UPN, PASIÓN POR

TRANSFORMAR VIDAS

MATEMÁTICA BÁSICA

PROGRAMACIÓN LINEAL
temáticos.

Departamento de
Ciencias
FABRICACIÓN DE PANTALONES Y CHAQUETAS

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante confeccionar pantalones y chaquetas

deportivas. El fabricante dispone como máximo para la confección de tejido de algodón y de
tejido de poliéster 150𝑚2 y 110𝑚2 respectivamente. Cada pantalón necesita de 2𝑚2 de
algodón y 2𝑚2 de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 3𝑚2 de algodón y 1𝑚2 de
poliéster. El precio del pantalón se fija en S/. 50 y el precio de la chaqueta se fija en S/. 40.
¿Qué numero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para
que éstos consigan un beneficio máximo?
SABES…

La programación lineal fue

desarrollada por George B. Dantzig al
final de la década de 1940, y la Fuerza
área de los Estados Unidos fue quien
la utilizó primero, como una ayuda en
la toma de decisiones. Actualmente
tiene una amplia aplicación en los
análisis industrial y económico

https://www.youtube.com/watch?v=70alDact1h4
LOGRO DE LA
SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante

modela y resuelve geométricamente
problemas de programación lineal, en
un contexto real aplicados a la gestión
empresarial.
.
 CONTENIDOS

1.- Introducción a la Programación lineal

2.- Optimización
3.- Método Grafico
4. Problemas Aplicativos
5.- Metacognición
6.- Referencia Bibliográfica
1. PROGRAMACION LINEAL
PROGRAMACION
LINEAL
Una programación lineal es de la forma:
Optimizar: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
Sujeta a las siguientes restricciones:

𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 ≤ 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 ≤ 𝑐2
𝑥≥0
𝑦≥0
𝑵𝑶𝑻𝑨

▪ 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función lineal en 𝑥 𝑒 𝑦; llamada “𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜"

▪ La restricciones son llamadas " 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠“ ( incluyen

“≤ " o " ≥ " o "=" )
▪ 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 "𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑"
2. REGIÓN FACTIBLE Y SOLUCIÓN ÓPTIMA DE UN PROBLEMA DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal que se desea optimizar.
En un problema de programación lineal bidimensional es de la forma: f(x; y) = ax + by.

REGION FACTIBLE
▪ Una región factible, se obtiene al intersectar todas las restricciones
que forman el sistema, es un polígono convexo acotado o no acotado.
▪ Una solución factible, es cada punto de la región
factible.
REGION FACTIBLE ACOTADA Y NO VACIA
▪ Una región factible es acotada; cuando esta contenida dentro de un
círculo. Caso contrario es no acotada.
▪ Una región factible es no vacía; cuando contiene al menos un
punto. Caso contrario es vacía.
SOLUCION OPTIMA PARA UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL
▪ Está dada por el valor optimo (máximo ó mínimo) de la función
objetivo, evaluada en un punto optimo de la región factible.
EJEMPLOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Maximizar: Maximizar:

f = 3𝑥 + 𝑦 f = 4𝑥 − 10𝑦
Sujeto a:
Sujeto a:

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8 𝑥 − 4𝑦 ≥ 4
ቐ2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12 ቐ2𝑥 − 𝑦 ≤ 2
𝑥≥0 ; 𝑦≥0 𝑥≥0 ; 𝑦≥0

Minimizar :

f = 8𝑥 − 3𝑦
Sujeto a:

−𝑥 + 3𝑦 ≥ 21
ቐ 𝑥 + 𝑦 ≤ 5
𝑥≥0 ; 𝑦≥0
3. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE
UNA REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACÍA
I. REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACIA

Maximizar: 𝒁 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 1. Grafica de la región

Sujeto a: factible
𝑥+𝑦≤5 𝑦
ቊ
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

Solución: B (0 ; 5)
5
Hallando los puntos de corte:
𝑥+𝑦 =5
x=0 y=0
𝒙+𝒚 =𝟓
𝑥≥0
x+y=5 x+y=5
(0) + y = 5 x + (0) = 5
𝑹
C (5 ; 0)
y=5 x=5
0 A(0 ; 0) 𝑦≥0 5 𝑥

x y
0 5 B (0 ; 5)
R: Región factible acotada no vacía
5 0 C (5 ; 0)
3. PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL DE
UNA REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACÍA
2. Hallando los vértices de la región 4. Solución Óptima
factible Se obtiene un valor máximo de
▪ 15, en el punto optimo (0, 5).
Vértices:
A = (0, 0) C = (5, 0) NOTA:
B = (0, 5) El problema tiene solución única,
cuando al evaluar la función
objetivo en todos los vértices, los
3. Reemplazando los vértices en la
valores resultantes son todos
función objetivo
diferentes, y dependiendo del
𝑍(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 3𝑦 problema (máximo o mínimo)
escogeremos el mayor valor o el
• 𝑍 0, 0 = 2 0 + 3 0 = 0 (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜)
menor valor de todos.
• 𝑍 5, 0 = 2 5 + 3 0 = 10

• 𝑍 0, 5 = 2 0 + 3 5 = 15 (𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜)
3. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE
UNA REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACÍA
I. REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACÍA.
Maximizar: 𝒁 = 𝟑𝒙 + 𝒚 1. Grafica de la región
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
ቐ2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
factible
Sujeto a: 𝑦
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
8
Solución
Hallando los puntos de corte:
:
𝑎) 2𝑥 + 𝑦 = 8
x=0 y=0
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟖
2x + y = 8 2x + y = 8
4 D(0; 4)
2(0) + y = 8 2x + (0) = 8
y=8 x=4
P (0 ; 8) B (4 ; 0) C (3 ; 2)
𝑥≥0
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
𝑏) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 𝑹
x=0 y=0
2x + 3y = 12 2x + 3y = 12 0 A(0 ; 0) 4 B(4; 0) 6 𝑥
2(0) + 3y = 12 2x + 3(0) = 12 𝑦≥0
y=4 x=6
D (0 ; 4) Q (6 ; 0) R: Región factible acotada no vacía
3. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE UNA
REGIÓN FACTIBLE ACOTADA NO VACÍA
2. Hallando los vértices de la región 3. Reemplazando los vértices en la
factible función objetivo
▪ Hallando el vértice 𝑍(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 𝑦
C: • 𝑍 0, 0 = 3 0 + 0 = 0 (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜)
2𝑥 + 3𝑦 = 12 … (1)
ቊ
2𝑥 + 𝑦 = 8 … (2) × (−1) • 𝑍 4, 0 = 3 4 + 0 = 12 (𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜)

• 𝑍 3, 2 = 3 3 + 2 = 11
2𝑥 + 3𝑦 = 12 +
−2𝑥 − 𝑦 = −8 • 𝑍 0, 4 = 3 0 + 4 = 4
2𝑦 = 4
𝒙=𝟑 𝒚=𝟐 ∴ 𝐶 3 ,2 4. Solución Optima
Se obtiene un valor máximo de
▪ Vértices: 12, en el punto optimo (4, 0).
A (0, 0) B (4, 0)
𝐶 (3, 2) D (0, 4)
4. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE
UNA REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
II. REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
La figura ilustra lo que se conoce como espacio de soluciones no
acotado. Este caso se presenta cuando no es posible elegir un punto
de la región factible como punto óptimo ya que siempre es posible
encontrar otro punto que mejore el valor de la función objetivo obtenido
con el punto anterior.
Ejemplo
:
4. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE UNA
REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
II. REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA.
Minimizar: 𝒁 = 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 1. Grafica de la región
Sujeto a: ቐ 𝑥 + 3𝑦 ≥ 9
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
factible
𝑦
Solución
Hallando
: los puntos de corte:
𝑎) 2𝑥 + 3𝑦 = 12
x=0 y=0 A(0; 4) 𝑹
2x + 3y = 12 2x + 3y = 12 4 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟗
2(0) + 3y = 12 2x + 3(0) = 12
y=4 x=6 3 C(3 ; 2) 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
A (0 ; 4) B (6 ; 0)
B(9; 0)
𝑏) 𝑥 + 3𝑦 = 9
0 6 9 𝑥
x=0 y=0
x + 3y = 9 x + 3y = 9
(0) + 3y = 9 x + 3(0) = 9 R: Región factible no acotada
y=3 x=9
D (0 ; 3) Q (9 ; 0)
4. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE UNA
REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
2. Hallando los vértices de la región 3. Reemplazando los vértices en la
factible función objetivo
▪ Hallando el vértice
𝑍(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 5𝑦
C: 2𝑥 + 3𝑦 = 12 … (1)
ቊ • 𝑍 0, 4 = 2 0 + 5 4 = 20
𝑥 + 3𝑦 = 9 … (2) × (−1)
2𝑥 + 3𝑦 = 12 + • 𝑍 9, 0 = 2 9 + 5 0 = 18
−𝑥 − 3𝑦 = −9
• 𝑍 3, 2 = 2 3 + 5 2 = 16 (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜)
𝒙=𝟑
Reemplazando el valor de x en (2):
4. Solución Óptima
𝑥 + 3𝑦 = 9
3 + 3𝑦 = 9 Se obtiene un valor mínimo de
3𝑦 = 6
16, en el punto optimo (3, 2).
𝒚=𝟐 ∴ C 3 ,2

▪ Vértices:
A (0, 4) B (9, 0) C (3, 2)
5. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL SIN
SOLUCIÓN ÓPTIMA.
III. REGIÓN FACTIBLE VACIA (PROBLEMA SIN SOLUCIÓN FACTIBLE)
El sistema de restricciones en un problema de programación lineal tal
vez no tenga puntos que satisfagan todas las restricciones. En algunos
casos no hay puntos en el conjunto solución y se dice que el problema
de programación lineal no tiene solución factible. La figura ilustra un
problema que no tiene solución factible.
Ejemplo:
5. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL SIN
SOLUCIÓN ÓPTIMA.
III. REGIÓN FACTIBLE VACÍA (PROBLEMA SIN SOLUCIÓN FACTIBLE)

Maximizar: 𝒁 = 𝒙 + 𝟐𝒚 1. Grafica de la región factible

𝑥 + 2𝑦 ≤ 4
ቐ2𝑥 + 3𝑦 ≥ 12 𝑦
Sujeto a:
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

Solución
Hallando los puntos de corte:
: 4
𝑎) 𝑥 + 2𝑦 = 4
x=0 y=0 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟐
x + 2y = 4 x + 2y = 4 2
(0) + 2y = 4 x + 2(0) = 4 𝑹
y=2 x=4
P (0 ; 2) B (4 ; 0)
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒 4 6 𝑥
𝑏) 2𝑥 + 3𝑦 = 12
x=0 y=0 𝑅: Región factible vacía
2x + 3y = 12 2x + 3y = 12
2(0) + 3y = 12 2x + 3(0) = 12 Respuesta: El problema no tiene solución, pues la
y=4 x=6 región factible es vacía.
D (0 ; 4) Q (6 ; 0)
5. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL con
SOLUCIÓN ÓPTIMA.
EJERCICIO:
Maximizar: 𝑓 = 3𝑥 + 2𝑦

Sujeto a: 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
ቐ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

RESPUESTA:

Se obtiene un valor máximo de 13 en el punto óptimo 𝑃 =

(3, 2)
6. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UN
PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. ESCOGER LAS VARIABLES
▪ Determine que cantidades variables del problema deben recibir el
nombre de x e y.

2. ENCONTRAR LA FUNCIÓN OBJETIVO

▪ Escriba una expresión para la función que deseamos maximizar o
minimizar.
3. GRAFICAR LA REGIÓN FACTIBLE
▪ Exprese las restricciones como un sistema de desigualdades, y
grafique la solución de este sistema.

4. ENCONTRAR EL MÁXIMO O MÍNIMO

▪ Evalúe la función objetivo en los vértices de la región factible para
determinar su valor máximo o mínimo.
6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

FABRICACIÓN DE PANTALONES Y CHAQUETAS

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante confeccionar
pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone como máximo
para la confección de tejido de algodón y de tejido de poliéster 150𝑚2 y
110𝑚2 respectivamente. Cada pantalón necesita de 2𝑚2 de algodón y
2𝑚2 de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 3𝑚2 de algodón y 1𝑚2
de poliéster. El precio del pantalón se fija en S/. 50 y el precio de la
chaqueta se fija en S/. 40.
¿Qué numero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a
los almacenes para que éstos consigan un beneficio máximo?
6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Elección de las incógnitas 3. Restricciones

𝑥: Numero de pantalones confeccionados
Pantalones Chaquetas Dispone
𝑦: Numero de chaquetas confeccionadas
(𝑥) (𝑦)
Algodón 2 3 150

2. Función objetivo Poliester 2 1 110

Maximizar 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 150
: 𝑍(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 40𝑦 ቐ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 110
𝑥≥0 ; 𝑦≥0
Donde: 𝑍 es la función
beneficio
6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Maximizar: 𝒁(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝟎𝒙 + 𝟒𝟎𝒚 4. Grafica de la región factible

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 150 𝑦
Sujeto a: ቐ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 110
𝑥≥0 ; 𝑦≥0 110

Hallando los puntos de corte:

𝑎) 2𝑥 + 3𝑦 = 150 2𝑥 + 𝑦 = 110
x=0 y=0 B(0; 50)
2x + 3y = 150 2x + 3y = 150 50
2(0) + 3y = 150 2x + 3(0) = 150
y = 50 x = 75 C (45 ; 20)

B (0 ; 50) P (75 ; 0)
𝑹 2𝑥 + 3𝑦 = 150

𝑏) 2𝑥 + 𝑦 = 110
0 A(0; 0) 55 75 𝑥
x=0 y=0
D(55; 0)
2x + y = 110 2x + y = 110
2(0) + y = 110 2x + (0) = 110
y = 110 𝑅: Region factible acotada no vacia
x = 55
Q (0 ; 110) D (55 ; 0)
6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Hallando los vértices de la región 5. Reemplazando los vértices en la

factible función objetivo
▪ Hallando el vértice 𝑍(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 40𝑦
C:
2𝑥 + 3𝑦 = 150 … (1) • 𝑍 0, 0 = 50 0 + 40 0 = 0
ቊ
2𝑥 + 𝑦 = 110 … (2) × (−1)
• 𝑍 0, 50 = 50 0 + 40 50 = 2 000

2𝑥 + 3𝑦 = 150 + • 𝑍 45, 20 = 50 45 + 40 20
−2𝑥 − 𝑦 = −110 = 3 050 (máximo)
2𝑦 = 40 • 𝑍 55; 0 = 50 55 + 40 0 = 2 750
𝒚 = 𝟐𝟎 𝒙 = 𝟒𝟓

C(45, 20) 6. Solución Optima

▪ Vértices: Se obtiene un beneficio máximo de S/
3 050, cuando se fabrican 45
A (0, 0) B (0, 50) pantalones y 20 chaquetas.
C (45, 20) D (55, 0)
7. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

DIETA DE CONEJOS
En una granja hay un total de 9 000 conejos. La dieta mensual mínima que
debe consumir cada conejo es de 48 unidades de hidratos de carbono y
60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos (A y B) que
aportan estas necesidades de consumo. Cada envase de A contiene 2
unidades de hidratos de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase
de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de
proteínas. Cada envase de A cuesta 3 soles y cada envase de B cuesta
2,5 soles.
Calcula el número de envases de cada tipo que se debe adquirir para que
el costo sea mínimo. Halla el valor de dicho costo mensual mínimo.
6. APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Elección de las incógnitas 3. Restricciones

𝑥: Numero de envases del producto A Producto A Producto Dispon

(𝑥) B e
𝑦: Numero de envases del producto B
(𝑦)
carbono 2 3 48
proteína 4 3 60
2. Función objetivo s

Minimizar: 2𝑥 + 3𝑦 ≥ 48
ቐ 4𝑥 + 3𝑦 ≥ 60
𝑍(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2,5𝑦 𝑥≥0 ; 𝑦≥0

Donde: 𝑍 es la función beneficio

4. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE
UNA REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
II. REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA.
Minimizar: 𝒁 = 𝟑𝒙 + 𝟐, 𝟓𝒚 1. Grafica de la región factible
2𝑥 + 3𝑦 ≥ 48 𝑦 R: Región factible no acotada
Sujeto a: ቐ4𝑥 + 3𝑦 ≥ 60
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
D(0; 20) 𝑹
Solución 20 𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔𝟎
Hallando
: los puntos de corte:

𝑎) 2𝑥 + 3𝑦 = 48 16 C(6 ; 12)
x=0 y=0
2𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟒𝟖
2x + 3y = 48 2x + 3y = 48
2(0) + 3y = 48 2x + 3(0) = 48 0 15 24 B(24; 0) 𝑥
y = 16 x = 24
A (0 ; 16) B (24 ; 0)
2. Hallando los vértices de la región
𝑏) 4𝑥 + 3𝑦 = 60 factible
x=0 y=0 ▪ Hallando el vértice
4x + 3y = 60 4x + 3y = 60 C: ቊ 2𝑥 + 3𝑦 = 48 … (1)
4(0) + 3y = 60 4x + 3(0) = 60 4𝑥 + 3𝑦 = 60 … (2) (−)
y = 20 x = 15
D (0 ; 20) Q (15; 0) 𝒙=𝟔
4. PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL DE UNA
REGIÓN FACTIBLE NO ACOTADA
Reemplazando el valor de x en (2): 4. Solución Optima
4𝑥 + 3𝑦 = 60 Se obtiene un valor mínimo de
4(6) + 3𝑦 = 60 48, en el punto optimo (6, 12).
3𝑦 = 60 − 24
3𝑦 = 36 Es decir, para cada conejo, para
𝒚 = 𝟏𝟐 ∴ C 6 , 12 minimizar el costo, hay que
comprar 6 envases de tipo A y 12
▪ Vértices: de tipo B.
Para 9 000 conejos habrá que comprar:
D (0, 20) B (24, 0) C (6, 12)
6 · 9 000 = 54 000 envases de tipo A y
3. Reemplazando los vértices en la 12 · 9000 = 108 000 envases de tipo B
función objetivo
El costo mensual mínimo será:
𝑍(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 2,5𝑦
Costo = 3 · 54 000 + 2,5 · 108 000
• 𝑍 0, 20 = 3 0 + 2,5 20 = 50
Costo = 162 000 + 270 000
• 𝑍 24, 0 = 3 24 + 2,5 0 = 72
Costo = 432 000 soles
• 𝑍 6, 12 = 3 6 + 2,5 12 = 48 (𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Haeussler Ernest F. Matemática para administración y

economía. Pearson Prentice Hall.

510 HAEU / M 2008.

2. Harshbarger/Reynolds. Matemáticas aplicadas a la

administración, economía y ciencias sociales. Pearson
Educación.

510 HARS / 2006

METACOGNICIÓN
1. ¿Para qué me sirvió conocer la programación lineal?

2. ¿En qué casos cotidianos podría aplicar lo

aprendido?

3. ¿Cuáles fueron las dificultades que encontré en el desarrollo de este

tema?
GRACIAS