Aritmética

Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

Capítulo

1 RAZONES Y PROPORCIONES

MARCO TEÓRICO

RAZÓN ¾¾ El número de mujeres y el número de varones

Es la comparación entre dos cantidades, ya sea son entre sí como 3 es a 2.
mediante la sustracción (razón aritmética) o me-
¾¾ El número de mujeres y el número de varones
diante la división (razón geométrica).
son proporcionales a 3 y 2.
Por ejemplo:
Si en un grupo de personas hay 27 mujeres y 18  Observación
varones, se afirma:
Por ejemplo: Carlos tiene 60 años, Jhon 36
¾¾ El número de mujeres excede al número de años y Henry 24 años. ¿En qué relación se
varones en: encuentran sus edades?
Veamos:
¾¾ Edad de Carlos: 60 = 12 × 5
¾¾ Edad de Jhon: 36 = 12 × 3
¾¾ Edad de Henry: 24 = 12 × 2
• Las edades de Carlos, Jhon y Henry
¾¾ La razón entre el número de mujeres y el están en la relación de 5, 3 y 2,
número de varones es: respectivamente.

PROPORCIÓN
Una proporción es un conjunto de dos razones de
la misma clase y del mismo valor de la razón. Lue-
go, las clases de proporción son:

De la razón geométrica también se afirma: 1. Proporción aritmética

¾¾ Por cada 3 mujeres hay 2 varones. Por ejemplo: las alturas de 4 edificios son:
22 m, 18 m, 16 m y 12 m, luego:
¾¾ El número de mujeres y el número de varones
están en relación de 3 a 2. 22 m – 18 m = 4 m
16 m – 12 m = 4 m

7
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Igualando las razones aritméticas: Luego:

PROPORCIÓN ARITMÉTICA

DISCRETA CONTINUA

Ejemplo: Ejemplo:
12 – 7= 19 – 14 20 – 15= 15 – 10
Se cumple: donde: donde:
14: cuarta diferencial 15: media diferencial
de 12, 7 y 19 de 20 y 10
10: tercera diferencial
de 20 y 15

2. Proporción geométrica
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Por ejemplo: las notas de 4 alumnos en el
curso de Aritmética fueron: 18, 12, 15 y 10. DISCRETA CONTINUA
Luego:
Ejemplo: Ejemplo:
=18 3=y 15 3 8 6 6 24
12 2 10 2 = =
4 3 24 96

Igualando las razones geométricas: donde: donde:

3: cuarta propor- 24: media proporcional
er er cional de 6 y 96
1. ← 18 15 → 3.
= de 8, 4 y 6 96: tercera proporcional
2.º ← 12 10 → 4.º de 6 y 24
18 y 10: términos extremos
Algunas propiedades de la proporción
12 y 15: términos medios
geométrica son:
Se cumple:
Sea la proporción: 6 = 15
2 5
Luego:

6+2 15 +5 4
 =2
=
5
⇒ Una proporción cuyos términos medios
son diferentes se denomina discreta y si
los términos medios son iguales se deno- 6+2 15
 = = +5 4
6 15 3
mina continua.

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6–2 15
 = = –5 2 6+2 15
 = = +5 2
2 5 6–2 15 – 5

2 2 6 – 2 15
= = –5 1
 6 2 = 152 
6 + 2 15 + 5 2
2 5

PROBLEMAS RESUELTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5, Resolución
respectivamente. Si se suma 175 al primero
C = 7A
y 115 al otro se obtienen cantidades iguales.
¿Cuál es el menor de los números? A–B 1
= ⇒ 5A – 5B = B – C
B –C 5
5A – 5B = B – 7A
(UNMSM 2005-I)
12A = 6B
A) 50 B) 10 C)
40   2A = B
D) 20 E) 15 Además:
A + B + C = 100
Resolución
A + 2A + 7A = 100
Sean los números a y b. 10A = 100
A = 10
a = b ⇒ a = 2k y b = 5k
2 5 C = 70

Nos piden calcular:
a + 175= b + 115
(A – C)2 = (10 – 70)2 = 3600
2k + 175 = 5k + 115
60 = 3k Rpta.: A

20 = k 3. En una proporción geométrica continua de

Los números son: términos enteros positivos, la diferencia de
los extremos es 20 y el valor de la constante
a = 2k =40 de proporcionalidad es 2/3. Calcule la media
b = 5k = 100 proporcional.
Rpta.: C A) 42 B) 21 C)
24
D) 20 E) 27
2. A – B y B – C están en relación de 1 a 5. C es
siete veces A y sumando A, B y C obtenemos Resolución
100. ¿Cuánto es (A – C)2? (UNMSM 2000)
Sea la proporción geométrica continua:
A) 3600 B) 2500 C)
6400
D) 4900 E) 1600 a= b= 2
b c 3

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Además: 5. En una fiesta hay 210 personas entre varones

y mujeres, de las cuales por cada 3 mujeres
c – a = 20
hay 4 hombres. Si llegan n parejas formadas
↓ ↓ por un hombre y una mujer, entonces por
3b – 2b = 20 cada 4 mujeres hay 5 varones. ¿Cuántas pa-
2 3 rejas llegaron?
5b = 20
6 A) 60 B) 50 C)
40
b = 24 D) 30 E) 10

Resolución
Rpta.: C
M 3k ⇒ M + H= 210
=
H 4k
4. Si M+2
= N+4
= P+6 y
M+4 N+8 P+12 7k = 210
k = 30
M + N + P = 60, halle M · N · P.
A) 6000 B) 3800 C)
2400 Entonces: M = 90
D) 1800 E) 3600 H = 120

Resolución Llegan n parejas:

M + 2+ N + 4 + P + 6 90 + n = 4 × 30
=K
M + 4 + N + 8 + P + 12 120 + n 5 × 30
60 + 12 90 + n = 120
= 72 ⇒ K= 6
60 + 24 84 7
n = 30

Entonces:
Rpta.: D
M+2= 6= 12 ⇒ M=10
M+4 7 14
N+4= 6= 24 ⇒ N=20
N+8 7 28
P+6= 6= 36 ⇒ N=30
P+12 7 42

M · N · P = 6000

Rpta.: A

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PRÁCTICA PARA LA CLASE

a b 3 3
1. Dada la proporción geométrica: = el A) B)
20 8 1 2
a–b
valor de es 4 2
a+b C) D)
1 1
3 4
A) . B) .
7 7 2
6. Si en una reunión los de los concurrentes
3 3
3 4 son mujeres, y de los varones son casados
C) . D) . 5
5 5
en tanto que seis son solteros, el número de
personas que asistieron a la reunión, es
a b
2. Si: = , a + b + c = 28 y
b c A) 45. B) 36.
C) 30. D) 25.
1 + 1 + 1 = 7
     
 a b  c 16
7. En un corral, se observa que por cada 2 ga-
Halle el valor de b. llinas hay 3 patos y por cada 5 gansos hay 2
patos. Si se aumentaran 33 gallinas la canti-
A) 12 C) 16 dad de éstas sería igual a la cantidad de gan-
D) 10 E) 8 sos, calcule cuántos patos hay en el corral.

3. El producto de los cuatro términos de una A) 15 B) 13

proporción geométrica continua es 4096; uno D) 16 E) 18
de los extremos es 16. Dé el otro extremo. 3
8. La relación de las edades de 2 personas es .
A) 4 B) 2 5
Si hace n años, la relación de sus edades era
C) 8 D) 16
como 1 es a 2 y dentro de m años será como
8 es a 13. Calcule en qué relación se encuen-
4. Dos ómnibus tienen 120 pasajeros, si del óm-
tran n y m.
2
nibus con más pasajeros se trasladan los de 2 5
5 A) B)
ellos al otro ómnibus, ambos tendrían igual 3 1
número de pasajeros. 7 1
C) D)
3 3
¿Cuántos pasajeros tiene cada ómnibus?
9. En una reunión social, se observó en un deter-
A) 110 y 10 B) 90 y 30 minado momento que el número de varones
C) 100 y 20 D) 70 y 50 y el número de mujeres estaban en la relación
de 7 a 8, mientras los que bailaban y no bai-
5. La suma de los cuatro términos de una pro- laban fueron unos tantos como otros. Si hubo
porción geométrica continua es a la diferencia en ese momento 51 mujeres que no bailaban.
de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la ¿Cuántos varones no estaban bailando?
razón geométrica del extremo mayor y el ex-
tremo menor? A) 45 B) 51
C) 39 D) 26

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10. Entre los postulantes de la UNAC la relación 3 1

A) B)
2 5 10
de (cantidad) hombres y mujeres es como ,
3 3 2
la relación de hombres menores de 20 años y C) D)
10 5
1
hombres de 20 o más años es como .
3
¿Cuál es la relación de los hombres que tie-
nen menos de 20 años y el total de postulan-
tes?

ASESORÍA
1. Si A es a B como 5 es a 11, halle el valor de B A) 80 B) 90
sabiendo que A + B = 160. C) 100 D) 120

A) 50 B) 70
6. Se tiene tres jugadores de billar A, B y C, si
C) 100 D) 110
A da a B 20 carambolas de ventaja para una
partida de 60 y B da a C 20 carambolas de
2. Un panadero por cada 7 panes que vende
ventaja para una partida de 80. ¿Cuántas ca-
regala 1. Si tenía 160 y al final no le queda
rambolas de ventaja dará A a C en una parti-
ninguno, ¿cuántos panes regaló?
da de 100?
A) 20 B) 40
A) 20 B) 30
C) 80 D) 100
C) 40 D) 50

3. Del centro de un círculo se trazan 29 rayos

7. Si yo tengo tres veces más de lo que tú tienes y
formando ángulos centrales, que son propor-
él tiene tres veces lo que tú tienes, además tene-
cionales a los 29 primeros números enteros
mos S/240 entre los tres, ¿cuánto tendrás luego
positivos; luego, el mayor ángulo mide
que él te dé x soles para que lo que tenga él y lo
A) 29º. B) 28º. que yo tengo sean entre sí como 5 es a 8?
D) 26º. E) 24º.
A) 45 B) 30
C) 40 D) 36
4. La suma de tres números es 1425; la razón
11
entre el primero y el segundo es y la diferen- 8. En una proporción geométrica continua, el
3
cia de los mismos es 600. El tercer número es producto de los cuatro términos es 20 736.
1
Si uno de los extremos es del otro, calcule
A) 475. B) 375. 9
C) 225. D) 600. la suma de los cuatro términos de la proporción.
A) 48 B) 54
5. Dos números están en la relación de 2 a 5,
C) 60 D) 64
pero agregando 175 a uno de ellos y 115 al
otro, ambos resultados son iguales. Halle el
número mayor.

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HELICODESAFÍO 11. La diferencia entre el mayor y menor térmi-

no de una proporción geométrica continua es
9. En una proporción geométrica continua,
245. Si el otro término es 42, calcule la suma
la razón entre la suma y la diferencia de los
de los términos extremos.
5
términos de la primera razón es . Halle la
2 A) 259 B) 294
media proporcional si la suma de los cuatro C) 301 D) 300
términos es 400.
A) 28 B) 56
C) 84 D) 35

10. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, ade-

más, 140 es la tercera diferencial de 2a y 160,
halle la media aritmética de b y c.
A) 14 B) 67,5
C) 15 D) 12,5

TAREA DOMICILIARIA
1. La R.A. de 2 números es 16, si la R.G. de los 4. En un corral el número de patos excede al
7 número de gallinas en 75, además se observa
mismos es . Entonces el mayor de dichos
5 que por cada 8 patos hay 5 gallinas. ¿Cuál es
números es
el número total de patos y gallinas que hay en
A) 42. B) 56. el corral?
C) 35. D) 63.
A) 325 B) 350
C) 315 D) 275
2. Dos números son entre sí como 11 es a 3. Si
la suma de dichos números es 112, entonces
5. La razón geométrica de la razón aritmética y
la R.A. de ellos es
la razón geométrica de dos números es 16. Si
A) 60. B) 62. la diferencia de estos números es 24. Enton-
C) 64. D) 72. ces el mayor de dichos números es
A) 24. B) 48.
3. La suma de dos números es un cubo perfecto
C) 60. D) 72.
comprendido entre 100 y 200. Si la R.G. de
12
ellos es . Entonces la R.A. de dichos núme-
3
ros está comprendida entre
A) 40 y 50. B) 50 y 60.
C) 80 y 90. D) 70 y 80.

13
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Capítulo

2 SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS

MARCO TEÓRICO

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS Se cumple:

EQUIVALENTES (SRGE)
6=2×3, 15=5×3, 12=4×3, 21=7×3
Se denomina así a 3 ó más razones geométricas
Luego:
que tienen el mismo valor de la razón (razones
equivalentes). Antecedente=(Consecuente)(Constante)
Por ejemplo:
6+15 15
= = + 12 + 21 6 + 15
= + 12 + 21 3
Sean las razones geométricas: 2+5 5+4 +7 2+5+4 +7
=6 3=
, 15 3=
, 12 3=
, 21 3 Luego:
2 5 4 7
Igualando dichas razones: Suma antecedentes =Constante
Suma consecuentes
1.er 3.er 5.º 7.º
6 = 15 = 12 = 21 =6 × 15 3=
2
, 6 × 15 × 12 3 , 6=
3 × 15 × 12 × 21 3 4
2 5 4 7 2× 5 2× 5× 4 2× 5× 4 ×7
2.º 4.º 6.º 8.º
Es una serie de 4 razones Luego:
geométricas equivalentes
Producto antecedentes =(Constante)m
donde: Producto consecuentes

6, 15, 12 y 21 : antecedentes m: número de razones que se multiplican

2, 5, 4 y 7 : consecuentes
Otras propiedades
3 : constante de proporcionalidad
En general: ¾¾ 6 + 15
= – 12 15
= – 12 3
2+5– 4 5–4
a1 a 2 a a
= = ...= n –1 = n= k 6+2 15
¾¾ = + 5 12 + 4 21 +7 3 +1
b1 b2 bn –1 bn = = =
2 5 4 7 1

PROPIEDADES 6+2 15
¾¾ = = + 5 12
= + 4 21
= +7 3 +1
6–2 15 – 5 12 – 4 21 – 7 3 – 1
Sea la SRGE:
2 2 2 2
6
¾¾ =  15   12   21  2
6 15
= = 12
= 21
= 3   =  =  =  3
2 5 4 7  2  5   4   7 

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¾¾ SRGE continua a = b = c = d =k
Luego:
b c d e
Por ejemplo:
También se representa:
=2 1=
, 4 1=
, 8 1=
, 16 1
4 2 8 2 16 2 32 2 4 3 2
ek = ek = ek = ek = k
ek
3
ek
2 ek e
Igualando:

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Si a ⋅ b ⋅ c =1008, 2. Dada la serie de razones

a b c a c e g
halle a+b+c en = = = k . = = = = k
30 35 15 b d f h

(UNMSM 2000)
se cumple que:
A) 16 B) 30 C)
32
D) 40 E) 45 a2 + c 2 + e2 + g 2 =
296 y

Resolución b 2 + d 2 + f 2 + h2 =
1850

Halle k. (UNAC 2003)
A) 1/2 B) 2/5 C)
5/7
D) 3/2 E) 2/3

Resolución
a c e g
= = = = k
b d f h

Por propiedad:
Rpta.: C a2 + c 2 + e2 + g 2 296
2 2 2 2
k2 ⇒
= k2
=
b +d + f +h 1850

4 2
= k2 → k =
25 5

Rpta.: B

15
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3. Si se cumple que 4. En una serie de tres razones geométricas con-

tinuas, la suma del primer antecedente y del
H A M y
= = último consecuente es 196. Halle la suma de
h a m
los antecedentes si el producto de las tres ra-
(H+A+M) (h+a+m)=576 zones es 1/27.
3 A) 91 B) 90 C)
87
halle E= Hh + Aa + Mn .
4 D) 88 E) 70
A) 10 B) 12 C)
14
Resolución
D) 15 E) 18

a = dk 3
Resolución 
a b c
H A M = = = k b= dk 2
= = = k b c d 
h a m c = dk

H= hk Dato: a+d=196
A= ak a⋅b⋅c
¾¾ Propiedad: = k3
M= mk b⋅c ⋅d

(H+A+M) (h+a+m)= 576 1 1

= k3 ⇒ k =
(hk+ak+mk) (h+a+m)= 576 27 3

k(h+a+m) (h+a+m)= 576 ⇒ a+d =

196
2
k(h+a+m) = 576
dk 3 + d =
196

k(h + a + m)2 =576 d(k 3 + 1) =
196


 1  28
(h + a + m) k =24 d + 1=
 196 ⇒ d ⋅ = 196
 27  27
3 a = 7
Luego: E= ( H h + A a + M m)
4 
d = 189 ⇒ b = 21
3
=
E ( hk ⋅ h + ak ⋅ a + mk ⋅ m) 
4 c = 63
3
E= (h k + a k + m k )
4 ∴ Luego: a+b+c=91
3 Rpta.: A
=
E ((h + a + m) k )
4
3
=
E (24) ⇒ E
= 18
4
Rpta.: E

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R I A M+ R + A + A + I =
220
5. Si = = = P y, además,    
M A 8
2
100 + 8 P + 8 P + 8 P =
220
M  + A + R + I + A= 220,
2
16 P + 8 P =
120
donde R+M son números de dos cifras y uno
2
de ellos es CA del otro, halle P+R+I+M+A. 2P + P =
15

A) 200 B) 199 C)
203 P(P + 2) = 3 ⋅ 5 ⇒ P =3

D) 184 E) 201
Luego:= = 24
A 8(3)
Resolución 2
= =
I 8(3) 72
A = 8 P ⇒ P+R+I+M+A
R I A 
= = = P =I AP R+ M + P + I + A
M A 8    
 2
⇒ I =8 P
100 + 3 + 72 + 24 =
199

M + A + R + I + A= 220
Rpta.: B

PRÁCTICA PARA LA CLASE

a b c 5 a b c
1. Si: = = 3. Si = = =
11 4 19 a b c 405
además: 2a – c = 42 Determine el valor de
Halle b. Q=a+b+c
A) 50 B) 43 A) 195 B) 180
C) 40 D) 56 C) 160 D) 210

m n p r 4. En una serie de razones geométricas equiva-

2. Si = = =
7 8 4 9 lentes se tiene que: el primer y tercer antece-
dente son 18 y 33, y el segundo consecuente
además: m · p + n · r = 16 900
es 8. Si el producto de los 3 términos restantes
Halle E = r – p. es 1584, halle el segundo antecedente.
A) 45 B) 50 A) 30 B) 18
C) 60 D) 65 C) 24 D) 36

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A B C 8. Si se cumple
5. Sea = = =k
x y z a b c
= = =h
Si p q r

A2 B2 C2 A 2 +B 2 +C 2
+ 2 + 2 + =14 Halle
x2 y z x 2 + y2 + z2
a · b(p3 + q3)(a + c)
Halle el valor de k. x=
p · q(a3 + b3)(p + r)
A) 1 B) 2 A) 1 B) h
C) 3 D) 4
1
C) h2 D)
a b c a3 + b3 + c3 h
6. Si = = y = 125
m n p m3 + n3 + p3
D I A
9. Si = = = C,
a2m + b2n + c2p N A 8
Calcule E = .
m3 + n3 + p3 Además D + I + A + N + A = 220
A) 23 B) 24 Donde D + N = 100
C) 25 D) 28
Halle C + A + N + A + D + A .
a c e A) 120 B) 125
7. Si = = =k
b d f C) 175 D) 180
Además
10. La suma, la diferencia y el producto de dos
(a + b)(c + d)(e + f) = 816 números están en la relación de 5; 3 y 16.
Halle el menor de dichos números.
Halle 3 a · c · e + 3 b · d · f .
A) 1 B) 3
A) 212 B) 16
C) 7 D) 4
C) 216 D) 220

ASESORÍA

1. Si a = c = k y ab + cd = 20, además 2. En una serie de cuatro razones geométricas

b d continuas equivalentes se sabe que la suma
a + c = 4, halle el valor de k. de los cuadrados de los antecedentes, menos
la suma de los cuadrados de los consecuentes
A) 5 B) 25 es 1020 y que la suma de las tres últimas razo-
nes es 6. Calcule la suma de los antecedentes.
1 1
C) D) A) 90 B) 30
5 25
C) 60 D) 120

18
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

3. En una serie de cuatro razones geométricas la cuarta proporcional de a; b y c es 100. En-

continuas equivalentes, el primer antecedente tonces, la tercera proporcional de a y b es
es al último consecuente como 16 es a 1. Cal-
A) 54. B) 84.
cule la suma de todos los consecuentes si se
C) 72. D) 80.
sabe que la suma de los términos de la última
razón es 9.
8. En una serie de tres razones geométricas con-
A) 45 B) 44 tinuas, la suma de los términos de la primera
C) 43 D) 42 razón es 72 y la suma de los términos de la últi-
ma razón es 8. El primer antecedente es
4. En una serie de cuatro razones equivalentes A) 30. B) 36.
continuas se sabe que la suma de consecuen- C) 48. D) 54.
tes es 3 veces menos que la suma de antece-
dentes; además, la diferencia del segundo tér- HELICODESAFÍO
mino y el tercer consecuente es 180. Calcule
la diferencia de los últimos términos. 9. La suma de los términos diferentes de cuatro
razones geométricas equivalentes y continuas
A) 576 B) 144 excede a la suma de los extremos en 310. En-
C) 36 D) 9 tonces, la suma de las cifras del primer térmi-
no es
a2 – c2 1
5. Si a = c y = , halle el valor de A) 7. B) 8.
b d a+c 5
C) 9. D) 10.
b + d.
b–d
10. Si
A) 5 B) 25
C) 15 D) 8 a 3640 5720 d
= = = =k
32 b c 123
R2
6. Si a = c = e = k2 y bde = , R>0, deter- a, b, c, d, k ∈  y 8000<a + d<9000, calcule
b d f k2 a + b + c + d.
mine el valor de acf .
A) 8238 B) 8240
R
A) R B) C) 8242 D) 8244
2
C) R2 D)
R ab c
11. Si = , halle el valor de a + c.
bc ab
7. Dado el siguiente conjunto de razones:
A) 4 B) 5
a b c
= = =k C) 6 D) 7
9 12 15

19
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TAREA DOMICILIARIA
1. En una serie de tres razones geométricas equi- 4. Si a · b · c = 1008
valentes, la suma de los consecuentes es 33, a b c
el producto de los antecedentes 320. Calcule Halle a + b + c en = = = k.
30 35 15
la suma de los antecedentes si el producto de
A) 32 B) 40
los consecuentes es 1080.
C) 38 D) 43
A) 20 B) 21
C) 22 D) 23 5. Sabiendo que
A M O R
= = =
2. Si A = B = D = k y 3 5 6 7
a b d además A · M + O · R = 513
Además
Calcule (A + M + O + R).
A2 + AB + D2
= 49 A) 60 B) 62
a2 + ab + d2
C) 63 D) 71
Halle el valor de k.
A) 49 B) 1
C) 7 D) 343

3. En una proporción geométrica continua la

suma de los términos es 36 y los extremos
están en la relación de 1 a 4 respectivamente.
Calcule la media proporcional.
A) 6 B) 7
C) 8 D) 12

20
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Capítulo

3 PROMEDIOS

MARCO TEÓRICO

Para un conjunto de datos un promedio es una Ejemplo

cantidad representativa de los mismos y que se ca-
Las edades de 5 personas son 17, 18, 15, 22
racteriza por ser mayor que el menor de los datos y
y 13 años. Halle el promedio aritmético de
por ser menor que el mayor de los datos.
dichas edades.
Ejemplo
Resolución
Dado el conjunto A={7, 6, 10, 11, 8}, ¿cuál de las
siguientes alternativas no puede ser un promedio Piden la edad promedio (media aritmética de
de dichos datos? las edades).
A) 6,5 B) 17 C) 9
2 MA= 17 + 18 + 15 + 22 + 13 = 17
5
D) 5 2 E) 11,5

Resolución 2. Promedio geométrico o media geomé-

trica (MG)
Sea P un promedio de dichos datos.
Se calcula de la siguiente manera:
Menor dato=7
6<P<11
Mayor dato=11 MG=n a1 × a 2 × a3 × ... × an

∴ La única alternativa que no cumple es 11,5.
Rpta.: E Ejemplos
ALGUNOS PROMEDIOS Para el siguiente conjunto de datos: 8, 54, 3 y
Sean los datos: a1, a2, a3, ..., an. 625, halle su promedio geométrico.

Algunos promedios a estudiar son: Resolución

1. Promedio aritmético o media aritmética Hallando el promedio geométrico:

(MA)
MG= 4 8×54×3×625 = 4 23×2×33×3×54
Se calcula de la siguiente manera:
4
24×34×54
a +a +a +...+an
MA= 1 2 3 MG=2×3×5=30
n

21
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3. Promedio armónico o media armónica 2

(MH) Se cumple: MA×MH=MG

Se calcula de la siguiente manera: 2

(a –b) =4(MA+MG)(MA–MG)

MH= n
1 + 1 + 1 +...+ 1
a1 a 2 a3 an  Observación

Ejemplo
Para tres datos a, b y c se verifica:
Las velocidades de 3 móviles son: 6 m/s,
12 m/s y 18 m/s. Halle la media armónica de
dichas velocidades. 3abc
MH =
ab + ac + bc
Resolución
Hallando la media armónica de dichas veloci-
dades: ¾¾ Promedio ponderado
MH= 3 = 3 = 3×36 Es un caso particular del promedio aritmético.
1 + 1 + 1 6+3+2 11
6 12 18 36 Ejemplo

MH= 108 =9,83 m/s Se muestra la boleta de notas de un alumno
11
del 1.er ciclo de Ing. de Sistemas de la UNAC:
 Observación
Curso Nota Número
Si nos indican solo promedio, asumiremos de créditos
que se trata del promedio aritmético. Matemática I 11 4
Física I 10 5
Química I 12 5
PROPIEDADES
Dibujo Técnico 12 3
¾¾ Para un conjunto de datos Oratoria 13 3

• Todos iguales, se cumple:
Halle su promedio ponderado.
MA=MG=MH
Resolución
• No todos iguales, se cumple:
PP= 11 × 4 + 10 × 5 + 12 × 5 + 12 × 3 + 13 × 3 = 11,45
mayor promedio: MA 20
MA>MG>MH
menor promedio: MH
Los datos se repiten cierta
¾¾ Para dos datos: a y b, sabemos: cantidad de veces (número
de créditos) lo cual se
MA= a + b , MG= ab , MH= 2 = 2ab denomina pesos
2 1+ 1 a + b o fecuencias.
a b

22
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

PROBLEMAS RESUELTOS
1. La media aritmética de un examen tomado
a−2 a b +b =2
a los alumnos fue de 8,4 y el profesor al au-
mentar 2 puntos a los 21 desaprobados que 2
( a − b) =
2
había, el nuevo promedio resulta 9,8. Halle el
número de alumnos. (UNMSM 2004-I) a− b=2

A) 14 B) 25 C)
30 Rpta.: B
D) 13 E) 20
3. Si el promedio aritmético de 20 números es
Resolución 30, y de otros 20 números diferentes es n, cal-
cule n si el promedio de los 40 números es 50.
Si las x notas: n1, n2, n3, n4, ..., nx
A) 70 B) 60 C)
50
n1 + n2 + n3 + ... + nx
= 8,4 D) 40 E) 28
x
Sx = 8,4x Resolución
(21)(2) + 8,4 x = =
M A 20 30 M A '20 n
= 9,8
x
'
42 + 8,4x = 9,8x
=
∑ 20 600
= ∑ 20 20n
42 = 1,4x
En el dato: MA40=50
30 = x
Rpta.: C 600 + 20n
Reemplazando: = 50 ∴=
n 70
40
2. Si la MA y MG de dos números son enteros Rpta.: A
consecutivos, halle la diferencia de las raíces
de los números. (UNMSM 1993) a 9 b 2
4. Si = y = y la media aritmética de a,
b 7 c 5
A) 1 B) 2 C)
2 2
b y c es 134, dé la media aritmética de a y c.
D) 2 E) 3 2
A) 140 B) 141 C)
150
Resolución D) 159 E) 160
Por ser la media aritmética y media geométrica
Resolución
dos números consecutivos la diferencia es 1.
MA (a, b) – MG (a, b) = 1 Homogenizando:

a +b a 9 2 b 2 7
  − a⋅b =
1 = ⋅ , = ⋅
 2  b 7 2 c 5 7

a + b − 2 a⋅b 18k + 14k + 35k

=1 Luego: = 134 ⇒ k= 6
2 3

23
Aritmética Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20)

Resolución
Nos piden: a + c ⇒ 18k + 35k
2 2 Se conoce:

∴ MA(a; c)=159 N.° alumnos(B) 2 N.° alumnos(B) =

2k
= ⇒
N.° alumnos(A) 3 N.° alumnos(A) =
3k
Rpta.: D
Del dato:
5. En un curso, la nota promedio de las seccio- Al inicio: Al final:
nes A y B son 12 y 10, respectivamente, la Nota (A) =12
sección B tiene 2/3 del número de alumnos ⇒ Nota(A)=13,2
aumenta 10%
que tiene A, luego de los reclamos presen-
Nota (B) =10
tados por los alumnos, el promedio de la ⇒ Nota(A)=1,2
aumenta 20%
sección A sube 10% y B sube 20%. Halle el
promedio (combinado) de ambos salones. Luego:
13, 2(2k) + 12(3k)
A) 12,70 B) 12,5 C) 13 = MA = ∴ MA 12,72
5k
D) 12 E) 12,72
Rpta.: E

PRÁCTICA PARA LA CLASE

1. Si luego de dar un examen en una aula de 60 A) 71 B) 81
alumnos, se sabe que el promedio de notas C) 91 D) 46
de 15 de ellos es 16 y el promedio de notas
del resto es 12. Halle el promedio de notas de 4. La media aritmética de 100 números es 24,5.
los 60 alumnos. Si cada uno de ellos se multiplica por 3,2; la
media aritmética será
A) 14 B) 13
C) 12 D) 15 A) 88,8. B) 70.
C) 78,4. D) 21,3.
2. Usted, en un mercado, compra tres docenas
de manzanas por un sol; luego, en otro mer- 5. Si la media artimética y la media geométrica
cado, compra cuatro docenas de manzanas de dos números enteros positivos x e y son
por un sol, y finalmente, en otro mercado, enteros consecutivos, entonces el valor abso-
compra cinco docenas de manzanas por un luto de x – y es
sol. El precio promedio por docena de man-
zanas es A) 2. B) 2.
C) 1. D) 3 2.
A) 0,20. B) 0,45.
C) 0,2611. D) 0,25. 6. La MG de tres números enteros es 5 3 18 .
Si la MA de dos de ellos es 12,5. Halle la
3. La media aritmética de 15 impares de 2 cifras MA de los tres números.
es 35 y de otros 20 impares, también de 2
cifras, es 52. Halle la media aritmética de los A) 15,1 B) 12,3
impares de 2 cifras no considerados. C) 14,2 D) 13,3

24
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

7. Para 2 números a y b tales que: a = 9b, se cule la suma de las 2 razones geométricas que
cumple que: MG(a;b) = k, MH(a;b). Calcule se pueden obtener con los extremos de dicha
el valor de k. proporción.
A) 1,888... B) 2,999... A) 6,25 B) 5
C) 2,333... D) 1,666... C) 4,25 D) 3,75

8. La MG de 2 números es 7 2; la cuarta pro- 10. En una pista circular, un automovil se despla-

porcional de dichos números y de su tercera za a velocidades de:
proporcional es 56. ¿Cuál es el mayor de los
2 ; 6 ; 12 ; 20 ; ... ; 380 km/h
números?
La velocidad promedio del automovil es:
A) 21 B) 12
C) 14 D) 7 18
A) B) 19
192
9. La media aritmética de los términos de una
212
proporción geométrica continua es a la razón C) 20 D)
aritmética de sus extremos como 3 a 4. Cal- 20

ASESORÍA
1. Si el promedio geométrico de 2x; 4x y 23x es 4. El mayor promedio de dos números enteros
es 100, mientras que su menor promedio es
1024 , calcule x .
y
y 36. Calcule la diferencia de dichos números.
A) 1 B) 2 A) 180 B) 120
1 C) 100 D) 160
C) D) 5
5
5. Tres números enteros consecutivos pueden
2. El promedio de 5 números es 85, se conside-
determinarse si se conoce:
ra un sexto número y el promedio aumenta
en 15. El sexto número es A) su promedio aritmético.
B) su promedio armónico.
A) 120. B) 175.
C) su promedio geométrico.
C) 154. D) 165.
D) cualquiera de los tres promedios.
3. Calcule el promedio armónico de los siguien-
6. La MH de 15 números es 16 y la MH de otros
tes números
35 números es 48. Calcule la MH de los 50
1 × 2; 2 × 3; 3 × 4;...; 308 × 309 números.
A) 308 B) 309 A) 20 B) 30
C) 310 D) 311 C) 40 D) 15

25
Aritmética Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20)

7. La MA de 15 números pares de dos cifras es segundo, 3 al tercero y así sucesivamente, en-

24 y de otros 20 números pares también de tonces el nuevo promedio
dos cifras es 66. ¿Cuál es la media aritmética
A) aumenta en 13. B) disminuye en 8.
de los números pares de dos cifras no consi-
C) aumenta en 8. D) disminuye en 7.
derados?
A) 69 B) 75 10. La media geométrica de 4 números enteros,
C) 73 D) 55 diferentes y positivos es 3 3. Calcule la MA
de dichos números.
8. En un salón de clases:
a alumnos tienen 14 años. A) 10 B) 20
C) 15 D) 8
b alumnos tienen 11 años.
c alumnos tienen 13 años.
11. A una fiesta asisten 72 personas, cuyo prome-
Si el promedio de todas las edades es 12 dio de edad es n años. Si la edad promedio
años, determine el valor de c. de 24 de ellos es igual a (n + 2), determine la
A) a – b B) b–a mínima edad que pueden tener 3 de ellos (del
C) 2b – 2a D) b – 2a grupo de 24) si ninguno de ellos es mayor de
19 años, además, el promedio de los restan-
HELICODESAFÍO tes es 15 años.
A) 9 B) 10
9. El promedio de 15 números enteros dife-
rentes es 20. Si se agrega 1 al primero, 2 al C) 11 D) 12

TAREA DOMICILIARIA
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside- A) 16 B) 17
ra un sexto número y el promedio aumenta C) 18 D) 19
en 15. Halle el sexto número.
4. El promedio de 50 números es 30. Si se re-
A) 155 B) 165
tiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En
C) 175 D) 170
cuánto disminuye el promedio?
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14 A) 0 B) 1
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos C) 2 D) 3
tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12
años. Halle el valor de c. 5. El promedio de las edades de 5 hombres es
28 años, además ninguno de ellos es menor
A) 2b – a B)
b – 2a
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po-
C) 2b D) a–b
dría tener uno de ellos?
3. El promedio aritmético de los cuadrados de A) 40 B) 41
2 números consecutivos es 380,5. Halle el C) 42 D) 43
menor de ellos.

26
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética
Capítulo

4 MAGNITUDES PROPORCIONALES

MARCO TEÓRICO

MAGNITUD Observamos:
Es todo aquello que se puede medir, luego es sus-
¾¾ Si el número de cuadernos se duplica,
ceptible al cambio o variación.
entonces el costo se duplica.
CANTIDAD
Es el resultado de medir la intensidad de una mag- ¾¾ Si el número de cuadernos se reduce
nitud en un determinado momento. a su quinta parte, entonces el costo se
Ejemplos reduce a su quinta parte.

Magnitud Cantidad Además:

Fuerza 45 N Número de cuadernos 5 10 2 9 1
= = = = =
Volumen 482,5 L Costo 35 70 14 63 7
constante de proporcionalidad directa↑
Masa 600 kg
Número de obreros 52 obreros ∴ La magnitud “número de cuadernos” y
la magnitud “costo” son directamente
RELACIONES ENTRE DOS MAGNITUDES proporcionales, lo cual se simboliza:
1. Magnitudes directamente proporciona-
(Número de cuadernos) DP (Costo)
les
Por ejemplo:
Dos magnitudes analizadas aislada-
Carlos compra 5 cuadernos de la misma ca-
mente son DP si al aumentar o dis-
lidad por S/. 35. Analicemos las magnitudes
“número de cuadernos” y “costo” y observe- minuir los valores de una de ellas, los
mos el comportamiento de las cantidades. valores de la otra aumentarán o dis-
minuirán respectivamente, pero en la
Luego: 1 9
×2 × × misma proporción. Si dos magnitudes
5 2
son DP para cada pareja de valores co-
Número de cuadernos 5 10 2 9 rrespondientes, el cociente permanece
constante.
Costo (S/.) 35 70 14 63

1 9
×2 × ×
5 2

27
Aritmética Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20)

Graficando: Además:
Costo (S/)
(Velocidad)(Tiempo) = 10 × 20 = 40 × 5 = 8 × 25
70 = 50 × 4 = 200
63 ↓
Constante de
proporcionalidad
inversa

35
∴
La magnitud “velocidad” y la
magnitud “tiempo” son inversamente
14
Número de
proporcionales, lo cual se simboliza:
cuadernos
(VELOCIDAD) IP (TIEMPO)
2 5 9 10
Dos magnitudes analizadas
La gráfica de dos magnitudes DP son puntos
aisladamente son IP si al aumentar o
que pertenecen a una línea recta que pasa por
disminuir los valores de una de ellas, los
el origen de coordenadas. En cada punto el
valores de la otra magnitud disminuirán
cociente de valores correspondientes permanece
o aumentarán, respectivamente,
constante, excepto en el origen de coordenadas. pero en la misma proporción. Si dos
2. Magnitudes inversamente proporciona- magnitudes son IP, para cada pareja de
les valores correspondientes, el producto
permanece constante.
Por ejemplo:
Un móvil recorrerá una distancia de 200 m.
Graficando:
Analicemos las magnitudes “velocidad” y
“tiempo” y observemos el comportamiento
de las cantidades.
Luego:

Observamos:

¾¾ Si la velocidad se cuadruplica, entonces

el tiempo se reduce a su cuarta parte. La gráfica de dos magnitudes IP son puntos
¾¾ Si la velocidad se reduce a su quinta que pertenecen a una rama de hipérbola
parte, entonces el tiempo se quintuplica. equilátera. En cada punto, el producto de valores
correspondientes permanece constante.

28
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

PROPIEDADES  (A) DP (B) ; C, D, E: constantes

Sean las magnitudes: A, B, C, D y E. Luego: (A) IP (C) ; B, D, E: constantes

(A) DP (D) ; B, C, E: constantes
 (A) DP (B) ↔ (B) DP (A)
(A) IP (E) ; B, C, D: constantes
1
 (A) DP (B) ↔ (A) IP   (A)(C)(E)
B → =
k
 (A) DP (B) ↔ (A)n DP (B)n
(B)(D)
(A) IP (B) ↔ (A)n IP (B)n
 (A) DP (B) ; C: constante
(A) DP (C) ; B: constante
→ (A) DP (B) (C)

PROBLEMAS RESUELTOS
1. Se reparte 820 en partes que son IP a 24 y 2. Un trabajo debe ser hecho por 16 obreros en
36. Halle la mayor parte. 8 días. 3 días después de iniciada la obra se
retiran 8 obreros. ¿En cuántos días harán lo
A) 486 B) 488 C)
490
que falta de la obra?
D) 495 E) 492
A) 10 B) 9 C) 15
Resolución
D) 14 E) 12
a + b = 820
Resolución
a = 1 = 1 × 6 = 3k
24 2

b = 1 = 1 × 6 = 2k
36 3

Reemplazando: Obreros IP Días

3k + 2k= 820
Entonces: obreros × días = k
5k= 820
16 × 5 = 8 (5 + x)
k= 164 10 = 5 + x
Mayor parte: 3k 5=x
3 × 164 = 492 ∴ Lo que falta lo harán en 5 + x = 10 días.
Rpta.: C Rpta.: A

29
Aritmética Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20)

3. Dos pastores tienen 5 y 3 panes, se encuen- A) 10 B) 11 C)

12
tran con un hombre hambriento y comparten D) 13 E) 14
con él los panes en partes iguales, pagando el
Resolución
cajero S/. 8 por su parte. ¿Cuántas partes le
corresponde a cada uno? (UNMSM 2005) A IP B
A) 1 y 7 B) 2 y 6 C) 3 y 5 A×B=k
D) 4 y 4 E) N. A.
Resolución
A = 5 panes < > 15 partes ⇒ 8 partes

B = 3 panes < > 9 partes ⇒ 8 partes Luego: a+b=13

C = 0 panes ⇒ 8 soles = 8 partes Rpta.: D

1 sol = 1 parte
5. Se conoce que la magnitud A es DP a B2 e IP
Pastor A: 7 partes
a C. Si A=8 cuando B=5 y C=16, halle A
Pastor B: 1 parte cuando B=10 y C=64.

Rpta.: A A) 16 B) 20 C)
22
D) 24 E) 30
4. Dada la gráfica de magnitudes Resolución

A⋅ C
k=
B2

Luego: 8 ⋅ 16 = A⋅ 64
52 10 2

halle a+b. Rpta.: A

30
Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

PRÁCTICA PARA LA CLASE

1. Se conoce que la magnitud A es DP a B; C) Se reduce 1 .

si cuando A = 36 entonces B = 9; halle A 3
cuando B = 225. D) Se duplica.

A) 190 B) 200 6. Halle: x + y, si:

C) 240 D) 180
A 144 16 9 y
2. La magnitud A es DP a B2 e IP a 3 C ; si cuan- B 2 6 x 24
do A = 40, B = 5, entonces C = 8; determine
el valor de A cuando B = 10 y C = 1.
A) 8 B) 7
A) 80 B) 120 C) 10 D) 9
C) 200 D) 320
7. Se sabe que un cuerpo que cae libremente re-
3. El peso de un disco varía proporcionalmente corre una distancia proporcional al cuadrado
al cuadrado de su radio y también a su es- del tiempo. Una piedra recorre 9,8 m en un
pesor, dos discos cuyos espesores están en la segundo cuatro décimos.
relación de 9 es a 8 y el peso del primero es el
Determine la profundidad de un pozo, si se
doble del segundo.
sabe que al soltar la piedra ésta llega al fondo
Determine la relación de sus radios. en dos segundos.

A) 4 B)
1 A) 10 m B) 14 m
3 2 C) 20 m D) 22 m

C) 3 D) 1 8. La duración de un viaje por ferrocarril es di-

3
rectamente proporcional a la distancia e in-
4. Si A varía en forma DP con B y C; C varía versamente proporcional a la velocidad. A su
directamente proporcional con F3. Cuando vez la velocidad es IP al número de vagones
B = 5 y F = 2, entonces A = 160. del tren. Si un tren de 20 vagones recorrre
30 km en 1 hora, ¿cuántos kilómetros puede
Halle A cuando B = 8 y F = 5 2
recorrer un tren de 10 vagones en 10 minutos?
A) 4000 B) 3800
C) 3500 D) 3200 A) 10 km B) 15 km
C) 18 km D) 20 km
5. Una magnitud A es DP a B y C e IP a D2.
¿Qué variación experimenta A cuando B se 9. Para 4 magnitudes A, B, C y D se conoce: A
duplica, C aumenta en su doble y D se reduce DP a B; B IP a C; C3 DP a 1 . Entonces:
a su mitad? D

A) Aumenta 30 veces su valor. A) A2 DP D3 B) A3 DP D2

2
B) Aumenta 23 veces su valor. C) A DP D D) A DP D

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Aritmética Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20)

10. El precio del pasaje en avión es DP al costo de ¿Cuál será el precio de un pasaje en un avión
la gasolina y a la raíz cuadrada de la distancia de 90 pasajeros en un viaje de 3600 km con
e IP a la capacidad del avión y al cuadrado del escalas, cuando la gasolina cueste 1,2 dólares
número de escalas aumentado en 1. por galón?
El precio de un pasaje en un avión de 60 pa- A) $30 B) $25
sajeros, en un viaje de 900 km, sin escalas C) $36 D) $32
cuando la gasolina costaba 0,8 dólares por
galón era 240 dólares.

ASESORÍA
1. A varía en razón directa a B e inversamente al 4. B es proporcional a A2 y C es IP a la raíz cua-
cuadrado de C. Si cuando A = 10, entonces drada de B. Cuando C aumenta en 8 % y B
B = 4 y C = 14, halle el valor de A cuando disminuye en 36 %, ¿en qué tanto por ciento
B = 16 y C = 7. disminuye A?
A) 180 B) 160 A) 14,6 % B) 10,4 %
C) 154 D) 140 C) 12,4 % D) 13,6 %

2. Zoila es una taxista que acostumbra cobrar 5. A es DP a B e IP a C y D. Si cuando A · D = 2

de forma proporcional al número de pasaje- y B = 2C, halle el valor de A cuando B = 48,
ros que transporta y a la distancia recorrida. C = 2 y D = 3.
Si a 3 pasajeros les cobró S/60 por recorrer
A) 2 B) 4
120 km, ¿cuánto les cobrará a 6 pasajeros por
C) 16 D) 8
recorrer 100 km?
A) S/50 B) S/150 6. La potencia transmitida por un árbol es DP al
C) S/300 D) S/100 cubo de su diámetro. Si un árbol de 20 cm de
diámetro transmite 320 HP, determine la po-
3. El precio de los diamantes es proporcional tencia que podrá transmitir un árbol de 5 cm
al cuadrado de su peso. Si un diamante que de diámetro.
se compró en $3600 se rompe en tres peda-
A) 5 HP B) 20 HP
zos de los cuales uno de ellos pesa los 2 y
3 C) 25 HP D) 180 HP
el doble del otro respectivamente, ¿cuánto se
pierde? 7. El precio de un diamante es proporcional al
cuadrado de su peso. Si un diamante se parte
A) $2400 B) $1800
en tres pedazos que son IP a 2; 3 y 4, ¿qué
C) $3600 D) $2200
porcentaje de su valor se pierde?
A) 54,8 % B) 3,33 %
C) 63,9 % D) 36,1 %

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Guía Académica I - Ciencias (5.o-A-SM-20) Aritmética

8. La iluminación con que alumbra un fluores- 10. La duración de un viaje por ferrocarril es pro-
cente es IP a la distancia al cuadrado donde porcional a la distancia e IP a la velocidad. A
llega el haz de luz. Si la iluminación de un su vez, la velocidad es DP a la cantidad de
fluorescente es de 200 lux a 12 metros, ¿cuál carbón consumido por km e IP al número
será la intensidad de un fluorescente a una de vagones del tren. Para recorrer 40 km en
distancia de 8 metros? media hora y llevando 18 vagones se requie-
re 560 kg de carbón. ¿Cuánto de carbón se
A) 250 lux B) 400 lux
habrá consumido en un viaje de 30 km hecho
C) 300 lux D) 450 lux
en 20 min llevando 16 vagones?
HELICODESAFÍO A) 560 kg B) 280 kg
9. La presión es inversamente proporcional al C) 420 kg D) 480 kg
volumen que contiene determinada cantidad
de gas. ¿Cuál es la presión al que está some- 11. Se sabe que el número de caramelos entre-
tido un gas si al aumentar en 4 atmósferas el gados a cada niño es DP a su edad. Si Lucho
volumen varía 40 %? tiene 5 años y Edgar 8 años, ¿cuántos cara-
melos recibió Lucho si en total se entregaron
A) 5 atmósferas 130 caramelos?
B) 6 atmósferas
C) 7 atmósferas A) 50 B) 80
D) 8 atmósferas C) 70 D) 30

TAREA DOMICILIARIA
1. La magnitud A es DP a la magnitud B cuando 4. Se tiene las magnitudes A, B, C y D tales que
A = 51; B = 3. Halle el valor que toma B, A es DP a B, IP a C e IP a D. Cuando A = 5;
cuando A = 34. B = 2C y D = 2. Halle el valor de A cuando
B = 48; C = 2 y D = 3.
A) 19 B) 2
C) 5 D) 13 A) 36 B) 35
C) 40 D) 45
2. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A
es DP a B2 además cuando A = 75 y B = 5. 5. Se sabe que A es DP a B e IP a 3 C . Además
halle cuando B = 4. cuando A es 14 entonces B es 64 y C es igual
a B. Halle A cuando B sea 4 y C sea el doble
A) 80 B) 48
de B.
C) 64 D) 54
A) 7 B) 2
3. Se tiene dos magnitudes A y B tales que A es C) 4 D) 5
IP a B además cuando A = 20, entonces B es
igual a 24. Halle B cuando A sea igual a 30.
A) 32 B) 16
C) 28 D) 24

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