Trabajo Estadística (Evaluación 03)
Trabajo Estadística (Evaluación 03)
Trabajo Estadística (Evaluación 03)
ABRIL 2011
Ejercicio 01
En una muestra de 100 bateras producidas por cierto mtodo, el promedio del tiempo de vida fue de 150 horas y la desviacin estndar de 25 horas. a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo de vida de las bateras producidas por este mtodo. Solucin: Datos:
Se tiene:
= (1- ) = 95%=0.95
b) Determine un intervalo de confianza de 99% para la media del tiempo de vida de las bateras producidas por dicho mtodo. Solucin: Se tiene:
= (1- ) = 99%=0.99 Como el valor de n es grande, el intervalo de confianza se calcula de la siguiente forma:
c) Un ingeniero afirma que la media del tiempo de vida est entre 147 y 153 horas. Calcular el nivel de confianza con el que se puede hacer esta afirmacin. Solucin: Sabiendo que Entonces
Por consiguiente, por medio de las tablas se tiene que el nivel de confianza es
d) Calcular el tamao de la muestra para que un intervalo de confianza de 95% especifquela media dentro de 2 horas. Solucin Sabiendo que el nivel de confianza es de 95%
Como el error
e) Calcular el tamao de la muestra para que un intervalo de confianza de 99% especifique la media dentro de 2 horas. Solucin
Como el error
Ejercicio 02 Un investigador hizo ocho mediciones del punto de fusin del tungsteno y obtuvo una media muestral de 3410.14 C y una desviacin tpica muestral de 1018 C. Datos a) Determine un intervalo de confianza de 95% para el punto de fusin del tungsteno. Solucin: Se tiene T, siendo:
= (1- ) = 95%=0.95
Luego Usando el Estadstico y considerando que los grados de libertad son , entonces, por medio de las tablas se tiene que Planteando un intervalo para la media
b) Determine un intervalo de confianza de 98% para el punto de fusin del tungsteno. Solucin: Se tiene T, siendo: , es decir, el tamao de la muestra es pequeo, utilizamos el estadstico
Entonces
= (1- ) = 98%=0.98
Usando el Estadstico y considerando que los grados de libertad son , entonces, por tablas se tiene que Planteando un intervalo para la media
c) Otro investigador obtuvo otras ocho mediciones: 3409.76, 3409.80, 3412.66, 3409.79, 3409.77, 3409.80 y 3409.78. Diga si los intervalos de confianza calculados anteriormente siguen siendo validos. Explique su respuesta. Solucin: Teniendo en cuenta lo siguiente:
Conclusin: A partir de los resultados obtenidos producto de las mediciones del segundo investigador, se puede concluir que los intervalos de confianza del primer investigador no siguen siendo validos, porque a pesar que la media muestral presentan resultados parecidos, la desviacin tpica del segundo investigador es considerablemente menor, haciendo el intervalo de confianza ms confiable.
Ejercicio 03 Cajas de clavos contienen 100 clavos cada una. Se extrae, al azar, una muestra de 10 cajas y se pesa cada una de las cajas. El promedio de peso es 1500 g y la desviacin tpica es de 5g. Suponga que el peso de la caja es despreciable, por lo que todo el peso es atribuible a los clavos en la caja. Datos
a) Si es el peso medio de una caja de clavos, determine un intervalo de confianza de 95% para .
As
= (1- ) = 95%=0.95
Usando el Estadstico y considerando que los grados de libertad son , entonces, por tablas se tiene que Planteando un intervalo para la media
b) Si
en trminos de
Solucin: Conociendo que: y clavo es el peso medio de un clavo y Una caja contiene 100 clavos y El peso aproximado de una caja es de 1500 gr, entonces:
c) Determine un intervalo de confianza de 95% para Solucin: Sabiendo que para un parmetro
Adicionalmente, para
el intervalo es:
De manera que,
Finalmente se tiene:
Ejercicio 06 En un estudio de movimientos de tierra ocasionados por movimientos ssmicos, se registraron para cinco de estos la velocidad mxima (en m/s) y la aceleracin mxima (en m/s2). Los resultados estn en la siguiente tabla, Velocidad Aceleracin 1.54 7.64 1.60 8.04 0.95 8.04 1.30 6.37 2.92 5.00
Solucin
El coeficiente de correlacin muestral es una medida de la linealidad y se define como:
Donde:
Velocida d (x)
Aceleraci n (y) 0,01488 4 0,00384 4 0,50694 4 0,13104 4 1,58256 4 0,38688 4 1,04448 4 1,04448 4 0,41990 4 4,07232 4
1,54
7,64
-0,075884
1,6
8,04
-0,063364
0,95
8,04
-0,727664
1,3
6,37
0,234576
2,92
-2,538644
Promedi o
1,662
7,018
Sumatoria
-3,17098
2,23928
6,96808
= -0,8027
b) Utilice un programa estadstico para producir el diagrama de dispersin de estos datos. Solucin: Diagrama de dispersin utilizando el software minitab:
c) Diga si este coeficiente de correlacin resume, en forma adecuada, los datos. Explique. Solucin: El signo del coeficiente de correlacin indica la direccin de la relacin lineal, valores positivos indican una relacin directa y valores negativos una relacin inversa entre las variables involucradas. Cuando el coeficiente de correlacin (r) se encuentra comprendido: -1< r <0 con r -1 la relacin lineal es negativa y fuerte. Para el caso del coeficiente de correlacin (r) calculado en el presente ejercicio se tiene un valor r = -0,8027, por tanto, existe una relacin lineal negativa con tendencia relativamente fuerte, por tanto, como el coeficiente de correlacin calculado (r), es diferente a cero (0) y superior al -0,5, si existe una relacin lineal relativamente fuerte, por tanto, para las unidades usados para los tems a) y b) resume en forma adecuada los datos, porque refleja en su resultado una linealidad existente.
d) Si se convierten las unidades, de metros a centmetros y de segundos a minutos, explique el efecto producido en el coeficiente de correlacin. Explique. Solucin: Convirtiendo las unidades de metros a centmetros y de segundos a minutos. 1m= 100cm; 1min = 60seg;
Velocidad
m/min
9240 2754000
9600 2894400
5700 2894400
7800 2293200
17520 1800000
Aceleracin m/min^2
Donde:
Sustituyendo y calculando se tiene: Velocidad (x) 9240 9600 5700 7800 17520 Promedio 9972 Aceleracin (y) 2754000 2894400 2894400 2293200 1800000 2527200
= -0,8027
El coeficiente de correlacin (r) se mantuvo exactamente igual, porque, tanto la causa como el efecto se vieron afectados por una transformacin que el frmula de coeficiente de correlacin (r), se contrarrestaron, no as para la covarianza respectiva, donde si afecta.
Ejercicio 07 Se midio el peso inercial (en toneladas) y el ahorro de combustible (en milla/galon) para una muestra de sietes camiones diesel. En la tabla siguiente se presentan los resultados. Peso Millaje 8.00 7.69 24.50 4.97 27.00 4.56 14.50 6.49 28.50 4.34 12.75 6.24 21.25 4.45
Solucin: Diagrama de dispersin y clculo de recta por medio del software Minitab Usando el software Minitab se obtiene lo siguiente: Anlisis de regresin: C2 vs. C1 La ecuacin de regresin es C2 = 8,56 - 0,155 C1
Predictor Constante C1
1 5 6
8.8591 0.2138
41.43
0.001
Donde:
= -0,9446
Para el caso del coeficiente de correlacin (r) calculado en el presente ejercicio se tiene un valor r = -0,9446, por tanto, existe una relacin lineal negativa con tendencia relativamente fuerte, por tanto, como el coeficiente de correlacin calculado (r), es diferente a cero (0) y superior al -0,5, si existe una relacin lineal relativamente fuerte, por tanto, para las unidades usados para los tems a) y b) resume en forma adecuada los datos, porque refleja en su resultado una linealidad existente. b) Calcula la recta de minimos cuadrados para pronosticar el millaje a partir del peso. Solucin: La recta de mnimos cuadrados est dada por: Usando el software Minitab se obtuvo para la recta de mnimos cuadrados lo siguiente: Millaje (Peso) = 8,56 - 0,155 Peso
c) Si dos camiones son diferentes por peso en cinco toneladas, haga una prediccin para la diferencia de millajes. Solucin: Si dos camiones son diferentes por peso en cinco toneladas, la prediccin para la diferencia de millaje es: Se establece que Peso2 > Peso1 y Peso2- Peso1 = 5
Por tanto, la diferencia de millaje es: Millaje2 Millaje1 = (8,56 - 0,155Peso1) (8,56 -0,155Peso2) Millaje2 - Millaje1 = 0,155*(Peso2-Peso1) Pero Peso2-Peso1 = 5, de donde Peso2 = 5 + Peso1 Por tanto: Millaje2 Millaje1 = 0,155 *(5 + Peso1- Peso1) millas/galn. Millaje2 Millaje1 = 0,775
d) Pronostique el millaje para camiones con un peso de 15 toneladas. Solucin: Recordando que la recta de mnimo cuadrados es: Millaje (Peso) = 8,56 - 0,155 Peso Sustituyendo Peso = 15Toneladas se tiene: Pronstico de millaje para 15 toneladas: Millaje (15) = 8,46-0,155*(15) = 6,135 Millas/galn. Se tiene que la recta de regresin viene dada por la siguiente ecuacin: STC = SCR + SCE Donde: STC = SCR = SCE = * *
Los estimadores de los mnimos cuadrados vienen dados por las siguientes ecuaciones: = Donde:
Al ser la variable independiente x el peso en toneladas, con su respectiva variable dependiente y que representa el Millaje en millas/galn, se tiene que la unidad para es Tonelada*(milla/galn) y para = , por tanto, la unidad para =
y para
e) En que unidades se expresa la pendiente estimada Solucin: Determinada en la parte anterior se tiene que las unidades para f) En que unidades se expresa la interseccin estimada Solucin: Determinada en la parte anterior se tiene que las unidades para
son
0
son