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El surgimiento de una ciencia de la didáctica de

matemáticas
Guy Brousseau

Para citar esta versión:

Guy Brousseau. El surgimiento de una ciencia de la didáctica matemática. Repères IREM, 2004, 55, págs.
19-34. ??? hal-00550927 ???

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 El surgimiento de una ciencia de la didáctica de las matemáticas

Guy Brousseau

2004

Referencia bibliográfica de este texto

Brousseau, G. (2004). El surgimiento de una ciencia de la didáctica matemática.Punto de referencia IREM,

55, 19-34

Para conocer más acerca de Presentaciones de Didáctica de las Matemáticas a

diversas audiencias

El tema de este artículo se ha abordado varias veces durante la investigación del autor. Estos
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Origen
Intervención en el Comité Científico de ADIREM a solicitud de Jean Dhombres,
presidente.
Categoría
Texto publicado,

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Condicionado por el autor

Título del texto
El surgimiento de una ciencia de la didáctica de las matemáticas
Subtítulos
Razones y problemas

Lengua
francés
Fecha de producción, redacción
2004
Naturaleza del texto
Resumen historico
Resumen
Este artículo presenta sucintamente la memoria de su autor sobre las circunstancias y los hechos que
presidieron el surgimiento de la didáctica como "ciencia". En él se resume su visión de los hechos que se
desarrollaron a partir de 1960 y en los que participó activamente. Recuerda las preguntas formuladas y los
desafíos de la empresa conjunta de matemáticos y profesores en las reformas de la época. Se recuerda el
papel inicial del IREM, luego las dificultades y los desafíos de la estimulante aparición de la didáctica como
"Ciencia de las condiciones para la difusión de conocimientos matemáticos útiles para los hombres y sus
instituciones". Esta ciencia, que se opone a la didáctica clásica que asume la independencia de los métodos
y contenidos de enseñanza, Se ha encargado principalmente hasta el día de hoy del estudio "del proyecto
social para hacer apropiado por los" alumnos ", un conocimiento constituido o en proceso de constitución".
Los métodos son numerosos y van desde la observación, clínica o estocástica, hasta la ingeniería didáctica.

Equipo de investigación
DAEST, Universidad Victor Segale, Burdeos 2
Nombre de la revista o libro
Puntos de referencia de IREM

Número
55
Editores
Topiques Editions 3 place Jeanne d'Arc, 57000 Metz
Fecha de publicación
Abril de 2004

Página
19-34
Palabras clave
Didáctica de las matemáticas, epistemología, historia de la educación matemática,
IREM, APMEP, teorías de la didáctica de las matemáticas, reforma matemática
moderna
 1

LA EMERGENCIA DE UNA CIENCIA DE LA DIDÁCTICA DE

MATEMÁTICAS: RAZONES Y PROBLEMAS 1

CHICO BROUSSEAU

1. Introducción

El difusión del conocimiento entre humanos es una práctica tan primitiva y fundamental que su
estudio es muy antiguo y de interés para prácticamente todas las disciplinas.
Tradicionalmente, las dos preguntas fundamentales: qué saber y cómo enseñarlo,
debían separarse.
Comenius expuesto en "la gran didáctica" (Capítulo XIX, problema IV)
“Cómo un solo método es suficiente para todas las asignaturas… Hay un solo método
para enseñar todas las ciencias: es el método natural, válido tanto en las artes como en
los idiomas. Las variaciones que pueden existir son tan insignificantes que no pueden
requerir un método especializado ”.

Esta opinión ofrece la ventaja de separar claramente los campos del conocimiento y la educación
y así simplificar el trabajo y la formación de los docentes. En particular, hace la vista gorda ante
las transformaciones del conocimiento destinadas a hacerlo accesible a los alumnos y alimenta
así la generosa pero falsa idea de que los alumnos "naturalmente" pueden tener acceso directo a
los mismos conocimientos que los científicos. Probablemente fue esencial romper con la
escolástica y permitir el tremendo desarrollo de la escolarización que siguió.
A mediados del siglo pasado, ninguno de los muchos "enfoques" de la enseñanza había
alterado esta división entre conocimiento y enseñanza. Sin embargo, cada vez resultaba
más difícil aceptar este puesto sin calificarlo drásticamente, en la medida en que supimos
distinguir mejor los distintos aprendizajes y, en particular, los que requieren y desarrollan
en el alumno la reflexión e invención personal, y también porque Sabía mejor que la
humanidad debe construir cada nuevo conocimiento en diferentes condiciones y a través de
una aventura diferente. La geometría y el álgebra, por ejemplo, no se construyeron por los
mismos medios, sobre las mismas cuestiones, ni al mismo tiempo ni al mismo tiempo,
¿cómo podemos pensar que su modo de conocimiento y su aprendizaje son idénticos?
Se hizo necesario encontrar un nuevo equilibrio entre los métodos que apelan al
sentido particular del conocimiento que se aprende y aquellos, también esenciales, pero
que se desprenden de él. Se hizo evidente que quien recibe el conocimiento no sólo
debe citarlo o recitarlo, sino "reproducirlo", es decir, volver a producirlo, como una
creación personal; lo que llevó a incluir la producción de conocimiento como un
elemento de su difusión ya incluir el estudio del primero en el del segundo. Hoy en día,
la complejidad y variedad de "enfoques" de la enseñanza ha seguido aumentando, pero
para la mayoría de los estudiosos permanece la antigua separación.
Se trata aquí de los que la cuestionan: la enseñanza de una noción matemática
recurre a recursos que pueden ser más o menos específicos tanto de la noción, de
su aprendizaje como de su enseñanza. En Francia estos enfoques han surgido

1
Este artículo no pretende "tratar" las cuestiones planteadas, es "sólo" la redacción de una intervención
oral en CS ADIREM, a petición de Jean DHOMBRES, su presidente.
 2

en un momento en que parecía necesaria una reorganización de las ciencias matemáticas en la

educación.
Desde entonces, la epistemología genética ha contribuido en gran medida a hacer
del conocimiento en sí mismo un lugar central en las cuestiones del aprendizaje.
Algunos de sus éxitos han dado esperanzas de que la docencia se guíe por los
aportes de la Psicología Cognitiva o incluso por los de la neurofisiología y se han
multiplicado los estudios de los estudiantes y sus respuestas. Otros estudios se
centraron en el trabajo de los profesores, mientras que la Epistemología y la Historia
de las Matemáticas arrojan luz sobre la organización del conocimiento ... Además,
cada actor o institución, así como cada producto de una acción y cada acción en sí
misma puede ser el sujeto de estudios de todo tipo de disciplinas (Psicosociología…
Lingüística, Inteligencia Artificial, etc.).

La didáctica de las matemáticas surgió por el interés principal, ya no en los

elementos del triángulo didáctico (profesor, conocimiento, alumno), sino
principalmente las condiciones -específicas- que gobiernan la difusión del
conocimiento matemático útil para los seres humanos y sus sociedades. Y su
principal aporte ha sido considerar estas condiciones, ya no de forma aislada y por
actores, sino por sistemas : concepciones, situaciones, praxeologías etc. Cabe
señalar que la didáctica estudia los casos en que esta difusión se lleva a cabo por
iniciativa de la institución "divulgadora", mientras que el target no la expresa y no
siente la necesidad de ella (las condiciones en las que se encuentra no lo hacen). .no
hacerle sentir espontáneamente). Es decir, el locutor está investido de un "proyecto
para adecuar un conocimiento específico a un tema que nada advierte de esta
necesidad, aunque no ignore el papel de la institución". Asumir esta realidad
ineludible pero odiada iba en contra de todos los eufemismos desarrollados para
disimular las coacciones vinculadas a la educación y así ennoblecerla a bajo precio.
Ésta no fue la menor de las dificultades encontradas por esta vía de investigación.
No fue el único,

2. Las preguntas

Las principales cuestiones que nos pueden interesar hoy en día sobre didáctica son:

Sobre el cuerpo del conocimiento didáctico

- ¿Existe una categoría de fenómenos propios de la difusión de una disciplina como la
matemática?
- ¿Se pueden determinar y estudiar los aspectos esenciales de estos fenómenos utilizando un
cuerpo de conceptos relativamente simple? autónomo, (es decir, que no sea totalmente
reducible a otras disciplinas y / o que no esté en contradicción con sus resultados).

- ¿Cuáles son los fundamentos y fuentes de estos conceptos?

- ¿Existe una unidad de forma y método para estos conceptos? ¿Cuáles son las relaciones de estos
conceptos con la contingencia, presente y pasada?
- ¿Se estructuran en un todo orgánico o forman un magma de bocetos separados?
 3

- ¿Tienden a estructurar los enfoques de otras disciplinas o simplemente se

superponen a ellos? ¿Los resultados son estables o lábiles? En particular, ¿las
nuevas aportaciones son hereditarias?
- ¿Qué lenguajes utiliza la didáctica? en particular, ¿es la cuestión de la relación con la
terminología “ingenua” la de toda ciencia con el conocimiento común que tenemos de
ella?
- En otras palabras, ¿este cuerpo de conocimientos constituye una ciencia o una rama de una
ciencia ya establecida?

Sobre las instituciones que pueden respaldar este cuerpo de conocimiento

- Qué) disciplina¿Con qué se relacionan los investigadores? ¿Con cuál deberían
relacionarse principalmente? ¿Qué relaciones entre estos campos pueden
garantizar una producción sostenida, una homogeneidad razonable, un
control científico riguroso y una ética responsable? Las diversas ciencias se
apoyan en instituciones dispuestas a defender sus logros ya cuestionarlos con
igual ardor, primando las razones de consistencia, vigencia y coherencia sobre
las de costumbre, conveniencia, utilidad, inmediata o ahorro. La elección de la
disciplina del apego no depende únicamente de relaciones científicas, teóricas
o metodológicas. En el caso de la docencia, la multiplicidad, la variedad,

- Qué instituciones y qué instrumentos (científicos y sociales) son fundamentales para esta
investigación (laboratorios, formación, establecimientos de observación, etc.)
- ¿Quiénes pueden beneficiarse de los conocimientos así establecidos (docencia,
ingeniería didáctica, formación del profesorado, público y noosfera)? ¿Qué
comentarios y correcciones ofrecen?
- ¿Cuáles son las instituciones intermediarias necesarias para garantizar la "transposición"
de los resultados y retroalimentar los errores inevitables?
- ¿Qué relación tiene esta investigación con la actividad de reflexión e
investigación natural propia de las diversas instituciones cuya producción y
difusión del conocimiento es la función social?
En resumen de este inventario no exhaustivo, nos preguntamos si la ciencia de la
didáctica (o mejor de la didáctica) existe y puede existir como disciplina.2.

3. Panorama general de un movimiento de reforma

En las décadas de 1960 y 1970, el flujo de mandatos que la educación recibía generalmente de
todas las instituciones de la sociedad se intensificó drásticamente. Con la facilidad económica de
los gloriosos años treinta, propuestas de diversos orígenes, entre otros, educación (LANGEVIN-
WALLON), psicología (PIAGET), "las" matemáticas (BOURBAKI), lingüística (CHOMSKI) etc.
confluyen bajo el mismo estandarte epistemológico (estructuralismo). El burbujeo se vuelve más
apremiante y se extiende a una serie de reformas escolares en todos los niveles. La didáctica
clásica de la que hablamos arriba (de las humanidades), y sus avatares (la metodología), están
sumergidas, hundidas, "abrumadas" y

2BROUSSEAU G., Utilidad e interés de la didáctica para un profesor universitario ",pequeña x"n ° 21 págs. 47-68.
Grenoble (1989)
 4

desacreditado, en el mismo momento en que se derrumba la relación entre la educación (especialmente la

educación pública) y las instituciones que aseguraban su "protección" política y científica.

Las críticas a la actuación de los órganos estatales y del sistema educativo son radicales y
muy violentas, y paradójicamente van acompañadas de la afirmación de que estos mismos
órganos deben y pueden reformarse e inventar soluciones. (Esta posición contradictoria se
mantiene hoy). Pero nada concreto viene a reemplazar lo rechazado. Tanto más cuanto que
nada en el fondo vincula coherentemente la masa de esperanzas que había que movilizar
para obtener un movimiento apreciable.
Así, la didáctica tradicional podría indudablemente tener Presentar Nuevos conocimientos
de matemáticas para los estudiantes, al separar el "contenido" y los métodos de enseñanza
y determinar la verdad a la manera de Aristóteles, a través del estructuralismo y la
axiomática. De esta forma se presentó a los profesores. Al mismo tiempo, se negó la
necesidad de adaptación (de transposición): del jardín de infancia a la universidad, el
conocimiento tenía que poder ser el mismo, expresarse en los mismos términos. La verdad
(desde el punto de vista estructuralista) incluso parecía no requerir la mediación de una
transmisión siempre que la estructura sea lo suficientemente refinada (BOURBAKI).
Sin embargo, ya no era posible ignorar ostensiblemente la psicología, la pedagogía moderna, la
sociología, la filosofía… Por todos lados, las exigencias se multiplicaron y se presentaron como
imperativos categóricos. Pero el estructuralismo triunfante cubrió con un velo tranquilizador las
divergencias e incluso las contradicciones de todas estas ambiciones.
Sin embargo, no fue posible satisfacer, sobre nuevos contenidos, al mismo tiempo - y sobre todo
dentro del tiempo limitado disponible - todas las orientaciones prescritas. Abogaban por la
actividad masiva y la generalización, la abstracción y la construcción de un significado.3, rigor y
utilidad, manipulación de máquinas y descubrimiento, individualización y desarrollo de las
relaciones sociales, comunicación e innovación, respeto por las etapas genéticas o la libertad de
los estudiantes (según FREINET, MARCUSE, ILLICH4…) Etc.
Este conjunto de proyectos fue una utopía que ignoró por completo todas las dificultades y
todas las leyes de la difusión del conocimiento y las prácticas en una sociedad, en particular
las cuestiones de los tiempos de respuesta del sistema. Creció y murió bajo la ilusión de la
transparencia de los hechos didácticos y la omnipotencia de los medios del conocimiento.
En este episodio, ni los "contenidos" de la enseñanza -matemáticas- ni su concepción
moderna o no- pueden ser cuestionados, y los espectaculares excesos de todo tipo que
luego sirvieron de coartada a la contrarreforma no se revelan. Reveladores de un hecho
principal: nuestro desconocimiento de la fragilidad y complejidad de los sistemas didácticos.
Un gran número de aspectos económicos, sociales, lo cultural y lo político han hecho de la
educación (en particular pública) que se creía indestructible, el campo cerrado de sus
enfrentamientos. Debe hacerse un lugar especial para todo un conjunto de corrientes
anarquistas (ajenas al estructuralismo) que encontraron una salida en mayo del 68;
Trabajando primero por las reformas pero asignándoles sus propias metas, se volvieron
contra ellas cuando se trataba de una implementación seria.
La didáctica nació -con los IREMs- de este proyecto de reforma, y de la conciencia (muy mal
compartida por los actores, en las disciplinas) de que, si era necesario acompañar, ayudar a la
reforma a través de propuestas de todo tipo, también necesario observarlo y buscar comprender
y corregir lo que la ideología reformista podría producir de errores.

3 El significado estaba en la estructura para los estructuralistas, o en la semántica en el sentido de Carnap, es decir.
en las realizaciones de la estructura, o en la funcionalidad de la estructura ...
4 I. Illich, Una sociedad sin escuelas, Seuil 1971
 5

Los mecanismos regulatorios imaginados en ese momento estaban todos basados

- sobre las interacciones entre diferentes instituciones para hacer disponible el conocimiento existente
(interdisciplinariedad, multidisciplinariedad, transdisciplinariedad, etc.)
- y sobre las cualidades personales de los protagonistas: eran didácticos en ese momento, solo los
"ingenieros" que preparaban los materiales (manuales curriculares, materiales de juegos, etc.)
para la docencia.

Aquellos - pocos en número - que pensaban que el conocimiento de tipo científico era
necesario para el estudio de la difusión del conocimiento, imaginaron multitud de trabajos
en diferentes disciplinas (principalmente psicológicas) relacionadas con un mismo tema: la
enseñanza formando así un "campo científico" , cuya unidad era empírica y pragmática. La
idea de que, en este campo, era necesario tener nuevos conceptos teóricos y unitarios era
obvia.5 y escandaloso. Sugiero que nos detengamos por un momento en este aspecto del
problema. Espero que me perdonen por traer algunos recuerdos personales sobre el
nacimiento y la historia de los IREM en este sentido.

4. El nacimiento del IREM y la didáctica

Para mí, esta historia comienza en 1964, cuando A. LICHNEROVICZ (a quien Lucienne FELIX
me presentó en 1962) sugirió que estudiara "las condiciones límite de un experimento en
pedagogía matemática".6. Mi respuesta7 fue comunicado en parte en la conferencia de
Amiens (en febrero de 68). Indicó la estructura y los medios necesarios para un Instituto de
Investigar sobre Educación Matemática, en particular la relación con el sistema educativo y
una "escuela de observación"8. Los fundamentos teóricos y las primeras investigaciones
experimentales y de ingeniería se expusieron durante los siguientes dos o tres años.9.
Después de dos intentos dolorosos e infructuosos, en 1973 se creó la escuela de
observación JULES MICHELET, mientras que la investigación metodológica, en particular en
estadística, progresaba en Estrasburgo, Burdeos y Rennes. En 1975, dos IREM (Estrasburgo
y Burdeos) y una unidad de Paris VII (Didáctica de las disciplinas) recibieron un DEA. Se
prefirió el término "Didáctica" al de "epistemología experimental".10. Régine DOUADY hizo
una buena presentación del mismo en 1980 en la Enciclopedia Universalis11. Las primeras
tesis se publicaron entre 1979 y 1982.
Los IREM fueron el resultado de un gran número de acciones emprendidas por muchas
personas e instituciones, con motivaciones muy diferentes. Sería absurdo querer convertirlo
en el resultado de mi modesto estudio en ese momento. Pero los hechos demuestran que
entonces existía, por parte de los impulsores del proyecto, el deseo de desarrollar la
investigación.científicos en la enseñanza de las matemáticas, liderada por matemáticos, con
posibles medios teóricos y experimentales nuevos pero cumpliendo con las prácticas y
reglas científicas clásicas. ¿Que significa? Ahí estaba el nuevo problema.

5 Al menos para mí, hasta el punto de que durante mucho tiempo he ignorado ingenuamente su naturaleza escandalosa.
6 Como asignatura complementaria de una tesis que comencé a elaborar bajo la supervisión de P. GRECO
7 Mi respuesta fue crear, de forma experimental, un centro de investigación que "probara" estas condiciones.
8 Inaugurado en presencia de A. LICHNEROWICZ y MAUGUIN (IA) por J. COLMEZ (Dir. IREM)
9 En el Coloquio APMEP de 1972 en Clermont-Ferrand, en la conferencia de Ciencias de la Educación en 1973, etc.
10 Término propuesto por JL OVAERT durante una conferencia en Burdeos en 1975
11 "Didáctica de las matemáticas" Vol 14. 707 Este artículo es próximo al de A. Revuz sobre "la enseñanza de
matemáticas Vol 14. 711 mientras que P. Gréco se ocupa de la “Pedagogía de las matemáticas” (vol. 7. 396) y
Daniel Lacombe de la didáctica y didáctica de las disciplinas (vol. 7. 394)
 6

5. Las motivaciones

No fue fácil saber qué significa “que un alumno haga matemáticas”, ni describir las
condiciones técnicas que se deben alcanzar para organizar y obtener diferentes formas
de aprendizaje, ni cómo comunicarse. lo que es importante en las prácticas docentes y
en sus medios efectivos de control dinámico: en las clases, los profesores no ven las
mismas cosas, no hablan las mismas cosas, las palabras y el significado de las palabras
son fluctuantes.
Pasaremos rápidamente por alto las motivaciones generales del interés por el conocimiento
sobre la "educación matemática", aunque son las más importantes. Los reformadores muestran
sus motivaciones durante las conferencias de Caen y luego de Amiens. Para encontrar la
investigación que se planificó, es necesario anteponer cada objetivo con la mención "conocer las
condiciones efectivas desde ... " (ex. : conocer las condiciones efectivas, políticas, sociales y
sociológicas de un acceso bien compartido al conocimiento, las de la regulación de las
influencias sobre la educación en una gestión democrática de la educación, las de la
profesionalización de la profesión docente y en particular los conocimientos mínimos específicos
al entrenamiento, etc. ).
A pesar de las oleadas de cierto anarquismo epistemológico12, cada disciplina afirmó
o manifestó implícitamente la ambición de colocar “prácticas ineficaces” y
“sugerencias anárquicas” relacionadas con la enseñanza, bajo el control de su
propio cuerpo de conocimiento científico (y hacer que prevalezca sobre todas las
demás disciplinas). Lo que estaba en juego era, a largo plazo, la adquisición para la
investigación universitaria de los puestos dedicados a la formación de profesores.
Pero ninguno fue tan lejos como para hacerse cargo de la relación entre un
dispositivo de enseñanza específico en relación con un objeto de enseñanza
específico, y los efectos de tal o cual sugerencia en su desarrollo y sus resultados.
Por ejemplo, Piaget mostró dispositivos destinados a demostrar cierto conocimiento
de "el" número en "el niño" (en una determinada etapa), pero nada permitió
mostrar objetivamente que la estructura matemática reconocida por el observador
fuera efectivamente la que el alumno implementó en su acción. Los dispositivos en
sí mismos fueron el fruto de una feliz invención de los experimentadores, pero no
fueron objeto de ningún estudio crítico. Mientras afirma -lo cual es esencial- que los
alumnos no aprenden y piensan las matemáticas como las tienen los libros de texto,
Piaget buscó en las nuevas matemáticas, una virtud descriptiva directa del
pensamiento de los alumnos, una especie de "mano". Justificación ergonómica. La
originalidad y las virtudes estaban en las "nuevas" matemáticas, que se volvieron
explicativas por el simple hecho de que el observador las conocía y no se las
enseñaba a los alumnos.

12 Acerca de P. FEYERABEND (Contra el método , 1975), escribe GG GRANGIER en la enciclopedia

universalis: "la doctrina del" anarquismo epistemológico "fue lanzada en los años sesenta por Feyerabend ...
Asegura, por un lado, que la sociedad debe dar las mismas posibilidades de desarrollo a cualquier
procedimiento que pretenda ser productor de conocimiento, sin embargo incontrolable o incluso incontrolable
puede ser, sin promover de ninguna manera métodos positivos; por otro lado, que todos los intentos,
presentes o pasados, al final, son iguales. La astrología, la alquimia y la magia habrían traído tanta satisfacción
como las ciencias a la mente humana. En tal oleada de escepticismo ... cualquier intento confuso es digno de
consideración,
 7

Se trataba de estudiar el objeto central de la enseñanza, es decir las interacciones

específicas durante las cuales un sujeto modifica su repertorio para aprehender un
nuevo conocimiento particular. Sin embargo, esta interacción apenas se estudió en
sí misma. Se consideró o como una producción del propio sujeto (de sus esquemas
por ejemplo), o como la expresión misma del conocimiento, o finalmente como un
efecto de un "arte" del maestro que era casi independiente al mismo tiempo.
sujetos y objetos de estudio (el “famoso” triángulo didáctico). Ni siquiera se
reconocieron las condiciones no didácticas del conocimiento, es decir, las que
quedarían después del aprendizaje y la escuela, formando el entorno en el que los
conocimientos aprendidos entrarían en funcionamiento sin intervención externa.

El objeto de un estudio de este tipo puede compararse con el de la microeconomía: ¿cuáles son
los equilibrios que rigen la necesidad de conocimiento de un tema y la satisfacción de esta
necesidad? La pregunta puede plantearse sin evocar otra cosa que las opciones abiertas por una
situación a un homo economicus dotado de un mínimo de medios de reflexión. ¿Por qué el
“estudiante” haría esto en lugar de aquello, cuáles son las buenas (o no tan malas) razones para
recordar esto u olvidar aquello? O más exactamente, ¿qué distribución de alumnos debe
considerarse al crear las condiciones en las que el conocimiento puede ser captado (inventado,
comprendido, aprendido, etc.) por una clase? Así, los primeros estudios didácticos se inspiraron
en consideraciones ergonómicas.13. El trasfondo epistemológico del estructuralismo y la ayuda
sistémica, este enfoque condujo casi de inmediato a la concepción de que las condiciones para el
aprendizaje de un conocimiento preciso deben ser consideradas como un sistema y no de forma
aislada.
El interacciones fundamentales no didácticas : la acción de los sujetos, las formulaciones y la
comunicación, la producción de pruebas, etc. estaban bien identificados y ya contaban con
modelos en varios campos, a veces incluso modelos matemáticos bastante sofisticados
(teoría de juegos, teoría de la información, teoría de la comunicación, etc.). Por ejemplo P.
LORENZEN14 fundó el cálculo proposicional como un medio de arreglo entre un proponente
y un oponente.
Naturalmente, correspondían a objetos didácticos como problemas, demostraciones,
etc. Por el contrario, muchos hechos didácticos parecían surgir claramente de modelos
teóricos conocidos, que apoyaban la esperanza de identificar condiciones bastante
generales para la implementación del conocimiento.15.
Todos estos signos fueron entonces interpretados como favorables a un proyecto social
considerado entonces como importante: asegurar la responsabilidad del uso de las matemáticas
en la sociedad por parte de quienes las producen, es decir, por la comunidad de matemáticos,
entonces que esta responsabilidad parecía pertenecen a quienes usan las matemáticas (por
ejemplo, ingenieros). Y tenía que asegurar, además, en la sociedad, una mínima homogeneidad
democrática de las relaciones con las matemáticas. Porque en Francia, en particular, las
matemáticas, gradualmente, se asociaron con una cultura de élite (la nobleza estatal,

13 Estudios sobre los procesos de cálculo humano de operaciones elementales y su aprendizaje, (por ejemplo: BROUSSEAU Guy
(1973) "¿Podemos mejorar el cálculo de los productos de los números naturales? Actes du 3mi Congreso de Ciencias de la
Educación, Contribución de disciplinas fundamentales a las ciencias de la educación, 1, 361-378)
14 P. Lorenzen Metamatemáticas, Gauthier Villars París 1967.
15 En la década de 1960, se hicieron numerosos intentos de modelar ciertos aspectos de la enseñanza utilizando
diversas teorías dan fe de esta esperanza, por ejemplo: JR PIERCE, o Helmar FRANCK en “Pedagogía
y cibernética” con la teoría de la información, DIÉNÈS con extrapolaciones de isomorfismo, más
tarde Claude BRUTER con modelos analíticos, etc.
 8

del que iba a hablar Bourdieu) y las matemáticas modernas se presentaban como un medio
automático de democratización (debido a la unificación antes mencionada).

6. Las dificultades, los desafíos

Pero en cuanto se trató de utilizar estos modelos para interpretar actos reales de
aprendizaje o enseñanza, empezaron las dificultades: los modelos eran inadecuados
o parciales y, por tanto, inutilizables. Por ejemplo, los esquemas de comunicación
utilizados por lingüistas o ingenieros no tenían en cuenta lo que determinaba el
contenido de los mensajes. Por otro lado, la relación con la educación no brindó la
información esencial. La administración, si bien impidió la intrusión de personal que
no controlaba, comenzó a dejar la iniciativa a todo tipo de improvisaciones,
excluyendo (incluso involuntariamente) la observación directa de sus métodos de
trabajo. Tuvimos que desarrollar una cultura extremadamente local y específica
para poder hacer esto.dieciséis. No evocaré aquí las polémicas que acompañaron al
desgarro de los "hechos" didácticos de la matriz ideológica y afectiva que los
ocultaba.
Fue necesario retomar y hacer coherentes los conceptos y los modelos básicos, determinar la
naturaleza de los fenómenos estudiados y los métodos experimentales, forjar los instrumentos
institucionales, exigir las precauciones y precisar la ética, etc.

Pero las principales dificultades eran inherentes al proyecto.

Las nociones matemáticas, a pesar de la estabilidad que les da la precisión categórica

de su definición, no "funcionan" de la misma manera en "entornos" tan diferentes como
el aprendizaje escolar en tal o cual nivel, en uso para tal o cual. o tal institución o
empresa, en la cultura matemática en diferentes momentos o en las diferentes ramas
de la investigación actual. A la hora de hacer usos "reproducidos" o aprendidos, estas
diferencias se vuelven obvias, siempre que demos un paso atrás en la ambición de
reproducirlos "idénticamente". Utilizar estas diferencias y también combatirlas se
convierte en la esencia de la acción didáctica17. Asimismo, la adquisición de
conocimientos no se produce en una función creciente monótona, en el orden correcto
de presentaciones axiomáticas, surgen obstáculos (incluso en matemáticas, al contrario
de lo que creía Bachelard), y los retornos son inevitables. Y los errores ya no son solo
signos de fracaso, sino la consecuencia previsible de una actividad legítima. Todo esto
puede verse como una motivación para la creación de una ciencia autónoma.
Pero al mismo tiempo, puede significar la inutilidad del proyecto. La ambición de
estudiar específicamente las condiciones particulares de la comprensión y
adquisición de cada conocimiento en cada una de las circunstancias en las que
podría surgir parece totalmente extravagante. Esta ambición va exactamente en
sentido contrario a toda actividad científica que tiende a abstraer de sus condiciones
particulares las relaciones más generales. Va así contra toda didáctica, que tiende a
sacar a la luz métodos comunes con el mayor contenido posible a enseñar, para
proyectar la complejidad en dos o tres componentes y así permitir una formación
“económica” de los docentes.

dieciséis En la escuela de observación de J. Michelet, creación del IREM de Burdeos, se necesitaron diez años de observaciones de
estudiantes en situaciones acordadas antes de que puedan "ver" actos de enseñanza reales
17 Este es el objeto de la teoría de la transposición (Y. Chevallard)
 9

Y además, al mismo tiempo, parece querer recoger "a la fuerza" en un objeto de estudio unico
que durante tanto tiempo ha sido objeto de tantas y tan sutiles diversificaciones en disciplinas
que ya abarcan tan bien todos los aspectos de la realidad. Esta afirmación le parece
legítimamente a más de uno, ¡como escandalosamente pretenciosa!
El razonamiento de "sentido común" como el siguiente tiende a hacer que parezca
innecesario. Los factores que influyen en la enseñanza se destacan
independientemente unos de otros por diversas disciplinas y los profesores deben
tenerlos en cuenta. Sin embargo, los profesores y el público tienden a pensar que la
calidad de la enseñanza es una función monótona de estas variables, por lo que las
opciones extremas a menudo se toman como "teóricamente mejores", aunque la
didáctica muestra que los vínculos creados entre estas variables. y las regulaciones
resultantes significan que, por el contrario, ninguna de estas variables es óptima en
los límites de su intervalo de relevancia. La búsqueda de soluciones óptimas se
opone a que los profesores elijan instintivamente caminos intermedios,

Finalmente, los treinta años de acumulación de conocimientos y conceptos en este campo pueden
constituir un serio obstáculo para la curiosidad de los principiantes, especialmente de aquellos que,
habiendo realizado buenos estudios de matemáticas, quisieran invertir este terreno. La preparación
de los investigadores es cada vez más larga y difícil. Tanto más cuanto que, por motivos que no
examinaremos aquí, se ha formado una especie de "muro de fuego" entre la comunidad formada por
matemáticos pedagógicos y matemáticos de otras disciplinas, lo que hace que los diálogos y los
diálogos sean casi imposibles. de información.

7. Emergencia difícil pero estimulante

¿Cómo se abordaron los desafíos científico-conceptuales, metodológicos y tecnológicos antes

mencionados?
Aquí están algunos ejemplos. Y. CHEVALLARD lo ha retomado con éxito al menos tres veces,
primero en su "teoría de la transposición didáctica"18 (1985), luego en su "teoría formal de la
didáctica"19 (1986) y finalmente en su “teoría antropológica de la didáctica20 "
- el proyecto de dotar a la didáctica de un fundamento más amplio que el propuesto por la
teoría de situaciones, y dar a esta última una alternativa y ampliaciones. La teoría
antropológica de la didáctica, que constituye su forma más desarrollada, modela las
interrelaciones con las matemáticas, de los individuos, las instituciones y su entorno,
teniendo en cuenta todas las limitaciones que hacen que estas relaciones sean posibles,
necesarias, económica y ecológicamente adaptadas.
Pero surgieron otros desafíos: para comparar las virtudes de dos soluciones didácticas por su efecto
sobre dos muestras de estudiantes (y no las de las dos muestras de estudiantes), es necesario poder
asegurar que las pruebas que permiten la comparación son “ a la misma distancia de los dos grupos
de estudiantes ”(F. PLUVINAGE, 1975). Las relaciones entre las variables didácticas que nos interesan
son inherentemente asimétricas y se expresan en términos de causalidad. Sin embargo, los únicos
métodos estadísticos disponibles tanto en estadística

18 Y.CHEVALLARD Transposición didáctica 2mi Edición La pensamiento salvaje, Grenoble.

19 Y.CHEVALLARD Comunicación a 1er Acciones del simposio franco-alemán El pensamiento salvaje
20 Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascon, J. (1997). Estudiar Matemática - El eslabón perdido entre la ensñanza

y el aprendizaje. Univ. Barcelona: ICE-HORSORI

 10

inferencial que en el análisis de datos en los años 70 se basaba en distancias (chi-

cuadrado, euclidiana, malhalanobis etc.). En respuesta, apareció la estadística
implicativa. Debe atribuirse al mérito de los matemáticos educativos (R. GRAS 1979).
La determinación de qué es reproducible y qué no es didáctica fue fundamental
para distinguir un hecho de este tipo (M. ARTIGUE 1982). El desafío de construir
situaciones y procesos largos ha sido asumido por R. DOUADY (1982) y algunos
otros, y han contribuido fuertemente al surgimiento de la ingeniería didáctica
(Michèle ARTIGUE 1990)21… Estos son solo los primeros trabajos, muchos otros han
seguido. Hoy es muy difícil imaginar el entusiasmo y la pasión que llevaron a los
profesores de matemáticas a explorar todos los medios para mejorar su enseñanza,
comprender sus misterios y aumentar la influencia de su disciplina. El movimiento
renovador de la matemática proyectaba muy lejos unos de otros, los que
experimentaban, innovaban, publicaban o atraían el apoyo de los laicos, y los que
investigaban las fallas, criticaban las improvisaciones y trataban de prevenir abusos.
Pero los IREM establecieron un vínculo profundo entre todos ellos y, en última
instancia, una cohesión asombrosa. Hoy nos faltan mucho los resúmenes de todos
estos resultados.

Sin embargo, la investigación científica se ha visto tanto estimulada como obstaculizada por
su compromiso con IREMic. Por ejemplo, sus autores mantuvieron estrechas relaciones con
los profesores, lo que les llevó a compartir sus ideas sobre sus vivencias, sus concepciones,
muchas veces de forma prematura, y en formas inconclusas, que posteriormente fueron
bloqueadas cuando hubo que retirarlas. La confusión entre los usos actuales de los
términos y los que deben definirse en un sentido preciso frustra la correcta difusión del
conocimiento y desdibuja los debates ...
Durante este tiempo, los trabajos en didáctica, independientemente de cualquier preocupación
por la coherencia general, proliferaron, los conceptos se multiplicaron, las discusiones bizantinas
invadieron el espacio editorial que habían liberado insidiosas escotomizaciones ... Los
investigadores se deleitaron con las observaciones particulares de un aspecto preciso de la
resolución por unos pocos alumnos de un solo problema o en el inventario de errores curiosos
en trampillas singulares. Los resúmenes son raros y, a menudo, más fáciles de usar que los
científicos. Las bases aún no están lo suficientemente aceptadas universalmente como para
permitir un gran debate, por esencial que sea.
A pesar de los intentos de unificación, el enorme aumento de la complejidad del conocimiento
requerido, tanto para identificar y perseguir el estudio científico riguroso de los fenómenos
didácticos como para utilizarlo en la formación de docentes, se ha convertido en el principal
obstáculo para la difusión de esta ciencia en un entorno que, sin embargo, acepta en otros
campos una complejidad comparable, enganchado como está a la ilusión de la transparencia de
su propia acción.

21 Por supuesto, la mención de estos pocos nombres sería muy injusto para las muchas personas que
han enriquecido este campo, si se interpreta como una especie de antología
 11

8. Constitución de la ciencia de la didáctica

Tendencias
Hoy podemos distinguir una organización de didáctica stricto sensu dentro de un campo de
investigación muy amplio de diversos orígenes y estados que presentan intersecciones con
casi todas las disciplinas. Sin embargo, cabe señalar que la didáctica de las matemáticas,
que en ciertos aspectos prolonga el proyecto de COMÉNIUS y su filosofía humanista,
también se opone a ella en el sentido de que no se presenta como una especificación de la
didáctica general. Por el contrario, pretende retomar, desde el propio conocimiento a
enseñar, todo el edificio de las condiciones de enseñanza y aprendizaje. Además, al
reconocer que el conocimiento debe adaptarse a diferentes edades, o a diferentes
condiciones, y que las instituciones educativas deben intervenir entre los seres humanos y el
conocimiento humano, e incluso trasponerlo, parece abandonar uno de los postulados
fundamentales del humanismo: la igualdad de los derechos humanos para el acceso directo
a los mismos conocimientos. Creo que no es así y que es mejor reconocer las dificultades
para superarlas mejor que afirmar como leyes naturales lo que se desea obtener.
La didáctica clásica abordó la docencia dividiéndola desde el principio en dos sectores
inconexos, la disciplina por un lado y la metodología no disciplinaria por otro. Por tanto, los
fenómenos de enseñanza sólo se percibían por sus proyecciones sobre estos dos
componentes independientes. La didáctica de las matemáticas actuales se interesa por el
espacio de sus interacciones.
También se separa completamente de la psicología, aunque sea para reintegrar y legitimar mejor sus
contribuciones. Por ejemplo, frente a una tabla que representa los comportamientos de una colección
de sujetos frente a una colección de problemas, el psicólogo considera tener información sobre un
corpus de estudiantes, el didáctico considera tener información sobre un corpus de situaciones y todo
es diferente.

Tratamos de colocarlo bajo la égida de la antropología, y esta posición vale muchas otras. Es
suficientemente adecuado para presentar todo el trabajo de observación del entorno
formado por los socios en la enseñanza de las matemáticas. Pero la antropología está
apenas más cerca de la didáctica que la economía, la sociología o la medicina, y no puede
aceptar la ingeniería.
En mi opinión, la única égida que es inevitablemente esencial para la didáctica tal como
la acabo de presentar es la de las matemáticas, más precisamente la de las ciencias
matemáticas.22. Esta membresía tiene una base lógica y es funcionalmente necesaria.
Esto no es suficiente para que sea fatal. Si el 80% de la actividad de los profesionales
matemáticos, sean o no docentes, es de carácter didáctico, la entrada y salida de los
campos científicos dentro o fuera de las matemáticas obedece a reglas aún
desconocidas. La historia confirma que de todas las disciplinas, la matemática es la que
tiene los vínculos más estrechos con su enseñanza.
Constitución de campo
La investigación en educación matemática se puede clasificar según un gran número de
grupos de criterios: según la disciplina instrumental (psicología, lingüística,

22
Guy BROUSSEAU y Gilles CHRISTOL, estudios de doctorado en educación matemática en
Universidad, Boletín SMF (2000)
 12

sociología ...), el objetivo (ciencia "pura", ingeniería, formación), según el enfoque en un

componente del sistema (conocimiento, alumno, profesor, entorno: por ejemplo,
problemas ...) según el nivel de la escuela, según el país o la cultura, ellos mismos
declinaron en multitud de subclases y cruces. Estos trabajos tienen diferentes
referencias y de hecho están dirigidos a diferentes “públicos”, lo que los lleva a adaptar
su lenguaje y sus conceptos y, por tanto, a aislarse más. Aparte de su disciplina de
afiliación, sólo pueden utilizar para los otros aspectos de su trabajo conceptos y
representaciones culturales de "migrante común".23. Nada favorece las reagrupaciones,
por lo que ninguna organización general es aceptada por unanimidad por el momento.
Numerosos trabajos han desarrollado interesantes conceptos específicos para
comprender tal o cual aspecto de situaciones y procesos didácticos, pero muy pocos se
han propuesto tener en cuenta todos los fenómenos relacionados con la comunicación
didáctica del conocimiento matemático.24 y acoger el conocimiento de otras disciplinas.
Esta situación favorece un desarrollo consensuado que bloquea pensamientos
originales y debates científicos sinceros. Mantiene a los investigadores en la
imposibilidad de verificar en varios sectores la consistencia de sus análisis de modo que
la “cultura didáctica internacional” me parece una colección amorfa y contradictoria
llena de conceptos vagos y métodos dudosos. Pero la inconsistencia general no es
específica de la didáctica y no es seguro que la matemática misma se le escape.
Micro y macrodidactica
Sin embargo, me parece que en la mayor parte del trabajo didáctico actual, podemos
identificar un objeto común: el análisis de La determinación simultánea de
conocimientos precisos y las condiciones en las que pueden ser ofrecidos y aprendidos
por sujetos o instituciones..
Enseñar no es distribuir una mercancía y la didáctica no es el estudio de los aspectos
económicos y financieros de la educación matemática. Sin embargo, si consideramos que en
lugar debienes, se trata de difundir conocimiento entre humanos o sus instituciones. Si
respetamos las diferencias fundamentales que son esenciales, podemos establecer útiles
paralelos entre didáctica,25 y la economia26. La teorización matemática de la economía llevó a
distinguir una teoría microeconómica27 y una teoría macroeconómica28.

23 Es difícil examinar con precisión una idea matemática profunda en un artículo donde se analiza el
comportamiento de un alumno, sobre todo si se trata de educación obligatoria por ejemplo, y también para utilizar
nociones de psicología o sociología un poco particulares, para argumentar sobre el trabajo de un docente.
24 TSDM y la antropología de la didáctica son los intentos más recientes. Ellos superan con creces el
anteriores, orientadas a la acción, y que no apuntaban al estatuto de ciencia: didáctica conductista,
metodología heurística, psicomatemática de Dienes, constructivismo radical, etc.
25 Chico BROUSSEAU. “Los dobles juegos de la educación matemática”, (2002), p 83-155, Cuestiones educativas,

la escuela y sus márgenes: Didáctica de las matemáticas, n ° 22-23 de diciembre de 2002 Centro de
investigación de la Universidad Jean Monnet Saint Etienne. Conf. En la conferencia InterIREM "Rallyes, Jeux", en
Toulouse 2000
26 La economía se preocupa "por cómo se utilizan los escasos recursos para las necesidades de los hombres.

viviendo en sociedad, le interesan las operaciones esenciales que son la producción, distribución y
consumo de bienes, por otro lado en instituciones y actividades encaminadas a facilitar estas operaciones
”Ed. MALINVAUD Lecciones de teoría microeconómica pags. 1.
27 La microeconomía "tiene como objeto principal el análisis de la determinación simultánea de precios y cantidades
producidos, comercializados y consumidos. Se dice microeconómico porque pretende respetar en sus
formulaciones abstractas la individualidad de cada bien y de cada agente ”id. pags. 2.
28 La macroeconomía "razona sobre agregados de bienes y agentes ... propone identificar cómo se
determinó las principales características del crecimiento y desarrollo cíclico… en referencia a la
organización institucional efectiva de nuestras sociedades… ”Ed. MALINVAUD Teoría microeconómica
p.2
 13

Sin embargo, el carácter común que acabamos de señalar para el trabajo didáctico
corresponde al que determina una teoría microeconómica: en la medida en que se
respete la individualidad de cada conocimiento y de cada socio, este trabajo puede
enmarcarse en el marco de 'una micro-didáctica teoría como la teoría de
situaciones. Por ejemplo en esta homología, el estudio -descriptivo, experimental o
normativo- de la enseñanza de la mecánica racional a alumnos de diferentes niveles
escolares, según diversos objetivos profesionales, o según los tiempos, vendría bajo
la micro didáctica. Por otro lado, el de la desaparición de la enseñanza de la
mecánica racional en la formación de profesores de matemáticas,

Tres ejemplos pueden ilustrar el interés de esta distinción.

Las dificultades de los niños con nuestro sistema oral de nombres enteros (sesenta y trece)
son bien conocidas. Pasar a un recuento regular no presenta ninguna dificultad micro
didáctica: todos los profesores en Francia podrían enseñar “setenta y tres” en Bélgica. Sin
embargo, hasta el día de hoy ha sido imposible llevar a las clases la reforma decidida por la
convención en el siglo XVIII. El estudio de las causas de este hecho es una cuestión de macro
didáctica. He demostrado -teórica y experimentalmente- (cf. el artículo citado
anteriormente) que era posible ahorrar el equivalente a casi dos años de enseñanza de
cálculo en la escuela primaria modificando ladisposición cálculos para asegurar mejores
características ergonómicas (menor esfuerzo de memoria y cálculo, mejor confiabilidad,
etc.). Los problemas micro didácticos resueltos, nunca ha sido posible examinar la
posibilidad de generalizar las conclusiones de esta investigación. Los bloqueos son
macrodidácticos.
Las condiciones para la enseñanza de la estadística en Francia podrían proporcionar un tercer
ejemplo. Si bien se han propuesto varias soluciones "microdidácticas"29, algunas bien conocidas
en varios países, persisten dificultades que parecen estar vinculadas a una representación
bastante específica de las estadísticas realizada por varias instituciones importantes. Las
“explicaciones” históricas, epistemológicas o políticas no son suficientes para dar soluciones.

Vemos aquí el interés que puede haber en distinguir claramente los tipos de fenómenos
para encontrar soluciones micro o macrodidácticas adecuadas a los problemas de
enseñanza.

9. Conclusiones

No es necesario concluir, me parece. Esta es solo una breve presentación. La didáctica

continúa con y en el IREM, y junto a él, como debe ser. Me limité a despertar algunos
recuerdos e ideas. Han llegado muchísimos nuevos matemáticos educativos y todavía
están llegando otros que pueden hablar útilmente desde su punto de vista sobre su
disciplina.

29 Mostré (en 1973-74) que la prueba de hipótesis y los conceptos básicos de probabilidad se pueden enseñar durante la
escolarización obligatoria. Guy BROUSSEAU, Nadine BROUSSEAU, Virginia WARFIELD, "Un experimento sobre la enseñanza de
la estadística y la probabilidad"Revista de comportamiento matemático, 20 (2002) 363-441.
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Por otro lado, antes de concluir, quiero dirigir aquí un ruego a los que tenemos el poder
de secar o irrigar la investigación en didáctica: no disuadir a todos los jóvenes
matemáticos talentosos que están dispuestos a pagar el precio. una orientación hacia la
didáctica. Y cuando hayan realizado los considerables esfuerzos que requiere una
segunda adaptación a problemas muy variados y difíciles, no los prive de su pertenencia
al mundo de los matemáticos. Estas dos actitudes excesivamente introvertidas han
empobrecido terriblemente las relaciones entre las dos comunidades y, de paso,
privaron a un cierto número de jóvenes doctorados en matemáticas de un acceso
legítimo a una carrera académica en un sector donde habrían sido de gran utilidad si lo
hubieran hecho. adquirido los conocimientos necesarios. La didáctica de las
matemáticas no es la única disciplina que sufre el alejamiento de los matemáticos de
campos que naturalmente les serían abiertos. Negarse a que los matemáticos se
adapten a las diversas necesidades de la sociedad es también una falta contra la
matemática misma. Afirmar que la matemática orientada a la investigación matemática
- como se representa actualmente - debe ser suficiente para afrontar todos los
problemas de la enseñanza o aplicación de las matemáticas, es una cierta suficiencia.
Esta actitud conduce a restringir el reclutamiento y las vacantes laborales de los
estudiantes de matemáticas. Es el resultado de la falta de conocimiento de las
condiciones de enseñanza de las matemáticas que encuentran los no matemáticos y
contribuye a empeorarlas, debido a la falta de matemáticos disponibles.30.

30 No diré una palabra aquí sobre la matanza del IUFM, los grandes dolores callan.