UMSA-FACULTAD DE TECNOLOGIA CALCULO II GUIA DE EJERCICIOS NRO.

3
INTEGRALES
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Encontrar el valor numérico de las siguientes integrales

31 1

  xx   
2
1. 2
y 2 dxdy R. 31  9 3
00
15
ln 3 ln 2
x y
2.  e dydx R.2
0 0
11
x
3.    xy  12 dydy R. 1-ln2
00
 / 2 sen
4.   r cos  drd R.1/6
0 0
2 x x 2

5.   xdydx R.9/4
1 2 x  2
2

a a2  x2
xy a3
6.   dydx R.
6
0 0 x2  y 2
 1cos x
7.   y 2 senxdydx R. 4/3
0 0
22
x y
8.    y  x  dydx R.3/2 ln3+4ln2
11
2
2 3e x
e4 e3 1
9.   xdydx R.  
4 3 12
0 4 x 2

 / 2 senx 
1  y2 1 
  dA
  R.   8 / 8
2
10.
 1  y 2 
0 0 

Calcular las siguientes integrales para las regiones dadas

11.  2 xdA R : 4 y  x 2 , x  2 y  4 x  0 R.18

R

12.  xsen  xy  dA R  x, y   2

/ 0  x  1, 0  y   / 2
R

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    x, y   
4 2
13. 1 x xdA R 2
/ 0  x  1 / 2 , 0  y  x R.  / 12
R

14.
senx
 4  sen2 y dA R  x, y   2
/ 0  x   / 2, 0  y  x R.1/4 Ln3 
R

15.  xdA
R
R  x, y   2
/ 0  x  4  y 2 , 0  y  2 R. 16/3 
2 y 1
16.  x2 1 dA R : y  4  x2 ; y  0 R.4 Arctg(2) - 80/3
R
17.  x  y dA R : x  0; y  0; x  1; y  1 R.1/3
R
18.   x  y  cos  x  y  dA R : x  0; y  0; x  y  1
R

CAMBIO DE ORDEN DE INTEGRACIÓN

19. Considere la region limitada por las curvas, R :y  0;y  2; y  2   x  2  ; y   x  3
2 2

,plantear la integral  f  x, y  dA en el orden (dxdy) y (dydx).

R
20. Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integración. Considere la region limitada

por las curvas R :y  0;y  2; y  2   x  2 

2
;y 
 x  2
2

 y  4
2
 1 , plantear la integral
4 16
 f  x, y  dA en el orden (dxdy) y (dydx)
R
1 x x

e
y
21. Cambiando el orden de integración calcular dydx R. e/2 -1
0 x
 /2 y
22. Cambiando el orden de integración calcular   cos  2 y  1  k 2 sen2 x dxdy
0 0
1 
  
3/ 2
R. 2
1 k 2  1
3k  
1 1
  sen
23. Cambiando el orden de integración calcular  e
cos  x 4
 x4  dydx R.
1  e 1 

4  e 

03 y

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COORDENADAS POLARES. Pasando a coordenadas polares calcular

a a y
2 2

24.    x2  y2  dxdy R.
8
a2
0 0
2 a 2 ax  x 2

25.   dydx R.
2
a2
0 0

26. Dada la region R en el primer cuadrante entre los circulos x 2  y 2  a 2 ;x 2  y 2  b2 ; 0  a  b

dxdy  b
, calcular  x 2  y 2 R. ln  
2 a
R

27. Dada la region R: 1  x 2  y 2 ;x 2  y 2  9; x  3 y; y  3x ,

 y 2
calcular  Arctg  
x
dxdy R.
6
R

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES

28. Calcular  4 x 2  y 2 dxdy si la region es R: R   u,v  : 1  u  2 : 1  v  1 con el

R
siguiente cambio x  uv : y  u 2  v 2 . R 1432/45

 2x  y  2
29. Calcular  1  4 x  4 y dxdy si la region es R : y  2 x : y  2 x  2 : y  4 x : y  4 x  12 con
R
el siguiente cambio u  2 x  y : v  y  4 x R.4/3 ln13

x2 y
30. Calcular  e dxdy si la region es R: x  2 y  4 : x  2 y  0 : y  0 con el siguiente
R
cambio x  u 2  v 2 : y  uv R. 3  e
2

y 2 cos  xy 
31. Calcular  x
dxdy si la region es R: R : x 2  y : y 2  x : x 2  4 y; y 2  4 x con el
R

siguiente cambio x  u 2 v : y  v 2u

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ÁREAS
Hallar el área ilimitada por:
32. y 2 = 2x, y = x Rpta. A = 2/3
2
33. y = 4ax ; x + y = 3a ; y = 0 A = 10/3a3
34. √x + √y = √a ; x + y = a A = a2 /3
35. y = senx ; y = cosx ; y = 0 A = 2 − √2
2 2
36. r = a cos 2θ A = a²
37. x + y = 2, x + y = 1, y = x, y = 2x A = 1/4

38. Una region esta limitada por la izquierda por y = −x ; y por la derecha por la curva
1
3(x 2 + y2 ) ⁄2 − 3x = x 2 + y2 A = 6 ln 6 − 14 ln 2
( ) ( )
39. xy = 1, xy = 3, x 1 − y = 1, x 1 − y = 3, (sugerencias para realizar el cambio de
variables u = xy, v = x − xy)
40. interior a x 2 + y2 = 6xy exterior a x 2 + y2 = 2x A = 8π
41. Interior a r = 4senθ, y exterior a r = 8 cos 2θ A = 15√3 − 2π − 24
3 3 2 2 2
42. (x + y ) = x + y , y = 0, x = 0, sugerencia: pasar a coordenas polares
A = π⁄6 + √2 ln(1 + √2)
2 2 2
43. y = x , y = 4x , x = 2y , x = 5y²
x² y²
44. por la elipse + b² = 1 A = abπ
a²

VOLÚMENES
Hallar el volumen del cuerpo limitado por:
45. z = 0, x 2 + y2 = 1, x + y + z = 3 V = 3π
46. x 2 + y2 − 2ax = 0, x 2 + y2 = z2 , z = 0
47. y = x 2 , x = y2 , z = 12 + y + x 2 , z = 0 V = 589/140
48. El plano 2x + y = 12 y el cilindro 2z = y²
x z π 1
49. El cilindro x 2 + y2 = a2 y al plano a + a = 1 V = a³( 4 − 3)
50. Los cilindros x 2 + y2 = a2 , x 2 + z2 = a²
3
4
51. x 2 + y2 + z2 = a2 , x 2 + y2 = r 2 , a ≥ r V = 3 π(a3 − (a2 − r)2 )
52. Un elipsoide con semiejes a, b, c
2 2 2
53. z = 0, z = ae−(x +y ), y el cilindro x 2 + y2 = R2 V = aπ(1 − e−R )
54. z = 0, y = 0, x = 1, z = x 2 + y²
55. El cono x 2 + y2 = z2 y el cilindro cuyo centro esta en el punto (0,2)del plano x −
y y tiene un radio igual a 2.

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ÁREAS DE SUPERFICIE
Hallar el área de la superficie:
56. De la parte de la grafica ∶
1
57. z = y + 2 x 2 que se encuentra sobre la region cuadrada del plano xy ,
con vertices (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0)y(0,1,0)
1
A = (√3 + 2 ln(1 + √3) − ln 2)
2
4 3 13
58. Si z = 3 x 2 ; 0⟨x⟨2, −1⟨y⟨0 As = 3
59. De la region del plano z = y + 1 que se encuentra dentro del cilindro:
x2 + y2 = 1
x y z
60. De ∶ a + b + c = 1, que esta dentro del cilindro ;
x 2 + y2 = d2 , si a, b, c, d son constantes
1 1 1
2√ + +
As = πcd a2 b2 c2
61. De la parte del cilindro y2 + z2 = a2 que se encuentran dentro del cilindro
x 2 + y2 = a²
62. De la parte del paraboile z = x 2 + y2 que se obtiene al
3
1
contarlo por el plano z = 1. As = 6 π(52 − 1)
63. Si z = x 2 + √3y + 1, si: 0⟨x⟨1,0⟨y⟨1 As = √2 + log(1 + √2)
64. Del cilindro y + z − 4z = 0cortado por la esfera x 2 + y2 + z2 = 16
2 2

65. De la porcion del primer octante de la semiesfera superior ∶

x 2 + y2 + z2 = a2 ; con
z ≥ 0 interior del cilindro x 2 + y 2 = ay, a ≥ 0
66. De la porcion del paraboloide x 2 + y2 = 4az cortado por el plano z = a

MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y MOMENTOS

Hallar la masa y el centro de masa de una lámina:
256 16
67. Dada por y = 4 − x 2 , y = 0, si: ∂(x, y) = y m= , c. m. = (0, )
16 7
68. Dada por x + y = 1, x = 0, y = 0, si: ∂(x, y) = x²
1 22
69. Dada por las curvas y = x 2 , y = 2 − x 2 , si: ∂(x, y) = y m = 3 , c. m. = (0, 35)
70. Dada por las curvas y = ln x, x = e, x = 0, si: ∂(x, y) = 1
71. Si R es la region ilimitada por 3x + 4x = 24, x = 0, y = 0, si: ∂(x, y) = xy
16 12
m = 96, c. m. = ( , )
5 5

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HALLAR EL MOMENTO DE INERCIA:

72. Una lamina delgada limitada por las curvas:
1
y = 0, x = 2, y = (2x)2 , si: ∂(x, y) = x − y
73. De la region semicircular del radio r y centro en el origen de las coordenadas.
I0 = Ar 2 /2
x y
74. De una figura plana limitada por x = 0, y = 0, a + b = 1 I0 = ab(a2 + b²)/12
75. De un triangulo iluminado por x + y = 3y los ejes coordenadas, si ∶ ∂(x, y) = 1
76. Para una lamina limitada por y = x 2 , y =
4, si la densidad es directamente proporcional a la distancia de un punto al eje y
264
I0 = 2 k

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