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Clase Sucesiones
Clase Sucesiones
Clase Sucesiones
1.1 Sucesión.
1.1 Sucesión.
1.2 Convergencia.
1.1 Sucesión.
1.2 Convergencia.
1.3 Ejercicios.
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido:
a1 , a2 , ..., an , ...
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido:
a1 , a2 , ..., an , ...
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido:
a1 , a2 , ..., an , ...
Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido:
a1 , a2 , ..., an , ...
∞
(−1)n (n + 1) (−1)n (n + 1) 2 3 (−1)n (n + 1)
an = − , , ..., , ...
3n 3n 3 9 3n
2
n=1
√ √ √ √ √
3 { n − 3}∞ 3 an = n − 3, n ≥ 3 {0, 1, 2, 3, ..., n − 3, ...}
Ejemplo
Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión
3 4 5 6 7
,− , ,− , , ...
5 25 125 625 3125
a1 = 2, an+1 = 2 + an , para n ≥ 1
a1 = 2, an+1 = 2 + an , para n ≥ 1
a1 = 2, an+1 = 2 + an , para n ≥ 1
Definición
Sean X = (xn ), Y = (yn ) dos sucesiones en R y sea α ∈ R. Se define:
1 αX como la sucesión (αxn ).
2 X + Y como la sucesión (xn + yn ).
3 XY como la sucesión (xn yn ).
X xn
4 Si yn 6= 0 entonces definimos como la sucesión .
Y yn
Definición
Una sucesión (xn ) se dice:
Definición
Una sucesión (xn ) se dice:
1 Acotada superiormente, si existe un M ∈ R tal que xn ≤ M para todo n.
2 Acotada inferiormente, si existe un m ∈ R tal que m ≤ xn para todo n.
3 Acotada, si es acotada superior e inferiormente, esto equivale a encontrar un K > 0
tal que |xn | ≤ K para todo n.
Definición
Una sucesión (xn ) se dice:
1 Acotada superiormente, si existe un M ∈ R tal que xn ≤ M para todo n.
2 Acotada inferiormente, si existe un m ∈ R tal que m ≤ xn para todo n.
3 Acotada, si es acotada superior e inferiormente, esto equivale a encontrar un K > 0
tal que |xn | ≤ K para todo n.
Ejemplo
{(−1)n }n∈N es una sucesión acotada, a saber, |xn | = |(−1)n | = 1. Luego xn ∈ [−1, 1]
para cada n ∈ N.
Ejemplo
1 {(−1)n }n∈N no es una sucesión monótona.
Ejemplo
1 {(−1)n }n∈N no es una sucesión monótona.
2 (1, 2, 3, 4, ...) es una sucesión estrictamente creciente.
Ejemplo
1 {(−1)n }n∈N no es una sucesión monótona.
2 (1, 2, 3, 4, ...) es una sucesión estrictamente creciente.
3 (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ...) es una sucesión creciente.
Definición
Una sucesión {xn } tiene el límite L y lo expresamos como
lim xn = L o xn → L cuando n → ∞
n→∞
si podemos hacer que los términos xn se aproximen a L tanto como se quiera tomando n
lo suficientemente grande. Si lim xn existe, se dice que la sucesión converge (o que es
n→∞
convergente). De lo contrario, se dice que la sucesión diverge (o es divergente).
Definición
Una sucesión {xn } tiene el límite L y lo expresamos como
lim xn = L o xn → L cuando n → ∞
n→∞
si podemos hacer que los términos xn se aproximen a L tanto como se quiera tomando n
lo suficientemente grande. Si lim xn existe, se dice que la sucesión converge (o que es
n→∞
convergente). De lo contrario, se dice que la sucesión diverge (o es divergente).
Teorema
(Importante) Si lim f (x) = L y f (n) = xn cuando n es un entero, entonces lim xn = L.
x→∞ n→∞
Teorema
(Importante) Si lim f (x) = L y f (n) = xn cuando n es un entero, entonces lim xn = L.
x→∞ n→∞
Ejemplo
1 1
Sea f (x) = , luego lim r = 0 cuando r > 0, entonces, por el teorema anterior
xr x→∞ x
Teorema
(Importante) Si lim f (x) = L y f (n) = xn cuando n es un entero, entonces lim xn = L.
x→∞ n→∞
Ejemplo
1 1
Sea f (x) = , luego lim r = 0 cuando r > 0, entonces, por el teorema anterior
xr x→∞ x
1
= 0 si r > 0
nr
lim
n→∞
Observación
Si xn es muy grande cuando n es muy grande, usamos la notación lim xn = ∞.
n→∞
Teorema
Si lim |xn | = 0, entonces lim xn = 0.
n→∞ n→∞