Estadística Aplicada a

la Gestión
Carlos Berrocal Gutarra
Manual – Unidad 1
2 Manual
 Índice
Introducción .........................................................................................................................................5
Organización de la Asignatura ........................................................................................................7
Unidades didácticas.......................................................................................................................7
Tiempo mínimo de estudio ............................................................................................................8
UNIDAD 1: MUESTREO Y ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS .............................................................. 9
Diagrama de organización ..........................................................................................................9
Tema N.º 1: Muestreo y diseños experimentales .................................................................... 11
1. Definición básica ............................................................................................................... 12
1.1. Población y muestra.................................................................................................... 12
1.2. Marco muestral............................................................................................................. 13
1.3. Método de muestreo .................................................................................................. 14
2. Diseño experimental ......................................................................................................... 19
2.1. Se caracterizan Diseño observacional ................................................................... 19
2.2. Diseño experimental.................................................................................................... 20
Tema N.º 2: Estimación de la proporción poblacional y cálculo del tamaño de su
muestra ............................................................................................................................................ 23
1. Estimación de la proporción poblacional ................................................................... 23
2. Tamaño de muestra para estimar la proporción ....................................................... 27
Tema N.º 3: Estimación de la media poblacional con desviación estándar conocida
y desconocida, y cálculo del tamaño de su muestra ......................................................... 30

Estimación de la media poblacional con desviación estándar de la población 

conocida ......................................................................................................................................... 30

Estimación de la media poblacional con desviación estándar de la población 

desconocida .................................................................................................................................. 33
2.1. La distribución t-student ................................................................................................... 36
2.2. Tamaño de muestra para estimar la media................................................................ 37
Tema N.º 4: Estimación de la varianza poblacional y desviación estándar y cálculo
del tamaño de su muestra .......................................................................................................... 38
Intervalo de confianza ......................................................................................................... 38
Tamaño de muestra.............................................................................................................. 40
De la teoría a la práctica ............................................................................................................ 41
Actividad Nª 1: Auto evaluación – estimación de parámetros (cuestionario en línea)
........................................................................................................................................................... 43
Glosario de la Unidad 1 ................................................................................................................... 44
Bibliografía de la Unidad 1 .............................................................................................................. 48

3
4 Manual
 Introducción

Estadística aplicada a la gestión es una asignatura teórico-práctica, diseñada

para la modalidad a distancia; tiene como propósito que el estudiante sea

capaz de analizar Información de carácter probabilístico para plantear

pronósticos de naturaleza empresarial.

En el presente manual, se exponen teorías y procedimientos de análisis

estadísticos diversos, explicando detalladamente técnicas estadísticas de

inferencia.

Pretendemos que el manual apoye los procesos de aprendizaje de manera

básica - avanzada tomando como base el libro “Estadística” de Mario Triola (12ª

y 15ª ed.), y en concordancia con los conceptos estadísticos actuales.

Para una mejor comprensión del material se requiere que el estudiante tenga

conocimientos básicos de estadísticos de tendencia central, de variación y

forma, así de las distribuciones de probabilidades Binomial, Potencial, de Poisson

y Normal

El manual está organizado en cuatro Unidades que corresponde a las unidades

didácticas que se desarrollan en la asignatura virtual:

En la Unidad 1, se desarrollan los temas de Muestreo y diseños experimentales,

estimación de parámetros y tamaño de muestra. En la Unidad 2 se tienen en

cuenta los temas de Pruebas de Hipótesis con una y dos muestras. En la Unidad

3 se hace la exposición de; Análisis de la varianza (ANOVA), y pruebas no

paramétricas.

En la Unidad 4 se explican los conceptos y procedimientos de las técnicas de

predicción: Correlación lineal, Regresión lineal, Modelamiento como Series

temporales.

5
En cada unidad se plantean ejercicios desarrollados, como preguntas de auto

evaluación que se pueden realizar en línea en el aula virtual. Se han planteado

lecturas que ayuden a mirar lo desarrollado con relación a una realidad de

gestión.

Organiza tu tiempo para que obtengas buenos resultados, la clave está en

encontrar el equilibrio entre tus actividades personales y las actividades que

asumes como estudiante. El estudio a distancia requiere constancia, por ello es

necesario encontrar la motivación que te impulse a hacer mejor cada día.

El autor.

6 Manual
 Organización de la Asignatura

Resultado de aprendizaje de la asignatura

Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de analizar Información de carácter

probabilístico para plantear pronósticos de naturaleza empresarial.

Unidades didácticas

UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4

Muestreo y diseños Prueba de hipótesis Análisis de Correlación,

experimentales, e inferencias. varianza, regresión y series
estimados y experimentos de tiempo.
tamaños de multinomiales y
muestra. tablas de
contingencia y
estadística no
paramétrica.

Resultado de Resultado de Resultado de Resultado de

aprendizaje aprendizaje aprendizaje aprendizaje

Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la Al finalizar la

unidad, el unidad, el unidad, el unidad el
estudiante será estudiante será estudiante será estudiante será
capaz de aplicar capaz de aplicar capaz de analizar
capaz de realizar
los métodos de pruebas de pruebas de
pruebas de
muestreo y de hipótesis para la hipótesis para el
hipótesis de
estimación de media, proporción, análisis de varianza,
correlación y
parámetros a partir varianza y experimentos
de una muestra desviación multinomiales y regresión y series

aleatoria estándar tablas de de tiempo

proveniente de Poblacional a partir contingencia, y
una población. de una muestra estadística no
aleatoria y dos paramétrica.
muestras aleatorias

7
 Tiempo mínimo de estudio

UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4

24 horas 24 horas 24 horas 24 horas

8 Manual
 UNIDAD 1: MUESTREO Y ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS

Diagrama de organización

Resultado de aprendizaje de la unidad: Al finalizar la unidad, el estudiante será

capaz de aplicar los métodos de muestreo y de estimación de parámetros a

partir de una muestra aleatoria proveniente de una población.

Conocimientos Habilidades Actitudes

Tema n° 1. Muestreo y 1. Distingue los métodos de Valora la importancia
diseños experimentales. muestreo. Observa las del muestreo y de
1. Definiciones básicas diapositivas animadas y la estimación de
1.1. Población y elabora un organizador parámetros e
Muestra gráfico comparativo. interpreta
1.2. Marco muestral 2. Planifica muestreos correctamente los
1.3. Métodos de probabilísticos. Elabora una resultados paran
muestreo ficha técnica de muestreo. una buena toma de
2. Diseño experimental 3. Selecciona una muestra decisiones.
2.1. Preexperimental. válida para realizar
2.2. Cuasiexperimental. estimaciones de
2.3. Experimental (puro). parámetros.
Tema n° 2. Estimación 4. Identifica correctamente los
de la proporción valores críticos para el
poblacional y cálculo cálculo de intervalos de
del tamaño de su confianza.
muestra. 5. Calcula intervalos de
1.1. Estimación de la confianza para la media,
proporción proporción y varianza para
1.2. Tamaño de muestra una y dos muestras.
para la proporción.
Actividad 1
Tema n° 3. Estimación
Participa del foro de discusión
de la media
sobre criterios
poblacional con
de muestreo.

9
 Conocimientos Habilidades Actitudes
desviación estándar Actividad 2
conocida y Evaluación del tema n.º 1 y el
desconocida; y cálculo tema n.º 2.
del tamaño de su
muestra.
2.1. Estimación de la
media con
desviación estándar
poblacional
conocida.
2.2. Estimación de la
media con
desviación estándar
poblacional
conocida.
2.3. Tamaño de muestra
para la media.
Tema n° 4. Estimación
de la varianza
poblacional y
desviación estándar y
cálculo del tamaño de
su muestra.
1. Intervalo de
confianza.
2. Tamaño de muestra.

10 Manual
 Tema N.º 1: Muestreo y diseños experimentales

La estadística que desarrolla cuestiones como el caso de desarrollar una

descripción de las características de un grupo de consumidores, detallando sus

hábitos de consumo mediante gráficas, tablas y medidas como la media, la

desviación estándar, se denomina Descriptiva.

Su alcance es limitado a solo entablar una descripción del grupo del que se

tomaron las mediciones, los datos, pero con normalidad eso es insuficiente. En

muchos casos se requiere información del todo.

En esta sección abordamos la explicación de técnicas estadísticas que

permiten desarrollar estimaciones de las características de la población

utilizando datos y mediciones de una muestra.

Al realizar estimación con una muestra, es comprensible que primero

entablemos una revisión de los métodos de muestreo de tal manera que

garanticemos que los datos cumplan con dos condiciones básicas para ser

válidos: Aleatoriedad y Representatividad.

El autor

11
1. Definición básica

Iniciamos nuestro manual haciendo un recorrido por conceptos básicos

como:

1.1. Población y muestra

En el desarrollo de la estadística no se puede dejar de hablar de estos

dos conceptos, en ellos se centran todas las actividades que realiza.

Si hablamos, por ejemplo, de averiguar por el clima organizacional

de las empresas, de inmediato pensamos en los sujetos que

tendremos que entrevistar para recoger la información, y al tratar de

definir quienes son, de inmediato se llega a preguntarse;

entrevistamos a todos (población) o escogemos un conjunto

pequeño (muestra).

Es entonces claro que no se puede indagar científicamente nada sin

antes tener en claro como es nuestra población y si de ella tomamos

una parte, como es nuestra muestra.

A continuación, les presento una definición:

A. Población:

Es el conjunto de todos los sujetos, las cosas o los eventos sobre

los que se quiere investigar con respecto a una particularidad

dada. A la población le correspondería la colección completa

de datos –casi siempre imposible de elaborar por su tamaño u

otras condiciones– sobre los cuales se harán inferencias.

12 Manual
 Censo “es el conjunto de datos de todos los miembros de la

población” (Triola, 2018, p. 26)

B. Muestra:

“Una muestra es un subconjunto observado de valores

poblacionales que tiene un tamaño muestral que viene dado

por n. Este subconjunto debe ser representativo de su

población, es decir debe presentar las mismas características

exhibidas por la población de la que se obtuvo, ya que nuestro

objetivo es obtener información de esta en base a la

información obtenida de la muestra. ¿Cómo podemos lograrlo?

Uno de los principios importantes que debemos seguir en el

proceso de selección de la muestra es la aleatoriedad”

(Newbol, Carlson, & Thorne, 2008, p. 3).

1.2. Marco muestral

Un marco muestral lo constituye una relación, una descripción de las

condiciones que hacen posible identificar a los elementos de una

población. Puede estar compuso de documentos como listas, planos,

mapas.

El objetivo de un marco muestral es el desarrollo de la elección de los

elementos de una muestra. Sin un marco muestral es imposible aplicar

cualquier método de muestreo.

13
 1.3. Método de muestreo

De hecho, se estila hablar de dos formas: Probabilístico) y No

probabilístico:

A. Métodos Probabilísticos:

Son aquellos métodos en los que la muestra se elige de manera

aleatoria

Aleatorio simple: “es un método que se emplea para

seleccionar una muestra de n objetos de una población en el

que cada miembro de la población se elige estrictamente al

azar, cada miembro de la población se elige con la misma

probabilidad y todas las muestras posibles de un tamaño dado

(n), tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas. Este

método es tan frecuente que generalmente se suprime el

adjetivo simple y la muestra resultante se denomina muestra

aleatoria” (Newbol, Carlson, & Thorne, 2008, p. 3). Se realiza

mediante un sorteo.

Figura 1: Lotto sphere.

Tomado de banco de imágenes DLPNG.

14 Manual
 Sistemático: “Supongamos que la lista de la población se

ordena de una forma que no tiene ninguna relación con el

tema de interés. El muestreo sistemático implica la selección de

todo j-ésimo sujeto de la población, donde j es el cociente entre

el tamaño de la población N y el tamaño que se desea que

tenga la muestra, n; es decir, j = N/n. Se selecciona

aleatoriamente un número del 1 al j para obtener el primer

sujeto que va a incluirse en la muestra sistemática” (Jurado,

2017, p. 10).

Figura 2. Muestreo Sistemático, por Elgin Community Collage.

Por estratos: “Se desarrolla dividiendo la población en grupos o

estratos de acuerdo con una o más variables de los que se saca

una muestra proporcional al tamaño de cada estrato. Se

obtiene por tanto muestras grandes de los estratos grandes y

pequeñas de los más pequeños” (Jurado, 2017, p. 10).

15
 Figura 3: Muestreo Estratificado. Tomado de Universo Fórmulas.com

2018

Por conglomerados: Los conglomerados son grupos que se dan

en una población. Cada conglomerado tiene las mismas

características de la población, por ello se hace un sorteo entre

ellos y se elige uno o más como muestra.

Figura 4: Muestreo por conglomerados por Elgin Community Collage

B. Métodos No probabilísticos:

Los métodos no probabilísticos son aquellos que emplean solo el

criterio del que investiga, por ello acarrean muchas dudas sobre

la representatividad de la muestra obtenida.

C. Ficha Técnica

Es el resumen del diseño del proceso de muestreo, en ella se

explican las condiciones que hacen válida una muestra.

Ejemplo:

16 Manual
 Una ficha técnica es el documento que obligatoriamente se presenta

al presentar los resultados de una encuesta. En este documento se

expone las características del estudio realizado y que respaldan la

coherencia de la información obtenida en la muestra.

Ejemplo

Título del estudio: Encuesta de Opinión en Lima Metropolitana

noviembre 2009

Objetivos del Estudio: Evaluación y opinión sobre la situación

económica

Encuestadora: Pontificia Universidad Católica del Perú

Nº de registro: 0108 REE/JNE.

Universo o población objetivo: Hombres y mujeres mayores de 18

años, habitantes de 31 distritos de Lima Metropolitana.

Marco muestral: La selección de manzanas se hizo utilizando como

marco muestral la cartografía digital del INEI del 2004 para

los 31 distritos de Lima Metropolitana. Los distritos que no

forman parte del marco muestral son: Chaclacayo,

Lurigancho, Cieneguilla y los distritos balnearios del Sur y

del Norte de la Ciudad.

Representatividad: En los distritos que forman parte del universo y que

están incluidos en el marco muestral se encuentra el

95.88% de la población electoral total de la provincia de

Lima.

17
 Tamaño de la muestra: 508 personas entrevistadas en Lima

Metropolitana.

Error y nivel de confianza estimados: ±4.32% con un nivel de confianza

del 95%, asumiendo 50%-50% de heterogeneidad, bajo

el supuesto de muestreo aleatorio simple.

Distritos que resultaron seleccionados en la muestra: La selección

aleatoria de manzanas del marco muestral determinó

que la encuesta se aplicara en 28 distritos de Lima

Metropolitana (Cercado de Lima, Ate, Barranco, Breña,

Carabayllo, Chorrillos, Comas, El Agustino, Jesús María,

La Molina, La Victoria, Lince, Los Olivos, Magdalena del

Mar, Pueblo Libre, Miraflores, Puente Piedra, Rímac, San

Borja, San Juan de Lurigancho, San Juan de Miraflores,

San Martín de Porres, San Miguel, Santa Anita, Santiago

de Surco, Surquillo, Villa El Salvador y Villa María del

Triunfo).

Procedimiento de muestreo: Se realizó una muestra probabilística

polietápica. Dentro de Lima se estratificó la muestra de

acuerdo con grandes zonas de la ciudad, cono norte,

cono este, cono sur, centro, cono oeste-suroeste, y en

cada estrato se seleccionó una muestra simple al azar

de manzanas. Posteriormente se realizó un muestreo

sistemático de viviendas en cada manzana

seleccionada y se aplicaron cuotas de sexo y edad

para la selección de personas al interior de las viviendas.

18 Manual
 Ponderación: En Lima Metropolitana los datos se ponderaron en

función del peso de los estratos en la población total.

Técnica de recolección de datos: Mediante entrevistas directas en

las viviendas seleccionadas.

Supervisión de campo: Se supervisó el 30% de las entrevistas

realizadas.

Fechas de aplicación: Entre los días 29 de octubre y 01 de noviembre

de 2009.

Financiamiento: Pontificia Universidad Católica del Perú.

Página web: http://www.pucp.edu.pe

Email: iop@pucp.edu.pe

Ficha Técnica obtenida de (Pontificia Universidad Catolica del Perú,

2009)

2. Diseño experimental

Las investigaciones pueden seguir dos tipos de diseños de manera general:

Observacional y Experimental.

2.1. Se caracterizan Diseño observacional

por recolectar datos sin interferir o interferir en los sujetos observados.

Por ello de acuerdo con (Triola, 2018) puede ser:

A. Transversal: En un estudio transversal, los datos se observan, se

miden y se recolectan en un momento dado, no durante un

período determinado.

19
 B. Retrospectivo: En un estudio retrospectivo (o de control de

caso), se recolectan datos correspondientes a un periodo del

pasado (a través del análisis de registros, entrevistas, etcétera).

C. Prospectivo: En un estudio prospectivo (o longitudinal o de

cohorte), los datos se recolectan en el futuro a partir de grupos

que comparten factores comunes (estos grupos se denominan

cohortes).

2.2. Diseño experimental

En este tipo de diseños, se recogen datos después de haber aplicado

algún tipo de intervención con los sujetos investigados, midiendo las

reacciones frente al tratamiento o variable independiente. Se

privilegia una muestra aleatoria (probabilística) para evitar la

confusión en los resultados.

A. Preexperimental.

En este diseño se aplica un estímulo o tratamiento a un grupo

que es la única muestra que se puede alcanzar (la elección no

es aleatoria) y se aplica una medición.

Se puede definir como un estudio de caso de aplicación de un

estímulo y solo se observan los resultados: G x O

En otros casos se puede efectuar dos mediciones; una medición

antes de aplicar el estímulo y otra después de aplicarlo: G O1

x O2

20 Manual
 Su deficiencia radica en que como no se emplea la

aleatoriedad para elegir a los sujetos, no hay validez interna y

no se puede validar la causalidad.

B. Diseño Cuasiexperimental.

Se diseñan de tal manera que existen:

- Por lo menos un grupo de control y otro de

experimentación.

- Se aplican dos mediciones; una antes de aplicación del

estímulo y otra después.

- Los elementos de cada grupo no se eligen aleatoriamente.

GE 01 x O2

GC 01 x O2

Igualmente, su deficiencia radica en que como no se emplea

la aleatoriedad para elegir a los sujetos, no hay validez interna

y no se puede validar la causalidad.

C. Diseño Experimental (puro).

Cumple con las tres condiciones de un experimento:

- Manipulación de una o más variables independientes.

- Se mide el efecto de la variable independiente en la

variable dependiente.

- Se tiene control de la situación experimental (validez

interna) que se puede lograr con la elección aleatoria de

21
 los sujetos, varios grupos de comparación, equivalencia

entre los grupos al inicio del experimento.

RGC O1 x O2

RGE O1 x O2

22 Manual
Tema N.º 2: Estimación de la proporción poblacional y

cálculo del tamaño de su muestra

1. Estimación de la proporción poblacional

Cuando iniciamos el proceso de inferencia estadística, es necesario

atender al desarrollo de las estimaciones.

En el desarrollo de las investigaciones, se requiere siempre determinar

cuáles son las características de la población que responden a las

preguntas o cuestiones que investigamos. Los valores de estas

características son en muchas ocasiones difíciles de obtener y por ello se

utilizan muestras. Con los datos de la muestra calculamos los valores de las

características de nuestro interés y esperamos que estos valores sean

iguales sino muy cercanos a los verdaderos valores en la población.

Trasladar la veracidad de nuestros cálculos empleando una muestra hacia

población es lo que denominamos Inferencias. Estas inferencias nos dan la

oportunidad de determinar cuáles son los valores de las características de

una población con cierta precisión basada en las probabilidades de un

muestreo aleatorio.

Estimación puntual

Como afirma (Triola, 2009, p. 321), Si . . . .”empleamos la proporción

muestral 𝑝̂ , obtenida de una muestra aleatoria y 𝑝̂ es un valor único

podemos asegurar que es el valor que más se acerca al valor

verdadera de la proporción proporcional 𝑝”.

23
 Ejemplo: “Hacemos referencia a una encuesta de Gallup aplicada a

1487 adultos, en ella, 639 de los encuestados dijeron que tienen una

página de Facebook. Con base en ese resultado, encuentre la mejor

estimación puntual de la proporción de todos los adultos que tienen

una página de Facebook” (Triola, 2018, p. 300).

SOLUCIÓN

“Debido a que la proporción muestral es la mejor estimación puntual

de la proporción poblacional, concluimos que la mejor estimación

puntual de p es 639/1487 = 0.4297. (Si usa los resultados de la muestra

para estimar el porcentaje de todos los adultos que tienen una

página de Facebook, la mejor estimación puntual es 42.97%)” (Triola,

2018, p. 300).

Estimación por intervalo:

Según (Triola, 2018, p. 300) “un intervalo de confianza (o estimación

de intervalo) es un rango (o un intervalo) de valores utilizados para

estimar el valor real de un parámetro poblacional. En ocasiones, un

intervalo de confianza se abrevia como IC.

El nivel de confianza es la probabilidad 1 –  (por ejemplo 0.95, o 95%)

de que el intervalo de confianza realmente contenga el parámetro

poblacional asumiendo que el proceso de estimación se repite un

gran número de veces. (El nivel de confianza también se denomina

grado de confianza o coeficiente de confianza)”.

24 Manual
 Figura 5: Nivel de confianza. Tomado de Estadística, por
Mario Triola, 2012.

Requisitos:

a. La muestra es aleatoria simple.

b. Se cumplen las condiciones de la binomial: n, número fijo de

ensayos independientes, 2 posibles resultados (éxito fracaso) y

las probabilidades constantes de ambos.

c. Existen por lo menos 5 éxitos y/o 5 fracasos para que la

distribución normal sea una buena aproximación a la

distribución normal.

Fórmula:

𝑝̂∗(1−𝑝̂)
𝑝 = 𝑝̂ ± 𝑍𝛼/2 √
𝑛

Ejemplo: “En el problema del capítulo observamos que una encuesta de

Gallup aplicada a 1487 adultos demostró que 639 de los encuestados tiene

páginas de Facebook. Los resultados de la muestra son n = 1487 y x = 639”

(Triola, 2018, p. 300).

25
 a Determine la estimación del intervalo de confianza del 95% para la

proporción poblacional p.

b. “Con base en los resultados, ¿podemos concluir con seguridad que

menos de 50% de los adultos tienen páginas en Facebook? Asumiendo

que usted es un periodista, escriba un breve artículo que describa con

precisión los resultados e incluya toda la información relevante” (Triola,

2018, p. 304).

Verificando:

Se cumple que la muestra es aleatoria ya que los procedimientos de

Gallup así lo hacen. Hay dos posibles resultados: tienen o no tienen una

página de Facebook. Número de ensayos fijo, probabilidad constante y

hay más de 5 éxitos y fracasos.

Calculando:

Datos Procedimiento

n = 1487 𝑝̂∗(1−𝑝̂)
a. 𝑝 = 𝑝̂ ± 𝑍𝛼/2 √
𝑛

x = 639
0.4297∗(1−0.4297)
𝑝 = 0.43 ± 1,96 ∗ √
𝑝̂ = 0,4297 1487

NC = 95% 0,4048 < p < 0,4552

 = 0,05 40,48% < p < 45,52%

/2 = 0,025 b. Con base en el intervalo de confianza obtenido en el

inciso (b), parece que menos del 50% de los adultos
Z/2 = 1,96
tienen una página de Facebook porque el intervalo de
Tabla A-2 valores de 0,4048 a 0,4552 es un intervalo que está
completamente por debajo de 0,50.

26 Manual
2. Tamaño de muestra para estimar la proporción

Si deseamos realizar una estimación sobre la proporción de la población,

entonces se pueden usar las siguientes fórmulas para calcular el tamaño

(n) de la muestra:

Tamaño muestral para la estimación de la proporción p

2
𝑝𝑞𝑍𝛼/2
Cuando se conoce 𝑝̂ : n=
𝐸2

2
(0,25)𝑍𝛼/2
Cuando no se conoce 𝑝̂ : n=
𝐸2

Ejemplo: “Suponga que un sociólogo quiere determinar el porcentaje

actual de hogares en Estados Unidos que utilizan el correo electrónico.

¿Cuántos hogares deben encuestarse para tener una confianza del 95%

de que el porcentaje muestral es erróneo por no más de 4 puntos

porcentuales?

a. Utilice el siguiente resultado de un estudio pionero: en 1997, el 16,9% de

los hogares estadounidenses usaban correo electrónico (según datos de

The World Almanac and Book of Facts)” (Triola, 2018).

b. Suponga que no tenemos información previa que sugiera un posible

valor

de 𝑝̂

SOLUCIÓN

a. “El estudio previo sugiere que 𝑝̂ = 0,169, entonces 𝑞̂ = 0,831 (calculado

de 𝑞̂ = 1 – 0,169). Con un nivel de confianza del 95%, tenemos  = 0,05,

entonces 𝑍𝛼/2 = 1,96. Además, el margen de error es E = 0,04 (el

27
 equivalente decimal de “cuatro puntos porcentuales”). Puesto que

tenemos un valor estimado de 𝑞̂, usamos la fórmula como sigue”

(Triola, 2018):

2
𝑝𝑞𝑍𝛼/2
n=
𝐸2

0,169(0,831)(1,962 )
n=
0.042

n = 337,194 = 338 (redondeado)

Debemos encuestar al menos 338 hogares seleccionados al azar.

b. Como en el inciso a), nuevamente utilizamos 𝑍𝛼/2 = 1,96 y E = 0,04,

pero sin conocimiento previo de 𝑝̂ , usamos la fórmula como sigue.

(0,25)𝑍𝛼2
n= 2
𝐸2

(0,25)(1,962 )
n=
0,042

n = 600,25 = 601 (redondeado)

INTERPRETACIÓN “Para tener una confianza del 95% de que nuestro

porcentaje muestral está dentro de cuatro puntos porcentuales del

porcentaje verdadero para todos los hogares, debemos seleccionar al

azar y encuestar 601 hogares. Comparando este resultado con el tamaño

muestral de 338 calculado en el inciso a), podemos ver que, si no tenemos

conocimiento de un estudio previo, se requiere una muestra más grande

para obtener los mismos resultados que cuando se puede estimar el valor

de. Pero ahora recurramos al sentido común: sabemos que el uso del

correo electrónico está creciendo tan rápidamente que el estimado de

1997 es muy antiguo para ser de utilidad. En la actualidad, mucho más del

28 Manual
 16.9% de los hogares estadounidenses utilizan correo electrónico. Siendo

realistas, necesitamos una muestra mayor que 338 hogares. Suponiendo

que en realidad no conocemos la tasa actual de uso de correo

electrónico, deberíamos seleccionar al azar 601 hogares. Con 601 hogares,

tendremos una confianza del 95% de que estamos dentro de cuatro puntos

porcentuales del porcentaje verdadero de hogares que usan correo

electrónico” (Triola, 2018).

29
 Tema N.º 3: Estimación de la media poblacional con

desviación estándar conocida y desconocida, y

cálculo del tamaño de su muestra

En este acápite desarrollamos los procedimientos cuando se quiere estimar la

media (promedio) de una variable cuantitativa en una población. Antes se

deben revisar las siguientes condiciones:

a. La muestra es aleatoria simple

b. La muestra es n > 30 (ver teorema del límite central) ó

c. La muestra es n < 30 en este caso se debe tener una población normalidad

Se debe precisar que se pueden presentar dos condiciones: Se conoce la

desviación estándar de la población  o no se conoce.

Estimación de la media poblacional con desviación

estándar de la población  conocida

A. Estimación puntual

Cuando hacemos una estimación, nos referimos al hecho de calcular

un valor o valores que nos permitan acercarnos al valor verdadera

del parámetro, es decir tratamos de determinar un valor lo más

cercano, por ejemplo, a la media poblacional.

Lo primero que se puede usar en este cálculo es la media muestral

𝑥̅ . Si la muestra de la que calculamos esta media muestral es

“aleatoria”, entonces tendremos altas probabilidades para asegurar

que esta media es muy cercana al valor de la media poblacional .

30 Manual
 Por ello afirmamos que la media muestral tiene un valor tal que la

hace el mejor estimador de la media poblacional. Podemos decir

esto en base a las siguientes razones:

1. “Para todas las poblaciones, la media muestral 𝑥̅ es un estimador

sin sesgo de la media poblacional , lo que significa que la

distribución de medias muestrales tiende a concentrarse alrededor

del valor de la media poblacional m. Es decir, las medias muestrales

no tienden sistemáticamente a sobreestimar el valor de , ni tienden

sistemáticamente a subestimar el valor de , sino que tienden a

coincidir con este valor ” (Triola, 2018, p. 339).

2. Para muchas poblaciones “la distribución de las medi as muestrales

𝑥̅ tiende a ser más consistente (con menos variación) que la

distribución de otros estadísticos muestrales” (Triola, 2018, p. 338 ).

EJEMPLO “Pulso cardiaco de mujeres El pulso cardiaco de las

personas es sumamente importante. Si suponemos un conjunto de

datos que incluye pulsos cardiacos (en latidos por minuto) de mujeres

seleccionadas al azar; los estadísticos son los siguientes: n = 40, 𝑥̅ =

76.3 y s = 12,5” (Triola, 2018, p. 146).

Utilice esta muestra para calcular el mejor estimado puntual de la

media poblacional  de los pulsos cardiacos de todas las mujeres.

SOLUCIÓN “Para los datos muestrales, 𝑥̅ = 76,3. Como la media

muestral 𝑥̅ es el mejor estimado puntual de la media poblacional ,

concluimos que el mejor estimado puntual de los pulsos cardiacos de

todas las mujeres es 76,3” (Triola, 2018, p.338).

31
 B. Estimación por Intervalo

“Un intervalo de confianza nos ofrece información que nos permite

comprender mejor la exactitud del estimado. El intervalo de

confianza se asocia con un nivel de confianza, como 0,95 (o 95%). El

nivel de confianza nos da la tasa de éxitos del procedimiento que se

utiliza para construir el intervalo de confianza. Como se describió en

la sección anterior,  es el complemento del nivel de confianza. Para

un nivel de confianza de 0.95 (o 95%),  = 0,05. Para un nivel de

confianza de 0,99 (o 99%),  = 0,01” (Triola, 2018, p. 339).

Un intervalo para la media poblacional con  conocida se calcula

con:

𝜎
𝜇 = 𝑥̅ ± 𝑍𝛼/2 *
√𝑛

Ejemplo:

Para la muestra de pulsos cardiacos de mujeres, tenemos n = 40 y 𝑥̅ =

76,3, y la muestra es aleatoria simple. Suponga que sabemos que  es

12,5. Utilice un nivel de confianza del 95% y calcule el intervalo de

confianza para  (Triola, 2018).

SOLUCIÓN

REQUISITOS Primero debemos verificar que se cumplan los requisitos.

La muestra es aleatoria simple. Se supone que conocemos el valor de

 (12,5). Con n > 30, se satisface el requisito de normalidad dado que

se cumple el teorema del límite central” (Triola, 2018). Por lo tanto, los

requisitos se cumplen y podemos continuar

32 Manual
 Datos Procedimiento

𝜎
n = 40 𝜇 = 𝑥̅ ± 𝑍𝛼/2 *
√𝑛

𝑥̅ = 76.3 12,5
𝜇 = 76,3 ± 1,96 *
√40
 = 12.5
72,43 <  < 80,17
NC = 95%

 = 0.05

/2 = 0.025

Z/2 = 1.96

Estimación de la media poblacional con desviación

estándar de la población  desconocida

Cuando desconocemos el valor de  entonces un intervalo de confianza

puede resolverse usando la distribución t.

La distribución t es una distribución normal modificada que depende de

los grados de libertad:

gl = n – 1

En la tabla se tiene que buscar los valores críticos con el valor de los gl

ubicado en la primera columna a la derecha y el valor de  en la primera

fila.

Un intervalo para la media poblacional con  no conocida se calcula con:

𝑠
𝜇 = 𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2 *
√𝑛

33
 Ejemplo:

Como indica (Triola, 2018), en el diagrama de tallo y hojas que aparece al

margen, se incluyen las edades de solicitantes que no lograron un ascenso

(según datos de “Debating the Use of Statistical Evidence in Allegations of

Age Discrimination”, de Barry y Boland, American Statistician, vol. 58, núm.

2). Existe el tema más importante de si ciertos solicitantes fueron víctimas

de discriminación por edad, pero por ahora nos enfocaremos en el simple

aspecto de utilizar esos valores como una muestra con el propósito de

estimar la media de una población más grande. Suponga que la muestra

es aleatoria simple y utilice los datos muestrales con un nivel de confianza

del 95% para calcular el intervalo de confianza para 

Figura 6. Diagrama tallo – hoja.

Fuente: Elaboración propia

SOLUCIÓN

REQUISITOS Primero debemos verificar que los dos requisitos para esta

sección se satisfacen. Estamos suponiendo que la muestra es aleatoria

simple. Ahora revisamos el requisito de que la población se distribuya

normalmente o n = 30”. Puesto que n = 23, debemos verificar que la

distribución sea aproximadamente normal. La forma de la gráfica de tallo

y hojas sugiere una distribución normal. Además, una gráfica cuantilar

normal confirma que los datos muestrales provienen de una población con

34 Manual
 una distribución aproximadamente normal (no se muestran datos atípicos).

Por consiguiente, los requisitos se satisfacen y procedemos con los métodos

de esta sección (Triola, 2018).

Figura 7. Diagrama de caja y bigotes.

Fuente: elaboración propia

Datos Procedimiento

𝑠
n = 23 𝜇 = 𝑥̅ ± 𝑡𝛼/2 *
√𝑛
𝑥̅ = 47.0
7,2
s = 7.2 𝜇 = 47,0 ± 2,074 *
√23

NC = 95%
43,9 <  < 50,1
 = 0.05
t/2=2.074
Tabla A - 3

INTERPRETACIÓN Este resultado también podría expresarse en la forma de

(43,9, 50,1). Con base en los resultados muestrales dados, tenemos una

confianza del 95% de que los límites de 43,9 años y 50,1 años realmente

contienen el valor de la media poblacional  (Jurado, 2017).

35
 2.1. La distribución t-student

De acuerdo con (Newbol, Carlson & Thorne, 2008): “ . . .dada una

muestra aleatoria de n observaciones, de media 𝑥̅ y desviación típica

s, extraída de una población que sigue una distribución normal de

media , la variable aleatoria t sigue la distribución t de Student con

(n - 1) grados de libertad y viene dada por:

𝑥̅ −𝜇
t= 𝑠
√𝑛

La distribución t-student es una distribución normal estándar

“modificada” . . . Al igual que ella tiene una media igual a cero. La

distribución “t” es una distribución con diferentes formas de acuerdo

a los grados de libertad de la muestra (gl=n-1):

Figura 8: Distribución t-student a diferentes tamaños

de muestra.

Tomado de Wikimedia org., 2017

La distribución t-student al ser una modificación de la distribución normal

estándar para trabajar con la desviación estándar muestral s, puede

producir resultados semejantes a esta a medida que el tamaño de la

muestra crece, es decir la distribución t-student es más semejante a la

distribución normal estándar a medida que la muestra es más grande.

36 Manual
 Tabla1:

Elección entre z y t

Fuente: Triola, 2009

2.2. Tamaño de muestra para estimar la media

Cuando se quiere estimar la media, entonces debemos determinar el

número de individuos de quienes se obtendrán los datos. Esto se

puede lograr usando:

2
𝜎2 ∗𝑍𝛼/2
n=
𝐸2

37
 Tema N.º 4: Estimación de la varianza poblacional y

desviación estándar y cálculo del tamaño de su

muestra

Intervalo de confianza

Los requisitos para obtener un intervalo de confianza para la varianza o

para la desviación estándar son:

- La muestra es aleatoria.

- La muestra proviene de una población normal.

- La distribución de las varianzas muestrales se ajusta a una distribución

Ji cuadrada (2)

Nuestro intervalo para la varianza poblacional se puede calcular de:

(𝑛−1)∗𝑠 2 (𝑛−1)∗𝑠 2
< 𝜎2 <
2𝐷 2𝐼

Si se trata de la desviación estándar poblacional, se puede usar:

(𝑛−1)∗𝑠 2 (𝑛−1)∗𝑠 2
√ <𝜎<√
2𝐷 2𝐼

Donde:

n: Tamaño de la muestra.

s: Es la desviación estándar de la muestra.

2𝐷 = El valor crítico en la distribución Ji cuadrado ubicado al lado derecho

(Triola, 2009).

38 Manual
 2𝐼 = El valor crítico en la distribución Ji cuadrado ubicado al lado izquierdo

(Triola, 2009).

Ejemplo:

En el desarrollo del control de calidad de lentes de contacto se verifican

las medidas de grosor de cierta línea. La desviación estándar es un

indicador de calidad por lo que se requiere controlarla. Una muestra de 51

lentes arroja un promedio de 0,034mm con una desviación estándar

muestral de 0,0012mm. Determine un intervalo de confianza al 95% para la

desviación estándar poblacional.

Datos Procedimiento

n = 51 Con la fórmula:

s = 0,0012mm (𝑛−1)∗𝑠 2 (𝑛−1)∗𝑠 2

√ <𝜎<√
2𝐷 2𝐼
NC = 95%
Reemplazando:
/2 = 0,025
(51−1)∗0,00122
√ <𝜎<
En la tabla A-4 del Apéndice B: 71,420

(51−1)∗0,00122
2 derecho: √
32,357

gl = 51 – 1 = 50 1.004𝑥10−3 < 𝜎 < 1.492𝑥10−3

/2 = 0,025

39
 Datos Procedimiento

2 Izquierdo:

gl = 51 – 1 = 50

1 – /2 = 0,975

Tamaño de muestra

El tamaño muestral se puede calcular de despejar la fórmula de la

distribución Ji cuadrada para las varianzas:

(𝑛−1)𝑠 2
2 = 𝜎2

Se puede despejar:

2 ∗𝜎2
𝑛= +1
𝑠2

El coeficiente s2/2 = error de muestral E de la varianza.

2
𝑛= 𝑠2
+1
𝜎2

2
𝑛= +1
𝐸

40 Manual
De la teoría a la práctica

Lectura 1:

Los ingresos per cápita de América Latina llevan 60 años estancados – El País

(Manetto, 2018):

“América Latina necesita incrementar con urgencia sus índices de

productividad. La brecha que la separa, en su conjunto, de las economías más

avanzadas es aún profunda y la fotografía del pasado reciente demuestra que

la situación, en lo sustancial, no ha mejorado en los últimos 60 años. Así lo indica

CAF-Banco de Desarrollo de América Latina, que este jueves ha presentado en

Bogotá un informe que arroja un diagnóstico sobre el panorama

socioeconómico lleno de desafíos e insta a los Gobiernos de la región a poner

en marcha una agenda de reformas estructurales” (Manetto, 2018).

"El habitante latinoamericano promedio tiene una cuarta parte del ingreso de

un estadounidense típico. Incluso dentro del grupo de países más avanzados de

la región, el nivel de ingreso per cápita actualmente fluctúa aproximadamente

entre 20% y 40% del de Estados Unidos", señala el informe. "En el año 1960 el

habitante latinoamericano promedio tenía un 20% del ingreso de un

estadounidense típico. Hoy, la situación sigue siendo prácticamente la misma.

Otros países, por el contrario, han mostrado importantes avances en el mismo

periodo: Corea del Sur, por ejemplo, pasó de un ingreso per cápita del 7% del

de Estados Unidos a uno del 67% en ese período".

“A eso se añade que "la productividad laboral", según esta institución, "es de

alrededor del 30% con relación a la de Estados Unidos, en contraste con la del

Reino Unido, del 75%, Australia, del 82%, o Alemania, del 90%". Con estas

premisas, explica a EL PAÍS Pablo Sanguinetti, vicepresidente de Conocimiento

de CAF, América Latina afronta retos enormes relacionados con el crecimiento

41
y la productividad de las economías, cuyas disfunciones están a la base de esta

brecha. "La productividad es baja en todo, el problema es transversal, de la

infraestructura al sector financiero, y hay que trabajar para mejorarla en cada

sector", apunta. Al mismo tiempo, se debe hacer frente a la alta informalidad”

(Manetto, 2018).

“¿Qué pueden hacer las autoridades? En opinión de Sanguinetti, se trata de

lograr "mayor competencia, mejor acceso a insumos, un mejoramiento de las

relaciones laborales y finalmente el acceso a financiamiento". Eso no significa

que hasta ahora los Gobiernos no hayan hecho esfuerzos. El Banco de Desarrollo

reconoce "que muchos países de la región han llevado a cabo planes para

impulsar la productividad". No obstante, en líneas generales el insuficiente ritmo

de crecimiento tiene que ver con "bajos niveles de innovación, barreras a la

financiación de empresas e individuos, brechas en la adopción de nuevas

tecnologías, marcos regulatorios que no suelen propiciar la entrada y salida de

empresas o los centros logísticos poco desarrollados para comercializar

exitosamente productos y servicios" (Manetto, 2018).

“El estudio de CAF apuesta por aplicar una agenda de reformas institucionales

que se han abordado durante dos días en un encuentro de alrededor de 500

líderes latinoamericanos. Ayer recibieron la bienvenida del presidente de

Colombia, Iván Duque, quien prometió acabar con la informalidad para que los

ingresos medios superen los 20.000 dólares per cápita en tres décadas, y

debatieron las fórmulas para superar los obstáculos de la productividad urbana

y mejorar la calidad del empleo (Manetto, 2018).

Esas reformas deben, según el Banco, no solo promover la competencia, sino

"fomentar la cooperación entre empresas mediante el desarrollo de

conglomerados productivos; impulsar ecosistemas innovadores y la adopción

42 Manual
tecnológica; mejorar el acceso al financiamiento de empresas y reducir las

barreras de oferta y demanda para el acceso a recursos financieros formales

por parte de empresas e individuos; o limitar los marcos regulatorios y políticas

hostiles que dificultan la entrada y salida de empresas y afectan la eficiencia en

la asignación de recursos productivos" (Manetto, 2018).

“Luis Carranza Ugarte, presidente ejecutivo de CAF, resumió esos desafíos con

una pregunta y un toque de ironía: "¿Cuánto es dos más dos?". La respuesta no

es tan obvia, en realidad, sobre todo en economía. "Normalmente, el

economista se demora un tiempo y dice… ¿Cuánto quieres que sea? En

economía dos más dos no siempre es cuatro. Dos más dos son ocho, esa es la

historia de los países europeos. En Latinoamérica dos más dos en promedio han

sido cuatro, y eso no es suficiente para llegar a la prosperidad", afirmó. La pelota

está ahora en el tejado de los sectores productivos y de los Gobiernos de la

región” (Manetto, 2018).

Actividad Nª 1: Auto evaluación – estimación de parámetros

(cuestionario en línea)

- Ingrese al Aula Virtual >> Unidad 1 >> Semana 2 >> Autoevaluación:

- Lea con mucha atención las indicaciones.

- Desarrolle el cuestionario.

43
 Glosario de la Unidad 1

Aleatorio

“Que depende del azar o no sigue una pauta definida': «La grabación de las

conversaciones se realizó de forma aleatoria»” (Real Academia Española, 2019)

Curva de densidad

Gráfico que representa el área que se produce debajo de una curva generada

por una distribución de probabilidad (Triola, 2009).

Datos

Información observada, obtenida de una característica o variable en una

unidad de observación (Triola, 2009).

Datos continuos

Resultan de un infinito de posibles valores que corresponden a alguna escala

continua que cubre un rango de valores sin huecos, interrupciones o saltos

(Triola, 2009).

Datos cualitativos

Información en una unidad de observación debido a una variable de tipo

cualitativa (Jurado, 2017).

Datos cuantitativos

Información en una unidad de observación debido a una variable de tipo

cuantitativa (Jurado, 2017).

44 Manual
Datos de atributo

Información en una unidad de observación debido a una variable de tipo

cualitativa (Jurado, 2017).

Datos discretos

Información en una unidad de observación debido a una variable de tipo

discreta, que toma infinitos valores que pertenecen al conjunto de números

enteros (Triola, 2009).

Datos numéricos

Datos que consisten en números que representan conteos o mediciones

(Jurado, 2017).

Desviación estándar

Medida de variación igual a la raíz cuadrada de la varianza (Jurado, 2017).

Distribución muestral

Distribución de las medias o las proporciones muestrales y que por el teorema

del límite central se determina normal (Jurado, 2017).

Distribución normal

Distribución de probabilidad con forma de campana, descrita

algebraicamente con la fórmula (Jurado, 2017):

(𝑥−𝜇)2
1 𝑏
𝑃(𝑎 < 𝑥 < 𝑏) = ∫ 𝑒 2𝜎2 .dx  x ∈ R
2𝜋 𝑎
𝜎√

Se caracteriza por ser simétrica, con valores iguales para su media y mediana.

Distribución normal estándar

Distribución normal con una media igual a cero y una desviación estándar igual

a 1 (Jurado, 2017).

Distribución t

Distribución normal que suele estar asociada con datos muestrales de una

población con una desviación estándar desconocida (Jurado, 2017).

45
Distribución t de Student

Véase Distribución t.

Estadístico

Medida que se calcula o identifica con los datos de una muestra como, por

ejemplo; La proporción muestral (𝑝̂ ) la media muestral (𝑥̅ ), la desviación

estándar muestral (s), etc, (Jurado, 2017)

Estimación

Calcular o determinar el valor de un parámetro a partir de los datos que se

tienen en una muestra. Jurado, 2017)

Margen de Error

Es el error máximo (E) que se puede cometer al realizar una estimación. Está

supeditado al valor puntual de z o t según el nivel de confianza utilizado en la

estimación. (Jurado, 2017)

Nivel de confianza

“Si se extraen repetidamente muestras aleatorias de la población, el verdadero

valor del parámetro  se encontrará en el 100(1 – a)% de los intervalos

calculados de esta forma” (Newbol, Carlson, & Thorne, 2008, p. 123).

Parámetro

Medida que se calcula o identifica con los datos de una población como, por

ejemplo; La proporción poblacional (p) la media poblacional (µ), la desviación

estándar (σ), etc. (Jurado, 2017)

46 Manual
Valor crítico

Es una puntuación de alguna distribución como la normal estándar, t, Chi

cuadrada, F u otra, que separa el área de las puntuaciones más probables de

aquellos menos probables (Triola, 2018).

47
 Bibliografía de la Unidad 1

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