MATEMATICAS DISCRETAS

Reporte personal

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MÉRIDA

UNIDAD 1 Y 2

Ana Cristina Encalada Gonzalez

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Profesor: Marisol Villanueva Escalante

1SA

Enero-junio 2022

19 de febrero de 2022
 ÍNDICE
UNIDAD 1
1.1 Sistemas numéricos……………………………………………..………3
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos………………………….…….6
1.3 Operaciones básicas……………………………………………….…...13
1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y la división en binario…17
1.5 Aplicaciones de los sistemas numéricos en la computación…………..19

UNIDAD 2
2.1 Características de los conjuntos………………………………………..21
2.1.1 Conjunto universo, vacío……………………………………….....22
2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios …....23
2.1.3 Subconjuntos ……………………………………………………...25
2.1.4 Conjunto potencia………………………………….………….......26
2.2 Operaciones con conjuntos: unión, intersección complemento, diferencia
simétrica……………………………………………………………….......28
2.3 Propiedades de los conjuntos……………………………………….…30

2
1.1 Sistemas numéricos
Los sistemas numéricos son un grupo de reglas, normas y convenios que nos permiten
realizar una representación de todos los números naturales, por medio de un grupo amplio
de símbolos básicos y que está definido por la base que utiliza.

o Para qué sirven los sistemas numéricos

Los sistemas numéricos tienen como principal objetivo, lograr realizar el conteo de los
diferentes elementos que tiene un conjunto. Por medio de ellos podemos llegar a construir
todos los números válidos dentro del sistema de números. Su finalidad es la de representar
números.

o Características de los sistemas numéricos

Entre las principales características podemos mencionar las siguientes:

 Cada sistema numérico se caracteriza por su base.

 Los sistemas numéricos tienen una base o conjunto de símbolos que permiten
representar las diferentes cantidades numéricas.
 Tienen una cifra o cantidad que es formada por la yuxtaposición de los diferentes
elementos.
 Cada elemento dentro del sistema numérico tiene un valor ponderado.
 El número 0 expresa o denota la ausencia de una cantidad determinada.
 Es un sistema posicional.
 Están compuestos por dígitos

3
 o Tipos de sistemas numéricos

Existen dos tipos o dos grandes clasificaciones de los sistemas numéricos:

 Posicional: es el tipo de sistema numérico en el cual el valor que tienen

una cifra cambia de acuerdo con la posición en la que se encuentre dentro de la cifra
del número. El sistema posicional a su vez se subdivide en varios tipos, por
ejemplo:
o Sistema binario: únicamente tiene dos valores numéricos, el 0 y el número 1.
o Sistema decimal: es el sistema que tiene una base 10 y diez dígitos que van
del número 0 al 9.
o Sistema hexadecimal: este sistema requiere de 16 diferentes cifras para
expresar o poder representar un número.
o Sistema octal: es el sistema que posee ocho cifras para expresar diferentes
cantidades.
 No posicional: Este es el sistema numérico en el cual la cifra no depende de
la posición dentro del número. Por ejemplo podemos mencionar, a los números
romanos.

o Los sistemas numéricos tienen los siguientes usos:

 Para contar y expresar los resultados de una medida y para realizar diferentes
cálculos.
 Pueden ser usados para hacer codificaciones de información.
 Se usan en el sistema métrico.
 Son usados en el campo de la física para mostrar magnitudes escalares y derivadas.
 El sistema octal es utilizado en computación para agrupar bits.
 El sistema binario también es utilizado en computación y aparatos electrónicos.

4
 o Tipos de operaciones
Con el sistema numérico se pueden realizar operaciones aritméticas, suma, resta,
multiplicación y división. Cada sistema numérico tiene su propia forma de realizar cada una
de estas operaciones.

o Importancia.

El sistema numérico es de suma importancia para nuestra vida diaria pues por medio de él
podemos representar todos los números y trabajar con ellos para resolver una serie de
problemas matemáticos que se nos puedan presentar día a día. Es importante en el campo
de la computación, eléctrico y métrico, para la realización de medidas.

o Ejemplos de estos sistemas:

Sistema Binario: 0, 1
Sistema Decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sistema Hexadecimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

5
1.2 Conversiones entre sistemas numéricos
I. Sistema Numérico de Base 10

Los sistemas numéricos están compuestos por símbolos y por las normas utilizadas
para interpretar estos símbolos. El sistema numérico que se usa más a menudo es el
sistema numérico decimal, o de Base 10. El sistema numérico de Base 10 usa diez
símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos símbolos se pueden combinar para
representar todos los valores numéricos posibles.

El sistema numérico decimal se basa en potencias de 10. Cada posición de columna de

un valor, pasando de derecha a izquierda, se multiplica por el número 10, que es el
número de base, elevado a una potencia, que es el exponente. La potencia a la que se
eleva ese 10 depende de su posición a la izquierda de la coma decimal. Cuando un
número decimal se lee de derecha a izquierda, el primer número o el número que se
ubica más a la derecha representa 100 (1), mientras que la segunda posición representa
101 (10 x 1= 10) La tercera posición representa 102 (10 x 10 =100). La séptima
posición a la izquierda representa 106 (10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =1.000.000). Esto
siempre funciona, sin importar la cantidad de columnas que tenga el número.

Ejemplo:

2134 = (2x10 potencia 3) + (1x10 potencia 2) + (3x10 potencia 1) + (4x10 potencia 0)

Hay un 4 en la posición correspondiente a las unidades, un 3 en la posición de las decenas,
un 1 en la posición de las centenas y un 2 en la posición de los miles. Este ejemplo parece
obvio cuando se usa el sistema numérico decimal. Es importante saber exactamente cómo
funciona el sistema decimal, ya que este conocimiento permite entender los otros dos
sistemas numéricos, el sistema numérico de Base 2 y el sistema numérico hexadecimal de
Base 16. Estos sistemas usan los mismos métodos que el sistema decimal

6
 II. Sistema Numérico de Base 2

Los computadores reconocen y procesan datos utilizando el sistema numérico binario, o de

Base 2. El sistema numérico binario usa sólo dos símbolos, 0 y 1, en lugar de los diez
símbolos que se utilizan en el sistema numérico decimal. La posición, o el lugar, que ocupa
cada dígito de derecha a izquierda en el sistema numérico binario representa 2, el número
de base, elevado a una potencia o exponente, comenzando desde 0. Estos valores
posicionales son, de derecha a izquierda, 2 potencia 0, 2 potencia 1, 2 potencia 2, 2
potencia 3, 2 potencia 4, 2 potencia 5, 2 potencia 6 y 2 potencia 7, o sea, 1, 2, 4, 8, 16, 32,
64 y 128, respectivamente.
Ejemplo:
101102 = (1 x 2 potencia 4 = 16) + (0 x 2 potencia 3 = 0) + (1 x 2 potencia 2 = 4) + (1 x
2potencia1= 2)+(0 x 2 potencia 0 = 0) = 22 (16 + 0 + 4 + 2 + 0)

Al leer el número binario (101102) de izquierda a derecha, se nota que hay un 1 en la

posición del 16, un 0 en la posición del 8, un 1 en la posición del 4, un 1 en la posición del
2 y un 0 en la posición del 1, que sumados dan el número decimal 22.

III. Sistema Numérico de Base 8

El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números

resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten
más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente,
resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema octal, usa ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.Cada posición de
columna de un valor, pasando de derecha a izquierda, se multiplica por el número 8, que es
el número de base, elevado a una potencia, que es el exponente. Cada dígito tiene,
naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu-gar que ocupen. El valor de cada una de
las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.
Ejemplo:
El número octal 2738 = 2*8 potencia 2 + 7*8 potencia 1 + 3*8 potencia 0 = 2*64 + 7*8
+ 3*1 = 187

7
 IV. Sistema Numérico de Base 16 (Hexadecimal)

El sistema hexadecimal usa dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F.

Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima-les 10, 11,
12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema
decimal. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu-gar que
ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base
16.
Ejemplo:
El valor del número hexadecimal 1A3F = 1*16 potencia 3 + A*16 potencia 2 + 3*16
potencia 1 + F*16 potencia 0

1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

 Conversiones entre Sistemas Numéricos.

. Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.

Método 1 por divisiones sucesivas, el cual consiste en:

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un

cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es
el bit menos significativo (LSB).
Ejemplo
Convertir el número 15310 a binario
El resultado en binario de 15310 es 10011001

8
Otra forma de obtener el numero decimal a binario es realizar lo siguiente:
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso
al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de
divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 / 2 = 38 Resto: 1
38 / 2 = 19 Resto: 0
19 / 2 = 9 Resto: 1
9 / 2 = 4 Resto: 1
4 / 2 = 2 Resto: 0
2 / 2 = 1 Resto: 0
1 / 2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
Decimal 77 = Binario 1001101

. Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos
utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los
restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal
12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 / 8 = 15 Resto: 2
15 / 8 = 1 Resto: 7
1/8=0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

Decimal 122 = Octal 172

9
 . Conversión de un número decimal a hexadecimal
Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal
a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número decimal 1735 será
necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 / 16 = 108 Resto: 7
108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en decimal
6 / 16 = 0 Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en hexadecimal:
decimal 1735 = hexadecimal 6C7

. Conversión de Binario a Octal

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas
decimal, binario y octal:

Decimal Binario Octal

0 000 0
1 001 1
2 010 2
3 011 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por
tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a
"expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres
binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 a octal tomaremos grupos de tres
bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101 = 5 octal
001 = 1 octal
011 = 3 octal
y, de ese modo el número binario 101001011 = octal 513

10
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método,
reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el
número octal 750 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:

7 octal = 111
5 octal = 101
0 octal = 000

y, por tanto, el número octal 750 = 111101000 binario

. Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios,
podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos
binarios, como se ve en la siguiente tabla:

Decimal Binario Hexadecimal

0 0000 0
1 0001 0
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o

"con-trayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para
expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 bastará con tomar grupos de
cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:

1010 = A
0111 = 7
0011 = 3

11
y, por tanto, el número binario 101001110011 = al hexadecimal A73

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben
añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
101110 = 00101110 = 2E en hexadecimal

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,

reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para
convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:

1 = 0001
F = 1111
6 = 0110

y, por lo tanto, el número hexadecimal 1F6 = al binario 000111110110

12
1.3 Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división)
 Suma de números binarios

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:

+0 1
00 1
11 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la

izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da
10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente
posición.

Ejemplo

Acarreo 1
1 0 0 1 1 0 0 0
+ 0 0 0 1 0 1 0 1
Resultado 1 0 1 0 1 1 0 1

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal,

y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el
sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 =
10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama
acarreo o arrastre). A continuación, se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 +
0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en decimal).

13
  Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero

conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria,
que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo,
sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de
la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2
- 1 = 1.
En decimal, por ejemplo tienes 100-19, obviamente a 0 no le puedes quitar 9, así que
debemos tomar prestado 1 para volverlo un 10 (en decimal la base es 10), y así si 10-9=1.

En binarios pasa lo mismo, no le puedes quitar 1 a 0, debes de tomar 1 prestado al de un

lado, pero cuidado aquí viene lo complicado tu número no se va a volver 10, recuerda que
en binario la base es 2 y por lo tanto se volverá 2 en binario, y ahora sí a 2 le quitas 1, 2-
1=1, y continuas restando pero recuerda que llevas 1, porque pediste prestado.

Ejemplo vamos a restar 201 - 67, ya sabemos que es 134, vamos a hacerlo en binario :

1 1 0 0 1 0 0 1.......................201
- 0 1 0 0 0 0 1 1.......................67

Tomamos los dos últimos números, 1-1 es igual a 0, y no llevamos nada (no pedimos
prestado)

11001001
-01000011
------------------------
0

Ahora la siguiente columna 0-1, ya dijimos que no se puede, así que va a tomar 1 prestado
al de la columna del lado izquierdo, se que vas a decir "es un cero, no nos puede prestar 1",
lo que pasa es que ese cero le pide a su vez al de lado, y así hasta que encuentres un 1, pero
no te fijes en eso, vamos a seguir restando y no nos vamos a preocupar por eso ahora,
entonces ahora nos prestaron 1 (no importa quién) y tenemos un 1 0 (este numero es 2 en

14
binario no 10 en decimal, no te vayas a confundir), entonces en binario tienes 10-1, que en
decimal es 2-1=1, y llevamos 1 (porque pedimos 1 prestado)

1 1 0 0 1 0 0 1 arriba
- 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo
------------------------
10

Para la siguiente columna tenemos 0 - 0, pero recuerda que tomamos 1 prestado así que en
realidad tenemos 0 - 1 (le sumamos el 1 al de abajo), de nuevo tenemos que pedir prestado
y entonces tenemos en binaria 1 0 -1 que en decimal es 2-1=1, y de nuevo llevamos 1

11001001
-01000011
------------------------
110

Continuamos con 1 - 0 , pero como llevamos 1 tenemos ahora 1 - 1, esto si lo podemos

resolver 1 - 1 = 1 (en binario y decimal).

11001001
-01000011
------------------------
0110

Lo demás es muy fácil:

0 - 0=0
0 - 0=0
1 - 1=0
1 - 0=1

11001001
-01000011
------------------------
10000110 que en decimal es 134.

Es lo mismo que la resta en decimal, pides prestado y llevas, nada más debes de ser
cuidadoso y recordar que tu base es 2.

"En este mundo solo existen 10 tipos de personas, las que saben binario y
las que no"

15
  PRODUCTO DE NÚMEROS BINARIOS

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:

· 0 1
0 0 0
1 0 1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a
cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el
elemento neutro del producto. Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 X 1001

10110

00000

00000

10110

11000110

 División de números binarios

La división en binario es similar al decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las
restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo: Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101
-0000 010101
10001
-1101
01000
- 0000
10000
- 1101
00011
- 0000
01110
- 1101
00001

16
1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y la división

en binario
 ALGORITMO DE BOOTH

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de dos

números binarios con signo en notación complemento a dos.

Complemento a1
Para obtener el complemento a uno del numero en binario solo consta en cambiar sus
ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101)

Complemento a2
El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al complemento
a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se complementa si el número es
negativo): mi numero en decimal es 86.

Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo de
implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:
1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de 8
bits
2º asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7 bits
extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con longitud de 8
bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación:

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la

multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números
binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P.

17
3° Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits de la
derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

0 0 No hacer nada

0 1P=P+A

1 0 P=P+S

1 1 No hacer nada

Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los operados)
y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la
derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el último bit del lado
contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo),

descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se
encuentra en el extremo a la derecha

18
1.5 Aplicaciones de los sistemas numéricos en la computación.
Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una
computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con base
8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16). Detallaremos el uso década uno de
ellos por la computadora.

 Sistema binario

El Sistema Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de

manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda
instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que 1 y 0 o como en
realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa
todos los datos con los que trabaja la computadora, desde su más bajo nivel: el
hardware. Estos dígitos son llamados bits

 Sistema Octal

Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales se
denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin
embargo, una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino que
utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito octal

Este sistema es muy usado en trabajos digitales, por su fácil conversión de y hacia el
sistema binario. Tiene su base igual a ocho, lo que genera la necesidad de ocho
símbolos para representar valores en este sistema y para esta finalidad se seleccionaron
los primeros ocho símbolos del sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

19
 Sistema Hexadecimal

El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un byte

debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para representar
números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado por 8 bits o términos
binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales, lo que es un ahorro de
información. Sin embargo, la computadora tampoco reconoce el sistema hexadecimal
como tal y, al igual que el sistema octal, lo representa con términos binarios,
empleando conjuntos de cuatro bits, para cada término hexadecimal. Sin embargo, al
presentar información al usuario es más factible presentar A9 que 10101001.

Este sistema requiere el uso de 16 símbolos, siendo formado por los mismos empleados
en el sistema decimal y seis letras del alfabeto arábico comprendidas entre A y F. Dado
que las computadoras usualmente agrupan conjuntos de bits en múltiplos de cuatro este
sistema permite representar a cada grupo con un simple símbolo. Por ello es que es tan
usado en estos días.

 Sistema Decimal

Por último, el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el usuario,

debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con diferentes sistemas
numéricos.

Este sistema está formado por diez símbolos, llamados números arábicos. También es
llamado sistema de base 10. Usando los diez símbolos separadamente 0, 1, 2, 3, ..., 9
nos permite representar el valor de los números en unidades individuales, pero para
representar más de nueve números es necesario combinarlos. Cuando usamos símbolos
en combinación, el valor de cada uno de ellos depende de su posición con respecto al
punto decimal, designando así un símbolo para las unidades, otro para las decenas, otro
para las centenas, otro para los millares (de miles, no de millón), en adelante.

20
 El símbolo correspondiente a las unidades asume la posición más izquierda antes del
punto decimal. Esta designación de posición determina que la potencia del número se
corresponde con la distancia en que está del punto decimal, y es por ello que la primera
posición se llama UNIDAD (100 = 1).

2.1 Características de los conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un

objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas,
números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro)
pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja,
Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen.
Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser
un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,
...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En
particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero
cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un
conjunto nuevo.
Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes,
jueves, lunes, miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil,
Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los
planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los
conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las
operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el
sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal,
apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental

21
de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio
detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de
conjuntos.

2.1.1 Conjunto universo, vacío

Estos conjuntos son importantes en la medida que establecen el contexto en el que se
trabaja en determinada teoría o problema.

Por ejemplo, si planteamos la ecuación: y nos preguntamos por su solución

en el conjunto de los números enteros, encontraremos que no existe entero alguno tal que
cumpla la igualdad. Es decir, el conjunto de enteros que satisface la ecuación es vacío.

En cambio sí planteamos la misma ecuación: y nos preguntamos por su

solución en el conjunto de los números racionales, será fácil ver que sí existe un racional
que cumple con la igualdad. Es decir, el conjunto de racionales que satisfacen la ecuación
no es vacío.

En los casos anteriores, respectivamente fueron establecidos como conjuntos

universo para tales problemas.

Así, diremos que: el CONJUNTO UNIVERSAL establece el contexto de trabajo. Es

decir, es el conjunto en el que se enmarca una determinada teoría o problema.

Por otra parte, el CONJUNTO VACÍO está íntimamente ligado al conjunto universal y es
aquel que no tiene ningún elemento de tal universo.

Denotaremos:

Con la notación anterior, podemos expresar los casos anteriores de la siguiente manera:

22
Ejemplos:

En cada uno de los ejemplos anteriores, se establece cuál es el conjunto que se toma
como universal, desde el momento en que se especifica de qué conjunto se toman los
elementos. A la derecha en cada caso, se hacen explícitos.

2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios

Los números naturales "N" Son los números que se usan para contar los
elementos de un conjunto (0,1,2,3,4,5,6,7[…]) en ese conjunto no hay términos
medios. Con estos números se pueden hacer operaciones como sumarse, restarse
, multiplicarse y dividirse.

Los números enteros "Z" son un conjunto de números que incluye a los números
naturales
distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2,
−1) y al cero, 0.
Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son
menores que
todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Al igual que los números
naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y
dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros
es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar
cosas.
Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas.

23
Los números racionales "Q" se llama número racional a todo número que puede
representarse
como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción
común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al
pensamiento o actitud racional.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por

ejemplo,
el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional
3/4. El número
decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número
racional 1/3).

Los números Irracionales son números que poseen infinitas cifras decimales no
periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.
Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los
números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e
ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la
circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de
cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su
número es 3.141592653589...

Los números reales no son más que el conjunto de los numero racionales y los
números irracionales. Con los números reales podamos acometer operaciones
tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento opuesto, de
elemento neutro…) o las multiplicaciones. En este último caso habría que
subrayar que en lo que respecta a la multiplicación de los signos de los números
el resultado sería el siguiente: + por + equivale a +; – por – es igual a +; – por +
da como resultado -; y + por – es igual a -.

Los números Imaginarios son números cuya potenciación es negativa. Es decir

que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es
negativo. Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado
siempre será positivo. Por ejemplo, cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como
resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado
también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como
resultado 25.

Por lo tanto, un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder
en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e
imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas
que de otra manera serían un fracaso.

24
2.1.3 Subconjuntos
Un subconjunto, como su nombre indica, es una subcolección de cualquier conjunto.
Supongamos que tenemos dos conjuntos, X e Y. Matemáticamente hablando, X será un
subconjunto de Y si y solo si todos los elementos de X están presentes en Y. También
podemos decir que X está contenido en Y. Esta relación se llama inclusión o contención de
X en Y.

Para comprenderlo mejor, considere que tiene un conjunto A tal que A incluye los nombres
de todas las ciudades de su país. En ese caso, un conjunto B que comprende los nombres de
las ciudades de su provincia será un subconjunto de A. Esto se debe a que todas las
ciudades de su provincia también deben ser ciudades de su país; por lo tanto, B es un
subconjunto de A.

Solo hay un cierto número de subconjuntos distintos o únicos para cualquier conjunto, por
lo que el resto son redundantes y repetitivos.

 Un subconjunto se puede clasificar de la siguiente manera:

1 Subconjunto propio:

Cualquier conjunto A se considera un subconjunto propio de B si hay al menos un

elemento en B, que no está presente en A.

En otras palabras, si A y B son desiguales y todos

los elementos de A están presentes en B, entonces
A es el subconjunto adecuado de B. También se
denomina subconjunto estricto.

2 Subconjunto inadecuado:

Considere dos conjuntos, A y B; A es un

subconjunto inadecuado de B si contiene todos
los elementos de B. Cualquier conjunto es un subconjunto inadecuado de sí mismo.

25
 Un subconjunto, como cualquier otro conjunto, se escribe con sus elementos entre
corchetes. Pero su representación es un asunto diferente. Como un subconjunto es parte
de un conjunto, se escribe usando un símbolo intuitivo ⊆ que se lee como 'es un
subconjunto de':

2.1.4 Conjunto potencia.

En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por
todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:

el conjunto potencia es:

El conjunto potencia de A también se denomina conjunto de las partes de A , o conjunto de
partes de y se denota por P.(A) , donde 2 [A] es el cardinal de las partes de A , es

decir,

P(A) =2[A]
El conjunto potencia de A es la clase o colección de los subconjuntos de A:

26
El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto. Además, no
es equipotente con la base.

 Cardinal
Siempre que el conjunto vacío no sea elemento de un conjunto, se cumple lo siguiente: El
número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del número de
elementos en el conjunto original:

Esta relación es el origen de la notación 2A para el conjunto potencia. Una manera de

deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el conjunto A tiene n elementos, el
número de subconjuntos con k elementos es igual al número combinatorio C(n, k). Un
subconjunto de A puede tener 0 elementos como mínimo, y n como máximo, y por lo tanto:

Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia de A es

equivalente al conjunto de funciones con dominio A y codominio {0, 1}, f : A → {0, 1}.
Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un
elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica «no

27
pertenece», 1 indica «pertenece». El número de estas funciones características de A es
precisamente 2n, si |A| = n.

En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones es

igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a 2|A|, en términos
de cardinales infinitos y su aritmética. El conjunto potencia siempre tiene un cardinal
superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantor, por lo que nunca
existe una aplicación biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.

El mínimo de los cardinales de conjuntos potencia es 1, exactamente el del conjunto

potencia del conjunto vacío

2.2 Operaciones con conjuntos: unión, intersección complemento,

diferencia simétrica

 Unión

Definición: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A o

en B.

Notación: A ∪ B
Ejemplos:

o {1, 2, 3} ∪ {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

o {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
o {1, 2, 3} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}

 Intersección
Definición: La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que
se encuentran tanto en A como en B.

Notación: A ∩ B

28
 Ejemplos:

{1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = {∅}

{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
{1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}

 Complemento
Definición: El complemento del conjunto A es el conjunto de elementos que están en el
conjunto universal U pero no están en A.
Notación: A ‘o A c

Ejemplos:

Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {1, 2}, entonces A c = {3, 4, 5, 6}

Si U = {1, 2, 3} y A = {1, 2}, entonces A c = {3}

 Diferencia
Definición: La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están
en A pero no en B.
Notación: A – B
Ejemplos:
{1, 2, 3} – {2, 3, 4} = {1}
{1, 2} – {1, 2} = {∅}

{1, 2, 3} – {4, 5} = {1, 2, 3}

29
  Diferencia simétrica
Definición: La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos
que están en A o B, pero no en ambos.

Notación: A Δ B
Ejemplos:
{1, 2, 3} Δ {2, 3, 4} = {1, 4}
{1, 2} Δ {1, 2} = {∅}
{1, 2, 3} Δ {4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

2.3 Propiedades de los conjuntos

 El conjunto universal
Se utiliza como base para tomar lo elementos.

 El conjunto vacío
No contiene elementos

 El conjunto unitario
Contiene un solo elemento.

 El conjunto finito
Posee una cantidad de elementos que se pueden contar.

 El conjunto infinito
No podemos contar por los innumerables elementos que este contiene.

 Los conjuntos de funciones múltiples

Contiene elementos el cual se puede someter a distintas operaciones.

30
  Los conjuntos dinámicos
Van cambiando sus características en el paso del tiempo.

 El conjunto estático
Sus elementos permanecen fijos.

 El conjunto de números naturales

Ordenado de menor a mayor y es un conjunto infinitivo.

o Dentro de la suma, la resta, la multiplicación y la división se encuentran

propiedades que cumplen con leyes matemáticas:

. Suma y multiplicación

 Propiedad conmutativa, el orden de los elementos no altera el producto.

 Propiedad asociativa, el orden de agrupar los elementos no altera el resultado.
 Propiedad distributiva, es la multiplicación de un número por una suma, es lo
mismo que decir, la suma por la multiplicación de un número.
 No se multiplica por cero.

. Resta

 Cuando se resta el minuendo es igual a la suma del sustraendo.

. División

 División exacta, el dividendo es igual al divisor por el cociente.

 División entera, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.
 No se divide entre cero.

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