PROBLEMAS RESUELTOS DE

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ALGUNOS PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON PLANTEAMIENTOS

EN ESTADÍSTICA

1.- Leer cuidadosamente el enunciado del problema.

2.- Identificar el o los objetivos (para dar respuesta a las preguntas)

3.- Identificar la información relevante que se entrega en el enunciado del

problema (fuente de información).

4.- Identificar los conceptos y técnicas (teoría) que se aplicarán para resolver
el problema (vistos en clase)

5.- Relacionar la información (3), conceptos y Técnicas (4). Luego elaborar y

ejecutar algoritmo (procesamiento)

6.- Obtención de resultados e interpretaciones.

Nota: Los problemas que se entregan en este compendio, se recogieron de varios

libros de estadística y de otros documentos académicos elaborados en la UDP..

1
1.- Identifique la unidad estadística, la característica en estudio, el tipo de
característica y el subtipo, para los siguientes casos:

1.- Clasificación de los trabajadores, según especialidad

2.- Clasificación de las exportaciones, según país de destino.
3.- Número agentes vendedores, según región que se visitan.
4.- Número de jubilados, según monto de jubilación.
5.- Número de turistas, según gasto total efectuado en Chile.
6.- Número de usuarios según tipo de transporte usado para llegar a cierto
destino.
7.- Número de hogares, según cantidad de integrantes que lo conforman en la
provincia de Petorca.

Caso Unidad Característica Tipo Subtipo

1 trabajador especialidad cualitativa nominal
2 exportación País de destino cualitativa nominal
3
4 jubilado Monto de jubilación cuantitativa continua
5
6
7 hogar Cantidad de cuantitativa discreta
integrantes

2.- De un grupo de pequeñas empresas, se sabe que ninguna tiene más de siete
trabajadores o menos de cinco, que la mayoría tiene cinco trabajadores, pero que el 25%
tiene 6 trabajadores y que una de cada 10 empresas tiene 7 trabajadores ¿ Cuál es el
número de trabajadores por empresa ?

Solución:

Xi n1 hi⋅100 x i⋅hi

5 65,0 3,25

6 25,0 1,50

7 10,0 0,7

100,0 5,45

x : Número de trabajadores

2
 ni : Número de empresas
hi⋅100 : Porcentaje de empresas

x̄ = 5,45 Trabajadores por empresa

3.- A continuación se entrega la cantidad de camisas que fueron demanda diariamente

durante el mes de Febrero, en cierto negocio ubicado en el centro de Santiago.

5, 7, 8, 6, 3, 7, 7, 6, 5, 4, 6, 7, 8, 9, 9, 7, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 6, 7, 8,

7, 6, 9, 6, 7.

A base de estos datos:

a) Determine el promedio de camisas que fueron vendidas en el 50% de los días que
hubo mayor demanda.

Unidad: día.

X : Número de camisas que se demandan

Ordenar los datos en forma ascendente o descendente

3455556666666677777777788888999

31
=15 , 5≈16
2

123
x̄= =7 , 69
16

b) Si el precio unitario por camisa alcanza a $ 9.000 y se espera que la demanda

para el mes de Marzo se incremente en un 20%, ¿Cuál será el monto total que se
esperaría obtener para el mes de Marzo?

M ( k⋅x )=k⋅M ( x )

∑ x i=n⏟
M ( x ) /k
Total

n
k ∑ X i=knM ( x )
i =1

3
 x ni x i ni

3 1 3

4 1 4

5 4 20

6 8 48

7 9 63

8 5 40

9 3 27

31 205

Marzo

205. 1,2 =246 Demanda

246. 9000=2.214.000 pesos, es el monto total esperado para marzo

4.- La inversión real anual ( en cien miles de dólares) en el año 2014, realizada
por un grupo de empresas de cierto sector económico, se detalla a continuación:

10 12 8 40 6 8 10 30 2 45 6 14
46 20 25 28 30 26 30 14 6 10 18 17
13 17 21 27 26 48 16 7 55 19 27 22
0 14 6 8 9 11 13 15 18 20 30 60
12 15 5 5 6 38 27 12 15 36 39 36

4
a) Construir una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos de clases
de igual amplitud.

Y: Inversión real anual

Unidad: empresa.

Valor Máx de Y .−Valor Mín de Y 60−0

N ° de intervalos
= 6 =10=C i

Y 'i−1−Y 'i tarjas ni hi ↑Ni ↓Ni ↑ Hi ↓ Hi Yi

0 a 10 //////////////// 17 0,283 17 60 0,283 5
10,1 a 20 //////////////////// 20 0,333 37 43 0,616 15
20,1 a 30 ///////////// 13 0,217 50 23 0,833 25
30,1 a 40 ///// 5 0,083 55 10 0,916 35
40,1 a 50 /// 3 0,05 58 5 0,966 45
50,1 a 60 // 2 0,033 60 2 1,00 55
Totales 60 1,00

b) Interprete las siguientes frecuencias:

n2 , h3 ,↑ N 3 y ↓ H 3

n2 : 20 empresas del sector invirtieron entre más a un millón de dólares y a

lo más 2 millones de dólares.

h3∗100 : El 21,7% de las empresas invirtió entre más de dos millones de

dólares y a lo más 3 millones de dólares.

↑ N 3: 50 empresas invirtieron a lo más 3 millones de dólares.

↓ H 3∗100 : el 38,3% de las empresas del sector efectuaron inversión

superior a dos millones de dólares, pero como máximo de 6 millones de
dólares.

c) ¿Qué representa la marca de clases?

El promedio de cada intervalo de clase. Por ejemplo:

10+20
=15 es la marca de clase del segundo intervalo de clase.
2

d) Cuál es la representación gráfica más adecuada para este caso:

5
 i) El diagrama de barra
ii) El aerograma
iii) El histograma de frecuencias

El tercer gráfico es el más adecuado, ya que la variable es continua.

5.- Completar las siguientes tablas de distribución de frecuencias:

a)

yi ni hi Ni Hi yi *hi

0 2

3 10

6 16

9 8

12 4

b)

yi ni hi Ni Hi yi *hi

5 0.05

10 0.10

15 0.20

20 0.25

25 0.30

30 0.10

 n = 200

c)

6
 yi ni hi Ni Hi yi *hi

1 30

2 0.08

3 0.20

4 0.30

5 0.12

6 750 1.00

6.- Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique su

respuesta.

a) Los siguientes datos son consistentes:

m=6 h1 = 0,2 h4 = 0,2

H2 = 0,6 H3 + H4 = 1,9

y i 1  y i hi iˆH 2
y 0'  y1' 0,2
y1'  y 2' 0,4 0,6
y 2'  y 3'
y 3'  y 4' 0,2
y 4'  y 5'
y 5'  y 6'
1,0

7
 ↑H3 + ↑ H4 = 1,9

( h1 +h2 + h3 ) + ( h1 + h2 + h3 + h4 )=1,9
( 0,2+0,4 +h3 ) + ( 0,2+ 0,4+h 2 +0,2 ) =1,9
0,6+h 3 +0,8+h3 =1,9

2 h3 =1,9−1,4

0,5
h3 = =0 , 25
2
No hay consistencia, ya que

h1 +h2 +h 3 +h 4 =0,2+0,4 +0 , 25+0,2=1 , 05

La suma es mayor a 1.

b) Si se multiplica por ¾ la altura de cada alumno del curso y al nuevo valor

se le resta 1/1000, se obtiene una altura media que podría representar el
promedio de las estaturas de los alumnos de enseñanza media de la
Facultad. Se sabe que el promedio de los primeros es de 1,7 (mts.) y de
los segundos es mayor o igual a 1,4 (mts.).

X: estatura
3
x−
4 1000
1
⇒M
3
(
x−
4 1000 4
1 3
)
= M ( x )−
1
1000
3 1
×1,7− =1 ,274 ( mts )
4 1000

No hay consistencia, ya que el promedio de los segundos sería inferior a

1,4 (mts).

7.- Dadas la siguiente distribución:

8
 yi ni

5 1

6 9

7 10

8 15

9 12

10 6

11 2

a) Representar gráficamente la distribución

9
b) Determine e interprete P20 ; Q3 ; D7 y P82 sabiendo que la variable Y
representa el número de veces de idas al cine, efectuadas por un grupo
de alumnos durante el segundo semestre del año pasado.

yi ni ↑Ni ↓Ni
5 1 1 55
6 9 10 54
7 10 20 45
8 15 35 35
9 12 47 20
10 6 53 8
11 2 55 2

Ubicación de los percentiles, usando las frecuencias absolutas acumuladas

P20 : 55*0,2 = 11 lugar ascendiendo

55*0,8 = 44 lugar descendiendo

Al desagregar los datos, de acuerdo al orden ascendente, en el lugar 11 hay un 7.

Mientras que descendiendo en los valores de la variable, en el lugar 44 hay
también un 7.
Por lo tanto el percentil 20 es igual a 7. Luego, se puede señalar que el 20% de los
alumnos fueron a lo más 7 veces al cine en el segundo semestre, mientras que el
80% restante fue a lo menos 7 veces al cine en dicho semestre.

Q 3 : 55*0,75 = 41,25 ≈ 42 lugar ascendiendo

55*0,25 = 13,75 ≈ 14 lugar descendiendo

Al desagregar los datos, de acuerdo al orden ascendente, en el lugar 42 hay un 9.

Mientras que descendiendo en los valores de la variable, en el lugar 14 hay
también un 9.
Por lo tanto el cuartil 3 es igual a 9. Luego, se puede señalar que el 75% de los
alumnos fueron a lo más 9 veces al cine en el segundo semestre, mientras que el
25% restante fue a lo menos 9 veces al cine en dicho semestre.

Ud., continúe con el desarrollo del ejercicio.

8.- Se realizó un experimento relativo a la flexión de vigas de concreto reforzado,

en total 15. Construidas bajo las mismas especificaciones y de la misma mezcla
de concreto.

10
Para cada viga se registró la carga ( en libras) bajo la cual se produce la primera
grieta (X) y la carga para la ruptura (Y).

Número de la X Y
viga (en libras) ( en libras)
1 10,350 10,350
2 8,450 9,300
3 7,200 9,600
4 5,100 10,300
5 6,500 9,400
6 10,600 10,600
7 6,000 10,100
8 6,000 9,900
9 9,500 9,500
10 6,500 10,200
11 9,300 9,300
12 6,000 9,550
13 6,000 9,550
14 5,800 10,500

a) Identifique la unidad en estudio y las variables.

Unidad en estudio: viga de concreto reforzado

Variable 1: Carga bajo la cual se produce la primera grieta.
Variable 2: Carga para la ruptura.

b) Determine la media aritmética para cada variable e interprete los resultados.

109800
x= =7.320libras
15

148350
y= 9.890libras
15

c) Suponga que la medición que se realizó en la carga a la ruptura, estuvo

sobrevalorada en 100 libras, ¿Cuál sería la verdadera media aritmética de la
carga a la ruptura?

Y-100: valor verdadero de la carga para la ruptura.

Luego, la verdadera media es:

11
 M( Y-100) = M(y) - 100 = 9.890 – 100 = 9.790 libras
d) Determine la carga registrada máxima para la cual se produce la primera
grieta del 60% de las vigas con menor registro de carga.

Ordenar las vigas, según la carga que produce la primera grieta ( de menor a
mayor).

Ubicar 15*0,6 = 9 ( noveno lugar, ascendiendo)

15*0,4 = 6 ( sexto lugar, descendiendo)

5.100 5.800 6000 6000 6000 6000 6500 6500 6500 7.200 8.450
9.300 9.500 10.350 10.600

Valor máximo: 6.500 libras.

e) ¿En cuál de los dos casos se observa menor variabilidad? ( utilice el indicador
adecuado para comparar).

Como las medias aritméticas son distintas, se usará el coeficiente de

variabilidad:

1.753,644
CV x = =0,2396
7.320

439,394
CV y = =0,0444
9.890

Por lo tanto, la carga para ruptura tiene menor variabilidad que la carga que
produce la primera grieta.

9.- En la siguiente tabla se presenta la distribución de accionistas, en términos

porcentuales, de una gran empresa, clasificados por ingreso anual ( en miles de
dólares).

12
 Porcentaje
Ingreso anual de los
de
accionistas
accionistas
0,00 - 1.000 9
1.000 - 2.000 14
2.000 - 3.000 15
3.000 - 4.000 25
4.000 - 5.000 18
5.000 - 6.000 12
6.000 - 7.000 7
100

a) Identifique la unidad en estudio, la característica y el tipo de característica.

Unidad : accionista.

Característica: ingreso anual ( en miles de dólares).

Tipo: variable continua.

b) Determine la media aritmética, la varianza y la desviación estándar.

Porcentaje
Ingreso anual de los Marca de
de hi Yini
accionistas clase Yi
accionistas
0,00 - 1.000 9 500 0.09 45 8584900 772641
1.000 - 2.000 14 1500 0.14 210 3724900 521486
2.000 - 3.000 15 2500 0.15 375 864900 129735
3.000 - 4.000 25 3500 0.25 875 4900 1225
4.000 - 5.000 18 4500 0.18 810 1144900 206082
5.000 - 6.000 12 5500 0.12 660 4284900 514188
6.000 - 7.000 7 6500 0.07 455 9424900 659743
100 3,430 2,805,100

Y = 3.430 miles de dólares

V(Y) = 2.805.100 √ V (Y )=σ =√ 2.805.100 = 1.674,843 miles de dólares.

c) Determine la mediana

13
 Para este caso se usará la siguiente fórmula:

1
−H k−1
' 2
Me=Y k −1 +c k ( )
hk

Ubicación del Intervalo de clase donde está la mediana:

3.000 a 4.000

0,5−0,38
Me = 3.000 + 1000( 0,25
) = 3.480 miles de dólares

El 50% de los accionistas tiene un ingreso de a lo más 3.480.000 de

dólares y el 50% de los accionistas restantes tiene un ingreso de a lo menos dicho
monto.

d) Determine el porcentaje de accionistas que tienen un ingreso superior a los

4.350.000 de dólares

El ingreso está dentro del intervalo 4.000 - 5.000

( )
j
−0,63
100
4.350=4.000+ 1000
0,18

Resolviendo la ecuación

J = 69,3% y como se pide el porcentaje de accionistas que tiene un

ingreso superior a 4.350.000 dólares, entonces sería 100 – 69,3 = 30,7%.

Ud., continúe con el desarrollo del ejercicio.

14
10.- Suponga que Ud. está a cargo de una empresa agroindustrial y decide
cambiar la máquina que utiliza para envasar los productos del agro congelados y
cuyo peso neto es de 500 grs..
Después de haber acopiado una serie de información en el mercado, respecto
a máquinas disponibles que cumplen con especificaciones técnicas, se llega a que
sólo dos máquinas existen, una japonesa y la otra alemana, las que en cuanto a
condiciones económicas resultan ser muy similares, por lo cual se solicita una
demostración de ambas máquinas y cuyos resultados son lo siguientes:

Peso Neto Número de paquetes envasados

( en gramos) Máquina Japonesa Máquina Alemana
460 - 470 6 8
470 - 480 10 6
480 - 490 10 23
490 - 500 12 20
500 - 510 35 15
510 - 520 17 16
520 - 530 4 8
530 - 540 6 4

a) ¿Cuál de las dos máquinas elegiría comprar? Sí se debe tener en cuenta

que cuando el contenido neto, es inferior a un 5% que el declarado en el
envase, SERNAC le sacará una multa y cada vez que el contenido neto
supere el 5% al indicado en el envase, la empresa perderá dinero.
Justifique su respuesta usando los indicadores adecuados.

Se determinará las distribuciones de los paquetes envasados respecto al

peso para cada máquina, eliminado el 5% de los paquetes en cada
extremo. Para ellos obtendremos los percentiles 5 y 95.

Máquina Japonesa

P5=460+10 ( 5−0
6 )
=468,3 grs.

P95 =530+10 ( 95−94

6 )
=531,67

15
 Tramos Paquetes Yi
468,3 - 470 1 469.5
470 - 480 10 475
480 - 490 10 485
490 - 500 12 495
500 - 510 35 505
510 - 520 17 515
520 - 530 4 525
530 - 531,7 1 530.85
90

45070,35
Y = M ( Y )= =500,7817 gramos.
90

2 22588231,97 2
σ =V (Y )= −500,7817 =198,044195
90

14,0728
σ =√ 198,044195=14,0728 CV Japonesa = =0,0281017
500,7817

Máquina Alemana

P95=520+10 ( 95−88
8 )
=528,7

P5=460+10 ( 5−0
8 )
=466,25

44.794,825
Y = M ( Y )= = 497,7283 gramos
90

2 22.315.423,5 2
σ =V (Y )= −497,7283 =215,680
90

16
 14,686
σ =√ 215,680=14,686 CV Alemana= =0,029506
497,7283

La máquina japonesa está más cerca de cumplir con mayor exactitud el

peso de medio kilo, además tiene menor variabilidad en términos relativo.

Se recomienda obtener los cuartiles antes de concluir. (Ud. debe

obtenerlos).

b) Suponga que adquiere las dos máquinas, integrándola de inmediato al

proceso productivo. Si lo que le interesa es la variabilidad del contenido, en
conjunto. ¿cuál es la mayor fuente de variabilidad para el contenido neto de
los envases llenos?

Construir un cuadro con los indicadores pertinentes para obtener los

componentes de la varianza y la variabilidad total.

Máquina Número de Peso promedio Varianza del

paquetes por paquete peso.
envasados envasado
Japonesa 100 500,7 306,51
Alemana 100 497,8 326,16
Total 200

500,7∗100+ 497,8∗100
Media total o conjunta: X T = =499,25 gramos por
200
paquete.

Intervarianza
2 2
2 100∗(500,7−499,25) +100∗( 497,8−499,25)
σb = =2,1025
200

La variabilidad entre los pesos promedios de los paquetes de las

máquinas es de 2,1025 gramos al cuadrado.

Intravarianza

17
 2 306,51∗100+326,16∗100
σw = =316,335gramos al cuadrado.
200

La varianza total estará dada por

σ 2T =2,1025+316,335=318,4375

La componente que mayor aporta a la variabilidad total es la intravarianza ( la

variabilidad dentro de cada grupo) y que corresponde a un 99,34% de la total.

11.- En una fábrica de bebidas en base a jugos de fruta se emplean botellas de

250 centímetros cúbicos de capacidad que llevan un promedio correspondiente al
14% de dicha capacidad en contenido de jarabes de frutas, con un coeficiente de
variabilidad del 18%. Una encuesta de marketing detectó que las preferencias del
público bajaron respecto a la bebida y que la cuota de jarabe debe ser aumentada.

¿En cuánto debe aumentarse la cuota de jarabe de fruta de modo que el

coeficiente de variación disminuya a un 15%?

La variable en estudio X es la cantidad de jarabe de fruta que contiene una

botella, en cm3.

El contenido promedio de jarabe de fruta es de 250*0,14 = 35 centímetros

cúbicos. La variabilidad relativa alcanza a 0,18

σ =0,18∗35=6,3

Aplicando propiedades del coeficiente de variabilidad

El coeficiente de variabilidad va ha disminuir cuando a la variable se le sume

una constante. Así X+k.

σ
CV = , ya que al sumarle una constante a la variable, la variabilidad
M (X +k )
en términos absolutos se mantiene.

6,3 6,3
0,18= = k=7 cm3 de jarabe de fruta.
M ( X+ K) 35+k

18
 12.- Un operador de máquina de precisión gana 2,8 dólares por día, se sabe
que el promedio de la remuneración por día es de 2,609 dólares y que la
desviación estándar alcanza a 0,136 dólares por día. Además, se sabe el número
de artículos que trata diariamente es de 5 unidades, sabiéndose que la cantidad
promedio de unidades diaria por trabajador alcanza a 4,8 unidades, con una
desviación estándar de 0,2 unidades.

a) Determine a cuantas desviaciones estándar se encuentra la remuneración del

trabajador respecto de la remuneración promedio diaria por trabajador.

2,8−2,609
Z= =1,4
0,136

La remuneración que percibe diaria el trabajador está a 1,4 desviaciones

estándar por sobre la remuneración promedio diaria por trabajador.

b) ¿Existe correspondencia entre el número de artículos que trata el trabajador y

lo que gana en este caso? Justifique su respuesta.

Respecto a la cantidad de artículos que trata el trabajador:

5−4,8
Z= =1
0,2

La cantidad de artículos que trata, está a una desviación estándar por sobre
la cantidad de unidades promedio tratada por trabajador. Por lo cual, para que
haya una correspondencia entre la cantidad de artículos que trata y lo que percibe
debería aumentar la cantidad de artículos a tratar, a 5,08 unidades.

13.- La Subsecretaría de energía está interesada en evaluar el consumo de energía

eléctrica a través del Seremi de energía, dado el déficit de precipitaciones que tuvo este
invierno. Con el fin de tomar medidas adecuadas para combatir este déficit, se les solicitó
a las empresas de diferentes sectores económicos que consumían más energía eléctrica
su consumo mensual del mes de agosto. Se obtuvieron los siguientes resultados:

Empresas de producción alimenticia (A)

19
 Consumo 160 -
120 - 140 140 - 160 180 - 200 200 - 220
(kw/hrs) 180

n° empresas 10 15 25 20 10

Empresas de producción computacional (B)

70 70
∑ x i=15. 400 ∑ x 2i =3 . 431. 750
i=1 i=1

a) Tomando solo la información de las empresas alimenticias (A) y aproximando al entero

más cercano, determine la cantidad de empresas cuyo consumo de energía eléctrica
en el mes de agosto excedió en más de 2 kw/hr a la mayoría de las empresas en
estudio.
b) ¿Qué tipo de empresa (A o B) presenta la información más precisa? Justifique
utilizando el o los estadísticos adecuados.

c) Las empresas de insumos computacionales (B) como forma de ayudar a Seremi,

entregó sus antecedentes del mes de Septiembre,
2
x sept =189,667 σ sept =422,8842

En relación al mes de septiembre, se proyecta para el mes de octubre, el consumo

energético de cada empresa (B), el cual disminuya su consumo en 20 (kw/hrs).
Determine el efecto que tendrá en la dispersión relativa, respecto al mes de agosto, la
disminución proyectada del consumo energético.

Yi-1 Yi+1 ni Y Y*ni

20
La moda se encuentra entre [ 160−180 ], entonces: M o=160+ 20∗ ( 20+2015 ) ≈ 171,43

Luego:
173,43=160+
20∗ ( 80∗j
100
−25 )
⟹ j=52,234
25

Conclusión: Por lo tanto el 47,766% de las empresas, 38,2 ≈ 39 aproximadamente,

tuvieron el mes de agosto un consumo de energía eléctrica que excedió al consumo de la
mayoría + 2 (kw/hr) de las empresas en estudio

b) Para analizar cuál es la información más precisa, se verá con el coeficiente de

variación.

Yi-1 Yi+1 ni Y Y*ni

Empresa A

13700 2392000 2
M ( A )= =171,25 ; V ( A )= −( 171,25 ) =573,44 ; σ ( A ) =23,95
80 80

23,95
CV ( A )= ≈ 0,1399 ≈ 13,99%
171,25

Empresa B

15400 3431750 2
M (B)= =220 ; V ( B )= −( 220 ) =625 ; σ ( B )=25
70 70

21
 25
CV ( B ) = =0,1136
220

Conclusión: Como la empresa B presenta menor dispersión, es decir, los datos son más
homogéneos que la empresa A. Por lo tanto, la información proporcionada por la empresa
B es más precisa.

Resumiendo la información de ambos meses, tenemos:

Mes Media Varianza Desv. CV(%)

Estándar
Agosto 220 625 25 11,36%
Septiembre 189,667 422,8842 20,56 10,84%

En relación a septiembre, para el mes de octubre se tiene que:

M oct [ X sept −20 ]=169,667 ; V oct [ X sept −20 ] =V oct [ X sept ]=422,8842

20,56
Luego: CV ( X oct )= =0,1212 ≡12,12 %
169,667

Conclusión: Al observar un aumento en la variabilidad relativa, se puede indicar que el

consumo energético será más inestable, pues en el mes de octubre habría un aumento de
la dispersión relativa respecto al mes de agosto.

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