Clase 12.4

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
CAPÍTULO 4: MODELOS ESTOCÁSTICOS VARIABLES ALEATORIAS

CONTINUAS
GAMMA, Exponencial, Cuantiles de una v.a, Ji-Cuadrado, va Erlang y Weibull
Profesora: Eva María Mera Intriago
Escuela Superior Politécnica del Litoral

Facultad de Ciencia Naturales y Matemáticas
Guayaquil, julio de 2022
Función Gamma o Función Factorial
real
• G: R+ →R+
• Sea a un número real positivo
Si alfa es entero, esta integral se puede resolver integrando por partes

Si alfa no es entero no siempre se puede resolver por partes, solo se puede
resolver con series o de forma numérica.
Estadística I 20/07/2022 2
Video: minuto: 6,05segundos hasta 9:52
Tabulación de la Función Gamma
entre a = 1.01 y a = 2.00
α G(α) α G(α) α G(α) α G(α)
G(4.5) = ?
G(4.5) = (3.5)G(3.5)
G(4.5) = (3.5)(2.5)G(2.5)
G(4.5) = (3.5)(2.5)(1.5)G(1.5)
G(4.5) = (3.5)(2.5)(1.5)(0.8862)
Función Gamma
Si a = n, siendo n entero positivo, resulta muy simple calcular una función gamma
en términos de factoriales ya que aplicando la relación recurrente, encontramos
que:
G(n) = (n - 1)!
 G(1) = (1 - 1)!=0!=1
De otra forma: G(α) =  xa −1e-X dx ; x > 0; a >0
0
G(1) =  x1−1e-X dx
0
G(1) =  x1−1e-X dx = 1 Es una integral que se puede resolver

0
La función Gamma es como una generalización del factorial que no solamente es para números
enteros sino para reales positivos.
Un valor muy utilizado de esta función, es G(½) que resulta = π = 1.7725; esto es:
Variable Aleatoria GAMMA
• Tiempo de vida de una persona, planta, animal u objeto

sin vida(por ejemplo, mecanismo electrónico).
• Tiempos de espera
• Otro ejemplo:
• “Suponga que una pieza metálica se encuentra sometida
a cierta fuerza, de manera que se romperá después de
aplicar un número específico de ciclos de fuerza, si los
ciclos ocurren de manera independiente y a una
frecuencia promedio, entonces el tiempo que debe
transcurrir antes de que el material se rompa, es una
variable aleatoria que cumple con la distribución gamma”
Tomado del Texto: George Canavos, Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos,1988.
Estadística I minuto: 9,53segundos hasta 12:54 20/07/2022 5

Variable Aleatoria Gamma
Decimos que X es una Variable Aleatoria Gamma con

parámetros a y b, cuando y solo cuando su densidad es:
a y b positivas.
Se usa: Teoría de colas, simulación de colas, inventarios
Media y Varianza
La Media y la Varianza de una Variable Aleatoria Gamma con
parámetros a y b, son respectivamente:
m = ab y s2 = ab2
Función Generadora de Momentos
1 1
M x (t) = ,t<
(1 − β t) α
b
es una exponencial
• a es un parámetro de forma Sesgo decrece con alfa

Cuando alfa es 1: es una v.a exponencial
• b es un parámetro de escala
f(x) 0,20
0,18
0,16
G(1,2)
0,14
0,12
0,10
0,08 G(10,2)
0,06
0,04 G(8,3)
0,02
G(5.8,3.5)
0,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00 X
Gamma Especial

1
0 G(α)βα
x
a −1 β-
x e dx = 1 ; x>0
x
x
a −1 β
-
e dx = G(α)β α
Variable Aleatoria Exponencial
• Buen modelo para tiempo entre eventos. F.Vera

• Periodo de tiempo t unidades(días, horas,minutos etc.).
• Modelo Gamma de amplia aplicación es el Exponencial, encontrado con

extraordinaria frecuencia en la explicación de “tiempos de espera”.
• Colas que se forman en lugares en los que se proveen bienes o
servicios a concurrencias masivas tales como bancos, terminales
terrestres, aeropuertos, restaurantes, etc..
• También se aplica este modelo en Confiabilidad, para “tiempos de vida”
de seres vivientes o sistemas.
• La variable aleatoria exponencial describe el tiempo que transcurre o el
tiempo de espera hasta que se da el primer evento en un Proceso
Poisson o el tiempo de espera entre dos eventos en un proceso
Poisson.
Video: 2min14 segundos a 6min04segundos
Decimos que una Variable Aleatoria X tiene una Distribución

Exponencial con Parámetro b, si es una Gamma con a = 1, y b
cualquier constante real positiva. Su densidad f es una función
monótona decreciente con valor:
Media y Varianza
La media de la Distribución Exponencial es m = b ; y, su
varianza s2 = b2.
Distribución Acumulada
 0 , x0
F(x) =  − bx
1 − e , x0
Función Generadora de Momentos

1 1
M x (t) = ,t<
(1 − β t) b
Densidad de G(1, b) para b = 2; b = 5; y, b = 10 o EXPONENCIAL ) para b = 2; b = 5; y, b = 10
Distribución Acumulada de la V.A Exponencial con b = 2
1/b=1/2
1
x
−
1− e 2
b=2
X
1 m=23
 0 , x0
F(x) =  − x2
1 − e , x0
Ejemplo 4.13
Se nos dice que por experiencias previas se conoce que el

“tiempo de espera” en la cola (fila) frente a la ventanilla de un
banco en Guayaquil, un día laborable cualquiera, puede ser
modelado como una Distribución Exponencial con Media igual a
tres minutos. Determinar su Densidad y Distribución Acumulada
de Probabilidades.
…viene Ejemplo 4.13
Desarrollo. Siendo el tiempo medio de espera tres minutos,

podemos decir que el parámetro b es 3, por tanto,
y, que
F(x) = 1 – e-x/3 para xS y cero para el resto de X
Por lo que si además nos preguntan cuál es la probabilidad de

que alguien espere en la fila no más de tres minutos, esto es
P(X  3) = F(3) = 1 – e-3/3 = 1 - e-1 = 0.632
…viene Ejemplo 4.13
Si nos preguntan la probabilidad de que un cliente

espere al menos cuatro minutos esto es:
P(X  4) = 1 – F(4) = 1 – (1 - e-4/3) = e-4/3 = 0.263
Si alguien quiere saber la probabilidad de esperar

“exactamente” cinco minutos,
Le diremos sin dudas, que esa probabilidad es cero ya

que X, que representa tiempo, es una Variable Aleatoria
Continua.
Riqueza escondida de la distribución acumulada F
Cuantiles de una variable

aleatoria continua
p-ésimo Cuantil de una Variable

Aleatoria Continua
F(xp) = P(X  xp) = p

Aleatoria Continua
• Supongamos que F es la distribución acumulada

de X, xp es el p-ésimo Cuantil de X, si y solo si:
F(xp) = P(X  xp) = p
• siendo p una probabilidad, luego p es un valor

entre cero y uno.
• Por ser X continua 
• F es continua
• Monótona creciente
• Por lo tanto,
• Sobreyectiva e Inyectiva y con ello una función Biyectiva
• Lo que nos permite asegurar que la inversa de F existe,
esto es F-1
• Por lo tanto si: p = P(X  xp) = F(xp) entonces;
• F-1(p)=xp
Si p = P(X  xp) = F(xp)  F-1(p)=xp
• Si p = 0.01, el cuantil xp se denomina Primer Percentil

de X, esto significa que,
•
• F–1(0.01) = x0.01;
• En la misma línea de pensamiento, x0.02 es el Segundo

Percentil y continuando así hasta el Percentil
Nonagésimo Noveno denotado x0.99 para el cual es
verdad que,
• F–1(0.99) = x0.99
Cuantiles notables
• x0.10 que es denominado Primer Decil de X;

• x0.25 que es el Primer Cuartil de X;
• x0.50 que es el Segundo Cuartil o Mediana de X;
• x0.75 es el Tercer Cuartil o Cuartil Superior de X.
• Podemos interpretar esto como que la probabilidad de

que un valor de la Variable Aleatoria X sea menor o igual
a x0.10 es 0.10; o que la probabilidad de que X tome
valores menores o iguales que x0.25 es 0.25.
• P(X  x0.10) = 0.10
• P(X  x0.25) = 0.25
Ejercicio Aleatoria Continua

F(xp) = P(X  xp) = p
Encontrar el percentil 75 de la variable exponencial.
1 −x /3
f (x) = e ; S = R+
3
La distribución acumulada F(x) es:
F(x) = 1 − e − x/3
para xS y cero para el resto de X
1 −x /3 +
Ejercicio f (x) = e ; S = R Aleatoria Continua
F(xp) = P(X  xp) = p
3
Encontrar el percentil 75 de la variable exponencial.
Por definición: F(x0.75) = P(X  x0.75)=0.75
Estadística I
x 0.75 20/07/2022 24
Ejercicio Aleatoria Continua

F(xp) = P(X  xp) = p
Por definición:
F(x0.75) = P(X  x0.75) = 0.75
Por tanto, x 0.75
−
F(x 0.75 ) = P(X  x 0.75 ) = 1 − e 3
= 0.75
x 0.75
−
e 3
= 1 − 0.75
x 0.75
−
3
e = 0.25
( )
ln e − x 0.75 / 3 = ln(0.25)
x 0.75
− = − 1.39  x 0.75 = 4.17
3
• Si no se conoce F(x) , entonces calcular P(X  xp) = p
x 0.75
1 − x /3
F(x 0.75 ) = P(X  x 0.75 ) = 0
3
e = 0.75
 x 0.75 = 4.17
Estadística I
x 0.75 20/07/2022 26
Deber 3. v.a continuas
• Determine el primer decil, la mediana, el tercer cuartil y el

percentil noventa y cinco de la variable aleatoria X, si X es
exponencial con parámetro b = 5.
• Respuestas
• a) -5ln(0.90) , b) -5ln(0.50) , c) -5ln(0.25) , d) -5ln(0.05)
• Respuestas
• a)
• b)0.8187
Variable Aleatoria Ji-Cuadrado
Cuando X ~ G(a, b) y se tiene además que a = n/2 y b = 2, n

entero positivo, ésta toma un nombre especial, que es
Ji-Cuadrado con n grados de libertad. La variable se la denota
por c2(n).
0 ;x0

f(x) =  1 n −1 - x
 G( n ) 2n/2 x 2
e 2
; x>0
 2
V.A . Ji-Cuadrado con n grados de
libertad χ (n)
2
• X ~ G(a, b) X ~ G(n/2, 2)

Variable Ji–Cuadrado con n = 4; n = 6; n = 8; y, n = 10 grados de libertad
f(x)
c2(4)G(4/2,2) G(2,2)
c2(6) )G(6/2,2) G(3,2)

c2(8) )G(8/2,2) G(4,2)
c2(10) )G(5,2)
Variable Aleatoria Ji-Cuadrado χ
2
(n)
El percentil (1 – a)100 de una Ji-Cuadrado con n grados de

libertad se lo representa como:
χ (n),α
2
Variable Aleatoria Ji-Cuadrado χ
2
(n)
• Esta distribución tiene amplio uso en la estimación de

intervalos de confianza y en pruebas de hipótesis.
• Será utilizada en su curso de Estadística Inferencial.
Variable Aleatoria Erlang
Si en la densidad de una Variable Exponencial en lugar de a = 1

se tiene a = n, siendo n entero positivo, tenemos una
Distribución Erlang con parámetros n y b; y, su densidad es la
de cualquier Gamma con a sustituido por n, entero positivo.
1 x
n −1 - β
f(x) = x e ; x>0
G(n)β n
En síntesis:
X es Erlang con parámetros n y b  X ~ G(n, b)
Esta variable también mide tiempos de espera

Se usa: Teoría de colas, simulación de colas, inventarios
Si se hace una cola con 10 clientes y el tiempo de atención de cada cliente es una exponencial
conEstadística
parámetro I beta, entonces el tiempo de espera tendrá una distribución Gamma
20/07/2022 con alfa 32
=10 y beta igual a beta
Variable Aleatoria Erlang
Media y Varianza
El Valor Esperado o Media de la Erlang es m = nb y su Varianza
s2 = nb2.
Variable aleatoria Erlang
f(x) 0,30
G(9,0.5)
0,25
0,20
0,15
G(9,0.7)
0,10 G(8,2)
0,05 G(8,2.2)
0,00
0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Estadística I 20/07/2022 X34

Variable aleatoria Erlang
• La v. a Erlang es un caso especial de la exponencial.

• La variable aleatoria exponencial describe el tiempo que
transcurre o el tiempo de espera hasta que se da el
primer evento o primer conteo en una v. a Poisson.
• Una generalización de la distribución exponencial es el
tiempo que transcurre, el tiempo de espera hasta que
ocurren r conteos en una v.a Poisson.
Variable Aleatoria Weibull
Decimos que X es una Variable Aleatoria Weibull con

parámetros a y b, si y solo sí, su densidad f es definida de la
siguiente forma:
α α −1 − ( )
α
x
f(x) = α x e ; x > 0 ; α,β  R

β +
β
X es Weibull con parámetros a y b  X ~ W(a, b)
Cuando a = 1 es notorio que la variable aleatoria es Exponencial
Variable Aleatoria Weibull
Distribución Acumulada
( )
α
− x
F(x) =1 − e β
; x>0
 1
Media y Varianza μ = β G 1 + 
 α

2   2   1   
2
s = β G  1 +  −  G  1 +   
2
  α   α   
V. A. WEIBULL
f(x) 2
W(1,0.5)
1,8
1,6
W(5,1)
1,4
1,2
0,8
W(1,1)
0,6
0,4 W(1.5,1)
W(1,5)
0,2
0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00
X
• a es un parámetro de forma
Estadística I 20/07/2022
b es un parámetro de escala
38
•
V.A. Weibull
• La variable aleatoria Weibull era utilizada en experimentos

que median la resistencia de materiales en la Segunda Guerra
Mundial.
• El modelo es utilizado para explicar tiempos de vida, sea de
Confiabilidad de sistemas electromecánicos así como como en
Demografía y Ciencias Actuariales para modelar sobrevivencia
de humanos que han llegado a la adultez.
• Tiempo hasta que ocurre una falla en muchos sistemas físicos
diferentes
• Ejemplos:
• Tiempo de vida de una batería o tiempo de falla de una
batería.
• Tiempos de espera para realizar una acción.
..viene Weibull
• Es usualmente utilizada para modelar sistemas en los

que:
• El número de fallas aumenta con el tiempo(desgaste de
rodamientos)
• El número de fallas disminuye con el tiempo( algunos
semiconductores)
• El número de fallas permanece constante con el tiempo(
fallas causadas por interferencias del sistema)
El tiempo de vida en horas de un artefacto
de una Variable Aleatoria sigue una
distribución Weibull con a = 0.5 y b = 750.
¿Cuál es la probabilidad de que un artefacto dure más de
1000 horas?
Desarrollo:
X es el tiempo de vida en horas de un artefacto
X es una distribución Weibull con parámetros 0.5 y 750
X  W(0.5, 750)
Nos piden P(X > 1000), entonces
Solución 1: Utilizando la función de densidad e integrando
α α −1 −( βx )
α
f(x) = α x e ; x > 0 ; α,β  R +

β 
0.5 −1 −( 750 )
0.5
P(X > 1000) = 

x
0.5
0.5 x e dx
(750)
1000
Variable Aleatoria Weibull: Ejercicio
Solución 1: Utilizando la función de densidad de la v.a Weibull e integrando la misma

0.5 −1 −( 750 )
0.5
 X  W(0.5, 750)
x
0.5
P(X > 1000) = 0.5 x e dx
(750)
1000

− 0.5 −( 750 )
0.5

x
0.5
= x e dx
(750) 0.5
1000
u = x 0.5

1 −( 750 )
0.5
du = 0.5 x −0.5 dx

1
0.5
=
u
e du
(750)0.5 0.5
1000

−( 750 )
0.5

1
1
=
u
e du
(750)0.5
1000

 − ( 1 )0.5 x 0.5  
   ( ) 
0.5
1 e 750 −
=  P(X > 1000) =  -e
x

750
= [0 − (−0.31)] = 0.31
 −( 1 )
(750)0.5     1000
0.5
 750  1000
Variable Aleatoria Weibull: Ejercicio
( )
α
− x
F(x) =1 − e
Solución 2: Utilizando la Función β
de distribución acumulada ; x>0
P(X > 1000) = 1 − F(1000) X  W(0.5, 750)
= 1 − 1 − e 750 
 −( 1000 )
0.5
 
= 1 − 1 − e −1.15 
= 1 − 1 − 0.315
= 1 −  0.685
= 0.315
Distribución Uniforme Continua
Una Variable Aleatoria Continua es denominada Uniforme con

Parámetros a y b cuando y solo cuando su densidad f se define
como:
a y b son reales a<b

Es usual denotar a esta variable como U(a, b), lo cual se
sintetiza en la expresión X ~ U(a, b)
Minuto 0 a 2.14
…viene Distribución Uniforme Continua
Su Esperanza Matemática o Media poblacional es:
En tanto que su Varianza es:
Su Distribución Acumulada es:

0 ;xa
x

F(x) =    (b −a
1 
)  dt ; x (a, b)
a
1 ; x b
0 ;xa

x −a
F(x) =  ; x (a, b)
b − a
1 ; x b
Su Función Generadora de Momentos es igual a:
Variable Aleatoria Uniforme (0,1)
• Una de las más utilizadas versiones de la Variable Uniforme

Continua, es aquella cuyos parámetros son a = 0 y b = 1,
esto es, X ~ U(0, 1).
• Su Distribución Acumulada F(x) toma el valor cero para X 

0; vale x para X(0, 1); y uno para X  1; como se bosqueja
en la Figura.
Función Beta
• B: R2 →R
• La Función Beta con parámetros a y b se define de la siguiente

manera:
• Nótese que el intercambio de los parámetros de la Función Beta

la deja inalterada, esto es, la función Beta es conmutativa:
B(a , b) = B(b , a)
Estadística I 12:55 20/07/2022 49

Función Beta
• Es simple calcular B ( 12 , 12 ) ya que:
 G(1 / 2)G(1 / 2) 
B( 2 , 2 ) =  ( )
2
= =
1 1
 G(1) 
Variable Aleatoria Beta
• La Variable Continua X que presentamos a continuación, toma

valores entre cero y uno.
• Al estar su soporte en el intervalo [0,1], lo hace muy

apropiada para el modelamiento de proporciones,
• Proporción de contaminación de substancias,
• Proporción de tramos de carretera que requieren reparaciones
• Proporción de tiempo que una máquina está en reparación
• Para las instituciones que realizan actividades bursátiles para
determinar riesgos de inversiones.
Con la información decimos que X es una Variable

Aleatoria Beta con parámetros a y b cuando y solo
cuando, su Densidad f es:
Media y Varianza
Su Media y Varianza son:
α
μ = E X =
α +β
Gráfica de la Variable aleatoria Beta
f(x)
2.0
B(1,2) B(2,1)
B(2,2)
1.5
B(1,1)
1.0
0.5
(1,0)
X
0 0.5 1
• Dependiendo de los valores de los parámetros la variable

aleatoria Beta.
• La densidad Beta puede tener varias formas, desde
formas simétricas hasta totalmente asimétricos.
• La distribución Beta cuando a=b=1 es idénticamente
distribuida como una variable uniforme continua
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• ZURITA, G. (2010), “Probabilidad y Estadística, Fundamentos

y Aplicaciones”, Segunda Edición, Ediciones del Instituto de
Ciencias Matemáticas ESPOL, Guayaquil, Ecuador.

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CAPÍTULO 4: MODELOS ESTOCÁSTICOS VARIABLES ALEATORIAS

Profesora: Eva María Mera Intriago

Escuela Superior Politécnica del Litoral

• Sea a un número real positivo

Si alfa es entero, esta integral se puede resolver integrando por partes

G(1) =  x1−1e-X dx = 1 Es una integral que se puede resolver

• Tiempo de vida de una persona, planta, animal u objeto

Estadística I minuto: 9,53segundos hasta 12:54 20/07/2022 5

Decimos que X es una Variable Aleatoria Gamma con

Se usa: Teoría de colas, simulación de colas, inventarios

• a es un parámetro de forma Sesgo decrece con alfa

• Buen modelo para tiempo entre eventos. F.Vera

• Modelo Gamma de amplia aplicación es el Exponencial, encontrado con

Decimos que una Variable Aleatoria X tiene una Distribución

Función Generadora de Momentos

Densidad de G(1, b) para b = 2; b = 5; y, b = 10 o EXPONENCIAL ) para b = 2; b = 5; y, b = 10

Distribución Acumulada de la V.A Exponencial con b = 2

Se nos dice que por experiencias previas se conoce que el

Desarrollo. Siendo el tiempo medio de espera tres minutos,

F(x) = 1 – e-x/3 para xS y cero para el resto de X

Por lo que si además nos preguntan cuál es la probabilidad de

P(X  3) = F(3) = 1 – e-3/3 = 1 - e-1 = 0.632

Si nos preguntan la probabilidad de que un cliente

P(X  4) = 1 – F(4) = 1 – (1 - e-4/3) = e-4/3 = 0.263

Si alguien quiere saber la probabilidad de esperar

Le diremos sin dudas, que esa probabilidad es cero ya

Cuantiles de una variable

p-ésimo Cuantil de una Variable

F(xp) = P(X  xp) = p

• Supongamos que F es la distribución acumulada

• siendo p una probabilidad, luego p es un valor

• Si p = 0.01, el cuantil xp se denomina Primer Percentil

• En la misma línea de pensamiento, x0.02 es el Segundo

• x0.10 que es denominado Primer Decil de X;

• Podemos interpretar esto como que la probabilidad de

Ejercicio Aleatoria Continua

Encontrar el percentil 75 de la variable exponencial.

La distribución acumulada F(x) es:

Por definición: F(x0.75) = P(X  x0.75)=0.75

Ejercicio Aleatoria Continua

• Determine el primer decil, la mediana, el tercer cuartil y el

Cuando X ~ G(a, b) y se tiene además que a = n/2 y b = 2, n

• X ~ G(a, b) X ~ G(n/2, 2)

c2(6) )G(6/2,2) G(3,2)

El percentil (1 – a)100 de una Ji-Cuadrado con n grados de

• Esta distribución tiene amplio uso en la estimación de

Si en la densidad de una Variable Exponencial en lugar de a = 1

Esta variable también mide tiempos de espera

Estadística I 20/07/2022 X34

• La v. a Erlang es un caso especial de la exponencial.

Decimos que X es una Variable Aleatoria Weibull con

f(x) = α x e ; x > 0 ; α,β  R

Cuando a = 1 es notorio que la variable aleatoria es Exponencial

• La variable aleatoria Weibull era utilizada en experimentos

• Es usualmente utilizada para modelar sistemas en los

f(x) = α x e ; x > 0 ; α,β  R +

P(X > 1000) = 