Mathematics">
Ejercicios en Clase 24032021
Ejercicios en Clase 24032021
Ejercicios en Clase 24032021
9 de junio de 2019
Resumen
a) f (x, y) = x2 + y 2 ; f) f (x, y) = x2 + 1;
b) f (x) = (0, x); g) f (x, y) = (x, 2x, y);
c) f (x) = 4x; h) f (x, y, z) = (x − y, z + x);
d) f (x, y) = 2x + y 2 ; i) f (x, y, z) = (1 − y, z + 1);
e) f (x, y) = 3x + 2y + 5; j) f (x, y, z) = (2z, −y, 1).
6. Sea f : R2 −→ R3 una transformación lineal. Encontrar los valores f (2, 0), f (1, 3) y
f (1, 2) sabiendo que:
1
7. a) Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K. Demuestre que si f : V −→ W
y g : V −→ W son transformaciones lineales y α ∈ K, entonces f + g : V −→ W
y αf : V −→ W son también transformaciones lineales. Ilustre con un ejemplo.
b) Considere el espacio vectorial V de las funciones de V en W y dena el conjunto
Lnm por:
L(V, W) =: {f ∈ V | f es transformación lineal},
n n
9. Demuestre que si f : R −→ R es una transformación lineal inversible entonces la
−1
inversa f también es una transformación lineal. Ilustre con un ejemplo.
3 3 3
10. Sean f1 : R −→ R y f2 : R −→ R dos transformaciones lineales, denimos f : R −→
R2 así: f (X) = (f1 (X), f2 (X)). Demostrar que f es una transformación lineal. Ilustre
µ ¶
con un ejemplo. 1/3 0
¡ 0¢ 0 1/3
11. Encuentre las fórmulas
1 de las transformaciones lineales del Ejercicio 6).
µ ¶
−2 0
¡0¢ 0 −2
1
¡1¢ ¡−2 ¢
0 0
¡ 0
¢
−2
¡ 0
¢
−3
2
15. Para cada una de las siguientes matrices 2×2 encontrar la transformación asociada,
diciendo a qué es igual f (x, y):
2 1 −1 0
a) ; c) ;
0 1 0 −1
2 3 0 2
b) ; d) .
−1 0 2 0
16. Representar grácamente cada una de las transformaciones lineales del ejercicio ante-
rior, mostrando en qué se convierte el eje X , el eje Y , una recta paralela al eje X , otra
paralela al eje Y y un círculo de radio 1 y centro en (1, 0).
17. Hallar el dominio, el recorrido y una fórmula analítica para cada una de las transfor-
maciones representadas por las matrices siguientes:
1 0 1 3 −1 1
a) 3 1 ; c) 5 1 2 ;
e) 4 ;
1 0 4 0 1 0
3 0 −1 −1 1 1
b) ; d) ; f ) −1 1 1 .
1 −1 3 2 1 4
18. Sea K un campo. Dadas A una matriz m×n fA : Kn → Km denida por: fA (X) =
y
n
AX siendo X una matriz n×1 (vector columna de K ), demuestre que fA es una
transformación lineal.
F : Mm×n −→ Lnm ,
19. Usando lo visto en el ejercicio anterior, demuestre que la función
denida por F (A) =: fA para cada A ∈ Mm×n , es una biyección; (con Mm×n estamos
notando la familia de todas las matrices de orden m × n, con componentes en K).
Deduzca que para cada A ∈ Mm×n , MfA = A, y para cada f ∈ Lnm , fMf = f .
i) f es sobreyectiva;
ii) =(f ) = Rm ;
iii) rango(f ) = m.
i) f es inyectiva;
3
b) Para toda transformación lineal f , f (0) = 0.
3 3
c) Si f : R −→ R está denida por:
f (x, y, z) = (y, x)
24. En el ejercicio anterior determine qué conjuntos se forman en cada caso (vacío, rectas,
planos, etc.).
4 0 1
27. Determine si las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas y justique brevemen-
te:
4
a) Siendo A la matriz que representa una transformación lineal que es sobreyectiva
entonces el sistema de ecuaciones lineales representado por la ecuación matricial
AX = B , no tiene solución o su solución es única.
29. Sean f : Rn −→Rm y g : Rm −→Rp transformaciones lineales tales que gf (X) = 0 para
n
todo X ∈ R , demostrar que esto sucede si y sólo si la imagen de f está contenida en
el núcleo de g .
a) Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene innitas solucio-
nes.
33. Explique en términos de transformaciones lineales porqué se tiene las siquientes pro-
piedades de operaciones entre matrices:
5
b) Para que AB exista se necesita que el número de columnas de A coincida con el
número de las de B.
c) El producto de matrices es asociativo.
f ) Para cada n existe una matriz identidad (de orden n: n las y n columnas), que
notamos In y actúa como módulo del producto.
34. Sea la matriz
3 2
A = −1 0 ,
0 2
hallar todas las matrices B tales que BA = I2 .
2. Demostrar que:
a) las matrices de m las y n columnas (lo que notamos Mm×n ) con las operaciones
de suma y producto por escalar denidas, forman un espacio vectorial.
3. Demuestre que:
id : Rn −→ Rn
es In .
b) Si f es una transformación lineal invertible, entonces la matriz asociada a su
inversa, es la inversa de la matriz de f , es decir Mf −1 = (Mf )−1 .
x e y:
4. Encontrar los valores de
x+y 2 3 2
a) = ;
1 x−y 1 5
x+y 2 2 x+y
b) = .
1 2x − 2y x−y 3
5. Sea A la matriz asociada a la transformación lineal
f (x, y, z) = (x + y, y − z, z)
y sea B la matriz asociada a
g(x, y, z) = (x − z, y − z, y + z),
encuentre:
6
a) BB − 4A + 2B ; b) 2AA − 3AB + BA.
1 2 x
6. Sea y el valor de x −4 . Encuentre los valores de x para que
0 1 −4
y > 22.
al multiplicarlas entre sí conmutan y se obtiene una matriz del mismo tipo (es decir,
las matrices antisimétricas son cerradas para el producto).
conmutan?
9. Sea A la matriz
0 3 −1
.
1 2 1
Encuentre, si existen, todas las B tal que AB sea la idéntica 2 × 2.
10. Las siguientes proposiciones son todas falsas, justique cada una con un contraejemplo:
(A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 .
(AB)−1 = A−1 B −1 .
7
a) A−1 es invertible y (A−1 )−1 = A.
b) kA es invertible y (kA)−1 = (1/k)A−1 .
c) Si el producto AB existe, entonces AB es invertible y (AB)−1 = B −1 A−1 .
12. Demuestre, por inducción sobre p, que si A1 , A2 , . . . , Ap son matrices invertibles
del mismo orden entonces el producto A1 A2 . . . Ap es invertible y (A1 A2 . . . Ap )−1 =
−1 −1
A−1
p . . . A2 A1 .
3x + 2y − z = 0
x+y+z =1
−x − y + 2z = 5,
encuentre:
8
a) Demostrar que tr(A + B) = trA + trB .
b) Si C es de orden n×m y D de orden m × n, demostrar que tr(CD) = tr(DC).
20. Demostrar que una matriz cuadrada de orden 2 conmuta con cualquier matriz de orden
dos, si y sólo si conmuta con cada una de las siguientes matrices:
1 0 0 1 0 0 0 0
, , y .
0 0 0 0 1 0 0 1
21. Para i 6= j sea Eij (k) la matriz n × n que en la diagonal tiene unos, en el puesto ij
tiene k y el resto de sus componentes es 0. Demostrar que: