BONOS

Introducción.
El objetivo del siguiente trabajo de investigación, es conocer el concepto de bono, así

como los diferentes tipos de bonos que hay, ejemplos de ellos y ejercicios para una mejor
comprensión del tema, también se incluye la tasa de rentabilidad.
Al momento de realizar la búsqueda de información se tuvo como limitante la poca

información que fue brindada por el buscador, hasta que por fin se dio con el libro
“Matemáticas financieras” de Frank Ayres, Jr., en el cual se pudo encontrar toda la
información necesaria para poder concluir la investigación.
CONCEPTO DE BONO.
Un bono es una promesa escrita de pago de:
a) Una suma fija llamada valor de redención, en una fecha dada llamada fecha de
redención.
b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses, hasta la fecha de redención.
La descripción completa de un bono comprende:
1) Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un múltiplo de $100.

2) La tasa de interés. Por ejemplo, 6% pagadero el 1º de febrero y el 1º de agosto;
abreviando seria el “6%, FA”.
3) La fecha de redención, por ejemplo el 1º de octubre de 1985. Normalmente se
redime un bono en una fecha de pago de intereses.
4) El valor de redención. Cuando el valor de redención y el valor nominal son
idénticos se dice que el bono es redimible a la par. De otra forma, el valor de
redención se expresa como un porcentaje del valor nominal, omitiéndose la
palabra “por ciento”. Por ejemplo, un bono de $1000 redimible en $1050 se
expresa como “un bono de $1000 redimible a 105”
Ejemplo 1.
Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990 a 102, estipula:
a) El pago de $500 (1,02) =$510 el 1º de octubre de 1990

b) Pagos trimestrales de 500 (0,01) = $5 los días 1º de enero, 1º de abril, 1º de julio y
1º de octubre cada año desde su emisión hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive.
PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES.

Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses, adquiere el
derecho de recibir ciertos pagos futuros. No recibirá el pago de interés vencido en la fecha
de compra.
Ejemplo 2.
Un inversionista que compro el 1º de octubre de 1960 un bono de $1000, 5%, EJ,

redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá:
a) $1000 el 1º de julio de 1988.

b) $7 pagos semestrales de $25 cada uno, el primero con vencimiento el 1º de julio
de 1960.
Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a su valor

normal, el inversionista ganara precisamente la tasa de interés estipulada en el bono. Si
desea obtener una tasa mayor, debe comprar el nono a un precio más bajo que el valor
nominal; si está dispuesto a ganar una tasa menor, estará dispuesto a pagar un precio
arriba del valor nominal.
Ejemplo 3.
Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de 1997, es comprado

el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible semestralmente.
Hallar el precio de compra P.
El comprador recibirá:
a) $1000 el 1º de septiembre de 1997.

b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno, siendo el primero el 1º de septiembre de
1962. En el siguiente diagrama vemos que:
FORMULAS. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea r la tasa

de interés por periodo de interés del bono, i la tasa del inversionista por periodo y n el
numero de periodos de intereses desde la fecha de compra (suponiendo que coincide con
una fecha de pago de intereses) hasta la fecha de redención. El precio de compra P esta
dado por:
COMPRA A PREMIO DE DESCUENTO.
Se dice que un bono es comprado a premio si su precio de compra P es mayor que su
valor de redención V. El premio es P – V.
Ejemplo 4.
El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834,64 = $165,36. El bono
del problema 1 fue comprado a premio de 1147,28 – 1000 = 147,28.
El valor en libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono en dicha

fecha. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra (suponiendo que coincide
con una fecha de pago de intereses) es el precio de compra; el valor en libros en la fecha
de redención es el valor de redención. El cambio del valor en libros durante la vida del
bono se muestra con claridad construyendo una tabla de inversión.
Ejemplo 5.
Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par del 1º de enero de 1967 es comprado el 1º

de julio de 1964, para que se reditúe el 6% convertible semestralmente. Construir una
tabla de inversión.
El precio de compra del bono es
El 1º de julio de 1964 el valor en libros del bono es $954,20. Al término del primer periodo
de intereses, el interés vencido sobre el valor en libros es $954,20 (0,03) = $28,63,
mientras que el pago por intereses del bono es $20 por tanto 28.63 – 20 = $8.63 del
interés vencido no se cobra, por lo cual puede decir el inversionista que tiene $8.63 más,
invertidos en el bono, que lo que tenia al principio del periodo. El nuevo valor en libros del
bono es 954.20 + 8.63 = $962.83.
Al final del segundo periodo de interés, el interés vencido es 962.83 (0,03) = $28,88 el
pago de intereses del bono es $20, y el nuevo valor en libros es 962,83+8,88= $971.71 y
así sucesivamente.
El valor en libros al principio de cualquier periodo es simplemente el precio al cual el bono
debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por el inversionista. Puede
ser calculado en forma de independiente, varias veces, como un método de comprobación
de la tabla.
Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento, es costumbre utilizar el
término acumulando el descuento para llevar el valor en libros hasta el valor de redención.
Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un bono comprado a premio.
TASA DE REDITUABILIDAD.
Las instituciones de inversión utilizan tablas con las cuales puede ser obtenida la tasa de
redituabilidad ya sea en forma directa o mediante interpolación. Dichas tablas son muy
voluminosas para ser incluidas aquí. En sustitución daremos dos métodos para obtener
aproximadamente la tasa de redituabilidad.
Ejemplo 6.
Un bono de $1000, 6%, EJ, redimible a 110 el 1º de julio de 1987, esta cotizado en 125 al
1º de enero de 1962. Hallar por el método de promedios la tasa de redituabilidad
suponiendo que es comprado en la fecha mencionada.
En la fecha de compra, el valor en libros del bono es $1250 y en la fecha de redención

será $1100. El valor promedio en libros es
½ (1250 + 1100) $1175

Si se conserva el bono hasta su redención, el comprador recibirá 51 pagos de intereses
de $30 cada uno, además del valor de redención de $1100, esto es $2630. Puesto que
paga $1250 por el bono, el producto total durante los 51 periodos de interés es 2630 –
1250 = $1380 y el producto promedio por periodo es 1380/51 = $27,06. La tasa por
periodo de interés es 27,06/1175 = 0,023, aproximadamente, y la tasa de redituabilidad es
4,6 convertible semestralmente.
(b) Método de interpolación. Este método requiere del precio de compra del bono sobre la
base de dos tasas de intereses, en tal forma que un precio sea menor y otro mayor al
precio cotizado. En esencia, estamos calculando las cifras que necesitamos,
correspondientes a las tablas mencionadas para bonos.
Ejemplo 7.
Aproximar mediante el método de interpolación la tasa de redituabilidad del bono del

ejemplo 8. En el ejemplo 8 se obtuvo mediante una simple aproximación la tasa de 4,6%
convertible semestralmente. Las tablas V y XIII nos permiten hallar rápidamente los
precios de compra que reditúen 4% y 5% convertible semestralmente al 1º de enero de
1962, designadas por:
En el ejemplo 9 la interpolación ha estado entre las tasas de 2% y 2 ½ % disponibles en

nuestras tablas. Estrechando estos límites, obtendríamos mayor precisión, el problemas
es que debemos utilizar logaritmos en los cálculos.
TASA DE RENTABILIDAD.
La Tasa de Rentabilidad o de Retorno (TRE) de un activo se define como el cociente
entre los intereses recibidos y el capital invertido. La tasa se expresa normalmente en
porcentaje y, como es lógico, es fundamental especificar el plazo de tiempo al que va
referida. Así, por ejemplo, si hemos invertido 1.500 € en un activo financiero que nos
reporta unos intereses dentro de un año de 300 €, la rentabilidad anual sería:
EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO.
El problema tratado anteriormente es hallar el precio que el comprador debe pagar por un
bono dado, con el objeto que gane la tasa de interés deseada. En cierto sentido, el
problema es un tanto académico, ya que no hay seguridad que un bono en particular
pueda ser comprado al precio requerido. Mas importante es el problema de determinar la
tasa de interés que obtendrá el comprador, si compra un bono determinado a un precio
dado y lo conserva hasta su redención.
Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio cotizado”, expresado como un

porcentaje del valor nominal, sin embargo el termino por ciento se omite. Por ejemplo, un
bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 971. El precio cotizado
generalmente no es el precio que paga el comprador. El precio cotizado es lo que
precisamente se ha designado como valor en libros. Será el precio de compra únicamente
si ha sido cotizado en una fecha de pago de intereses. El precio de compra (más conocido
como precio neto) es el precio cotizado mas el interés redituable.
Un bono de $1000, 3 ½ %, MS se redimirá el 1º de marzo de 1975. Hallar el precio neto al

14 de junio de 1962, si ha sido cotizado a 95 ¾ .
El precio cotizado es $957,50; el pago de intereses es $17,50. Del 1º de marzo de 1962 al

14 de junio de 1962 son 105 días, el interés redituable es 105/180 (17,50) = $10,21. El
precio neto es 957,40 + 10,21 = $967,71.
Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable, el precio
cotizado también se conoce como precio de intereses.
BONO CON FECHA DE REDENCION.

Con el objeto de estar en posición de tomar ventaja de cualquier futura baja en la tasa de
interés, en ocasionas las compañías emiten bonos previendo que pueden ser redimidos
antes de la fecha normal de redención. Al calcular el precio que se está dispuesto a pagar
por ellos, el inversionista debe suponer la fecha de redención más desfavorable para él.
De esta forma tendrá la certeza de obtener la redituabilidad deseada y quizá más.
Ejemplo 8.
Un bono de $1000, 6%, MS, será redimido a la para el 1º de septiembre de 1988, sin
embargo, puede ser redimido a la par el 1º de septiembre de 1973 o en cualquier fecha de
pago de intereses posterior. Hallar, (a) el precio de compra y el valor en libros al 12 de
mayo de 1962, que reditue por lo menos 4% convertible semestralmente, (b) la utilidad del
inversionista, (c) la tasa de redituabilidad si el bono es redimido el 1º de septiembre de
1980.
En este caso la tasa estipulada en el bono excede la tasa de redituabilidad deseada por lo
que el bono será comprado a premio. El valor en libros del bono se reduce gradualmente
hasta que alcance el valor nominal en la fecha de redención (véase ejercicio 5). El
inversionista debe calcular el precio con la suposición de que el bono será redimido en la
fecha más próxima (1º de septiembre de 1973) ya que de otra forma el valor en libros
seria mayor que el valor de redención, si el bono se redimiera en dicha fecha.
(a) Al 1º de marzo de 1962, el precio de compra que reditua 4% convertible

semestralmente es:
Y al 12 de mayo de 1962 es:
El valor en libros al 12 de mayo de 1962 es 1192,39 – 30 (9/6) = $1180,39.
(b) El valor en libros al 1º de septiembre de 1973 debe haber llegado a $1000. En

cada fecha posterior de pago de intereses, el inversionista recibirá 30 – 20 = $10
en exceso de la recuperación esperada. Al 1º de septiembre de 1980, el monto de
dichos excesos es de 10 s 14|.2 = $159.74
(c) Tomando como fecha de redención el 1º de septiembre de 1980, el precio de
compra del bono que reditua 5% convertible semestralmente es
Y para que reditue 4% convertible semestralmente seria
Los valores en libros respectivos seria

Por lo cual
Y la tasa de redituabilidad requerida es 4,55% convertible semestralmente.
BONO DE ANUALIDAD.
Un bono de anualidad de valor nominal F, es un contrato para el pago de una anualidad
cuyo valor presente a la tasa del bono es F.
Ejemplo 9.
Un bono de anualidad a 15 años por $20, 000, con intereses al 6% convertible

semestralmente será liquidado en 30 pagos semestrales iguales, el primero con
vencimiento en 6 meses. Hallar el precio de compra al termino del 5º año, para ganar el
5% convertible semestralmente.
El comprador esta comprando el derecho de cobrar los restantes 20 pagos, el primero de

los cuales vence en 6 meses. Por lo tanto el precio que redituara 5% convertible
semestralmente es
CONCLUSION.
Como vimos, un bono no es más que un préstamo. Es un préstamo otorgado a una
empresa o gobierno con el dinero de uno o varios prestamistas. El “emisor” del bono (la
empresa o gobierno que recibe el préstamo) adquiere el compromiso de pagar a sus
“inversores” una tasa de interés por prestarle el dinero (compensación por posponer la
posibilidad de un consumo presente) y a rembolsar el valor nominal del bono a su
vencimiento.
En términos generales, cada préstamo o «emisión» de un bono tiene ciertas y particulares

condiciones detalladas en el momento de la emisión. Estas condiciones son: el valor
nominal del bono, su tasa de interés o cupón, el período de pago de intereses del bono y
su fecha de vencimiento.
Algunas emisiones de bonos llevan incorporadas opciones que permiten amortizaciones

anticipadas, conversión en acciones o en otros activos financieros, etc.

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Introducción.

El objetivo del siguiente trabajo de investigación, es conocer el concepto de bono, así

Al momento de realizar la búsqueda de información se tuvo como limitante la poca

La descripción completa de un bono comprende:

1) Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un múltiplo de $100.

Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990 a 102, estipula:

a) El pago de $500 (1,02) =$510 el 1º de octubre de 1990

PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES.

Un inversionista que compro el 1º de octubre de 1960 un bono de $1000, 5%, EJ,

a) $1000 el 1º de julio de 1988.

Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a su valor

Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de 1997, es comprado

a) $1000 el 1º de septiembre de 1997.

FORMULAS. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea r la tasa

El valor en libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono en dicha

Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par del 1º de enero de 1967 es comprado el 1º

El precio de compra del bono es

En la fecha de compra, el valor en libros del bono es $1250 y en la fecha de redención

½ (1250 + 1100) $1175

Aproximar mediante el método de interpolación la tasa de redituabilidad del bono del

En el ejemplo 9 la interpolación ha estado entre las tasas de 2% y 2 ½ % disponibles en

Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio cotizado”, expresado como un

Un bono de $1000, 3 ½ %, MS se redimirá el 1º de marzo de 1975. Hallar el precio neto al

El precio cotizado es $957,50; el pago de intereses es $17,50. Del 1º de marzo de 1962 al

BONO CON FECHA DE REDENCION.

(a) Al 1º de marzo de 1962, el precio de compra que reditua 4% convertible

Y al 12 de mayo de 1962 es:

El valor en libros al 12 de mayo de 1962 es 1192,39 – 30 (9/6) = $1180,39.

(b) El valor en libros al 1º de septiembre de 1973 debe haber llegado a $1000. En

Y para que reditue 4% convertible semestralmente seria

Los valores en libros respectivos seria

Y la tasa de redituabilidad requerida es 4,55% convertible semestralmente.

Un bono de anualidad a 15 años por $20, 000, con intereses al 6% convertible

El comprador esta comprando el derecho de cobrar los restantes 20 pagos, el primero de

En términos generales, cada préstamo o «emisión» de un bono tiene ciertas y particulares

Algunas emisiones de bonos llevan incorporadas opciones que permiten amortizaciones

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