Tema.

: TRIÁNGULOS Profesor:Juan Marcavillaca (El Marca)

IV
LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
MEDIANA: Es el segmento de recta que tiene por CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por
extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto. extremos un vértice y un punto cualquiera del lado
A opuesto o de su prolongación.
Mediana
relativa al
Ceviana
A
lado BC Ceviana
exterior
interior

B M C
E B D C

Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

cada lado. BARICENTRO:
La intersección de las tres medianas es un punto
ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, interior al triangulo llamado baricentro.
perpendicular al lado opuesto o a su prolongación. A
C
Baricentro
2a
Altura relativa al Altura relativa al lado
lado AB BC c b
G G

2b 2c
a
H
Prolongación de
A B
B M C
Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada También se le conoce como centroide, centro de
lado. gravedad o gravicentro.
El baricentro G, determina en la mediana, dos
BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del segmentos cuyas medidas están en la relación de dos
triángulo. a uno.
El baricentro G, es un punto interior del triángulo.
Bisectriz  A Todo triángulo tiene un solo baricentro.
exterior Bisectriz
  
interior ORTOCENTRO:
La intersección de las alturas o de sus prolongaciones
es un punto llamado Ortocentro.
 El ortocentro “O” en un triángulo acutángulo se
E B D C
encuentra en el interior del triangulo
AE : bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado  El ortocentro “O” en un triángulo obtusángulo se
AC , siendo AC>AB. encuentra en el exterior del triángulo
 El ortocentro “O” en un triángulo rectángulo es el
MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado vértice del ángulo recto.
A
Mediatriz relativa al
lado BC
B
Ortocentro

B M C
A C

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r2

E2
C r1 B
A
E1

Ortocentro
A C

A
r3 E3

Ortocentro
B NOTA:
 Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están
INCENTRO: contenidos en una línea recta
El punto de intersección de las bisectrices interiores se  El triángulo E1E 2E3 es conocido como triángulo
llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia exincentral.
inscrita en el triángulo.
Inradio (r): radio de la circunferencia inscrita CIRCUNCENTRO:
El incentro(I) equidista de los lados del triángulo Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en
un punto llamado circuncentro que es el centro de la
El incentro (I) es un punto interior al triángulo. circunferencia circunscrita al triángulo.
 El circuncentro “L” en un triangulo acutángulo se
 encuentra en el interior del triángulo
 El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se
encuentra en el exterior del triangulo
 El circuncentro “L” en un triangulo rectángulo es el
I punto medio de la hipotenusa
R: circunradio

 B
 r B
  A

EXCENTRO: R
Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se
intersecan en un punto llamado Excentro. R L L
C
A C

B
E1 B
r1

A C A C
R L R
E1 es el excentro del triángulo relativo al lado BC .
E1 es el centro de la circunferencia exinscrita del
triángulo relativa al lado BC .
En todo triángulo se pueden encontrar tres
circunferencias ex-inscritas.
El circuncentro equidista de los vértices del triángulo

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Propiedad: En la figura si L es circuncentro , se EJERCICIOS

cumple: B 1. En un triángulo, se sabe que la distancia del
baricentro al circuncentro es 3cm, entonces la
distancia del ortocentro al circuncentro, es:
A)7cm B)6cm C)12cm
)9cm E)8cm
2
L 2. En un triángulo obtusángulo, son puntos notables
exteriores:
 A) Incentro y circuncentro
A C
B) Incentro y baricentro
C) Ortocentro y baricentro
RECTA DE EULER: D) Ortocentro y circuncentro
Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, E) Incentro y ortocentro
baricentro y circuncentro .
B 3. Indicar el valor de verdad o falsedad de las
siguientes proposiciones:
Recta de Euler
I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro,
baricentro y circuncentro son colineales
II) La propiedad fundamental del baricentro es la
de determinar en la mediana dos segmentos
O cuyas medidas están en la relación de dos a
G uno.
III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el
L
circuncentro son puntos exteriores.
A)VVV B)VVF C)VFV
A H N M C D)VFF E)FVV

4. Determinar el valor de verdad V o falsedad F de las

PROPIEDADES: siguientes proposiciones:
1) En todo triángulo la distancia del ortocentro al I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de
baricentro es dos veces la distancia del baricentro al Euler
circuncentro: II) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa
a la hipotenusa está contenida en la recta de
OG  2(GL) Euler.
O 2k G k
L III) Los puntos notables en la recta de Euler, se
encuentran en el siguiente orden: ortocentro,
baricentro y circuncentro
2) La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de IV) Los puntos notables en la reta de Euler, se
la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice encuentran en el siguiente orden: baricentro,
mencionado. ortocentro y circuncentro
OB  2(LM) A)VVFV B)VVFF C)VFFV
D)VVVF E)VFFF
También se cumple:
5. En la figura: B
BH  3(GN)

3) En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y D E

el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana
relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en
la recta de Euler L

Ortocentro B
A C
F

Baricentro 2x
De las siguientes proposiciones:
Circuncentro I) L es el ortocentro del triángulo ABC
x
3x 3x
II) E es el ortocentro del triángulo AEB.
A M C III) A es el ortocentro del triángulo BLC.
NOTA:
La secuencia correcta, es:
 El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro
A)VVV B)VFV C)VVF
(O) y el circuncentro (L).
D)FFV E)FVF
 Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero,
tienen una unica recta de Euler.

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6. En un triángulo ABC de circuncentro L, si LC=10, la 12. En un triángulo ABC, la recta de Euler es paralela
medida del ángulo BAC es 70º, la medida del al lado BC , si m  R BAC   45º y la altura relativa al
ángulo BCA es 40º, la distancia de L a la altura
lado BC mide 6, la longitud del circunradio de dicho
relativa a AC , es:
triángulo, es:
A) 10/3 B) 2 C) 5
D) 10/4 E) 10 A) 3/2 B) 2 C) 2 2
D) 2/3 E) 2 3
7. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices
uuur 13. En la figura AB=BC, el valor de x, es:
interiores BD y AF (D en AC , F en BD ). Si
m  R ACB   20º y m  R BAC   40º , la medida del B
ángulo DFC, es:  3
A) 40º B) 60º C) 80º
D) 75º E) 70º
x
8. En la figura, H es ortocentro, si la medida del ángulo 3x 2x
A C
HBC es 30º, entonces la medida del ángulo HAC,
es: B
A) 30º
B) 10º
C) 20º
D) 15º
E) 5º
H

A C

A) 37º B) 60º C) 45º

D) 15º E) 30º

9. En la figura, si m ABO  18º , m BAO  a  12º ,

m OBC  m OAC  60º a , el valor de x, es:
B

A) 52º
B) 12º
C) 18º
D) 72º
O
E) 78º
x
A C

10. En un triángulo acutángulo ABC, O es el ortocentro

y L es el circuncentro, si m  R BAC   m  R BCA   30º
, la medida del ángulo OBL, es:
A) 37º B) 60º C) 10º
D) 15º E) 30º

11. En la figura, E es un excentro del triángulo ABC,

uuur
ED es bisectriz del ángulo BEC,
m  R ACB   m  R DEB  . La medida del ángulo BED,
es: C

A B
A) 37º B) 60º C) 45º
D) 53º E) 30º

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