HT - 8 - Limites de Una Funcion

MATEMÁTICA BÁSICA-
MATEMÁTICA BÁSICA INGENIERÍA
MATEMÁTICA BÁSICA PARA

INGENIERÍA
UNIDAD II: LÌMITES, CONTINUIDAD Y RAZÒNES DE
CAMBIO
SESIÓN 08:
LÌMITES
2019 - 2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA

Definición formal:
lim f ( x)=L ⇔ ∀ ε>0, ∃δ >0: x∈ D f ¿ 0<|x−x 0|¿δ ⇒|f ( x)−L|<ε

x→ x 0
lim x f (x )=L Importante

0
x→
 El límite es único.
Se lee:
 El límite es un valor numérico.
“El límite de f(x) cuando x tiende a x0 es igual a L”  Se ve en el eje de las Y.
Propiedades Límite de una lim [ k ] =k

x→ x 0
constante
Suma y resta lim [ f ( x ) ± g(x ) ]= lim f ( x ) ± lim g ( x)
x→ x 0 x→ x 0 x → x0
Producto por lim [ k ∙ f ( x ) ] =k ∙ lim f ( x )
x→ x 0 x → x0
una constante
Producto lim [ f ( x ) ∙ g(x ) ]= lim f ( x ) ∙ lim g (x)
x→ x 0 x→ x 0 x → x0
Cociente lim f ( x )
f ( x)
lim
x→ x 0
[ ]=
x→x
, ∀ lim g ( x)≠0
g(x ) ∙ lim g(x ) x → x
x → x0
0
Potencia g (x) lim g(x)

lim [ f (x) ] = lim f ( x )
x→ x 0 [ x → x0 ] x→ x 0
Logaritmo lim log [ f ( x ) ] =log lim f ( x ) , f (x )≥ 0

x→ x 0 [ x→ x 0 ]
¿Cómo eliminar la indeterminación de un límite?
0
Si es de la forma , entonces para eliminar la indeterminación generalmente se
0
realizan factorizaciones o racionalizaciones en el numerador o denominador y en algunos casos es
recomendable realizar un cambio de variable.

Se multiplica y se divide por el factor racionalizante (F.R.) con el fin de
Racionalización. eliminar las raíces:
Para racionalizar binomios o polinomios de la forma:
√n a ± √n b o √n an−1 + √n an−2 b+ ⋯+ √n bn−1

Debemos recordar:
1. Para todo valor de n:
( √n a−√n b ) ( √n a n−1 + √n a n−2 b+ √n a n−3 b 2+ ⋯+ √n b n−1 ) =a−b
2. Para n impar:
( √ a+ √n b ) ( √n an−1−√n a n−2 b+ √n a n−3 b 2−⋯+ √n bn−1 )=a+b
n
3. Para n par:
( √ a+ √n b ) ( √n an−1−√n a n−2 b+ √n a n−3 b 2−⋯−√n bn−1 ) =a−b
n
Ejemplos:
3 3 5+ 2 3 ( √ 5+ √ 2 )
= ∙√ √ = =√5+ √ 2
√ 5−√ 2 √ 5−√ 2 √ 5+ √ 2 5−2
3 3 3
2
=
2
∙
√3 16+ √3 8+√3 4 = 2 ( √16+ √ 8+ √ 4 )
√3 4−√3 2 ( √3 4−√3 2 ) √3 4 2+ √3 4 ∙ 2+ √3 22 4−2
Factor común Aspa Simple

Para polinomios de la forma:
Se extrae el M.C.D. de los coeficientes y las
variables comunes con su menor exponente: P ( x ) =a x 2m + bx m y n +c y 2 n
Ejemplo: Ejemplo:
2 5 3 3
8 x y +6 x y z−10 x y w 4 2
2 x2 +13 xy−15 y 2
¿ 2 x2 y ( 4 y 4+ 3 x y 2 z−5 x 2 z )
2 x+15 y
x−1 y
¿ ( 2 x+15 y ) ( x− y )
Limites laterales
lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x)

x a x a  x a 

NIVEL 1:
1. Observe la gráfica y determine en qué puntos no existe el límite.
2. Construya la gráfica de una función que cumpla las condiciones dadas:
lim f ( x )=5 lim f ( x )=−2 lim f ( x )=∃ lim f ( x )=∃

x →−−4 x →−2 x →−3 x →3
3. Dada la gráfica de una función f, complete: a ) lim f ( x )=

y x →6 +
f(x) b ) lim f ( x )=
3 x →4−
c ) lim f ( x )=
2 x → 5−
d ) lim f ( x )=
x x→−4
–4 0 2 4 6
e )lim f ( x )=
x →0
–1
f )lim f ( x )=
x →2
–3

NIVEL 2:
4. Calcule los siguientes límites determinados:

x 2  5x  6
a ) lim 5  c) lim 
x 2 x 2  12 x  20
x 2
(x 2  1)(x 2  2)(x 2  3)(x 2  4) x 3  125

b)lim  d)lim 2 
x 2 (x 2  11)(x 2  2)(x 2  3)(x 2  4) x 5 x  25
3y3  1
c)lim  6. Calcule los siguientes límites indeterminados:
y 2 y 2  2
x5  3x4  4x 3  8x 2  2x  6 x2  3  2
Lim a)lim 
d) x  0 x4  5x3  2x2  2x  2 = x 1 x 1
1 x  1 x
5. Calcule los siguientes límites indeterminados: b)lim 
x0 x
x3  2x 2  x 6 x 3
a)lim  c)lim 
x 0 x 2  10 x x 3 4  x 1
x 4 x 8
b)lim  d ) lim 
x 4 x  2 x  8
2 x 64 3 x 4
Lim f  x  Lim f  x 
7. Calcular si existen x 1 , x 4 donde
 x2 si x  1

f  x   x si 1  x  4
4  x Si x  4

−x x 2
2 −2 x −9
8. Dada la función:
lim f ( x )
{ {
f(x)=¿ x<0¿ 0≤x<2¿¿¿¿
x+2 x+3 Determine, si existe:
lim f ( x )
x 0 y
x 2
NIVEL 3:
9. La Producción P de cierto bien con respecto a la cantidad de materia prima q en kilogramos, es

q 2−4
P ( q) = . Calcule la producción cuando se acerca a 2 Kg. de materia prima.
q−2

x 3 +3 x 2 −10 x
P( x )=
10. La función de costo de producción en un taller se define como x −2 , donde x es el
número de artículos producidos (en millares) y P es el costo de producción (en miles de soles). Calcule a
cuánto tiende el costo de producción cuando la producción tiende a 2 000 artículos.
11. El volumen de una piscina que se vacía viene expresado, en función del tiempo por,
2 t 3 3
V (t )  m
7t . A qué valor se aproxima el volumen cuando el tiempo se aproxima a los
7 minutos?
12. Al romperse uno de los tubos principales de la plataforma petrolera del mar del Norte,
se produce una mancha circular que tiene un espesor de “ y ” metros a una distancia de “
x ” metros de la ruptura. La turbulencia hace difícil medir directamente el espesor de la
mancha en la fuente (esto es cuando x=0 ), pero para x >0 se encuentra que:
0 .5 ( x 2 +3 x )
y= 3 2
x + x +4 x
Suponiendo que la mancha está distribuida uniformemente, ¿qué espesor tendrá en la
fuente?
Bibliografía:
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

1 515.33 PURC PURCELL, EDWIN J. Cálculo Diferencial E Integral Pearson Educación
Cálculo De Una Variable:
2 515 STEW/P 2007 STEWART, JAMES Thomson Learning
Transcendentes Tempranas
3 515.15/LARS LARSON, RON Cálculo McGraw-Hill

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA

lim f ( x)=L ⇔ ∀ ε>0, ∃δ >0: x∈ D f ¿ 0<|x−x 0|¿δ ⇒|f ( x)−L|<ε

lim x f (x )=L Importante

Propiedades Límite de una lim [ k ] =k

Potencia g (x) lim g(x)

Logaritmo lim log [ f ( x ) ] =log lim f ( x ) , f (x )≥ 0

¿Cómo eliminar la indeterminación de un límite?

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 FACULTAD DE INGENIERÍA

√n a ± √n b o √n an−1 + √n an−2 b+ ⋯+ √n bn−1

Factor común Aspa Simple

lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x)

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA

1. Observe la gráfica y determine en qué puntos no existe el límite.

2. Construya la gráfica de una función que cumpla las condiciones dadas:

lim f ( x )=5 lim f ( x )=−2 lim f ( x )=∃ lim f ( x )=∃

3. Dada la gráfica de una función f, complete: a ) lim f ( x )=

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 4 FACULTAD DE INGENIERÍA

4. Calcule los siguientes límites determinados:

(x 2  1)(x 2  2)(x 2  3)(x 2  4) x 3  125

9. La Producción P de cierto bien con respecto a la cantidad de materia prima q en kilogramos, es

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 5 FACULTAD DE INGENIERÍA

# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 FACULTAD DE INGENIERÍA

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