Tarea 2 – Métodos de Integración

Mary Yirley Wallis Mora

Sonia Milena Ardila

John Anderson Martinez Salazar

Yenny Paola Vanegas Cárdenas

Julieth Fernanda Martinez Salazar

Tutor:

Pedro Antonio Castañeda

100411 _ 689 Calculo Integral

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)

Escuela Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería (ECBTI)

Ingeniería Industrial

Acacias Meta

Octubre de 2021
Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por

sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio

desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra).

Ejercicio a.

∫ ( −senx ∙ cos5 x ) dx

u=cosx

du=−sendx

∫ du∙ u5
∫ u 5 du
u6
+c
6

1 6
cos x+ c
6

Comprobación en GeoGebra
 Ejercicio b.

e 4 x +3
∫ e 3 x dx

Como se tiene el mismo denominador se pueden sumar los numeradores y se dividen el

mismo denominador.

a c a+c
+ =
b b b

4x
∫ ee 3 x dx+∫ e33 x dx

∫ e4 x .e−3 x dx +∫ 3. e−3 x dx

Como se tiene la misma base se aplica la operación en este caso resta y se saca la constante

de la integral

∫ e4 x−3 x dx+ 3∫ e−3 x dx

∫ e x dx +3∫ e−3 x dx=e x dx +3∫ e−3 x dx

Ahora tenemos una integral inmediata y ahora pasamos a resolver por sustitución.

e dx +3∫ e
x −3 x
dx

u=−3 x
du=−3 dx
du
=dx
−3

Hallando u, du pasamos a la sustitución y realizamos las operaciones

−du
e +3 ∫ e (
x u
)
3

e −1 ∫ e du
x u

x u
e −1 e +c

Ya tenemos el resultado entonces debemos volver a términos de x

x −3 x
e −1 e +c

Para que no quede negativo bajamos el termino como denominador y se vuelve positivo.

x 1
e− +c
e3x

Comprobación en GeoGebra
https://www.geogebra.org/m/qbzzspq2

Letra C:

7x
∫ 5 3 x +2 dx
√

Solución:

Asignare el valor de u a una parte de la expresión y hallamos su derivada

7x 1
∫ 5 u ∙ 3 du
√

Escribiendo la integral en términos de derivación, sabremos que como x es igual a u

entonces remplazaremos.

∫
7 ( u3 − 23 ) ∙ 1 du
5
√u 3
Simplificamos

∫
7 ( u3 − 23 ) du
5
3 √u

Al 3 y 7 ser una constante respecto a u tendré que sacarlas

7
∫
( u 2
−
3 3 ) du
3 5
√u

Ahora para simplificar las fracciones del numerador multiplicaremos por una fracción de 3

sobre 3.

7 3 3 3)
( u 2
−

3
∫ ∙ 3
du 5
√u

7
∫
3 ( u3 − 23 ) du
3 3√u
5

Implicamos

7 u−2
∫
3 3 √5 u
du

Al 3 ser una constante respecto a u la extraeré de la integral

3 3(
7 1 u−2
∫ 5 u du
√ )
Simplificar
 7 u−2
9
∫ 5 u du
√

Usaremos la regla de radicales la cual nos dice que esta se podrá transformar en potencia

elevando el radicando a una fracción producida por el índice y la elevación del radicando.

7 u−2
9
∫ 1 du
u5

1
Simplificare la expresión por medio de la extracción del denominador u 5 al multiplicarlo

por -1

( )
1 −1
7
9
∫ ( u−2 ) u 5 du

Simplificamos

−1
7
9
∫ ( u−2 ) u 5
du

multiplicamos
−1 −1
7
9
∫ u ∙ u 5 −2 u 5 du

−1
Simplificare dándole a u un exponente que tenga igual denominador que el de u 5 y

multiplicando la otra expresión de la integral

5 −1 −1
7
9
∫ u 5 ∙u 5 −2 u 5 du
 4 −1
7
9
∫ u 5 −2 u 5 du

Dividiré la integral y extraemos la constante de la integral

4 −1
7
9
∫ u 5 −2∫ u 5 du+C

aplicamos reglas de potencia

9 4
7 5 5
∫ u −2∫ 54 u 5 du+C
9 9

Simplificamos la expresión

( ( ))
4
7 5 95 5
u −2 u 5 +C
9 9 4

( )
9 4
5 5
7 5u 5u
− +C
9 9 2

Unificaremos la expresión multiplicación por una fracción que nos permita obtener un

común denominador

( )
9 4
7 5 u5 2 5 u 5 9
∙ − ∙ +C
9 9 2 2 9

( ( 5u ) 2 − ( 5 u ) 9 +C
)
9 4
5 5
7
9 18 18
 ( ( 5u ) 2−( 5u ) 9 +C
)
9 4
5 5
7
9 18

Remplazamos en los valores de u y factorizamos la expresión y multiplicando por -1

9 4
5
7 5 (3 x +2) ∙ 2−5 ( 3 x +2 ) −1 ∙ 9
5
∙ +C
9 18

4
5
7 5 (3 x +2) ∙2 ( 3 x+ 2 )−9
∙ +C
9 18

4
7 5 (3 x +2) 5 ∙ ( 6 x + 4−9 )
∙ +C
9 18

Simplificamos

4
35(3 x+ 2) 5 ∙ ( 6 x−5 )
+C
162

Comprobación en GeoGebra

Enlace
https://www.geogebra.org/classic/nqnhmend

Ejercicio d.

3 e x +3
∫ 5 e2 x dx

 Por linealidad como propiedad de las integrales, se separa y aparecen dos integrales ahora:

3 e x +3 3 ex
∫ 5 e2 x dx=∫ 5 e 2 x dx +∫ 5 3e2 x dx
 Simplificando las integrales resultantes:

3 −x 3
5
∫ e dx + ∫ e dx
5
−2 x

 La primera integral se realiza de manera directa:

3 −x −3 −x
5
∫ e dx=
5
e +c

 La segunda integral se puede resolver de manera directa también:

3 −3 −2 x
5 ∫ −2 x
e dx=
10
e +c

 La solución final será la unión de las respuestas de las dos integrales:

3 e x +3
∫ 5 e2 x dx=−3
5
−x 3 −2 x
e − e +c
10
Comprobación de geogebra
Ejercicio E

∫ 2−√ x√ x ∙ dx

u=√ x

du 1
=
dx 2 √ x

du ∙ 2 √ x=dx

2 √ x ∙ du=dx

2−u
∫ u
∙2 u ∙ du

2
∫ 4 u−2
u
u
∙ du

2
∫ 4uu − 2uu ∙ du
 4 ∫ du−∫ 2u ∙ du

2 u2
4 u−
u

2
4 u−u +C

La ecuación está en términos de x, entonces reemplazamos u por √ x

2
4 √ x −( √ x ) +C

4 √ x −x+C

Comprobación:

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

 Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes

y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado

anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra).

Ejercicio a.

∫¿¿

Eligiendo u y dv

u=ln ( cos ( x) )

−sen (x)
du=
cos( x)

dv =( senx ) dx

v=−cos ( x)

Formula

∫ u ∙ dv=u ∙ v −¿∫ v ∙ du ¿
Reemplazando valores

−sen( x )
∫ ln ( cosx )( senx ) dx=ln ( cos ( x)) ∙(−cos ( x))−¿ ∫−cos ( x)∙ cos(x )
dx ¿

Simplificando la función

∫ ln ( cosx )( senx ) dx=ln ( cos ( x)) ∙ (−cos ( x ) )−¿ ∫ sen ( x ) dx ¿

Resolviendo

∫ ln ( cosx )( senx ) dx=ln ( cos ( x)) ∙ (−cos ( x ) )−¿ (−cos (x))¿

∫ ln ( cosx )( senx ) dx=−ln ( cos ( x)) ∙ cos( x )+¿ cos(x )+c ¿
Comprobación en GeoGebra
Ejercicio b.

∫ 3 x 2 sin ( x ) dx
Debemos hallar u, v, du mediante el método de ILATE

u=x
2
dv =∫ sin ⁡(x )

du
dx
=2 x ∫ dv=∫ sin ⁡( x )
du=2 xdx v=(−cosx )

Aplicamos la formula

∫ u . dv=u . v−∫ v . du

∫ 3 x 2 . sin ( x )=x 2 .(−cosx )−∫(−cosx ).2 xdx

simplificamos
∫ 3 x 2 . sin ( x )=−x 2 cosx−∫ (−cosx ).2 xdx
∫ 3 x 2 . sin ( x )=3 ¿ ¿ ¿
∫ (−cosx ).2 xdx
Realizamos nuevamente integración por partes

u=x dv =∫ cos ⁡( x )

du
dx
=1 ∫ dv=∫ cos ⁡( x)
du=1 dx v=(sinx)

∫ u . dv=u . v−∫ v . du

∫ 3 x 2 . sin ( x )=xsin(x)−∫ sin ⁡( x ).1 dx

simplificamos

∫ 3 x 2 . sin ( x )=−2 ¿ ¿
∫ sin ( x ) dx=−cos ( x )=−2 ( xsenx ) −( cos ( x ) )
Simplificamos

−2 ¿

∫ 3 x 2 . sin ( x )=3 ¿ ¿ ¿
Simplificamos

∫ 3 x 2 . sin ( x )=3 ¿ ¿ ¿
Comprobamos en GeoGebra
Letra C:

∫ x e−x dx
La integración por parte nos dice que la integral de vdu, va a ser igual uv−∫ vdu,

teniendo esto en cuenta organicemos la expresión.

x e −∫ e dx
−x −x

Asignamos el valor de u a la variable x que este dentro de la integral

x (−e ¿¿−x)−∫ e du ¿
−u

Despejamos la integral

x (−e ¿¿−x)−(e−u +C)¿

Simplificamos la expresión
−x −u
−x e −e +C

Remplazamos por x la variable u

−x −x
−x e −e +C

Comprobación En GeoGebra
Enlace

https://www.geogebra.org/classic/vxd5qufu

Ejercicio d.
∫ ( lnx )2 dx
Se hallan los parámetros correspondientes para aplicar el método de integración por
partes:
2 2 lnx
u=( lnx ) → du= dx
x
dv =dx → v =x
Sustituyendo en la definición de integración por partes los parámetros anteriores:
2 lnx
∫ ( lnx )2 dx=( lnx )2 x−∫ x x dx=x ( lnx )2−2∫ lnxdx
La integral que resulto de la integración por partes, se resuelve nuevamente por el
método antes mencionado:

1
u=lnx→ du= dx
x
dv =1dx → v=x
∫ lnxdx=xlnx− ∫ dx=xlnx−x
Una vez se haya llegado a la respuesta, se unen y se obtiene la solución de la integral
mediante el método de integración por partes:
∫ ( lnx )2 dx=x ( lnx )2−2 ( xlnx−x ) +c
Comprobación en GeoGebra:
Ejercicio E.

∫ xsec2 xdx
Para iniciar aplicamos la función de integrales por partes donde:
∫ xsec2 xdx
u=x 2
dv =sec xdx

du=dx v=tanx

∫ x sec2 xdx=xtanx−∫ tanxdx

Ahora tenemos una nueva integral para integral tan x lo primero que podemos hacer es cambiar
tangente, por identidades trigonométricas sabemos que tan x=
senx
∫ tanxdx=∫ cosx dx
Esto se puede resolver por sustitución donde
u=cosx

du
=−sen x
dx

du
=dx
−sen x
Reemplazo mi ecuación inicial
sen x
∫ u
∗du
¿
−sen x

Simplificamos el numerador con el denominador, retiramos de la integral el menos, la integral

quedaría como:
sen x
∫u
∗du
¿
−sen x
du
¿−∫
u

Integramos:
du
¿−∫ =−ln u+c
u

Reemplazo u=
¿ ln ( cosx ) + c

Volvemos a la integral por partes y reemplazamos el resultado de la integral

∫ x sec2 xdx=xtanx−∫ tanxdx
¿ xtanx−(−ln ( cosx )+ c)

¿ x tanx+ ln ( cos x )+ c

Prueba
Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y

comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado

anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra).

Ejercicio a.

x2
∫ (1−9 x 2)3 /2 dx

Reescribimos la integral

2
∫ ¿x¿ ¿ ¿
 3x
senθ=
1

1 senθ=3 x

1
senθ=x
3

Derivando:

1
cosθdθ=xdθ
3

Resolviendo:
2
1
( senθ)
3 1
∫ ∙ cosθdθ
( 1−9( 13 senθ) ) 3
2 3/2

1
sen 2 θ
9 1
∫ ∙ cosθdθ
( )
1 2
3/2
3
1−9( sen θ)
9
2
1 sen θ ∙ cosθ
27
∫ 3
dθ
2 2
(1−sen θ)
 2
1 sen θ ∙ cosθ
27
∫ 3
dθ
2 2
(cos θ)

1 sen 2 θ ∙ cosθ
27
∫ 3
dθ
2 2
(cos θ)

1 sen 2 θ ∙ cosθ
∫ dθ
27 √(cos 2 θ)3
2
1 sen θ ∙ cosθ
∫ dθ
27 √(cos3 θ)2
2
1 sen θ ∙ cosθ
27
∫ cos3 θ dθ
2
1 sen θ
∫
27 cos 2 θ
dθ

1
27
∫ tan 2 θdθ

1
27
∫ (sec¿¿ 2 θ−1)dθ ¿
1
27
(∫ sec θdθ−∫ dθ )
2

1
(tanθ−θ)
27

1
27 (√ 3x
1−9 x
2 )
−arcsen (3 x )

Comprobación en GeoGebra
Ejercicio b

3 x−5
∫ dx
√ 1−x 2

Teniendo en cuenta la fórmula que se aplica en este caso, se resuelve el ejercicio.

 3 x−5
∫ dx
√ 1−x 2
1

x
sin θ= =x
1 θ

cos θ= √ 1−x
2
= √ 1−x 2 √ 1−x 2
1

sin θ=x

d (sin θ) d( x )
=
dθ dθ

d (x)
cos θ=¿ =dx=cos θ . dθ ¿
dθ

Ahora vamos a la integral y sustituimos

3 sin θ−5
∫ cos θ
. cos θ . dθ

Cancelamos los cos θ y la integral nos queda

∫¿¿

Resolvemos las integrales sacando las constantes

∫ 3 sin θ dθ=−3 cos θ=−3 √ 1−x 2

−∫ 5 dθ=−5 θ

Ahora debemos despejar theta con el triángulo rectángulo y así volver a la variable x

cos θ=
ady
=cos θ=
√1−x 2
hip 1

ady
Ahora podemos sacar theta con el mismo cos θ= sacando coseno inverso a ambos
hip

lados, pero usando seno se involucra el opuesto a theta y sacando seno inverso a ambos

lados hallaremos el resultado.

op x
sin θ= =¿ sin θ= ¿
hip 1

Despejamos a theta

x
sin θ=
1

−1
θ=sin x
Ahora unimos los resultados de las integrales y sustituimos a theta además de poner la

constante

−3 √ 1−x −5 sin x+C

2 −1

Se comprueba en GeoGebra.

Letra C:

1
∫ dx
x
2
√ x 2+ 4

Solución

Recordando el teorema de Pitágoras y observando similitud en uno de los casos de este

teorema con nuestro integral daremos solución.

C=√ a2 + x 2 x=a tan(θ) 1+ tan 2 ( θ ) =sec 2 (θ)

Ahora organizando nuestra información tendremos que tangente de theta va a ser igual a

cateto opuesto sobre cateto adyacente.

x
 √ x 2+ 4

2
x
tan(θ)=
2

Despejamos a x

x=2 tan (θ)

Como la variable x esta al cuadrado elevamos al cuadrado todo

2 2 2
x =2 tan θ

2 2 2
x =2 tan θ

Como ya tengo a x ahora necesito la dx

2 2 2
x =2 tan θ

2
dx=2 sec θ dθ

Remplazamos valores en la integral

2
1(2 sec θ) dθ
∫
2 tan θ √2 tan θ+ 4
2 2 2 2

Simplificamos la integral por medio de la factorización e identidades trigonométricas

2
1(2 sec θ)dθ
∫
2 tan θ √ 2 ( tan θ+ 1)
2 2 2 2
 2
1(2 sec θ)dθ
∫
2 tan θ √ 2 (sec θ)
2 2 2 2

1( 2 sec 2 θ) dθ
∫ 22 tan2 θ(2 sec θ)

Simplificamos numerador y denominador cancelando términos entre sí y resolviendo.

2
1( 2 sec θ) dθ
∫ 22 tan2 θ(2 sec θ)

secθ dθ
∫ 22 tan2 θ

Nuevamente haciendo uso de la identidades trigonométricas y sacando constantes

simplificaremos la integral.

1 sec θ dθ
4
∫ tan2 θ

1
4 (
∫ cos1 θ )( )
cos 2 θ
sen 2 θ
dθ

1 cos θ
∫
4 sen2 θ
dθ

Resolviendo la integral tendremos que

−1
+C
4 sen θ

Ahora remplazaremos por los valores de x en la expresión y resolviendo sen theta sabiendo

que sen theta es igual al cateto opuesto sobre la hipotenusa

 x
sen θ ¿
√ x 2+ 4

−4 x
+C
√ x 2 +4

Al tener el sen de theta arriba reacomodamos la expresión

−√ x 2 + 4
+C
4x

Comprobación en GeoGebra

Enlace

https://www.geogebra.org/classic/cvtcedd9

Ejercicio d.
3
∫ x (+x −3
2 x−1
)2
dx

Para comenzar con la integración, primero se expande el denominador de la función a

integrar:
 3
∫ xx 2−6
+2 x−1
x+ 9
dx

Como el numerador tiene un grado más que el denominador, se pueden dividir:

29 x−55
x +6+ 2
x −6 x+ 9
La anterior ecuación, será la función a integrar:

∫ ( x +6+ x29−6x−55
2
x+ 9 )
dx

Si se aplica la linealidad, quedaran 3 integrales nuevas:

29 x−55
∫ x dx +∫ 6 dx +∫ x 2−6 x +9 dx
Se resuelven las dos primeras integrales de manera directa:

x2
∫ x dx= 2
+c

∫ 6 dx=6 x+ c
La tercera integral, será resuelte mediante fracciones parciales:
29 x−55 29 32
= +
x −6 x+ 9 x−3 ( x−3 )2
2

Continuando con la solución, resultan 2 integrales por las fracciones:

29 x−55 29 32
∫ x 2−6 x+ 9 dx=∫ x−3 dx +∫ ( x−3 )2 dx
Resolviendo cada uno de las integrales:
29
∫ x−3 dx=29|ln ( x−3 )|+ c
32 −32
∫ ( x−3 )2 dx= x−3 +c
Ahora se tienen que unir las 4 respuestas y ese será la solución de la integral original:
3 2
∫ x (+x −3
2 x−1
) 2
x
dx= + 6 x+ 29|ln ( x −3 )|−
2
32
x−3
+c

Comprobación en GeoGebra:
Ejercicio E.
4

∫ ( x −1)( xx +2)(x
+2
2
+1)
dx

Desarrollo
4

∫ ( x −1)( xx +2)(x
+2
2
+1)
dx

para iniciar con las fracciones parciales dedo realizar una división de polinomios para
reducir el grado del numerador
 4 4
x +2 x +2
2
= 2
( x−1)(x+ 2)( x +1) (x +2 x−x−2)¿ ¿
4 4
x +2 x +2
¿ 4 2 3 2
¿= 4 3 2
x + x + x + x−2 x −2¿ x + x −x + x−2

x4
=1
x4

−x 4 + x 3 −x2 + x−2 x 4
x 4 +0 x 3 +0 x 2+0 x +2 =1
1 x
4

4 3 2
−x −x + x −x+ 2
4 3 2
x −x + x −x + 4

x 4+ 2 x 3 + x 2−x+ 4
=1+
x 4 + x3 −x 2+ x−2 x 4 + x 3−x 2 + x−2

x 4 +2
dx= 1+
(
−x 3+ x 2−x + 4
∫ ( x −1)( x +2)(x2 +1) ∫ x 4 + x3 −x2 + x−2 dx )
Resuelvo por fracciones parciales

−x 3+ x 2−x + 4 A B CX + D
= + + 2
( x−1)(x+ 2)( x +1) (x −1) (x+ 2) x +1
2

−x 3+ x 2−x + 4 ( x +2 ) ( x 2 +1 ) . A + ( x−1 ) ( x2 +1 ) B+(x−1)( x +2)(CX + D)

=
( x −1 )( x +2 ) ( x2 +1 )
2
( x−1)(x+ 2)( x +1)

Multiplico A,B y C

−x 3+ x 2−x + 4 ( AX+2 A ) ( x + 1 ) + ( BX−B ) ( x +1 ) + ( x + 2 x−x−2 ) ( CX + D )

2 2 2
=
( x−1 ) ( x+2 ) ( x 2 +1 )
2
( x−1)(x+ 2)( x +1)

Realizo la nueva multiplicacion de las fracciones

−x3 + x 2−x +4
∫ dx=¿ ¿
( x−1 ) ( x +2 ) ( x 2+ 1 )

A x 3 + Ax+2 A x 2+2 A+ B x3 + Bx−B x 2−B+C x 3 + D x 2+C x 2 + Dx−2Cx−2 D

( x−1 ) ( x +2 ) ( x 2+ 1 )
Factorizo terminos semenjantes
3 2
−x + x −x +4
=¿
( x−1 )( x +2 ) ( x 2+1 )
3 2
x ( A + B+C )+ x (2 A−B+C + D)+ x ( A+ B−2C + D)+(2 A−B−2 D)
( x−1 )( x +2 ) ( x 2 +1 )

Igualo coeficientes de las potencias del numerador DONDE:

−x 3=−1 ; x 2=1;−x=−1 ; 4=4

A+ B+C=−1 EC 1

2 A−B+C + D=1 EC 2

A+ B−2C + D=−1 EC 3

2 A−B−2 D=4 EC 4

EC 1−2 C−EC 3

A+ B+C+ 0 D=−1

−A−B+2 C−D=1
0+ 0+3 C−0=0

D=3 C ecuacion5

EC 2−EC 4

2 A−B+C + D=1

−2 A+ B+ 0C +2 D=−4
0+ 0+C+3 D=−3

C+ 3 D=−3 ecuacion 6

D=3 C ecuacion6

C+ 3(3 C)=−3

−3
C+ 9 C=−3 →10 C=−3 C=
10

D →3 C=¿
 3∗−3 −9
( )→ D=
10 10

ECUACION .1

A+ B+C=−1

A+ B=−1−C

3 −10+3 −7
A+ B=−1+ = = ECU 7
10 10 10

−7
A+ B=
10

ECUACION 4

2 A−B−2 D=4

2 A−B−2 ( −910 )=4

18
2 A−B=4−
10

9
2 A−B=4−
5

11
2 A−B= ECU 8
5

ECU 7+ ECU 8

−7
A + B=
10
11
2 A−B=
5
15
3 A=
10
3 3 1
3 A= → A= → A=
2 6 2

−7 −7 1
B= − A= −
10 10 2

−12 6
B= =
10 5
 −6
→ B=
5

x 4 +2
( −x3 + x 2−x + 4
)
∫ ( x −1)( x +2)(x2 +1) dx ∫ 1+ ( x−1 )( x +2 ) x2 +1 ¿ ¿ dx

( )
1 −6 −3 −9
x
2 5 10 10
∫ 1+ + +
(x−1) (x +2) ( x 2 +1)
dx

( )
−3 9 −3 −9
x− x
10 10 10 10
∫ x 2+ 1 dx=∫ x 2+ 1 + x 2 +1 dx

−3
−x
10 −3 x
∫ x 2 +1 dx= 10 ∫ x 2+1 dx
2
u=x +1

du
=2 x
dx

du
=xdx
2

−3 du −3 du
10 ∫ 2.u 20 ∫ u
¿ =

−3 −3 2
¿ lnu= ln ⁡( x + 1)
20 20

−9
10 −9 1
∫ x 2+1 dx= 10 ∫ x 2+1 dx
9
¿− arctan( x)
10

1 6 3 9
¿ x+ ln ( x −1 )− ln ( x +2 )− ln ( x +1 ) − tang ( x ) +C
2 −1
2 5 20 10
Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.

Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si

convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del

ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra).

Ejercicio a.

∫ x12 dx
1

b b

∫ x12 dx=∫ x−2 dx

a a
 | |
−1
x b −1 b
=
−1 a x a

1 −1 1 1
¿− −
b a
= −( )
a b

Reemplazamos las variables

1 −1
¿− −
b a
=1−( )
1
b

1
Entonces si b=∞ a=1− =1por lo tanto determino que la integral converge
∞

∞ b
1 1
¿∫ 2
dx=lim ∫ 2 dx
1 x b →∞ 1 x
 Comprobación en GeoGebra

Ejercicio b

0
1
∫ (x−1)2
dx
−∞

Nombramos a menos infinito con una letra en este caso utilizare la b

0 0
1 1 1
∫ (x−1)2
dx=∫ 2
dx= lim ∫ 2
−∞ b ( x −1) b →−∞ ( x−1)

0
0
1( x−1) = lim ( )
−1
lim
b →−∞
∫ −2

b →−∞ x −1
b
b

Ahora remplazamos la b por el −∞

0
lim
b →−∞
∫
b
( −1
b
+1) =1
Como b equivale a −∞ se cancela ya que su resultado es 0 nos queda como resultado 1 lo

que indica que es una integral convergente

Comprobamos en GeoGebra

Letra C:

−1

∫ x e−x dx
2

−∞

Solución

Para resolver la x multiplicara por menos 2 e implementare un 1 medio sobre -2 para

compensar y de este modo poder aplicar

−1

∫ x e−x dx
2

−∞

∫ x e−x dx
2

1
∫
2
−x
−2 x e dx
−2
 −1 − x 2

e +C
2

Ahora evaluaremos los limites

−1 −1-1
2 |
2

e =−0.18
t

−1 −1 2

Entonces si b=−∞ a= e =0.1839 …por lo tanto determino que la integral converge

2

Comprobación en GeoGebra

Enlace

https://www.geogebra.org/classic/qvwfkar7

Ejercicio d.
16

∫ 41 dx
0 √x

o Se integra como si se la integral fuera indefinida:

 1 1
∫ 4 x dx →∫ dx
√ x
1
4

−1 3
4 44
→∫ x 4
dx= x 4 = √ x 3 +c
3 3
o Una vez obtenido el resultado de la integral, se evalúa según el límite:
4 4 3 16
lim
n→ 0 3
√x ⌈ n ¿¿

Comprobación en GeoGebra:

Ejercicio E.
0

∫ ¿1¿ ¿
−∞

Desarrollo
0

∫ ¿1¿ ¿
−∞

∫ ¿1¿ ¿
−∞

Realizo una sustitución del denominador donde:

u=x−8

du=dx
0

∫ ¿1¿ ¿
b

Subo el denominador
0 −2

∫u 3
du
b

Integro la fracción:

−2

|
0 −2
u 3+1 0
∫u 3
du=
−2 b
b
+1
3
1

| |
3 1
u 0 0
¿ =3 u 3
1 b b
3

Vuelvo a mi ecuación inicial:

¿3¿

Evaluó los límites de la integral

¿3¿

Ahora vuelvo a la función inicial y reemplazo el valor de b por infinito:

lim 3 ¿ ¿
b →−∞

∫ ¿1¿ ¿Diverge
−∞
Nombre Ejercicios Link video explicativo
Estudiante Sustentados
Mary Yirley Tipo de https://youtu.be/C4Lhc8NLNMM
Wallis Mora ejercicios 1 –
Integración por
sustitución
Sonia Milena Tipo de ejercicio https://www.youtube.com/watch?v=HTC33ZHuThQ
Ardila Florez 5
Fracciones
impropias
John Tipo de ejercicio https://youtu.be/dM7kq4Cyd1k
Anderson 3 sustitución
Martinez trigonométrica y
Salazar fracciones
parciales
Yenny Paola Tipo de ejercicio https://youtu.be/p1bwQt5qYM0
Vanegas 1: Integración
Cárdenas por sustitución
Julieth Tipo de ejercicio https://youtu.be/YwZrBqyRuQk
Fernanda 2 Integración por
Martinez partes
Salazar