Sistemas de

numeració n
Elaborador por:
Ing. Melissa Mena Fonseca

CTP José Figueres Ferrer

La Lucha de Desamparados

2544-

Del 01/04/13 al
  Binario a decimal
 Decimal a binario

Tabla de contenido
SISTEMA OCTAL..................................................................................................................................4
Conversión de un número de base octal a base decimal...............................................................5
Conversión de un número de base decimal a base octal...............................................................6
Conversión de números binarios a octales y viceversa..................................................................7
Conversión de binarios a octales................................................................................................7
Conversión de octales a binarios................................................................................................8
SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL........................................................................................9
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el
sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su
posición, que se calcula mediante potencias de base 16.............................................................10
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:..............................10
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160...................................................................................10
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719.......................................................................................10
1A3F16 = 671910..........................................................................................................................10
Ejercicio 7:....................................................................................................................................10
Exprese en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16......10
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número
decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será
necesario hacer las siguientes divisiones:....................................................................................10
1735 : 16 = 108 Resto: 7............................................................................................................10
108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210.....................................................................................10
6 : 16 = 0 Resto: 6............................................................................................................10
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:.......10
173510 = 6C716............................................................................................................................11
Ejercicio 8:....................................................................................................................................11
Convierta al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510 11
Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa....................................................12

1
 Conversión de hexadecimal a binario.......................................................................................12
Conversión de hexadecimal a binario.......................................................................................13
Herramienta en línea que puede utilizar para comprobar los resultados de sus conversiones. . .14
Material de apoyo........................................................................................................................14

2
 Sistema Numérico

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten construir todos

los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como:
donde:

  es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.).

  es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son
{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son
{0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.

Clasificación

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-
posicionales:

Sistema No-Posicional

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de
la posición (columna) que ocupan en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es

posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10
o 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los
numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

Sistema Posicional

En este sistema el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que
ese símbolo ocupa en el sistema.

En el sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si

un sistema de numeración posicional tiene base bsignifica que disponemos de b símbolos
diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

3
Sistema Numérico
Decimal

4
El sistema numérico decimal, utiliza la base 10.

Se compone de los siguientes elementos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

SISTEMA
OCTAL
El sistema de numeración octal es un sistema de numeración en base 8, una base que es
potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión
a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.
5
El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

El sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o' y
el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la
hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los
dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por
ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean
caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal
(del griego oktō 'ocho') Esto es muy importante por eso.

2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) =

2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 =

2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 =

1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d

El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y
el número 0.

Conversión de un número de base octal a base decimal

Para pasar de base 8 a base decimal, solo hay que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la
posición de la cifra, y sumar el resultado.

Por ejemplo:

Vamos a convertir el número octal 731 = (731) 8

6
 Pasos para realizar la conversión a base decimal.

1) Se aplica el valor posicional (comenzamos de cero, y de derecha a izquierda; en caso

de existir algún decimal, comenzamos colocando -1, -2 y así sucesivamente de
izquierda a derecha, después de la coma o punto)

Supongamos el número octal 731

Número octal 7 3 1
Valor posicional 2 1 0

2) Multiplicamos cada dígito por la base 8 (porque la conversión que se está realizando es de base
octal a base decimal) y a su vez lo elevamos por su respectivo valor posicional y cada cifra se suma.

Entonces, en decimal sería:

(7x 8^2) + (3 x 8^1) + (1 x 8^0) =

3) Escribimos los resultados.

(7 x 64) + (3 x 8) + (1) = 473

4) El resultado en valor decimal es 473

Conversión de un número de base decimal a base octal

Para convertir un número en base decimal a base octal se divide por 8 sucesivamente
hasta llegar a cociente 0, y los restos de las divisiones en orden inverso indican el número
en octal.

Pasos para realizar la conversión a base decimal.

1) El proceso de conversión de base decimal a base octal es por divisiones sucesivas:

7
 Por ejemplo, el número en base decimal es 473

2) La cantidad se divide entre 8 (por la conversión de decimal a octal)

473/8 = 59 -- residuo 1
59/8 = 7 -- residuo 3
7/8 (no se divide con decimales, así que queda 7)

Ahora se toman los "residuos" de las divisiones de abajo hacia arriba, de forma
ascendente.

3) El resultado de decimal a octal es 731

y ya has pasado el 473 (de base decimal) a octal que será 731.

Conversión de números binarios a octales y viceversa

Conversión de binarios a octales

Observe la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas
decimal, binario y octal:

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por
tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a
"expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres
caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de
tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

8
(101)2 = 58
(001)2 = 18
(011)2 = 38
y, de ese modo: (101001011)2 = (513)8

Ejercicio 9:
Convierta los siguientes números binarios en octales: (1101101)2, (101110)2,
(11011011)2, (101101011)2

Conversión de octales a binarios

o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

La conversión de números octales a binarios se hace [Contrayendo)11 siguiendo el mismo

método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para
convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno
de sus dígitos:

78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 = 1111010002

Ejercicio 10:
Convierta los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538

9
SISTEMA DE NUMERACIÓN
HEXADECIMAL

10
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el
sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición,
que se calcula mediante potencias de base 16.

Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:

(1A3F)16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

Ejercicio 7:

Exprese en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516, 10016, 1FF16

Respuestas:

(2BC5)16 ---- 11205

(100)16 ---- 256

(1FF)16 ----511

11
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número
decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será
necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108 Resto: 7

108 : 16 = 6 Resto: C es decir, 1210

6 : 16 = 0 Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:

173510 = 6C716

Ejercicio 8:

Convierta al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510

12
Conversión de números binarios a hexadecimales y
viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y

binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito
hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

13
Conversión de hexadecimal a binario

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o

"contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para
expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar
grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su
equivalente hexadecimal:

10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos,
se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16

Ejercicio 11:
Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:
10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

14
 Conversión de hexadecimal a binario

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,

reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla.
Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en
la tabla las siguientes equivalencias:

116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102

Ejercicio:
Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016,
8F8F16

Herramienta en línea que puede utilizar para comprobar los resultados

de sus conversiones

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?
session=04BE6AAA69.1&lang=es&cmd=reply&module=tool%2Fnumber
%2Fbaseconv.es&input=3456&ibase=10&obase=8&prec=30

Material de apoyo

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/numeracion.html

15
Operaciones con números binarios
Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son

 0+0=0
 0+1=1
 1+0=1
 1 + 1 = 10
100110101
+ 11010101
———————————
1000001010

Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha,

en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado
y llevamos 1 (este "1" se llama  arrastre). A continuación se suma el acarreo a la
siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas
(exactamente como en decimal).

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero

conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación
binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman:
minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:

 0-0=0
 1-0=1
 1-1=0
 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad

prestada de la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir

16
en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la
posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690)
10001 11011001
-01010 -10101011
—————— —————————
01111 00101110

A pesar de lo sencillo que es el procedimiento, es fácil confundirse. Tenemos

interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin
detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y
reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:

 Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos

cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:
100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
————————————— = ————— ————— —————
010000101011 0100 0010 1011

 Utilizando el complemento a dos. La resta de dos números binarios puede

obtenerse sumando al minuendo el complemento a dos del sustraendo.
Veamos algunos ejemplos. Hagamos la siguiente resta, 91 - 46 = 45, en
binario:
1011011 1011011
-0101110 C2 de 46 = 1010010 +1010010
———————— ————————
0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el
número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se
desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el

complemento a dos:
11011011 11011011
-00010111 C2 de 23 = 11101001 +11101001
————————— —————————
11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado

correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

17
  Utilizando el complemento a 1. La resta de dos números binarios puede
obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y
a su vez sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

Producto de números binarios

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque

se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da
0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110
1001
—————————
10110
00000
00000
10110
—————————
11000110

En sistemas electrónicos, donde se suelen utilizar números mayores, no se utiliza

este método sino otro llamado algoritmo de Booth.

División de números binarios

La división en binario es similar a la decimal, la única diferencia es que a la hora

de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.
Por ejemplo, vamos a dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
——————
- 0000 010101
———————
10001
- 1101
———————
01000
- 0000
———————
10000

18
 - 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001

Conversión entre binarios y decimales, binario a octal y de binario a

hexadecimal

Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número

multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por
la potencia 0).
2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el
número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

 110101 (binario) = 53 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1
0*(2) elevado a (1)=0
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
1*(2) elevado a (5)=32
La suma es: 53

 10010111 (binario) = 151 (decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (0)=1
1*(2) elevado a (1)=2
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
0*(2) elevado a (5)=0
0*(2) elevado a (6)=0
1*(2) elevado a (7)=128
La suma es: 151

19
  110111 (binario) = 55 (decimal). Proceso:
1*(2) elevado a (0)=1
1*(2) elevado a (1)=2
1*(2) elevado a (2)=4
0*(2) elevado a (3)=0
1*(2) elevado a (4)=16
1*(2) elevado a (5)=32
La suma es: 55

20