devuelve el
G
SGD. Sessa, Borsani, Cedrón, Cicala, Di Rico y Duarte (2015) sostienen que es importante “…
comprender cómo se van apropiando los estudiantes del “arrastre” como técnica de trabajo y cómo van
advirtiendo sus limitaciones” (p.159). Esto requiere de un trabajo específico con el arrastre,
relacionado con sus posibilidades y características.
O
Bibliografía
D
Arcavi, A. y Hadas, N. (2000). El computador como medio de aprendizaje: ejemplo de un enfoque.

International Journal of Computers for Mathematical Learning 5: 25-15.
N
De Villiers, M. (1994). The role and function of a hierarchical classification of the quadrilaterals. For
the Learning of Mathematics, 14(1), 11-18.
Esteley, C., Marguet, I. y Cristante, A. (2012) Explorando construcciones geométricas con GeoGebra.
U
En J. Adrover y G. García (Eds.) Serie “B” Trabajos de Matemática n° 61/2012. (pp. 19-28).
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Freyre, M. y Mántica, A. (2015) Validación de conjeturas de propiedades del rectángulo a partir de

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Sessa, C., Borsani, V., Cedrón, M., Cicala, R., Di Rico, E. y Duarte, B. (2015) La transformación del
trabajo matemático en el aula del secundario a partir de la integración de las computadoras. En D.
Herrera (Ed.) Prácticas pedagógicas y políticas educativas. Investigaciones en el territorio
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Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. De las construcciones a las

demostraciones. Buenos Aires: Libros del Zorzal.
Itzcovich, H. y Broitman, C. (2001) Orientaciones didácticas para la enseñanza de la Geometría en
EGB. Gabinete pedagógico curricular. Matemática. Buenos Aires. Subsecretaría de Educación.
Laborde, C. (1997) Cabri-Geómetra o una nueva relación con la Geometría. En Puig L. (Ed.)
Investigar y enseñar. Variedades de la educación matemática. 33-48. Grupo Editorial
Iberoamérica: Bogotá.
Matemática con Tecnología. (2015, Marzo 19). Entrevista a Colette Laborde [Archivo de video].
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Novembre, A., Nicodemo, M. y Coll, P. (2015). Matemática y TIC: orientaciones para la enseñanza.
CABA. Recuperado el 5 de noviembre de 2016, de
U
http://escuelasdeinnovacion.conectarigualdad.gob.ar/mod/page/view.php?id=875
N
Ana María Mántica. Profesora de la cátedra Didáctica de la Matemática de la Facultad de Humanidades
y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral. Argentina. Docente investigadora en temas referidos a
la enseñanza de la matemática en distintos niveles del sistema educativo que ha realizado publicaciones
sobre la temática en distintas revistas especializadas nacionales e internacionales.
D
Dirección Electrónica: ana.mantica@gmail.com
O
Magali Freyre. Profesora en Matemática. Ayudante en la cátedra Didáctica de la Matemática de la
Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral. Profesora de Matemática en
los niveles secundario y superior no universitario. Ha participado como expositora en congresos y
jornadas especializados nacionales e internacionales.
Dirección Electrónica: magali.freyre@gmail.com
G
Marcador
E
O
G
E
B
R
A

ISSN: 1887-1984
Tenemos la solución a tus problemas

(Problemas Comentados XLVI)
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Damos algunas soluciones a los problemas y ejercicios propuestos en anteriores artículos,
siguiendo los cuatro pasos de comprender, pensar, ejecutar y responder. En ellos está
presente el razonamiento lógico, la ordenación de los datos, la modelización o la
comprobación de los resultados. Se propone a los lectores, resolver los propuestos en el
XXXIII Torneo de Matemáticas para 2º de la ESO de 2017, y en el XI para alumnos de
P
6º de primaria. Nuestras propuestas terminan con dos problemas de enunciado sencillo,
pero que pueden dar mucho “juego” en el aula.
R
Palabras clave Resolución de problemas. Fases de Comprender, Pensar, Ejecutar y Responder.
Ejercicios Torneos matemáticos para 2º de la ESO y para 6º de Primaria. Problemas de
enunciado sencillo.
O
Abstract We give some solutions to the problems and exercises proposed in previous articles,
B
following the four steps of understanding, thinking, executing and responding. Logical
reasoning, data sorting, modeling or checking of results are present in them. It is
proposed to the readers, to solve the proposed ones in the XXXIII Tournament of
L
Mathematics for 2º of the ESO of 2017, and in the XI for students of 6º of Primary. Our
proposals end up with two simple statement problems, but they can give a lot of "play" in
the classroom.
E
Keywords Problem resolution. Phases of Understanding, Thinking, Running and Responding.
Exercises Mathematical tournaments for 2nd of ESO and for 6th of Primary. Simple
M
statement problems.
A
En nuestro anterior artículo, como es habitual, presentamos algunos problemas interesantes que
propusimos para ser resueltos por nuestros lectores. Pasado el tiempo entre artículo y artículo
ofrecemos aquí nuestra visión de la resolución de dichos problemas, con nuestro habitual estilo. S
El examen
Un examen consta de 50 preguntas, cada una con cuatro posibles respuestas. Por cada
respuesta correcta se dan 3 puntos y por cada respuesta incorrecta se quita un punto. Las
preguntas no respondidas no puntúan. Un alumno que respondió a 42 preguntas tiene 58
puntos.
¿Cuántos aciertos tuvo?
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com

Problemas Comentados XLVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Proceso de resolución
Fase I. Comprender
Datos: Al responder 42 preguntas se obtienen 58 puntos.
Objetivo: Cuántos aciertos.
Relación: Cada respuesta correcta da 3 puntos; cada respuesta incorrecta quita 1 punto.
(Las características del examen no intervienen en el problema: 50 preguntas, 4 posibles

respuestas para cada pregunta, las preguntas no contestadas no puntúan. Es información incoherente.)
Diagrama: Modelo; tabla; partes/todo.

S
Fase II. Pensar

A
Estrategia: MODELIZACIÓN; ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA INFORMACIÓN

(con diferentes técnicas: aritmética o algebraica)
M
Fase III. Ejecutar

E
Por modelización: El modelo podría tener 42 tarjetas que representarían cada una de las
preguntas contestadas en el examen. Y 126 fichas que representarían los puntos que se hubiesen
ganado en el caso de acertarlas todas. La manera de ejecutar sería colocar 3 fichas en cada tarjeta.
L
Después se procede a ir quitando 3 fichas de una tarjeta y 1 más de otra. Esto representaría la
B
penalización por cada pregunta fallada. Pararíamos en el momento en que nos quedasen 58 fichas
exactamente sobre las tarjetas.
O
Las tarjetas con 3 y 2 puntos serían las acertadas. El resto las falladas.
Por razonamiento aritmético: El diagrama podría ser el de partes/todo. Pero el todo tendría
R
como etiqueta los puntos posibles obtenidos (126). Y las partes tendrían como etiquetas los puntos
realmente obtenidos (58) y los puntos que faltan (en blanco). De ahí sale la resta. Después un segundo
P
diagrama con la nueva etiqueta obtenida como etiqueta del total. Las partes no sabemos cuántas son,
pero sí sabemos que son todas iguales y que su etiqueta ha de ser el número de puntos perdidos en
cada pregunta fallada (4).
42 x 3 = 126 puntos posibles 126 – 58 = 68 puntos que faltan
Cada pregunta fallada pierde 3 + 1 = 4 puntos
68 : 4 = 17 preguntas falladas 42 – 17 = 25 preguntas acertadas
Si se utilizan operaciones combinadas ha de tenerse en cuenta que cada parte tiene dos atributos.
Puedo utilizar cada atributo por separado (dos diagramas independientes) o conjuntamente (un único
diagrama). En este último caso se encuentra la solución algebraica o la solución aritmética con
operaciones combinadas.

Por razonamiento algebraico: x preguntas acertadas; 42 – x preguntas falladas; 58 preguntas

contestadas
El diagrama partes/todo se construiría así
x 42 – x 58
3 -1
P
Y la ecuación se plantearía así
R
Solución: 25 aciertos
Fase IV. Responder
O
Comprobación: 42 – 25 = 17 preguntas falladas; 25 x 3 = 75 puntos ganados; 17 x 1 = 17
puntos perdidos; 75 – 17 = 58 asignados en la calificación final.
B
Análisis: Solución única.
Respuesta: El alumno contestó bien 25 preguntas del examen.
L
El segundo problema propuesto era de lógica y procedía del Rally Matemático Transalpino.
E
Las casas adosadas
M
En cinco casas adosadas de colores diferentes, viven cinco personas de nombre y
nacionalidad distintos. Cada uno practica un deporte diferente a los otros y tiene un
cantante preferido.
Se sabe además que:
1. Ángel es americano.
2. El francés habita en la casa roja.
9. En la casa del centro, el cantante
preferido es Vasco Rossi.
A
S
3. Sandro está siempre nadando en la 10. El suizo habita en la primera casa a la
piscina. izquierda.
4. David habita en la casa rosada. 11. David habita la casa pegada a la del
5. El portugués es un gimnasta. jugador de tenis.
6. En la casa naranja se escuchan 12. Valerio escucha siempre a Pavarotti.
canciones de Madonna. 13. El portugués odia a Madonna.
7. El italiano escucha siempre a los 14. El suizo habita la casa al lado de la
Beatles. celeste.
8. La casa naranja está pegada a la 15. Mario habita junto a un futbolista.
izquierda de la amarilla.
¿Quién escucha siempre a Adriano Celentano? ¿Quién practica el esquí?

Explicad vuestro razonamiento.

Fase I. Comprender
Datos
Colores: Roja Rosada Naranja Amarilla Celeste

Nombres: Ángel David Valerio Mario. Sandro
Nacionalidades: Americano Francés Portugués Italiano Suizo.
Deportes: Natación Gimnasia Tenis Fútbol Esquí.
Cantantes: Madonna Beatles Vasco Rossi Pavarotti Adriano Celentano
Objetivo: Conocer quién escucha siempre a Adriano Celentano y quién practica el esquí.
S
Relación: Las 15 pistas.

A
Diagrama: Una tabla de verdad de doble entrada.
Casa 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
M
Color
Nombre
Nacionalidad
E
Deporte
Cantante
L
Fase II. Pensar

B
Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN; ELIMINAR; ENSAYO Y ERROR
Fase III. Ejecutar

O
Elaboramos la tabla donde vamos a sentar las informaciones en orden de certeza. Tener en
R
cuenta que hay dos tipos de informaciones: positivas (indican un SÍ y el resto NO) y las negativas
(sólo indican un NO).
P
Color
Nombre
Nacionalidad
Deporte
Cantante
Pistas
Se comienza con las informaciones ciertas (verdaderas, claras y precisas) y hemos añadido una
fila para ir anotando las pistas.
Tabla 1: Pistas 9, 10 y 14.
9.- En la casa del centro, el cantante preferido es Vasco Rossi.

10.- El suizo habita en la primera casa a la izquierda.

14.- El suizo habita la casa al lado de la celeste.
Color Celeste
Nombre
Nacionalidad Suizo
Deporte
Cantante Vasco Rossi
Pista 10 14 9
A medida que se completa el esquema, es siempre posible encontrar las sucesivas indicaciones
ciertas. Para ello volvemos a revisar (en orden) las pistas desechadas en el pase anterior y que
podemos relacionar con la información ya tabulada.
P
Tabla 2: Pistas 8 y 6.
8.- La casa naranja está pegada a la izquierda de la amarilla.
R
6.- En la casa naranja se escuchan canciones de Madonna.
O
La pista nº 8 nos indica una de dos posibilidades. La casa naranja es la 3ª o es la 4ª. La pista nº 6
nos indica que no puede ser la 3ª ya que conocemos el cantante que gusta allí, y no es Madonna.
B
Color Celeste Naranja Amarilla
Nombre
L
Nacionalidad Suizo
Deporte
E
Cantante Vasco Rossi Madonna
Pista 10 14 9 8+6 (8+6)
M
Sólo hay dos opciones para las casas 1ª y 3ª. Roja y Rosada.
2.- El francés habita en la casa roja.

A
S
En la 1ª hay un Suizo, por tanto la Roja es la 3ª. Por exclusión la Rosada es la 1ª. Ya tenemos
los colores de las casas, pues por la pista 4:
4.- David habita en la casa rosada.

11.- David habita la casa pegada a la del jugador de tenis.
Color Rosada Celeste Roja Naranja Amarilla
Nombre David
Nacionalidad Suizo Francés
Deporte Tenis
Pista 10, 4 14, 11 9, 2 (8+6) (8+6)

Tabla 4: Pistas 5 y 13.
5.- El portugués es un gimnasta.

13.- El portugués odia a Madonna.
Hay tres opciones para el portugués: vivir en la 2ª, en la 4ª o en la 5ª casa. La pista nº 5 nos dice
que no es en la 2ª casa (su habitante juega tenis) ni en la 4ª (su habitante escucha a Madonna). Por
tanto sólo queda la 5ª casa.
Nombre David
Nacionalidad Suizo Francés Portugués
Deporte Tenis Gimnasia
S

Pista 10, 4 14, 11 9, 2 (8+6) (8+6), (5+13)
A
M
7.- El italiano escucha siempre a los Beatles.
El Italiano puede vivir en la 2ª o en la 4ª casa, pero como el que vive en la 4ª escucha a los
E
Beatles; ha de ser en la 2ª entonces.
12.- Valerio escucha siempre a Pavarotti.

L
Para escuchar a Pavarotti nos quedan los habitantes de la casa 1ª y 5ª. El de la 1ª no puede ser,
B
pues se llama David. Tiene que ser el Portugués.
O

Nombre David Ángel Valerio
Nacionalidad Suizo Italiano Francés Americano Portugués
R
Deporte Tenis Gimnasia

Cantante Celentano Beatles Vasco Rossi Madonna Pavarotti
P
Pista 10, 4 14, 11, 7 9, 2 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12
Y por exclusión, David escucha a Celentano.
Para completar la fila de las nacionalidades tenemos que:
1.- Ángel es americano.
Tabla 6: 3 y 15.
3.- Sandro está siempre nadando en la piscina.
Sólo hay una casa en la que falten a la vez el nombre y el deporte: la casa 3ª.
15.- Mario habita junto a un futbolista

El único nombre que falta por completar es el de la 2ª casa y además ya sabemos el deporte de
David.
Nombre David Mario Sandro Ángel Valerio
Deporte Fútbol Tenis Natación Gimnasia
Pista 10, 4, 15 14, 11, 7, 15 9, 2, 3 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12
Solución
P
Nombre David Mario Sandro Ángel Valerio
R
Deporte Fútbol Tenis Natación Esquí Gimnasia
O
Pista 10, 4, 15 14, 11, 7, 15 9, 2, 3 (8+6), 1 (8+6), (5+13), 12
Sólo hay que leer la tabla para encontrar la respuesta a cualquier pregunta. En la última fila
B
podemos comprobar, también, que hemos usado todas las pistas.
L
Fase IV. Responder
Comprobación: Leer de nuevo todas las pistas y verificar que son coherentes con la solución.
E
Análisis: La solución es única.
M
Respuesta
David escucha siempre a Adriano Celentano. Ángel practica el esquí.
El tercer problema propuesto también provenía del Rally Matemático Transalpino. Aquí
ofrecemos su resolución.
A
S
Sala de baile
Un rey debe reestructurar la sala de baile de su castillo que tiene una planta cuadrada, con
mosaicos cuadrados, todos del mismo tamaño y enteros, tal que recubran todo el piso sin
tener que recortar ningún mosaico.
El arquitecto dice a su rey: “Podéis escoger entre tres tipos de mosaicos: pequeños de 20
cm de lado, medianos de 25 cm de lado y grandes de 30 cm de lado.
- Si utilizáis los pequeños se necesitan más de 3000.
- Si utilizáis los medianos se necesitan menos de 4000.
- Si utilizáis los grandes se necesitan más de 2000.
¿Cuáles son las dimensiones de la sala de baile?
Explicad vuestra solución.

Fase I. Comprender
Datos: Una sala de planta cuadrada. Mosaicos cuadrados, todos del mismo tamaño y enteros. Se
puede escoger entre tres tipos de mosaicos: pequeños de 20 cm de lado, medianos de 25 cm de lado y
grandes de 30 cm de lado.
Objetivo: Cuáles son las dimensiones de la sala de baile.
Relación: Si se utilizan los mosaicos pequeños se necesitan más de 3000. Si se utilizan los
mosaicos medianos se necesitan menos de 4000. Si se utilizan los mosaicos grandes se necesitan más
de 2000.
S
Diagrama: Representación gráfica de funciones. Tabla simple.

A
Fase II. Pensar
Estrategia: MODELIZACIÓN (mediante Geogebra); ENSAYO Y ERROR; ORGANIZAR LA

M
INFORMACIÖN
Fase III. Ejecutar

E
Entender que se trabaja solamente sobre la longitud del pasillo y sobre la dimensión del lado de
un mosaico. Traducir las tres primeras informaciones en términos de cálculo: búsqueda de múltiplos
L
comunes a 20, 25, 30, es decir: 300, 600, 900, 1200… o bien búsqueda de números que se pueden
obtener con sumas reiteradas de 20, 25, o 30. Esta búsqueda puede ser hecha por ensayo y error, o por
comparación. Trabajar en centímetros.
B
Por modelización:
O
Utilizar como modelo tecnológico el programa Geogebra.

R
Representar las tres funciones (parábolas) que representan la cantidad de baldosas de cada tipo
que puede haber.
P
Representar también los límites impuestos en la cantidad en forma de rectas paralelas al eje X.
En el momento en que, al mover el cursor, los valores sean enteros los tres y estén en los límites
señalados estaremos ante la solución del problema.
Por ensayo y error:
Darse cuenta que el lado de cada mosaico debe estar contenido exactamente en el lado del
cuadro de la sala de baile. Luego, el lado de ese cuadrado debe ser divisible por 20, 25 y 30. Si no es
así los resultados darán decimales, es decir, los mosaicos no serán enteros.

Utilizar una tabla simple.
lado P (20) Área P >3000 M (25) Área M <4000 G (30) Área G >3000 Fallos
300 15 225 12 144 10 100 2 fallos
3000 150 22500 120 14400 100 10000 1 fallo
2100 105 11025 84 7056 70 4900 1 fallo
1200 60 3600 48 2304 40 1600 1 fallo
1500 75 5625 60 3600 50 2500 correcto
1200 90 8100 72 5184 60 3600 1 fallo
Por organizar la información (razonamiento aritmético):
Darse cuenta que el lado de cada mosaico debe estar contenido exactamente en el lado del
cuadro de la sala de baile. Luego, el lado de ese cuadrado debe ser múltiplo de 20, 25 y 30. Si no es así
P
los resultados darán decimales, es decir, los mosaicos no serán enteros.
20 = 22·5; 25 = 52; 30 = 2 · 3 · 5 1MCM (20, 25, 30) = 22 · 3 · 52 = 300 cm ( 3 m)
R
300:20 = 15 152 = 225 no es mayor que 3000
O
300:25 = 12 122 = 144 sí es menor que 4000
B
300:30 = 10 102 = 100 no es mayor que 2000
L
Se producen dos fallos en las condiciones (acotaciones) del problema.
Habrá que utilizar un valor mayor que 300. Habrá de ser un múltiplo de 300.
E
M (300) = 300, 600, 900, 1200, 1500, 1800,..…
M
Para el valor de 1500, tenemos:
1500 : 20 = 75 752 = 5625 sí es mayor que 3000
1500 : 25 = 60 602 = 3600 sí es menor que 4000 A

S
1500 : 30 = 50 502 = 2500 sí es mayor que 2000
Se cumplen las tres condiciones (acotaciones) del problema.
Por tanto, la solución del problema es que el lado del cuadrado de la sala de baile es de 1500
cm, o sea 15 m.
Solución: 15 m, o 1500 cm
Fase IV. Responder
Comprobación
15002 = 1500 x 1500 = 2250000

202 = 20 x 20 = 400 2250000 : 400 = 5625 > 3000
252 = 25 x 25 = 625 2250000 : 625 = 3600 < 4000
302 = 30 x 30 = 900 2250000 : 900 = 2500 > 2000
Respuesta
La sala de baile es un cuadrado de 15 m (o 1500 cm) de lado. Un cuadrado de 15 m x 15 m.
El cuarto problema sometido a los lectores para su resolución se obtuvo web Mates y Más.
S
A
M
E
L
B
O
Veamos su resolución.
R
P
Fase I. Comprender
Datos: Nueve números colocados en orden. Sólo conocemos dos de ellos: el 3 que ocupa el
primer lugar, y el 8 que ocupa el sexto lugar. El resto está representado mediante las letras B, C, D, E,
G, H, I. La suma de cualesquiera tres números consecutivos es 18.
Objetivo: Calcular el valor numérico de la letra H.
Relación: Cada letra representa un número, que no tiene que ser diferente a todos los anteriores.
Diagrama: El ofrecido por el problema.
3 B C D E 8 G H I

Fase II. Pensar
Estrategia: ORGANIZAR LA INFORMACIÓN; ELIMINAR
Fase III. Ejecutar
Procediendo de manera razonada podremos llegar a encontrar los siete números desconocidos.
Para ello utilizaremos una y otra vez el único dato conocido: La suma de cualesquiera tres
números consecutivos es 18.
3 + B + C = B + C + D = 18 3=D
3 B C 3 E 8 G H I
P
3 + E + 8 = 18 E=7
R
3 B C 3 7 8 G H I
O
C + 3 + 7 = 18 C=8 7 + 8 + G = 18 G=3
3 B 8 3 7 8 3 H I
B
3 + B + 8 = 18 B=7 8 + 3 + H = 18 H=7
L
3 7 8 3 7 8 3 7 I
Y, finalmente, aunque solo se necesita para comprobar: 3 + 7 + I = 18 I=8
E
3 7 8 3 7 8 3 7 8
M
Solución: H vale 7
A
Fase IV. Responder
Comprobación: Realizar las siete sumas de tres valores consecutivos posibles y verificar su S
corrección.
3 + 7 + 8 = 18; 7 + 8 + 3 = 18; 8 + 3 + 7 = 18; 3 + 7 + 8 = 18; 7 + 8 + 3 = 18; 8 + 3 + 7 = 18; 3 + 7 + 8 = 18.
Respuesta: El valor de la letra H es 7
Entre este artículo y el anterior han sucedido muchas cosas. Entre ellas la celebración de los
Torneos de Resolución de Problemas que organiza la Sociedad Canaria “Isaac Newton” de Profesores
de Matemáticas, el de Primaria y el de Secundaria. Les mostramos tres de los problemas ofertados a
los alumnos, porque nos parecieron curiosos, porque los alumnos presentaron soluciones interesantes y
porque queremos contrastar sus reflexiones sobre ellos con las que ofrecieron nuestros muchachos y

muchachas. En el próximo artículo los comentaremos. Mientras, queridos

lectores, (si así lo desean) pueden enviarnos sus propias soluciones.
Del XXXIII Torneo de Matemáticas para alumnado de 6º de

Primaria, celebrado en todas las Islas Canarias el 1 de abril de 2017.
Viaje por Italia
Aldo y Bruno organizan un viaje por Italia en bicicleta. Bruno ha planeado recorrer 50
kilómetros por día. Aldo está planeando viajar 50 km en el primer día y aumentar la
distancia recorrida 1 km cada día. En otras palabras, recorrerá 50 km en el primer día, 51
el segundo, 52 el tercero, y así sucesivamente. Bruno parte el 1 de abril, Aldo parte el 3
de abril. ¿En qué día Aldo alcanzará a Bruno? (En la respuesta indica la fecha del
S
día)
Del XXXIII Torneo de Matemáticas para alumnado de 2º de Educación Secundaria

A
Obligatoria, Segunda Fase, celebrado en Tenerife el 12 de mayo de 2017 con participación de los 22
alumnos seleccionados en la Primera Fase..
M
Jardín matemático
E
En el dibujo aparece el plano del jardín cuadrado que se va a

construir en la entrada de la Casa Museo de las Matemáticas.
L
La zona coloreada, que está encerrada en uno de los cuatro

cuadrados en los que está dividido, y tiene un lado que es la
diagonal y otro que es la mitad del lado de ese cuadrado, mide
B
5 m2 y es la zona que está plantada ya de rosales.

El triángulo ABC, limitado por el vértice superior izquierdo, y
la mitad de los dos lados opuestos del jardín, será la superficie
O
que ocuparán todos los rosales cuando esté acabado el jardín.

Calcula la superficie del jardín completo y también la superficie de la zona donde
irán los rosales.
R
Razona tu respuesta.
P
Numb3rs
Cuando paseaban por la ciudad tres matemáticos, observaron que el conductor de un

automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número (de
cuatro cifras) de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos
advirtió alguna particularidad de dicho número.
Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales.
Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras.
Y, por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado
exacto.
¿Puede determinarse el número de la matrícula del automóvil valiéndose tan sólo de
estos datos?
Explica detalladamente tu razonamiento.

Además de los anteriores queremos someter a su resolución estos dos problemas obtenidos del
Proyecto Newton y procedencia remota del Rally Matemático Transalpino. Quisiéramos que pensaran,
de manera especial, en una forma de resolverlos por MODELIZACIÓN. Los comentaremos en el
próximo artículo.
Camellos y dromedarios
Cleopatra ha dibujado camellos y dromedarios, en total ha hecho 23 jorobas y 68 patas.

Cleopatra sabe que los camellos tienen dos jorobas y que los dromedarios tienen sólo una.
Luego dibujó un hombre en la grupa de cada camello.
¿Cuántos hombres ha dibujado Cleopatra en total?
Explica cómo encontraste tu respuesta.
Concurso de pesca
P
Alfredo, Carlos y Blas participan en un concurso de pesca. Al terminar el concurso
descubren que: Blas ha pescado 7 truchas más que Alfredo; Carlos ha pescado el doble de
R
las truchas pescadas por Blas y que es también el triple de las pescadas por Alfredo.
¿Cuántas truchas ha pescado cada uno de los tres amigos?
O
Explica tu razonamiento.
Por último, un par de problemas más.
B
El primero geométrico, de breve enunciado y que se puede resolver aplicando los primeros
conceptos que se enseñan en esta disciplina. Está tomado de García Ardura, M.; Problemas gráficos y
numéricos de Geometría; Madrid 1964.
L
El segundo se basa en uno de los problemas publicado por Adrián Paeza en su obra Matemagia.
E
Área de un rombo
La diagonal mayor de un rombo mide 20 cm y el radio de la
M
circunferencia inscrita 6 cm. Calcular la superficie del rombo.
Suma de parejas
En una bolsa opaca se introducen 15 bolas numeradas con los números pares 2, 4, 6, …,
28 y 30. Se extraen n bolas. ¿Qué valor mínimo debe tener n para asegurarnos de que al
A
S
menos hay un par de bolas que suman 36? ¿Y para que sumen 28?
Y no podía ser menos. Una vez más volvemos a insistir: resuelvan los problemas, singulares y
alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus comentarios a la revista,
sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo sucedido en el transcurso de
la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras propuestas tienen uso en el aula.
Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Vamos, anímense… ¡Si es divertido!
Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista
NÚMEROS
.
Revista de Didáctica de las
Matemáticas
Un saludo afectuoso del Club Matemático.

ISSN: 1887-1984

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
Resumen Soluciones a los problemas y ejercicios propuestos en nuestro anterior artículo, primero
de esta serie sobre dominós. Problemas de lógica y de cálculo combinatorio asociados a
los juegos de dominó. Conversión en fracciones de las fichas de dominó y cálculos que
se pueden hacer con ellas. Número de fichas y totales de puntos para los juegos de
dominó con 7, 8,… palos.
Palabras clave Juegos de dominó. Número de fichas de dominós. Cantidad de puntos de las fichas del
dominó. Problemas de lógica y cálculo combinatorio con dominós.
J
Abstract Solutions to the problems and exercises proposed in our previous article, first in this
series on dominoes. Logic and combinatorial computation problems associated with
domino games. Conversion into fractions of dominoes and calculations that can be done
U
with them. Number of chips and total points for domino games with 7, 8,... sticks.
Keywords Domino games. Number of dominoes. Number of domino chip points. Problems of logic
E
and combinatorial calculus with dominoes.
G
Decíamos, hace ya dos artículos atrás, que presentábamos un puzle muy interesante para realizar
con las fichas del dominó. Y hace uno solamente les dábamos algunas pistas para ayudar a los que aún
no habían encontrado la solución. Era el siguiente.
O
Tablero dominó
S
En este tablero de la figura 1 están contenidas las 28
fichas del dominó (el 0 equivale al espacio en blanco y hay
tantas fichas como combinaciones de números más las 7
"dobles"), unas en horizontal y otras en vertical. Se trata de
definir los contornos de todas las piezas (como la marcada del
[0|0]) de manera que estén todas y encajen perfectamente.
Llegó el momento de ofrecerles nuestros resultados,

detallados, como siempre, y siguiendo nuestro esquema de
resolución. Presentamos un segundo camino para encontrar las
soluciones mediante árboles que permiten visualizar los
razonamientos. Contrástelas con la suya. Figura 1
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. jaruperez@gmail.com / mgarciadeniz@gmail.com

Proceso de resolución:
Comprender
Datos: Un tablero 7x8 con números escritos en las casillas (el cero es el blanco). Las 28 fichas
del dominó doble-seis.
Objetivo: Definir los contornos de todas las piezas (como la marcada del [0|0]).
Relación: Deben estar todas las fichas y encajar perfectamente, sin espacios vacíos ni
superposiciones.
Diagrama. El que nos ofrece el problema. Una lista.
Pensar
Estrategia: organizar la información de manera sistemática; ensayo y error

S
Ejecutar
O
1. Hacer una lista ordenada de las 28 fichas del dominó.

G
2. Eliminar de la lista el [0|0], que ya está colocada.
3. Buscar en el tablero aquellas fichas que aparezcan una sola

E
vez: son el [5|5] y el [1|2]. Eliminarlas de la lista. (Figura 2)

U
4. Analizar cuáles son las mejores

posibilidades para realizar un ensayo y
error a partir de una ficha dada. Son el
J
[3|3], el [4|4] y el [2|2]. Sólo ofrecen dos

posibilidades de ser colocadas (figura 3).
5. Elegimos una de ellas. Por

ejemplo, el [2|2]. Y consideramos como
Figura 3 ensayo su posición en la parte inferior Figura 2
derecha del tablero. (Figura 4)
6. Buscamos, a partir de la
lista, qué fichas quedan
determinadas de forma lógica. Se
encuentran [6|6], [5|6], [4|6] y
[3|5]. Eliminarlas de la lista
(figuras 4 y 5).
7. Ver si es posible colocar Figura 5

alguna más repasando la lista. No
Figura 4 se puede.

Título del artículo
8º. Hacer un nuevo ensayo. Por ejemplo, con el [3|3]. Elegir la posición [3|3] horizontal.
9. Repetir la acción descrita en el punto 6º. Se encuentran [2|3], [0|4], [1|6], [0|6], [0|5], [2|4] y
[0|2]. (Figuras 6 y 7)
10. Al analizar la tabla para buscar alguna de las fichas restantes

encontramos que la ficha [2|5] no puede ser colocada. Eso indica que el
ensayo [3|3] no era correcto.
11. Volvemos atrás, a la

posición de la figura 2, y
realizamos ahora el ensayo [3|3]
Figura 7 en la posición vertical. Figura 6
12. Repetimos la acción descrita en el punto 6º. Se encuentran [1|3], [1|1] y [1|5]. Se eliminan de la
lista. (Figura 8 y Figura 9)
13. Con el resto de la lista
J
tratamos de colocar alguna ficha
más de modo lógico. No podemos.
U
14. Es el momento de hacer un
nuevo ensayo, esta vez con la ficha
[4|4]. Elegimos la posición vertical.
E
15. Eso permite colocar la
G
Figura 8
totalidad de las fichas restantes,
con la curiosidad de que las fichas [1|1] y [1|5], que se colocan
al final, pueden ser colocadas en dos posiciones. Tenemos dos
O
soluciones. Figura 9
S
Solución: Tenemos, pues, dos soluciones (Figura 10).
Figura 10

Responder
Comprobación: Verificar que todas las fichas del dominó aparecen en

el tablero.
Análisis: Hemos encontrado dos soluciones para los ensayos realizados.

No obstante, hemos dejado sin explorar el ensayo [4|4] en posición horizontal.
No podemos por tanto asegurar que son las únicas soluciones. Habrá que
probar. Figura 11
Al hacerlo encontramos fácilmente la configuración de la figura 11 en la que sólo nos quedan

por colocar seis fichas. Las mostradas en la figura 12
Elegimos probar la ficha [0|3], primero en la posición

vertical inferior y, después, en la posición horizontal superior.
Figura 12
Y, curiosamente, cada una de ellas nos da una solución
correcta. Hay dos soluciones más. Cuatro en total.
S
O
G
E
Figura 13
U
Respuesta:
J
Hay cuatros soluciones que marcan las 28 fichas del dominó sobre el tablero
proporcionado. Ver figura 14.
Solución 1 Solución 2 Solución 3 Solución 4
Figura 14

Junto a la solución obtenida por este razonamiento, ofrecemos otra manera de llegar a la misma,
siguiendo otra secuencia lógica. Comenzamos como antes buscando las fichas que no estén repetidas,
como es el doble blanco o doble cero (Tablero 1),
Vemos que los dominós [5|5] y [1|2] Tablero 1 Tablero 2

tampoco se repiten (Tablero 2). Y no hay más. 1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3
3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3
0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5
6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5
0 5 1
2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6
0 5 2 4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2
1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2
1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6
Ahora buscamos un dominó que se repita el mínimo de veces, en dos ocasiones; tal es el caso
del [3|3] o el [1|4]. Nos centramos en el [3|3] de la esquina superior derecha. Hay dos opciones:
comenzar con la ficha en vertical o en horizontal.
J
Tablero 2,1 Tablero 2,1,1 Tablero 2,1,2
1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3
U
3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3
0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5
E
6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5
2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6
G
4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2
1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2
O
1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6
S
Cuando comenzamos con la ficha horizontal llegamos en pocos pasos a un bloqueo, después de
considerar todas las posibilidades de las fichas que contactan con la [3|3] (Tablero 2,1), como
podemos ver en la siguiente secuencia donde la ficha [4|0] se ha de tomar obligadamente, al no ser
posible la [0|0], que ya está colocada. También podemos buscar que dominós no aparecen repetidos, y
que son: [0|2], [2|5], [3|6], [5|6], [0|3] y [0|6] (Tablero 2,1,1).
Pero también podemos darnos cuenta al estudiar qué fichas no se repiten, que no aparece la
[4|4], o que si elegimos continuar con la [0|2] no hay continuación. Por tanto, comenzar con la ficha
[3|3] horizontal no es una buena elección.
3 3 2 3 4 0 0 6 No hay continuación
5 1 No es posible colocar la 4 4
0 2 No hay continuación La ficha 3 3 No es válida Cogemos la ficha 3

3

Veamos con la ficha [3|3] en vertical de la esquina superior derecha (Tablero 2,2). En este caso
continuamos con la [3|6], que tiene menos opciones que la [2|3], por ejemplo. Esto hace que la ficha
[2|3] pueda ser una de las tres que se muestran en el Tablero 2,2,1 arriba a la izquierda.
Tablero 2,2 Tablero 2,2,1 Tablero 2,2,2

1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3
3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3
0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5
6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5
2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6
4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2
1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2
1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6
Esta decisión no lleva a la siguiente secuencia de piezas construida en forma de árbol.

Siguiendo el árbol vemos que alguno de los itinerarios conduce a bloqueos, no hay una continuación.
S
2 3 2 1 3 4 4 4 0 2 5 1
O
5 6 0 5
3 Probamos con 3 0 2 3 2 1
3 Por tener menos opciones 6 3 3 4 4 0 2 0 1
G
3 4 5 6 3 5
2 2 3
0 1
E
No hay continuación única
1
U
1 No hay continuación X 6 1 4 1 0 4 0 0 0 2 4 4 5 1 1 1 5
5 2 6 3 3 6
J
2 4 1 1
5 6 2 6 6 4 3 4 No hay continuación X 1 1 4 5 1 5
2 6 5 1 0 0
Las soluciones encontradas provienen de que en alguna intersección del árbol es posible elegir
las piezas en horizontal o en vertical, como se puede comprobar.
Poniendo sólo el recorrido válido, vemos que aparecen cuatro soluciones.
2 3 2
5
3 Probamos con 3 0 2 1
3 Por tener menos opciones 6 3 3 4 4 0 2
4 5 6

1 4 1 0 4 0 0
6 3 6 2 4 4 5 1 1 1 5
0 1 5 6 2 6 6 4 3 2 4 1 1
2 6 5 4 5 1 5
Los tableros 0M y 0J muestra dos soluciones obtenidas, cada una, por uno de los métodos expuestos.
Tablero 0 M Tablero 0 J
1 3 4 4 0 2 3 1 3 4 4 0 2 3
3 2 3 4 0 3 3 3 2 3 4 0 3 3
0 2 0 2 5 6 5 0 2 0 2 5 6 5
6 5 0 6 0 1 5 6 5 0 6 0 1 5
2 4 1 4 3 5 6 2 4 1 4 3 5 6
4 5 0 1 5 4 2 4 5 0 1 5 4 2
1 1 3 6 1 6 2 1 1 3 6 1 6 2
J
1 5 0 4 2 6 6 1 5 0 4 2 6 6
U
Pero también habíamos propuestos otros problemas para solucionar, siempre con el juego del
dominó. Veamos sus soluciones.
E
¿Cuántas piezas tiene un dominó determinado?
G
La resolución no está en el proceso de contarlas, sino en utilizar una estrategia adecuada, por
ejemplo, BUSCAR PATRONES. Su puede comenzar viendo cuántas piezas tiene cada dominó,
O
empezando por los más pequeños (el dominó que llega al doble 4 tiene quince piezas, el que llega al
doble 5 tiene veintiuna piezas, etc.). Después establecer la relación entre ambas variables y construir el
patrón. GENERALIZAR después y hallar una fórmula general. Veamos, pues, algunas cuestiones
S
resolubles también mediante la combinatoria.
De esa forma podemos llegar a una fórmula general como la siguiente:
Al aplicarla obtenemos los siguientes valores:
Palos Juego Número de fichas

7 6-6 7 x 8 / 2 = 56 / 2 = 28
8 7-7 8 x 9 / 2 = 36
10 9-9 55
13 12-12 91
16 15-15 136

¿De cuántas formas pueden colocarse en hilera todas las fichas de un juego completo (doble
seis), sometidas a la regla habitual de que los extremos de piezas en contacto tengan valores
iguales?
Se trata de un problema muy

antiguo de combinatoria con el
dominó. Sería muy arrogante por
nuestra parte desarrollar aquí
un estudio del problema cuando
Martin Gardner nos ofreció dicho
trabajo desde hace mucho
tiempo.
A los lectores interesados en
cotejar su solución con la de
Gardner los remitimos a la
siguiente publicación: “Circo
S
matemático”, Martin Gardner,

ALIANZA Editorial. Un análisis
O
muy interesante, basado en la

teoría de Grafos.
G
De un juego completo de 28 fichas de dominó queremos tomar dos que casen. ¿De cuántas
formas distintas podemos hacerlo?
E
En el dominó dos fichas casan cuando tienen extremos iguales. Ej.: el 2-5 casa con el 5-0.
U
La respuesta es que se trata de 252 formas distintas. Provienen de separar el estudio en los dos
casos posibles:
J
(1) que una ficha sea un doble, lo que da 7 x 6 casamientos

(2) que ninguna sea doble, lo que da 21 x 10 casamientos.
Eso nos da un total de 7 x 6 + 21 x 10 = 42 + 210 = 252.
Si ignoramos la blanca doble (o doble 0) podemos considerar las 27 fichas

restantes del dominó como una fracción menor o igual que uno.
Por ejemplo, la ficha de la figura sería 2/6.
¿Cuánto suman las 27 fichas de un dominó, consideradas como fracciones?
Tomamos 27 fichas del dominó doble seis,

excluido el doble cero. Debemos considerar cada
una como una fracción menor o igual que uno.
Y tener en cuenta que para sumar fracciones

éstas deben tener el mismo denominador.

Podemos utilizar una tabla para formar las fichas del dominó. Y utilizar la estrategia de
ORGANIZAR LA INFORMACIÓN.
Las fichas del dominó más usual (doble 6: siete palos) son:
En total, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 fichas.
Se transforman en fracciones tomando el primer

0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-6 número como numerador y el segundo como
denominador. Se excluye el [0|0] por originar la
1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 fracción 0/0 que no tiene sentido en matemáticas a estos
niveles.
2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
Las fracciones que tiene numerador cero tienen
3-3 3-4 3-5 3-6 un valor cero. Son seis. Solamente hemos de sumar las
21 restantes. Para hacerlo de forma cómoda bastará con
4-4 4-5 4-6 agrupar entre sí (organizar la información) las que
tienen el mismo denominador.
J
5-5 5-6
Sumando las 21 fracciones correspondientes a las
6-6 fichas no nulas:
U
1/1 + (1/2 + 2/2) + (1/3 + 2/3 + 3/3) + (1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4) + (1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5) +
(1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6) = 1/1 + 3/2 + 6/3 + 10/4 + 15/5 + 21/6 = 1 + 3/2 + 2 + 5/2 + 3 + 7/2
E
= (1 + 2 + 3) + (3/2 + 5/2 + 7/2) = 6 + 15/2 = 27/2 = 13 + 1/2 = 27/2
G
Para comprobar esta solución podemos realizar la misma operación sin simplificar los
resultados parciales hasta tener el resultado final:
O
1/1 + 1/2 + 2/2 + 1/3 + 2/3 + 3/3 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5 + 1/6 +
2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = (60 + 30 + 60 + 20 + 40 + 60 + 15 + 30 + 45 + 60 + 12 + 24 + 36 + 48 +
60 + 10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60)/ 60 = 810/60 = 81/6 = 27/2.
S
La solución es única. El problema puede ser generalizado a los distintos tipos de dominó (doble
9, doble 12, etc.).
La respuesta, por tanto, es: Las 27 fichas (distintas del [0|0]) de un dominó común suman 27/2.
Determine la suma de todos los puntos que contienen las fichas del dominó.
La suma de todos los puntos del dominó doble seis es de 168. Podemos recurrir a la fuerza bruta
para calcularlo, es decir, realizar la suma de todos los puntos ficha por ficha. Desde luego no es lo más
inteligente, ni educativo y sí muy, pero que muy, aburrido.
Utilizaremos otra manera. Supongamos que disponemos de dos juegos de dominó, en total 56
fichas.
Las dividimos en 28 parejas, cada una formada por dos fichas de diferente juego y de tal manera
que la suma de los puntos en cada dos cuadrados de diferentes fichas sea igual a 6. Por ejemplo: [3|5]
y [3|1]; [6|4] y [0|2]; [0|6) y [6|0]; [3,3] y [3|3]. Esto es bastante sencillo de realizar. Podemos
continuar y hacerlo con todas las fichas.

Cuando hayamos terminado de emparejar el juego tendremos que la suma de puntos en cada par
de fichas será igual a 12. Como tenemos 28 parejas el cálculo de la suma de puntos en los dos juegos
del dominó será igual a 28 x 12 = 336.
Las fichas de un solo juego contendrán la mitad de puntos, es decir, 168 puntos.
Número de puntos = (p + 1) p (p – 1) / 2 = (nº de fichas) (p – 1)
Juego Total de puntos

6-6 8 x 7 x 6 / 2 = 4 x 42 = 168
7-7 252
9-9 495
12-12 1092
15-15 2040
Como ejercicio podemos pedir el cálculo para supuestos juegos de dominó de 8-8, de 10-10, etc.
Juego Total de puntos

S
8-8 8 x 9 x10 / 2 = 90 x 4 = 360

10-10 660
O
11-11 858
13-13 1365
14-14 1680
G
Todas estas cuestiones y muchas más, pueden también estudiarse para el dominó del doble 9,
E
con la ventaja de que están todas las cifras.

U
O
O O O
O
O O O
O
O O O
O O O
O O O
O O O
O
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J
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O O O
O O O
O
O
O O O
O O O
O O O
O O O
O O O
O O O

Y un último, de lógica.
Cuatro amigos, Andrés, Benito, Carlos y Daniel, juegan al dominó. Comenzando por Andrés,
cada uno ha puesto dos fichas. Las que ha puesto Andrés suman 23 puntos, las puestas por
Benito 20, las de Carlos 18 y las Daniel 16. La tercera ficha que coloca Andrés es el 6-2. ¿Cuáles
son las otras ocho fichas colocadas? ¿En qué orden se colocaron?
Veamos primero que fichas pueden dar lugar a esas sumas:
1ª jugada 2ª jugada 3ª jugada

6|6 6|5 6|2
Andrés (23) Única manera de sumar 23 puntos
6|5 6|6
6|4 5|5 Para sumar 20 en sus dos jugadas, y teniendo en
Benito (20)
5|5 6|4 cuenta lo jugado por Andrés.
5|4 6|3
Carlos (18) Para sumar 18 en sus dos jugadas.
6|3 5|4
4|4 5|3 o 6|2
Para sumar 16 en sus dos jugadas iniciales.
Daniel (16) 5|3 4|4 o 6|2
J
No tiene el 6|2, porque lo tiene Andrés
Sabemos que Carlos, el tercero en jugar, coloca una ficha con un 2 o un 6 libre, y que Benito, en
U
su turno, ha colocado una ficha que también deja un 2 o un 6.
E
Veamos, en un árbol, como pudo haberse desarrollado el juego.
Primera jugada Extremos Segunda jugada Extremos Tercera jugada
G
A B C D libres A B C D libres A
5|4 5|3 6y3 6|5 5|5 6.3 pasa 6y5 (*)
6|6 6|4
O
4|4 4y4 Pasa (*)
6|3 5|4 4|4 4y4 (**)
S
5|3 4y5 6|5 5|5
4|5 Pasa (*)
4|5 5|3 3y5 Pasa (*)

6|4
5|4 4|4 4y4 Pasa (*)
6|5 4|6 6|3 3|5 5y6 6|2

5|4 4.4 4y6 6|6
6|4 Pasa (*)
5|5 3|5 5y5 Pasa (*)
6|3
5|3 3y3 Pasa (*)
(*) No se cumple la condición de jugar las ocho fichas que suman los puntos expuestos en el
enunciado.
(**) Pese a que se han jugado las ocho fichas, no le es posible a Andrés jugar el [6|2].

Y también los correspondientes a puzles.
Cada par de piezas de dominó cumple con una regla. Respetándola, ¿qué número debe ir
en la parte inferior del último dominó?
El patrón que encontramos es que, en cada par de fichas, el número de arriba de la primera es
igual a la suma de los otros tres.
Por tanto, la respuesta consiste en averiguar el valor desconocido ? de la parte inferior de la

última ficha -al que llamaremos x-, se plantea y resuelve de la siguiente manera|
S
6=1+4+x x=6–5=1
En este tipo de puzle se trata de encontrar

O
un patrón que cumplan todas las fichas conocidas

y extender a la ficha que falta por completar. Hay
G
muchos patrones posibles y lo importante es la

justificación de dicho patrón. Para encontrar un
patrón deben conectarse las fichas completas
E
como parte de una sucesión o los cuadrados

individuales de las fichas como dos sucesiones
independientes o buscar alguna conexión entre las
U
dos filas de fichas, … En fin, que puede haber

muchas posibles soluciones.
J
Ésta podría ser una de ellas.
Las tres fichas de la fila superior ofrecen

dos sucesiones independientes| 1 – 2 – 3
(diferencia 1 creciente) y 6 – 4 – 2 (diferencia 2
decreciente).
Las tres fichas de la fila inferior deben

mantener ese patrón. Por tanto| 5 – 6 – 0 (después
del 6 viene el blanco) y 4 – 2 – 0.
Solución: La ficha que falta es la [0|0].
Con un poco de razonamiento podemos

encontrar esta solución.

A la izquierda la solución al problema del cuadrado mágico propuesto

en la imagen de la derecha al final del párrafo anterior.
El puzle del dominó lógico
Les recordamos el tablero que el Komando

matemático tiene entre sus materiales y que
presentamos en el anterior artículo. Su resolución sigue
un proceso semejante al expuesto al principio, en el
TABLERO DOMINÓ, por lo que no exponemos su
solución de forma detallada. No obstante, aquellos de
nuestros lectores interesados en ella nos lo hacen saber
J
y gustosamente se la enviamos en un correo.
U
3 1 0 3 3 4
3 4 0 3 4 1
E
0 4 2 2 2 4
G
2 2 2 1 1 3
0 1 1 0 4 0
O
Ha resultado ser un problema sencillo. Ya habíamos dicho que se trata de un puzle del
Komando Matemático, utilizado con niños de Primaria.
S
En el puzle llamado DO-MI-NÓ, tenemos los valores de cada
parte de las fichas que deben ir situadas por filas y por columnas, las
divisiones del tablero según las fichas a colocar y, finalmente, las
fichas que han de situarse. Se incluye un ejemplo ya colocado. El
propio puzle nos indica la técnica a utilizar en el razonamiento y
control de las fichas colocadas.
Representamos el tablero con la posición de las fichas definidas

por colores y situamos la que nos dan como ejemplo.
4
3
1
1 1
4 4

Si observamos los datos de las dos filas superiores y de la columna de la derecha, vemos que la
ficha de arriba ha de ser 4-3 y que, además, el espacio restante debe ser el 1 sobrante de esa columna.
Seguiremos razonando. Puede que tengamos que utilizar ensayo y error.
En la fila central nos quedan por colocar un 1 y dos 2. En la tercera 4

columna ambos números son posibles de colocar en la ficha de color naranja,
que ya tiene un 1 colocado. 3
Primera opción| 1 2 2 1
Colocamos el 2 en la ficha naranja. En la verde irán el 1 y el 2 restantes.
1
Pero eso no puede ser porque se repetiría la ficha 2-1, ambas en la fila central. 4
Segunda opción|
4
En esta opción no hay duda acerca de la colocación de los números. 3
Colocado el 1 en la ficha naranja, la ficha verde es 2-2.
2 2 1 1
S
No olvidemos controlar siempre los números ya colocados y saber así

los pendientes de colocar.
1
O
4
En la segunda fila (contada desde arriba) nos quedan por colocar dos 3
y un 4. En la ficha violeta no podemos colocar un 3 y un 4 porque se repetiría la ficha 3-4 ya colocada
G
(azul). Por lo tanto, la ficha violeta es 3-3 y el cuadro azul restante un 4.
4
E
En la cuarta fila (desde arriba) nos quedan por colocar dos 1 y un 2.

En la ficha violeta no podemos colocar los dos 1 porque tendríamos la ficha
1-1 ya colocada. Por tanto, ha de ser la ficha 1-2 y el cuadro azul restante el 4 3 3 3
U
otro 1. Para saber el orden de colocación de la ficha violeta (1-2 o 2-1) 2 2 1 1

analizaremos los datos que nos quedan. En la segunda columna no podemos
poner un 1 porque no hay. 1
J
Para completar la ficha azul sólo nos queda

4
4 una posibilidad, la 1-3, que cuadra con los datos restantes. Y eso nos lleva
también a completar la ficha azul restante de esa
4 3 3 3 primera columna con un 4. 4 4
2 2 1 1 4 3 3 3
Las dos fichas verdes que quedan por
1 2 1 1 colocar son ahora muy sencillas de razonar. Por 2 2 1 1
los datos que restan de las filas sabemos que son
4 4-2 o 2-4 y 3-2 o 2-3. Los datos de las columnas 1 2 1 1
nos lo aclaran. Son 2-4 y 3-2.
4 2 4 4 3 4
4 3 3 3
Y de esta manera llegar a la solución indicada a continuación.
2 2 1 1
1 2 1 1
3 3 2 4

Sobre las soluciones del puzle de desvanecimiento (vanishing puzle) de Jean Claude Constantin,
él mismo nos las ofrece.
J
U
E
G
O
S

El puzle que presentamos en la revista números 94 y en el que cada fila y columna pedíamos
que sumen el mismo número de puntos colocando las piezas expuestas en el tablero amarillo de la
figura, tiene una resolución sencilla.
La combinación de puzle geométrico plano y de puzle aritmético nos da pistas para su solución.
Hay cuatro piezas formadas por cuatro dominós adosados con forma de cruz y otras dos que
tienen forma de flecha; las dos piezas restantes las forman dos dominós adosados. Así que en total
S
tenemos los 28 dominós de un juego de doble seis.
Sabemos que los puntos totales de un dominó de este tipo

O
son 168 y nuestro tablero supone que haya ocho filas y ocho
columnas; por tanto, cada línea ha de sumar 168/8 puntos, es decir
21 puntos
G
Vemos que las piezas en cruz y las cuadradas son las que
E
pueden ocupar los centros de los lados del tablero, mientras que las
flechas han de ir en las esquinas. Es cuestión ahora de combinar las
piezas de tal manera que dos flechas y una cruz o dos flechas y un
U
cuadrado colocados en un lado del tablero, sumen 21 puntos. No es

difícil llegar a la solución mostrada.
J
Se nos ha ido el espacio del artículo. Así que será en el próximo donde comentaremos el uso del
dominó como material didáctico, los dominós no rectangulares y las variantes que se alejan un poco
como el Mah-jongg. Y también, claro, más problemas y puzles relacionados con el dominó.
Como siempre| estamos a su disposición y agradeceremos enormemente sus comentarios y

aportaciones.
Hasta el próximo NÚMEROS pues. Un saludo.

Revista de Didáctica de las Matemáticas
Club Matemático

ISSN: 1887-1984
L
Las matemáticas del amor. Patrones, pruebas y la búsqueda de la
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Hannah Fry
E
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Las matemáticas del amor. Hannah Fry
Reseña: A. Yanira Duque Hernández
La doctora Hanna Fry es matemática en el Centro de Análisis Espacial avanzado del University
College London. En su trabajo emplea los modelos matemáticos para estudiar pautas en el
comportamiento humano, desde los disturbios y el terrorismo hasta el comercio y el consumo. La
matemática y divulgadora es conocida por sus intervenciones en diferentes medios de comunicación y
en espacios, más allá de las instituciones educativas.
S
El libro está dividido en nueve capítulos independientes, de fácil lectura y con cierta dosis de
A
humor, que abordan algunas de las preguntas más comunes y complejas que rodean al amor: ¿Cuáles
son las probabilidades de encontrar el amor? ¿Cuál es la probabilidad de que dure? ¿Hasta qué punto
la belleza es importante? ¿Cuándo hay que sentar la cabeza? ¿Puede la teoría de juegos ayudarnos a
C
decidir si llamar o no?
En el prefacio, la autora aclara que no es una experta en el amor. El objeto que se planteó al
I
escribir este libro era dilucidar la belleza y la importancia de las matemáticas y las pautas que rigen el
amor, para que al conocer un poco mejor las matemáticas del amor nos inspirara un poco más de amor
T
por las matemáticas.
En el primer capítulo, se explora las probabilidades matemáticas de encontrar la pareja ideal,

Á
con resultados mucho más alentadores que las estimaciones realizadas por el matemático Peter
Backus, que calculó que hay más civilizaciones extraterrestres que mujeres elegibles para él en la
M
Tierra. Backus utilizó una fórmula conocida como la ecuación de Drake, llamada así por su creador
Frank Drake y desglosó la estimación en muchas conjeturas pequeñas, para establecer que sólo hay
veintiséis mujeres en todo el mundo con las que estaría dispuesto a salir. Fry vuelve a realizar las
E
estimaciones, de una manera menos quisquillosa, para concluir que Backus tendría casi mil posibles
parejas en toda la ciudad.
T
En el capítulo cuatro, Fry nos describe cómo las matemáticas pueden ayudar en la búsqueda de
pareja a través de páginas web. Se analiza el algoritmo usado en la web de citas gratuita OkCupid,
fundada por un grupo de matemáticos y situada junto con Amazon y Netflix como uno de los motores
A
de recomendación de uso más generalizado en Internet. El capítulo termina con el estudio del efecto
que tienen las preferencias personales y la selección de las imágenes utilizadas en la web en el éxito
del emparejamiento.
M
En el capítulo siete nos propone aplicar un área de las matemáticas, “la teoría de la decisión” (y
más concretamente "la teoría de la parada óptima"), a la búsqueda de pareja. La fórmula predice
cuántas posibles parejas tienes que rechazar antes de encontrar a la pareja perfecta. Así sabremos en
qué momento debemos dejar de buscar y quedarnos con la persona candidata que encontremos.
R
El último capítulo analiza el trabajo del psicólogo John Gottman, que estudia la felicidad de las
parejas a largo plazo, y cómo influyó la incorporación del matemático James Murray en las
investigaciones de Gottman y su equipo. Fry presenta dos fórmulas ecuaciones tes desarrolladas por
E
los investigadores para explicar estos patrones de comportamiento humano.

E
En definitiva, un libro dirigido a todo tipo de lectores, que presenta de una forma sencilla,
amena e interesante la relación entre el amor y las matemáticas.
L
A. Yanira Duque Hernández (Coordinación Área de Tecnología Educativa CEU)

ISSN: 1887-1984
Congresos
I
N
F
28º Seminario de Educación Matemática
Fecha: 9 y 10 de Abril del 2017.
O
33º Encuentro de Profesores de Matemáticas
Fecha: 10, 11 y 12 de Abril del 2017
Convoca: Asociación de Profesores de Matemáticas.
R
Lugar: Viseu. Portugal.
Información: http://profmat2017.ipv.pt/
M
A
C
I
O
N
E
Fecha: 20,21,22 y 23 de Abril de 2017.

S
Lugar: CEP Las Palmas. Gran Canaria. Islas Canarias. España.

Convoca: Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas.
Información: http://www.sinewton.org/web/

Fecha: 10 al 14 de Julio de 2017.
Lugar: Madrid. España.
Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática.
S
Organiza: Federación Española de Profesores de Matemáticas.

Información: http://www.cibem.org/
E
N
O
I
C
Fecha: 24-28 de Julio de 2017.

A
Lugar: Universidad Mc Gill. Montreal. Canada.

Convoca: Mathematical Council of the America.
Información: https://mca2017.org/es
M
R
O
XXI Simposio
de la Sociedad Española
F
de Investigación en
N
Educación Matemática
I
Fecha: 6,7, 8 y 9 de septiembre del 2017.

Lugar: Facultad de Educación. Universidad de Zaragoza. España.
Organiza: Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza.
Información: http://www.seiem.es

XLIII Semana de las
Matemáticas del Instituto
de Matemáticas del PUCV
I
Fecha: Del 23 al 27 de octubre del 20178.
Lugar: Valparaíso. Chile.
N
Organiza: El Instituto de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
Información: http://ima.ucv.cl/congreso/sm2017/
F
O
R
M
A
C
Fecha: Del 29 de Octubre al 1 de Noviembre del 2017.
Lugar: Cali. Colombia.
Convoca: Red de Educación Matemática de América Central y el Caribe.
I
Información: http://ii.cemacyc.org
O
N
E
S
Fecha: Del 11 al 15 de Diciembre de 2017.

Lugar: Buenos Aires. Argentina.
Organiza: Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad
de Buenos Aires.
Información: http://uma2017.dm.uba.ar/

Seminario:
"Experiencias en el
Aula con Geogebra"
Fecha: Del 17 al 19 de Diciembre de 2017.

Lugar: Castro-Urdiales, Cantabria.
Organizadores: Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas e Instituto
S
Geogebra de Cantabria.
Información: http://www.ciem.unican.es/experiencias-de-aula-con-geogebra
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N
Congreso Internacional
O
de Matemáticos
I
ICM 2018
C
Fecha: Entre el 1 y el 9 de Agosto de 2018.

Lugar: Centro de Convenciones Riocentro. Río de Janerio. Brasil.
A
Información: http://www.icm2018.org/portal/abertura/
M
R
O
F
Fecha: Del 15 al 19 de Julio del 2019.

Lugar:Valencia. España.
N
Convoca: La Sociedad Española de Matemáticas Aplicadas (SEMA).

Información: http://iciam2019.com/
I

ISSN: 1887-1984
N O R M A S
Volumen 95, julio de 2017, página 159
1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
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electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de
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P A R A
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L O S
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 Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole
number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics
Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.
A U T O R E S
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de
colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.
Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
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propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
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que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.


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NÚMEROS

Revista de Didáctica de las Matemáticas

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Sociedad Canaria Isaac Newton

Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el programa

Sociedad Canaria Isaac Newton

Normas para los autores 159

4 Vol. 95 julio de 2017 NÚMEROS

Israel García, Director de Números

Llega el mes de julio y con él presentamos un nuevo volumen de la Revista Números. Si me

Sociedad Canaria Isaac Newton

En el trabajo de Novo, Berciano y Alsina se realiza un estudio de investigación en el que se

También contamos con nuestras secciones fijas:

rutas en cuya elaboración se conjuga el conocimiento matemático y las herramientas tecnológicas

software y teniendo objetivo enunciar propiedades de las diagonales del rectángulo.

para terminar con una lectura recomendadas para el próximo cuatrimestre.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.

6 Vol. 95 julio de 2017 NÚMEROS

Actitudes, capacidades y aprendizajes en adolescentes que cursan el

Fecha de recepción: 18 de septiembre de 2016

Mejorar el desarrollo cognitivo y desarrollar al máximo el potencial de cada alumno forman

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Kumon es un método de enseñanza no reglada y sin carácter oficial, localizado en 49 países de

8 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

Concretamente, el programa Kumon de Matemáticas es un programa integral de aprendizaje que

2.1. Objetivos de aprendizaje

Formar personas responsables y competentes mediante la búsqueda del potencial de cada

Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 9

seguridad y optimismo, superar el miedo a equivocarse y aprender a no frustrarse y a no

2.2. Principios metodológicos

En tercer lugar, es de carácter esencial destacar la constancia con la que se ha de trabajar, un

En quinto lugar, otro principio metodológico estrechamente relacionado con el mencionado

10 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

3. Metodología del estudio

El presente estudio se enmarca dentro de una investigación educativa de corte cualitativo,

Así se propuso un estudio interpretativo desde el enfoque cualitativo que contribuyera a

Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 11

Tabla 1. Metodología de la investigación.

3.1. Técnicas e instrumentos

El estudio de los objetivos de investigación nos lleva a plantear la recogida de información a

El guion inicial de entrevista ha sido adaptado a la tipología de informantes, en función de los

1. ¿Cuál es el motivo (o motivos) por el cual empezaste a trabajar con el programa de

12 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

Junto con las entrevistas, se ha completado la recogida de información con la observación a

Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 13

14 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

Con el fin de contextualizar y dotar de mayor significado a la información recogida en las

ALUMNO/A: ______________________________ FECHA: ___/___/______ HORA: ___:___

El trabajo se ha realizado gracias a la participación voluntaria de los siguientes informantes. En

Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 15

3.3. Plan de análisis de datos e interpretación de la información recogida

La tarea de analizar las narraciones obtenidas mediante los instrumentos de recogida de

A continuación, se detalla el tratamiento de los resultados y la interpretación de la información

16 Vol. 95 junio de 2017 NÚMEROS

Se muestra Pregunta a las Corrige De manera Extrae sus propias Cuando se

Nunca Alguna vez Frecuentemente Siempre

Además de la autonomía, atribuyen al método Kumon la mejora de la capacidad de

Sociedad Canaria Isaac Newton Vol. 95 junio de 2017 17

ALUMNO/A: ____________________________ FECHA: _/_/__ HORA: _:___