Este documento presenta varios problemas de formulación matemática con el objetivo de practicar la traducción de problemas del mundo real a modelos. Se describen problemas de producción, transporte, asignaciones, mezcla y finanzas, con sus respectivas variables, funciones objetivo y restricciones.
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Este documento presenta varios problemas de formulación matemática con el objetivo de practicar la traducción de problemas del mundo real a modelos. Se describen problemas de producción, transporte, asignaciones, mezcla y finanzas, con sus respectivas variables, funciones objetivo y restricciones.
Descripción original:
A continuación se muestran algunos ejemplos de formulación que le servirán para cimentar su habilidad al traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos. Esta transición
Este documento presenta varios problemas de formulación matemática con el objetivo de practicar la traducción de problemas del mundo real a modelos. Se describen problemas de producción, transporte, asignaciones, mezcla y finanzas, con sus respectivas variables, funciones objetivo y restricciones.
Este documento presenta varios problemas de formulación matemática con el objetivo de practicar la traducción de problemas del mundo real a modelos. Se describen problemas de producción, transporte, asignaciones, mezcla y finanzas, con sus respectivas variables, funciones objetivo y restricciones.
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Aprendiendo a formular modelos
A continuación se muestran algunos ejemplos de formulación que le servirán para
cimentar su habilidad al traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos. Esta transición, o modo en que se ha de elaborar el modelo, la forma en que se definirá las variables y se formularán las restricciones y la función objetivo es de primordial importancia.
Intente resolver los siguientes problemas por si mismo. Formúlelos con la rapidez que le sea posible y no lea en un problema más de lo que se le da. Por ejemplo, no introduzca restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían hacer más realista el modelo. Por ejemplo, no se preocupe por lo que ocurra la semana siguiente si el problema nunca se refiere a la semana siguiente. Los problemas que se muestran han sido escogidos para facilitarle el desarrollo del aprendizaje de la formulación. Para lograr esto y que pueda comprobar su trabajo y calibrar su progreso dentro del contexto descrito, la formulación correcta, debe carecer por completo de ambigüedad. En otras palabras, que haya una respuesta correcta. Más tarde, cuando tenga experiencia, la amplitud de las dudas en la interpretación y las sutilezas del mundo real serán mayores. Debido a que el tema de la formulación es tan importante y como la práctica es el único camino para dominarlo, se recomienda hacer un número de problemas grande. Como último consejo: No lea simplemente el problema y después vaya de inmediato a la solución. Esa sería la mejor forma de engañarse a si mismo sobre lo que ha comprendido. No lea la solución hasta que esté seguro de haber solucionado en forma correcta el problema por si mismo o esté totalmente convencido que se encuentra en un callejón sin salida.
Problema de producción Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia ?
Cuantas horas semanales sobran en cada departamento ?
Formulación
1. Definición de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-esimo ( j = 1 y 2)
2. Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + (3/2) X2 Sujeto a las siguientes restricciones (c.s.r.):
3. Restricciones:
2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A
X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B
4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C
4. Condición de no negatividad:
Xj ≥ 0 ; j = 1 y 2
Problema clásico del transporte Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren los siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15. El costo de transporte por unidad en pesos entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
Cuanto unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos ?
Formulación
1. Definición de las variables:
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (i = 1 =
45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35 Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
4. Condición de no negatividad:
Xij ≥ 0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
El problema del trasbordo
Una empresa fabrica monitores de alta resolución en dos plantas de producción P1 y P2 . Las capacidades de producción por semana son de 80 y 60 unidades, respectivamente. Los monitores se llevan a cuatro centros de ventas Vi , i = 1, 2, 3 Y 4 que solicitan para la próxima semana 30 unidades para V1, 20 para V2 y 40 para V4. V3 no ha cuantificado su demanda indicando que va a ser muy alta y aceptaría toda la producción.
La legislación vigente obliga a la empresa a transportar los monitores de las plantas a
los puntos de venta a través de alguno de los dos centros de control de calidad existentes C1 y C2 en los que se controlan los monitores y cuya capacidad es muy grande. El costo de control por unidad en C1 es de $4.000 y en C2 es de $6.000.
Los costos en miles de pesos del transporte unitario de las plantas a los centros de control y de estos a los puntos de venta, aparecen en la tabla siguiente:
La empresa desea distribuir toda la producción para la semana entrante, sin mostrar preferencia por la utilización de un determinado centro de control o punto de venta, pues su interés reside en minimizar el costo global de transporte. Cual debe ser la distribución de las plantas a los puntos de venta ?
Formulación
1. Definición de las variables:
Xij = Unidades a enviar desde el nodo i-ésimo (i = 1,2,3 y 4) al nodo j-ésimo (j =
El problema de asignaciones Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1,2,3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varia mucho. Estos costos se muestran el la siguiente tabla:
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
Formulación
1. Definición de las variables:
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo (i = 1,2,3 y 4) al puerto j-ésimo (j = 1,2,3 y 4)
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo (i = 1,2,3 y 4) al puerto j-ésimo (j = 1,2,3 y 4)
Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres componentes (1,2,3) . La participación de estos componentes en la composición de cada crudo es:
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3.000 y 7.000
barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2.500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2.000 y 2.500 barriles diarios, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al problema planteado por
la compañía.
Formulación
1. Definición de las variables:
Xij = Cantidad de barriles diarios del crudo i-ésimo (i = A, B, C) dedicado al tipo de
gasolina j-ésima (j = S, N, E)
2. Función objetivo:
Maximizar Z = XAE + XBE + XCE Sujeto a las siguientes restricciones:
3. Restricciones:
650(XAS + XAN + XAE) + 500(XBS + XBN + XBE) + 450(XCS + XCN + XCE) ≤ 50’000.000 Restricción debida a la limitación de disponibilidad de capital
4. Condición de no negatividad:
Xij ≥ 0 ; i = A, B, C ; j = S, N, E
El problema del financiero
Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará de todo el capital. Las inversiones se hacen el 1º de Enero de cada año y son:
Inversión A: Disponible el 1º de Enero de cada año y produce el 15% de interés al final
de cada año.
Inversión B: Disponible en dos años a partir de ahora (Comienzo del 3º año), y produce un retorno del 25% al final del 3º año y lo máximo que el inversionista considerará son $40.000
Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y produce el 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como máximo.
El inversionista tiene $100.000 disponibles para las inversiones.
Cuál debe ser el portafolio de inversión que le permita obtener la máxima cantidad de dinero al final del año quinto ?
Formulación
1. Definición de las variables:
Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio del
año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Para construir las restricciones piense, que al principio de cada año va a tener disponibles algunas alternativas de inversión para las que no podrá invertir más de lo tenga disponible en ese momento. El lado izquierdo de las restricciones, representa la cantidad de dinero que el inversionista invertirá en las alternativas disponibles al principio de cada año y el lado derecho representa la cantidad de dinero disponible para invertir, que es la suma de: El capital inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la fecha – Los capitales que están invertidos en ese momento y que no han retornado.
