CONCEPTOS GENERALES

GPS Y PROYECCIONES
GPS.

El Sistema de Posicionamiento Global (GPS, por sus siglas en inglés), es un sistema de navegación
mundial basado en satélites, desarrollado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos.

Esta red de navegación fue dotada de 24 satélites que cubren toda la superficie terrestre (esta red fue
completada en 1994), las 24 horas del día, siguiendo 6 órbitas definidas alrededor del planeta, con 4
satélites en cada una. Aunque en sus inicios fue creado con fines militares, a finales de los años 80 del
siglo pasado, se puso a disposición su uso civil.

No es necesario suscribirse ni realizar pagos para usar el GPS, solo es necesario contar con un receptor
GPS (Ver Figura 43), el cual se encarga básicamente de recibir la señal de al menos 3 satélites, aunque
en la práctica pueden ser más y así calcular la posición del aparato sobre la superficie terrestre.

Cuando el receptor GPS recibe la señal de 3 satélites, puede determinar una coordenada en dos
dimensiones sobre la superficie terrestre, es decir longitud y latitud, cuando recibe al menos señal de 4
satélites puede calcular la posición en tres dimensiones, es decir longitud, latitud y altura sobre el nivel
del mar. Cuando esto ocurre, puede calcular además, velocidad de desplazamiento, tiempo trascurrido y
tiempo faltante para llegar a un punto determinado, así como hora de salida y puesta del sol.
Cada satélite se encuentra orbitando a cerca de 12000 millas (19312 km aproximadamente) de la
superficie terrestre. Como se dijo anteriormente el cálculo de la posición de un receptor sobre la
superficie terrestre, precisa de la lectura de al menos 4 satélites.

La determinación de la posición de un punto se basa en la medición de la distancia del receptor a cada

uno de los satélites que puede captar. La distancia se calcula usando la siguiente ecuación:

Donde V, es la velocidad de la señal que emite el satélite, d, es la distancia a la cual se encuentra el

satélite del receptor y t, es el tiempo transcurrido entre la emisión de la señal por parte del satélite y la
recepción de la misma en la superficie de la tierra.

La velocidad de la señal es igual a la velocidad de la luz (300000 km/seg), lo complicado es medir el

tiempo transcurrido entre la emisión de la señal y su recepción en la tierra. Esta medición se logra dado
que el satélite y el receptor generan códigos aleatorios al mismo tiempo (el código es el mismo para los
dos), luego el receptor compara que tan distanciados están las dos mediciones, siendo este desfase el
tiempo transcurrido durante el viaje de la señal.

Si la señal llegara inmediatamente del satélite al receptor, las dos señales estarían en fase, tal como se
muestra en la siguiente Figura.
Como en la práctica, la señal que emite el satélite demora un tiempo en llegar a la superficie de la tierra
(hasta el receptor), las dos señales aparecen desfasadas cuando son comparadas por el receptor, este
desfase corresponde al tiempo de viaje de la señal, lo que se muestra en la siguiente Figura.

Con este principio, el receptor determina la distancia a cada uno de los satélites con los cuales
establece señal y así determinar su posición sobre la superficie de la tierra, mediante la triangulación.

La primer operación que ejecuta el receptor, es contactar el primer satélite y medir la distancia (a) que
los separa, tal como se muestra en la siguiente Figura.

En este caso, el receptor se encuentra a una distancia "a" del satélite, por lo que puede encontrarse en
un punto cualquiera de la esfera generada por esa distancia a, es decir todavía no se sabe donde se
encuentra el receptor. En este momento, el receptor enlaza un segundo satélite y determina la distancia
"b", hasta este, con lo que el punto se encuentra ubicado en la intersección de las dos esferas definidas
por las distancias de los satélites al receptor. La superficie de intersección corresponde a un círculo
dentro del cual se encuentra el receptor, tal como se muestra en la Figura 47. En esta Figura la
intersección aparece como un círculo rojo.

Cuando el receptor determina la distancia al tercer satélite, la intersección de las tres esferas
generadas, delimita dos puntos dentro del círculo anterior. Uno de estos puntos es incorrecto, para
decidir cual usualmente el receptor define una medida a un cuarto satélite, aunque en la práctica, se
puede definir cual es el incorrecto, dado que el punto está muy alejado de la superficie de la tierra o
aparentemente se mueve a gran velocidad sobre la misma. Esto se muestra en la Figura 48 (Los puntos
mencionados aparecen resaltados en amarillo).
Los errores en la determinación del punto sobre la superficie terrestre, están asociados a interferencias
sobre la señal proveniente de los satélites y por ende en la medición del tiempo de desfase:

 La señal proveniente de los satélites se frena al pasar por la atmósfera (ionosfera y troposfera),
lo que incrementa el tiempo de desfase.
 La señal puede rebotar sobre objetos tales como edificios y rocas grandes, antes de llegar al
receptor, lo que incrementa igualmente el tiempo de desfase.
 Puede darse un error efímero generado por la pérdida momentánea de la órbita por parte del
satélite, esto quiere decir que el satélite no permanece a la misma altura sobre la tierra, lo que
induce errores en la medición del tiempo de desfase.

Finalmente el departamento de defensa de los estados Unido, puede generar un error voluntario, para
evitar que los receptores de GPS sean utilizados con fines no pacíficos en este territorio.
PROYECCIONES
Cilíndrica. Consiste en envolver el geoide terrestre con un cilindro imaginario y proyectar en el las
formas, para luego desarrollarlo y presentarlo como un plano. En este caso los paralelos quedan
perpendiculares a los meridianos. Las zonas cercanas al ecuador quedan representadas en forma muy
similar a la realidad, sin embargo, las zonas polares aparecen muy deformadas. La proyección cilíndrica
más conocida es la de Mercator, desarrollada por el cartógrafo Gerardus Mercator en 1569, este tipo se
usó ampliamente y usa en la actualidad por los marinos, dado que las zonas ecuatoriales se
representan fielmente, sin embargo persiste la deformación en los polos.

Cónica. Consiste en envolver el geoide con un cono. Los mapas construidos con esta proyección tienen
forma de arco, es decir los meridianos salen en forma radial de la parte superior, mientras que los
paralelos están conformados por arcos de círculo. Ver Figura 5.
Proyección de Mollweide. Esta representación es de tipo elíptico, en esta el eje mayor de la elipse
tiene dos veces la longitud del ecuador. Es muy utilizado en textos de geografía, dado que las zonas
polares no aparecen tan distorsionadas. Ver Figura 6

Proyección Interrumpida de Goode. Esta proyección definida en 1923 por el cartógrafo Paul Goode,
modifica la de Mollweide, presentando el mapa como una serie de proyecciones irregulares unidas. Para
lograr la menor distorsión posible Goode definió meridianos al centro de cada continente para mantener
su representación lo más fiel posible. A esta proyección también se la conoce con el nombre de cáscara
de naranja. Debido a su mínima distorsión se ha utilizado para la construcción de mapas temáticos
mundiales. Ver Figura 7
En Peru la cartografía se construye utilizando la proyección Mercator, dado que por estar relativamente
muy ceca del ecuador, la distorsión sufrida en la proyección del país es muy pequeña

Es conveniente definir que Mapa es toda representación de la superficie terrestre o una fracción de ella,
la cual tiene las coordenadas de los puntos representados, en una cuadrícula. Cuando el Mapa hace
referencia a una porción de mar o de océano se denomina Carta. Una de las características más
importante de un Mapa y en general de todo dibujo topográfico es la escala. Se define escala como la
relación entre las distancias horizontales medidas en el plano y las distancias horizontales medidas en el
terreno.

TOPOGRAFIA Y SU IMPORTANCIA
Topografía desciende las raíces griegas topos que quiere decir lugar y grafía que quiere decir escritura,
o sea la ciencia que permite realizar el dibujo o delineamiento de la superficie de un lugar.

Aunque existen muchas definiciones de Topografía, una de las más aceptadas en la actualidad dice que
la Topografía es la ciencia que permite representar en forma acertada sobre un plano los accidentes
naturales de un terreno, incorporando una relación entre el terreno y el plano llamada escala.

En este sentido, el concepto de Topografía lleva implícito el de medición, o de determinar distancias,

ángulos y alturas o elevaciones entre dos o más puntos de la superficie terrestre. Al conjunto de
operaciones realizadas para determinar la posición relativa de un punto en su representación en el plano
se les llama levantamiento topográfico.

Los orígenes de la topografía pueden rastrearse hasta tiempos remotos. En la antigua Grecia, Tales de
Mileto y Anaximandro construyeron las primeras cartas de las que se tenga noticia, en términos
generales una carta se puede definir como la representación gráfica de una porción de mar, es decir, de
las playas. Recordar que los griegos fueron buenos navegantes, por tanto necesitaban una forma de
orientarse en sus viajes, de ahí nació la necesidad de construir cartas que los guiaran. Más adelante, la
topografía recibió el apoyo de otros grandes tales como Ptolomeo, Plinio, y Estrabión que son
considerados los padres de la geografía. Durante la edad media, la topografía recibió su impulso
definitivo con la invención de la brújula (Siglo XII) y los avances en astronomía.
La Topografía al ser tomada como ciencia, tiene importantes relaciones con otras ciencias tales como la
geodesia y la cartografía.

La geodesia, es la ciencia que se encarga de determinar la forma de la tierra, teniendo en cuenta sus
dimensiones. Se llama geoide a la forma que tendría la tierra, al tomar como referencia el nivel medio de
los mares, considerándolos en calma. Esta figura se parecería a una esfera achatada en los polos,
como no se puede definir matemáticamente en forma precisa esta forma, se define el geoide como el
cuerpo generado por la rotación de una elipse con las siguientes dimensiones, eje menor 6356.657 km y
eje mayor 6378.298 km.

Al tener definido la posición de todos los puntos sobre la superficie del geoide, es decir definir sus
coordenadas que en este caso se llaman coordenadas geodésicas, se puede hacer su transformación o
conversión a coordenadas planas, llamadas coordenadas cartesianas. La ciencia que se encarga de
realizar esta conversión y presentar la representación de la tierra en conjunto o de alguna parte de ella
sobre un plano se llama cartografía. Es decir, cartografía es la ciencia que se encarga de la
representación de la tierra sobre un mapa.

Para hacer la representación de la tierra en un mapa, a partir de su representación geodésica se

practica una proyección cartográfica, la cual se expresa como la relación entre un punto de la superficie
terrestre y un punto del plano. Esto genera una red de paralelos y meridianos sobre la cual se dibuja el
mapa.

Los paralelos son las líneas horizontales del mapa y son la representación de círculos horizontales
imaginarios que van del centro a los polos. El paralelo central se llama ecuador y corresponde al
máximo diámetro de la tierra, a medida que los paralelos se alejan del ecuador van disminuyendo su
diámetro hasta convertirse en un punto en los polos. Los paralelos se miden como el ángulo formado
entre un paralelo cualquiera y el ecuador, esto quiere decir que los paralelos son numerados de 0º en el
Ecuador a 90º en los polos. Ver Figura 2.

Los meridianos son también círculos imaginarios sobre la superficie terrestre, pero a diferencia de los
paralelos, estos se representan en posición vertical. El meridiano de origen se llama meridiano de
Greenwich, a partir del cual se miden los otros, es decir estos se numeran de 0º en Greenwich a 180º
tanto al este como al oeste. ver Figura 3.
 Para hacer la conversión final de coordenadas geodésicas a mapas, la cartografía se vale de varios
sistemas de proyección, los cuales buscan minimizar el error producido, dado que la forma de la tierra
no es una forma desarrollable, es decir que se pueda representar fácilmente en un plano (Piense en
cualquier superficie tal como un cilindro, para convertirla en un plano solo haría falta cortarlo por un lado
y extenderlo, a esto se le llama desarrollar

IMPORTANCIA DE LA TOPOGRAFIA
Esta disciplina no solo es un ciencia aplicada sino también constituye una
profesión que implica condiciones y conocimientos teóricos y prácticos a quienes
la ejercen. Los topógrafos profesionales deben tener conocimientos de
matemáticas básicas, ya que la topografía es la base de los trabajos de ingeniería.

La topografía no solo permite establecer los límites de los terrenos, medir sus
extensiones, dividirlos en parcelas y determinar detalles u objetos dentro de ellos
sino que también se emplean para hacer levantamientos antes y durante el
proyecto y construcción de carreteras, caminos, canales, construcciones rurales,
represas o lagos para almacenamiento de agua para riegos y para los animales,
para el trazado de cercas, líneas eléctricas y otras cuantas obras civiles para el
campo y la ciudad.

En resumen, no es difícil comprender la importancia de la topografía para el

estudiante de ciencias agrarias por los siguientes aspectos: primero, porque es la
primera materia en la cual tiene oportunidad de desarrollar una labor profesional;
segundo, porque, aunque no tenga como idea llegar a ser un topógrafo
profesional, si debe considerar muy útil dominar la materia, como un primer paso
para el éxito en la mayoría de tareas que tendrá que cumplir como experto en
labores técnicas del campo.
 «

PLANIMETRIA
La necesidad de identificar el área de la manzana y del lote para construir o para
cualquier otro propósito, constituye hoy día una prioridad para el estudio
topográfico o para cualquier persona que desee realizar un proyecto en un terreno
determinado, en el cual es necesario establecer la extensión del predio. La
práctica anterior será muy dispendiosa de realizar si no existieran las técnicas
actuales del trazado de poligonales y la medición de ángulos. Como es sabido
para poder medir un terreno es necesario ajustar esos lotes a una figura
geométrica que tenga alineamientos perimetrales o linderos constituidos por líneas
rectas y esto se logra con la técnica de las poligonales y la medición de ángulos,
tema que se explica detalladamente en esta unidad.

En esta unidad se habla de los levantamientos planimétricos, presentando las

diversas posibilidades que ofrece cada uno, así como su aplicación práctica a
casos concretos. Cada uno de estos sistemas tiene su aplicabilidad en el terreno
dependiendo del propósito hacia el cual va orientado el levantamiento, el grado de
precisión exigido, el presupuesto disponible, la topografía del terreno y del
instrumental topográfico con que se cuente.

Los levantamientos topográficos tienen como fin obtener todos los datos
necesarios del terreno o en campo para poder representar gráficamente en un
plano a escala el lote medido con sus respectivos detalles naturales o artificiales.

Al final del capítulo se presenta una breve descripción del uso de Excel en
topografía como facilitador del proceso de cálculos.

OBJETIVOS DE LA PLANIMETRIA

 Adquirir habilidades en la aplicación de levantamientos planimétricos.

 Obtener herramientas básicas para la gestión de medidas y áreas , en
términos topográficos.
 Aplicar las técnicas para trazar y calcular coordenadas y áreas.
 CONCEPTOS BASICOS

Lo primero que debemos hablar en este capítulo es la forma de representación de los diversos puntos
del terreno. En este sentido en topografía se utiliza una proyección vertical, que no es otra cosa que la
representación en un plano de todos los puntos que están sobre la superficie de un terreno. En los
Mapas, el plano de referencia normalmente es el nivel del mar. Esto quiere decir que todo punto al ser la
proyección sobre un plano, no nos permite obtener información diferente a la relación con los demás
puntos, por esto se le da otro atributo, que es su altura relativa con respecto al plano de referencia, a
esto se le llama cota y en los Mapas se llama altura sobre el nivel del mar.

Estas cotas podrán ser positivas, cero o negativas, dependiendo de su relación con el plano de
referencia. Lo ideal es que todas las cotas sean positivas, es decir que no existan puntos por debajo del
plano de referencia.

De la Figura 10, observamos que aunque los puntos A y B, se encuentran a la misma distancia del plano
de referencia, la cota de A es positiva, mientras que la de B es negativa. Lo que se busca como se dijo,
es que la cota de todos los puntos sea positiva, tal como se muestra en al Figura 11.

En la Figura 11, observamos que ya puede decirse que el punto A se encuentra más elevado que el B, o
sea que tiene una cota mayor. Esto es lo que se busca con un dibujo topográfico definir claramente la
relación entre los puntos que se están midiendo y presentarlos en un Mapa o dibujo que permita
establecer claramente las relaciones entre unos y otros .

De igual forma que con los puntos, en topografía las distancias que se miden son las horizontales (d), es
decir la proyección horizontal de las medidas inclinadas o medidas sobre el terreno (D), tal y como se
muestra en la Figura 12.
Si la pendiente es muy larga, o el terreno no es uniforme a lo largo de su pendiente, se puede medir por
tramos horizontales. Tal como se muestra en la Figura 13. En esta se observa que la forma tradicional
de medir terrenos inclinados, es mantener fija la distancia horizontal, en este caso de 5 metros y marcar
la perpendicular hasta el terreno, de donde se inicia una nueva medición. Para el ejemplo mostrado la
distancia entre los puntos es de 15 metros.
En este momento es importante introducir los siguientes conceptos de medida sobre terrenos. Ver
Figura 14.

■ Distancia natural. Es la distancia medida sobre la superficie del terreno, es decir siguiendo su forma.

■ Distancia geométrica. Es la distancia medida en línea recta entre los dos puntos del terreno.

■ Distancia reducida. Es la distancia medida en forma horizontal, como ya dijimos corresponde a la

proyección de la distancia geométrica sobre un plano horizontal.
Para la medición de las distancias se utilizan las unidades del Sistema internacional, siendo las más
utilizadas en topografía el metro (m) y el kilómetro (km). El concepto de medir las distancias como la
proyección horizontal, se aplica de igual forma para el área, esto quiere decir que el área agrícola o
agraria, corresponde a la proyección vertical del área real del terreno. En este sentido si tenemos dos
parcelas que tienen la misma área, pero una de ellas está inclinada, el área agrícola de la plana será
mayor que la de la inclinada. Las medidas de áreas más comunes usadas en topografía son:

Unidad básica = 1 m2.

1 hectárea (ha) = 10000 m2.

Angulo. En geometria, se define angulo como la porcion de plano definida por dos
rectas que parten del mismo punto. Las dos rectas reciben el nombre de lados y el
punto de corte, vertice. En este sentido se puede definir direccion de una linea
como el angulo horizontal que existe entre esa linea y otra que se toma
como referencia. Se observa que el angulo debe ser tomado en forma horizontal,
es decir, que las dos lineas que lo conforman estan contenidas en un plano
horizontal.

Los angulos pueden medirse en sistema sexagesimal, el cual consiste en dividir el

circulo en 360 partes, cada una de estas partes se denomina grado denotado por
o, por ejemplo 5 grados se denotan 5o. A su vez cada grado puede estar dividido
en 60 partes llamadas minutos, denotadas ´, por ejemplo 28 segundos se denota
28´. Cada minuto se subdivide igualmente en 60 partes llamadas segundos, las
cuales se denotan por “, es decir 45 segundos se denota 45”. Como se ve la
medida de angulos en escala sexagesimal sigue la misma division del tiempo, es
decir, 60 segundos son iguales a un minuto y 60 minutos iguales a un grado.

Tambien pueden medirse los angulos en radianes, el cual se define como el

angulo que abarca un arco (abertura) con una longitud igual al radio con el que ha
sido trazado este radio. La relacion con los angulos sexagesimales es la siguiente:
1 π rad = 180o, esto quiere decir que 1 radian = 57o 17´ 45” aproximadamente.

Inclinación. Se denomina inclinacion de una linea al angulo que esta forma con la
horizontal. Es decir, este angulo se mide en un plano vertical.

Rumbo. Se define el rumbo de una linea como la direccion de una linea en

relacion con un meridiano escogido. Este meridiano normalmente es el Norte –
Sur, dado que se puede definir uno arbitrario con respecto al cual efectuar todas
las mediciones. De esto se define que los rumbos quedan contenidos en cuatro
cuadrantes definidos por los cuatro ejes (Norte – Sur, Este – Oeste)

El rumbo de una linea va de 0o a 90o, tanto al Este como al Oeste, partiendo del
Norte o del Sur. El rumbo se denota, colocando primero la inicial del eje Norte o
Sur desde el cual se mide, seguido por al angulo entre este eje y la linea a la que
se le va a determinar el rumbo y finalmente el eje hacia el cual se toma el angulo,
bien sea al Este o al Oeste, tal como se muestra en la Figura 16.

Azimut. El azimut representa el angulo que forma una linea dada y el meridiano
seleccionado para la medicion. Se diferencia el rumbo, por cuanto su valor esta
entre 0o y 360o, es decir solo se toma el angulo en sentido horario con respecto al
meridiano. En este sentido, si se toma el meridiano Norte como referencia se
habla de azimut y rumbos verdaderos y si se toma como referencia cualquier
meridiano se llaman rumbo y azimut supuestos o arbitrarios. El azimut de los
rumbos presentados en la Figura 16 se presentan en la Figura 17.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS MEDIANTE MEDICIÓN DE
DISTANCIAS.
Como se expresó anteriormente, tanto los ángulos como las distancias se miden horizontalmente.
Aplicando este concepto, se cuenta con dos grandes métodos para medir ángulos incorporando la
medición de distancias:

■ Método del coseno. Para un triángulo cualquiera, sus ángulos están definidos en función de las
distancias de los tres vértices, tal como se muestra en la siguiente Figura 20.

Los ángulos de los vértices, están definidas por el Teorema del coseno, el cual queda de la siguiente
forma:

Por ejemplo, obtener los ángulos definidos por los vértices del siguiente triángulo:
Aplicando el método del coseno tenemos:

Método del triángulo isósceles. Este método se fundamenta en la construcción de un triángulo

isósceles en el vértice del ángulo que se quiere medir. Tal como se muestra en la Figura 21.

Luego de construir el triángulo se miden sus lados y el ángulo se obtiene mediante la siguiente
expresión:
Por ejemplo, obtener el ángulo alfa de acuerdo al método del triángulo isósceles.

De acuerdo a la expresión del método del triángulo tenemos:

ERRORES COMUNES EN TOPOGRAFÍA.
Debemos comenzar diciendo que a pesar que se tomen todas las precauciones y de la experiencia del
personal encargado de las mismas, en cualquier medición siempre se va a generar algún grado de error.
Se puede hablar que en topografía error es toda medida que no se ajuste o sea igual a la distancia real.

Las causas de los errores pueden agruparse en tres grupos distintos:

■ Errores Instrumentales. En este tipo de error, se toman medidas erróneas (tanto de ángulos como
de distancias), debido a la mala calibración de los aparatos o simplemente por el uso de los mismos que
se traduce en desgaste paulatino de los componentes. Este grupo de errores son cometidos
especialmente cuando no se le hace un mantenimiento adecuado a los equipos luego de cada día de
uso, el cual consiste en limpiar los equipos con un paño seco para eliminar suciedad y humedad y
colocarlos dentro de su empaque original, el cual viene diseñado para absorber los golpes y
movimientos del transporte y así evitar su desajuste (descalibración).

■ Errores personales. En este tipo de errores no se incluyen aquellos generados por descuido o
desatención, los cuales en topografía no son perdonables, sobre todo cuando se trata de personal
capacitado en el desarrollo de sus funciones, a estos se les llama equivocaciones. Los errores de tipo
personal están asociados a limitaciones de los sentidos, especialmente de la pérdida de la agudeza
visual. Aunque la mayoría de los equipos ópticos permite realizar ciertos ajustes para garantizar una
buena visión, si el problema visual es muy acusado, se van a presentar errores por la imposibilidad de
leer adecuadamente el instrumento.

■ Errores por factores atmosféricos. En este caso se tienen la lluvia, el viento y la más importante la
temperatura. Aunque en la actualidad la muchas de las mediciones en topografía se hacen con cintas de
PVC o similares, en algunos casos se sigue utilizando la cadena de acero como patrón de medición.
Recordar que sin importar el material, la temperatura genera expansiones o contracciones del mismo,
generando por ende errores, En la medición de ángulos esta variación de tamaño no afecta mucho,
estas mediciones, sobre todo en el caso de la brújula, se ven más afectadas por atracciones locales,
tales como depósitos locales de mineral de hierro, cables de alta tensión, etc, los cuales pueden afectar
o alterar localmente el campo magnético, dando por tanto valores de azimut diferentes al real.

Se puede decir que un error es negativo cuando la medida obtenida bien sea de distancias o ángulos
está por debajo de la real. Se dice que es, positivo cuando la medida está por encima de lo real. En
general los errores pueden agruparse en dos categorías:

1. Errores sistemáticos. Son aquellos que se repiten por igual a lo largo de todo el conjunto de
mediciones. Estos están asociados a imperfecciones o a descalibración de los instrumentos.

Entre los más comunes tenemos:

■ Cintas con una distancia diferente al patrón, es decir cintas mal fabricadas, donde los centímetros
marcados en ella no corresponden en realidad al centímetro patrón. De igual forma una cinta vieja que
comienza a estirarse debido a luso, puede generar errores sistemáticos. De lo anterior se deduce que
estos pueden ser positivos o negativos dependiendo del inconveniente que se tenga.

■ Al realizar toda medida con cinta, sobre todo en distancias muy largas, esta tiende a flexionarse
debido a su propio peso. La curva que adopta la cinta se llama catenaria y genera siempre un error
positivo. La corrección es muy simple, se hace pensionando la cinta hasta que la catenaria sea
imperceptible a simple vista. Las medidas de distancias muy largas por tanto, es mejor tomarlas en
tramos más cortos para evitar al máximo la formación de catenaria en la cinta. En terrenos con
vegetación exuberante lo recomendable es limpiarlos para evitar que la medida se vea afectada por la
deformación que sufre la cinta al estar en contacto con la vegetación.
■ Un error común sobre todo en personal con poca experiencia es el permitir que la cinta se enrolle,
esto genera un error positivo. La corrección es simple, verificar que en todo momento que la cinta este
desenrollada y en posición horizontal.

■ Un error que es siempre negativo, es la falta de alineación, esto quiere decir, que la medida no se
toma hasta el punto definido sino que se toma

corrida un poco a la izquierda o a la derecha. Esto se corrige tomando las medidas exactamente sobre
el punto, ojalá apoyándose en el uso de una plomada.

■ Ya hablamos del efecto que genera la temperatura en los instrumentos de

medida. En este sentido una expansión debido a un incremento en la
temperatura, genera un error positivo, mientas que una contracción debido
a una baja de la temperatura genera un error negativo.

2. Errores accidentales. Este tipo de errores están asociados a los encargados de realizar las
mediciones, sin embargo tienen la condición que no se cometen por negligencia sino por causas que
estos no pueden eliminar de las mismas. Por esto a este tipo de errores se les denomina fortuitos.

Los más comunes de estos errores tienen que ver con la falta o exceso de tensión sobre las cintas para
eliminar la catenaria (por esto se pueden generar errores tanto positivos como negativos). Otro tipo de
error está generado por falta de agudeza visual del observador. Esto quiere decir que no se reconocen
con claridad las separaciones de la cinta, por ejemplo los milímetros, dando como resultado errores de
lectura.

Es importante definir dos conceptos claves asociados al concepto de error: Precisión y exactitud.

■ Precisión. La precisión representa la posibilidad de repetición entre variasmedidas de la misma

cantidad, es decir está asociado a la posibilidad decontar con instrumentos bien calibrados que para
varias medidas entreguenel mismo valor.

En medidas lineales, es decir de distancias, se puede expresar el grado de precisión con la relación:

Donde K, es la medida en la cual se comete un error de tipo unitario. Es decir cuando se tiene una
precisión de 1:5000, quiere decir que por cada 5000 metros se comete un error de 1 metro, obsérvese
que se colocan las mismas unidades a cada lado, de esta forma podría leerse igualmente que por cada
5000 milímetros se comete un error de 1 milímetro.

Para la mayoría de los levantamientos topográficos, se han definido grados de precisión recomendados.
Estos valores deben compararse con los valores obtenidos en campo, debiéndose conservar siempre
que la precisión en campo sea mayor o igual que la precisión recomendada.

Cuando se trata de medidas angulares, se ha definido el error de cierre, en este caso angular, solo para
poligonales cerradas, en este caso el error de cierre, impide que la figura cierre, es decir que al graficar
los datos de campo no se puede generar una poligonal cerrada.
Tabla 1. Precisión recomendada para levantamientos topográficos.

El error poligonal de cierre se define como la diferencia entre la suma de los ángulos internos de la
poligonal medidos en campo y la suma teórica de los ángulos internos de la poligonal. La suma teórica
de los ángulos internos de una poligonal cerrada viene dada por la siguiente expresión:

Donde n, representa el número de lados de la poligonal. Por ejemplo un triángulo, presenta tres lados,
luego la suma de ángulos internos interna teórica es:

Σteórica = 180(n-2)

Σteórica = 180(3-2)

Σteórica = 180º

■ Exactitud. Se puede definir exactitud, como el acercamiento al valor real de lo que se mide, bien sea
distancia o ángulo.

Esto quiere decir que la precisión no implica exactitud, es decir un equipo mal calibrado puede dar la
misma medida en varias repeticiones (precisión), aunque esta no se acerque al valor real (exactitud).
POLIGONACION
El levantamiento por poligonación, se utiliza en los casos en que el lote sea grande y no pueda usarse el
método de radiación, o cuando simplemente se trate de un lote que presente muchos obstáculos al
interior del lote que impidan utilizar ese método.

El levantamiento por poligonación implica la definición de una poligonal que siga lo más
aproximadamente posible los linderos del lote a medir. Como esto no se puede cumplir en algunos
casos la poligonal puede tener la siguiente ubicación:

■ Interna. Cuando todos los puntos de la poligonal están ubicados al interior de los linderos del lote.

■ Externa. Cuando todos los puntos de la poligonal están distribuidos al exterior de los linderos del lote.

■ Mixta. Cuando algunos puntos de la poligonal están dentro (internos) de los linderos del lote y otros
por fuera (externos).

Esta poligonal que se construye para medir el área de un terreno se llama poligonal base, o poligonal de
apoyo, dado que sirve para determinar el área del terreno, además de sus proyecciones y coordenadas.
Para el método por poligonación se cumplen unos pasos análogos al levantamiento por radiación:

■ Se deben marcar claramente los vértices que se van a emplear en el levantamiento, es decir los
vértices del terreno. De igual forma, los vértices se marcan con estacas, si es posible. En este punto se
define la ubicación de la poligonal base: interna, externa o mixta. La mejor opción es aquella en que la
poligonal base coincida con los linderos del lote.

■ En el método por poligonación, se deben medir los ángulos definidos por las dos líneas que forman
cada vértice del lindero. Siempre se mide el ángulo en el sentido de las agujas del reloj, por esto se
llama ángulo derecho. En este caso, a diferencia del método por radiación, el teodolito debe montarse
en cada vértice.

■ Se toma el valor del ángulo derecho para cada vértice, en forma horizontal (ver Figura 60),
aprovechando igualmente para medir el azimut del primer vértice. Si el terreno no es demasiado grande
y/o tiene pocos vértices, estos podrían medirse directamente en campo, sin embargo, se acostumbra
trabajar solo con el primero. Finalmente se mide la distancia horizontalentre los dos vértices. En este
caso, al igual que con el método de radiación, lo más deseable es utilizar teodolito y cinta.
■ Por precaución debe realizarse un esquema a mano alzada del levantamiento, indicando los lugares
donde se montó el teodolito y los puntos escogidos como vértices de la poligonal base, en caso que esta
no coincida con los linderos del terreno.
Un modelo de TABLA apropiado para manejar en campo un levantamiento por poligonación es el
siguiente.

La TABLA de campo está compuesta por columnas de la siguiente manera:

1. Estación. Esta corresponde al punto donde se estaciona el teodolito, corresponde al vértice de

medición de todos los ángulos derechos.

2. Punto observado. Es el punto hacia el cual se mide el ángulo horizontal, partiendo desde cero (0º 0´
0") y midiendo siempre en sentido de las agujas del reloj. Se mide el ángulo derecho partiendo del
vértice anterior y llevando la visual hasta el vértice siguiente. Por ejemplo, en la estación 2, se lleva la
mira del teodolito hasta el vértice de la estación 1, se lleva a ceros el ángulo horizontal y se mide luego
el ángulo derecho (en el sentido de las manecillas de reloj) entre la estación 1 y la 3, es decir se lleva la
mira hasta el vértice de la estación 3. Este procedimiento se repite hasta abarcar todas las estaciones.

3. Azimut. En esta columna se consigna el valor del azimut medido al punto de referencia, generalmente
solo se toma el azimut del primer vértice. Por facilidad se coloca una columna para cada parte del
ángulo, es decir una para los grados, otra para los minutos y otra para los segundos.

4. Distancia horizontal. Es el valor de la distancia medida en forma horizontal entre dos vértices
consecutivos. En campo normalmente se estaciona el teodolito en el vértice, se mide el ángulo derecho
y el azimut si procede y luego se mide la distancia, cuando no haya peligro de mover o golpear el
teodolito.
PRACTICA . CÁLCULO DE LAS COORDENADAS
PARCIALES Y SU ERROR LINEAL
Luego de verificar los datos en campo , compensar los angulos , determinar el azimut de cada lado y de
contar con un croquis a mano alzada del polígono del levantamiento, se procede en la oficina a calcular
las coordenadas de los vértices.

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS Y AREA.

Como se comentó anteriormente, en campo se toman valores del ángulo derecho para cada vértice, del
azimut y de la distancia entre cada vértice, de esta forma la cartera tomada en campo queda de la
siguiente forma, se presentan los valores correspondientes para el polígono de la Figura 60.

En la columna punto observado, se observa que la mira del teodolito gira entre las dos estaciones
consecutivas sobre la que está estacionado el teodolito, midiendo el ángulo derecho entre ellas. En la
estación 4 por ejemplo, el ángulo derecho corresponde al ángulo generado por las estaciones 3 y 5.

En este momento se verifica el error angular de cierre, de acuerdo a la Tabla 1, el error máximo para
este levantamiento (asumiendo precisión alta para trabajo en ciudad) está dado por:

La suma teórica está dada por (teniendo en cuenta que se está trabajando con ángulos externos, si se
trabajara con los internos la suma seria 180*(n-2)):
Σteórica = 180(n+2)

En este caso se cuenta con una poligonal de 5 lados, luego la suma teórica da:

Σteórica = 180(n+2)
Σteórica = 180(5+2)
Σteórica = 1260º
La suma real para este caso es:
Σreal = 277º 18´ + 223º 36´ + 266º 35´ 30´´ + 251º 36´ + 240º 54´
Σreal = 1259º 59´ 30´´

En este caso el error de cierre sería:

Error de cierre = Σteórica - Σreal
Error de cierre = 1260º - 1259º 59´ 30´´
Error de cierre = 00º 00´ 30´´

El error de cierre, está por debajo de lo recomendado, luego se puede proceder con los demás cálculos
del levantamiento. Este error de cierre se reparte entre los vértices, luego a cada vértice se le suman 6
segundos (00º 00´ 06´´).

La cartera queda como sigue:

Para el cálculo de los azimut, se sigue la siguiente regla:

A cada punto se le suma el ángulo derecho medido en ese vértice, luego se le suma (+180°). Se
muestra a continuación el cálculo del azimut para los vértices 2 y 3.

Vértice 2.

El azimut del punto anterior es 23° 12', se le suma este valor y el ángulo derecho en el vértice 2. Lo
anterior queda:

Azimut (2) = 23° 12' + 180° + 223° 36' 06"

Azimut (2) = 426° 48' 06"

Como el azimut no puede ser mayor que 360°, se le resta este valor, con lo que el

azimut queda:

Azimut (2) = 426° 48' 06" - 360°

Azimut (2) = 66° 48' 06"

Vértice 3.

El azimut del punto anterior es 66° 47' 54", se le suma este valor y el ángulo derecho en el vértice 3. Lo
anterior queda:
Azimut(3)=66°48'06"+180°+266°35'36" Azimut(3)=513°23'42"

Como el azimut no puede ser mayor que 360°, se le resta este valor, con lo que el azimut queda:

Azimut(3)=513°23'42"-360° Azimut(3)=153°23'42"

Luego de realizar las correcciones del azimut queda:

Se invita al lector a calcular el azimut del vértice 1, siguiendo la misma metodología y comprobar que
efectivamente da el mismo resultado planteado inicialmente (23° 12' 00"). Ahora de manera análoga a lo
expresado en el levantamiento por radiación, calculamos los valores de las proyecciones tanto en el eje
X (E-W), como en el eje Y (N-S). Las proyecciones E-W, se calculan multiplicando el valor de la
distancia horizontal por el Seno del azimut, mientras que las proyecciones (N-S), se calculan
multiplicando el valor de la distancia horizontal por el Coseno del azimut, de acuerdo a la siguiente
fórmula.

Las proyecciones E-W de los vértices serán:

De forma análoga, las proyecciones N-S de los vértices serán:
Un resumen de los cálculos anteriores se presenta en la siguiente Tabla.

Es necesario revisar de igual forma el error lineal de cierre, esto asegura que en la poligonal una vez
dibujada se parta del vértice 1 y se vuelva a el. Sin embargo, por errores al tomar la medida de los
linderos, esto puede no ser así y es necesario realizar ajustes para asegurar el cierre de la poligonal. En
una poligonal cerrada debe cumplirse que:

ΣProyeccionesN-S=0

ΣProyeccionesE-W=0

Para ajustar las proyecciones de los vértices existen varios métodos matemáticos y geométricos. En
este caso se presentará uno de los más comunes llamado método de la brújula, el cual relaciona el error
de cierre con la medida de los lados del polígono y su perímetro, tal como lo muestra la siguiente
expresión:

Donde C, representa la corrección que debe aplicársele a la proyección. Para ajustar la proyección se
procede de la siguiente manera:

Proyeccion(corregida) = Proyeccion - C
Para mayor ilustración, se presentan a continuación los cálculos para la poligonal que se viene
trabajando. Tenemos que:

ΣProyecciones E-W = 0

ΣProyecciones E-W = 29.967 + 70.021 + 30.045 - 59.966 -70.073

ΣProyecciones E-W = -0.006

ΣProyecciones N-S = 0

ΣProyecciones N-S = 69.919 + 30.008 - 59.986 - 59.973 + 19.959

ΣProyecciones N-S = -0.073

Observe que para asegurar mayor precisión en las correcciones se trabajó con tres (3) decimales). El
perímetro de la poligonal corresponde a la suma de los lados de los vértices:

Perímetro=76.07+76.18+67.09+84.81+72.86

Perímetro=377.01m.

Para las proyecciones E-W, la corrección queda:

De acuerdo a esto, las Proyecciones E-W, quedan:

Proyeccion{corregida) = Proyeccion, - C

Proyeccion(corregida)1 = 29.967 + 0.0012 = 29.9682

Proyeccion(corregida)2 = 70.021+ 0.0012 = 70.0222

Proyeccion(corregida)3 = 30.045 + 0.0012 = 30.0462

Proyeccion(corregida)4 = -59.966 + 0.0012 = -59.9648

Proyeccion(corregida)5 = -70.073 + 0.0012 = -70.0718

Tenemos que:

ΣProyecciones E-W = 29.9682 + 70.0222 + 30.0462 – 59.9648 -70.0718

ΣProyecciones E-W = 0

Para las proyecciones N-S, la corrección queda:

Para las proyecciones N-S, la corrección queda:

Proyeccion(corregida) = Proyeccioni - C

Proyeccion(corregida)1 = 69.919 + 0.0147 = 69.9337

Proyeccion(corregida)2 = 30.008 + 0.0148 = 30.0228

Proyeccion(corregida)3 = -59.986 + 0.0130 = -59.9730

Proyeccion(corregida)4 = -59.973 + 0.0164 = -59.9566

Proyeccion(corregida)5 = 19.959 + 0.0141 = 19.9731

Tenemos que:

ΣProyecciones N-S = 69.9337 + 30.0228 - 59.9730 - 59.9566 + 19.9731

ΣProyecciones N-S = 0

Después de calcular las proyecciones de los vértices de la poligonal, el siguiente paso es calcular las
coordenadas de cada uno de los vértices. Para esto se escoge un valor de coordenadas que se
aplicarán al punto inicial del levantamiento, en este caso llamado Estación 1. Para calcular las
coordenadas de cada vértice a las proyecciones encontradas, se van sumando las proyecciones en
forma consecutiva, es decir, al valor inicial seleccionado, se le suman las proyecciones de la estación 1,
a este resultado se le suman las proyecciones de la estación 2 y así sucesivamente hasta completar el
polígono. Lo importante es que todas las coordenadas queden positivas, por tanto se debe sumar un
valor positivo que sea mayor que el menor negativo.

En este caso podemos escoger un valor de coordenadas iniciales de (100;100). Las coordenadas E-W
de los vértices serán:

Coord1 = 29.9682 +100 =129.9682

Coord2 = 70.0222 +129.9682 =199.9904

Coord3 = 30.0462 +199.9904 = 230.0366

Coord4 = -59.9648 + 230.0366 =170.0718

Coord5 = -70.0718 +170.0718 = 100

Las coordenadas N-S, de los vértices serán:

Coord1 = 69.9337 +100 =169.9337

Coord2 = 30.0228 +169.9337 =199.9565

Coord3 = -59.9730 +199.9565 =139.9835

Coord4 = -59.9566 +139.9835 = 80.0269

Coord5 =19.9731+ 80.0269 = 100

En la siguiente Tabla se presenta un resumen de los cálculos realizados.

El error lineal de cierre de la poligonal, se define como la hipotenusa del triángulo definido por los
errores tanto en longitud como en latitud. Es decir al partir del punto 1 y regresar a él, el punto 1´, no
necesariamente coincide con el punto 1, esto genera un error que se calcula de la siguiente forma:

Para el caso particular que hemos venido trabajando el error lineal de cierre es:

En la siguiente Figura se muestra en forma exagerada lo expresado anteriormente.

Esto quiere decir que en realidad el punto 1´ está ubicado a 0.0732 m, o 7.32 cm, del verdadero punto 1.
Es necesario aclarar que al corregir las proyecciones, este error se eliminó.

La precisión lineal de cierre, se expresa como el número de unidades medidas para cometer un error de
1 unidad. Esta se define como la relación entre el perímetro de la poligonal y el error lineal de cierre, tal
como sigue:

Para el caso en particular de la poligonal que se ha venido trabajando tenemos:

En este caso por facilidad, se decidió trabajar con una poligonal mixta, la cual se muestra en la siguiente
Figura, presentando la numeración asignada a cada uno de los detalles que se trabajarán en el
levantamiento.
Este lote está compuesto por 6 lados (denominado con letras, de la A a la F) y una poligonal base de 5
lados (denominada con números del 1 al 5), con la cual se va a medir el área del lote. El procedimiento
para tomar datos es el mismo que para una poligonal cerrada, salvo en el caso de los detalles, los
cuales se toman desde cada estación como si se tratara de una radiación, es decir se mide el ángulo
horizontal y la distancia con respecto a la estación. En la Tabla 18, se presenta la cartera con los datos
tomados en campo.
Lo que se busca con los detalles, es definir dentro del lote las coordenadas de los detalles más
representativos y por tanto poder en un caso dado, obtener el área ocupada por cada uno de ellos. En
este caso, como ya se comentó, se toman valores del ángulo derecho para cada vértice, del azimut y de
la distancia entre cada vértice. Además de lo anterior se toman los detalles amarrándolos a una
estación. Estos se trabajan como una radiación. En estos casos, cobra más importancia la construcción
de un gráfico a mano alzada donde se presente explícitamente la ubicación de cada uno de los detalles,
dado que durante el trabajo en oficina y al dibujar el plano puede ser necesario verificar la correcta
ubicación de los mismos.

Inicialmente se trabaja con la poligonal base y se sigue el mismo derrotero mostrado para un
levantamiento por poligonación