UNIDAD 3

TRANSFORMACIONES EN EL PLANO
ISOMETRÍAS e ISOMORFISMOS

Naturaleza y Simetría

La idea de simetría nos genera una representación mental vinculada a un cierto orden en
la distribución de objetos, o una regularidad en las formas de un cuerpo, cuando este es
visto desde algún lugar particular.

¿Dónde encontramos disposiciones simétricas? Veamos algunas imágenes que podemos

apreciar en la naturaleza.

Panal de Abejas Mariposa

Las arañas construyen Planta Aloe en espiral

una red circular casi perfecta que
utilizan para atrapar a sus presas.

Como podemos observar la idea de simetría está presente fuertemente en la naturaleza.

No solo en plantas o animales, sino también en las construcciones que estos últimos realizan,
como hemos podido observar con las arañas y las abejas.

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Simetría y Arquitectura

Un poco de historia

El hombre introdujo la idea de Simetría en sus creaciones arquitectónicas desde mucho

tiempo atrás. Las Primeras concepciones sobre simetría en arquitectura la identifican con la
proporción, el equilibrio y la belleza.

Vitrubio (80-70 al 15 ac) (arquitecto, ingeniero, escritor…) romano, define a la Simetría como:

“Simetría es la conveniente correspondencia entre los miembros de la obra, y la armonía

de cada una de sus partes con el todo: pues así como se halla simetría y proporción entre
el codo, pie, palmo, dedo y demás partes del cuerpo humano, sucede lo mismo en la
construcción de las obras”

Esta idea de Vitrubio sobre la simetría, influyo en el Renacimiento. Luca Paccioli (1445 –
1517), Leonardo Da Vinci (1452 – 1519), Miguel Angel Buonarroti (1475 – 1564) entre otros,
realizaron aportes al estudio de la simetría siempre relacionada con la proporción de la
obra. (Felix C. Zamorra, Las Matemáticas y la Arquitectura).

La Basílica de San Pedro en el Vaticano

Esta concepción de Vitrubio de la proporción y la simetría que, como dijimos, influyo

fuertemente en el renacimiento, se puede apreciar en muchas obras arquitectónicas de
ese período histórico. Por ejemplo, la Basílica de San Pedro, tal cual es conocida hoy, se
comenzó a construir en 1502 y se terminó aproximadamente un siglo y medio después.

El proyecto sufrió varias transformaciones mientras se fue realizando. El primer diseño

perteneció a Donato Bramante.

Donato Bramante
Basílica de San Pedro – Vaticano Vista actual de la planta de la Basílica de San Pedro
Planta; 1505 - 1506

La construcción final de la Basílica respetó el diseño de Miguel Ángel, solamente se

prolongó la iglesia hacia el frente y construyendo la plaza. La obra se completa en 1633.
Referencia http://www.arqfdr.rialverde.com/6Renacimiento/sanpedro.htm
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La Villa Rotonda de Andrea Palladio

Andrea Palladio (Arquitecto Italiano, 1508 – 1580) hace la siguiente referencia

“entiendo que los edificios deben parecer un entero y bien definido cuerpo en el que un
miembro convenga al otro y todos los miembros sean necesarios a aquel que se quiere
hacer “

De esta manera Palladio adhiere a esta idea de vincular simetría y proporción con la
totalidad de la obra arquitectónica. Esto se ve reflejado en sus obras tal como podemos
ver en la Villa Capra o Villa Rotonda.

Vista de la Villa Capra o Rotonda Vista en planta de la Villa Rotonda

La Villa Capra o Rotonda es un palacio campestre de planta central diseñado por Andrea
Palladio y construido a partir del año 1566 en las afueras de la ciudad de Vicenza en Italia.
http://www.villalarotonda.it/. Como se puede observar en la vista en planta, la presencia
de la proporción (cuadrada) y la simetría (axial) definen la característica de esta obra.

Un cambio de idea

El Arquitecto Francés Viollet Le Duc (1814-1879), introduce un nuevo concepto de la

simetría en la arquitectura.

“simetría significa hoy en el lenguaje de los arquitectos, no un equilibrio ni relación entre las
partes con el todo, sino una similitud de partes opuestas, la reproducción exacta a la
izquierda de un eje, de lo que hay a la derecha”.

Esta definición de Le Duc se podría visualizar más o menos así

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Esta idea de Le Duc, separa al concepto de simetría del de proporción y deja a la Teoría
de las Simetrías como aquellas que, a través de Transformaciones sobre el Plano, operan
sobre un cuerpo para obtener otro cuerpo homologo, también perteneciente al mismo
plano.

Veamos entonces que es una transformación y cuáles son las características de cada una
de ellas, que nos permiten interpretar las simetrías que se encuentran presentes en la
naturaleza y en las obras de Arquitectura.

TRANSFORMACIONES

La palabra transformación nos genera una idea de cambio, algo que se transforma es algo
que sufre un cambio, en algún aspecto que es característico de él. Veamos la siguiente
imagen.

El cuadro nos representa el ciclo anual de vida de un árbol, durante el transcurso de las
estaciones. El paisaje se va modificando, es decir va cambiando con el paso de las
estaciones, no obstante, en una primera mirada podríamos pensar que hay algunos
aspectos que no cambian. Por ejemplo, la forma del árbol no se ha modificado. Podemos
pensar entonces que en una transformación, puede haber cosas que cambian y otras que
no.

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Llevemos esta idea de transformación, de cambio, a la geometría y consecuentemente a
la arquitectura

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO

Definición

Se llama Transformación en el plano, a toda aplicación que hace corresponder a cada

punto del plano, otro punto del mismo.

Sea P un punto del plano α, al que se le aplica una transformación T, entonces obtenemos
un punto P‘, también perteneciente a α, transformado de P, y se denota:
T(P) = P‘

Las transformaciones son entonces, operaciones geométricas que permiten deducir

una nueva figura a partir de una primitiva. La nueva figura se llama homologa o
transformada. Las transformaciones pueden también darse en el espacio.

Clasificación de las transformaciones

Clasificación según las propiedades que conservan.

Proponemos dos tipos a estudiar de transformaciones en el plano, según esta clasificación

➢ Isometrías (iso, igual; métrica, medida). Solo cambia la posición de la figura,

conservando su forma y tamaño, es decir sus relaciones métricas. A este tipo de
transformación se las suele denominar movimientos en el plano.

Son de este tipo de transformación las simetrías axial y de centro, las rotaciones y las
traslaciones.

➢ Isomorfismo (iso, igual: mórfica, forma). Se conserva la forma de la figura a la cual se

aplica la transformación pero no necesariamente sus medidas. Si son figuras
poligonales conservan sus ángulos.

Son de este tipo de transformación la homotecia y la semejanza.

Veamos entonces las características de cada una de ellas

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 TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

Como hemos mencionado este tipo de transformaciones, hacen que una figura
conserve su forma y tamaño pero varíe su posición en el plano. Veamos cómo se
define cada tipo de transformación.

I) Transformación de Simetría Central

Definición: Dos puntos P y P', son simétricos respecto de un punto O, el cual es elegido como
centro, si y solo si P y P' pertenecen a semi rectas opuestas de origen en O y la distancia P͞O
es igual a P'O. Es decir que P y P‘ son equidistantes del Centro O.

Notación: So(P) = P'

Se expresa: Simetría de centro O aplicada al punto P da como resultado el punto P' o

bien, P' es el simétrico de P dada la transformación de simetría de centro O.

Ejemplos de Simetría Central en Figuras

Caso Especial: Centro de Simetría de una Figura

Es un punto del plano tal que todo punto perteneciente a la figura tiene su simétrico en la
misma figura.

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Un ejemplo en la Arquitectura, lo podemos ver en la Cúpula de la Basílica de Santa Sofía,
la mayor joya del arte bizantino en Estambul.

II) Transformación de Simetría Axial

Definición: Dos Puntos P y P‘ son simétricos respecto de una recta, llamada eje de simetría
e, si se verifica que ambos puntos pertenecen a una misma recta perpendicular al eje, se
encuentran en distintos semiplanos y equidistantes respecto a él.

Notación: Se(P) = P'

Se expresa: El Simétrico de P respecto del eje e es P‘

Veamos un ejemplo de Simetría Axial en figuras

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En la arquitectura podemos encontrar un ejemplo de aplicación en la siguiente obra.

El Bahrain World Trade Center es un complejo de torre gemela de 238 m de altura,

ubicado en Manama, la capital de Bahrein

Caso Particular: Simetría Bilateral

En la simetría bilateral el eje de simetría es parte de figura, tanto de la primitiva como de la

transformada. El concepto de simetría bilateral proviene de las disposiciones encontradas
en los organismos multicelulares.

Veamos algún ejemplo en la arquitectura. Por ejemplo en esta vista en planta de un piso
de edificio, en el cual una pared medianera hace de eje para construir a cada lado de ella
dos departamentos simétricos.

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 III) Transformación de Traslación

Antes de hablar sobre las transformaciones de traslación, vamos a realizar un breve repaso
sobre vectores y las características que identifican a los mismos.

Vector

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Todo vector posee las siguientes
características:

Origen
▪ O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa
el vector.

Módulo
▪ Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el
extremo del vector.

Dirección
▪ Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
▪ Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando
hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Representación del vector en el Plano

Todo vector en dos dimensiones se puede representar de la siguiente manera, a partir de

sus componentes en la dirección de los ejes x e y.

𝑎⃗ = 𝑎⃗x ǐ + 𝑎⃗y ǰ
Donde ǐ y ǰ se los denomina versores unitarios, es decir que tienen modulo de valor uno, e
identifican la dirección del eje x e y respectivamente.
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El modulo del vector 𝑎⃗ se puede determinar considerando al vector como un triángulo
rectángulo, cuyos lados son las componentes en x e y, en tanto el módulo está representado
por el valor de la hipotenusa del triángulo.

|𝑎⃗|² = 𝑎2 = 𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2 o bien

|𝑎⃑| = 𝑎 = √𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2

Ejemplo

Sean los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ tal como muestra la figura

Los módulos de ambos serán

|𝒂
⃗⃗| = √𝟒² + 𝟑² = 5

|𝒃
⃗⃗| = √𝟏² + (−𝟒)² = √𝟏𝟕

Recordando las propiedades de un triángulo rectángulo y la relación entre sus lados y sus
ángulos, podemos calcular el ángulo α que forma, por ej. , con el eje x.

𝑎𝑦
tg α = 𝑎𝑥

a partir de la cual se puede obtener el ángulo α

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α = arctg (𝑎𝑦
𝑎𝑥
)

Veamos un ejemplo con el vector 𝑎⃗

𝑎⃗ = 𝑎⃗x ǐ+𝑎
⃗ y ǰ = 4ǐ + 3ǰ

tg α = 𝑎𝑦
𝑎𝑥
=¾ de donde podemos obtener :

α = arctg (3/4) = 36° 52' 11''.63

Transformación de Traslación

Definición: Dado un vector ⃗𝒗⃗, se llama traslación según ⃗𝒗⃗ de un punto P del plano, al
movimiento que resulta de aplicar al punto P un vector idéntico a 𝒗 ⃗⃗, cuyo extremo es P‘.

P●

● P' V

Notación: T 𝒗
⃗⃗(P) = P'

Se expresa: La traslación de vector 𝒗

⃗⃗ aplicada al punto P da como resultado P'.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de aplicación de una transformación de traslación de vector 𝒗 ⃗⃗ a una

figura.
Sea un triángulo ABC y un vector 𝒗
⃗⃗ = 6ǐ + 1ǰ, veamos cómo se obtiene la transformada.

Una aplicación de este tipo de transformación en la arquitectura, la podemos visualizar en

ciertas planificaciones urbanísticas, cuando existe una unidad constructiva, que se repite
en el espacio, a partir de una traslación en una cierta dirección y con un módulo
determinado.

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 Complejo proyectado en DF México

IV) Transformación por Rotación o Giro

Definición: La rotación es un movimiento por el cual un punto P del plano y su homólogo P'
equidistan de un punto O, denominado centro de rotación y determinan con él un ángulo
α que identifica la amplitud de la rotación.

Notación: R(o,α) (P) = P'

Se expresa: La rotación de centro o y ángulo α aplicada al punto P, da como resultado el

punto P‘. Dado que la rotación tiene siempre un cierto sentido, tomamos como
convención un ángulo positivo cuando el movimiento es en el sentido anti horario y
negativo cuando el giro es en sentido horario.

Ejemplo

Veamos un ejemplo de aplicación de una rotación sobre una figura.

Rotación de un triángulo con centro en o y ángulo α = 180°

R(o, 180°) (ABC) = (A‘B‘C‘)

Veamos otro ejemplo al rotar un triángulo un ángulo de 90° con centro en un punto o.
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R(o, 90°) (ABC) = (A‘B‘C‘)

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES

Se denomina así al proceso por el cual, a una figura, se le aplican dos o más
transformaciones sucesivamente. Dichas transformaciones pueden ser de diferente tipo.

Notación:

La composición de transformaciones se indica de la siguiente manera.

T2 o T1 = T

Se expresa de la siguiente manera

La Transformación T1 “compuesta” con T2, da como resultado la transformación T.

Para un punto cualquiera P la composición opera de la siguiente forma:

T1 (P) = P‘ y posteriormente T2 (P‘) = P‘‘

Por lo tanto

(T2 o T1) (P) = T(P) = P‘‘

De manera que primero actúa la transformación T1 sobre P y luego T2 sobre P', para obtener
P''.

Ejemplos de Composición de Simetrías

Vamos a ver a continuación algunas composiciones de simetrías a modo de ejemplo.

Ej.1 Composición de dos simetrías axiales de ejes paralelos

Veamos cómo opera la composición de dos simetrías axiales de eje e y e’, sobre una
triangulo ABC

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(S(e’) o S(e)) (ABC) = (ABC)’’

Como podemos observar en la figura, la composición de dos simetrías de eje e y e’,

paralelos entre sí, da como resultado una traslación de la figura original, mediante la
aplicación de un vector 𝒗 ⃗⃗ en dirección perpendicular a los ejes y cuyo modulo es dos veces
la distancia entre los ejes.

(S(e’) o S(e)) (ABC) = (ABC)’’ es coincidente con

T𝒗
⃗⃗(ABC) = (ABC)’’ Tal que

|𝒗
⃗⃗|= 2d(e,e')

Ej 2 Composición de Simetría Axial de Ejes Concurrentes

Dos ejes son concurrentes cuando forman entre si un ángulo distinto de cero, es decir que
se cortan en un punto, sobre un plano.

En el siguiente ejemplo tenemos un triángulo con vértices PRQ, al cual se le aplican dos
transformaciones de ejes a y b que forman un ángulo de 45° entre si.

(S(b) o S(a)) (RPQ) = (RPQ)''

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Se puede observar que la composición de las dos transformaciones de ejes a y b
concurrentes, es similar a realizar una rotación de la figura original un ángulo igual a dos
veces al que forman a y b, con centro en el punto de intersección de los mismos.

De manera tal que se lo puede expresar de la siguiente manera

(S(b) o S(a)) (PRQ) = (PRQ)'' es coincidente con

R(o,2 ) (PRQ) = (PRQ)''

Siempre que los ejes a y b son concurrentes y forman un ángulo entre si.

Ejemplo en la Arquitectura

Veamos el siguiente ejemplo de aplicación en la arquitectura

La fig. muestra la vista en planta de dos viviendas en la cual, una de ellas, se obtiene
como la composición de una simetría bilateral de eje e y una traslación de vector V, de la
otra vivienda.

(Tv o Se)(C) = C''

GRUPOS DE SIMETRÍAS DE LEONARDO

Una aplicación muy frecuente en arquitectura, es la repetición de giros con un cierto

ángulo, de un módulo utilizado como patrón constructivo, para obtener la totalidad de la
obra. Esta forma de construir fue estudiada y muy utilizada en el renacimiento, entre otros
por Leonardo Da Vinci. Esto dio lugar a los denominados grupos de simetrías de Leonardo.

Definición Un grupo de simetría S{F} de una figura plana F, se llama grupo puntual o de
Leonardo, si es un grupo finito y existe un punto de F fijo por todos los elementos de S{F}. A
ese punto se le llama centro de simetría de la figura F.

Si S(F) es un grupo con un punto fijo P, podemos asumir que dicho grupo no contiene
traslaciones, por tanto en S(F) sólo habrá giros con centro en el punto P y simetrías respecto
de ejes que contengan a P, es decir simetría bilateral.
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Dos clases de los grupos de Leonardo son los Grupos Cíclicos y los Diedrales, veamos las
características de cada uno de ellos.

Grupo Cíclico

Si el giro con centro P y ángulo α está en S(F) también estarán los giros con centro en P y
ángulo kα. Por ser un grupo finito para k=n obtendremos que nα =2π por tanto α =2𝝅/n.

Entonces S(F) será la composición de K=n giros con un ángulo α=2𝝅/n. Se lo denomina
Grupo cíclico y se lo denota Cn

Ejemplo 1

Sea el Grupo C4, es decir el grupo cíclico para K = n = 4 , con lo cual, α=2𝝅/n = 2𝝅/4 =
𝝅/2 y K= 1,..,4

Es decir que la figura completa se obtiene de aplicar a la figura inicial (triangulo), cuatro
rotaciones sucesivas con centro en uno de sus vértices y un ángulo de 90°.

Ejemplo 2

Sea el Grupo C6, es decir el grupo cíclico para K = n = 6, con lo cual α=2𝝅/n = 2𝝅/6 = 𝝅/3
y K= 1,..,6

En este ejemplo, la parte central surge de aplicar a un modulo inicial, seis rotaciones
sucesivas alrededor de un vértice y un ángulo de 60°.

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Grupos Diedrales

Estos grupos además de contener giros alrededor del punto fijo P, contienen simetrías
axiales, con un eje que pasa por dicho punto. Se los denota como Dn.

Las figuras transformadas se construyen de la siguiente manera.

Se parte de una figura base, por ejemplo un triangulo, al cual se le aplica una simetría axial
respecto de un eje, coincidente con uno de los lados (simetría bilateral).

A esta última se le aplica una transformación de rotación, similar a las cíclicas.

Obteniéndose los diedros D2; D3; etc , tal como se muestra en las siguientes figuras.

D2 D3

D4 D5

Para n ≥ 3 el grupo diedral de n, coincide con el grupo de polígonos regulares de n lados.

Por ejemplo el D5 coincide con el pentágono regular.

Aplicaciones en la Arquitectura
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Leonardo y varios constructores de Renacimiento como Bramante, Serlio, entre otros,
aplicaron el criterio de los grupos cíclicos y diedrales en diseños de construcciones,
principalmente en Iglesias. El diseño es denominado de planta centralizada. En general son
construcciones cuya planta central era circular, cuadrada o en forma de cruz. El círculo
era considerada la figura más perfecta de la creación divina, y la idea que alentaba este
tipo de construcciones, era la traslación de la divinidad como forma simple y perfecta a la
forma propia del edificio.

El número de iglesias construidas con este formato no fue muy grande, debido a que no
permitía el ingreso de mucha gente, su construcción quedo reducida a pequeñas capillas
o santuarios familiares, aunque su influencia como concepto constructivo fue importante.

Un ejemplo más actual lo podemos apreciar en el proyecto realizado por el Arq. Norman
Foster. Pertenece al edificio del Tribunal Superior de Justicia, uno de los que integran la

Ciudad de la Justicia en Madrid. Este proyecto tiene como característica que todos los
edificios que lo componen son circulares.

En esta edificación se puede observar que el modulo encerrado entre las semirrectas,
puede ser rotado reiteradas veces un ángulo de 45° para conformar la totalidad del edificio.

TRANSFORMACIONES ISOMORFAS

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Hemos dicho al inicio de la unidad que las transformaciones isomorfas eran aquellas que
conservaban la forma de una figura, aunque no necesariamente sus medidas. Eran
transformaciones de este tipo la Homotecia y la Semejanza.

Transformación de Homotecia

Definición: Dado un punto O, al cual denominamos centro de homotecia, y una constante

K distinta de cero, a la cual denominamos razón, se llama transformación de homotecia,
aquella en la cual, al aplicarla a un punto P del plano, le hace corresponder un punto P´,
tal que O, P y P´ son colineales y la razón entre las distancias OP´ y OP es igual a K. Se
denota H(o, k)P = P´

Veamos en la siguiente figura dos ejemplos. Una transformación de homotecia de centros

o y razón 3, H(o,3)P = P´ y otra transformación de centro o y razón 1/3, H(o, 1/3)P = P´

Veamos para una figura distintas transformaciones de homotecia para distintos valores de
la razón k.

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Como ya hemos mencionado las transformaciones de homotecia mantienen la forma de
la figura pero no necesariamente su dimensión. En una figura poligonal esta transformación
conserva el valor de sus ángulos y los lados de la figura, aumentan o disminuyen el mismo
valor que la razón K.

Las transformaciones de homotecia son muy utilizadas para el dibujo y la perspectiva. La

siguiente imagen se puede pensar como como una construcción de sucesivas
transformaciones de homotecia.

Transformaciones de Semejanza

Definición: Se dice que dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus
lados son proporcionales. Es decir que las figuras tendrán la misma forma pero de distinto
tamaño. En el caso que la razón de semejanza sea 1 las figuras serán congruentes.

La semejanza no es una transformación propiamente dicha, sino más bien una relación de
proporcionalidad.

De las definiciones de semejanza y de homotecia podemos concluir que, ante toda

transformación de homotecia aplicada a una figura, siempre obtenemos una figura nueva,
semejante a la anterior.

Pero dos figuras semejantes no necesariamente son homotéticas. Esto lo podemos ver en el
siguiente ejemplo, donde tenemos dos triangulos que son semejantes, ya que sus lados
guardan todos la misma razón, sin embargo, ninguno de ellos se obtiene como una
transformación de homotecia del otro.

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