FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIER

IA Y AGRIMENSURA

Escuela de Formaci
on B
asica - Departamento de Matem
atica

Introducci
on a la Optimizaci
on | M
etodos Num
ericos

Practica de Catedra

Teor
a:

Javier Signorelli

Javier Sorribas

Pr
actica:

Pablo Sabatinelli

Daniel Sever
n

Andrea Torres

2016
1. Introducci
on a Matlab

1. Considere los siguientes vectores y matrices

v = [5; 0; 4; 5; 2; 1; 7]; x = [4; 1]; y = [2; 5]; z = [3; 0; 1; 1; 2; 6; 0; 1; 7]:
a ) Prediga que resultados se obtienen si se ejecutan los siguientes comandos en Matlab.
Por ejemplo, para el comando max(abs(-3:2)) debera decir que ocurre lo siguiente:
max(abs(-3:2)) ! max(abs([-3,-2,-1,0,1,2])) ! max([3,2,1,0,1,2]) ! 3
Nota: Algunas de las expresiones generan un error.
1) size(z') 7) [z v]
2) ones(x) 8) [z;1 2 3]
3) x*y' 9) sum(y+2)
4) y*y 10) min(v(2:5:7))
5) x'*y 11) [val,pos] = min(v)
6) z*v(1:3) 12) sum([ones(3,2); 7 9])*(x')

b ) Compruebe sus respuestas utilizando Matlab.

2. Para los siguientes vectores y matrices
a = [1; 5; 1]; b = 4 : 2 : 0; c = [4; 6; 1; 0; 6; 7; 9; 1; 5]; d = [ 1; 1; 5; 2; 3; 0; 1; 5; 2]:
a ) Obtenga el maximo de cada la de la matriz d .
b ) Obtenga la suma de los valores absolutos de todos los elementos de d .
c ) Obtenga la suma de los elementos de posicion par para el vector c .
d ) Calcule el mnimo valor entre los elementos de posicion 3; 4; 5 y 6 de c .
e ) Calcule el producto escalar entre los vectores a y b.
f ) Elimine el cuarto elemento del vector c .
g ) Genere un vector llamado z con los elementos de posicion impar del vector c .
h ) Genere un vector llamado x con 151 puntos equiespaciados entre los valores 0 y 3
(inclusives), y luego calcule el maximo de la expresion x-x.^2. De aqu obtenga: 1)
dicho valor maximo, 2) el ndice en el vector x donde se da el maximo, 3) el valor de x
en el maximo.
i ) Agregue a la matriz d una cuarta la cuyos elementos sean 2; 3 y 0.
j ) Calcule el determinante de la matriz d (puede hacerlo utilizando el comando MATLAB
para tal n o a traves de la regla de Sarrus).
3. a ) Escriba un archivo de funcion de nombre calculo.m que reciba como datos dos
vectores la a y b, y devuelva como resultado el vector suma de ambos y el producto
escalar entre ambos.
b ) Compruebe la funcion para los vectores #»a = (1; 3; 5) y #»b = 12 #»a 0 (donde #»a 0 es el
vector versor asociado a #»a ).
4. a ) Escriba una funcion llamada cuad.m para calcular las races de la ecuacion cuadratica
ax 2 + bx + c = 0 a partir de los coecientes a, b y c .
b ) Utilice cuad.m para calcular las races de la ecuacion 2x 2 + 6x 80 = 0. Luego
verique que sean las correctas, usando el comando roots.

2
5. Dena mediante el comando inline cada una de las siguientes funciones:
f1 (x ) = x 3 x 1; f2 (x ) = e x x; f3 (x ) = cos(2x ) sen(x ) 0:5:
a ) Con el comando plot, graque las funciones anteriores en el intervalo [ 3; 3], todas en
la misma graca y utilizando distintos colores.
b ) Repita el apartado anterior, pero gracando cada funcion sobre distintos ejes en la
misma gura. Utilice el comando subplot.
6. Escriba una funcion en el archivo multi.m, que reciba como argumentos dos funciones
y un vector de abscisas, y devuelva como resultado un vector con el producto de ambas
funciones evaluadas en dichas abscisas.
Sugerencia:Recuerde que, para evaluar una funcion cuyo nombre reside en una variable, debe
utilizar el comando feval.
7. Dena en la ventana de comandos la funcion f (x ) = x 2 + 2 sen(x ) 1 utilizando el
comando inline. Cree un archivo funcion gx.m para denir la funcion g (x ) = x12 + 2 cos(x ).
Con fplot graque en forma conjunta las funciones f y g sobre el intervalo [1; 3].
8. Sea el polinomio p(x ) = x 5 +3x 2 2 denido en el intervalo [0; 2]. Genere un vector x de
401 puntos equiespaciados que represente dicho intervalo. Luego, graque p(x ) utilizando el
comando polyval. En la misma graca muestre los puntos del conjunto
f(x; p(x )) ; x = 0:5k; k = 0; 1; : : : ; 4g
con asteriscos de diferente color al de la graca de p.
9. Ejecute los siguiente comandos MATLAB y describa que realiza cada uno.
Sugerencia: Para conocer el comportamiento de un comando, utilice help.
[x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-1:0.15:1);
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
contour(x,y,z)
colorbar
[px,py] = gradient(z,0.2,0.15);
hold on
quiver(x,y,px,py)
axis image

3
2. Propagaci
on de errores, redondeos, epsilon, derivaci
on num
erica

1. Dados a = 4:5, b = 2:0 y c = 5:0, y considerando que dichos valores tienen un error
relativo porcentual del 2 %, calcule los errores absoluto y relativo de:
a ) (a b)=c d ) a2 2b + 5c
) a2 + b=c 2 ) a1:5 8
b e
p
c ) (a + 1)=(b + 2) c f ) b b2 0:01
2. Considere la ecuacion x 2 40x + 0:25 = 0.
a ) Resuelva la ecuacion con la resolvente , en forma exacta.
b ) Resuelva la ecuacion con la resolvente utilizando aritmetica de 4 dgitos y redondeo
N
truncado. Detalle todos los calculos, y utilice el smbolo ! cuando realiza una normali-
R
zacion y ! cuando redondea el resultado. Por ejemplo, para hacer la resta 10258 9024,
procedemos de la siguiente manera:
N
10258 9024 ! 0:10258  105 0:9024  104
= 0:10258  105 0:09024  105
R
! 0:1025  105 0:0902  105
N
= 0:0123  105 ! 0:1230  104 = 1230
c ) Resuelva la ecuacion a traves de
x= p 22c ;
b  b 4ac
con aritmetica de 4 dgitos y redondeo truncado. Compare con los resultados de los
apartados anteriores.
d ) >Por que la diferencia en los resultados de los dos ultimos apartados? Intente una
explicacion a traves de la propagacion de errores.
3. Anticipe el resultado de cada expresion y verifquela luego con MATLAB.
a ) 1 + eps=3 + eps=3 + eps=3 == 1 + (eps=3 + eps=3 + eps=3)
b ) 4 + 3  eps == 4 + 5  eps
c ) 8 + 5  eps == 8
d ) 1 eps == 1
4. Asuma que la mantisa de una maquina es de 4 bits, que eps = 0:125 y que el redondeo
simetrico de un numero x puede calcularse utilizando la siguiente tabla (si w y z son los
numeros de la tabla mas proximos a x entonces x se redondea a w solo si x < w 2+z , caso
contrario se redondea a z ), evalue las siguientes expresiones:

Mantisa Exponente
n= 3 n= 2 n= 1 n=0 n=1 n=2 n=3 n=4
0:1000(2) 0:0625000 0:125000 0:25000 0:5000 1:000 2:00 4:0 8
0:1001(2) 0:0703125 0:140625 0:28125 0:5625 1:125 2:25 4:5 9
0:1010(2) 0:0781250 0:156250 0:31250 0:6250 1:250 2:50 5:0 10
0:1011(2) 0:0859375 0:171875 0:34375 0:6875 1:375 2:75 5:5 11
0:1100(2) 0:0937500 0:187500 0:37500 0:7500 1:500 3:00 6:0 12
0:1101(2) 0:1015625 0:203125 0:40625 0:8125 1:625 3:25 6:5 13
0:1110(2) 0:1093750 0:218750 0:43750 0:8750 1:750 3:50 7:0 14
0:1111(2) 0:1171875 0:234375 0:46875 0:9375 1:875 3:75 7:5 15
4
 a ) (8 + 3 eps) + 3 eps.
b ) 8 + 5 eps.
Ejemplo: (5 + 3  eps) 4  eps = (5 + 0:375) 0:5 = 5:375 0:5 !
R
5:5 0:5 = 5:0.

5. a ) Calcule en forma exacta sen =2 + 210 , con j entero positivo.

j

b ) Calcule en matlab la misma expresion, para j = 1; 10; 20; 50; 100.

c ) Intente dar una explicacion a los resultados obtenidos.
6. a ) Analice la funcion sinserie y la salida en la ventana de comando en respuesta de
sinserie(pi/4,5e-9),
sinserie(pi,5e-9),
sinserie(5*pi,5e-9).
El error cometido en el ultimo caso, >se debe a un error de truncamiento, de redondeo
o ambos?
b ) Conteste la misma pregunta para los comandos
sinserie(pi/4,5e-9,3),
sinserie(pi,5e-9,3),
sinserie(5*pi,5e-9,3).
c ) Calcule una cota del error de truncamiento de Taylor en los 3 casos anteriores.
7. Considere la siguiente sucesion numerica denida por recurrencia
x1 = 1;


x2 = 31 ;
xn = 133 xn 4
x n  3:

3 n 2

1

a ) Determine el valor de los 20 primeros terminos de la sucesion utilizando matlab.

) Se puede demostrar que el termino explcito de la sucesion es xn = 13 n 1 . Compare


b

los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresion. Para eso, cree
una tabla en donde se indique el numero de termino de la sucesion, el valor calculado
por recurrencia, el valor calculado por la formula explcita y el error relativo porcentual
(considerando como verdadero valor el calculado por la formula explcita). Explique el
comportamiento del error.
8. La sucesion general de numeros de Fibonacci puede generarse mediante la formula de
recurrencia siguiente:
F1 = 1; F2 = 1; Fn = Fn 1 + Fn 2 n  3:
Se puede demostrar que el termino general de la sucesion es
 p n
1+ 5

1
p 5 n
F (n ) = p2
: p2
5 5
a ) Determine el valor de los 30 primeros terminos de la sucesion, a partir de la formula de
recurrencia, utilizando matlab.

5
 b ) Compare los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresion. Para eso,
cree una tabla en donde se indique el numero de termino de la sucesion, el valor calculado
por recurrencia, el valor calculado por la formula explcita y el error relativo porcentual
(considerando como verdadero valor el calculado por la formula de recurrencia). Explique
el comportamiento del error.
9. Dada la funcion f (x ) = e x tg x , aproxime mediante diferenciacion numerica, la derivada
primera y segunda de dicha funcion en x0 = 0:1 de modo que el error sea de orden h2 en
ambos casos. Utilice un valor de h . Compruebe sus resultados con las funciones
razonable

df1dx y df2dx.

10. Sea la funcion f (x ) = e x sen(x ) y sus derivadas f 0 (x ) = e x cos(x ) + e x sen(x ), f 00 (x ) =

2e x cos(x ). Sea H = f10 2 , 10 3 , : : :, 10 12 g.
a ) Graque el entre f 0 (2:5) y la derivada numerica de f en x = 2:5 usando
error absoluto

la formula del cociente incremental, para los valores de h dados en H (es decir, las
abcisas son los valores de h y las ordenadas el valor absoluto del error). >Para que h se
produce el menor error?
b ) Repita el procedimiento con la derivada numerica de f en x = 2:5 usando la formula
centrada >Para que h se produce el menor error? >Es menor que el error producido con
la formula del cociente incremental?
c ) Ahora graque el error absoluto entre f 00 (2:5) y la derivada numerica segunda de f en
x = 2:5 usando la formula centrada. >Para que h se produce el menor error?
d ) Repita el procedimiento, pero esta vez use la composicion de las derivadas numericas
con el cociente incremental, es decir:
f 0 (x + h ) f 0 (x ) f (x +2h) f (x +h) f (x +h) f (x )
f 00 (x )  h  h
h = f (x + 2h) 2hf 2(x + h) + f (x ) :
h

>Para que h se produce el menor error? >Es menor que el error producido con la formula
centrada?

6
3. Resoluci
on de ecuaciones en una variable

1. Para cada una de las funciones denidas todas en el intervalo [0; 1]

1 1; x > 0;
(
f (x ) = 3x 1 ; g (x ) = cos (10x ) ; h(x ) =
1; x  0:
) Verique que las imagenes en los extremos del intervalo tienen distinto signo.
a

) Si se aplica el metodo de biseccion en el intervalo [0; 1] a que valor converge.

b

) Compruebe lo anterior, utilizando la funcion bisec.

c

) >Son conables los resultados obtenidos en cada caso? Explique.

d

2. Considere la ecuacion f (x ) = 0 para f (x ) = x 3 x 1 en el intervalo [1; 2].

a ) Verique que es posible aplicar el metodo de biseccion.
b ) >Cuantas iteraciones seran necesarias para que al aplicar el metodo de biseccion en
el intervalo [1; 2] se logre una aproximacion de la raz, con un error menor a 10 3 ?
c ) Calcule con matlab tal aproximacion.
3. Determine gracamente la cantidad de soluciones de sen x + ln x = 0 y calculelas.
4. Sea la funcion f (x ) = cos(x=5). Pruebe que existe un  punto jo en [0,2]. Proponga
unico

un punto inicial p0 de forma que la sucesion de punto jo converja.

5. Se quiere encontrar la menor raz positiva de cada una de las siguientes ecuaciones, usando
el metodo de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una funcion de iteracion de punto jo y
un intervalo para asegurar la convergencia a la raz, y calcule una aproximacion de la raz
buscada con una tolerancia de 10 4 .
a ) e x sen x = 0.
b ) x 2 + 10 cos x = 0.
c ) x cos2 x = 0.
6. a ) Verique que cada una de las siguientes funciones es una funcion de iteracion de
punto jo para la ecuacion x 4 + 2x 2 x 3 = 0.
3 + x x 4 ; g (x ) = x + 3 ; g (x ) = 3x 4 + 2x 2 + 3 :
r r
g1 (x ) = 3 + x 2x ; g2 (x ) =
4 2
p
2 3
x2 + 2 4
4x 3 + 4x 1
b ) Efectue 3 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteracion
denidas en en el apartado anterior, tomando x0 = 1.
c ) >Cual funcion cree usted que da la mejor aproximacion? Graque la derivada en cada
caso y concluya.
7. En cada uno de los siguientes casos dibuje la graca de g , la recta de ecuacion y = x
y el punto jo dado P en un mismo sistema coordenado. Usando el valor inicial dado p0 ,
calcule y marque p1 y p2 . Determine geometricamente si la iteracion de punto jo conver-
ge a P .Tambien determine geometricamente si la sucesion fp0 ; p1 ; p2 ; : : :g es monotona u
oscilante.

7
 p
a ) g (x ) = 6 + x , P = 3, p0 = 7.
b ) g (x ) = 1 + x2 , P = 2, p0 = 4.
c ) g (x ) = 31 x 2 , P = 3, p0 = 3:5.
d ) g (x ) = x 2 + 2x + 2, P = 2, p0 = 2:5.
8. Considere la ecuacion x = x 2 sen x; en el intervalo [0; 10].
a ) Graque y determine la cantidad de races de la ecuacion.
b ) Calcule todas las races.
c ) Marque con un asterisco en el mismo graco las races calculadas.
9. La torsion, T , y el esfuerzo cortante maximo, max , para un tubo de radio interno Ri y
radio externo Re , estan relacionados por la ecuacion

T
Re = 2 max Re4 Ri4 :

Si Ri = 0:2, encontrar Re para max = 36 y T = 0:9.

10. Considere la funcion h(x ) = e x 5x 2.
a ) Graque h y compruebe que tiene un unico punto jo en el intervalo [ 1; 0:5].
b ) Si aplica el metodo de punto jo, >puede asegurar la convergencia al punto jo
si se elige cualquier punto de arranque en el intervalo dado? Justique la respuesta
analticamente. Compruebe luego gracamente.
11. Pruebe que la funcion g (x ) = 2 + x arctan x tiene la propiedad jg 0 (x )j < 1 para toda
x . Pruebe que g no tiene un punto jo. >Contradice esto al teorema del punto jo?
12. Compruebe si las siguientes funciones verican las condiciones del teorema de punto jo
en algun subintervalo de los intervalos indicados
) g1 (x ) = x52 + 2 en [2; 3],
a

) g2 (x ) = 5 x en [0; 2],
b

) g3 (x ) = 12 (sen x + cos x ) en [ 1; 1]
c

13. El Principio de Arqumedes establece que el empuje a que esta sometido un cuerpo sumergido
en un lquido es igual al peso del uido desplazado. Al plantear esta condicion de equilibrio para
una esfera de radio 1 cm y densidad = 0:75 gm/cm3 , se consigue la ecuacion h3 3h2 +3 =
0, donde h es la altura de la parte de la esfera que esta sumergida.
a )Realice dos iteraciones con el metodo de Newton, tomando h = 1 como valor inicial.
b )Compruebe sus iteraciones calculandolas con matlab. Para ello, utilice la funcion
newt o newtderiv.
14. Considere la funcion f (x ) = e x 3x para x 2 [0; 4].
a ) Determine gracamente la cantidad de soluciones de la ecuacion f (x ) = 0.
b ) Tomando x0 = 0:25, calcule diez iteraciones por el metodo de Newton.
c ) Tomando x0 = 0:25 y x1 como la primera iteracion de Newton, halle una aproxima-
cion a la raz en [0; 1] con el metodo de la secante y el de falsa posicion (hacer por lo
menos 2 iteraciones).
8
15. Considere la funcion h(x ) = e x 1 x.
a ) Pruebe que h tiene un unico cero, determnelo y de su multiplicidad.
b ) Aproxime, por Newton, el cero de h con tres iteraciones.
c ) Aproxime, por falsa posicion, el cero de h.
d ) Aproxime, por secante, el cero de h.
16. Considere la funcion f (x ) = e x e 2 x + e 2 que tiene una raz en x = 2. Determine
) la multiplicidad de la raz;
a

) la velocidad y la constante asintotica de la convergencia del metodo de Newton hacia

b

dicha raz;
) Si la velocidad de convergencia es lineal, proponga una nueva sucesion que converja
c

cuadraticamente a la raz .
17. Considere la funcion f (x ) = x 3 13x 4 en el intervalo [3; 4]
a ) Graque f y compruebe que la ecuacion f (x ) = 0 tiene una unica raz.
b ) Si aplica el metodo de Newton-Raphson, >puede asegurar la convergencia a la raz
si se toma un punto de arranque adecuado? >Cual es ese punto? Justique.
18. Sea h la funcion dada por h(x ) = x + e 10x 2 cos x .
a ) Muestre gracamente que la ecuacion h(x ) = 0 tiene una unica solucion en [ 1; 1].
b ) Graque las funciones h, h0 y h00 . Determine un intervalo donde se cumplan las
hipotesis de Newton (incluyendo la hipotesis adicional sobre h00 de forma tal de asegurar
la convergencia a la solucion de la ecuacion si el punto de arranque es el adecuado).
Indique un punto adecuado y obtenga la raz aplicando newtraph.
19. Resuelva las siguientes ecuaciones a traves de un estudio graco adecuado y utilizando
las funciones fsecant, ffalsi y fnewt.
a ) 3x 3 + 1 = 0
b ) sen(x + 2) = 2 + x
c ) x 2 = tan(x )
20. Considere la funcion f (x ) = x 5 32 en el intervalo [1; 3].
a ) Itere con los metodos globalmente convergentes, hasta que se satisfaga con una tole-
rancia de  = 0:1 cualquiera de estas condiciones
jxn xn 1j < ; jf (xn )j < :
b ) Itere con los metodos localmente convergentes, hasta que se satisfagan simultaneamente
con una tolerancia de  = 0:1 las siguientes condiciones
jxn xn 1j < ; jf (xn )j < :
c ) En el caso del metodo de falsa posicion, determine si existe un extremo estacionario.
Ayuda: Para el metodo de Newton, considere x0 = 3. Para el metodo de la secante considere
x0 = 3, x1 = 2:5.

9
4. Sistemas de ecuaciones lineales: M
etodos directos

1. Considere que k
k2 indica la norma matricial eucldea y la norma vectorial eucldea, segun
sea el caso.
a ) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2  2, si existe, que verique
kAk2
k #»x k2  kA #»x k2 ; 8 #»x :
b ) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2  2, si existe, que verique
kAk2
k #»x k2 < kA #»x k2 ; para algun #»x .
c ) >La norma matricial eucldea es compatible con la norma vectorial eucldea? >Por que?
2. Considere el sistema A #»x = #»b , donde
1 3 #» 1
   
A= 6 2 ; b= 2 :
a ) Calcule el numero de condicion y elndice de condicion de la matriz A, utilizando norma
innito.
b ) Suponga que  el lado derecho sufrio una modicacion de la forma b ! b +
b, con

b = 00::11 . Determine, con norma innito, el error normado (absoluto y relativo)
inducido en el vector #»x .
c ) Suponga que la matriz A sufrio una modicacion de la forma a11 ! a11 +0:2. Determine,
con norma innito, el error normado (absoluto y relativo) inducido en el vector #»x .
3. Escriba un script llamado ejhilbert.m que muestre en pantalla el numero de condicion
y el ndice de condicion de las matrices de Hilbert de orden 3, 4 y 5. Utilice norma innito.
4. Determine la solucion del sistema A #»x = #»b , utilizando el metodo de Gauss con pivoteo
parcial.
2 1 1 #»
 

) A =  12 11 5, b = 1 17 18 t .


a

2 9 0
) A es la matriz de Hilbert de orden 4 y #»b = 1 0 0 0 t .


b

Compruebe sus resultados utilizando Gauss.

5. a ) Obtenga una factorizacion de la forma P A = LU de cada una de las siguientes
matrices.
4 1 . 4) 210 112 .
   
1) 12 2
2 2 1
 

2) A = 05 3 .
 

4 5)  8 11 5.
4 13 3
0 1 1 0 0 2
   

3) A = 1
 2 4. 6) A =  1 5 2.
2 5 1 3 6 7
10
 Verique sus resultados utilizando el comando lu de matlab.
b ) Calcule los determinantes de las matrices anteriores, utlizando la factorizacion an-
terior.
c ) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores.
d ) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores utilizando el
comando DescompLu.
6. El siguiente sistema de ecuaciones de la forma A #»x = #»b admite ser resuelto utilizando
factorizacion triangular. Se sabe que la matriz de coecientes A admite ser factorizada con
matrices L, U y P siendo
1 0 0 2 0 1 0 1 0
     

L = 0 1 0 ; U = 0 3 1 ; P = 1 0 0 :
1 2 1 0 0 2 0 0 1
Escriba la matriz de coecientes A. Determine la solucion del sistema, siendo #»b = 1 2 3 t .

7. Proponga tres matrices A, L, U , de tama~no 2  2 donde A no sea ni la matriz nula ni

tenga inversa pero
a ) satisfaga A = LU ;
b ) admita una factorizacion de Doolitle;
c ) admita una factorizacion de Crout.

11
5. Sistemas de ecuaciones lineales: M
etodos iterativos

1 0 2
 

1. Sea A =  0 1 1
1 1 1
a ) Obtenga los autovalores y autovectores de la matriz A.
b ) Compruebe los resultados obtenidos utilizando el comando eig de Matlab. Deter-
mine la constante por la cual aparece multiplicado cada autovector con respecto al
correspondiente en el tem . a)

c ) Obtenga el radio espectral de la matriz A.

d ) Obtenga el radio espectral de la matriz A utilizando el comando eig de Matlab.
2. Indique cuales de las siguientes matrices son denidas positivas. Indique tambien sus
autovalores y su radio espectral.
6 0 1 2 2 0 2
     
a) 0 12 ) 2 5 c
) 0 8 4 e

2 4 6
60 30 20 2 0 10 3 0 0
     

b) 30 20 15 )  0 8 4
d ) 0 2 0  f

20 15 12 10 4 6 0 0 3
3. Sea la sucesion de vectores f #»x (i ) gi 2N denida como #»x (0) = #»0 y #»x (k +1) = F #»x (k ) + f, donde
f = (1; 1)T . Para cada una de las siguientes matrices F:
1 0 0 0
  1  1 
) 1 1
a ) 1 1
b
2 ) 1 1c
2
4 2 3 2 2

a ) Obtenga los
#»
primeros 10 elementos de la sucesi
on (manualmente o con Matlab).
b ) Obtenga x (10) #»
x 1y x
(9)
#»
(10) #»
x 1(9)


c ) A partir del resultado obtenido en el tem anterior, >puede determinar si la sucesion es
convergente o divergente?
4. Sea la sucesion de vectores f #»x (i ) gi 2N donde #»x (0) = #»0 y #»x (k +1) = F #»x (k ) + f para:
0:2 0:7 0 2
   

F= 0 0:4 0:1 f =  3

0 0 0:3 1
a ) Determine si converge o diverge.
b ) Calcule una cota del error normado (con la norma que garantiza dicha convergencia)
utilizando las aproximaciones x (1) y x (2) .
5. Sea la sucesion de vectores f #»x (i ) gi 2N donde #»x (k +1) = F #»x (k ) +f, y #»x (0) ; f 2 R3 . Proponga
una matrz F de 3x3 que satisface kFk1  1, kFk1  1, y de forma que la sucesion converja.
6. Considere el sistema de ecuaciones
3x1 x2 + x3 = 1;


3x1 + 6x2 + 2x3 = 0;
3x1 + 3x2 + 7x3 = 4:



12
 a ) Escriba la matriz FJ de iteraciones para Jacobi y el vector fJ .
b ) Calcule#»x (1) por Jacobi utilizando la forma matricial, tomando como aproximacion inicial
x (0) = 0 .
c ) Calcule una cota del error normado (segun norma 1) utilizando las aproximaciones x (0)
y x (1) .
d ) >Puede asegurar la convergencia del metodo de Jacobi en este caso? Justique.
7. Repita el ejercicio anterior utilizando el metodo de Gauss-Seidel.
8. a ) Calcule por Jacobi, la solucion del sistema del ejercicio 6, con una tolerancia de
10 3 . Para ello utilice la funcion Jacobi
b) Calcule por Gauss-Seidel, la solucion del sistema del ejercicio 6, con una tolerancia
de 10 3 . Para ello utilice la funcion GaussSeidel
9. Los siguientes sistemas lineales Ax = b tienen solucion x . Obtenga la aproximacion x median-
te los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel con una tolerancia de 10 3 . Luego calcule kx x k1 ,
kx x k1, kAx bk1 y kAx bk1
1
x + 13 y = 631 ; x + z = 2;
( 
) 2 
x + 14 y = 168 ; )  x + y = 0;
a
1 1 b
3

x + 2y 3z = 0;
x = ( 17 ; 1
6 ). x = (0; 7; 5).

10. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones,

x + 3y = 1; x + z = 2; 5x y + z = 10;
(  
)
 
6x 2y = 2: )  x + y = 0; ) 2x + 8y z = 11;
a
b c


x + 2y 3z = 0: 
x + y + 4z = 3:
a ) Calcule kFJ k1 . >Puede concluir algo sobre la convergencia del metodo de Jacobi?
En caso negativo, calcule el radio espectral de FJ y concluya.
b ) Si es posible, resuelva el sistema con matlab, utilizando Jacobi.
11. Repita el ejercicio anterior pero con el metodo de Gauss-Seidel.
12. Si se aplica el metodo iterativo de Jacobi al sistema A #»x = #»b , donde kFJ k1 < 1, el
proceso iterativo resulta convergente. Utilizando dicho argumento, explique la armacion:
Si la matriz de coecientes A es diagonal estrictamente dominante, el proceso
iterativo de Jacobi converge.

13
6. Sistemas de ecuaciones no lineales

1. Sea el campo escalar f (x; y ) = xe x 2 y 2 . Graque f en el dominio [ 2; 2]  [ 2; 2]

mediante los comandos meshgrid y mesh. Realice otra graca que muestre las curvas de
nivel de f para distintos niveles entre -0.5 y 0.5. Ambas gracas deben estar en la misma
gura (usar el comando subplot).
2. Resuelva gracamente las siguientes desigualdades sobre R2 :
) y  x 2 + x 1.
p
a

b ) xy + sen y  3 x .
) cos x + jy j  2 x 2 + y 2.
p
c

3. Determine analticamente los puntos jos de cada una de las siguientes generatrices:
 g1 (x; y; z ) = 9 3y 2z

g1 (x; y ) = x y2 g1 (x; y ) = sen(y )
 
a) g2 (x; y ) = x + 6y b) g2 (x; y ) = 6x + y c)  g2 (x; y; z ) = 2 x + z
g3 (x; y; z ) = 9 + 3x + 4y z

4. Determine analticamente los ceros de cada uno de las siguientes funciones y evalue la
matriz Jacobiana de cada sistema en el cero correspondiente:
 f1 (x; y; z ) = x 2 + y 2 z

f1 (x; y ) = 2x + y 6 f1 (x; y ) = 3x + 2y 4
2
 
a) f2 (x; y ) = x + 2y b) f2 (x; y ) = 2x + 2y 3 c )  f2 (x; y; z ) = x 2 + y 2 + z 2 1
f3 (x; y; z ) = x + y

5. Determine una region del plano xy tal que la iteracion de Punto Fijo aplicada al siguiente
sistema no lineal sea convergente para cualquier punto inicial (p0 ; q0 ):
x = g1 (x; y ) = (x 2 y 2 x 3)=3;


y = g2 (x; y ) = (x + y + 1)=3:
6. Dado el siguiente sistema no lineal:
x = (8x 4x 2 + y 2 + 1)=8;


y = (2x x 2 + 4y y 2 + 3)=4:
a ) Usando la aproximacion inicial (p0 ; q0 ) = (1.1; 2.0), calcule tres iteraciones mediante
la iteracion de Punto Fijo.
) Realice lo mismo pero utilizando el esquema iterativo de Punto Fijo Seidel.
b

) Compare sus aproximaciones utilizando puntofijo.m y puntofijoseidel.m.

c

7. Dado el siguiente sistema no lineal:

x = g1 (x; y ) = (y x 3 + 3x 2 + 3x )=7;


y = g2 (x; y ) = (y 2 + 2y x 2)=2:
a ) Graque y analice condiciones de convergencia para Punto Fijo usando MATLAB.
Indique si los procesos iterativos seran convergentes, divergentes o no puede asegurar
nada en cada caso. De ser posible, halle las soluciones usando puntofijo.m.
b ) Proponga otras dos generatrices distintas y realice lo mismo anterior.
14
 ) Intente hallar las soluciones con PuntoFijoSeidel.m y compare con lo anterior.
c

8. Considere la siguiente sucesion de Punto Fijo Seidel:

p0 = ;



0 = ;
q




pk +1 = 31 (pk + qk ) ;
k +1 = 2 cos(pk +1 )
q 3 1
:


5

a ) Convierta la sucesion anterior a una de Punto Fijo (sustituyendo pk +1 por la primera

funcion en la segunda funcion) y luego determine una region de convergencia.
b ) Obtenga el punto jo utilizando PuntoFijoSeidel.m para valores  y  adecuados.
9. Considere el sistema de ecuaciones no lineales:
x y = 0:2;
 2

y 2 x = 0:3:

a ) Calcule dos iteraciones del metodo de Newton-Rahpson comenzando en (p0 ; q0 ) =

(1:2; 1:2)
b ) Repita lo mismo anterior pero comenzando en (p0 ; q0 ) = (0:2; 0:2):
c ) Modique la funcion newSNL.m de modo que se impriman por pantalla las sucesivas
aproximaciones y compruebe los resultados anteriores.
10. Dado el siguiente sistema no lineal:
x = 0:7 sen(x ) 0:2 cos(y );
(

y = 0:7 cos(x ) + 0:2 sen(y ):

Graque las curvas de nivel de modo de obtener una aproximacion de las races y halle las
soluciones utilizando newSNL.m.
11. Considere el siguiente sistema no lineal:
f1 (x; y ) = x 2 + y 2 2 = 0;


f2 (x; y ) = xy 1 = 0:
a ) Verique que el sistema admite las soluciones (x; y ) = (1; 1) y (x; y ) = ( 1; 1).
b ) Aplique newSNL.m para hallar dichas races comenzando en un punto cercano. Ex-
plique los resultados obtenidos.

15
7. Interpolaci
on

1. Determine el termino independiente del polinomio P que interpola los puntos ( 1; 16), (1; 6)
y (2; 10) de las siguientes dos formas:
) resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente;
a

) hallando el valor de P (0) mediante la interpolacion de Lagrange.

b

2. Para la siguiente tabla de datos:

x 0.0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5

y 0:00 0:03 0:11 0:26 0:41 0:54
a ) Determine el polinomio de Lagrange de grado mnimo que interpola los puntos.
b ) Graque el polinomio y los puntos de la tabla en una misma ventana.
3. Sea la funcion f (x ) = x + 2=x .
a ) Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos en x0 = 1, x1 = 2
y x2 = 2:5 para aproximar f (0:75) y f (1:5).
) Repita el ejercicio pero con nodos en x0 = 0:5, x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 2:5.
b

) Calcule para ambos casos, los errores relativos correspondientes.

c

) Explique las discrepancias entre los errores relativos obtenidos en el apartado anterior.
d

4. Sea f (x ) = 2x .
a ) Determine el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos en x0 = 1,
x1 = 1:25 y x2 = 1:5.
b ) Halle una cota del error que se produce al aproximar f mediante dicho poliniomio en
el intervalo [1; 1:5].
5. Considere un polinomio p que interpola a la funcion f (x ) = e x en los nodospf0; 0:3; 0:4; 0:6g.
Obtenga una cota del error de interpolacion cometido al aproximar el valor 3 e con p (1=3).
6. Aproxime la funcion seno en el intervalo [0; 2] mediante un polinomio interpolante de
grado menor o igual que 4 utilizando 5 puntos equiespaciados.
a ) En una misma gura, graque la funcion seno, el polinomio interpolante y los 5
puntos equiespaciados (marcados con *).
) En otra gura, graque los polinomios L4;k utilizando coeflagran.m y vericar que
b

se cumplan sus propiedades.

) En otra gura, graque el error cometido y una cota del mismo.
c

7. Sea la funcion f (x ) = x 11:2 y S una cercha cubica que interpola a f en los puntos enteros
1; 2; : : : ; 8.
) Determine el valor de S (3:5). >Cual es el error relativo cometido respecto a f (3:5)?
a

b ) Graque S en el intervalo [1; 8] y marque los puntos que interpola con asteriscos.
16
 8. Investigue cual es la diferencia entre las cerchas naturales, sujetas y not-a-knot (MATLAB).
>Que condiciones se rigen para cada una?
9. Considere una cercha cubicanatural S que interpola los puntos (0; 0), (1; 1), (3; 4).
Escriba las 8 condiciones necesarias para calcular los coecientes de S (es decir, S1 (0) = 0,
S100 (0) = 0, S1 (1) = 1, S2 (1) = 1, S10 (1) = S20 (1), : : :). Resuelva con MATLAB el
sistema de 8 incognitas resultante. Finalmente, calcule S (2).
10. Las siguientes funciones son cerchas cubicas que interpolan 4 puntos. Determine en cada
caso los nodos interpolados y si la cercha es natural o no.
a )
 15 (x 2)3 + 15 (x 2) 1; 2x <3
 2 17

Sa (x ) =  45 (x 3) 5 (x 3)2 + 11
4 3 2
15 (x 3); 3x <6
 2
15 (x 6) + 5 (x 6) + 15 (x 6) + 1;
3 2 2 11
6  x  7:
b )
 30 (x 1)3 27
20 (x 1)2 + 60 (x 1) + 12 ; 1x <2
7 97

Sb (x ) =  307 (x 2)3 13
20 (x 2)2 6023
(x 2) + 1; 2x <3
7
30 (x 3) + 20 (x 3) 60 (x 3) + 15 ;
3 1 2 59
3  x  4:

17
8. M
nimos cuadrados

1. Dada la muestra de datos f(xk ; yk )gnk=0 , deduzca las ecuaciones normales de Gauss para:
a ) determinar la ecuacion de la recta que pasa por el origen y = Ax que mejor se ajusta
en el sentido de mnimos cuadrados.
b ) determinar la ecuacion de la parabola con vertice en el eje de ordenadas y = Ax 2 + B
que mejor se ajusta en el sentido de mnimos cuadrados.
2. Usando ajustepoly.m, encuentre el polinomio de aproximacion por mnimos cuadrados
de grados 1, 2, 3 y 4 de la siguiente tabla de datos:

x 0:00 0:15 0:31 0:50 0:60 0:75 1:00

y 1:000 1:004 1:031 1:117 1:223 1:422 1:600

Graque los puntos datos y los polinomios. >Que polinomio da la mejor aproximacion?
3. Considere la siguiente tabla de datos:

x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
y 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

a ) Interpole dichos puntos usando lagran.m y graque el polinomio interpolante.

b ) Ajuste dichos puntos usando ajustepoly.m con un polinomio de grado 7 y graque
la solucion. Graque tambien los puntos con un *.
c ) >Que conclusiones puede obtener de las gracas?
4. Escriba una funcion de nombre ecm.m que calcule el error cuadratico medio.
5. Considere la funcion de ajuste por mnimos cuadrados F (x ) = Ae x . Determine A para el
siguiente conjunto de datos: f(1:0; 1:5); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2); (2:5; 6:0)g y calcule el ECM.
6. Dado el conjunto de puntos f(0:0; 0:1); (1:0; 1:2); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2)g, calcule la funcion
de ajuste por mnimos cuadrados utilizando la base fx; e x g. Luego graque la funcion de ajuste
y los puntos (con *) en un mismo sistema de ejes coordenados.
7. a ) Usando ajusebase.m, determine los coecientes de la funcion:
g (x ) = C1 + C2 x + C3 sen x + C4 xe x
que mejor ajusta los datos de la siguiente tabla:
x 0:1 0:4 0:5 0:6 0:7 0:9
y 0:61 0:92 0:99 1:52 1:47 2:03
En un mismo graco represente los puntos dados y la graca de la funcion g .
b ) Agregue a la graca una cercha cubica que interpole los puntos dados como dato.
8. Utilizando la forma matricial, determine los coecientes de la funcion f (x ) = Ax 2 + B
que mejor ajusta los puntos (1; 3), (2; 3), (4; 0).

18
9. Cuadraturas num
ericas

1. Calcule utilizando el metodo de trapecios utilizando exactamente 5 puntos

Z 1
1 + e x sen(4x ) dx:
0

2. Calcule utilizando el metodo de trapecios

Z 1:5
x 3 dx:
0

Calcule el error de truncamiento cometido. Repita lo mismo utilizando el metodo de Simpson.

>Cual fue el error cometido en este caso? Justique.
3. Considere el problema de aproximar la integral 0 sen x dx con el metodo de Simpson.
R

Calcule una cantidad mnima de intervalos necesarios para asegurar un error absoluto menor
que 10 5 y aproxime con esa cantidad el valor de la integral.
4. Sabemos que ln 2 = 12 x1 dx .
R

a ) Calcule la aproximacion de ln 2 usando Simp_N.m y Trap_N.m con distintos pasos.

Compare el valor absoluto del Error Global de Truncado cometido en cada caso.
b ) Determine una cantidad de subintervalos necesaria de manera que el EGT sea menor
que 10 6 con ambas formulas (de ser posible, acote el error usando Matlab).
5. Un tanque de agua esferico con radio de 5 m esta lleno hasta el tope. Se va a drenar
agua por un agujero de radio b = 0:1 m en el fondo comenzando en t = 0 s. Considerando
que no hay friccion, se quiere calcular cuanto tiempo tardara el nivel de agua en llegar a 0:5
m. Para ello, calcule la integral
Z R
R2 z 2
t= dz;
2g (z + R)
p
0:9R

con R = 5, g = 9:81, b = 0:1 utilizando la regla de Trapecios y una cantidad de subintervalos

adecuada para asegurar un error menor a 10 2 .
6. Dos formas conocidas de calcular el numero  son mediante las integrales

I1 =
Z 1
4 dx I2 =
Z 0:5
p 6 dx:
0 1 + x2 0 1 x2
a ) Calcule cada integral utilizando el metodo de los Trapecios con 20 subintervalos y
determine cual es la que obtiene la aproximacion mas exacta de .
b ) Determine la cota del Error Global de Truncado de la aproximacion mas exacta,
usando una cota de la derivada segunda de la funcion integrando.
7. Resuelva los problemas de aplicaciones 1, 2, 5 y 7 propuestos en el apunte de Cuadraturas
Numericas (nal del apunte).

19
10. Resoluci
on de ecuaciones diferenciales y Optimizaci
on

1. Aplique el metodo de Euler para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de
valor inicial.
a ) y 0 = te 3t 2y , t 2 [0; 1], y (0) = 0, h = 0:5.
b ) y 0 = cos (2t ) + sen(2t ), t 2 [0; 1], y (0) = 1, h = 0:25.
2. Dado el problema de
valor inicial y 0 = 2t y + t 2 e t , t 2 [1; 2], y (1) = 0, con la solucion
exacta y (t ) = t 2 e t e .
a ) Use el metodo de Euler con h = 0:1 para aproximar la solucion y compararla con los
valores reales de y .
b ) Use las respuestas obtenidas en la parte 2 y la interpolacion lineal para aproximar los
a

siguientes valores de y y comparelos con los valores reales.

1) y (1:04).
2) y (1:55).
3) y (1:97).
c ) Calcule el valor de h necesario para que jy (ti ) wi j  0:1.
3. Utilice la funcion MetEuler visto en la clase de teora para resolver los siguientes problemas
de valor inicial.
a ) y 0 = x ln y , y (1) = 1.
) y 0 = x=y , y (1) = 0.
p
b

c ) y 0 = x y , y (2) = 1.
d ) y 0 = x 2 y 2 , y (0) = 1.
4. El comando quiver se utiliza para gracar campos vectoriales y resulta de utilidad cuando
se resuelven ecuaciones diferenciales. Sea el problema de valor inicial y 0 = y sen x , y (0) = 0,
del que se sabe la solucion es y = 12 (cos x + sen x e x ).
[x,y]=meshgrid(-3:0.3:3,-3:0.3:3);
dy=y-sin(x);
dx=ones(size(dy));
dxu=dx./sqrt(dx.^2+dy.^2);
dyu=dy./sqrt(dx.^2+dy.^2);
quiver(x,y,dxu,dyu);

En este caso gracamos el campo de direcciones correspondiente a la ecuacion diferencial

propuesta. Como normalizamos los diferenciales, el campo muestra ((solo las direcciones)) y
no las magnitudes de cada vector en cada punto. Incluimos ahora la graca de la funcion
solucion del problema de valor inicial.
hold on
a=-2:.1:2;
b=0.5*(cos(a)+sin(a)-exp(a));
plot(a,b,'r');

Agregue al graco con un asterisco, el punto (0; y (0)) que corresponde al problema de valor
inicial.
20
5. En los ejercicios que siguen, graque el campo de direcciones de la ecuacion diferencial
dada. Resuelva la ecuacion diferencial con el metodo de Euler y graque la solucion y la
condicion inicial en el mismo graco.
a ) y 0 = y sen x , y (0) = 1.
b ) y 0 = x + y , y (0) = 0.
c ) y 0 = xy , y (1) = 1.
d ) y 0 = ye x , y (0) = 2.
e ) y 0 = ln(1 + y 2 ), y (1) = 1.
6. Un m
nimo de una funcion f en un intervalo [a; b] es un valor m tal que m  f (x ) para
todo x 2 [a; b]. Una funcion f es en el intervalo [a; b] si existe un unico numero
unimodal

p 2 [a; b] tal que f es decreciente en [a; p] y es creciente en [p; b] (denicion en pag. 436 del
libro). Pruebe que si f es una funcion unimodal en [a; b] entonces p es el unico mnimo de f
en [a; b] (f puede incluso no ser continua).
Sugerencia: Asuma que m es un mnimo de f y pruebe que si p 6= m llega a una contradiccion.
Luego asuma que m0 es otro mnimo de f y llegue a la conclusion que m = m0 (para probar
la unicidad).
7. Sea f : (0; 2] ! R tal que f (x ) = x2x + 2 sen(x ). Graque f en su dominio y halle
x

un subintervalo [a; b] donde f sea unimodal. Luego lea el m

etodo de minimizaci
on mediante

derivadas en las pags. 445-447 y realice una rutina que halla una aproximacion del mnimo
de f calculando 10 iteraciones. Considere como valor inicial p0 = (a + b)=2 (es decir, en el
punto medio del intervalo).
8. Lea el m
etodo del gradiente en las pags. 447-448, implemente el Programa 8.4 de las
pags. 455-458 y resuelva los siguientes problemas de optimizacion:
a ) Minimizar f (x; y; z ) = 2x 2 + 2y 2 + z 2 2xy + yz 7y 4z sujeto a (x; y; z ) 2 R3 .
b ) Minimizar f (x; y; z; u ) = 2(x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ) x (y + z u ) + yz 3x 8y 5z 9u
sujeto a (x; y; z; u ) 2 R4 .
c ) Minimizar f (x; y; z; u ) = xyzu + x1 + y1 + z1 + u1 sujeto a (x; y; z; u ) 2 R4 , x 6= 0,
y 6= 0, z 6= 0, u 6= 0.

21