Análisis Marginal

TUTORÍA
DE
MATEMÁTICAS
TEMA:
 ANÁLISIS MARGINAL DEL COSTO
 ANÁLISIS MARGINAL DE LA UTILIDAD
 OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIÓN
PROF: MARIO CELLERI
ALUMNAS:
ALEJANDRA MOREIRA
NATHALY CRUZ
PARALELO: B
Análisis marginal
Introducción
En el mundo de los negocios y en las ciencias económicas se llama análisis

marginal a la utilización de la derivada o la diferencial para estimar el cambio
que experimenta una función que modele una situación relacionada con la
economía (ingreso, costo, utilidad, producción, etc.) al incrementar en una
unidad la variable independiente. Profundizando un poco más en conceptos
económicos en los que la derivada está presente, se aprecia lo importante que
resulta para un profesional de las ciencias económicas tanto la derivada como
las múltiples aplicaciones de ésta. Además de las funciones marginales de
ingreso, costo, utilidad o producción, están otras como la elasticidad de la
demanda, la propensión al ahorro o al consumo en las que la derivada sirve de
pieza fundamental para su análisis. El término marginal obedece a que los
economistas neoclásicos del periodo marginalista (1838-1947) (Arrow e
Intriligator, 1981), entre los que se destacan Cournot, Jevons, Marshall, Menger,
Pareto y Walras, entre otros, vieron dificultades e insuficiencia en los modelos
puramente cualitativos a la hora de resolver algunos problemas de la teoría
económica que comenzaban a plantearse para el momento. Ellos le dieron a la
economía un enfoque esencialmente matemático basado en la ley de utilidad
marginal decreciente ya que la formación de algunos de ellos no era
únicamente económica sino que se formaron y trabajaron en un ambiente
multidisciplinario donde las matemáticas y la física estaban presentes. En este
sentido, focalizaron sus aportaciones en el concepto de marginalidad o última
unidad; es decir, realizaron estudios de cómo una variable modifica sus valores
en el margen o entorno, ante aumentos infinitesimales de otra variable.
Análisis marginal
La derivada y, en consecuencia, la integral, tienen aplicaciones en
administración y economía en la construcción de las tasas marginales.
Es importante para la investigación económica, este trabajo con el análisis
marginal porque permitirá calcular el punto de maximización de utilidades.
En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad.
Si una empresa está produciendo determinado número de unidades al año, el
análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y
se vende una unidad más.
Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben
cumplir las siguientes condiciones:
Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de
costo total.
Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de
producción o del número de unidades producidas y vendidas.
Análisis marginal del costo

Es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un
producto o servicio programado.
También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo
extra cuando este número de artículos extra tiende a cero.
Se puede pensar en el costo marginal como el costo promedio por artículo extra
cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.
Se debe tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de
producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos
producidos.
El cálculo de las utilidades de una actividad productiva requiere, además de los
ingresos, los costos de producción, razón por la cual es de interés abordar el
costo marginal
Al igual que en el ingreso marginal, si la producción se incrementa en una
unidad, entonces el incremento de x es∆ x = 1, así se tiene que:
∆ C = C(x + ∆ x) – C(x) = C(x + 1) – C(x)
Es decir, el costo marginal C (x) es una aproximación al costo de producir la
unidad x+1, esto es:
C´ (x)≈C(x + 1) – C(x)
Con los planteamientos anteriores, el costo marginal se define de la siguiente
manera:
La función de costo marginal es la derivada de la función de costo: C´ (x). El valor
que se obtiene al calcular la derivada de la función costo es una aproximación al
costo verdadero cuando se produce una unidad más de cierto producto.
El
costo total, en pesos, para producir x metros de cierta tela es:
C(x) = 30 000 + 20x + 0.1 x 2 2 + 0.002x3
a) Encontremos la función de costo marginal.
b) Calculemos C´ (100) y analicemos su significado.
Solución:
a) Tenemos que la función de costo marginal es la derivada de la función costo,
entonces:
C´ (x) = 20 + 0.2x + 0.006 x 2
b) El costo marginal en 100 lo determinamos al evaluar la derivada de la función

costo en x =100, por lo que obtenemos la siguiente expresión:
C (100) = 20 + 0.2 (100) + 0.006(100)2 = 100
Este resultado es una aproximación del costo de producir el 101-ésimo metro de

tela.
Ejemplos:
Análisis marginal de la utilidad
De una empresa está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la
función de ingreso es I(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es
c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad U(x) obtenida por producir y
vender x artículos está dada por
U(x) = I(x) – c(x)
La derivada U’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por
artículo si la producción sufre un pequeño incremento.
Como la derivada depende de una variable independiente discreta, la utilidad
marginal se determina de igual forma que se hizo con el ingreso y los costos. Se
tiene que:
La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad:

U´ (x). El resultado de la derivada es una aproximación a la utilidad
que se obtiene de la producción y venta de una unidad más de un
cierto producto.
Nota que la definición permite ver que la derivada de la función utilidad se

aproxima a la utilidad que se obtiene al producir y vender la unidad x + 1.
Ejemplo:
Un fabricante estima que cuando2 se producen x número de artículos, el costo
total en miles de pesos está dado por C(x) = 0.2 x 2 2 + 4x + 200, y que el precio
por unidad, en miles de pesos, depende del número de unidades producidas y
está dado por la función p(x) = 0.5 (100 – x). Por ejemplo, si se venden 10
unidades el precio de cada una es de p (10) = 0.5 (100 – 10) = (0.5)(90) = 45 esto
es $45 000.
a) Calculemos la función utilidad.
b) Determinemos la función utilidad marginal.
c) Calculemos la utilidad de producir y vender la novena unidad, con ayuda de la
función utilidad marginal.
d) Calculemos los errores cometidos al realizar esta aproximación.
Solución:
a) La función utilidad se obtiene restando los costos de los ingresos, es decir:
U(x) = I(x) – C(x)
Como los ingresos se calculan multiplicando el número de unidades vendidas
por el precio de venta, tenemos que:
I(x) = xp(x) = x[0.5(100 – x)]
Luego, la utilidad está dada por:
U(x) = 0.5x(100 – x) – (0.2 x 2 2 + 4x + 200)
= – 0.7 x 2 + 46x – 200
b) La utilidad marginal es la derivada de la utilidad:
U´ (x) = –1.4x + 46
c) Para determinar la utilidad aproximada que se obtiene al producir la novena
unidad, basta sustituir x por 8 en U´ (x) lo que da:
U´ (8) = –1.4(8) + 46 = 34.8 miles de pesos
Esto es, $34 800
d) La utilidad exacta al producir la novena unidad está dada por:
U(9) – U(8) = 157.3 – 123.2 = 34.10 miles de pesos,
Es decir, $34 100
El error absoluto cometido es:
34.8 – 34.1 = 0.7 miles de pesos
Es decir, $700
El error relativo es:

0.7
100%= 2.05%
34.1
Ejemplos:
Optimización
Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una
función, generalmente sin la ayuda de gráficos.
Optimización sin restricción
Funciones objetivo de una variable
Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los) máximo(s)
o mínimo(s) relativo(s) serán:
dy
Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0, =0
dx
Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los signos. Esta
condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto crítico es “a”, entonces:
f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo

f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo
f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las “derivadas
sucesivas”:
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando
se evalúa un punto crítico es una derivada de grado impar (tercer, quinto, etc.)
la función es un punto de inflexión.
Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior, cuando
es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par, entonces la
función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene valor negativo
entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un máximo relativo). Caso
contrario, la función es convexa y presenta un mínimo relativo en “a”.
Ejemplo:
Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
Tomando la segunda derivada y evaluando el valor crítico:
f′′(x) = -14, entonces f′′(9) = -14 < 0 es cóncavo, máximo relativo.
Ejemplo:
Obtener el extremo relativo de la siguiente función:
Ejemplo:
Buscar la relación entre:
a) Producto total, b) Producto medio, y c) Producto marginal de la siguiente
función de producción:
PT = 90 K 2 – K 3

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PROF: MARIO CELLERI

En el mundo de los negocios y en las ciencias económicas se llama análisis

Análisis marginal del costo

C´ (x) = 20 + 0.2x + 0.006 x 2

b) El costo marginal en 100 lo determinamos al evaluar la derivada de la función

C (100) = 20 + 0.2 (100) + 0.006(100)2 = 100

Este resultado es una aproximación del costo de producir el 101-ésimo metro de

La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad:

Nota que la definición permite ver que la derivada de la función utilidad se

El error relativo es:

f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo

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