Matematica y Raz. Mat. I

UNIVERSIDAD CATÓLICA
DE SANTA MARÍA
PRECATÓLICA 2022 - II
MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO I
Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga

Hilarión Chaco Llamoca
Arequipa – Perú
Ingreso 2022
MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I
UNIDAD 1: NÚMEROS RACIONALES

1. Nociones preliminares 2. Números racionales (ℚ)
Los números naturales se representan por: Son todos aquellos números que tienen la forma
ℕ = {1; 2; 3; 4; 5; …} a
, siendo a y b números enteros y además b  0.
Los números enteros se representan por: b
ℤ = {…; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; …} a
Es decir: ℚ = { / 𝑎 ∈ ℤ ⋀ 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0 }
Ahora bien: b
 Si sumamos dos números enteros, el resultado
Ejemplos:
será siempre otro número entero
Son números racionales:
Ejemplo:
3 7 9 6 5 8
7 + (⎯9) = ⎯2 y observamos que ⎯2∈ ℤ ; ; ; ; ; ; …etc.
5 4 8 4 1 1
 Si restamos dos números enteros, el resultado
siempre será otro número entero Observación
Ejemplo: Todo número natural o entero puede ser
3 – 7 = ⎯4 y observamos que ⎯4∈ ℤ representado como un numero racional:
Ejemplos:
 Si multiplicamos dos números enteros, el 3
3
producto siempre será otro número entero 1
Ejemplo: 5
 5
(2)  (5)  10 y observamos que 10∈ ℤ 1
 Pero, si dividimos dos números enteros el Por lo tanto, al conjunto de los números racionales
resultado no siempre será otro número entero se representaría así:
Ejemplos:
 12
 3 y observamos que ⎯3∈ ℤ
4
13
= ? y observamos que no se puede obtener
4
como resultado un número entero.
De los ejemplos expuestos, podemos concluir que 3. Números fraccionarios

las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación son operaciones cerradas en el Son todos aquellos números racionales que no son
conjunto de los enteros (ℤ); es decir, la suma, la enteros
diferencia y el producto entre dos números enteros
siempre es otro número entero. Ejemplo
Pero a la vez surge la siguiente interrogante: Son números fraccionarios:
13 1 3 7 6
Así como: y otras divisiones cuyos resultados ; ; ; ;...
4 5 4 3 9
5 7 9
no son enteros como: ; ; ;... etc. No son números fraccionarios:
2 3 4
 10 7 15  27
¿A qué conjunto numérico pertenecerían, en la ; ; ; ;...
que la división sea una operación cerrada? 5 1 3 9
Porque dan como resultado un número entero
Pues, precisamente la respuesta está en ampliar el
conjunto de los números enteros a otro conjunto
de números que lo denominaremos números
racionales
1 PRECATÓLICA 2022-II
4. Fracción ordinaria Fracción impropia
Son números fraccionarios cuyos términos son Es aquella fracción mayor a la unidad, o
números enteros positivos y tienen la forma: también es aquella en la que el numerador es
mayor que el denominador. Es decir:
𝑎
a >1⟹𝑎>𝑏
f  𝑏
b
Ejemplo:
+
Donde: a y b ∈ ℤ y además que:
6 11 8 41
a no sea múltiplo de b ; ; ; ;…
5 2 7 3
Los términos de la fracción f son:
 a es el numerador, el cual indica las partes de Toda fracción impropia, genera un número
la unidad que se considera, y mixto así, por ejemplo:
 b es el denominador, el cual indica las partes 14
En la fracción: , dividiendo los términos:
iguales en que se divide la unidad. 5
Otra manera de entender una fracción es que una 14 5

cantidad ha sido dividida en cierto número de 4 2
partes. El numerador indica el número de partes
consideradas y el denominador el número de partes
en que se ha dividido la cantidad en cuestión. 14 4
Tenemos que: =2
Así, por ejemplo: 5 5
3 4
La fracción significa que se están considerando El número: 2 se llama mixto, el cual está
10 5
3 de las 10 partes en que se ha dividido la cantidad. formado:
 Por un número entero positivo: 2 y,
4
1
10
1
10
1
10  Una fracción propia:
5
3
10 Todo número mixto se convierte a fracción
Importante así:
Para fines prácticos, a la cantidad que se divide se
le considera como todo y se la representa con el 4 4 5  2  4 14
2 2  
número 1. 5 5 5 5
5. Clasificación de las fracciones ordinarias por la 5.2. Fracción igual a la unidad

relación de sus términos Es aquella fracción donde el numerador y
a denominador son iguales. Es decir:
Sea la fracción: f 
b a
 1 , siendo a  0
5.1. Por su valor comparativo con respecto a la a
unidad Ejemplo:
Fracción propia
Es aquella fracción menor a la unidad, o 4 7 etc.
también es aquella en la que el numerador es ; ;...
4 7
menor que el denominador. Es decir:
5.3. Por el grupo de sus denominadores
𝑎
<1⟹𝑎<𝑏 Fracciones homogéneas
𝑏 Son aquellas que tienen el mismo
denominador.
Ejemplo:
Ejemplo:
1 4 35 8
; ; ; ;… 6
;
8
;
11 41
; ;…
3 11 73 41
15 15 15 15
Fracciones heterogéneas Importante

Son aquellas que tienen distinto denominador. Toda fracción reductible es posible
Ejemplo: simplificar
1 7 8 6 5.5. Por su denominador

; ; ; ;… Fracciones decimales:
35 5 71 13
Si el denominador 𝑏 = 10𝑛 , siendo n∈ ℤ+
Importante Ejemplos:
De un grupo de fracciones homogéneas, será
mayor aquella fracción que tenga el mayor 3 23 11
numerador. ; ; ;;…
102 101 103
Ejemplo: Fracción ordinaria:

Del grupo de fracciones: Si el denominador 𝑏 ≠ 10𝑛 , siendo n∈ ℤ+
Ejemplos:
3 8 5 6 3 5 12
; ; ; ;… ; ; …
7 7 7 7 6 7 25
8 6. Fracciones equivalentes
es la mayor fracción.
7
Son aquellas fracciones que tienen el mismo
De un grupo de fracciones de igual numerador, valor; por ejemplo:
será mayor aquella fracción que tenga el menor
numerador.
Ejemplo:
Del grupo de fracciones:
5 5 5 5
; ; ; ;… 1 2
8 3 9 11 
2 4
5
es la mayor fracción.
3 7. Simplificación de una fracción
5.4. Por la cantidad de divisores comunes en Simplificar una fracción, es hallar otra equivalente
sus términos de términos menores, y para simplificar se divide a
cada término entre el MCD de ambos términos de
Fracción irreductible la fracción y se obtiene una fracción irreductible.
a Es decir:
La fracción f  es irreductible si a y b son
b a
PESI, es decir si el MCD(a;b) = 1 a MCD (a; b) m
f    ,
b b n
Ejemplos:
2 10 4 MCD (a; b)
; ; ;…
3 7 9
siendo m y n PESI
Importante
Toda fracción irreductible no es posible Ejemplo:
simplificar 24
Simplificar
30
Fracción reductible Previamente, hallamos el MCD (24;30) = 6
a Luego, dividiendo cada término entre 6, tenemos:
La fracción f  es reductible si a y b no
b
son PESI, es decir si el MCD(a;b) ≠ 1 24
Ejemplos: 24 6 4
  .
4 10 15 30 30 5
; ; ;…
6 15 9 6
4 3
Por tanto: 24  por simplificación Si a los términos de la fracción propia le
30 5 5
3 4 7
sumamos 4, tenemos: 
8. Amplificación de una fracción 54 9
7 3
Amplificar una fracción irreductible, es hallar otra Entonces se cumple que: >
9 5
equivalente de términos mayores, y para amplificar
se multiplica a cada término de la fracción dada.
 Si a ambos términos de una fracción impropia
Es decir:
se le agrega una misma cantidad positiva, la
a a.k
f   , siendo k ∈ ℤ+ fracción resultante es menor que la original.
b b.k Ejemplo:
7
Ejemplo: Si a los términos de la fracción impropia le
4
3 7  5 12
Amplificar sumamos 5, tenemos: 
5 45 9
Multiplicando por k = 4∈ ℤ+ a cada término de la 12 7
3 Entonces se cumple que: 
fracción irreductible 9 4
5
3 3  4 12 
  Si la suma de dos fracciones irreductibles
5 5  4 20 resulta un número entero, entonces sus
3 12
Por tanto:  por amplificación denominadores son iguales.
5 20 Ejemplo:
Si sumamos las fracciones irreductibles
Importante homogéneas (igual denominador):
Una fracción irreductible se puede amplificar en 3 7 10
+ = = 2ϵℤ
infinitas fracciones equivalentes 5 5 5
9. Relación de orden de dos números racionales 7 17 24

+ = = 3ϵℤ
a
Sean las fracciones: y
c 8 8 8
b d
a c La propiedad anterior no se cumple cuando
 > , si se cumple que: ad > bc las fracciones son heterogéneas (diferente
b d
denominador).
Ejemplo:
11. Máximo común divisor de números racionales
4 2
> porque se cumple que: 45 > 72
7 5 El MCD de dos o más números racionales, es la
fracción cuyo numerador es el máximo común
a c
  , si se cumple que: ad  bc divisor de los numeradores de las fracciones
b d irreductibles equivalentes a aquellos y por
denominador el mínimo común múltiplo de los
Ejemplo: denominadores de las expresadas fracciones
irreductibles. Es decir:
5 4
 porque se cumple que: 56 > 84
8 6 a c e MCD (a; c; e)
MCD ; ;  
10. Propiedades importantes b d f  MCM (b; d ; f )
 Si a ambos términos de una fracción propia se Ejemplo:

le agrega una misma cantidad positiva, la
fracción resultante es mayor que la original.  6 9 12  M.CD (6; 9; 12) 3
MCD ; ;  
Ejemplo:  35 14 7  MCM (35; 14; 7) 70
12. Mínimo común múltiplo de números racionales 13.4 División de números racionales
Para dividir dos números racionales se
El MCM de dos o más números racionales, es la multiplica la primera fracción por la
fracción cuyo numerador es el mínimo común inversa de la segunda fracción.
múltiplo de los numeradores de las fracciones Es decir:
irreductibles equivalentes a aquellos y por
denominador el máximo común divisor de los a c a d ad
   
denominadores de las expresadas fracciones b d b c bc
irreductibles. Es decir: La división de dos racionales, también se
puede escribir así:
a c e MCM (a; c; e) a
MCM ; ;   a c b ad
b d f  MCD (b; d ; f )   
b d c bc
d
Ejemplo:
14. Densidad de los números racionales
 6 9 12  MCM (6; 9; 12) 36
MCM ; ;   La densidad indica que “entre dos números
 35 14 7  MCD(35; 14; 7) 7
racionales cualesquiera siempre es posible
encontrar otro número racional, distinto de los dos
13. Operaciones con números racionales primeros”
13.1 Adición de números racionales Ejemplo:
3 5
 Si son fracciones homogéneas: Hallar un número racional entre y
8 6
Una estrategia para encontrar un número racional
entre dos racionales dados, es calculando la
a c ac
  semisuma de ambos números racionales.
b b b Es decir:
 Si son fracciones heterogéneas: 3 5 3  6  8  5 18  40 58 29


8 6 8 6  48  48  24 
29
a c ad  bc
  2 2 2 2 2 48
b d bd
13.2 Sustracción de números racionales Y precisamente la fracción 29 está en la mitad de

48
3 5
 Si son fracciones homogéneas: las fracciones y , tal como se observa en la
8 6
siguiente figura:
a c ac
 
b b b
 Si son fracciones heterogéneas:
a c ad  bc
 
b d bd
¿Cómo hallarías las fracciones que van en A y B?
13.3 Multiplicación de números racionales
a c e ace Al concepto de densidad, podemos indicar que
   entre dos fracciones existen infinitas fracciones
b d f bd  f
Importante
Previamente a la multiplicación es
preferible simplificar la fracción producto.
PRACTIQUEMOS
𝑚 𝑛 2. Si F es una fracción irreducible, tal que:
1. Si las fracciones: y son propias.
𝑛 11 1 1 1 1
Calcula el valor de m + n, sabiendo que: F=
⏟ + + + +⋯
4 28 70 130
𝑛 𝑚 45
− = 10 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
8 11 88
Calcula la suma del numerador y denominador
de F
A) 11 B) 10 C) 13 D) 15 E) 9 A) 61 B) 31 C) 38 D) 41 E) 63
3. La suma de dos fracciones irreductibles es 5, los 4. Si al numerador y al denominador de una fracción

términos de la primera fracción suman 17 y los de se le agrega la cuarta parte del denominador el
la segunda 25. Calcule la diferencia de las valor de la fracción aumenta en su séptima parte
fracciones. de tal fracción, la fracción es igual a:
A) 2/3 B) 4/3 C) 5/6 D) 2/9 E) 1/3 A) 7/12 B) 5/12 C) 6/11 D) 8/13 E) 7/10
5. ¿Cuántas fracciones propias, comprendidas entre 6. ¿Cuántas fracciones propias irreductibles,

18/23 y 77/83, son tales que sus términos son comprendidas entre 3/5 y 4/5, son tales que la
pares consecutivos? diferencia de sus términos es 8?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
A) 9 B) 10 C) 11 D) 19 E) 20
7. El intervalo [1/4; 1/2] es dividido en 5 intervalos 8. Calcula una fracción equivalente a 143/91, tal que
iguales más pequeños, y la fracción irreductible F la diferencia de sus términos sea un número de 2
se encuentra en el punto medio del segundo de cifras y el mayor posible.
estos. Halla la suma del numerador y denominador Dar como respuesta la suma de los términos de
de F dicha fracción.
A) 53 B) 52 C) 51 D) 48 E) 49 A) 414 B) 180 C) 360 D) 432 E) 450
9. Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 8 10. Al preguntar un padre a su hijo, cuánto había
a.m., es la quinta parte del tiempo que falta para gastado de los 140 soles de propina que le dio, el
las 10 p.m. ¿Qué hora es? hijo contestó. “he gastado las 3/4 partes de lo que
no gasté”. ¿Cuánto gastó?
A) 12:00 B) 11:00 C) 12:30 D) 11:30 E) 13:00 A) S/65 B) S/60 C) S/56 D) S/52 E) S/48
11. Un comerciante tenía N cuadernos, vendió su 12. Al repartir una cantidad de dinero, a Pedro le
mercadería de la siguiente forma: 1/5, más 20 corresponde 3/8 de esta cantidad y solo ha
cuadernos el primer día; 1/4 del resto, menos 30, recibido 1/12 de la misma. Si le falta recibir
el segundo día. Si para el tercer día le quedaron S/.330, ¿cuál fue la cantidad inicial de dinero?
para vender (N – 175) cuadernos, calcule la suma
de cifras de N.
A) S/. 600 B) S/. 720 C) S/. 960

A) 16 B) 15 C) 12 D) 7 E) 9 D) S/. 1080 E) S/. 1440
13. Un tanque puede ser llenado por un caño A en 20 14. Abel, Bruno y Carlos pueden hacer una tarea en 2
horas, por un caño B en 24 horas y puede ser horas. Si trabajaran Abel y Bruno harían la misma
vaciado por una tubería C en 30 horas. Si A y B se tarea en 5 horas; pero si trabajaran Bruno y Carlos
abren durante 4 horas y luego se cierran, ¿en podrían hacer la misma tarea en 3 horas. ¿En
cuánto tiempo C vaciará el tanque? cuántas horas haría la misma tarea, si Bruno
trabajaría solo?
A) 30 horas B) 24 horas C) 11 horas

D) 12 horas E) 15 horas A) 30 B) 45 C) 40 D) 20 E) 25
15. Una persona dedicada a la carpintería metálica 16. Carlos repartió x soles entre sus 3 hijos, al mayor
toma inicialmente 16 pulgadas de una varilla. le entregó la tercera parte, al intermedio la cuarta
Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas parte del resto y al último, la quinta parte del
partes tienen la misma longitud. Calcula la nuevo resto. Si a Carlos le sobra S/.60, calcule el
longitud inicial de la varilla (en pulgadas) valor de x.
A) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 45 A) 120 B) 140 C) 150 D) 100 E) 130
17. Un padre reparte a sus 3 hijos cierta cantidad de 18. Del dinero que tengo, gasto 1/5 de lo que no gasto,
dinero de la siguiente manera. En cada reparto que luego pierdo 2/7 de lo que no pierdo y, por último,
hace da la tercera parte de lo que tiene y un sol regalo 3/4 de lo que no regalo. ¿Qué parte de mi
más. Si luego de realizar los 3 repartos sucesivos dinero me queda?
le queda un sol. Calcula la cantidad de dinero (en
soles) que recibió uno de los hijos.
A) 4,50 B) 3,50 C) 10,50 D) 6 E) 5 A) 5/27 B) 10/27 C) 5/9

D) 2/9 E) 7/9
19. Se tiene un alambre de L cm de longitud que se 20. Claudia ahorra mensualmente los 3/8 de su sueldo.
divide en 4 partes, cada parte es 1/2 vez más que Hasta el mes pasado gastaba 140 soles mensuales
la longitud de la parte anterior. Si la mayor y y ahora después de un aumento salarial, ahorra
129 soles mensuales ¿De cuánto ha sido el
menor parte suman 70 cm, calcule el valor de L.
aumento?
A) 120 cm B) 150 cm C) 100 cm A) 130 soles B) 120 soles C) 100 soles

D) 130 cm E) 110 cm D) 110 soles E) 140 soles
UNIDAD 2: RAZONES Y PROPORCIONES

¿Qué es una razón numérica? Ejemplo:
La razón numérica o simplemente la razón entre dos Determinar la razón geométrica entre las edades de
números es el resultado de la comparación de los Juan y Jorge.
mismos.
La razón tiene dos clases: 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 49 7
= =
𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑜𝑟𝑔𝑒 14 2
1. Razón aritmética:
La razón geométrica de las edades de Juan y Jorge
La razón aritmética o por diferencia es aquella es 7/2
razón numérica que resulta de comparar dos Las edades de Juan y Jorge están en la razón de 7 a
números, mediante la diferencia del mayor menos 2 o son como 7 es a 2.
el menor para establecer en cuanto excede o es
excedido una de ellos respecto al otro1. En resumen:
𝐴 − 𝐵 = 𝑅𝐴𝑍Ó𝑁 𝐴𝑅𝐼𝑇𝑀É𝑇𝐼𝐶𝐴
Elementos:
𝐴 → 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝐵 → 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒.
Se lee A excede a B
Ejemplo:
Sean los números: ¿Qué es una proporción?
𝑅. 𝐴. = 68 − 59 = 9 Es la igualdad de dos razones de una misma clase.2

Como hay dos clases de razones, hay dos tipos de
 Los que 68 excede a 59 es 9 proporciones aritméticas y geométricas.
 68 es mayor que 59 en 9
2. Razón geométrica: PROPORCIONES ARITMÉTICAS
La razón geométrica o por cociente a es aquella La proporción aritmética o equidiferencia, es la

igualdad establecida entre dos o más razones
razón numérica que resulta de comparar dos
aritméticas.
números, mediante su correspondiente división
Sean las razones 𝐴 − 𝐵 = 𝑘 y 𝐶 − 𝐷 = 𝑘
para establecer en cuántas veces uno de ellos
contiene o está contenido en el otro. excede o es
excedido una de ellos respecto al otro
𝐴: 𝐵 = 𝑅𝐴𝑍Ó𝑁 𝐺𝐸𝑂𝑀É𝑇𝑅𝐼𝐶𝐴
Elementos:
𝐴 → 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝐵 → 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒.
Se lee A es a B
1 2
(Aucallanchi Velasquez, 2012) (Aucallanchi Velasquez, 2012)
En la proporción aritmética según como sean los PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

términos medios:
La proporción geométrica o equicociente o
simplemente proporción se define como la igualdad de
don razones geométricas.
Sean las razones

𝑎 𝑐
=𝑘 =𝑘
𝑏 𝑑
Propiedad fundamental de la proporción

aritmética
En la proporción geométrica según como sean los

términos medios:
Cálculo de los términos de una proporción.
a) Hallar la cuarta diferencial de: 48; 9 𝑦 35

Solución: Propiedad fundamental de la proporción
48 − 9 = 35 − 𝑥 geométrica
39 = 35 – 𝑥
4 = 𝑥
b) Hallar la media diferencial de: 48 𝑦 36
Solución:
48 − 𝐱 = 𝐱 − 36
84 = 2 𝑥
42 = 𝑥
c) Hallar la tercera diferencial de: 19 y 15

Solución Cálculo de los términos de una proporción.
Ejemplos:
𝟏𝟗 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓 − 𝑥
a) Hallar la media proporcional 72 y 2
4 = 15 − 𝑥
Solución:
−11 = −𝑥
72 𝑥
11 = 𝑥 =
𝑥 2
144 = 𝑥 2
√144 = 𝑥
12 = 𝑥
b) Hallar la tercera proporcional de: 625 y 125 PROPIEDADES

Solución:
Propiedad 13
625 125
=
125 𝑥
625. 𝑥 = 125. 125
𝑥 = 25
c) Hallar la cuarta proporcional de: 144; 6 y 24

Solución:
144 24
=
6 𝑥
144𝑥 = 6.24
𝑥=1
d) Hallar la cuarta diferencial de: 19; 15; 12

Solución:
𝟏𝟗 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟐 − 𝑥
4 = 12 − 𝑥
−8 = −𝑥
8 = 𝑥
SERIES DE RAZONES EQUIVALENTES
Es la igualdad de dos o más razones geométricas.
Se denomina serie de razones geométricas continuas.

En esta serie continua también se cumplen las
propiedades mencionadas
Entonces:
𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛
= =⋯= =𝑘
𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛
3
(MATEMÁTICAS, s.f.)
PRACTIQUEMOS
D E F 1.2 Hallar el valor de: 2E + F:
1. Sean: = =
3 11 5
Además: 11D + 3E + F = 568
1.1 Hallar el valor de D
A) 24 B) 20 C ) 22 D) 21 E) 26 A ) 231 B) 234 C) 213 D) 245 E) 216
2. En una fiesta se observa que por cada 5 hombres hay 2.2 La cantidad de mujeres que no fuman son:
7 mujeres, y además que por cada 3 hombres que
fuman hay 8 mujeres que no fuman.
2.1 Calcular cuántos hombres estaban fumando;

sabiendo que hay 10 mujeres más que hombres
y hay 20 personas fumando.
A)9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3 A) 21 B) 23 C) 24 D) 26 E) 20
3. En una universidad, la relación de hombres y 4. A una fiesta asistieron 900 personas. Se sabe que por
mujeres es de 6 a 11; la relación de hombres que cada 7 mujeres hay 5 hombres. Además de cada 15
estudian ciencias y hombres estudian letras es de 7 a hombres, 7 son casados y de cada 7 mujeres 3 de
4. ¿Cuál es la relación de los hombres en ciencias y ellas usan minifalda. Calcular la relación los
el total de alumnos? hombres solteros y las mujeres que no usan
minifalda.
40 42 42 42 40 2 2 3 4 5
A) B) C) D) E) 𝐴) B) C) D) E)
187 187 107 197 189 3 9 2 7 8
5. Las edades de Miguel y Carlos están en la relación 5.2 La suma de las edades de Miguel y Carlos es:
de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en la relación de
13 a 12.
5.1 Calcular la suma de las edades que tenían hace

7 años
A) 37 B) 35 C) 36 D) 39 E) 33
A ) 59 B) 55 C) 56 D) 51 E.)53
6. Los números D, E y F son entre sí como los números 7. Se cumple que:

18; 9 y 12 sabiendo que la cuarta diferencial de D, E 𝑎 10 𝑑
y F es igual a 15. Hallar la cuarta proporcional de D, = =
𝑏 𝑐 𝑒
E y F.
Hallar la suma de los antecedentes de una Además:
proporción geométrica de valor 3/2, si la suma de los 7𝑎𝑐 + 5 𝑎𝑒 − 21𝑏 = 12 𝑑𝑏
consecuentes es 28.
𝑐 2 −𝑒 2
Hallar:
𝑐 3 −𝑒 3
23 17 13 25 13
A) 39 B) 35 C) 36 D) 30 E) 33 A) B) C) D) E)
213 219 218 209 279
8. En un matrimonio, la relación hombres y mujeres era

8.2 La cantidad de mujeres que había al principio
de 5 a 4. Después de un tiempo llegaron 12 parejas
es:
de esposos con lo que la relación ahora es de 7 a 6:
8.1 La cantidad de hombres que hay ahora es:
A )29 B) 25 C)24 D) 20 E) 23
A) 42 B) 45 C)46 D) 40 E) 44
9. Hallar la suma de los antecedentes de una 10. Mery tenía 6 años, cuando nació su hermano
proporción geométrica de valor 3/2, si la suma de los Lucho. El año pasado sus edades estaban en la
consecuentes es 28. relación de 7 a 5. ¿Cuantos años deben de
transcurrir para que sus edades se encuentren en la
relación de 4 a 3?
A)42 B)45 C)46 D) 40 E)44 A) 2 B) 3 C)4 D) 7 E) 9
11. Pedro tiene 𝑚𝑛

̅̅̅̅ años y Mery ̅̅̅̅
𝑚𝑐 años (𝑛 > 𝑐). 12. Dos números consecutivos aumentados en 60 y 27
Hace 10 años, sus edades estaban en la relación de respectivamente son proporcionales a 5 y 3
n a c respectivamente y sumaban ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎(𝑚 + 3) años. ¿Cuánto se le debe sumar al mayor de los números
Dentro de 𝑎𝑚 ̅̅̅̅ años. ¿Cuántos sumarian sus para que resulte al doble del menor?
edades
A) 42 B) 56 C)96 D) 60 E)24 A) 12 B) 15 C)19 D) 20 E) 14
13. La suma de tres números es 1 425; la razón entre 14. Dos números son entre sí como 13 es a 17. Si la
11 suma del triple del primero con el duplo del
el primero y el segundo es 3 y la diferencia de los
segundo es 511 ¿Cuál es la suma de estos
mismos es 600. El tercer número es:
números?
A) 432 B)356 C)456 D) 375 E)424 A)210 B) 156 C)196 D) 260 E) 224
15. En una serie de razones geométricas equivalentes 16. Hallar:

los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. El producto de
los consecuentes es 37 422. Hallar la suma de los
16.1 La cuarta diferencial de 36: 21 y 48
consecuentes.
16.2 La tercera proporcional de 36 y 30
16.3 La media proporcional de 49 y 64
A) 42 B) 56 C)96 D) 69 E) 24
17. Se sabe que los 2/5 de A es a los ¾ de B como 4 es 18. En el centro preuniversitario hay 3 500 alumnos: 4
a 15 y que B es a los 2/7 de C como 14 es a 3, si la de 7 alumnos postularon a la UCSM a la escuela
suma de A y C es 1 200 ¿Cuál es la diferencia entre Profesional de Derecho de los cuales solo
B y C? ingresaron la cuarta parte ¿Cuál es la relación de
los alumnos que ingresaron a la escuela
Profesional de Derecho con respecto al total de
alumnos del centro preuniversitario?
A)242 B)256 C)240 D)2 60 E) 220

A) 1/7 B) 5/6 C)1/8 D) 2/5 E) 7/4
19. Las edades de Edgar y Maribel son 36 y 24 por lo 20. En la fiesta de promoción de la institución
tanto están en relación de 3 a 2 ¿En qué tiempo la educativa “Corazón de Jesús”, se retiran 16
relación será de 5 a 4? mujeres, quedando la relación de mujeres con
hombres de 1 es a 3. Luego se retiran 120 hombres
quedando la misma cantidad de hombres que de
mujeres. Calcular la cantidad inicial del total de
personas
A) 22 B.)24 C)26 D)20 E) 21

A) 342 B)356 C)256 D) 260 E) 324
Definimos una magnitud desde el punto de vista MAGNITUDES PROPORCIONALES

físico, una magnitud es toda aquella propiedad o
entidad abstracta que puede ser medida en una Todo lo que pueda mediar, pero a su vez pueda
escala y con un instrumento adecuado. En comparar, existen dos clases de magnitudes:
definitiva, magnitud es toda aquella propiedad que
se puede medir. Como ejemplos de magnitudes MAGNITUDES DIRECTAMENTE
pueden citarse peso, masa, longitud, velocidad, PROPORCIONALES6
tiempo, temperatura, presión, fuerza, etc.4
Magnitudes proporcionales es todo aquello que Si dos magnitudes son tales que, a doble,
pueda medir, pero a su vez que se pueden comparar triple... cantidad de la primera corresponde doble,
entre si triple... de la segunda, entonces se dice que esas
magnitudes son directamente proporcionales.
Relación entre magnitudes
Cantidades físicas relacionadas Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden

según la siguiente tabla:
Dos cantidades físicas A y B se encuentran en
reacción cuando una varía y la otra también o según Magnitud a b c d ...
las condiciones en las que se encuentran. 1ª
Variable: Cantidad física que puede asumir
diferentes valores Magnitud a’ b’ c’ d’ ...
Variable independiente. El valor que tenga 2ª
asignado la variable no dependerá de otra variable.
Se representan dentro del eje de abscisas5. son directamente proporcionales si se cumple que:
Variable dependiente. El o los valores de una
variable dependerá exclusivamente de los valores
que obtengan otras variables.
Entre estas variables se puede establecer relaciones
RELACIÓN DIRECTA Ejemplo
Se le menciona en algunos textos que se relacionan Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2
directamente si una de las variables varía en un sacos?
sentido y la otra también varía en la misma
Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos
dirección. Ejemplo: obra y obreros, a mayor
se podrán hacer?
cantidad de obreros mayor será el trabajo que se
hará en una obra. Número
1 2 3 ... 26 ...
de sacos
RELACIÓN INVERSA
Peso en
También llamadas inversamente relacionadas. 20 40 60 ... 520 ...
kg
Sucede que cuando una de variables varía en cuanto
una aumenta y la otra disminuye o en forma
viceversa, ejemplo la velocidad y el tiempo, Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
mientras una aumenta la otra disminuye.
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Conocidas las relaciones en las magnitudes puede Observa que:
darse de la siguiente manera:
4
(UTP, s.f.)
5 6
https://concepto.de/variable/#ixzz6g8MwJ0uW (ESO, 2020)
Esta forma de plantear y resolver problemas sobre

proporciones se conoce con el nombre de regla de
tres simple directa.
Las magnitudes número de sacos y peso en
kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de Ejemplo 2
número de sacos a kg es 20.
Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros
podrá recorrer el coche?
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal.

¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200
gramos de sal?
Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble
cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las
magnitudes cantidad de agua y cantidad de MAGNITUDES INVERSAMENTE
sal son directamente proporcionales. PROPORCIONALES7
Si dos magnitudes son tales que, a doble,

Si representamos por x el número de litros que triple...cantidad de la primera corresponde la mitad,
contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la la tercera parte... de la segunda, entonces se dice
siguiente tabla: que esas magnitudes son inversamente
Litros de agua 50 x proporcionales.
Gramos de sal 1300 5200

Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden
según la siguiente tabla:
Magnitud 1ª a b c ...
Se verifica la proporción:
Magnitud 2ª a’ b’ c’ ...
Y como en toda proporción el producto de medios es
igual al producto de extremos, resulta:
50.5200=1300.x son inversamente proporcionales si se verifica
que:
a.a’ = b.b’ = c.c’ = ...
Es decir
En la práctica esto se suele disponer del siguiente
modo:
Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo,

¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el
mismo trabajo?
7
(ESO, 2020)
En este caso a doble número de trabajadores, el Esta forma de plantear y resolver problemas sobre
trabajo durará la mitad; a triple número de proporciones se conoce con el nombre de regla de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tres simple inversa.
tanto, las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Formamos la tabla: Ejemplo 2
Hombres 3 6 9 ... 18 Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8

toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos
Días 24 12 8 ... ? envasar la misma cantidad de vino empleando 32
toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72

Por tanto 18.x=72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el
trabajo Pues la cantidad de vino=8.200=32.x
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad

para poder envasar la misma cantidad de vino.
Ejemplo 1
Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220

vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar
con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?
Vemos que, con el mismo pienso, si el número de vacas

se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número
de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son
magnitudes inversamente proporcionales.
x= número de días para el que tendrán comida las 450
vacas
Nº de vacas 220 450
Nº de días 45 x
Se cumple que: 220. 45=450.x, de donde
En la práctica esto se suele disponer del siguiente

modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días
PRACTIQUEMOS
1. Un ingeniero puede construir 600 metros de 2. Pedro descubre que los gastos que hace en celebrar
carretera con 40 obreros en 50 días, trabajando 8 el año nuevo son D.P. al número de invitados e I.P.
horas diarias ¿Cuántos días tardaría este ingeniero a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si la
en construir 800 metros de carretera, con 50 última ves gastó S/ 1 200; invitó a 100 personas y
obreros doblemente eficientes que los anteriores en ocupó 12 horas. Sí invita 20 personas menos y
un terreno de triple de dificultad, trabajando dos ocupando 4 horas más, lo que ahorró fue:
horas más por día?
A) 64 B) 62 C)66 D) 60 E) 61 A) S/ 630 B) S/ 480 C))S/ 840 D) S/ 560 E) S/750
3. B es D.P. a 4 e I.P. al cuadrado de 3 mientras que 4. Se contrataron 42 obreros para construir una casa y
E es D.P. a 3 e I.P. al cuadrado de 4, si B y E suman faltando 30 días para terminarla 2 de los obreros
6 370, la diferencia de B y E es: renunciaron a la obra y los restantes disminuyen su
rendimiento en 30%. Los días que se tardaron los
obreros restantes para culminar lo que falta de la
obra son:
A) 2640 B) 2620 C)2660 D).2560 E) 2590 A) 44 B) 42 C)45 D) 46 E) 41
5. Un obrero descubre que la cantidad de trabajo que 6. Una familia de 10 personas cuenta con S/ 112 000
realiza en una hora varía en razón directa a su para vivir 8 meses en una ciudad A los 3 meses, 4
salario por hora en I.P. a la raíz cuadrada al número de sus integrantes se independizan por lo que ya no
de horas que trabaja por día. Se puede terminar una vivirán en la casa, el costo de vida aumenta en un
obra en 6 días cuando trabaja 9 horas diarias a S/ 1/5 ¿Cuánto dinero sobrará después de 8 meses?
12 por hora. ¿Cuántos días tardaría en terminar la (respuesta en soles)
misma obra cuando trabaja 16 horas diarias a S/ 18
por hora?
A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E)1 A) 14 400 B) 12 400 C )16 800 D) 19 600 E) 15 200
7. Cierta cantidad de gallinas de una granja consumen 8. Un grupo de alumnos del Centro Preuniversitario
granos en 15 días y se observa que, si hubiese formado por 5 alumnos demoran 4 horas en
habido 40 gallinas más, habrían consumido la resolver 65 problemas. ¿Qué tiempo demora otro
misma cantidad de granos en 10 días ¿En qué equipo formado por 4 alumnos en resolver 78
tiempo habrían consumido la misma cantidad de problemas?
granos si hubiese habido 5 gallinas menos, con
respecto a la cantidad inicial?
A) 15 B) 12 C)14 D) 16 E) 10 A) 3 B) 6 C).2 D) 8 E) 1
9. Si se contratan 81 obreros para que trabajando 27 10. Sean las magnitudes A, B, y C se cumple que:
días a 9 horas diarias construyan 3 edificios. Con 𝐴 𝐷. 𝑃. 𝐵2 , 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝐶 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
243 obreros trabajando durante 81 días a 3 horas 𝐴 𝐼𝑃 𝐶 2 , 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 , si cuando
diarias. ¿Cuántos edificios construirán? 𝐴 = 16 ; 𝐵 = 6 𝑦 𝐶 = 3 , Calcule 𝐴 cuando
𝐵 = 10 𝑦 𝐶 = 5
A) 9 B) 2 C)4 D) 6 E) 1
A) 16 B) 12 C)14 D) 11 E)10
11. 8 agricultores para eso deben trabajar 10 horas 12. Si 5 máquinas en 6 días trabajando 7 h/d hacen
diarias durante 5 días pueden arar un terreno 10000 latas de conservas. Se tiene 6 máquinas las
cuadrado de 40 m de lado ¿Cuántos agricultores de cuales hacen “p” latas en 7 días trabajando 8h/d por
doble rendimiento serán necesarios para que en 6 imperfecciones se desechan el 25% de las latas
días trabajando 8 horas diarias puedan arar otro producidas ¿Cuántas lastas sin imperfecciones
terreno también cuadrado de 48 m de lado? produjeron las 6 máquinas?
A) 5 B) 1 C)4 D) 6 E) 9 A) 12000 B) 15000 C) 14000 D) 16000 E) 10000
13. 16 obreros trabajan 9 horas diarias, y en 12 días 14. Si un grifo, dando por minuto 100 litros de agua,
hacen 60 mesas ¿Cuántos días necesitaran 40 llena en 8 horas un pozo; cinco grifos, dando cada
obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer uno 40 litros por minuto ¿En cuántas horas llenará
un ciento de las mismas mesas? un pozo 6 veces el anterior?
A) 25 B) 24 C)28 D) 26 E) 29
A) 5 B) 1 C)9 D) 6 E)3
15. Un agricultor siembra zanahorias en un terreno 16. Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros
cuadrado de 16 metros en 16 horas ¿Qué tiempo tardan 21 días ¿Cuantos días se necesitarán para
empleará en sembrar otro terreno cuadrado de 4 pavimentar 120 metros de la misma pista con 4
metros más de lado que el anterior? obreros menos?
A)23 B)25 C)24 D)26 E)29

horas horas horas horas horas A) 15 B) 11 C )18 D) 16 E) 19
17. 25 patos consumen 60 kg de maíz en un mes, si 18. 40 obreros llenan una piscina con 35 baldes de 5
quiero alimentar 160 patitos durante un mes con el litros cada uno en tres horas. ¿Cuántos obreros se
mismo nivel de consumo de maíz. Los kilos de necesitarán para cargar 30 baldes de 7 litros cada
maíz que debo comprar son: uno en 6 horas, para llenar una piscina tres veces la
capacidad anterior?
A) 72 B) 71 C )78 D)76 E) 79
A)365 B) 341 C )298 D)384 E) 299
19. Pedro, pintor tarda 9 horas en pintar una superficie 20. Un grupo de 21 carpinteros han hecho en 12 días de
cuadrada de 6 metros de lado. ¿Cuántas horas 8 h/d un total de 360 𝑚2 ¿Cuántos 𝑚2 hará otro
tardará en pintar la superficie externa de un cubo de grupo de 40 carpinteros, 20% más eficientes que
4 metros de lado? los anteriores en 7 días trabajando 10 h/d?
A) 800 B) 300 C ) 600 D) 700 E) 200

A) 25 B)24 C ) 28 D)26 E) 20
UNIDAD 3: ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO c) Mario sabe que el número de estudiantes en su
1. Definición: Es una igualdad matemática que en su institución educativa es tal que si se retira la tercera
estructura encontraremos una incógnita “x” parte quedan 312 estudiantes. ¿Cuántos estudiantes
denominada variable. hay en su I.E.?
La ecuación de primer grado está dada por: Solución:
N° de estudiantes = x
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
𝑥
𝑥− = 312
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ⋀ 𝑎 ≠ 0 3
Ejemplos: 3𝑥 − 𝑥 = 936
3𝑥 − 2 = 0 2𝑥 = 936
𝑥 = 468
5
𝑥+7=0 Rpta. En la I.E. de Mario hay 468 estudiantes
9
√5𝑥 − 1,8 = 0 3. Análisis de las soluciones de la ecuación

paramétrica:
2. Conjunto Solución: Es el conjunto de valores que 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
permiten que la ecuación sea una proposición
verdadera y dicho valor toma el nombre de solución o Donde: x es la incógnita
raíz de la ecuación. a y b son parámetros
Ejemplos: Compatible Determinada: Es una ecuación que tiene
a) Resolver la siguiente ecuación: solución única, es decir, su conjunto solución es finito.
3 1 5
𝑥+ = 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
2 4 2
Solución: 𝒃
3 1 5 𝒙=
𝑥+ = 𝒂
2 4 2
Si 𝑎  0 (no importa el valor de b)
Sacamos m.c.m.= 4 a toda la expresión:
Ejemplo:
6𝑥 + 1 = 10 5x – 18 = 2x – 6
3 3x = 12
𝑥= x=4
2
3 C.S = {4}
𝐶. 𝑆. { }
2 (es el único valor que cumple la ecuación)
b) Resolver: Compatible Indeterminada: Es una ecuación en la

2𝑥 + 5 4𝑥 − 3 que se cumple para infinitas soluciones.
− 2(3𝑥 − 5) + 2𝑥 =
2 3 Debido a que: a = 0 y b = 0 en la ecuación:
Solución:
2𝑥 + 5 4𝑥 − 3
− 2(3𝑥 − 5) + 2𝑥 = 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
2 3
Sacamos a toda la expresión m.c.m. = 6: 0𝑥 = 0
6𝑥 + 15 − 6𝑥 + 10 + 2𝑥 = 8𝑥 − 6 ∴ 𝑪. 𝑺. = ℝ
31 = 6𝑥 Ejemplo
31 3𝑥 + 1 = 3(𝑥 + 1) – 2
𝑥=
6 3𝑥 + 1 = 3𝑥 + 3 − 2
31
𝐶. 𝑆. { } 0𝑥 = 0
6
Si x toma cualquier número real cumple con la
igualdad.
∴ 𝐶. 𝑆 = 𝑅 (infinitas soluciones)
Incompatible: Es una ecuación que carece de solución, [a; b], al conjunto de números reales x, tales
es decir, su conjunto solución es vacío. que: a  x  b, es decir
[𝑎; 𝑏] = {𝑥𝑅 / 𝑎  𝑥  𝑏}
Debido a que 𝑎 = 0 ⋀ 𝑏  0 en la ecuación:
Ilustración gráfica:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
0𝑥 = 𝑏 x
𝐶. 𝑆. ∅
a b
Ejemplo
5𝑥 = 3𝑥 + 2(𝑥 + 5)
5𝑥 = 3𝑥 + 2𝑥 + 10 x[a; b]  axb
0𝑥 = 10
No existe ningún número real que cumpla la igualdad. c) Intervalo semiabierto
𝐶. 𝑆 = ∅ Si a, bR son extremos de un intervalo y uno de
ellos, no está en dicho intervalo semiabierto,
INECUACIONES DE PRIMER GRADO entonces puede presentarse dos tipos de
4. Desigualdad: Es una relación de orden que se intervalos:
establece entre dos elementos de un conjunto dentro de  [a; b (semiabierto por la derecha)
un sistema de los números reales, donde uno de ellos es [a; b = {xR/ a  x < b }
mayor o menor que el otro.
Se utiliza los siguientes símbolos para determinar la Ilustración gráfica:
relación de orden entre dos valores reales.
x
≤ Menor igual que a b
≥ Mayor igual que
< Menor que x[a; b  ax<b
> Mayor que
 a, b] (semiabierto por la izquierda)
5. Intervalos a, b] = {xR / a < x  b}
Ilustración gráfica:
Es un subconjunto de números reales ℝ, es decir, que
toma una parte de este conjunto y esta limitan en sus x
extremos por dos valores denominados límite superior
e inferior. a b
6. Clases de intervalos8 xa; b]  a<xb
6.1. Intervalos acotados
6.2. Intervalos no acotados
a) Intervalo abierto Tienen un extremo ideal +, ó –.
Si a, bR con a < b, se llama intervalo abierto y Pueden ser:
se denota por a; b o ]a; b[, al conjunto de
números reales x, tales que: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, es
decir: x
]𝑎; 𝑏[ = {𝑥𝑅 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 } a +
Ilustración gráfica: x[a; +  xa
x
x
a b
a +
xa; b  a<x<b
xa; +  x>a
b) Intervalo cerrado
Si a, bR, con a  b, se llama intervalo cerrado x
y se denota por - a
8UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –
Ciencias 2017”.Ingreso 2018
x- ;a]  xa Solución:
Edad de Ricardo = x
x
Planteamos la primera inecuación:
- a 𝑥 𝑥
+4<
x- ; a  x<a 4 3
7. Inecuaciones de primer grado con una variable mcm: 12

Una inecuación es una relación de orden que se da entre 3𝑥 + 48 < 4𝑥
dos expresiones matemáticas considerando por lo 48 < 𝑥
menos una variable, se presenta de la siguiente forma:
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 Planteamos la segunda inecuación:
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 + 9 < 35
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 2
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 < 26
2
Considerando que: a; bR, a  0 𝑥 < 52
7.1. Resolución de una inecuación de primer

grado
Es hallar un conjunto de valores que satisfacen la −∞ 48 52 +∞
desigualdad, que es expresado a través de un intervalo
denominado conjunto solución. 𝑥 ∈ ]48; 52[
Para la resolución de una inecuación de primer grado
se efectuarán las operaciones indicadas y luego ∴ La edad de Ricardo es 49 años
despejar la variable tomando en cuenta los teoremas de 8. SISTEMAS DE INECUACIONES CON
las desigualdades. UNA VARIABLE
Dadas dos o más de inecuaciones de primer grado con
Ejemplos una incógnita estarían formando un sistema de
inecuaciones.
a) Determinar el conjunto solución de: Para resolver un sistema de inecuaciones primero se
3𝑥 − 12 ≤ 4(𝑥 − 7) resuelven cada una de las inecuaciones que forma parte
Solución: del sistema y la solución del sistema es la intersección
3𝑥 − 12 ≤ 4(𝑥 − 7) de los diferentes conjuntos soluciones de las
Efectuamos la operación: inecuaciones que formaron parte del sistema.
3𝑥 − 12 ≤ 4𝑥 − 28
Despejamos y reducimos: Ejemplo
16 ≤ 𝑥 Determinar el conjunto solución de:
∴ 𝑥 ∈ [16; +∞[ −2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
b) Indicar el mayor valor entero que puede tomar x Solución

en la siguiente inecuación: Primero se generan las dos inecuaciones
3𝑥 + (𝑥 − 3)2 > (𝑥 − 5)(𝑥 + 3) −2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
Solución: 3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
3𝑥 + (𝑥 − 3)2 > (𝑥 − 5)(𝑥 + 3) Luego se resuelven de manera independiente cada
Efectuamos las operaciones: una:
3𝑥 + 𝑥2 − 6𝑥 + 9 > 𝑥2 − 2𝑥 − 15 −2(5 − 𝑥) + 8 < 3𝑥 + 5(𝑥 − 4)
24 > 𝑥 −10 + 2𝑥 + 8 < 3𝑥 + 5𝑥 − 20
∴ 𝑥 ∈ ]−∞; 24[ 18 < 6𝑥 3 < 𝑥 CS 1
→ 𝑥 = 23
c) La edad de Ricardo es un número impar. Si 3𝑥 + 5(𝑥 − 4) ≤ 15 + 𝑥
a la cuarta parte de su edad se le agrega 4 3𝑥 + 5𝑥 − 20 ≤ 15 + 𝑥
resulta menor que la tercera parte de su edad; 7𝑥 ≤ 35 𝑥 ≤ 5 CS 2
mientras que a la mitad de su edad se le suma
9, el resultado es menor que 40. Calcular la Luego se interceptan los conjuntos solución y
obtenemos la solución del sistema
edad de Ricardo sabiendo que es la menor
CS 1 ∩ CS 2 𝑥 ∈ ]3; 5]
posible.
PRACTIQUEMOS
21. El profesor Germán les pide a sus estudiantes que 22. En la Región Cusco los pobladores están
le ayuden a resolver la siguiente ecuación: preocupados por la tala ilegal de árboles para lo cual
𝟑(𝟐𝒙 – 𝟔)– [(𝒙 – (𝟑𝒙 – 𝟖) + 𝟐)– 𝟏] la población estudiantil ha decido realizar una
= 𝟐 – (𝟑 – 𝟐𝒙) campaña para sembrar árboles, Nina sembró 9
Para poder determinar qué clase de número es la árboles más que Mariana, entre las dos sembraron
respuesta: 35 árboles. Si cada plantón cuesta 2,5 soles ¿Cuánto
invirtió Mariana en la campaña?
A) B) C) D) E) A) 32,5 B) 37,5 C) 45 D) 55 E) 22,5

Entero Racional Natural Irracional Racional soles soles soles soles soles
positivo negativo negativo Positivo
23. El profesor Deivi indicó a dos de sus estudiantes lo 4. Tres hermanos fueron a la huerta de su abuelita y
siguiente. José debe comprar tres veces la cantidad recogieron 29 manzanas. El hermano intermedio se
de caramelos que su compañero Virgilio. Y se sabe quedará con tres unidades más que el hermano
que entre los dos compraron 24 caramelos, mayor y el hermano menor se quedará con el doble
¿Cuántos caramelos compro José? de las manzanas que el hermano intermedio.
¿Cuántos manzanas tiene el hermano intermedio?
A) 6 B) 9 C) 7 D) 5 E) 8
A) 8 B) 18 C) 9 D) 6 E) 16
5. Mario compró un juguete para su hijo y un CD para 6. Con los datos del problema anterior responder:
él. Cuando llegó a su casa, su esposa le pregunto ¿Cuál es la diferencia de precios?
sobre el costo del juguete y la repuesta de Mario fue
la siguiente: el juguete me costó 25 soles más que el
CD. Si compraba 2 juguetes y 3 CD hubiera pagado
300 soles. ¿Cuánto cuesta el juguete?
A) 15 B) 8 C) 20 D) 25 E) 12
soles soles soles soles soles
Si Mario pagó con un billete de 200 soles los dos

objetos. ¿cuánto de vuelto recibió?
A) 30 B) 28 C) 50 D) 75 E) 80
soles soles soles soles soles A) 80 B) 50 C) 30 D) 75 E) 45
7. En un vuelo Lima – Cusco de la aerolínea Viva Air 8. En el hipermercado Tottus del Mall Aventura se han
Perú viajan 120 pasajeros entre: españoles, vendido en un día 350 gaseosas de litro y medio
alemanes y franceses. Hay 30 franceses más que entre Inca Kola y Escocesa. Si el ingreso por dicha
alemanes y de españoles hay el doble que de venta asciende a 1 550 soles y el precio unitario es
franceses y alemanes juntos. ¿Cuántos españoles de 4 soles y 5 soles respectivamente. ¿Cuántas
había? gaseosas escocesas se vendieron?
A) 60 B) 48 C) 80 D) 40 E) 72 A) 200 B) 120 C) 180 D) 240 E) 150
9. La siguiente ecuación lineal es compatible 10. Por campaña Navideña la Zapatería Platanitos
indeterminada pone a la venta un cierto número de pares de
𝑚𝑥 − 𝑛 + 5𝑥 + 3 = 9𝑥 + 2 botines. Vende inicialmente las dos quintas
Hallar el valor de 3𝑚 + 2𝑛2 partes y después un comprador le hace un
pedido de las tres cuartas partes de lo que
quedaba. Antes de entregar el pedido la
Zapatería se da cuenta que 600 pares de
botines se encontraban en mal estado y solo
pudo venderle las ocho novenas partes del
pedido quedándose la zapatería sin stock.
¿Cuántos pares de botines fueron solicitados
por el comprador?
A) 1200 B) 2100 C) 1800 D) 1350 E) 1400

A) 14 B) 18 C) 12 D) 27 E) 9
11. A Daniela le han indicado que su propina de 12. Un grupo de estudiantes tiene S/400 para
la semana será el triple del mayor valor entero comprar entradas para el show artístico que el
del conjunto solución de la siguiente municipio ofrecerá por la inauguración del
inecuación: parque que remodeló. Si adquieren las
17 5 − 𝑥 entradas a precio normal, el costo de cada una
2𝑥 − < +8
3 4 es S/15, les faltaría dinero; sin embargo, si
¿Cuánto recibe Daniela de propina? compran las entradas a la tarifa con descuento
para estudiantes de Secundaria, el costo es de
S/10 por entrada, les sobraría dinero.
¿Cuántos estudiantes como máximo hay en
este grupo?
A) 12 B) 15 C) 18 D) 24 E) 16 A) 40 B) 42 C) 35 D) 39 E) 45
13. El tío Juan desea saber cuántos patos tiene en 14. María quiere saber cuántos años tiene su
su chacra para esto nos indica que si la sobrina Jimena y le han indicado que es el
cantidad de patos se duplica y vende 25 le doble del mayor valor entero que satisface al
quedarían menos de 54 patos. Pero si la sistema:
cantidad de patos se triplica y vende 75 4𝑥 − 1 5𝑥 − 2
quedarían más de 39. +5>2−
{ 3 2
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) ≤ (𝑥 − 3)2 + 32
A) 15 B) 42 C) 39 D) 28 E) 18 A) 8 B) 6 C) 12 D) 4 E) 10
patos patos patos patos patos años años años años años
15. En el complejo habitacional Valle Blanco se 16. El puente de Chacanto, que une las regiones
ha organizado una chocolatada por navidad y Amazonas y Cajamarca, se encuentra en
se sabe que la cantidad de niños, es proceso de reconstrucción debido a los danos
equivalente a la suma de todos los valores sufridos por las torrenciales lluvias y por su
enteros positivos que satisfacen la siguiente antigüedad, pues data de hace 90 anos. Su
inecuación: capacidad original fue de 16 toneladas; sin
2𝑥 − 1 2 2𝑥 + 1 3𝑥 + 2 embargo, en la actualidad, por medidas de
− < +
2 3 5 6 seguridad, se ha reducido a su cuarta parte.
¿Para cuántos niños se preparó la chocolatada? Una furgoneta cuya tara es de 1750 kg debe
cargar cuatro cajones iguales y del mismo
peso. ¿Cuánto puede pesar, como máximo,
cada uno de esos cajones para poder cruzar
dicho puente?
(Tara: peso de un vehículo destinado al
transporte, vacío sin mercancía).
A) 194 B) 186 C)212 D) 142 E) 136 A) 558 B) 612 C) 562 D) 384 E) 466
niños niños niños niños niños kg kg kg kg kg
17. Un maestro pastelero hizo cierto número de 18. A Jorge, que es un vendedor de automóviles,
pasteles de ciruela, vendió 49 y le quedaron le ofrecen en la tienda de autos “Casi Nuevos”
por vender más de la mitad. Hace después 9 S/1000 de sueldo fijo más S/200 por
pasteles vende 20 quedándole menos de 41 automóvil vendido; mientras que en la tienda
pasteles por vender. ¿Cuántos pasteles ha “Súper Veloces” le ofrecen S/1800 de sueldo
preparado sabiendo que inicialmente fue un más S/110 por auto vendido. Jorge piensa que
número impar? en “Súper Veloces” le pagan mejor, pero
también cree que en “Casi Nuevos” podría
obtener un mayor ingreso mensual, dada la
comisión que recibirá por auto vendido.
¿Cuántos autos como mínimo debe vender
Jorge para que su ingreso mensual en “Casi
Nuevos” sea mejor que en “Súper Veloces”?
A) 10 B) 12 C) 6 D) 15 E) 9
A) 107 B) 108 C) 100 D) 109 E) 99 autos autos autos autos autos
19. Un carpintero va a colocar un zócalo en una 20. El tiraje de una revista mensual tiene como
habitación que tiene el piso de forma de un costo de edición 30 000 soles, a los que se
rectángulo de 8 m de ancho y con un perímetro debe adicionar 1,50 soles de gasto de
menor que 40 m. ¿Cuál es el máximo valor distribución por cada ejemplar. Si cada revista
entero que puede tener el largo del piso del se vende a 3,50 soles y se obtienen ingresos
cuarto? de 12 000 soles por publicidad, ¿cuántas
revistas se deben vender para empezar a
obtener beneficios?
A) 11 B) 14 C) 8 D) 12 E) 9 A) 5201 B) 6850 C) 9001 D) 8001 E) 7540

metros metros metros metros metros
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 11.2. Formula General:
9. Definición: Es una ecuación polinomial de la Aplicable en toda ecuación cuadrática y responde a la

forma: siguiente formula:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑥=
2𝑎
Donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ ⋀ 𝑎 ≠ 0 La cantidad subradical de la formula se le denomina

discriminante, entonces podemos decir que:
Ejemplos: ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥 2 − 7𝑥 − 2 = 0
5 2 Ejemplo:
5𝑥 2 + 𝑥 − = 0
9 3
a) Determinar el conjunto solución de:
𝑥 2 − 1,8 = 0 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0
Solución:
𝑥 2 + 6𝑥 = 0 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0
10. Conjunto Solución: Es el conjunto de valores que Aplicamos formula general:

permiten que la ecuación sea una proposición −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
verdadera y dicho valor toma el nombre de solución o 𝑥=
raíz de la ecuación. 2𝑎
𝑎=2 𝑏 = −4 𝑐=1
11. Resolución de una ecuación cuadrática:
Para resolver una ecuación cuadrática puede ser por:
−(−4) ± √(−4)2 − 4(2)(1)
𝑥=
11.1. Factorización: 2(2)
En algunos casos para su resolución se puede aplicar: 4 ± √16 − 8

Factor común: 𝑥=
4
𝑥2 − 7𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 7) = 0 4 ± 2√2
𝑥1 = 0 ⋀ 𝑥2 = 7 𝑥=
4
𝐶. 𝑆. {0; 7}
Diferencia de Cuadrados: 2 + √2 √2
𝑥2 − 121 = 0 𝑥1 = 𝑥1 = 1 +
2 2
(𝑥 − 11) (𝑥 + 11) = 0
𝑥1 = 11 ⋀ 𝑥2 = −11 2 − √2 √2
𝐶. 𝑆. {−11; 11} 𝑥2 = 𝑥2 = 1 −
2 2
Aspa simple
6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 0
3x 5 √2 √2
𝐶. 𝑆. {1 + ;1− }
2x -3 2 2
(3𝑥 + 5)(2𝑥 − 3) = 0 b) Resolver:

𝑥 + √𝑥 − 3 = 3
5 3 Solución:
𝑥1 = − ⋀ 𝑥2 =
3 2
𝑥 + √𝑥 − 3 = 3
5 3 Despejamos:
𝐶. 𝑆. {− ; }
3 2 √𝑥 − 3 = 3 − 𝑥
Elevamos al cuadrado la expresión:
2 Solución
(√𝑥 − 3) = (3 − 𝑥)2
Desde que las raíces son iguales entonces:  = b2 –
𝑥 − 3 = 9 − 6𝑥 + 𝑥 2 4ac = 0, es decir:
𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0 [(5k – 3)] 2 – 4(k + 1)(9) = 0

x -4 Desarrollando, obtenemos la ecuación:
25k2 – 66 k –27 = 0
x -3
(25k + 9)(k  3) = 0
𝑥1 = 4 ⋀ 𝑥2 = 3
De donde:
Por ser una ecuación irracional debemos hacer la 25k + 9 = 0  k3=0
comprobación:
𝑥1 = 4 k= 9  k=3
𝑥 + √𝑥 − 3 = 3 25
4 + √4 − 3 = 3 13. Propiedades de las raíces.10
5 ≠ 3 no cumple
Sea: 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación:
𝑥2 = 3 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥 + √𝑥 − 3 = 3 Entonces se cumple que:
𝑏
3 + √3 − 3 = 3  Suma de raíces: 𝑥1 + 𝑥2 = −
3 = 3 cumple 𝑎
𝑐
∴ 𝐶. 𝑆. {3}  Producto de raíces: 𝑥1 𝑥2 =
𝑎
12. Naturaleza de las raíces de la ecuación de  Diferencia de las raíces:
segundo grado
√∆
Teniendo en cuenta que las raíces de la ecuación: 𝑥1 − 𝑥2 = ; 𝑥1 > 𝑥2
𝑎
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Observaciones
En una ecuación cuadrática:
−𝑏 + √∆ −𝑏 + √∆
𝑥1 = ; 𝑥2 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
2𝑎 2𝑎
Entonces, las raíces de la ecuación, depende del  Las raíces son simétricas, si b = 0 (raíces
radicando, es decir de la discriminante ( = b2 – 4ac) simétricas u opuesta son aquellas raíces
numéricamente iguales y de signo contrario, por lo
De acuerdo a esto: tanto, su suma es cero)
 Si:   0 entonces las dos raíces son reales y
diferentes.  Las raíces son recíprocas, si a = c
 Si:  = 0 entonces las dos raíces son reales e iguales. (Raíces recíprocas o inversas son aquellas raíces
(tiene una raíz doble) que su producto es 1)
 Si:   0 entonces las dos raíces son números
complejos y conjugados. (no tiene raíces reales)9 14. Formación de una ecuación de segundo
grado conociendo sus raíces
Ejemplo
Si se conocen las raíces de la ecuación cuadrática 𝑥1 y
Hallar los valores de “k” en la ecuación:
𝑥2 entonces se puede construir la ecuación a la que
(k + 1)x2 – (5k – 3)x + 9 = 0, sabiendo que sus raíces
pertenecen dichas raíces, aplicando la siguiente
son iguales relación:
𝑥 2 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
9UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – 10UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –
Ciencias 2017”.Ingreso 2018 Ciencias 2017”.Ingreso 2018
Donde: c) Si la desigualdad es de la forma: ax2+bx+c > 0

S es la suma de las raíces: 𝑥1 + 𝑥2 ó ax2+bx+c  0, el conjunto solución estará
dado por los intervalos que tengan el signo (+).
P es producto de las raíces: 𝑥1 𝑥2
d) Si la desigualdad es de la forma: ax2+bx+c < 0
Ejemplo: ó ax2+bx+c  0, el conjunto solución estará
Si una de las raíces de la ecuación es 𝟐 + √𝟑 determina dado por los intervalos que tengan el signo ().
la ecuación.
Solución: Nota
Si: 𝒙𝟏 = 𝟐 + √𝟑 y : 𝒙𝟐 = 𝟐 − √𝟑
En las desigualdades estrictas (> ó <) los puntos
Aplicamos: críticos son abiertos y en las desigualdades no
𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 estrictas (  ó  ) los puntos críticos son cerrados.
Es necesario que todos los factores sean de la forma:
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐 + √𝟑 + 𝟐 − √𝟑
ax+b, con a>0. En caso de que a<0, bastará con
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟒 multiplicar por (1) a dicho factor y cambiar el orden
𝒙𝟏 𝒙𝟐 = (𝟐 + √𝟑)(𝟐 − √𝟑) de la desigualdad.
𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟒 − 𝟑
𝒙𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏
∴ 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

15. Definición:
Una inecuación es una relación de orden que se da entre
dos expresiones matemáticas considerando por lo
menos una variable, se presenta de la siguiente forma:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0
Considerando que: a; b; c  R, a  0
16. Solución de una inecuación cuadrática por

el método de puntos críticos
Procedimiento11
a) Se hallan los dos puntos críticos, previamente

factorizando y luego se ubican en la recta real,
de tal manera que determina un cierto número
de intervalos.
b) A partir del primer intervalo de la derecha se

colocan alternadamente los signos (+) y ().
11UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I –

Ciencias 2017”.Ingreso 2018
PRACTIQUEMOS
1. Dado el conjunto solución de las siguientes 2. En la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, su discriminante
ecuaciones en los ℝ, determina el valor de es negativo, entonces las raíces de la ecuación son:
verdad según corresponda:
a) 𝑥 2 = 5𝑥 → 𝐶𝑆 = {1; 5}
b) 𝑥 2 − 49 → 𝐶𝑆 = {7}
c) 𝑥 2 + 4 = 4𝑥 → 𝐶𝑆 = {2}
d) 𝑥 2 + 9 = 0 → 𝐶𝑆 = ∅
e) 𝑥 2 = 8𝑥 + 2 → 𝐶𝑆 = {4 ± 3√2}
A) Reales B) No se puede C)Una real y

iguales determinar otra imaginaria
A) FVVVV B) FVVVF C) FFVVV D) Complejas E) Reales
D) FFFVV E) FFVFV conjugadas diferentes
3. Si las raíces de la ecuación: 4. Hace 5 años el cuadrado de la edad de Pablo era
𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 tanto como la edad que tendrá dentro de 7 años.
¿Cuánto le faltara a Pablo para tener 14 años?
son 𝑥1 y 𝑥2 , entonces podemos afirmar que el
valor de 𝑥1 2 + 𝑥2 2 es:
A) ℚ− B) ℤ− C) ℕ D) ℤ+ E) 𝐼 − A) 9 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6
5. En la última navidad la familia de Pedrito jugó al 6. Determinar la ecuación cuadrática cuyas raíces son
amigo secreto, para ello una de las reglas que la suma y el producto de las raíces de la siguiente
propusieron es que el regalo que se dé sea del ecuación:
mismo precio que la edad de la persona a la que
3(𝑥 + 1)2 = 4𝑥 − 5
corresponde el regalo. A Pedrito le toco ser el
amigo secreto de su primo Juan, Pedrito no sabe
cuál es la edad de su primo para poder comprar el
regalo.
Le pregunta a su hermano ¿cuál es la edad del
primo Juan?, a lo que él le responde de la siguiente
manera: mi edad y la edad del primo se diferencian
en dos unidades y la suma de sus cuadrados de las
edades es 580 y el primo es mayor que yo.
Ayudemos a Pedrito a saber de qué precio debe
comprar el regalo. ¿Cuál es la edad del hermano de
Pedrito?
A) 2𝑥2 − 5𝑥 + 12 = 0
B) 3𝑥2 + 6𝑥 + 17 = 0
C) 4𝑥2 − 5𝑥 + 15 = 0
A) 20 B) 18 C) 12 D) 15 E) 19 D) 9𝑥2 − 18𝑥 − 16 = 0
soles y soles y soles y soles y soles y
18 años 16 años 14 años 17 años 21 años E) 3𝑥2 − 6𝑥 − 16 = 0
7. Dada la ecuación: 8. En la siguiente ecuación;

𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 𝐶. 𝑆. = {𝑝, 𝑞}
2𝑥 2 − (𝑚 + 5)𝑥 + 8 = 0
Hallar la suma de los coeficientes enteros de la
1 1 Hallar el valor de m + 7 si sus raíces son
ecuación cuyas raíces son: 𝑝 + 1 y 𝑞 + 1 iguales.
A) -1 B) 3 C) -5 D) -2 E) 0 A) 20 B) -6 C) 4 D) -10 E) 3
9. La edad de Mario es igual al valor de m en la 10. Dos hermanas se han comprado sus terrenos
siguiente ecuación: para casa-granja en La Joya, se sabe que el
terreno de una de ellas el largo es el doble que el
𝑚𝑥 = 𝑥2 + 10
Sabemos que las raíces de la ecuación son 𝑥1 y ancho. El otro terreno, el largo es 40 m más y el
𝑥2 , además se cumple que: ancho es 6m más que el primero. Además, el área
𝑥1 𝑥2 8 de uno es el doble del otro, calcular el área del
+ = primer terreno.
𝑥2 𝑥1 5
¿Cuál será la edad de Mario dentro de cinco
años?
A) 10 años B) 13 años C) 11 años A) 1200𝑚2 B) 3600𝑚2 C) 2180𝑚2

2 2
D) 15 años E) 9 años D) 1380𝑚 E) 1800𝑚
11. Hallar la suma de todos los valores enteros que 12. Ricardo necesita saber el mayor valor entero
satisfacen la inecuación: negativo que pertenece al conjunto solución de la
siguiente inecuación para poder seguir
2𝑥(𝑥 + 8) − 4 < 𝑥2 − 5(1 − 3𝑥) + 13
participando en el concurso de los que más saben.
𝑥2 + 2𝑥 − 2 > 0
A) – 6 B) 9 C) – 3 D) 8 E) 4 A) -2 B) -1 C) -5 D) -3 E) -4
13. La ganancia mensual de una cooperativa que 14. María confecciona “x” enterizos de protección
confecciona ponchos de alpaca está dada por: al mes, si el precio de venta de cada enterizo
𝐺 = 𝑥2 − 70𝑥 – 5000 esta dado por P = 225 − 5x soles y el precio
de costo es de C = 200 + 5x soles. ¿Cuántos
donde x es la cantidad mensual de ponchos
vendidos. ¿Qué cantidad mínima de ponchos se
enterizos de protección como máximo debe
debe vender para que la ganancia sea mayor de confeccionar y vender de modo que la utilidad
S/ 7 000? mensual sea por lo menos de 1500 soles?
A) 81 B) 251 C) 91 D) 256 E) 151 A) 34 B) 28 C) 10 D) 19 E) 45
15. Con la finalidad de evitar conflictos vecinales, un 16. Dada la siguiente inecuación:
ingeniero hará delimitar el terreno rectangular del 𝑥 2 − 𝑝𝑥 + 𝑞 < 0
local social de la asociación de vivienda Buen cuyo conjunto solución es 𝑥 ∈ ]3; 5[, determina
Amanecer que tiene 360 m de perímetro. Calcula el valor de 3p – 2q
las dimensiones del terreno si el área delimitada
debe ser al menos 5600 m2
A) 140 x 40 m B) 180 x 20 m C) 280 x 20 m A) 9 B) - 6 C) 5 D) -54 E) -49

D) 160 x 35 m E) 120 x 46 m
17. La edad de Eli es igual a 3b – a, si el C.S ]𝑎; 𝑏[ 18. María José compro cierta cantidad de juguetes
de la inecuación: cuyo costo unitario excede en 2 a esta cantidad.
Si ella llevo S/ 120 para comprar el mayor
𝑥2 − 13𝑥 + 40 < 0
número posible de juguetes. Determine cuanto de
Determinar su edad.
dinero le quedo después de dicha compra.
A) 17 años B) 15 años C) 18 años

D) 19 años E) 12 años A) S/. 21 B) S/. 18 C) S/. 24 D) S/. 8 E) S/. 12
19. Se desea construir un área recreativa con juegos 20. Determinar la edad de Rogelio está dada por la
para los niños, sabiendo que el largo de terreno suma de los valores enteros que satisfacen el
mide 10 m más que el ancho. ¿Cuánto mide el sistema:
ancho del terreno como mínimo, sabiendo que 𝑥+5 𝑥 𝑥+2
− ≤
por lo menos, se utilizarán 336 m2? 3 2 6
𝑥 2 − 11𝑥 + 18 < 0
{ −𝑥 2 + 5𝑥 < 12
A) 18años B) 36 años C) 30 años

A) 12m B) 8m C)1 5m D) 13m E) 14m
D) 15 años E) 49 años
Referencias
Aucallanchi Velasquez, F. (2012). ARITMÉTICA. RACSO.
directa, I. g. (s.f.). aula virtual. Recuperado el 2020, de Recuperado de:

http://www.edu.xunta.gal/centros/cafi/aulavirtual/pluginfile.php/31860/mod_imscp/content/1/interpretacin
_grfica_de_una_proporcin_directa.html
ESO, E. S. (3 de DICIEMBRE de 2020). MAGNITUDES PROPORCIONALES-regla de tres . Obtenido de

EDITORIAL SM 1° y 2° ESO : Recuperado de :
http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudes_proporcionales.htm
Godino, J., & Batanero, C. (2002). Proporcionalidad. Obtenido de MATEMÁTICA Y SU DIDÁCTICA PARA
SUS MAESTROS: Recuperado de : https://www.ugr.es/~jgodino/edumat-
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MARÍA, U. C. (2017). COMPENDIO DE CIENCIAS . Obtenido de UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA

MARÍA.
UTP, U. (s.f.). Recuperado el 2020, de Recuperado de :

http://univirtual.utp.edu.co/pandora/recursos/2000/2359/2359.pdf
Varela, R. (2019). PORCENTAJE. Obtenido de NUMDEA: Recuperado de: https://numdea.com/porcentaje.html
CLAVE DE RESPUESTAS
NUMEROS RACIONALES
1 2 3 4 5
A D B A C
6 7 8 9 10
C A D A B
11 12 13 14 15
A C C A C
16 17 18 19 20
C A B D B
RAZONES Y PROPORCIONES
1.1 A 2.1 A 3B 4A 5.1 A
1.2 E 2.2 C 5.2 D
6D 7B 8.1 A 9D 10 A
8.2 C
11B 12 C 13 E 14 A 15 D
16 17 C 18 A 19B 20 C
MAGNITUDES PROPORCIONALES
1 2 3 4 5
A B E C D
6 7 8 9 10
D D B A A
11 12 13 14 15
E A C B B
16 17 18 19 20
C D A B C
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES
1 2 3 4 5
E A B E D
6 7 8 9 10
D C E A D
11 12 13 14 15
C D C B E
16 17 18 19 20
C B E A C
ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS
1 2 3 4 5
C D D C B
6 7 8 9 10
D A B C E
11 12 13 14 15
C D E A A
16 17 18 19 20
B D A E C

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UNIVERSIDAD CATÓLICA

Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga

UNIDAD 1: NÚMEROS RACIONALES

De los ejemplos expuestos, podemos concluir que 3. Números fraccionarios

4. Fracción ordinaria Fracción impropia

Otra manera de entender una fracción es que una 14 5

5. Clasificación de las fracciones ordinarias por la 5.2. Fracción igual a la unidad

Fracciones heterogéneas Importante

1 7 8 6 5.5. Por su denominador

Ejemplo: Fracción ordinaria:

9. Relación de orden de dos números racionales 7 17 24

 Si a ambos términos de una fracción propia se Ejemplo:

 Si son fracciones heterogéneas: 3 5 3  6  8  5 18  40 58 29

13.2 Sustracción de números racionales Y precisamente la fracción 29 está en la mitad de

 Si son fracciones heterogéneas:

3. La suma de dos fracciones irreductibles es 5, los 4. Si al numerador y al denominador de una fracción

5. ¿Cuántas fracciones propias, comprendidas entre 6. ¿Cuántas fracciones propias irreductibles,

A) 53 B) 52 C) 51 D) 48 E) 49 A) 414 B) 180 C) 360 D) 432 E) 450

A) S/. 600 B) S/. 720 C) S/. 960

A) 30 horas B) 24 horas C) 11 horas

A) 35 B) 38 C) 40 D) 42 E) 45 A) 120 B) 140 C) 150 D) 100 E) 130

A) 4,50 B) 3,50 C) 10,50 D) 6 E) 5 A) 5/27 B) 10/27 C) 5/9

A) 120 cm B) 150 cm C) 100 cm A) 130 soles B) 120 soles C) 100 soles

UNIDAD 2: RAZONES Y PROPORCIONES

Sean los números: ¿Qué es una proporción?

𝑅. 𝐴. = 68 − 59 = 9 Es la igualdad de dos razones de una misma clase.2

2. Razón geométrica: PROPORCIONES ARITMÉTICAS

La razón geométrica o por cociente a es aquella La proporción aritmética o equidiferencia, es la

En la proporción aritmética según como sean los PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Sean las razones

Propiedad fundamental de la proporción

En la proporción geométrica según como sean los

Cálculo de los términos de una proporción.

a) Hallar la cuarta diferencial de: 48; 9 𝑦 35

c) Hallar la tercera diferencial de: 19 y 15

b) Hallar la tercera proporcional de: 625 y 125 PROPIEDADES

c) Hallar la cuarta proporcional de: 144; 6 y 24

d) Hallar la cuarta diferencial de: 19; 15; 12

SERIES DE RAZONES EQUIVALENTES

Es la igualdad de dos o más razones geométricas.

Se denomina serie de razones geométricas continuas.

Además: 11D + 3E + F = 568

1.1 Hallar el valor de D

A) 24 B) 20 C ) 22 D) 21 E) 26 A ) 231 B) 234 C) 213 D) 245 E) 216

2.1 Calcular cuántos hombres estaban fumando;

5.1 Calcular la suma de las edades que tenían hace

6. Los números D, E y F son entre sí como los números 7. Se cumple que:

8. En un matrimonio, la relación hombres y mujeres era

8.1 La cantidad de hombres que hay ahora es:

A)42 B)45 C)46 D) 40 E)44 A) 2 B) 3 C)4 D) 7 E) 9

11. Pedro tiene 𝑚𝑛

A) 42 B) 56 C)96 D) 60 E)24 A) 12 B) 15 C)19 D) 20 E) 14

15. En una serie de razones geométricas equivalentes 16. Hallar:

16.2 La tercera proporcional de 36 y 30

16.3 La media proporcional de 49 y 64

A)242 B)256 C)240 D)2 60 E) 220

A) 22 B.)24 C)26 D)20 E) 21

Definimos una magnitud desde el punto de vista MAGNITUDES PROPORCIONALES