LOCALIZACIÓN

Ejercicio 1
En la figura 1 se observa, como el sistema móvil O’UVW se encuentra inicialmente orientado y
posicionados con respecto al sistema fijo OXYZ. Después de esto, el sistema móvil O’UVW
realiza los siguientes movimientos en el orden señalado:

T
1. Traslación/es descrita por P 1xyz [ 10 , 20 ,30 ] cm y rotación/es señaladas en la
figura 2.
−π
2. Rotación respecto al eje OZ de radianes.
2
3. Traslación a lo largo del eje O’V de 0,5 m.
4. Rotación respecto al eje O’U de 270 grados.
5. Traslación a lo largo del eje O’W de 20 cm.

Parte A
Determine la posición y orientación final del sistema OXYZ respecto al sistema O’UVW.

Se conoce que la rotación y posición inicial son coincidentes con el origen del sistema fijo xyz ,
es decir:

[ ]
1 0 0 0
T uvw 0 = 0 1 0 0
xyz 0 0 1 0
0 0 0 1

Se realiza el primer movimiento que consta de rotación y traslación a la vez, ergo se llena la
matriz de transformación con la posición y la rotación dada.

En cuanto a rotación se observa en la figura 2 que el eje U coincide con el eje Z, el eje V
coincide con el eje X y el eje W coincide con el eje Y, quedando la matriz de rotación:

[ ]
0 1 0
R 1= 0 0 1
1 0 0

Se ubica la matriz de rotación, el vector posición, el vector de perspectiva y el valor de escala

dentro de la matriz de transformación:
 [ ]
0 1 0 10
T 1= 0 0 1 20
1 0 0 30
0 0 0 1

Al realizar las rotaciones de los ejes móviles con respecto a los fijos, se efectúa una pre-
multiplicación a la posición inicial, quedando:

[ ][ ]
0 1 0 10 1 0 0 0
T uvw 1 = 0 0 1 20 0 1 0 0
xyz 1 0 0 30 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1

Nota: Se debe tomar en cuenta que si se realiza una rotación únicamente se modificará la
parte de la matriz de rotación dentro de la matriz de transformación y siguiendo el mismo
principio, si se realiza una traslación únicamente se modificará la parte del vector de traslación
dentro de la matriz de transformación, mientras que el vector de perspectiva y el valor de
escala siguen intactos en ambos casos, en este caso se modifican simultáneamente la parte de
la matriz de rotación y la del vector posición.

Se realiza el segundo movimiento R2 ( z ,−90 ° ).

Se realiza la construcción de su matriz de rotación, dentro de la matriz de transformación:

[ ]
C (−90 ° ) −S (−90 ° ) 0 0
R2= S (−90 ° ) C (−90° ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Al ser un movimiento rotacional en sentido del eje fijo z, se realiza una pre-multiplicación por
la matriz de transformación quedando:

[ ][ ][ ]
C (−90 ° ) −S (−90° ) 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0
T uvw 2 = S (−90 ° ) C (−90 ° ) 0 0 0 0 1 20 0 1 0 0
xyz 0 0 1 0 1 0 0 30 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Se realiza el tercer movimiento M 2 ( v ,50 [ cm ] ).

Se realiza la construcción de su vector posición, dentro de la matriz de transformación:

[ ]
1 0 0 0
M 2= 0 1 0 50
0 0 1 0
0 0 0 1

Al ser un movimiento traslacional en sentido del eje móvil v, se realiza una post-
multiplicación, quedando:
 [ ][ ] [ ][ ]
C (−90 ° ) −S (−90° ) 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0
T uvw 3 = S (−90 ° ) C (−90 ° ) 0 0 0 0 1 20 0 1 0 0 0 1 0 50
xyz 0 0 1 0 1 0 0 30 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Nota: Nótese que en una pre-multiplicación la matriz se la ubica antes de toda la expresión
previa, mientras que en una post-multiplicación se la ubica al final de la misma.

Se realiza el cuarto movimiento R3 (u ,−90 °) .

Se realiza la construcción de su matriz de rotación, dentro de la matriz de transformación:

[ ]
1 0 0 0
0 cos (−90 ° ) −sin (−90° ) 0
R3=
0 sin (−90 ° ) cos (−90° ) 0
0 0 0 1

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje móvil u, se realiza una post-multiplicación
por la matriz de transformación característica quedando:

[ ][ ][ ] [ ]
C (−90 ° ) −S (−90 ° ) 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0
T uvw 4= S (−90° ) C (−90 ° ) 0 0 0 0 1 20 0 1 0 0 0 1 0 50
xyz 0 0 1 0 1 0 0 30 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

[ ]
1 0 0 0
0 C (−90 ° ) −S (−90 ° ) 0
0 S (−90° ) C (−90 ° ) 0
0 0 0 1

Se realiza el quinto movimiento M 3 ( w , 20 [ cm ] ).

Se realiza la construcción de su vector posición, dentro de la matriz de transformación:

[ ]
1 0 0 0
M 3= 0 1 0 0
0 0 1 20
0 0 0 1

Al ser un movimiento traslacional en sentido del eje móvil w, se realiza una post-
multiplicación, quedando:

[ ][ ] [ ][ ]
C (−90 ° ) −S (−90° ) 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 0
T uvw 5 = S (−90 ° ) C (−90 ° ) 0 0 0 0 1 20 0 1 0 0 0 1 0 50
xyz 0 0 1 0 1 0 0 30 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
 [ ][ ]
1 0 0 0 1 0 0 0
0 C (−90 ° ) −S (−90 ° ) 0 0 1 0 0
0 S (−90° ) C (−90 ° ) 0 0 0 1 20
0 0 0 1 0 0 0 1

Al multiplicar todas las matrices se obtiene la matriz de transformación final:

[ ]
0 −1 0 20
T uvw f = 0 0 −1 −80
xyz 1 0 0 30
0 0 0 1

Esta matriz que se obtiene es la posición y rotación del sistema móvil con respecto al sistema
fijo, pero el requerimiento del ejercicio es la posición y rotación del sistema fijo con respecto
al móvil , esto se logra realizando la inversa de la matriz previamente obtenida.

[ ]
0 0 −1 −30
T xyz f = −1 0 0 20
uvw 0 −1 0 −80
0 0 0 1

De esta matriz se puede interpretar que la rotación final del sistema fijo con respecto al
sistema móvil es:

[ ]
0 0 −1
R f = −1 0 0
0 −1 0

Y que su posición final es:

M f (−30 ,20 ,−80)

Comprobación en Matlab:
>> a=[0 1 0 0; -1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

a =
0 1 0 0
-1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

>> b=[0 1 0 10; 0 0 1 20; 1 0 0 30; 0 0 0 1]

b =
0 1 0 10
0 0 1 20
1 0 0 30
0 0 0 1

>> c=[1 0 0 0; 0 1 0 50; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

c =
1 0 0 0
 0 1 0 50
0 0 1 0
0 0 0 1

>> d=[1 0 0 0; 0 0 1 0; 0 -1 0 0; 0 0 0 1]

d =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
0 0 0 1

>> e=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 20; 0 0 0 1]

e =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 20
0 0 0 1

>> t=a*b*c*d*e

t =
0 -1 0 20
0 0 -1 -80
1 0 0 30
0 0 0 1

>> T=inv(t)

T =
0 0 1 -30
-1 0 0 20
0 -1 0 -80
0 0 0 1

Parte B
Determine las componentes del vector r en el sistema O’UVW, si dicho vector en el sistema fijo
OXYZ es r xyz =[1 32] .

>> T=inv(t)

T =
0 0 1 -30
-1 0 0 20
0 -1 0 -80
0 0 0 1

>> r=[1 3 2 1]'

r =
1
3
2
1
>> B=T*r

B =
-28
19
-83
1

θ=atan ( 43 )
θ=36.869°

ϕ =atan ( √4 2 +32
2 )
ϕ =68.198°

Ejercicio 2
Determine la posición final de un objeto que realiza los movimientos:

1. Traslado de 5 unidades en el eje X

2. Traslado de 3 unidades en el eje Z
3. Traslado de 2 unidades en el eje Y

Se suma las distancias de las traslaciones en los respectivos ejes:

M 1 (5 , 0 ,0)
M 2 (0 , 0 ,3)
M 3 ( 0 ,2 , 0 )
M f (5 ,2 , 3)
Nota: En el presente documento se ha utilizado la notación M para determinar movimiento o
desplazamiento mientras que se utilizará la letra R para determinar rotación.
Ejercicio 3
Determine la rotación del sistema móvil uvw respecto al eje fijo xyz , si se ha realizado los
siguientes movimientos:

1. R1 (z , 45 °)
2. R2 ( y ,−90° )
3. R3 ( x , 30 ° )

Asumiendo una rotación inicial coincidente con el sistema fijo xyz , es decir:

[ ]
1 0 0
R0 = 0 1 0
0 0 1

Se realiza el primer movimiento R1 (z , 45 °).

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje fijo z, se realiza una pre-multiplicación de
su matriz de rotación característica:

[ ]
cos ( α ) −sin ( α ) 0
R Z = sin ( α ) cos ( α ) 0
0 0 1

Quedando:

[ ][ ]
C ( 45 ° ) −S ( 45° ) 0 1 0 0
R1= S ( 45 ° ) C ( 45 ° ) 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1

Nota: se abrevia la función coseno con la letra C y la función seno con la letra S.

Se realiza el segundo movimiento R2 ( y ,−90°).

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje fijo y, se realiza una pre-multiplicación de
su matriz de rotación característica:

[ ]
cos ( α ) 0 sin ( α )
R Z= 0 1 0
−sin ( α ) 0 cos ( α )

Quedando:

[ ][ ][ ]
C (−90 ° ) 0 S (−90 ° ) C ( 45° ) −S ( 45 ° ) 0 1 0 0
R2= 0 1 0 S ( 45 ° ) C ( 45 ° ) 0 0 1 0
−S (−90 ° ) 0 C (−90 ° ) 0 0 1 0 0 1

Se realiza el tercer movimiento R3 ( x ,30 °).

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje fijo x, se realiza una pre-multiplicación de
su matriz de rotación característica:
 [ ]
1 0 0
R X = 0 cos ( α ) −sin ( α )
0 sin ( α ) cos ( α )

Quedando:

[ ][ ][ ][ ]
1 0 0 C (−90° ) 0 S (−90° ) C ( 45 ° ) −S ( 45° ) 0 1 0 0
R3= 0 C ( 30° ) −S ( 30° ) 0 1 0 S ( 45 ° ) C ( 45 ° ) 0 0 1 0
0 S (30 ° ) C ( 30° ) −S (−90° ) 0 C (−90 ° ) 0 0 1 0 0 1

Al multiplicar todas las matrices se obtiene la rotación final

[ ]
0 0 −1
R f = 0.2588 0.9659 0
0.9659 −0.2588 1

Comprobación en Matlab:
>> a=[1 0 0; 0 cos(pi/6) -sin(pi/6); 0 sin(pi/6) cos(pi/6)]

a =
1.0000 0 0
0 0.8660 -0.5000
0 0.5000 0.8660

>> b=[cos(-pi/2) 0 sin(-pi/2); 0 1 0; -sin(-pi/2) 0 cos(-pi/2)]

b =
0.0000 0 -1.0000
0 1.0000 0
1.0000 0 0.0000

>> c=[cos(pi/4) -sin(pi/4) 0; sin(pi/4) cos(pi/4) 0; 0 0 1]

c =
0.7071 -0.7071 0
0.7071 0.7071 0
0 0 1.0000

>> r=a*b*c

r =
0.0000 -0.0000 -1.0000
0.2588 0.9659 -0.0000
0.9659 -0.2588 0.0000
Ejercicio 4
Determinar la posición y rotación (finales) del sistema móvil uvw respecto al sistema fijo xyz ,
si se realiza los siguientes movimientos:

1. R1 ( z , 90 ° )
2. M 1 ( z , 5 [ u ] )
3. M 2 ( u ,3 [ u ] )
4. R2 ( u ,−90 ° )

Cuando se combinan movimientos rotacionales y traslacionales se tiene que recurrir a la matriz

de transformación dada por:

T uvw
xyz
¿
La matriz de transformación está formada por la agrupación de la matriz de rotación, a su
derecha el vector posición, debajo el vector de perspectiva que siempre se definirá en robótica
como [0 0 0] junto al valor de escala dado por 1.

Asumiendo una rotación y una posición inicial coincidentes con el origen del sistema fijo xyz ,
es decir:

[ ]
1 0 0 0
T uvw 0 = 0 1 0 0
xyz 0 0 1 0
0 0 0 1

Se realiza el primer movimiento R1 (z , 90° ).

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje fijo z, se realiza una pre-multiplicación por
la matriz de transformación característica:

[ ]
cos ( α ) −sin ( α ) 0 0
R Z = sin ( α ) cos ( α ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Quedando:

[ ][ ]
C ( 90 ° ) −S ( 90 ° ) 0 0 1 0 0 0
T uvw 1 = S ( 90 ° ) C ( 90° ) 0 0 0 1 0 0
xyz 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1

Nota: Se debe tomar en cuenta que si se realiza una rotación únicamente se modificará la
parte de la matriz de rotación dentro de la matriz de transformación y siguiendo el mismo
principio, si se realiza una traslación únicamente se modificará la parte del vector de traslación
dentro de la matriz de transformación, mientras que el vector de perspectiva y el valor de
escala siguen intactos en ambos casos.

Se realiza el segundo movimiento M 1 ( z , 5 [ u ] ) .

Al ser un movimiento traslacional en sentido del eje fijo z, se realiza una pre-multiplicación
por la matriz de transformación característica:

[ ]
1 0 0 0
M Z= 0 1 0 0
0 0 1 z
0 0 0 1

Quedando:

[ ][ ][ ]
1 0 0 0 C ( 90 ° ) −S ( 90 ° ) 0 0 1 0 0 0
T uvw 2 = 0 1 0 0 S ( 90° ) C ( 90 ° ) 0 0 0 1 0 0
xyz 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Se realiza el tercer movimiento M 2 ( u ,3 [ u ] ).

Al ser un movimiento traslacional en sentido del eje móvil u, se realiza una post-
multiplicación por la matriz de transformación característica:

[ ]
1 0 0 u
M U= 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Quedando:

[ ][ ] [ ][ ]
1 0 0 0 C ( 90 ° ) −S ( 90 ° ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3
T uvw 3 = 0 1 0 0 S ( 90 ° ) C ( 90 ° ) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
xyz 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Nota: Nótese que en una pre-multiplicación la matriz se la ubica antes de toda la expresión
previa, mientras que en una post-multiplicación se la ubica al final de la misma.

Se realiza el cuarto movimiento R2 (u ,−90 °).

Al ser un movimiento rotacional alrededor del eje móvil u, se realiza una pre-multiplicación
por la matriz de transformación característica:

[ ]
1 0 0 0
0 cos ( α ) −sin ( α ) 0
RU =
0 sin ( α ) cos ( α ) 0
0 0 0 1

Quedando:

[ ][ ][ ] [ ][ ]
1 0 0 0 C ( 90 ) −S ( 90 ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0
T uvw 4= 0 1 0 0 S ( 90 ) C ( 90 ) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 C (−90 ° ) −S (−90 ° ) 0
xyz 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 S (−90 ° ) C (−90° ) 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Al multiplicar todas las matrices se obtiene la matriz de transformación final:

[ ]
0 0 −1 0
T uvw f = 1 0 0 3
xyz 0 −1 0 5
0 0 0 1

De esta matriz se puede interpretar que la rotación final es:

[ ]
0 0 −1
Rf= 1 0 0
0 −1 0

Y que su posición final es:

M f (0 ,3 , 5)
Comprobación en Matlab:
>> a=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 5; 0 0 0 1]

a =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 5
0 0 0 1

>> b=[cos(pi/2) -sin(pi/2) 0 0; sin(pi/2) cos(-pi/2) 0 0; 0 0 1 0; 0 0

0 1]

b =
0.0000 -1.0000 0 0
1.0000 0.0000 0 0
0 0 1.0000 0
0 0 0 1.0000

>> c=[1 0 0 3; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]

c =
1 0 0 3
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

>> d=[1 0 0 0; 0 cos(-pi/2) -sin(-pi/2) 0; 0 sin(-pi/2) cos(-pi/2) 0;

0 0 0 1]

d =
1.0000 0 0 0
0 0.0000 1.0000 0
0 -1.0000 0.0000 0
0 0 0 1.0000

>> t=a*b*c*d

t =
0.0000 -0.0000 -1.0000 0.0000
 1.0000 0.0000 0.0000 3.0000
0 -1.0000 0.0000 5.0000
0 0 0 1.0000

Nota: En el caso de que la posición inicial no sea el origen ni que la rotación inicial coincida con
los ejes fijos xyz se debe utilizar como punto de partida la matriz de transformación con su
respectiva rotación y posición especificada en el ejercicio y realizar el mismo procedimiento
indicado en el ejercicio 4.