MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 4: REGRESIÓN POR

MÍNIMOS CUADRADOS.
LINEALIZACIÓN. MODELO
RECÍPROCO.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

4.8.- MODELO RECÍPROCO.

Un cuarto ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de modelo recíproco

y=a4 +b 4 ( 1x ) (4.35)

donde a 4 y b 4 son coeficientes constantes. También representa una relación no lineal entre
1
y y x (Figura 4.31).
8

4
y

0
0 5 10 15 20 25
x
Figura 4.31. Diagrama de dispersión para el modelo recíproco.
La ecuación (3.39) ya está linealizada.
1
De esta forma, una gráfica de y contra x será lineal, con pendiente b 4 y una intersección

con el eje de las ordenadas a 4 (Figura 4.32).

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4
y

0
0.00000000.05000000.10000000.15000000.20000000.25000000.30000000.35000000.40000000.4500000
1/x
1
Figura 4.32. Gráfica de y contra x para el modelo recíproco.
Este modelo puede accederse en la calculadora CASIO fx-570 ES en el menú
MODE 3 8
Modificando apropiadamente las ecuaciones (4.4) y (4.5):
n n n n
∑ (1/ xi ) ∑ y i −∑ ( 1/ x i ) y i ∑ (1 /x i )
2

i=1 i =1 i=1 i=1

a 4= n n
n ∑ ( 1/ x i )2 −[ ∑ ( 1/x i )]2
i=1 i=1 (4.36)
n n n
n ∑ ( 1/ xi ) y i−∑ (1/ xi ) ∑ y i
i=1 i=1 i=1
b 4= n n
n ∑ ( 1 / x i )2−[ ∑ (1/ xi ) ]2
i =1 i=1 (4.37)
El coeficiente de correlación se determina aplicando la modificación apropiada de la
ecuación (3.33).
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n n n
n ∑ (1/ x i ) y i−∑ ( 1/ x i ) ∑ y i
i =1 i =1 i=1
r=

√ √
n n n n
n ∑ (1 / x i )2−[ ∑ ( 1/ xi ) ]2 × n ∑ y 2i −( ∑ y i )2
i =1 i=1 i i =1 (4.38)
En sus formas transformadas, estos modelos pueden usar la regresión lineal para
poder evaluar los coeficientes constantes. Después, regresarse a su estado original y usarse
para fines predictivos.
Ejemplo 4.7.
[CC] Use los datos de presión – volúmenes dados abajo para encontrar las mejores

constantes viriales posibles ( A 1 y A 2 ) para la ecuación de estado que se muestra abajo.

R=82.05 mL.atm/gmol . K .
PV A1 A2
=1+ + 2
RT V V
P (atm) 0.969 1.090 1.341 1.606
T( K ) 298 298 298 298
V (mL ) 25000 22200 18000 15000
Solución.
Linealización de la ecuación dada:

PV A1 A2
=1+ + 2
RT V V

PV A A
−1= 1 + 22
RT V V
A
V( ) PV
RT
−1 =A 1 + 2
V

V( −1)=A + A ( )
PV 1
1 2
RT V
La ecuación anterior es de la forma

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y= A1 +A 2 x , en la cual
y=V ( PV
RT
−1
y
x=)1
V

Al graficar
y=V ( PR VT −1) versus
x=
1
V se obtiene una recta cuya pendiente es A 2 y

cuya ordenada en el origen es A 1 .

En la tabla siguiente se muestran los resultados a graficar.
i xi yi
1 4×10 –5
–230.9730930
2 4.5045045×10–5 –229.6185416
3 5.5555556×10–5 –230.3473492
4 6.6666667×10–5 –221.4028931
Para encontrar la recta de mínimos cuadrados que aproxima a estos datos, extendemos la
tabla y sumamos las columnas como se muestra en las tres últimas columnas de la tabla
i xi yi x 2i xi yi y 2i
1 4×10–5 –230.9730930 1.6×10–9 –0.0092389 53348.5696969
2 4.5045045×10 –5
–229.6185416 2.0290561×10 –9
–0.0103432 52724.6746689
3 5.5555556×10–5 –230.3473492 3.0864198×10–9 –0.0127971 53059.9012730
4 6.6666667×10 –5
–221.4028931 4.4444444×10 –9
–0.0147602 49019.2410930
2.0726727×10 –4
–912.3418770 1.1159920×10 –8
–0.0471394 208152.3867318

Al sustituir en las ecuaciones (4.4) y (4.5), obtenemos:

n n n n
∑ x 2i ∑ y i −∑ xi y i ∑ x i
i=1 i=1 i=1 i=1
a0 = n n
n ∑ x 2i −( ∑ x i )2
i=1 i=1 (4.4)
1. 1159920×10−8 ×(−912 .3418770 )−(−0 . 0471394 )×2 . 0726727×10−4
a0 =
4×1. 1159920×10−8 −(2 .0726727×10−4 )2
a0 =−244 .7724407
n n n
n ∑ xi y i −∑ x i ∑ y i
i=1 i=1 i=1
a1 = n n
n ∑ x 2i −( ∑ x i )2
i=1 i=1 (4.5)
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4×(−0 . 0471394 )−(2 . 0726727×10−4 )×(−912. 3418770)

a1 =
4×1 .1159920×10−8 −(2 . 0726727×10−4 )2
a1 =322037 .7528
La mejor ecuación lineal en el sentido de mínimos cuadrados es:
y=−244 .7724407+322037 . 7528 x
Luego:
A 1 =−244 . 7724407 y A 2 =322037 .7528 , por lo tanto, la ecuación virial se expresa como:

PV 244 .7724407 322037 .7528

=1− +
RT V V2
Ejercicios propuestos.
Ingeniería Química / Bioingeniería.
57. Un método de obtención de los pesos moleculares exactos es el de las densidades
límites. Este método que da excelentes resultados, está basado en el hecho de que cuando la
presión tiende a cero la ley de los gases ideales es exacta en cualquier caso. Las densidades
de un gas o vapor se determina a una temperatura dada y a la presión atmosférica y otras
menores. La relación se grafica contra P. Si el vapor o gas son ideales, esta relación debería
ser la misma a todas las presiones
ρ
P= RT
M
y
ρ M
= =constante
P RT
ρ
Sin embargo, como esta conclusión no es válida para los gases reales, la relación P se
modifica con la disminución de la presión. Afortunadamente la gráfica es casi lineal en la
ρ
práctica y puede extrapolarse a cero sin dificultad y entonces tenemos la relación P límite
correspondiente a la ley de los gases ideales.

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lim
P→0 ()
ρ
=
P RT
M

M=R T lim
P→0
()
ρ
P
a) [IL] Se ha medido la densidad de una amina gaseosa a 0ºC en función de la presión,
obteniendo los valores:
P /atm 0.2000 0.5000 0.8000
ρ/(g/L ) 0.2796 0.7080 1.1476
Calcule el valor exacto del peso molecular.
b) [SM] Las densidades del CH4 a 0ºC fueron medidas a diversas presiones obteniéndose
los resultados siguientes:
P /atm 0.25 0.5 0.75
ρ/(g/L ) 0.17893 0.35808 0.53745
Hallar el peso molecular exacto del CH4.
c) [FD] La relación entre la densidad del cloruro de etilo y la presión en atmósferas, a
diferentes presiones, a 0ºC, es la siguiente: 2.9002 g/L×atm a 760 mmHg, 2.8919 a 475
mmHg, 2.8863 a 285 mmHg. Calcular el peso molecular del cloruro de etilo.

58. [IL] Para 1.0000 mol de N2 gaseoso a 0.00ºC, se miden los siguientes volúmenes en
función de la presión.
P/atm 1.0000 3.0000 5.0000
V /cm 3 22405 7461.4 4473.1
PV
Calcule y represente n T frente a P para estos tres puntos y calcule R.

R= lim
P→0
( )
PV
nT
59. a) [IL] Algunos datos de
V m frente a P para el CH (g) a –50ºC son:
4

P /atm 5 10 20 40 60
V m /(cm3 /mol) 3577 1745 828 365 206

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Para la ecuación del virial

P V m=R T 1+
[ B (T ) C (T ) D (T )
Vm
+ 2 + 3 +…
Vm Vm ]
despreciando los términos posteriores a C, determine los valores de B y C que minimizan la
suma de los cuadrados de las desviaciones entre las presiones calculadas y las observadas.
b) Calcular el segundo y tercer coeficiente virial para el hidrógeno a 0ºC partiendo del
hecho de que los volúmenes molares a 50, 100, 200 y 300 atm son 0.4624, 0.2386, 0.1271 y
0.09004 litro/mol respectivamente.
0
d ln K p Δ H 0
=
60. a) [IL] La ecuación de Van´t Hoff es d T
2
R T , la cual se puede escribir en la
d ln K 0p Δ H0
=− 0
forma d (1/T ) R . La pendiente de una gráfica de ln K p frente a 1/T para una
0
ΔH
− 0
temperatura dada es igual a R a esta temperatura. Si Δ H permanece esencialmente
0
constante en el intervalo de temperaturas de la gráfica, la representación de ln K p frente a
1/T es una línea recta.

Para la reacción P Cl5 (g )↔ P Cl 5 ( g )+Cl2 (g ) , las constantes de equilibrio observadas en

función de T (a partir de medidas de mezclas en equilibrio a presiones bajas) son:
0
Kp 0.245 1.99 4.96 9.35
T /K 485 534 556 574
0
i) Utilizando exclusivamente estos datos, calcule Δ H a 534 K para esta reacción. ii)
Repita los cálculos a 574K.

b) [FD] Los siguientes datos se aplican a la reacción Br 2 ( g )↔ 2 Br (g ) :

T, K 1123 1173 1223 1273
K 0p 0.403×10–3 1.40×10–3 3.28×10–3 7.1×10–3
Determinar el cambio de entalpía cuando 1 mol de Br2 se disocia completamente a 1200 K.

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61. [SM] Efecto de la temperatura en la velocidad de reacción. Arrhenius fue el primero en

señalar que la variación de las constantes de velocidad con la temperatura se representa por
una ecuación análoga a la usada para las constantes de equilibrio, es decir,

d ln k Ea
=
d T R T2
En esta ecuación de Arrhenius, k es la constante de velocidad de la reacción, T es la

temperatura absoluta, R es la constante de los gases en calorías, y

Ea es una cantidad
característica de la reacción con dimensiones de energía y conocida como energía de
activación.
a) En la tabla siguiente se señalan las constantes de velocidad específica k en la
descomposición del N2O5 a diversas temperaturas:
t( ºC) 0 25 35 45 55 65
−1
k( s ) 7.87×10–7 3.46×10–5 1.35×10–4 4.98×10–4 1.50×10–3 4.87×10–3
Hallar la energía de activación, y encontrar la constante de velocidad específica a 50ºC.
b) [RC] La variación de la constante de velocidad con la temperatura para la reacción de
primer orden
2 N 2 O5 ( g )→2 N 2 O 4 ( g )+O2 ( g )
está dada en la siguiente tabla. Determine la energía de activación para la reacción.
t( K ) 298 308 318 328 338
−1
k( s ) 1.74×10–5 6.61×10–5 2.51×10–4 7.59×10–4 2.40×10–3
c) [FD] La velocidad de transposición del 1-etil-propenil-alil-malonitrilo a 1-etil-2-metil 4
pentenilden-malonitrilo, se puede seguir midiendo el índice de refracción. Se obtuvieron las
siguientes constantes de primer orden.
Temp. , ºC 120.0 130.0 140.0
−1
k( s ) 4.02×10–4 9.12×10–4 19.83×10–4
¿Cuál es la energía de activación?

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d ln P Δ H m
=
62. [IL] La ecuación de Clausius – Clapeyron es d T R T 2 (Fíje el parecido con la
ecuación de Van´t Hoff y con la ecuación de Arrhenius), la cual se puede reescribir en la

d ln P Δ Hm
=−
forma d (1/T ) R . A partir de una representación de ln P frente a 1/T tiene una
Δ Hm
−
pendiente R . A la temperatura T, por lo que la medida de esta pendiente a varias

temperaturas permite determinar el valor de

Δ H m de vaporización o sublimación a cada
temperatura.
a) [FD] El alcohol n-propílico tiene las siguientes presiones de vapor:
t , ºC 40 60 80 100
P , mmHg 50.2 147.0 376 842.5
Calcular i) el valor de vaporización y ii) el punto de ebullición a 760 mmHg (punto de
ebullición normal)
b) [IL] Algunos valores de la presión de vapor del Hg líquido son:
t /ºC 80.0 100.0 120.0 140.0
P/Torr 0.08880 0.2729 0.7457 1.845

i) Calcule el valor promedio de

Δ H m de vaporización en este intervalo de temperatura. ii)
Calcule la presión de vapor a 160ºC. iii) Estime el punto de ebullición normal del mercurio.
c) [FD] El propeno tiene las siguientes presiones de vapor:
t,K 150 200 250 300
P , mmHg 3.82 198.0 2074 10040
De estos datos, calcular i) el calor de vaporización y b) la presión de vapor a 225 K.
d) [IL] Algunos valores de la presión de vapor del CO2 sólido son:
t /ºC –120.0 –110.0 –100.0 –90.0
P /Torr 9.81 34.63 104.81 279.5

i) Calcule el valor promedio de

Δ H m de sublimación en este intervalo de temperatura. ii)
Calcule la presión de vapor a –75ºC.

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63. [FD] La variación del coeficiente de viscosidad con la temperatura puede representarse
E /R T
por η= A e , donde E es la energía de activación de la viscosidad.
Tomando en consideración los siguientes datos, calcular la viscosidad del mercurio a 50ºC.
t ,ºC 0 20 35 98 203
η 0.01661 0.01547 0.01476 0.01263 0.01079
64. [RF] La velocidad a la cual una sustancia atraviesa una membrana semipermeable se
deermina por la difusividad D (cm2/s) del gas. D varía con la temperatura de la membrana T
(K) según la ecuación de Arrhenius:
E
−R T
D=D0 e

donde
D0 = factor preexponencial.
E = energía de activación por difusión.
R = 1.987 cam/(mol.K).
Se miden, a diversas temperaturas, las difusividades del SO 2 en un tubo de hule de
fluorosilicona, y se obtienen los siguientes resultados:
T(K ) 347.0 374.2 396.2 420.7 447.7 471.2
2
D(cm /s) 1.34×10–6 2.50×10–6 4.55×10–6 8.52×10–6 14.07×10–6 19.99×10–6
a) ¿Cómo se deben graficar los datos para obtener una recta en coordenadas rectangulares?

b) Grafique los datos como se indica en el inciso a) y determine

D0 y E a partir de la línea
resultante.
65. [CC] La sangre humana se comporta como un fluido newtoniano (véase el problema

23) en la región de rapidez de corte elevada, donde γ̇ >100 . En la región de baja rapidez de

corte, donde γ̇ <50 , los glóbulos rojos tienden a acumularse en lo que se llaman rouleaux
(rodillos), lo que hace al fluido dejar de ser newtoniano. A esta región de baja rapidez de
corte se le llama región de Casson, y, además, hay una región de transición entre estas
distintas regiones del fluido. En la región de Casson, la rapidez de corte se aproxima a cero,
el esfuerzo cortante tiende a un valor finito, similar a un plástico de Bingham, llamado la

tensión de acceso
τ y , y debe sobrepasarse esta tensión para que inicie el flujo en sangre

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estancada. El flujo en la región de Casson se grafica normalmente como la raíz cuadrada de

la rapidez de corte contra la raíz cuadrada del esfuerzo cortante, y cuando se grafica de esta
manera se tiene una relación lineal. La relación de Casson es

√ τ =√ τ y + K c √ γ̇
donde
K c = índice de consistencia. En la tabla siguiente se dan valores medidos

experimentalmente para γ̇ y τ , a partir de una muestra de sangre se obtienen en las

regiones de flujo de Casson y Newtoniana.
Región γ̇ , 1/s τ , N/m2
0.91 0.059
3.3 0.15
4.1 0.19
Casson 6.3 0.27
9.6 0.39
23 0.87
36 1.33
49 1.65
Transición
65 2.11
105 3.44
126 4.12
Newtoniano 215 7.02
315 10.21
402 13.01

Usando regresión lineal encuentre los valores de

K c y τ y en la región de Casson,

encuentre μ utilizando regresión lineal en la región newtoniana. Encuentre también el

coeficiente de correlación para cada análisis de regresión. Trace las dos líneas de regresión

en una gráfica de Casson ( √ τ contra √ γ̇ ) y extienda las líneas de regresión como líneas
punteadas a las regiones adjuntas; incluya también en la gráfica los puntos que se tienen

como datos. Limite la región de rapidez de corte a 0< √ γ̇<15 .

66. [BF] En un artículo que trata de la eficiencia de la utilización de la energía de la larva
de una mariposa nocturna Modest Sphinx (Pachusphinx modesta), L. Schroeder usó los
datos siguientes para determinar una relación entre W, el peso viviente de la larva en
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gramos, y R, el consumo de oxígeno de la larva en mL/h. Por razones biológicas, se supone

a
que existe una relación entre W y R que tiene la forma de la ecuación R=b W .
a) Encuentre el polinomio de mínimos cuadrados lineal logarítmico usando
ln R=ln b+a ln W .
37
E=∑ ( Ri −b W ai )2
b) Calcule el error asociado con la aproximación en a) i=1 .
c) Modifique la ecuación logarítmica de mínimos cuadrados en a) agregando el término
2
cuadrático c (ln W i ) y determine el polinomio logarítmico cuadrático de mínimos
cuadrados.
d) Determine la fórmula y calcule el error asociado con la aproximación en c).
W R W R W R W R W R
0.017 0.154 0.025 0.23 0.020 0.181 0.020 0.180 0.025 0.234
0.087 0.296 0.111 0.357 0.085 0.260 0.119 0.299 0.233 0.537
0.174 0.363 0.211 0.366 0.171 0.334 0.210 0.428 0.783 1.47
1.11 0.531 0.999 0.771 1.29 0.87 1.32 1.15 1.35 2.48
1.74 2.23 3.02 2.01 3.04 3.59 3.34 2.83 1.69 1.44
4.09 3.58 4.28 3.28 4.29 3.40 5.48 4.15 2.75 1.84
5.45 3.52 4.58 2.96 5.30 3.88 4.83 4.66
5.96 2.40 4.68 5.10 5.53 6.94
67. [CC] El peso molecular de un polímero se determina a partir de su viscosidad mediante
la siguiente relación.
a
[η ]=K M v
M
donde [η] es la viscosidad intrínseca del polímero, v es el peso molecular promediado de
la viscosidad, mientras que K y a son constantes específicas del polímero. La viscosidad
intrínseca se determina experimentalmente considerando el tiempo de flujo o el tiempo que
tarda la solución del polímero en fluir entre dos líneas marcadas en un viscosímetro capilar
a varias concentraciones diferentes del polímero diluido y extrapolando a dilución infinita.
Una gráfica de

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t
−1
t0
c contra c
dará una línea recta con una intersección en el eje y
t
−1
t0
c en c = 0

igual a [η] . La concentración del polímero es c, t es el tiempo de flujo de la solución de

polímero y
t 0 es el tiempo de flujo del solvente sin polímero.
a) [FD] Una muestra de poliestireno fue disuelta en tolueno, y se obtuvieron los siguientes
tiempos de flujo en un viscosímetro de Ostwald a 25ºC para estas diferentes
concentraciones:
Concentración, g/100 mL 0 0.1 0.3 0.6 0.9
Tiempo en seg 86.0 99.5 132 194 301
−4
Si las constantes para este polímero son K=3 . 7×10 y a=0 .62 calcular su peso
molecular.
b) Usando los siguientes datos de tiempos de flujo para soluciones diluidas de poliestireno
−4
en metil etil cetona (acetona) a 25ºC y las constantes K=3 . 9×10 y a=0 .58 . Encuentre
el peso molecular de la muestra de poliestireno.
Concentración de
0 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.20
polímero, g/dL
Tiempo de flujo, s 83.0 88.9 95.1 104.0 113.5 125.5 138.9 154.6 191.2
68. [SM] La explicación propuesta a los tipos de isotermas II y III (Problemas 53 y 55) es
que la adsorción es en capas multimoleculares, es decir, lleva apareada la formación de
muchas capas moleculares sobre la superficie en lugar de ser una sola. En base a este
postulado Brunauer, Emmett y Teller derivaron para este tipo de isotermas
P
=
1
+
( )
c−1 P
v ( P0 −P) v m c v m c P 0

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

En esta ecuación v es el volumen, reducido a las condiciones estándar, del gas adsorbido a
0
la presión P y la temperatura T, P es la presión de vapor saturado del absorbato a la

misma T,
v m es el volumen del gas, reducido a las condiciones estándar, adsorbido cuando
la superficie se cubre de una capa monomolecular, y c es una constante a una temperatura
dada.
P P
0
La ecuación se comprueba al graficar v ( P −P) contra P . La gráfica debe ser
0

c−1 1
una línea recta con una pendiente igual a v m c y una intersección v m c . A partir de estos

datos es posible hallar

v m y c.
a) [SM] En la adsorción del N 2, a 90.1 K sobre cierto sólido, se encontró que los siguientes
volúmenes de gas, reducidos a las condiciones estándar, eran adsorbidos por gramo de
sólido a las presiones relativas indicadas.
0
P/ P 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
v (en cc) 51.3 58.8 64.0 68.9 74.2
Demostrar, a partir de estos datos, que siguen una isoterma tipo II, y evaluar las constantes
v m y c.
b) [IL] Para el N2 adsorbido sobre cierta muestra de polvo de ZnO a 77 K, los volúmenes
adsorbidos (calculados a 0ºC y 1 atm) por gramo de ZnO en función de la presión de N 2
son:
P/Torr 56 95 145 183 223 287
3
v/(cm /g) 0.798 0.871 0.978 1.06 1.16 1.33

El punto de ebullición normal del N2 es 77 K. Calcule el volumen

v m , necesario para
formar una monocapa; calcule también la otra constante de la isoterma.
69. [IL] La isoterma de Temkin para la adsorción de gases sobre sólidos (problema 52, 54 y

69) es v=r ln s P , donde r y s son constantes. a) ¿Qué magnitudes habría que representar

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

para obtener una línea recta si se cumpliera la isoterma de Temkin? b) Ajuste los datos del
problema 53 a) a la isoterma de Temkin y calcule r y s.
70. [SM] Variación de la conductancia con la concentración. Tanto la conductancia

específica (
Ls ) como la equivalente ( Λ ) de una solución varían con la concentración (C).

Kohlrausch fue el primero en señalar que cuando Λ para electrolitos fuertes se grafica

contra √C (la curva obtenida se aproxima a la línea recta en soluciones diluidas, es decir,

que
Λ= Λ0 −b √ C donde b es una constante.
a) [SM] A 25ºC las conductancias equivalentes de las soluciones diluidas de NaI son las
siguientes:
Molaridad 0.0005 0.0010 0.0050
Λ 125.36 124.25 121.25

Encontrar
Λ0 de NaI a 25ºC.

b) [FD] Determinar el valor de

Λ0 para el cloruro de litio deduciéndolo de los siguientes
datos a 25ºC:
Equivalentes por litro 0.05 0.01 0.005 0.001 0.0005
Conductancia equivalente 100.11 107.32 109.40 112.40 113.15
71. [RC] Una reacción de segundo orden es una reacción cuya velocidad depende de la
concentración del reactivo elevada a la segunda potencia, o de la concentración de dos
reactivos diferentes, cada uno elevado a la primera potencia. En una reacción de segundo
orden
1 1
= +k t
[ A ] [ A ]0 , donde
[ A ]0 y [ A] son las concentraciones de A a los tiempos t=0 y
t =t , respectivamente y k es la constante de velocidad.

El óxido de cloro (ClO), que tiene un papel importante en la disminución de la capa de

ozono, se descompone rápidamente a temperatura ambiente, de acuerdo con la ecuación:
2 ClO(g )→Cl2 (g )+O 2 (g )

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

A partir de los siguientes datos, determine el orden de la velocidad para la reacción y

calcule la constante de velocidad para la reacción.
Tiempo (min) 0.12×10–3 0.96×10–3 2.24×10–3 3.20×10–3 4.00×10–3
[ClO], (M) 8.49×10–6 7.10×10–6 5.79×10–6 5.20×10–6 4.77×10–6
72. [RF] Dos variables P y t, se relacionan por la ecuación
1
P= 1

m t 2 +r
Se tienen los siguientes datos:
P 0.279 0.194 0.168 0.120 0.083
t 1.0 2.0 3.0 5.0 10.0
Calcule m y r por el método de los mínimos cuadrados.
73. [RF] Un tanque de almacenamiento se carga con una solución que contiene desechos
peligrosos y ésta se somete a un tratamiento químico para descomponer los desechos en
productos inofensivos. Se ha visto que la concentración del desecho que se descompone, C,
varía con el tiempo de acuerdo con la fórmula
1
C=
a+b t
Como ha transcurrido el tiempo suficiente para que la concentración descienda a 0.01 g/L,
el contenido del tanque se descarga en un río que pasa junto a la planta.
Se obtienen los siguientes datos para C y t:
t (h) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
C (g/L) 1.43 1.02 0.73 0.53 0.38
a) Si la fórmula que se indica es correcta, ¿qué gráfica daría una recta que le permitierta
determinar los parámetros a y b?
b) Calcule a y b empleando el método de mínimos cuadrados. Determine la precisión del
ajuste generando una gráfica de C contra t que muestre tanto los valores medidos de C
como los predichos.
c) Empleando los resultados del inciso b), estime la concentración inicial de desecho en el
tanque y el tiempo necesario para que C alcance el nivel de descarga.

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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

Ingeniería Química / Bioingeniería.
ρ
=1 . 3857500+0 .0608333 P S =0. 0002041 2
57. a) P , y/ x , r =0 . 9999375 , r=0. 9999687 .
La masa molar es M=0 . 082057×273 . 15×1 . 3857500=31 .0600197 .
ρ
=0. 7152800+0 . 0017600 P S =0 2
b) P , y/ x , r =1. 0000000 , r=1 . 0000000 . La masa
molar es M=0 . 082057×273 . 15×0. 7152800=16 . 0321926 .
ρ
=2 . 8779789+0 . 0222316 P S =0. 0000324 2
c) P , y/ x , r =0 . 9999892 , r=0. 9999946 . La
masa molar es M=0 . 082057×273 . 15×2 . 8779789=64 . 5066436 .
PV
=82 .0593996−0. 0361523 P
58. nT , de donde
3
R=82. 0593996 cm . atm/mol . K ,
S y / x=0. 0031386 , r =0 . 9990587 , r=0. 9995293 .
2

59. a)
Vm ( P Vm
RT )
−1 =−84 .1058162+
3749 . 2195484
Vm ó
P V m=R T 1−
( 84 .1058162 3749 . 2195484
Vm
+
V 2m ) ;
S y / x=0. 3275832 , 2
r =0 . 9957896 ,
r=0. 9978926 .

b)
Vm (
PVm
R T )
−1 =0. 1226760−
0 . 0080872
V m ó
P V m=R T 1+
Vm
−
V 2m (
0 .1226760 0 . 0080872

;
)
S y / x=0. 0190827 , r =0 . 8088443 , r=0. 8993577 .
2

0
ΔH
− =−11405. 9928094 0
60. a) R , de donde Δ H =22. 6637077 kcal/mol ,
S y / x=0. 0391090 , r 2 =0 . 9995965 , r=0. 9997983 .
0
ΔH
− =−27127 .7375932 0 S =0. 1212889 ,
b) R , de donde Δ H =53 .9028146 kcal/mol , y / x
2
r =0 . 9935104 , r=0. 9967499 .
E
− a =−12388. 0830572 E =24 . 6151210 kcal/mol , S y / x=0. 0319134 ,
61. a) R , de donde a
2
r =0 . 9999161 , r=0. 9999581 .

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

Ea
− =−12392. 4170110 Ea =24 . 6237326 kcal/mol , S y/ x=0. 0359305 ,
b) R , de donde
r 2 =0 . 9997443 , r=0. 9998721 .
E
− a =−12961. 4027523 Ea =25 . 7543073 kcal/mol , S y / x=0. 0011739 ,
c) R , de donde
r 2 =0 . 9999989 , r=0. 9999995 .
Δ Hm
− =−5499 .1711522 Δ H m=10. 9268531 kcal/mol ,
62. a) i) R , de donde
S y/ x=0. 0171935 , r 2 =0 . 9998667 , r=0. 9999334 , ii) T b=97 .06806648 ºC
Δ Hm
− =−7377 .5262022 Δ H m=14 . 6591446 kcal/mol , S y/ x=0. 0019682 ,
b) i) R , de donde
r =0 . 9999985 , r=0. 9999992 , ii) P=4 . 2138183 Torr , iii) T b=126. 269184 ºC .
2

Δ Hm
− =−2361 .5180534 Δ H m=4 . 6923364 kcal/mol , S y/ x=0. 0071981 ,
c) i) R , de donde
r 2 =0 . 9999971 , r=0. 9999985 , ii) P=728 . 9433498 mmHg .
Δ Hm
− =−3131 .9655788 Δ H m=6 .2232156 kcal/mol , S y / x=0. 0052050 ,
d) i) R , de donde
2
r =0 . 9999913 , r=0. 9999957 , ii) P=1023 . 776281 Torr .
276 . 8372088

63. η=0. 00601585 e T

.
S y / x=0. 0032084 , r 2 =0 . 9997429 , r=0. 9998714 . A
T =50 ºC : η=0. 014169347 .
1
64. a) Se debe graficar ln D versus T .
b)

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

0.00
0.002 0.0021 0.0022 0.0023 0.0024 0.0025 0.0026 0.0027 0.0028 0.0029 0.003
-2.00

-4.00

-6.00
ln D

-8.00

-10.00

-12.00

-14.00

-16.00
1/T

3665 . 9632522
−
D=0 . 049041915 e T

65. En la región de Casson: √ τ=0.0658177+0.1809222 √ γ̇ , de donde

2
τ y=(0 .0658177 ) =0 . 0043320 y K c =0 .1809222 . S y / x=0. 0043250 , r 2 =0 . 9998497 ,
r=0. 9999248 .
En la región Newtoniana: τ =0 .0677012+0 . 0322111 γ̇ , de donde μ=0 . 0322111 .
S y / x=0. 0175310 , r 2 =0 . 9999860 , r=0. 9999930 .
66. a) ln R=0. 2646476+0 . 5756426 ln W , r 2 =0 . 9139010 , r=0. 9559817 ; b)
2
E=25. 3018416 ; c) ln R=0. 0496202+0 . 7006292 lnW +0. 0669549 ( lnW ) ,
2
r =0 . 9417643 , r=0. 9704454 ; d) E=20. 30410384
t
−1
t0
=1 .3559739+1 . 4734835 c M v =560359. 9743 ,
67. a) c , de donde [η ]=1.3559739 y
S y/ x=0. 1330708 , r 2 =0 . 9575003 , r=0. 9785194 .
t
−1
t0
=0 . 7016509+29 .3537199 c M v =409417 . 4454 ,
b) c , de donde [η ]=0 .7016509 y
S y / x=0. 0704779 , r 2 =0 . 9982692 , r=0. 9991342 .

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Capítulo 4. Regresión por mínimos cuadrados. Linealización. Modelo recíproco.

P P
0
=0 . 0001573+0 . 0173432 0
68. a) v ( P −P) P , de donde c=111 .2555626 y
v m =57. 14122455 , S y/ x=0. 0000022 , r 2 =0 . 9999980 , r=0. 9999990 .
P P
=0 . 0165459+1 .1672092
0
b) v ( P −P) P0 , de donde c=71 .5437117 y v m =0 .8447693 ,
S y/ x=0. 0021773 , r 2 =0 . 9997752 , r=0. 9998876 .
69. v =r ln s+r ln P : Habría que graficar v versus ln P . Se obtiene una recta cuya
pendiente es r y cuya intersección es v=r ln s . v =70. 2147871+27 . 4869536 ln P , de
donde r=27 . 486953 6 y s=12 . 8645680 , S y/ x=4 . 5757859 , r 2 =0 . 9736866 ,
r=0. 9867556 .

70. a) Λ=127.0519800−82.5695625 √ C , de donde Λ0 =127 . 0519800 , S y / x=0.2481911

2
, r =0 . 9931870 , r=0. 9965877 .
b) a) Λ=114.2443141−64.3352905 √ C , de donde Λ0 =114 . 2443141 , S y / x=0. 4265722 ,
2
r =0 . 9950112 , r=0. 9975025 .
1 1
=117103. 8387749+23552697 . 3910742
71. [ A ] [ A ]0 , de donde k =23552697 . 3910742 ,
S y / x=2367. 6694419 , r 2 =0 . 9969953 , r=0. 9984965 .
1
1
=−0. 5153338+3 . 9445765 t 2
72. P , de donde r=−0 .5153338 y m=3 . 9445765 ,
S y / x=0. 2408959 , r 2 =0 . 9959915 , r=0. 9979938 .
1
=0 . 0822984+0 . 4770957 t
73. C , de donde a=0 .0822984 y b=0 . 4770957 ,
S y / x=0. 1643177 , r 2 =0 . 9656369 , r=0. 9826682 .

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