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SERIES

"n" tér mi nos


CONCEPTO Serie: a1  a2  a3  ...  a(n 1)  an

En donde:
Es una continuación a1 = Primer término
ordenada de términos, que a2 = Segundo término
guardan una determinada :
regla de formación. :
an = Enésimo término
Razón (r)
r = a2 – a1
EJEMPLOS: r = a3 – a2
r = an – a(n-1)

Sucesión: 4 + 8; 12 ; 16

 4
812 16 
 40
 TIPOS DE SERIE ARITMÉTICA
seri e valor de
la seri e
a) Serie aritmética creciente
Cuando la razón resulta ser
Sucesión: positiva, en este caso cada
 14
 16
 64
 256
 341
 término resulta ser mayor que el
seri e valor de término anterior.
la seri e

Ej: 3 + 5 + 7 + 11 = 26

+2 +2 +2

TIPOS DE SERIE

b) Serie aritmética decreciente

1. SERIE ARITMÉTICA: Cuando la razón resulta ser
negativa; en este caso cada
término resulta ser menor que el
CONCEPTO término anterior.

Es una continuación ordenada de Ej: 30 + 25 + 20 + 15 = 90

números, en la cual se cumple que cada
-5 -5 -5
término es igual a su anterior
aumentado en una cantidad constante
llamada razón.
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2. SERIE GEOMÉTRICA:
En el cerebro existen 100 millones de neuronas.
Y en el cerebro existen 100 trillones de interconexiones en serie.
CONCEPTO

Es una continuación ordenada de

números en la cual se cumple que
Sea la siguiente serie aritmética: cada término se obtiene
a1 + a2 + a3 + … + a(n-1) + an multiplicando al anterior una cantidad
constante llamada razón.
a1 = Primer término
an = Enésimo término
n = Número términos "n" tér mi nos
  
r = razón Serie: a1  a2  a3  ...  an
a1 = Primer término
a2 = Segundo término
FORMULAS: :
:
Para calcular el término enésimo (an) an= Enésimo término

an = a1 + (n - 1)r Razón (r)

a
r= 2
a1
Para calcular el número de términos (n) a3
r=
a2
an  a1 :
n= 1
r :
an
r=
Para calcular la suma de términos (S) an 1

 a  an 
SA =  1 n
 2 
TIPOS DE SERIE GEOMÉTRICA:

Para calcular el término central (TC)

a) Serie geométrica creciente
Cuando la razón es mayor que la
a1  an
TC = unidad.
2

Ej: 3 + 9 + 27 + 81 + 243

Nota: “n” debe ser impar. x3 x3 x3 x3

b) Serie geométrica decreciente

Cuando la razón es menor que uno
pero mayor que cero.

Ej: 1000 + 500 + 250 + 125

x1 x1 x1
2 2 2
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Sea la siguiente serie geométrica:

a1 + a2 + a3 + a4 + … + an Ej:
S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 20
a1 = Primer término S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2 (
10)
an = Enésimo término n

n = Número términos S=( ) [( ) + 1]

r = razón
S=

FORMULAS:

3. Suma de los “n” primeros números impares:

Para calcular el término enésimo (an)

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n -1) = n2
an = a1 . rn-1

n : número de términos
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 61
Para calcular la suma de términos (S)
S = 1 + 3 + 5 + 7 + … 2(
31)  1
n
a1 (rn  1) S=( 2
) =
S=
r 1

4. Suma de los “n” primeros números

Para calcular el término central (TC) cuadrados perfectos.

TC = a1 x an n(n  1)(2n  1)
12 + 22 + 32 + … + n2 =
6
Nota: “n” debe ser impar
n : número de términos
Ej:
PRINCIPALES SERIES NOTABLES S = 1 + 4 + 9 +16 + … + 625
S = 12 + 22 + 32 + 42 + … + 252
( )(  ) 2 ( )  1
1. Suma de los “n” primeros números S=
6
naturales:

S=
n(n  1)
1+2+3+4+…+n=
2

5. Suma de los “n”

n : número de términos
Primeros cubos perfectos

Ej:
2
S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 20  n(n  1) 
1 2 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + … + n3 =  
 2 
( ) ( )  1
S= =
2 n : número de términos
S = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + … + 1000
S = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + … + 103
2
2. Suma de los “n” primeros números pares: ( )  ( )  1 
S=  
 2 
2 + 4 + 6 + 8 + … 2n = n(n+1)
S=
n : número de términos
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8. Hallar “n” si:

49 + 64 + 81 + … + n
La suma de los términos de la sucesión es 433.

1. Calcular: a) 529 b) 400 c) 576

S = 0,1 + 0,3 + 0,5 + … + 8,7 d) 676 e) 900

a) 147, 5 b) 193,6 c) 191,2 9. Con 406 canicas, un niño formó un triángulo.

d) 183,4 e) 154,3 ¿Cuántas bolas formaran la base?

2. Calcular: a) 18 b) 24 c) 28
S = 0,01 + 0,04 + 0,09 + … + 16 d) 32 e) 40

a) 136,2 b) 175,5 c) 181,8 10. La suma de los terceros términos de dos P.A.
d) 221,4 e) 164,4 cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Hallar
la suma de los 10 primeros términos de una nueva
3. Hallar el valor de “x” en: P.A. que se forma al sumar términos
1 + 3 + 5 + … + (2x - 13) = 324 correspondientes de las dos P.A. antes
mencionadas sabiendo además que la suma de los
a) 17 b) 19 c) 21 términos anteriores al primero de las primeras
d) 24 e) 32 P.A. es -3.

4. Hallar: a) 550 b) 620 c) 580

S = (13 + 12) + (23 + 12) + (33 + 12) + … + (93 + 12) d) 630 e) 610

a) 2312 b) 2415 c) 2133 11. Hallar el total de palitos que forman la pirámide.
d) 2416 e) 28158

5. Hallar “x”
29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525

a) 123 b) 119 c) 117

d) 121 e) 125
1 2 3 4 87 88 89 90
6. Dada:
Sn = 1 + 2 + 3 + … + (n + 1) a) 8099 b) 4364 c) 9456
Hallar: d) 3948 e) 14350
S = S1 + S2 + S3 + … + S30
12. Richy compra el día de hoy 19 cajas de manzanas
a) 2680 b) 5310 c) 5480 y ordena que cada día que transcurra se compre
d) 5430 e) 5455 una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas
compró en total, si el penúltimo día se compraron
7. Hallar el resultado de efectuar la serie: 43 cajas?
S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + …
Sabiendo que tiene 100 sumandos. a) 413 b) 814 c) 317
d) 819 e) 563
a) 6675 b) 6645 c) 6895
d) 6915 e) 6924
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13. En el siguiente arreglo numérico, hallar la suma de 15. Alex le dijo a su hija Lady: “Te voy a pagar una
los términos de la fila 20. suma por el primer triángulo que encuentres de la
F1 : 1 siguiente figura, y luego te iré duplicando dicha
F2 : 3 5 suma por cada nuevo triángulo que encuentres”. Si
F3 : 7 9 11 Alex le pagó 4092 soles en total. ¿Cuánto le pagó
F4 : 13 15 17 19 por el cuarto triángulo?
F5 : 21 23 25 27 29
a) 512
a) 7000 b) 8000 c) 1250 b) 216
d) 4320 e) 3560 c) 16
d) 32
14. Calcular: e) 64
S = 1 + 3 + 6 + 12 + … + 1536

a) 3071 b) 3074 c) 3070

d) 3064 e) 3069

Hallar:
1 1
S=   ...
2 6
Si la serie tiene 30 términos

a) 1/30 b) 1/31 c) 30/31

d) 2/31 e) 32/31

d) -910 e) -790
3. Hallar: a+b+c+x
Si se cumple que:
x1x  x2x  x3x  ...  x9x  abc4
1. Calcular:
S = 12 + 32 + 52 + … + 192
a) 17 b) 23 c) 14

a) 1260 b) 1330 c) 1680 d) 20 e) 24

d) 1335 e) 1440
4. De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final.

2. Hallar: Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas

S = 1 – 4 + 9 – 16 + 25 - …. arrancadas) se han usado 365 tipos. Hallar la

cantidad total de hojas de dicho libro.

a) – 930 b) -740 c) -820

a) 120 b) 110 c) 210
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d) 240 e) 180

5. Cuando la suma de los 10 primeros términos de x sumandos


una P.A. es igual a 4 veces la suma de los cinco 10. Dada: f(x) = 102  104  106  ...
primeros, ¿Cuál es la razón geométrica entre el Calcular:
primer término y la diferencia común? S = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(49)

a) 2/3 b) 1/5 c) 1/2 a) 134 560 b) 164 150 c) 136 420

d) 2/7 e) 5/9 d) 230 400 e) 143 250

6. Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un 11. Calcular el valor de “S”:

espacio abierto, formando así el primero lecho S = 9 + 12 + 17 + 24 + … + 177
horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo
debe contener un poste menos que el precedente a) 814 b) 910 c) 873
para no derrumbarse. ¿Cuántos lechos pueden d) 913 e) 923
formarse?
12. Calcular S en:
a) 81 b) 27 c) 35 S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + … (20 sumandos)
d) 44 e) 20
a) 15400 b) 24350 c) 17200
7. Se tiene la siguiente sucesión: d) 3540 e) 44320
1, 5, 15, 34, 65, 111…
Hallar: 13. Calcular la suma de la sucesión:
a : El término de número ordinal 20. 3; 14; 39; 84; … ; 3615
b : La suma de los 20 primeros términos.
a) 12300 b) 14320 c) 15480
a) 4010 ; 22125 d) 7050 ; 180 d) 15760 e) 17380
b) 315 ; 1510 e) 3290 ; 35710
c) 2050 ; 21215 14. El siguiente arreglo tiene 20 filas. ¿Cuánto
sumaran todos sus términos?
8. Un profesor se dio cuenta que a medida que
transcurría el ciclo, el gastaba mayor número de 2
tizas por semana. Así la primera semana gasto 11 2 2
tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así 2 4 2
sucesivamente. Si el ciclo duró 38 semanas; y 2 6 6 2
cada caja de tizas contiene 15 tizas. ¿Cuántas 2 8 12 8 2
abrió el profesor durante el ciclo para completar
su dictado?
a) 221 – 1 b) 219 – 1 c) 221 – 1
18 20
a) 121 b) 122 c) 123 d) 2 –1 e) 2 –1
d) 120 e) 124
15. El costo de una yegua se vincula al número de
9. Las edades de cinco personas están en progresión clavos que lleva en las herraduras, cotizando el
geométrica; siendo 2 20
el producto de las edades. primero clavo en 3 dólares, el segundo clavo en 9
¿Cuál es la edad de la persona intermedia? dólares, el tercer clavo en 27 dólares y así
sucesivamente siempre triplicando hasta el último
a) 16 b) 8 c) 32 clavo. Determine el costo de la yegua, si en total
d) 64 e) 4 la yegua lleva 8 clavos.

a) $ 9 840 b) 3 280 c) 29 520

d) 12 680 e) 9 060