SESIÓN 3

ESTADÍSTICA INFERENCIAL
ESTIMACIÓN
LOGRO DE LA SESIÓN

El alumno conoce los

principales conceptos y tipos de
estimación, así como también,
los principales conceptos del
intervalo de confianza para la
media y los cálculos
correspondientes.
 TEMARIO

ESTIMACIÓN ESTIMACIÓN
PUNTUAL POR
INTERVALOS
 ESTIMACIÓN
Se trata de emplear los estadísticos para estimar los parámetros.

Métodos de estimación:

Estimación puntual: Estimación de intervalo:

utilización de datos de ofrece un intervalo de
la muestra para valores razonables dentro
calcular un solo del cual se pretende que
número para estimar el esté el parámetro de interés:
parámetro de interés. (𝜇, 𝜎, 𝜋). Con cierto grado
de confianza
 ESTIMACIÓN
PROPIEDADES DE UN ESTIMADOR:

 INSESGADO: el promedio de una distribución muestral de los promedios de las

muestras es igual al promedio de la población misma.
 EFICIENTE: estimador más eficiente es el que tiene el menor error estándar.
 CONSISTENTE: al aumentar el tamaño de la muestra el estadístico se aproxima más
al parámetro de la población.
 SUFICIENCIA: utilizar tanta información de la muestra que ningún otro estimador
puede extraer información sobre el parámetro de la población.
 ESTIMACIÓN
No olvidar!!
POBLACIÓN (N)

𝝁
Muestra (n)
𝝈 ഥ
𝑿
𝑺
𝝅
𝑷

Estadísticos:
Parámetros ()
 ESTIMACIÓN PUNTUAL
Estimador Puntual
De la población de tallas de los estudiantes en La UTP año 2017, se extrae una muestra
aleatoria de 8 alumnos, cuyos valores observados son:
1.50 1.6 1.58 1.45 1.52 1.68 1.62 1.55 .
Halle un estimador puntual para la media poblacional

Solución:
σ𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 1.5 + 1.6 + 1.58 + 1.45 + 1.52 + 1.68 + 1.62 + 1.55
Media: ത
𝜇ො = 𝑋 = =
𝑛 8
= 1.56 𝑚𝑡

 cuando obtenemos una media aritmética a partir de una muestra (Estadístico),

esta puede ser empleado como estimador puntual para el valor de la media
poblacional(Parámetro). Análogamente con los demás estadísticos.
 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
En lugar de indicar simplemente un único valor como
estimación del parámetro poblacional (𝜇, 𝜎, 𝜋), lo que se
hace es calcular un intervalo de valores en el que se tiene
cierta probabilidad (confianza) de que se encuentre el
verdadero valor de  (parámetro).
Coeficiente
o grado de
𝑃(𝜃෠ − 𝜺 < 𝜃 < 𝜃෠ + 𝜺) = 1 − 𝛼 confianza

Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-𝛼

que la muestra elegida contendrá el valor verdadero
(𝜇, 𝜎, 𝜋)
𝜺: 𝑬𝒓𝒓𝒐𝒓
 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

LA CONFIANZA O NIVEL DE CONFIANZA (1- α) :

es la probabilidad asumida de que la media µ este
contenida en el intervalo de confianza buscado en el
experimento: 1- α= 99%, 98%, 95%, 90%,…

LA DESCONFIANZA o NIVEL DE SIGNIFICANCIA (α)

es lo raro que pude ocurrir en su experimento es decir
hechos fortuitos o extraños: α=1%, 2%, 5%, 10%,…

El nivel de significación es también llamado el error Tipo I

 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA
MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA
EMPLEAREMOS Z CUANDO:
a. n > 30 y σ2 conocida Valores tabla Z aproximados
b. n < 30 y σ2 conocida
Nivel confianza: 𝒁𝟏−𝜶
1. INTERVALO DE CONFIANZA(IC): 𝟐
𝟏−𝜶

𝜎 90% 𝑍0.95 =1.645

IC: 𝑋ത − 𝑍(1−𝛼) ⋅ < 𝝁<𝑋ത + 𝑍(1−𝛼) ⋅ 𝜎
95% 𝑍0975 =1.96
2 n 2 n
98% 𝑍0.99 =2.33
99% 𝑍0.995 =2.578
2. ERROR (𝜺):
Compruébalo usando tu tabla Z!!
𝑍1−𝛼 . 𝜎
2
|𝑋ത − 𝜇| ≤
n
 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA
MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA
3. TAMAÑO DE LA MUESTRA (n):
2
𝑍(1−𝛼) . 𝜎
2
𝑛 =≤
𝜺

4. LONGITUD DEL INTERVALO (L):

𝑍(1−𝛼) . 𝜎
2
𝐿=2
n

5. ERROR ESTANDAR (𝜎𝑥ҧ ) :

𝜎
𝜎𝑥ҧ =
n
 EJERCICIO EXPLICATIVO 1

Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida de

distribución normal y una desviación estándar de 40 horas. Si una
muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas.

a) Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media de

la población de todos los focos que produce la empresa.

b) Que tan grande se requiere que sea una muestra. Si se desea

tener una confianza del 95% de la media poblacional, y que
esté dentro de las 10 horas del promedio real.
 EJERCICIO EXPLICATIVO 1

(a) SOLUCIÓN:
Datos población Datos Muestra
• X: variable aleatoria tiempo de vida de focos fabricados
• X : N (μ,σ2) μ=? n = 30
σ = 40 horas (Conocido) 𝑋ത = 780 horas
𝜎
IC: 𝑋ത − 𝑍(1−𝛼) ⋅ < 𝝁<𝑋ത + 𝑍(1−𝛼) ⋅ 𝜎 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 − 𝛼 = 0.95
2 n 2 n 𝛼 = 0.05

Reemplazando: 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎: 𝑍 0.05 =𝑍 0.975 = 1.96

1− 2

40 40
780 – 1.96 x < μ < 780 + 1.96 x
30 30

IC: 765.69 < μ < 794.31

con un nivel de confianza del 95%, el tiempo de vida promedio

de los focos esta comprendido desde 765.69 a 794.31 horas.
 EJERCICIO EXPLICATIVO 1

( b) SOLUCIÓN:
Adicionalmente podemos calcular el error y el tamaño de
muestra que aproximadamente será la misma.

𝑍 𝛼 .𝜎
(1− 2 ) 1.96 ∗40
Error: e = e= = 14.3138
𝑛 30

𝑍 𝛼 .𝜎 2
(1− 2 )
Tamaño de muestra: n ≥ = (5.48)2 = 30
𝑒

El error(e) es muchas veces

dato del problema o es fijado por el investigador!!
 EJERCICIO EXPLICATIVO 2

El director de la Escuela profesional de Ingeniería elige al azar a 16 alumnos de

pregrado que están matriculados en el curso Estadística Inferencial y que asisten
regularmente, con el objetivo de conocer si han comprendido el uso y la
importancia de la estimación de parámetros mediante intervalo de confianza. Las
calificaciones obtenidas mediante una prueba pertinente (escala vigesimal) tiene
distribución normal con σ² = 7,43. El director desea determinar un intervalo de
confianza del 95% para saber cuánto es la calificación promedio para todos los
alumnos que están matriculados en el curso mencionado. Las calificaciones
obtenidas de los 16 alumnos son:

17 13 14 15 13 17 13 8 12 16 15 10 11 13 15 9
 EJERCICIO EXPLICATIVO 2

SOLUCIÓN: Reemplazando:
2.73 2.73
X: V.A. calificación promedio IC: 13.2 − 1.96 <𝝁< 13.2 + 1.96
16 16
Datos del problema:
11.86 <  < 14.54
Población: u = ?
σ = 2.73 Por tanto se espera con un 95 % de
Muestra: n = 16 probabilidad de confianza, que la calificación
ഥ = 13.2
X promedio para todos los alumnos que están
Confianza : 1 -  = 0.95
matriculados en el curso Estadística
Inferencial y que asisten regularmente, tome
Sabemos que : valores entre 11,86 y 14,54.

𝜎
IC: 𝑋ത − 𝑍(1−𝛼) ⋅ < 𝝁<𝑋ത + 𝑍(1−𝛼) ⋅ 𝜎
2 n 2 n
 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA
MEDIA CON VARIANZA DESCONOCIDA
a. Emplearemos T cuando: n<30 y σ2 desconocida
• Cuando la varianza poblacional no es conocida utilizamos la
distribución de “t” de “student” , para tamaños de muestra
n<30. el estadístico T será:
𝑋ത − 𝜇
~𝑇𝑛−1
𝑆
𝑛
• Como σ² no se conoce se estima mediante S².
• La distribución se desvía en forma apreciable cuando los
grados de libertad (v = n-1) son pequeños.

• El estadístico t definido resulta de una muestra aleatoria

seleccionada de una población normal, con varianza σ² no
conocida.

b. Emplearemos Z cuando: n>30 y σ2 desconocida

 EJERCICIO EXPLICATIVO 3

Una compañía utiliza baterías en sus juegos

electrónicos que según ellos duran un promedio de
30 horas, para confirmar esto se prueba 16 baterías
siendo la media muestral de 27.5 horas y su
desviación estándar S=5 horas. Encuentre un
intervalo de confianza del 95% para la media.
Suponga que la distribución de las duración de las
baterías es aproximadamente normal.
 EJERCICIO EXPLICATIVO 3
SOLUCIÓN:
Datos población Datos Muestra
X: V.A. duración de batería
μ = 30 n = 16
Reemplazando en la fórmula: σ²= ?? (Descoc) 𝑋ത = 27.5 horas
𝑆 S=5
𝑆
IC: 𝑋ത − 𝑇(1−𝛼,𝑔𝑙) ⋅ < 𝝁<𝑋ത + 𝑇(1−𝛼,𝑔𝑙) ⋅
2 n 2 n 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1 − 𝛼 = 0.95
Reemplazando datos: gl=n-1 𝛼 = 0.05

5 5 𝑇 𝛼
1− 2 ,𝑛−1
= 𝑇 0.975,16−1
27.5 − 2.131x < 𝜇 < 27.5+2.131x
4 4
De la tabla: t 0.975,15 = 2.131
24.84 <  < 30.16

con una confianza del 95%, la vida media de las baterías estará entre 24.84 y30.16 horas
 EJERCICIO EXPLICATIVO 4

En una muestra aleatoria de 20 porciones de cereal

el contenido promedio de azúcar fue de 11.3 gramos
con desviación estándar de 2.45 gramos. Suponiendo
que los contenidos de azúcar están distribuidos
normalmente. Determine el intervalo de confianza
del 95% para el contenido promedio de azúcar en las
porciones de dicho cereal
 EJERCICIO EXPLICATIVO 4

SOLUCIÓN: Reemplazando:
2.45 2.45
X: V.A. contenido de azúcar en el cereal pre endulzado IC: 11.3 − 2.093 <𝝁< 11.3 + 2.093
20 20
Datos del problema:
10.153 <  < 12.446
Población: u = ?
σ=? El intervalo de confianza para el contenido
Muestra: n = 20
ഥ = 11.3 g
X
promedio de azúcar será de 10.153 a 12.446
S = 2.45 gramos con una confianza del 95%.
Confianza : 1 -  = 0.95
v = 20 – 1 = 19
t0.975 = 2.093
𝑆 𝑆
Sabemos que : IC: 𝑋ത − 𝑇1−𝛼 ⋅ < 𝝁<𝑋ത + 𝑇1−𝛼 ⋅
2 n 2 n
 FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DEL
INTERVALO DE CONFIANZA (IC)

N° CASO FÓRMULA A EMPLEAR

1 CON σ2 CONOCIDA Y n>30 IC: X  Z1  < < X  Z1 

2 n 2 n

IC: X  t s < < X  t s

2 CON σ2 DESCONOCIDA Y n<30 1 n 1 n
2 2

3 CON σ2 DESCONOCIDA Y n>30 IC: X  Z1 S < < X  Z1 S

2 n 2 n

IC: X  Z  < < X  Z 

4 CON σ2 CONOCIDA Y n<30 1 n 1 n
2 2
LISTO PARA MIS EJERCICIOS
 ESTIMACIÓN PUNTUAL Y
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
 1 Propuesto
El artículo “Evaluating Tunnel Kiln Performance” (Amer. Ceramic Soc. Bull., agosto de
1997: 59-63) reportó la siguiente información resumida sobre resistencias a la fractura
(MPa) de n 169 barras de cerámica horneadas en un horno particular: x = 89.10,
S = 3.73. Calcule un intervalo de confianza para la resistencia a la fractura promedio
verdadera utilizando un nivel de confianza de 95%.
 2 Propuesto
El proceso de producción de una caja de control de un tipo particular para un motor
fue modificado. Antes de esta modificación, datos históricos sugirieron que la
distribución de diámetros de agujeros para bujes en las cajas era normal con desviación
estándar de 0.100 mm. Se cree que la modificación no ha afectado la forma de la
distribución ni la desviación estándar, pero que el valor del diámetro medio pudo haber
cambiado. Se selecciona una muestra de 40 cajas y se determina el diámetro de
agujero un intervalo de confianza para el diámetro de agujero promedio verdadero
utiliza para cada una y el resultado es un diámetro medio muestral de 5.426 mm.
Calcular un intervalo de confianza sabiendo que el nivel de significancia es de 10%.
3 Propuesto
Como parte de la evaluación de la calidad del aprendizaje en escolares del segundo
grado de primaria de Instituciones Educativas estatales, el equipo evaluador ha
elegido al azar a 20 niños de esta población. Se les aplico una prueba de aritmética
que consta de 30 problemas para este nivel, los autores de la prueba indican los
escolares de este grado escolar debe emplear en promedio 40 minutos, para resolver
estos problemas.
El equipo evaluador desea estimar el tiempo promedio que emplean todos los niños
de este nivel de estudios para resolver esta prueba, si se sabe que el tiempo tiene
distribución normal. Los tiempos empleados por los alumnos son:

50 48 48 55 40 52 57 55 47 46 43 49 51 50 53 48 50 46 43 45
Y ahora nos toca interactuar en CANVAS. Usaremos el
foro de consulta para estar en comunicación
permanente, también tendrás que completar algunas
actividades programadas.
 ¿QUÉ HEMOS APRENDIDO HOY?

1. CONCEPTOS GENERALES RELACIONADOS CON ESTIMACIÓN

2. COMO OBTENER LOS INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
3. CUANDO APLICAR LA DISTRIBUCION Z
4. COMO OBTENER EL TAMAÑO DE LA MUESTRA
5. CUANDO APLICAR LA DISTIBUCION T DE STUDENT
LISTO PARA RESOLVER LA PC1
 PAUTAS DE TRABAJO

 Se resolverán 05 ejercicios durante el examen.

 Los estudiantes trabajaran el PC1 con una
duración de 90 minutos dentro de la sesión
de zoom.
 El desarrollo debe realizarse de manera
manual, no se permitirá archivos en Excel.
FINALMENTE

PARA TI
IMPORTANTE Ésta sesión 1.Realiza los
Excelente tu ejercicios
participación quedará propuestos de
1.Estimación puntual
grabada para tus ésta sesión y
2.Estimación por
intervalos Desaprende tus consultas. práctica con la
limitaciones y estate tarea
listo para aprender. domiciliaria.
2.Consulta en
el FORO tus
dudas.
 U T P
1 2 3
Video Materiales Foro-Tarea
La clase queda Consulta la Resolución de
grabada para que diapositiva y lista ejercicios y
puedas repasar de ejercicios comentarios

INDICACIONES A TENER EN CUENTE EN ESTA SESIÓN