Semana 10

FRACCIONES ALGEBRAICAS
Indicador:

 Efectuar operaciones con fracciones que permitan reducirlas para resolver

ecuaciones e inecuaciones.
Son aquellas que tienen igual
denominador.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Definición: Una fracción algebraica es 2m 5m ab

; ;
la razón indicada de dos expresiones m  1 m  1 m2  1
2 2

algebraicas racionales, de las cuales el

denominador no debe ser una
constante. d) FRACCIONES EQUIVALENTES:
Ejemplo: Son aquellas que teniendo formas
x 1  dividiendo diferentes se caracterizan porque
P(x)=
x2  divisor siempre tendrán los mismos valores
x4 numéricos, para cualquier valor
Q=(x)= ; No es una fracción
145 asignado a sus variables, a excepción
algebraica. de aquellos que hagan cero el
denominador
1. CLASIFICACIÓN Ejemplo:

a) FRACCIONES PROPIAS: x3 1

 x  3;  2
Cuando el numerador es de menor x2  5x  6 x2
grado que el denominador.
Así por ejemplo:
Ejemplo: Para x=0
3 1

x  1 x2  5x  2 6 2
;
x 2  1 x3  3x  1
e) FRACCIONES COMPLEJAS O
COMPUESTAS:
b) FRACCIONES IMPROPIAS: Se caracterizan porque en su
Cuando el numerador es de mayor numerador o denominador aparecen
grado que el denominador. otras fracciones algebraicas.
Ejemplo:
Ejemplo:
x 1
A  3
3 4
x 1 x  x  2 2 7
x
; x2  1
x 2  1 x3  x  7 x
x2  1
c) FRACCIONES HOMOGÉNEAS:
f) FRACCIONES CONTINUAS:

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 Es un caso auxiliar de las fracciones
complejas, que se caracteriza porque (b  a )
E  1
el numerador de cada fracción (b  a )
siempre es la unidad.
Ejemplo:
Ejemplo 2:
1
M  3 Simplificar:
1
x (a  b )(a  c )
1 E
x (b  a )(c  a )
x 1

g) FRACCIÓN IRREDUCTIBLE:
Solución:
Cambiando de signo a los dos
Son aquellas fracciones que se factores del denominador se obtiene:
caracterizan porque en el numerador y (b  a )(a  c )
denominador aparecen expresiones E
que no tienen ningún factor común (el (b  a )(a  c ) +1
numerador y denominador son primos
entre sí) es decir no admiten
simplificación: Ejemplo 3:

Ejemplo: Simplificar:
1 1
x2 2 E 
; (a  b)(a  c ) (a  b)(c  a)
x 2 x
Solución:
2. SIGNOS DE UNA FRACCIÓN: cambiando de signo al factor (c-a) en
Toda fracción posee tres signos: la segunda fracción, se obtiene:
1 1
E 
 Signo de la fracción (a  b)(a  c ) (a  b)(a  c )
 Signo del numerador
E=0
 Signo del denominador
3. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
El cambio de dos de estos signos no ALGABRAICAS:
altera el signo total de la fracción. Así:
Simplificar una fracción algebraica es
transformarla en otra equivalente,
a a a a
F     cuyos términos contengan menos
b b b b factores comunes, para ello:

Ejemplo 1: 1° Se factorizan los términos de la

fracción:
Simplificar:
2° Se suprimen los factores comunes
ab
de los términos de la fracción (se
E cancelan).
ba

Solución:

cambiando de signo a la fracción y al

numerador.
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 a) Adición y sustracción de
Ejemplo 1: Fracciones Algebraicas.
Para sumar o restar dos o más
Simplificar: fracciones con distintos
x 2  5x  6 denominadores, se procede de la
F  siguiente manera:
x2  x  2
1° Se simplifica cada fracción, si
Solución: fuera posible.
2° Se halla el M.C.M. de los
De acuerdo a la regla: denominadores.
3° Se divide el M.C.M. hallado entre
1° Factorizando los términos de la cada uno de los denominadores y
fracción. el resultado se multiplica por el
respectivo numerador.
F= ( x  2)( x  3) ; x  2; 1
( x  2)( x  1) 4° Se reducen los términos
semejantes en el numerador y en
2° Eliminando los factores comunes: el denominador.
x 3
F  ; x  1 5° Se simplifica la fracción
x 1
resultante, si fuera posible.

Ejemplo 2: Ejemplo 1:

Simplificar: Hallar la suma de:

21x  21  xy  y 4ab  2b2  12a2 b  2a 7a
F  F=  
31x  31  xy  y
2 2
3(a  b )(a  b) ba 3(a  b)

Solución: Solución:
1° Factorizando el numerador y Cambiando de signos a la segunda
denominador: fracción:
F= 21( x  1)  y ( x  1)
31( x  1)  y ( x  1)
4ab  2b2  12a2 2a  b 7a
F=  
3(a  b)(a  b) ab 3(a  b)
F= ( x  1)(21  y )
( x  1)(31  y )
Dando mínimo común denominador.
2° Cancelando los factores comunes:
2
 12a 2  3( 2a  b )(a  b )  7a(a  b )
F= 21  y ; y   31 F= 4ab  2b
31  y 3(a  b )(a  b )

4. OPERACIONES CON FRACCIONES Efectuando operaciones en el

numerador.
ALGEBRAICAS.
4ab  2b 2  12a 2  6a 2  3ab  3b 2  7a 2  7ab
F 
Las operaciones con fracciones 3(a  b )(a  b )
algebraicas tienen las mismas reglas, Reduciendo:
que las fracciones numéricas o (a 2  b 2 ) 1
aritméticas. F=  F 
2 2
3(a  b ) 3

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Ejemplo 2:
CONSTRUYENDO
Efectuar: MIS CONOCIMIENTOS
a2  1
Q= 2  a  1  a  1  24a
a  1 2a  2 2a  2 a  1
1. Efectuar:
Solución: 7 m  2 n 8m  5n 5m  9 n
 
2m  3n 2m  3n 2m  3n
Factorizando los denominadores, se
tiene: Resolución:
a2  1 a 1 a 1 4a
Q=   
(a  1)(a  1) 2(a  1) 2(a  1) (a  1)(a  1)

Dando mínimo común denominador:

2
 1)  (a  1)2  (a  1)2  8a
Q= 2(a
2(a  1)(a  1)

Efectuando operaciones en el
numerador:
2
 2  a 2  2a  1  a 2  2a  1  8a
Q= 2a
2(a  1)(a  1)

Reduciendo términos semejantes en

el numerador:
2a 2  4a  2 2(a 2  2a  1)
Q= 
2(a  1)(a  1) 2(a  1)(a  1)

Rpta. 2
Q= (a  1)(a  1)  Q
a 1
(a  1)(a  1) a 1
a  b 3a  2b 5a  8b
2. Efectuar:  
mn nm mn

Resolución:

- 48 -
 9a 11b
Rpta:
mn

3. Efectuar:
3 8 9
 
5m 3mn 6m 2 n 2

Resolución 7 x 2  20 x  18
Rpta.
8 x3

x  6 2x  5
6. Efectuar: 
8x 12 x

Resolución:

18mn 2  80mn  45
Rpta.
30m 2 n 2

4. Efectuar :

2 5 m4
  2
m m 1 m 1
Resolución

8 x
Rpta:
24 x

Rpta.
6m 2  9m  2 REFORZANDO
m(m 2  1)
MIS CAPACIDADES
5. Efectuar:
7 5 9
 2 3 1. Efectuar:
8x 2 x 4x 3 8 9
Resolución   2 2
5 x 3 xy 6 x y
e indicar el coeficiente del
denominado resultante:

a) 18 b) 80 c) 45
d) 30 e) 40

- 49 -
 2m  3n m2  n2
2. Efectuar: c) d)
4mn 9
2 5 x4 e) N.A.
  2
x x 1 x 1
E indicar la sumatoria de coeficientes 7. Al simplificar la fracción:
del polinomio resultante: m 2  4m  12
; resulta;
m 2  4m  4
a) -4 b) -5 c) -6 m6 m 2m  3n
d) 4 e) 5 a) b) c)
m2 n 2
mn
3. Reducir: d) e) N.A.
2x  5 1 2x  4 4
  2
x  x  2 x  3 x  4x  3
2
5
8. Efectuar: x – 2 -
3 4 x 1
a) b) x2  x  7 x2  x  3
x2 x 1 a) b)
5 7 x 1 7
c) d) c) x +1 d) x2 + 3
x3 x2
9 e) N.A.
e)
x3
2a b 2ab
9. Efectuar:   2
4. Al sumar las expresiones:: b a  b a  2ab
2 1
y ; resulta: ab
m 1 m 1
2
a) a+b b) c) a - b
2
2m  1 2m  3 d) a2 – b2 e) N.A.
a) b)
m 1 m 1
2m  1 2m  3 x5  x 4  x3  x  2
10. Simplificar: K(x) =
c) 2 d) 2 x5  x3  x 2  2 x  2
m 1 m 1
y dar como respuesta la suma del
e) N.A.
numerador y el denominador:
a) 2x2-x+5 b) 2x2+x-7 c) 2x2+x+4
2
d) 3x +x+2 e) 3x2 – x + 5
mn mn
5. La expresión:  es
3 6
Equivalente a:
m n
a)  b) m + n
6 2
c) 2m + 6n d) 3m + 2n
e) N.A.

 1 m  1 m 
6. La expresión:      ;
 3 n  3 n 
Equivale a:

(n  3m)(n  3m) mn

a) b)
9n 2 9

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